上海市2020届高三数学试题分类汇编：平面向量(含解析)
高三上期末考试数学试题分类汇编
平面向量
一、填空、选择题
1、（宝山区2019届高三）已知1(2,3),(1,4),(sin,cos)2ABABxy且，,,22xy，则
xy
．
2、（崇明区2019届高三）已知向量a、b、c满足0abc，且222abc，则ab、bc、
ac
中最小的值是（ ）
A. ab B. bc C. ac D. 不能确定的
3、（奉贤区2019届高三）点P在曲线221259xy上运动，E是曲线第二象限上的定点，E的
纵坐标是158，(0,0)O，(4,0)F，若OPxOFyOE，则xy的最大值是
4、（虹口区2019届高三）如图，已知半圆O的直径4AB，OAC是等边三角形，若点P是边AC
（包含端点A、C）上的动点，点Q在弧BC上，且满足OQOP，则OPBQ的最小值为
5、（金山区2019届高三）已知平面向量a、b满足条件：0ab，||cosa，||sinb，
(0,)2
，若向量cab(,)R，且22221(21)cos(21)sin9，则||c的最
小值为
6、（浦东新区2019届高三）已知点(1,2)A，(2,0)B，P为曲线2334yx上任意一点，则
APAB
的取值范围为（ ）
A. [1,7] B. [1,7] C. [1,323] D. [1,323]
7、（普陀区2019届高三）已知点(2,0)A，设B、C是圆22:1Oxy上的两个不同的动点，且
向量(1)OBtOAtOC（其中t为实数），则ABAC
8、（青浦区2019届高三）已知平面向量a、b、c满足||1a，||||2bc，且0bc，则当
01
时，|(1)|abc的取值范围是
9、（松江区2019届高三）若向量a，b满足()7abb，且||3a，||2b，则向量a与b夹
角为
10、（徐汇区2019届高三）已知圆M:1)1(22yx，圆N:1)1(22yx.直线1l、2l分别
过圆心M、N，且1l与圆M相交于,AB两点，2l与圆N相交于,CD两点.点P是椭圆
22
194xy
上任意一点，则PAPBPCPD的最小值为___________.
11、（长宁区2019届高三）已知向量(3,)am，(1,2)b，若向量a∥b，则实数m
12、（长宁区2019届高三）已知向量a和b夹角为3，且||2a，||3b，则(2)(2)abab（ ）
A. 10 B. 7 C. 4 D. 1
13、（闵行区2019届高三）已知向量(cos,sin)a，(cos,sin)b，且3，若向量
c
满足||1cab，则||c的最大值为
14、（宝山区2019届高三）
设点M、N均在双曲线22:143xyC上运动，12FF、是双曲线
C
的左、右焦点，则122MFMFMN的最小值为（ ）
（A）23． （B）4 ． （C） 27． （D）以上都不对．
15、（松江区2019届高三）已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点，若||=||ABAC，则
ABAC
的最小值是
参考答案
一、填空、选择题
1、6或2 2、B 3、4720 4、2 5、13 6、A
7、3 8、21,3 9、6 10、8 11、－6 12、D
13、31 14、B 15、12
二、解答题
1、（松江区2019届高三）已知向量(3sin,1)ax，(cos,1)bx.
（1）若a∥b，求tan2x的值；
（2）若()()fxabb，求函数()fx的最小正周期及当[0,]2x时的最大值.
参考答案
二、解答题
1、解：（1）由//ab得, 3sincosxx， ……………………………………2分
∴3tan3x ……………………………………………4分
∴22tantan31tanxxx ……………………………………………6分
（2）2()()3sincoscosfxabbxxx ………………………………………8分
3111sin2cos2sin(2)22262xxx …………………………………10分
∴函数)(xf的最小正周期为22T …………………………………12分
当]2,0[x时，72666x
∴当262x，即6x时，max3()()62fxf …………………………………14分
2020届高考数学一轮复习第六篇平面向量与复数专题6.4复数练习含解析
专题6.4 复 数【考试要求】1.通过方程的解，认识复数；2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义；3.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义. 【知识梳理】 1.复数的有关概念内容 意义 备注复数的概念形如a ＋b i(a ∈R ，b ∈R )的数叫复数，其中实部为a ，虚部为b若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数复数相等a ＋bi ＝c ＋di ⇔a ＝c 且b ＝d(a ，b ，c ，d∈R)共轭复数a ＋bi 与c ＋di 共轭⇔a ＝c 且b ＝－d(a ，b ，c ，d∈R)复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫实轴，y 轴叫虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数复数的模设OZ →对应的复数为z ＝a ＋b i ，则向量OZ →的长度叫做复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 22.复数的几何意义复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以原点O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 (1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R ).(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )平面向量OZ →.3.复数的运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则(1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ；(2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； (4)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝ac ＋bd ＋（bc －ad ）ic 2＋d 2(c ＋d i≠0).【微点提醒】 1.i 的乘方具有周期性 i n＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝4k ，i ，n ＝4k ＋1，－1，n ＝4k ＋2，－i ，n ＝4k ＋3(k ∈Z ).2.复数的模与共轭复数的关系z ·z －＝|z |2＝|z －|2.3.两个注意点(1)两个虚数不能比较大小；(2)利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点.( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√【解析】 (1)虚部为b ；(2)虚数不可以比较大小. 【教材衍化】2.(选修2－2P106A2改编)若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A.1 B.2 C.1或2 D.－1【答案】 B【解析】 依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，解得a ＝2，故选B.3.(选修2－2P116A1改编)复数⎝ ⎛⎭⎪⎫52－i 2的共轭复数是( )A.2－iB.2＋iC.3－4iD.3＋4i【答案】 C【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－i 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）2＝(2＋i)2＝3＋4i ，所以其共轭复数是3－4i.【真题体验】4.(2017·全国Ⅱ卷)3＋i1＋i ＝( )A.1＋2iB.1－2iC.2＋iD.2－i【答案】 D 【解析】3＋i 1＋i ＝（3＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2－i. 5.(2018·北京卷)在复平面内，复数11－i 的共轭复数对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】 D 【解析】11－i ＝1＋i 2＝12＋12i ，其共轭复数为12－12i ，∴复数11－i 的共轭复数对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，位于第四象限，故选D.6.(2019·青岛一模)已知复数z ＝－1＋i(i 是虚数单位)，则z ＋2z 2＋z＝________. 【答案】 －1【解析】 ∵z ＝－1＋i ，则z 2＝－2i ， ∴z ＋2z 2＋z ＝1＋i －1－i ＝（1＋i ）（－1＋i ）（－1－i ）（－1＋i ）＝－22＝－1. 【考点聚焦】考点一 复数的相关概念【例1】 (1)(2019·上海崇明区质检)已知z ＝2－ii ，则复数z 的虚部为( )A.－iB.2C.－2iD.－2(2)已知在复平面内，复数z 对应的点是Z (1，－2)，则复数z 的共轭复数z －＝( )A.2－iB.2＋iC.1－2iD.1＋2i(3)(2019·大连一模)若复数z ＝1＋i1＋a i 为纯虚数，则实数a 的值为( )A.1B.0C.－12D.－1【答案】 (1)D (2)D (3)D【解析】 (1)∵z ＝2－i i ＝（2－i ）（－i ）i·（－i ）＝－1－2i ，则复数z 的虚部为－2.故选D.(2)∵复数z 对应的点是Z (1，－2)，∴z ＝1－2i ，∴复数z 的共轭复数z －＝1＋2i ，故选D. (3)设z ＝b i ，b ∈R 且b ≠0， 则1＋i1＋a i＝b i ，得到1＋i ＝－ab ＋b i ， ∴1＝－ab ，且1＝b ， 解得a ＝－1，故选D. 【规律方法】1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.2.解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部.【训练1】 (1)已知复数z 满足：(2＋i)z ＝1－i ，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数为( ) A.15－35i B.15＋35i C.13－iD.13＋i (2)(2019·株洲二模)设i 为虚数单位，1－i ＝2＋a i1＋i ，则实数a ＝( )A.2B.1C.0D.－1【答案】 (1)B (2)C【解析】 (1)由(2＋i)z ＝1－i ，得z ＝1－i 2＋i ＝（1－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝15－35i ，∴z －＝15＋35i.故选B.(2)∵1－i ＝2＋a i1＋i ，∴2＋a i ＝(1－i)(1＋i)＝2，解得a ＝0.故选C. 考点二 复数的几何意义【例2】 (1)已知i 是虚数单位，设复数z 1＝1＋i ，z 2＝1＋2i ，则z 1z 2在复平面内对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限(2)(2019·北京新高考调研考试)在复平面内，复数z 对应的点与21－i 对应的点关于实轴对称，则z ＝( )A.1＋iB.－1－iC.－1＋iD.1－i【答案】 (1)D (2)D 【解析】 (1)由题可得，z 1z 2＝1＋i 1＋2i ＝（1＋i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝35－15i ，对应在复平面上的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15，在第四象限.(2)∵复数z 对应的点与21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋i 对应的点关于实轴对称，∴z ＝1－i.故选D.【规律方法】1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )Z (a ，b )OZ →＝(a ，b ).2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.【训练2】 (1)设i 是虚数单位，则复数11＋i 在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)如图，若向量OZ →对应的复数为z ，则z ＋4z表示的复数为( )A.1＋3iB.－3－iC.3－iD.3＋i【答案】 (1)D (2)D【解析】 (1)11＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＝12－12i ，则复数z 对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，在第四象限，故选D.(2)由题图可得Z (1，－1)，即z ＝1－i ，所以z ＋4z ＝1－i ＋41－i ＝1－i ＋4（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1－i ＋4＋4i2＝1－i ＋2＋2i ＝3＋i.故选D. 考点三 复数的运算【例3】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)(1＋i)(2－i)＝( ) A.－3－i B.－3＋i C.3－iD.3＋i(2)(2018·全国Ⅰ卷)设z ＝1－i1＋i＋2i ，则|z |＝( ) A.0B.12C.1D. 2(3)设复数z ＝1＋2i ，则z 2＋3z －1＝( )A.2iB.－2iC.2D.－2(4)⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i＝________.【答案】 (1)D (2)C (3)C (4)－1＋i【解析】 (1)(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i.故选D.(2)∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＋2i ＝1－2i －12＋2i ＝i ，∴|z |＝|i|＝1.故选C.(3)z 2＋3z －1＝（1＋2i ）2＋31＋2i －1＝12＋4i ＋4i 2＋32i ＝4i2i＝2.故选C.(4)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋i ）226＋（2＋3i ）（3＋2i ）（3）2＋（2）2＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.【规律方法】 复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可.(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i 的幂写成最简形式. (3)复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合相关定义解答.(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合复数的几何意义解答.【训练3】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)i(2＋3i)＝( ) A.3－2i B.3＋2i C.－3－2iD.－3＋2i(2)已知i 为虚数单位，则1＋i3－i ＝( )A.2－i5B.2＋i5C.1－2i5D.1＋2i5(3)设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则z 2－2z＝( )A.1＋3iB.1－3iC.－1＋3iD.－1－3i【答案】 (1)D (2)D (3)C【解析】 (1)i(2＋3i)＝2i ＋3i 2＝－3＋2i ，故选D. (2)1＋i 3－i ＝（1＋i ）（3＋i ）（3－i ）（3＋i ）＝1＋2i 5. (3)因为z ＝1＋i ，所以z 2＝(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，2z ＝21＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2（1－i ）1－i 2＝2（1－i ）2＝1－i ，则z 2－2z＝2i －(1－i)＝－1＋3i.故选C.【反思与感悟】1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.2.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法.对于一个复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体；又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识. 【易错防范】1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2.注意复数的虚部是指在a ＋b i(a ，b ∈R )中的实数b ，即虚部是一个实数. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：30分钟) 一、选择题1.已知复数(1＋2i)i ＝a ＋b i ，a ∈R ，b ∈R ，则a ＋b ＝( ) A.－3 B.－1 C.1 D.3【答案】 B【解析】 因为(1＋2i)i ＝－2＋i ，所以a ＝－2，b ＝1，则a ＋b ＝－1，选B. 2.(2018·浙江卷)复数21－i (i 为虚数单位)的共轭复数是( )A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i【答案】 B【解析】 因为21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2（1＋i ）1－i 2＝1＋i ，所以复数21－i的共轭复数为1－i.故选B. 3.设复数z 满足z －＝|1－i|＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( ) A.2－i B.2＋i C.1D.－1－2i【答案】 A【解析】 复数z 满足z －＝|1－i|＋i ＝2＋i ，则复数z ＝2－i ，故选A. 4.下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A.i(1＋i)2B.i 2(1－i) C.(1＋i)2D.i(1＋i)【答案】 C【解析】 i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数，排除A ；i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数，排除B ；(1＋i)2＝2i ，2i 是纯虚数.故选C. 5.设z ＝11＋i ＋i(i 为虚数单位)，则|z |＝( )A.12B.22C.32D.2【答案】 B【解析】 因为z ＝11＋i ＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，所以|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22. 6.若a 为实数，且1＋2ia ＋i 为实数，则a ＝( )A.1B.12C.－13D.－2【答案】 B【解析】 因为1＋2i a ＋i ＝（1＋2i ）（a －i ）（a ＋i ）（a －i ）＝a ＋2＋（2a －1）i a 2＋1是一个实数，所以2a －1＝0，∴a ＝12.故选B.7.(2019·豫南九校质量考评)已知复数a ＋i2＋i＝x ＋y i(a ，x ，y ∈R ，i 是虚数单位)，则x ＋2y ＝( )A.1B.35C.－35D.－1【答案】 A【解析】 由题意得a ＋i ＝(x ＋y i)(2＋i)＝2x －y ＋(x ＋2y )i ，∴x ＋2y ＝1，故选A.8.(2019·福建省普通高中质量检查)若复数z 满足(1＋i)z ＝|3＋i|，则在复平面内，z －对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限【答案】 A【解析】 由题意，得z ＝（3）2＋121＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－i ，所以z －＝1＋i ，其在复平面内对应的点为(1，1)，位于第一象限，故选A. 二、填空题9.(2018·天津卷)i 是虚数单位，复数6＋7i1＋2i ＝________.【答案】 4－i 【解析】6＋7i 1＋2i ＝（6＋7i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝20－5i5＝4－i. 10.复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________. 【答案】 5【解析】 (1＋2i)(3－i)＝3＋5i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部为5. 11.(2019·西安八校联考)若a ＋b ii(a ，b ∈R )与(2－i)2互为共轭复数，则a －b ＝________.【答案】 －7 【解析】 ∵a ＋b i i＝（a ＋b i ）（－i ）－i2＝b －a i ，(2－i)2＝4－4i －1＝3－4i ，a ＋b ii(a ，b ∈R )与(2－i)2互为共轭复数，∴b ＝3，a ＝－4，则a －b ＝－7，故答案为－7.12.在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为________. 【答案】 －2＋i【解析】 因为A (－1，2)关于直线y ＝－x 的对称点B (－2，1)，所以向量OB →对应的复数为－2＋i. 【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.(2019·烟台检测)设a ，b ∈R ，a ＝3＋b i3－2i (i 是虚数单位)，则b ＝( )A.－2B.－1C.1D.2【答案】 A【解析】 因为a ＝3＋b i 3－2i ＝（3＋b i ）（3＋2i ）（3－2i ）（3＋2i ）＝9－2b 13＋（6＋3b ）i 13，a ∈R ，所以6＋3b13＝0⇒b ＝－2，故选A.14.设x ∈R ，i 是虚数单位，则“x ＝2”是“复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数”的( ) A.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 【答案】 B【解析】 由复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，x ＋2≠0，解得x ＝2， 所以“x ＝2”是“复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数”的充要条件，故选B.15.计算⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＋⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 019＝( )A.－2iB.0C.2iD.2【答案】 B【解析】 ∵1＋i 1－i ＝（1＋i ）2（1＋i ）（1－i ）＝2i 2＝i ，1－i1＋i＝－i ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 019＝(i 4)504·i 3＋[(－i)4]504·(－i)3＝－i ＋i ＝0.16.(2019·湖南三湘名校联考)已知i 为虚数单位，复数z ＝3＋2i2－i ，则以下为真命题的是( )A.z 的共轭复数为75－4i5B.z 的虚部为85C.|z |＝3D.z 在复平面内对应的点在第一象限 【答案】 D【解析】 ∵z ＝3＋2i 2－i ＝（3＋2i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝45＋7i5，11 ∴z 的共轭复数为45－7i 5，z 的虚部为75， |z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫752＝655，z 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，75，在第一象限，故选D.。
2020新课标高考数学(文)二轮总复习专题限时训练：1-7-3 平面向量 Word版含解析
专题限时训练 (小题提速练)(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2)，若a ∥b ，则实数m 等于( ) A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2D.0解析：因为a ∥b ，所以m 2＝2，解得m ＝－2或m ＝ 2. 答案：C2．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b ＝( ) A ．1 B.2 C.3D.5解析：∵|a ＋b |＝10，∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝10.① 又∵|a －b |＝6，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝6.② ①－②，得4a ·b ＝4，即a ·b ＝1. 答案：A3．(2019·西安三模)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，x )，若a ＋b 与a 垂直，则x 的值为( ) A ．7 B.－7 C.12D.－12解析：a ＋b ＝(3，x ＋1)，∵a ＋b 与a 垂直，∴(a ＋b )·a ＝6＋x ＋1＝0，∴x ＝－7. 答案：B4．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 解析：∵A (1,3)，B (4，－1)，∴AB →＝(3，－4)．又∵|AB →|＝5，∴与AB →同向的单位向量为AB →|AB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45. 答案：A5．如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为( )A.19B.13C.1D.3解析：由题意可知，AN →＝13NC →，所以AC →＝4AN →. 又AP →＝mAB →＋29AC →，即AP →＝mAB →＋89AN →，因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋89＝1，解得m ＝19. 答案：A6．若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.5π6D.2π3解析：由|a ＋b |＝|a －b |可知a ⊥b ，设AB →＝b ，AD →＝a ，作矩形ABCD ，可知AC →＝a ＋b ，BD →＝a －b ，设AC 与BD 的交点为O ，结合题意可知OA ＝OD ＝AD ， ∴∠AOD ＝π3，∴∠DOC ＝2π3.又向量a ＋b 与a －b 的夹角为AC →与BD →的夹角，故所求夹角为2π3.答案：D7．(2019·沙坪坝区校级期中)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若向量c ＝λa ＋b ，则实数λ＝( )A ．－2 B.－1 C.1D.2解析：如图所示，建立直角坐标系．取小正方形的边长为1，则a ＝(1,1)，b ＝(0，－1)，c ＝(2,1)．∵向量c ＝λa ＋b ，∴(2,1)＝λ(1,1)＋(0，－1)，∴2＝λ，1＝λ－1，实数λ＝2.答案：D8．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A.322 B.3152 C ．－322D.－3152解析：∵A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，∴AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，因此cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →|·|CD →|＝31010，∴向量AB →在CD →方向上的投影为|AB →|·cos〈AB →，CD →〉＝5×31010＝322. 答案：A9．设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( )A.22B.12 C ．0D.－1解析：∵a ⊥b ，∴1×(－1)＋cos θ·2cos θ＝0， 即2cos 2 θ－1＝0.∴cos 2θ＝2cos 2 θ－1＝0. 答案：C10．已知向量a 是与单位向量b 夹角为60°的任意向量，则对任意的正实数t ，|t a －b |的最小值是( ) A ．0 B.12 C.32D.1解析：∵a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝12|a |，∴|t a －b |＝t 2a 2－2t a ·b ＋b 2＝t 2a 2－t |a |＋1. 设x ＝t |a |，x >0， ∴|t a －b |＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34＝32.故|t a －b |的最小值为32. 答案：C11．已知平面向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6，则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为( ) A.23 B.－23 C.56D.－56解析：由已知得向量a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)反向，则3a ＋2b ＝0，即3(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(0,0)，解得x 1＝－23x 2，y 1＝－23y 2，故x 1＋y 1x 2＋y 2＝－23.答案：B12．在△ABC 中，已知|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为边BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( )A.89B.109C.259D.269解析：因为|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，所以AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝AB →2＋AC →2－2AB →·AC →，即有AB →·AC →＝0，因为E ，F 为边BC 的三等分点，则AE →·AF →＝(AC →＋CE →)·(AB →＋BF →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC →＋13CB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23AC →＋13AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AC →＋23AB →＝29AC →2＋29AB →2＋59AB →·AC →＝29×(1＋4)＋0＝109. 答案：B 二、填空题13．已知向量a ＝(－4,3)，b ＝(6，m )，且a ⊥b ，则m ＝__________.解析：由向量a ＝(－4,3)，b ＝(6，m )，且a ⊥b ，得a ·b ＝－24＋3m ＝0，∴m ＝8. 答案：814．已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝ . 解析：由a ＝(－2，－6)，得|a |＝(－2)2＋(－6)2＝210，∴a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝210×10×cos 60°＝10. 答案：1015．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝ . 解析：∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1， ∴a ·b ＝|a |·|b |cos 45°＝22|b |， |2a －b |2＝4－4×22|b |＋|b |2＝10，∴|b |＝3 2. 答案：3 216．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为 . 解析：如图，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋1λDC →＝BC →＋1λAB →，所以AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →＋1λAB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13λAB →·BC →＋1λAB →2＋13BC →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13λ×2×2×cos 120°＋4λ＋43＝1，解得 λ＝2. 答案：2。
2020届高考数学(理科)总复习课时跟踪练：(二十九)平面向量基本定理及坐标表示 Word版含解析
可得
解析：如图，
B.1A→C＋1A→B 26
D.1A→C＋3A→B 62
→→ 因为EC＝2AE，
→ → → 2→ 1→ 2→ 1 → → 1→ 1
所以EM＝EC＋CM＝ AC＋ CB＝ AC＋ (AB－AC)＝ AB＋
3232
26
→ AC.
答案：C
8．(2019·南昌十校二模)已知向量 a＝(1，－2)，b＝(x，3y－5)，
D．2
解析：因为 a∥b，所以 a＝λb，即 me1＋2e2＝λ(＝－2.
n
答案：C
→ 7．已知点 M 是△ABC 的边 BC 的中点，点 E 在边 AC 上，且EC＝2
→
→
AE，则向量EM＝( )
A.1A→C＋1A→B 23
C.1A→C＋1A→B 62
→→ 解析：因为点 C 是线段 AB 上一点，且|BC|＝2|AC|，
→
→
所以BC＝－2AC.
设点 B 为(x，y)，则(2－x，3－y)＝－2(1，2)．
{ ) { ) 所以 2－x＝－2， 解得 x＝4，
3－y＝－4，
y＝7.
→ 所以向量OB的坐标是(4，7)．
答案：(4，7)
( ) 1
11．(2019·辽宁丹东五校协作体联考)向量 a＝ ，tan α ，b＝(cos 3
( ) ( ) → 1→ 1
→1
所以OC＝ AC＝ ，5 ，所以CO＝ － ，－5 .
2
2
2
答案：D
3．已知向量 a＝(2，1)，b＝(3，4)，c＝(1，m)，若实数 λ 满足 a＋b＝
λc，则λ＋m 等于( )
A．5
B．6
C．7
2020—2021年最新高考总复习数学(通用)平面向量(真题+模拟)专项复习及解析.docx
第四章 平面向量考点14 平面向量的概念与运算两年高考真题演练1．(2015·新课标全国Ⅰ)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC→＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7，4) C ．(－1，4) D ．(1，4)2．(2015·四川)设向量a ＝(2，4)与向量b ＝(x ，6)共线，则实数x ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．63．(2015·新课标全国Ⅱ)已知a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b)·a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．24．(2015·重庆)已知非零向量a ，b 满足|b|＝4|a|，且a ⊥(2a ＋b)，则a 与b 的夹角为( )A.π3B.π2C.2π3D.5π65．(2015·广东)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB→＝(1，－2)，AD →＝(2，1)，则AD →·AC →＝( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．26．(2015·北京)设a ，b 是非零向量，“a ·b ＝|a||b|”是“a ∥b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．(2015·陕西)对任意平面向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( )A ．|a ·b|≤|a||b|B ．|a －b|≤||a|－|b||C ．(a ＋b)2＝|a ＋b|2D ．(a ＋b)·(a －b)＝a 2－b 28．(2015·江苏)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若ma ＋nb ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________．9．(2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________．10．(2015·天津)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE→·AF →的值为________． 11．(2015·浙江)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b|＝________．12．(2015·安徽)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →；⑤(4a ＋b)⊥BC→. 13．(2014·陕西)在直角坐标系xOy 中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x ，y)在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)若PA→＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|； (2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R)，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．考点14 平面向量的概念与运算一年模拟试题精练1．(2015·惠州市二调)已知向量AB →＝(3，7)，BC →＝(－2，3)，则－12AC →＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，5B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，5C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，－5D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，－5 2．(2015·山西省三诊)若菱形ABCD 的边长为2，则|AB →－CB →＋CD→|等于( ) A ．2 B ．1 C ．2 2 D. 2 3．(2015·山西四校联考)如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →等于( ) A ．0 B.BE → C.AD→ D.CF →4．(2015·衡水二调)平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2，0)，|b|＝1，则|a ＋2b|等于( )A ．2 2B ．2 3C ．4 D.105．(2015·乐山市调研)在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 为对角线，若AB→＝(2，4)，AC →＝(1，3)，则BD →＝( ) A ．(2，4) B ．(3，5)C ．(－2，－4)D ．(－3，－5)6．(2015·烟台市检测)已知向量a ＝(2，1)，a ·b ＝10，|a ＋b|＝52，则|b|＝( )A. 5B.10 C ．5 D ．257．(2015·山东省实验中学三诊)已知|a|＝1，|b|＝6，a ·(b －a)＝2，则向量a 与b 的夹角为( )A.π2B.π3C.π4D.π68．(2015·洛阳市高三统考)设等边三角形ABC 边长为6，若BC →＝3BE→，AD →＝DC →，则BD →·AE →等于( ) A ．－621 B ．621 C ．－18 D ．189．(2015·西安八校联考)若向量a 、b 满足：a ·b ＝12，|a|＝|b|＝1，则|2a ＋b|＝________．10．(2015·成都市一诊)若非零向量a ，b 满足|a ＋b|＝|a －b|，则a ，b 的夹角的大小为________．11．(2015·大同市调研)设非零向量a 、b 、c 满足|a|＝|b|＝|c|，a ＋b ＝c ，则 〈a ，b 〉＝________．12．(2015·天津六校联考)在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP →·CB →＋CP→·CA →＝________． 13．(2015·重庆市一诊)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos x 2，－1，n ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫3sin x 2，cos 2x 2，设函数f(x)＝m ·n ＋1.(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a 2＋b 2＝6abcos C ，sin 2C ＝2sin Asin B ，求f(C)的值．考点15 平面向量的应用两年高考真题演练1．(2015·福建)设a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，c ＝a ＋kb.若b ⊥c ，则实数k 的值等于( )A ．－32B ．－53 C.53 D.322．(2015·湖南)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为(2，0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．93．(2014·重庆，理)已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b)⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3 D.1524．(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC.若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝( ) A.12 B.23 C.56 D.7125．(2014·安徽)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a|＝|b|＝1，a ·b ＝0，点Q 满足OQ→＝2(a ＋b)．曲线C ＝{P|OP →＝acos θ＋bcos θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P|0<r ≤|PQ →|≤R ，r<R}．若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( )A ．1<r<R<3B ．1<r<3≤RC ．r ≤1<R<3D ．1<r<3<R 6．(2015·江苏)设向量a k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos k π6，sin k π6＋cos k π6(k ＝0，1，2，…，12)，则∑k ＝011(a k ·a k ＋1)的值为________．7．(2014·陕西)设0＜θ＜π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(1，－cos θ)，若a ·b ＝0，则tan θ＝________．8．(2015·陕西)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.向量m ＝(a ，3b)与n ＝(cos A ，sin B)平行．(1)求A; (2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．9．(2014·辽宁)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a>c.已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求： (1)a 和c 的值； (2)cos(B －C)的值．考点15 平面向量的应用一年模拟试题精练1．(2015·江西省质检三)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD→＝4DC →，则AD →等于( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.45b －15c D.45b ＋15c2．(2015·云南师大附中检测)设x ∈R ，向量a ＝(1，x)，b ＝(2，－4)，且a ∥b ，则a ·b ＝( )A ．－6 B.10 C. 5 D ．103．(2015·济南一中高三期中)已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x ，2)，若a ⊥b ，则|b|＝( )A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．204．(2015·昆明三中，玉溪一中高三统考)已知向量a ，b ，其中|a|＝2，|b|＝2，且(a －b)⊥a ，则向量a 与b 的夹角是( )A.π6B.π4C.π2D.π35．(2015·晋冀豫三省二调)已知向量a ＝(1，k)，b ＝(2，2)，且a ＋b 与a 共线，那么a ·b 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．(2015·北京东城区高三期末)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(m ，2m －3)，平面上任意向量c 都可以唯一地表示为c ＝λa ＋μb(λ，μ∈R)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(0，＋∞)B ．(－∞，3)C ．(－∞，－3)∪(－3，＋∞)D ．[－3，3)7．(2015·济南一中高三期中)在△ABC 中，若AB →2＝AB →·AC →＋BA→·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形8．(2015·杭州七校联考)已知平面向量m ，n 的夹角为π6，且|m|＝3，|n|＝2，在△ABC 中，AB →＝2m ＋2n ，AC →＝2m －6n ，D 为BC 的中点，则|AD→|＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．89．(2015·惠州市三调)已知向量a ＝(x －1，2)，b ＝(2，1)，且a ⊥b ，则实数x ＝________．10．(2015·衡水中学二调)设平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，y)，若a ∥b ，则y ＝________．11．(2015·南昌市调研)已知直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝2交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，|OA →＋OB →|≥|AB →|，那么实数m 的取值范围是________．12．(2015·四川省统考)已知锐角△ABC 中的三个内角分别为A ，B ，C.(1)设BC→·CA →＝CA →·AB →，求证△ABC 是等腰三角形； (2)设向量s ＝(2sin C ，－3)，t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos 2C ，2cos 2C 2－1，且s∥t ，若sin A ＝13，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－B 的值．参考答案第四章 平面向量考点14 平面向量的概念与运算【两年高考真题演练】1．A [AB→＝(3，1)，AC →＝(－4，－3)，BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．]2．B [a ＝(2，4)，b ＝(x ，6)，∵a ∥b ，∴4x －2×6＝0，∴x ＝3.]3．C [因为a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，所以2a ＋b ＝2(1，－1)＋(－1，2)＝(1，0)，得(2a ＋b)·a ＝(1，0)·(1，－1)＝1，选C.]4．C [因为a ⊥(2a ＋b)，所以a ·(2a ＋b)＝2a 2＋a ·b ＝0，即2|a|2＋|a||b|cos 〈a ，b 〉＝0，又|b|＝4|a|，则上式可化为2|a|2＋|a|×4|a|·cos 〈a ，b 〉＝0即2＋4cos 〈a ，b 〉＝0，所以cos 〈a ，b 〉＝－12，即a ，b 夹角为23π.]5．A [∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)．∴AD→·AC →＝2×3＋(－1)×1＝5.] 6．A [由数量积定义a ·b ＝|a|·|b|·cos θ＝|a|·|b|，(θ为a ，b 夹角)，∴cos θ＝1，θ∈[0°，180°]，∴θ＝0°，∴a ∥b ；反之，当a ∥b 时，a ，b 的夹角θ＝0°或180°， a ·b ＝±|a|·|b|.]7．B [对于A ，由|a ·b|＝||a||b|cos a ，b |≤|a||b|恒成立；对于B ，当a ，b 均为非零向量且方向相反时不成立；对于C 、D 容易判断恒成立．故选B.]8．－3 [∵a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，∴ma ＋nb ＝(2m ＋n ，m －2n)＝(9，－8)，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝2－5＝－3.]9．9 [因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0.所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB→)＝OA →2＋OA →·AB →＝|OA →|2＋0＝32＝9.] 10.2918 [在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1， ∠ABC ＝60°，∴CD ＝1，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋16DC →， ∴AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋23BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AD →＋16DC →＝AB →·AD →＋AB →·16DC →＋23BC →·AD →＋23BC →·16DC →＝2×1×cos 60°＋2×16＋23×1×cos 60°＋23×16×cos120°＝2918.]11.233 [因为|e 1|＝|e 2|＝1且e 1·e 2＝12.所以e 1与e 2的夹角为60°.又因为b ·e 1＝b ·e 2＝1，所以b ·e 1－b ·e 2＝0，即b ·(e 1－e 2)＝0，所以b ⊥(e 1－e 2)．所以b 与e 1的夹角为30°，所以b ·e 1＝|b|·|e 1|cos30°＝1.∴|b|＝233.]12．①④⑤ [∵△ABC 为边长是2的等边三角形，∴|AB →|＝|2a|＝2|a|＝2，从而|a|＝1，故①正确；又BC→＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，∴b ∥BC→，故④正确；又(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2＝0，∴(AB→＋AC →)⊥BC →，即(4a ＋b)⊥BC →，故⑤正确．] 13．解 (1)法一 ∵PA→＋PB →＋PC →＝0， 又PA→＋PB →＋PC →＝(1－x ，1－y)＋(2－x ，3－y)＋(3－x ，2－y)＝(6－3x ，6－3y)，∴⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2即OP→＝(2，2)，故|OP →|＝2 2. 法二 ∵PA→＋PB →＋PC →＝0，则(OA→－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)＝0，∴OP →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝(2，2)， ∴|OP→|＝2 2. (2)解 ∵OP→＝mAB →＋nAC →， ∴(x ，y)＝(m ＋2n ，2m ＋n)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减得，m －n ＝y －x. 令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B(2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.【一年模拟试题精练】1．C [－12AC →＝－12(AB →＋BC →)＝－12[(3，7)＋(－2，3)]＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，－5.] 2．A [|AB→－CB →＋CD →|＝|AB →＋BC →＋CD →|＝|AD →|＝2.] 3．D [因为ABCDEF 是正六边形，故BA →＋CD →＋EF →＝DE →＋CD →＋EF →＝CE →＋EF →＝CF→.] 4．B [由已知得|a|＝2，∴|a ＋2b|2＝a ＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4＝12，∴|a ＋2b|＝23，故选B.]5．D [由题可知BD→＝BC →＋CD →＝(AC →－AB →)＋BA →＝AC →＋2BA →＝(1，3)＋2(－2，－4)＝(－3，－5)，故选D.]6．C [(a ＋b)2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝5＋2×10＋|b|2＝50，|b|＝5.]7．B [a ·(b －a)＝a ·b －a 2＝|a||b|cos θ－|a|2＝2，故cos θ＝12，θ＝π3.]8．C [令AB →＝c ，AC →＝b ，则BD →＝BA →＋AD →＝－c ＋12b ， AE →＝AB →＋BE →＝13b ＋23c ，BD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－c ＋12b ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13b ＋23c ＝－12b 2＝－18.]9.7 [∵a ·b ＝12，|a|＝|b|＝1，∴|2a ＋b|＝（2a ＋b ）2＝7.]10．90° [∵|a ＋b|＝|a －b|， ∴(a ＋b)2＝(a －b)2，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2，a ·b ＝0，故a ⊥b.] 11.23π [∵非零向量a 、b 、c 满足|a|＝|b|＝|c|，a ＋b ＝c ， ∴(a ＋b)2＝c 2， 即a 2＋b 2＋2a ·b ＝c 2， ∴|a|2＋2|a|2cos a ，b ＝0， ∴cos a ，b＝－12，∴a ，b＝23π.故答案为：23π.] 12．4 [设CB→＝a ，CA →＝b ，AB →＝AC →＋CB →＝a －b ，CP →＝CA →＋AP→ ＝CA →＋13AB →＝13a ＋23b ，CP→·CB →＋CP →·CA → ＝CP →·(CB →＋CA →)＝13a 2＋a ·b ＋23b 2＝4.]13．解 (1)f(x)＝3sin x 2cos x 2－cos 2x 2＋1＝32sin x －12cos x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π6＋12. 令2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2，∴2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3(k ∈Z)．所以所求增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z)． (2)由a 2＋b 2＝6abcos C ，sin 2C ＝2sin Asin B ，得c 2＝2ab ，因为cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝6abcos C －2ab 2ab ＝3cos C －1得cos C ＝12，又∵0＜C ＜π，C ＝π3，∴f(C)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3＝1.考点15 平面向量的应用【两年高考真题演练】1．A [c ＝a ＋kb ＝(1，2)＋k(1，1)＝(1＋k ，2＋k)，∵b ⊥c ，∴b ·c ＝0，b ·c ＝(1，1)·(1＋k ，2＋k)＝1＋k ＋2＋k ＝3＋2k ＝0，∴k ＝－32，故选A.]2．B [由A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，∴线段AC 为圆的直径，故PA→＋PC →＝2PO →＝(－4，0)， 设B(x ，y)，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1，1]，PB→＝(x －2，y)，所以PA→＋PB →＋PC →＝(x －6，y)，∴|PA →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37，∴当x ＝－1时，此式有最大值49＝7，故选B.]3．C [因为a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，所以2a －3b ＝2(k ，3)－3(1，4)＝(2k －3，－6)．因为(2a －3b)⊥c ，所以(2a －3b)·c ＝(2k －3，－6)·(2，1)＝2(2k －3)－6＝0，解得k ＝3，故选C.]4．C [∵AE→＝AB →＋λBC →，AF →＝AD →＋μDC →， ∴AE→·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋μDC →) ＝AB→·AD →＋μAB →·DC →＋λBC →·AD →＋λμBC →·DC → ＝2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＋4μ＋4λ＋2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12λμ ＝－2＋4(λ＋μ)－2λμ＝1. ∴2(λ＋μ)－λμ＝32.①∵CE→·CF →＝(1－λ)CB →·(1－μ)CD → ＝(λμ－λ－μ＋1)CB→·CD →＝2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12(λμ－λ－μ＋1) ＝－2[λμ－(λ＋μ)＋1]＝－23，∴λμ－(λ＋μ)＋1＝13，即λμ－(λ＋μ)＝－23.②由①②解得λ＋μ＝56.]5．A [由已知可设OA→＝a ＝(1，0)，OB →＝b ＝(0，1)，P(x ，y)，则OQ →＝(2，2)，曲线C ＝{P|OP→＝(cos θ，sin θ)，0≤θ<2π}，即C ：x 2＋y 2＝1，区域Ω＝{P|0<r ≤|PQ→|≤R ，r<R}表示圆P 1：(x －2)2＋(y －2)2＝r 2与圆P 2：(x －2)2＋(y －2)2＝R 2所形成的圆环，如图所示，要使C ∩Ω为两段分离的曲线，只有1<r<R<3.]6．9 3[∵a k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos k π6，sin k π6＋cos k π6，∴a k ·a k ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos k π6，sin k π6＋cos k π6· ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos k ＋16π，sin k ＋16π＋cos k ＋16π ＝cos k π6·cos k ＋16π＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin k π6＋cos k π6· ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin k ＋16π＋cos k ＋16π ＝32cos π6＋12cos 2k ＋16π＋sin 2k ＋16π. 故错误!错误!＝32k ＝011cos π6＋12k ＝011cos 2k ＋16π＋k ＝011sin 2k ＋16π. 由k ＝011cos 2k ＋16π＝0，k ＝011sin 2k ＋16π＝0，得 ∑k ＝011a k ·a k ＋1＝32cos π6·12＝9 3.] 7.12 [因为a ·b ＝0，所以sin 2θ－cos 2θ＝0，2sin θcos θ＝cos 2θ，因为0＜θ＜π2，所以cos θ＞0，得2sin θ＝cos θ，tan θ＝12.] 8．解 (1)因为m ∥n ，所以asin B －3bcos A ＝0，由正弦定理，得sin Asin B －3sin Bcos A ＝0， 又sin B ≠0，从而tan A ＝3， 由于0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)法一 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ， 而a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ， 即c 2－2c －3＝0， 因为c ＞0，所以c ＝3，故△ABC 的面积为S ＝12bcsin A ＝332.法二 由正弦定理，得7sin π3＝2sin B ，从而sin B ＝217，又由a ＞b ，知A ＞B ，所以cos B ＝277，故sin C ＝sin(A ＋B)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫B ＋π3 ＝sin Bcos π3＋cos Bsin π3＝32114.所以△ABC 的面积为S ＝12absin C ＝332. 9．解 (1)由BA→·BC →＝2得c ·acos B ＝2， 又cos B ＝13，所以ac ＝6. 由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2accos B.又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2. 因a>c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－（13）2＝223， 由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429. 因a ＝b>c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－（429）2＝79. 于是cos(B －C)＝cos Bcos C ＋sin Bsin C＝13×79＋223×429＝2327. 【一年模拟试题精练】1．D [∵BD→＝4DC →，∴AD →－AB →＝BD →＝4DC →＝4(AC →－AD →)， ∴5AD →＝4AC →＋AB →，∴AD →＝45AC →＋15AB →＝45b ＋15c.]2．D [∵a ＝(1，x)，b ＝(2，－4)，且a ∥b ，∴－4－2x ＝0，x ＝－2，∴a ＝(1，－2)，a ·b ＝10.]3．B [∵a ⊥b ，∴a ·b ＝x －4＝0，即x ＝4，故|b|＝42＋22＝2 5.] 4．B [因为(a －b)⊥a ，所以(a －b)·a ＝0，即a 2＝a ·b ＝|a|2＝2，所以cosa ，b ＝a ·b |a|·|b|＝22×2＝22，所以向量a 与b 的夹角为π4.] 5．D [∵a ＝(1，k)，b ＝(2，2)，∴a ＋b ＝(3，k ＋2)，又∵a ＋b 与a 共线，∴3×2－(k ＋2)·2＝0，即k ＝1，故a ·b ＝(1，1)·(2，2)＝2＋2＝4.]6．C [由题意可得，{a ，b}是平面的一组基底，所以a 与b 不共线，所以2m －3≠3m ，所以m ≠－3.]7．D [∵AB→2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，∴AB →2－AB →·AC →＝AB→·CB →＝BC →·(BA →－CA →)＝BC →2，∴BC →·(BC →－BA →)＝0，即BC →·AC →＝0，故△ABC 是直角三角形．]8．A [AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(2m ＋2n ＋2m －6n)＝2m －2n ， 故|AD→|＝2|m －n|＝2（m －n ）2＝2m 2－2m ·n ＋n 2 ＝2m 2－2|m||n|cos m ，n ＋n 2＝2.] 9．0 [∵a ＝(x －1，2)，b ＝(2，1)，且a ⊥b ，∴a ·b ＝2(x ＋1)＋2＝0，解之可得x ＝0.]10．－4 [∵a ＝(1，2)，b ＝(－2，y)，a ∥b ，∴1·y ＝2×(－2)，∴y ＝－4.]11．(－2，－2]∪[2，2) [圆心O 到直线x ＋y ＋m ＝0的距离d ＝|m|2.由|OA →＋OB →|≥|AB|得，|OA →＋OB →|≥|OB →－OA →|， 所以|OA→|2＋|OB →|2＋2OA →·OB →≥|OA →|2＋|OB →|2－2OA →·OB →， 所以OA→·OB →≥0， 所以0＜∠AOB ≤π2，22≤cos 12∠AOB ＜1， 又|m|2＝2cos 12∠AOB ， 所以2×22≤|m|＜2， 解得－2＜m ≤－2或2≤m ＜2.]12．(1)证明 因为BC→·CA →＝CA →·AB →， 所以CA→·(BC →－AB →)＝0， 又AB→＋BC →＋CA →＝0， 所以CA→＝－(AB →＋BC →)， 所以－(AB→＋BC →)·(BC →－AB →)＝0， 所以AB→2－BC →2＝0， 所以|AB→|2＝|BC →|2，即|AB →|＝|BC →|， 故△ABC 为等腰三角形．(2)解 ∵s ∥t ，∴2sin C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2cos 2C 2－1＝－3cos 2C ， ∴sin 2C ＝－3cos 2C ，即tan 2C ＝－3，∵C 为锐角，∴2C ∈(0，π)，∴2C ＝2π3，∴C ＝π3， ∴A ＝2π3－B ，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－B ＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎪⎫2π3－B －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A －π3， 又sin A ＝13，且A 为锐角，∴cos A ＝223， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A －π3＝sin Acos π3－cos Asin π3＝1－266。
2020年高三二轮练习数学(文)周测卷卷三平面向量周测专练Word版含解析
11. 如图， P 为△AOB 所在平面上一点，向量 OA a,OB b ，且 P 在线段 AB 的垂
5. 设 为两个非零向量 a 、 b 的夹角，对任意实数 t ， | b at |的最小值为 1〔
〕
A. 假设 确定，那么 |a |唯一确定
B. 假设 确定，那么 |b | 唯一
确定
C. 假设 |a | 确定，那么 唯一确定
1 y
xy
xy
4
13
42. 解： (1) 证明：因 (a＋b) ·a（－ b)＝ |a|2－|b|2＝ (cos 2α＋sin 2α)－ ＋ ＝0，
44
所以 a＋ b 与 a－b 垂直．
(2) 由 | 3a＋b|＝ |a－ 3b|，两边平方得 3|a|2＋ 2 3a·＋ｂ|b|2＝ |a| 3a·ｂ ＋ 3| b|2，
14. 设 O 为 ABC 的外心，假设 xOA yOB zOC 0 ， C 为 ABC 的内角，那么
cos2C ___________.〔用数 x, y, z表示〕
15. 如图，在△ ABC 中， AN = 1 NC ,P 是 BN 上的一点，假设 AP =m AB + 2 AC ，
3
11
那么实数 m 的值为 ___________.
〔 A〕圆
〔 B〕 椭圆
〔C 〕 抛物线
〔 D〕双
曲线
9. 设 ABC, P0 是边 AB 上一定点，满足 P0B 1 AB ，且对于边 AB 上任一点 P ，恒有
4
3. 设 O为坐标原点， 点 M 坐标为 (3,2) ，假设点 N ( x, y) 满足不等式组：
x0 y0
,当3 s 5 x ys y 2x 4
上海市高考数学真题分类汇编专题05：平面向量
上海市高考数学真题分类汇编专题05：平面向量姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分） (2016高一下·漳州期末) 如图，在长方形ABCD中，AB= ，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A .B .C .D .2. （2分）已知向量满足，且，则向量与的夹角为（）A .B .C .D .3. （2分）已知单位向量满足，其中k>0，记函数f（）=，，当f（）取得最小值时，与向量垂直的向量可以是（）A .B .C .D .4. （2分）两条相交直线的平行投影是（）A . 一条直线B . 一条折线C . 两条相交直线D . 两条相交直线或一条直线二、填空题 (共7题；共9分)5. （1分）(2017·辽宁模拟) 若向量，满足：| |=1，（ + ）⊥ ，（2 + ）⊥ ，则| |=________．6. （1分）(2020·南京模拟) 已知是的垂心（三角形三条高所在直线的交点），，则的值为________.7. （1分）已知点O为△ABC内一点，且+2+3=，则△AOB、△AOC、△BOC的面积之比等于________8. （2分） (2017高三上·惠州开学考) 在△ABC中，| + |=| ﹣ |，AB=2，AC=1，E，F 为BC的三等分点，则• =________．9. （1分）已知点A（2，3），B（5，4），C（7，10），若点P满足 = +λ （λ∈R），且点P在第三象限，则λ的取值范围是________．10. （2分） (2016高一下·邵东期末) 已知A（2，4），B（5，3），则 =________．11. （1分）已知=（1，2），=（4，2），设，的夹角为θ，则cosθ=________参考答案一、单选题 (共4题；共8分)1-1、2-1、3-1、4-1、二、填空题 (共7题；共9分)5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、。
2020届全国各地高考试题分类汇编10 平面向量
AP
在
AB
方向上的投影的取值范围是
(1,
3)
，
结合向量数量积的定义式，可知 AP AB 等于 AB 的模与 AP 在 AB 方向上的投影的乘积，
所以
AP
AB
的取值范围是
(2,
6)
，
故选：A.
7.（2020•天津卷）如图，在四边形 ABCD 中， B 60, AB 3 ， BC 6 ，且
3 2
m
，即
1
3 2
，
∵ AP 9 ，∴ AD 3 ，∵ AB 4 , AC 3 , BAC 90 ，∴ BC 5 ，
设 CD x ， CDA ，则 BD 5 x ， BDA .
∴根据余弦定理可得 cos AD2 CD2 AC 2 x ，
2AD CD
6
cos
x, 0
，则
N
x
1,
0
（其中
0
x
5
），
DM
x
5
,
3
3
，
DN
x
3
,
3
3 ，
2 2
2 2
DM
DN
x
5 2
x
3 2
33 2
2
x
2
4x
21 2
x
22
13 2
，
所以，当
x
2
时，
DM
DN
取得最小值
13 2
.故答案为：
1 6
；
13 2
.
8.（2020•浙江卷）设 e1 ， e2 为单位向量，满足 | 2e1 e2 |
2020 届全国各地高考试题分类汇编
2020届高考数学(理)一轮必刷题 专题25 平面向量基本定理及坐标表示(解析版)
考点25 平面向量基本定理及坐标表示1、已知向量a ＝(3，－4)，b ＝(x ，y )．若a ∥b ，则( ) A ．3x －4y ＝0 B ．3x ＋4y ＝0 C ．4x ＋3y ＝0 D ．4x －3y ＝0【答案】C【解析】∵a ∥b ，∴3y ＋4x ＝0.故选C.2、已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )．若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( ) A ．(－23，－12) B ．(23,12) C ．(7,0) D ．(－7,0)【答案】A【解析】由题意可得3a －2b ＋c ＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x ，y )＝(23＋x ，12＋y )＝(0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 23＋x ＝0，12＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝－12，所以c ＝(－23，－12)．3、若AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，AB →＝(3,5)，AC →＝(2,4)，则AD →＝( ) A ．(－1，－1) B ．(5,9) C ．(1,1) D ．(3,5)【答案】A【解析】由题意可得AD →＝BC →＝AC →－AB →＝(2,4)－(3,5)＝(－1，－1)． 4、已知平面向量a ＝(1，－2)，b ＝(2，m )．若a ∥b ，则3a ＋2b ＝( ) A ．(7,2) B ．(7，－14) C ．(7，－4) D ．(7，－8)【答案】B【解析】∵a ∥b ，∴m ＋4＝0，∴m ＝－4，∴b ＝(2，－4)，∴3a ＋2b ＝3(1，－2)＋2(2，－4)＝(7，－14)． 5、设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．0【答案】B【解析】因为a 与b 方向相反，故可设b ＝m a ，m <0，则有(4，x )＝m (x,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝mx ，x ＝m ，解得m ＝±2.又m <0，所以m ＝－2，x ＝m ＝－2.6、设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝( ) A ．(2,6) B ．(－2,6) C ．(2，－6) D ．(－2，－6)【答案】D【解析】设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝4(1，－3)＝(4，－12)，4b －2c ＝4(－2,4)－2(－1，－2)＝(－6,20)，2(a －c )＝2[(1，－3)－(－1，－2)]＝(4，－2)．又4a ＋(4b －2c )＋2(a －c )＋d ＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x ，y )＝(0,0)，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．7、已知平行四边形ABCD 中，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO →的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，5 B ．⎝⎛⎭⎫12，5 C.⎝⎛⎭⎫12，－5 D ．⎝⎛⎭⎫－12，－5 【答案】D【解析】AC →＝AB →＋AD →＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)．∴OC →＝12AC →＝⎝⎛⎭⎫12，5.∴CO →＝⎝⎛⎭⎫－12，－5. 8、在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4，|OC →|＝2.若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝( ) A ．2 2B ． 2C ．2D ．42【答案】A【解析】因为|OC →|＝2，∠AOC ＝π4，所以点C 的坐标为(2，2)．又OC →＝λOA ＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝22.9、已知向量()sin ,2x =a ，()cos ,1x =b ，满足∥a b ，则．【答案】【解析】因为向量()sin ,2x =a ，()cos ,1x =b ，∥a b ，sin 2cos 0x x ∴-=，tan 2x =，10、若A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)三点共线，则实数a 的值为________． 【答案】－54【解析】AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，由题意知AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－54.11、已知向量()12，=-m ，(),4x =n ，若⊥m n ，则2+=m n __________． 【答案】10【解析】由题意可得：240x ⋅=-+⨯=m n ，8x ∴=， 即()1,2=-m ，()8,4=n ，则()()()22,48,46,8+=-+=m n ， 据此可知：210+=m n ．12、在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点．若 P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝________. 【答案】(－6,21)【解析】∵AQ →＝PQ →－P A →＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，∴AC →＝2AQ →＝2(－3,2)＝(－6,4)．又PC →＝P A →＋AC →＝(4,3)＋(－6,4)＝(－2,7)，∴BC →＝3PC →＝3(－2,7)＝(－6,21)．11．(2018青海西宁质检)已知向量AC →，AD →和AB →在正方形网格中的位置如图所示．若AC →＝λAB →＋μAD →，则λμ＝________. 【答案】－3【解析】建立如题图所示的平面直角坐标系xAy ，则AC →＝(2，－2)，AB →＝(1,2)，AD →＝(1,0)．由题意可知(2，－2)＝λ(1,2)＋μ(1,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝3，所以λμ＝－3.13、P ＝{a|a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b|b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q ＝________. 【答案】{(－13，－23)}【解析】集合P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，集合Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧－1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)．14、已知点()4,1A ，()1,5B ，则与向量AB 方向相同的单位向量为________． 【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】()()()154134AB =-=-，，，，5AB =，∴与向量AB 方向相同的单位向量为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭． 16．已知()2,3A ，()4,3B -，点P 在线段AB 的延长线上，3AP PB =，则点P 的坐标是____________． 【答案】()8,15-【解析】因为P 在AB 的延长线上，故AP ，PB 共线反向，故3AP PB =-，设(),P x y ， ，解得815x y ==-⎧⎨⎩，P 的坐标为()8,15-，故填()8,15-．15、给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB →上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．【解】以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A 的坐标为(1,0)，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，32，设∠AOC ＝α⎝⎛⎭⎫α∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，则点C 的坐标为(cos α，sin α)， 由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝2 33sin α， 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6， 又α∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，则α＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6. 所以当α＋π6＝π2，即α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.16、已知向量()1,3=a ，()2,2=-b ， （1）设2=+c a b ，求()⋅b a c ； （2）求向量a 在b 方向上的投影．【答案】（1）()16,16--；（2） 【解析】（1）()()()2,62,24,4=+-=c ，()()26416,16⋅=-=-⇒⋅=--b a b a c ．（2）向量a 在b 方向的投影17，()sin ,cos x x =n ， （1）若⊥m n ，求tan x 的值；（2）若向量m ，n【答案】（1）tan 1x =；（2）12．【解析】（1）由⊥m n 可得0⋅=m n ，即sin cos 022x x -=， 化简可得sin cos x x =，则tan 1x =．（2而由m ，n )1sin cos 2x x -=，18、如图，在OAB △中，点P 为直线AB 上的一个动点，且满足AP AB λ=． （1）若13λ=，用向量OA ，OB 表示OP ； （2）若4OA =，3OB =，且60AOB ∠=︒，请问λ取何值时使得OP AB ⊥？）213OP OA OB =+；213）由题意得1AP AB =，∴()1OP OA OB OA -=-，∴21OP OA OB =+．（2）由题意知43cos606OA OB ⋅=⨯⨯︒=．∵AP AB λ=， ∴()OP OA OB OA λ-=-，∴()1OP OA OB λλ=-+．∵OP AB ⊥，∴()()10OP AB OA OB OB OA λλ⎡⎤⋅=-+⋅-=⎣⎦，∴()()()()2212161216190OA OB OA OB λλλλλλ+-⋅--=---+=，。
2020年【通用版】高考数学(三轮复习)冲刺专题《平面向量》(含答案)
专题 平面向量【训练目标】1、 理解向量的概念及相关的特殊向量的概念；2、 掌握向量的线性运算（加法，减法，数乘）；3、 掌握向量的共线和垂直的充要条件（几何表示，坐标表示），并能熟练的使用向量的共线定理。
4、 掌握向量的坐标运算，特别是坐标运算的解题思想；5、 掌握向量的数量积公式及数量积的运算律。
【温馨小提示】一般情况下，高考会考一道向量题目，当然还有一些可能会在其它题目中以条件的形式给出，纯向量题目比较简单，本专题涉及题型面广，能帮助大家拿下这5分。
【名校试题荟萃】1、（吉林省汪清县第六中学2019届高三上学期第二次月考数学（理）试题）已知向量a ，b 满足1=a ，7+=a b ，()3,1=-b ，则a ，b 的夹角等于（ ）A ．3πB ．6π C ．23π D ．56π 【答案】A2、（山东省新泰二中2019届高三上学期12月月考数学（理）试卷）在ABC ∆中，2CM MB =u u u u r u u u r ，0AN CN +=u u u r u u u r u r，则（ ） A. B. C. D.【答案】A【解析】由2CM MB =u u u u r u u u r 可知点M 是线段BC 上靠近点B 的三等分点，0AN CN +=u u u r u u u r u r 可知点N 是线段AC 的中点，结合图像可知：。
3、（山东省新泰二中2019届高三上学期12月月考数学（文）试卷）已知点O 是边长为1的等边ABC △的中心，则等于（ ）A ．19 B ．19-C ．36-D ．16-【答案】D 【解析】由于点O 是边长为1的正三角形的中心，则两两的夹角都是120o ，且模长均为33，则；4、（湖南省浏阳一中、株洲二中等湘东六校2019届高三12月联考数学（理）试题）已知向量)2,1(=AB ，，则ABC ∆的面积为（ ）A.53B.4C.23D.2 【答案】D5、（黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三12月月考数学（理）试题）设向量a r ，b r满足||2a =r ，，则|2|a b +=r r（ ）A ． 6B ．32C ． 26D ．42 【答案】D 【解析】解法一：将3a b +=r r两边平方，根据数量积的运算性质求出a b ⋅r r ，再代入计算即可；解法二：可以,a b r r为边作出平行四边形，由于，则2a b +r r 是以,b a b +r r r为边的平行四边形的对角线，再根据勾股定理可求得结果。
2020届全国各地高考试题分类汇编06平面向量
06平面向量1.（2020•北京卷）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________．【答案】 (1).(2). 1-【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，求得点P 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得PD 以及PB PD ⋅的值.【详解】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+=， 则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =-，因此，(PD =-=()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.1-.【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点P 的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.2.（2020•全国1卷）设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________.【解析】整理已知可得：()2a b a b +=+，再利用,a b 为单位向量即可求得21a b ⋅=-，对a b -变形可得：222a b a a b b -=-⋅+，问题得解.【详解】因为,a b 为单位向量，所以1a b == 所以()2222221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=-,所以()22223a b a ba ab b -=-=-⋅+=,【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.3.（2020•全国2卷）已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k ＝__________. 【答案】2【解析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k 的值.【详解】由题意可得：211cos 45a b →→⋅=⨯⨯=，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a→→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：2k =.故答案为：2．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.（2020•全国3卷）已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b （ ）A. 3135- B. 1935- C.1735D.1935【答案】D【解析】计算出()a ab ⋅+、a b +的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b <+>的值. 【详解】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()2222257a b a ba ab b +=+=+⋅+=-=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+.故选：D. 【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.5.（2020•江苏卷）在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP ＝9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．【答案】185【解析】根据题设条件可设()0PA PD λλ=>，结合32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭与,,B D C 三点共线，可求得λ，再根据勾股定理求出BC ，然后根据余弦定理即可求解.【详解】∵,,A D P 三点共线，∴可设()0PA PD λλ=>，∵32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+， 若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线，∴321m m λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=，即32λ=， ∵9AP =，∴3AD =，∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒，∴5BC =， 设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-.∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-， ∵()cos cos 0θπθ+-=，∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =，∴CD 的长度为185. 当0m =时， 32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0， 当32m =时，32PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.故答案为：0或185.【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出()0PA PD λλ=>．6.（2020•新全国1山东）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范用是（ ） A. ()2,6- B. (6,2)- C. (2,4)- D. (4,6)-【答案】A【解析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积， 所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-， 故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.7.（2020•天津卷）如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．【答案】 (1).16 (2). 132【解析】可得120BAD ∠=，利用平面向量数量积的定义求得λ的值，然后以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设点(),0M x ，则点()1,0N x +（其中05x ≤≤），得出DM DN ⋅关于x 的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得DM DN ⋅的最小值.【详解】AD BC λ=，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠=，cos120AB AD BC AB BC AB λλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭，解得16λ=，以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，()66,0BC C =∴，,∵3,60AB ABC =∠=︒，∴A 的坐标为32A ⎛ ⎝⎭,∵又∵16AD BC =,则5,22D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤），5,22DM x ⎛=-- ⎝⎭，3,22DN x ⎛=-- ⎝⎭，()222532113422222DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，当2x =时，DM DN ⋅取得最小值132.故答案为：16；132.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.8.（2020•浙江卷）设1e ，2e 为单位向量，满足21|22|-≤e e ，12a e e =+，123b e e =+，设a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值为_______． 【答案】2829【解析】利用复数模的平方等于复数的平方化简条件得1234e e ⋅≥，再根据向量夹角公式求2cos θ函数关系式，根据函数单调性求最值.【详解】12|2|2e e -≤，124412e e ∴-⋅+≤，1234e e ∴⋅≥，222121222121212(44)4(1)()cos (22)(106)53e e e e a b e e e e e e a bθ+⋅+⋅⋅∴===+⋅+⋅+⋅⋅12424228(1)(1)3332953534e e =-≥-=+⋅+⨯.故答案为：2829. 【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.。