，k ∈Z . 所以函数的单调递增区间为⎝⎛⎭
⎫－3π8＋k π2，π8＋k π2，k ∈Z ，无单调递减区间． (3)由(1)知，f (x )＝tan ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π4. 由－1≤tan ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π4≤3， 得－π4＋k π≤2x ＋π4≤π3
＋k π，k ∈Z ， 即－π4＋k π2≤x ≤π24＋k π2
，k ∈Z . 所以不等式－1≤f (x )≤3的解集为
⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪
－π4＋k π2≤x ≤π24＋k π2，k ∈Z .
13．已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π4，π4内是增函数，则(
) A ．0<ω≤2 B ．－2≤ω<0
C ．ω≥2
D ．ω≤－2 考点 正切函数图象与性质的综合应用
题点 正切函数图象与性质的综合应用
答案 A
解析 根据函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π4，π4内是增函数，
可得π4ω≤π2，求得ω≤2，再结合ω>0.
得ω的取值范围是0<ω≤2.
14．已知f (x )＝tan 2x －2tan x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π3，求f (x )的值域．
考点 正切函数的定义域、值域
题点 正切函数的值域
解 令μ＝tan x ，因为|x |≤π3，
所以μ∈[－3，3]，
所以函数化为y ＝μ2－2μ，μ∈[－3，3]， 对称轴为μ＝1∈[－3，3]，
所以当μ＝1时，y min ＝12－2×1＝－1， 当μ＝－3时，y max ＝3＋23，
所以f(x)的值域为[－1,3＋23]．
正切函数的图像与性质
1.4.3 正切函数的性质与图象 整体设计 教学分析 本节课的背景是:这之前我们已经用了三节课的时间学习了正弦函数和余弦函数的性质.函数的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式.一般来说,对函数性质的研究总是先作图象,通过观察图象获得对函数性质的直观认识,然后再从代数的角度对性质作出严格表述.但对正切函数,教科书换了一个新的角度,采取了先根据已有的知识(如正切函数的定义、诱导公式、正切线等)研究性质,然后再根据性质研究正切函数的图象.这样处理,主要是为了给学生提供研究数学问题更多的视角,在性质的指导下可以更加有效地作图、研究图象,加强了理性思考的成分,并使数形结合的思想体现得更加全面.教师要在学生探究活动过程中引导学生体会这种解决问题的方法. 通过多媒体教学,让学生通过对图象的动态观察,对知识点的理解更加直观、形象.以提高学生的学习兴趣,提高课题教学质量.从学生的实际情况为教学出发点,通过各种数学思想的渗透,合理运用各种教学课件,逐步培养学生养成学会通过对图象的观察来整理相应的知识点的能力,学会运用数学思想解决实际问题的能力.这样既加强了类比这一重要数学思想的培养,也有利于学生综合运用能力的提高,有利于学生把新旧知识前后联系,融会贯通,提高教学效果. 由于学生已经有了研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,这种经验完全可以迁移到对正切函数性质的研究中,因此,我们可以通过“探究”提出,引导学生根据前面的经验研究正切函数的性质,让学生深刻领悟这种迁移与类比的学习方法. 三维目标 1.通过对正切函数的性质的研究,注重培养学生类比思想的养成,以及培养学生综合运用新旧知识的能力.学会通过对图象的观察来整理相应的知识点,学会运用数学思想解决实际问题的能力. 2.在学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质的基础上,运用类比的方法,学习正切函数的图象与性质,从而培养学生的类比思维能力. 3.通过正切函数图象的教学,培养学生欣赏(中心)对称美的能力,激发学生热爱科学、努力学好数学的信心. 重点难点 教学重点:正切函数的性质与图象的简单应用. 教学难点:正切函数性质的深刻理解及其简单应用. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质,你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课. 思路2.先由图象开始,让学生先画正切线,然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象.这也是一种不错的选择,这是传统的导入法. 推进新课 新知探究 提出问题 ①我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质.正切函数是我们高中要学
三角函数 正切、余切图象及其性质
正切、余切函数图象和性质反三角函数[知识要点] 1．正切函数、余切函数的图象与性质 2．反三角函数的图象与性质 3．已知三角函数值求角 [目的要求] 1．类比正、余弦函数的研究，讨论正切函数与余切函数的图象和性质，关注其不同点. 2．从反函数概念入手，引入反三角函数定义，并定性讨论其图象和性质. 3．能熟练运用正、余弦函数性质解决问题. 4．能用反三角函数值表示不同范围内的角. [重点难点] 1．正切函数图象与性质2．已知三角函数值求角 [内容回顾] 一、正切函数与余切函数图象 由前面我们正、余弦函数图象和性质的过程知，在中学阶段，对一个函数的认识，多是“由图识性”.因此，可以先作出正、余切函数的图象. 作三角函数图象的一般方法，有描点法和平移三角函数线法. 与正、余弦函数的五点法作图相类似，我们可以选择正切函数在一个周期内的图象上三点及两条重要的辅导线——渐近线，来作正切函数在区间上的简图，不妨称之为“三点两线法”. 若想迅速作出余切函数y=cotx的图象，如何选择“三点”及“两线”呢？请大家看余切函数的图象，不难得到答案. 二、正、余切函数的性质 由图象可得: y=tanx y=cotx 定义域值域R R 单调性在上单增(k∈Z) 在上单减(k∈Z) 周期性T=π T=π 对称性10 对称中心，奇函数(k∈Z) 20 对称轴；无10 对称中心，奇函数(k∈Z) 20 对称轴；无 注: 1、由定义域知，y=tanx与y=cotx图象都存在无数多个间断点（不连续点）. 2、每个单调区间一定是连续的.
3、由单调性可解决比较大小问题，但要务必使两个自变量在同一单调区间内. 三、反三角函数的概念和图象 四种三角函数都是由x到y的多值对应，要使其有反函数，必须缩小自变量x的范围，使之成为由x到y的对应.从方便的角度而言，这个x的范围应该（1）离原点较近；（2）包含所有的锐角；（3）能取到所有的函数值；（4）最好是连续区间.从这个原则出发，我们给出如下定义: 1．y=sinx, x∈的反函数记作y=arcsinx, x∈[-1,1]，称为反正弦函数. y=cosx, x∈[0, π]的反函数记作y=arccosx, x∈[-1,1]，称为反余弦函数. y=tanx，x∈的反函数记作y=arctanx, x∈R，称为反正切函数. y=cotx，x∈(0, π)的反函数记作y=arccotx, x∈R，称为反余切函数. 2．反三角函数的图象 由互为反函数的两个函数图象间的关系，可作出其图象. 注:（1）y=arcsinx, x∈[-1,1]图象的两个端点是 （2）y=arccosx, x∈[-1,1]图象的两个端点是（1，0）和（-1，π）. （3）y=arctanx, x∈R图象的两条渐近线是和. （4）y=arccotx, x∈R图象的两条渐近线是y=0和y=π. 四、反三角函数的性质由图象，有 y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx 定义域[-1,1] [-1,1] R R 值域[0, π] (0, π) 单调性在[-1，1]上单增在[-1，1]上单减在R上单增在R上单减对称性10对称中心（0，0）奇函数 20对称轴；无10对称中心非奇非偶 20对称轴；无10对称中心 （0，0）奇函数 20对称轴；无10对称中心非奇非偶 20对称轴；无周期性无无无无 另外: 1．三角的反三角运算 arcsin(sinx)=x(x∈)arccos(cosx)=x (x∈[0, π]) arctan(tanx)=x(x∈)arccot(cotx)=x(x∈(0, π)) 2．反三角的三角运算 sin(arcsinx)=x (x∈[-1,1])cos(arccosx)=x (x∈[-1,1])
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质
张喜林制 1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质 教材知识检索 考点知识清单 1．把正弦函数x y s i n =的图象 个单位就得到余弦函数的图象．用“五点法”作 ]2,0[,cos π∈=x x y 的图象，五点坐标为 2．余弦函数的定义城是 ，值域是 ，周期是 ，奇偶性是 函数，单调增区间 是 ，单调减区间是 3．一般地，函数,)(cos(R x x A y ∈+=?ω其中?ω、、A 为常数且)0,0>=/ωA 的周期为 4．正切函数x y tan =的定义域是 ，值域是 ，周期是 ，单调区间是 ，单调性 是 函数，奇偶性是 函数． )tan(5?ω+=?x A y 的最小正周期为 要点核心解读 1．余弦函数的图象),)(2sin(cos R x x x y ∈+==π 由此可知，余弦函数x y cos =图象与正弦函数=y )2(π+ x n 的图象形状相同． 于是把正弦曲线向左平移 2 π个单位就可得到余弦函数的图象．余弦函数x y cos =的图象叫做余弦曲线． 由图1-3 -2 -1可以看出，余弦曲线上有五个点起关键作用，这五个点是： ?-)1,2()02 3(1)0,2).(1,0(ππππ、、）、、（
我们可利用这5个点画出余弦函数的简图． 2．余弦函数的性质 (1)余弦函数的定义域与值域． 余弦函数的定义域为R ，值域从图象上可以看出是[ -1，1]． (2)余弦函数的周期性． ①余弦函数的周期可参照诱导公式：x k x cos )2cos(=+π),(z k ∈因而周期是?=/∈)0(2k Z k k 且π 最小正周期是2π . ②一般地，函数?ω?ω、、A x A y <+=)cos(为常数且,0=/A )0>ω的最小正周期为?= ωπ2T (3)余弦函数的奇偶性， ①由图象可以看出余弦曲线关于y 轴对称，因而是偶函数． ②也可由诱导公式x x cos )cos(=-知，余弦函数为偶函数， (4)余弦函数的单调性． 由余弦曲线可以知道：余弦函数x y cos =在每一个闭区间)](2,)12[(z k k k ∈-ππ上，都从-1增大到1，是增函数，在每一个闭区间)]()12(,2[Z k k k ∈+ππ上，都从1减小到-1，是减函数，也就是说，余弦函数R x x y ∈=,cos 的单调区间是]2,)12[(ππk k -及).]()12(,2[Z k k k ∈+ππ 3．正切函数的性质 正切函数x y tan =有以下主要性质： (1)定义域：},2|{z k k x x ∈+ =/ππ (2)值域： 从图1-3 -2 -2的正切线可以看出，在区间)2,2(ππ-内，当x 小于,2π并且无限接近2 π时，x tan 可无限地增大，且它的值可比指定的任何正数都大．我们把这种情况记作.tan +∞→x 读作x tan *趋向于正无穷大”；当戈大于,2π-并且无限接近2 π-时，x tan 无限减小，且它的绝对值可比指定的任何正数都大，我们把这种情况，记作.tan -∞→x 读作x tan 趋向于负无穷大”．这就是说，tanx 可取任意实数值，没有最大值，也没有最小值．因此，函数x y tan =的值域是实数集R ． (3)周期性：周期是π．
正切函数图象
正切函数 1.正切函数的图像 (1)根据tan(x+π)=)cos()sin(ππ++x x =x x cos sin --=tanx (其中x ≠k π+2π ,k ∈Z)推出正切函数的周期为π. (2)根据tanx=x x cos sin ,要使tanx 有意义，必须cosx ≠0, 从而正切函数的定义域为{x ｜x ≠k π+2π ,k ∈Z} (3)根据正切函数的定义域和周期，我们取x ∈(-2π,2π ).利用单位圆中的正切线，通 过平移，作出y=tanx,x ∈(-2π,2π)的图像，而后向左、向右扩展，得y=tanx,x ≠k π+2π (k ∈Z)的图像，我们称之为正切曲线，如图所示. y=tanx 2.余切函数的图像如下： y=cotx 3.正切函数、余切函数的性质： 正切函数y=tanx 余切函数y=cotx
注：正切函数在每一个开区间(k π-2,k π+2)(k ∈Z)内是增函数，但不能说成在整个 定义域内是增函数，类似地，余切函数也是如此. 【重点难点解析】 本节重点是正切函数图像的画法及性质的运用.正切函数的图像一般用单位圆中的正切 线作.因y=tanx 定义域是{x ｜x ∈R,x ≠k π+2π,k ∈Z}，所以它的图像被平行线x=k π+2π (k ∈Z)隔开而在相邻两平行线之间的图像是连续变化的. 1.正切函数应注意以下几点： (1)正切函数y=tanx 的定义域是{x ｜x ≠k π+2π ,k ∈Z},而不是R ，这点要特别注意：(2) 正切函数的图像是间断的，不是连续的，但在区间(k π-2π,k π+2π )(k ∈Z)上是连续的；(3) 在每一个区间(k π-2π,k π+2π )(k ∈Z)上都是增函数，但不能说正切函数是增函数. 2.解正切不等式一般有以下两种方法： 图像法和三角函数线法.图像法即先画出正切函数的图像，找到符合条件的边界角，再写出所有符合条件的角的集合.三角函数线法则先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中划出符合条件的区域(这里特别要注意函数的定义域)，再用不等式正确表示区域. 例1 作出函数y=｜tanx ｜的图像，并根据图像求其单调区间. 分析：要作出函数y=｜tanx ｜的图像，可先作出y=tanx 的图像，然后将它在x 轴上方的图像保留，而将其在x 轴下方的图像向上翻(即作出关于x 轴对称图像)，就可得到y=｜tanx ｜的图像. 解：由于y=｜tanx ｜= tanx,x ∈Z ［k π,k π+2π ］ -tanx,x ∈(k π-2π ,k π)(k ∈Z) 所以其图像如图所示，单调增区间为［k π,k π+2π)(k ∈Z);单调减区间为(k π-2π ,k π］(k ∈Z).
正切函数和余切函数的图像和性质
正切函数和余切函数的图像和性质知识点： 1.正切函数和余切函数的概念； 2.正切函数与余切函数的图像和性质； 3.正切函数与余切函数性质的应用； 教学过程： 1.正切函数和余切函数的概念： （1）正切函数---形如tan =的函数称为正切函数； y x 余切函数--形如cot =的函数称为余切函数； y x 2.函数的图像和性质： （1）正切函数的图像： 见正切函数图像课件。 （2）正切函数图像： -
（3）与切函数的图像： 归纳填表格：
例1.求下列函数的周期： （1）tan(3)3y x π =-+； （2）221tgx y tg x = +； （3）cot tan y x x =-； （4）2 2tan 21tan 2 x y x = -； （5）sin 1tan tan 2x y x x ⎛ ⎫=+ ⎪⎝ ⎭ 例2.求下列函数的单调区间： （1）tan(2)24 y x π =++；
（2）tan()123x y π =-+-； （3 ）12log cot y x ⎛= ⎝ ⎭ 例3.求下列函数的定义域： （1）tan 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ； （2 ）y = （3 ）y = 例4.（1 ）求函数21)tan tan ]y x x =-的定义域； （2 ）解不等式：23tan (2)(3tan(2)044x x ππ +-+≤ 例5.已知2tan tan y x a x =-，当1 [0,],[0,]34x a π∈∈ 时，函数max y =a 的值；
例6.已知函数tan ,(0,)2y x x π=∈，若1212,(0,),2 x x x x π ∈≠。 求证：1212()()()22f x f x x x f ++>。
第8讲 正切函数图像及其性质(讲义)解析版
第8讲 正切函数图像及其性质 知识梳理 1、正切函数的图像： 可选择的区间作出它的图像，通过单位圆和正切线，类比正、余弦函数图像的画法作出正切函数的图像 根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数tan ,y x x R =∈， 且()2 x k k Z π π≠+ ∈的图像，称“正切曲线”. 由正弦函数图像可知： （1）定义域：{|()}2 x x k k Z π π≠+∈， （2）值域：R 观察：当x 从小于，时，tan x →+∞ 当x 从大于 ，时，tan x →-∞. （3）周期性：T π= （4）奇偶性：tan()tan x x -=-，所以是奇函数 ⎪⎭⎫ ⎝ ⎛- 2,2ππ()z k k ∈+ 2 π π2 π +π−→−k x ()z k k ∈+ππ 2 ππ k x +−→ −2 x y y x
（5）单调性：在开区间(,), 22 k k k Z ππ π π -++∈内，函数单调递增. （6）中心对称点：,0, 2 k k Z π ⎛⎫ ∈ ⎪ ⎝⎭ 2、余切函数的图象： ⎪ ⎭ ⎫ ⎝ ⎛ - - = ⎪ ⎭ ⎫ ⎝ ⎛ - = = 2 tan 2 tan cot π π x x x y 即将x y tan =的图象，向左平移 2 π 个单位，再以x轴为对称轴上下翻折，即得x y cot =的图象 由余弦函数图像可知： （1）定义域：{|()} x x k k Z π ≠∈， （2）值域：R （3）周期性：Tπ = （4）奇偶性：tan()tan x x -=-，所以是奇函数 （5）单调性：在开区间(,), k k k Z πππ +∈内，函数单调递增.
专题38 正切函数的图像和性质(解析版)
专题38 正切函数的图像和性质考点1 正切函数的图像 1.如下图所示，函数y＝cos x|tan x|(0≤x＜3π 2且x≠π 2 )的图象是() A．B．C．D．【答案】C 【解析】∵y＝cos x|tan x|＝ {sinx,0≤x＜π 2 , −sinx,π 2 ＜x≤π sinx,π＜x＜3π 2.， ∴函数y＝cos x|tan x|(0≤x＜3π 2且x≠π 2 )的图象是C. 2.函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间(π 2,3π 2 )内的图象是() A．B．C．D． 【答案】D 【解析】当π 2 ＜x＜π时，tan x＜sin x，y＝2tan x＜0； 当x＝π时，y＝0；当π＜x＜3π 2 时，tan x＞sin x，y＝2sin x.故选D. 3.函数f(x)＝tan x＋1 tanx ，x∈{x|−π 2 A．B．C．D．【答案】A 【解析】因为y＝tan x是奇函数，所以f(x)＝tan x＋1 tanx ，x∈{x|−π 2 正切函数的图像与性质
课题6.2:(1) 正切函数的图像与性质 教学目标 1.理解利用正切线作出的正切函数图像. 2.通过观察正切函数图像了解和掌握正切函数的性质. 3.会用正切函数图像和性质解答有关的问题. 教学重点及难点 利用正切线作正切函数的图像；正切函数单调性的证明以及周期性的确定. 教学过程 一、 复习引入 1．复习 我们在前几节中学习了正弦函数线、余弦函数线以及正切函数线，我们通过正弦函数线，画出了正弦函数的图像，并研究了函数的性质.今天，我们同样按照这样的方法通过正切线来画出正切函数的图像，并研究和讨论它的性质. 2．引入 当α在第一像限时， 正弦线sin α=MP>0 余弦线cos α=OM>0 正切线tan α=AT>0 那么，当α 的情况呢？请同学们画 出其它三个像限的正切线我们将区间,22ππ?? - ??? 进行八等分，9个点分别为 32 84π ππ- - -，，,0,88 ππ -3,.482πππ ，分别画出其中 384ππ--，，,0,,88ππ-4π正切线，函数的大致图像.tan y = 由正切三角比的诱导公式可知：t a n (παα+= 那么y=tan()tan παα+=，可知π为y=tanx 的一个周期. 由此，我们可以画出y=tanx 在R 上的大致图像如右：
二、学习新课 1. 探究性质 观察正切函数的图像，得到正切函数的性质： 1.定义域：|,2x x k k z π π??≠+∈??? ? ， 2.值域：R 观察：当x 从小于()z k k ∈+2 π π，2 π+π?→?k x 时，∞?→?x tan 当x 从大于()2 k k z π π+∈，2 x k π π?? →+时，-∞?→? x tan . 3.周期性：π=T 4.奇偶性：()x x tan tan -=-奇函数. 5.单调性：在开区间,2 2k k k z π πππ? ? - + ∈ ?? ? 内，函数单调递增. 从图像上看出函数y=tanx 的单调区间是,22k k k z ππππ? ?-+∈ ?? ?，但是我们怎样从理 论上去加以证明呢？ 考察0, 2π?? ???? 这个区间内的函数y=tanx 的单调性. 在0, 2π?? ???? 这个区间内任意取12x x 、 ，且12x x <，y 1-y 2=tanx 1-tanx 2 =1212sin sin cos cos x x x x -=1212121212 sin cos cos sin sin()cos cos cos cos x x x x x x x x x x --=. 因为1202x x π≤<<，所以120.2 x x π -<-<则cosx 1、cosx 2>0 sin(12x x -)<0,从而tanx 1-tanx 2<0，y 11.43正切函数的性质与图象
1．4.3正切函数的性质与图象 学习目标 1.会求正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期. 2.掌握正切函数y＝tan x的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性. 3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法．
知识点一、正切函数的性质 思考1：正切函数的定义域是什么？ 思考2：诱导公式tan(π＋x )＝tan x ，x ∈R 且x ≠π 2＋k π，k ∈Z 说明了正切函数的什么性质？ 思考3：诱导公式tan(－x )＝－tan x ，x ∈R 且x ≠π 2＋k π，k ∈Z 说明了正切函数的什么性质？ 思考4：从正切线上看，在????0，π 2上正切函数值是增大的吗？ 梳理:函数y ＝tan x ??? ?x ∈R 且x ≠k π＋π 2，k ∈Z 的图象与性质见下表：
思考1：利用正切线作正切函数图象的步骤是什么？ (1)作平面直角坐标系，并在平面直角坐标系y轴的左侧作单位圆． (2)把单位圆的右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线． (3)描点(横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线的长度)． (4)连线，得到如图①所示的图象．
(5)根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数y ＝tan x ，x ∈R 且x ≠π 2＋k π(k ∈Z )的图象，把它称为正切曲线(如图②所示)．可以看出，正切曲线是被相互 平行的直线x ＝π 2 ＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的． 思考2：我们能用“五点法”简便地画出正弦函数、余弦函数的简图，你能类似地画出正切函数y ＝tan x ，x ∈????－π2，π 2的简图吗？怎样画？ 梳理：(1)正切函数的图象
正切函数图像及性质
第 14讲 正切函数的性质与图像 第一部分 知识梳理 1. 正切函数的图像 2. 正切函数 的性质 3. 函数tan()y A x ωϕ=+的周期为T πω = 第二部分 精讲点拨 考点1 正切函数的图像的应用 （1 ） 直线y a =（a 为常数）与正切曲线tan y x =相交的相邻两点间的距离是（ ） .A π .B 2 π .C 2π D 与a 值有关 y
[].1EX 解不等式tan 1x ≥- 考点2 正切函数性质应用 （2）不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小 ①0tan167与0tan173； ② 11tan 4π⎛⎫- ⎪⎝⎭与13tan 5π⎛⎫- ⎪⎝⎭ （3）求函数tan 2y x =的定义域、值域和周期，并且求出它在区间[],ππ-内的图像 考点3 利用整理的思想求函数的单调区间和定义域 【例2】 求函数tan()3y x π=+的定义域，并讨论它的单调性 [].1EX 求函数3tan(2)4y x π =-的单调区间
考点4 正切函数综合应用 【例3】试判断函数tan 1()lg tan 1x f x x +=-的奇偶性 【例4】已知34x ππ- ≤≤,2()tan 2tan 2f x x x =++,求()f x 的最大值与最小值，并且求相 应x 的值 第三部分 检测达标 一、选择题 1．函数)4tan(π -=x y 的定义域是 （ ） A.{x R x x 且,|∈}Z k k ∈+≠,42π π B. {x R x x 且,|∈}Z k k ∈+≠,4 3ππ C. {x R x x 且,|∈}Z k k ∈≠,π D. {x R x x 且,|∈}Z k k ∈±≠,42ππ
正切函数图象与性质
1.4.3 正切函数的性质与图像 编者: 审核：学生： 学习目标 会用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质，用数形结合的思想理解和处理问题。 学习重难点：正切函数的图象及其主要性质。 自学导引 正切函数的图象和性质 (1)图象：如下图所示． (2)性质：如下表所示 函数 性质 y＝tan x 定义域 值域 周期 奇偶性________函数 单调性增区间______________(k∈Z) 减区间无 仔细观察正切函数的图象，完成下列问题． (1)正切函数的图象有________条渐近线，它们的方程为x＝__________(k∈Z)．相邻两条渐 近线之间都有一支正切曲线，且单调递增． (2)正切函数的图象是中心对称图形，对称中心有________个，它们的坐标是__________ (k∈Z)；正切函数的图象不是轴对称图形，不存在对称轴． (3)函数y＝A tan(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝________. 典例剖析 与正切函数有关的定义域问题 例1求函数y＝tan x＋1＋lg(1－tan x)的定义域． 规律方法求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线． 变式训练1求下列函数的定义域．
(1)y ＝1 1＋tan x ；(2)y ＝lg(3－tan x )． 正切函数的单调性及周期性 例2 求函数y ＝tan 1()24 x π - +的单调区间及周期． 规律方法 y ＝tan(ωx ＋φ) (ω>0)的单调区间的求法即是把ωx ＋φ看成一个整体，解－ π 2 ＋k π<ωx ＋φ<π 2＋k π，k ∈Z 即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间． 变式训练2 求函数y ＝tan 23x π⎛⎫ - ⎪⎝ ⎭ 的单调区间及周期． 比较正切函数值的大小 例3 利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小． (1)tan 65π⎛⎫- ⎪⎝⎭与tan 137 π ⎛⎫ - ⎪⎝⎭ ；(2)tan 2与tan 9. 规律方法 比较两个函数值的大小， 只需将所涉及的两个角通过诱导公式转化到同一个单调区间内，再借助单调性即可．正切函数的单调递增区间为, 2 2k k π π ππ⎛⎫ -++ ⎪⎝⎭ ，k ∈Z .故在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝ ⎭和3,22ππ ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上都是增函数． 变式训练3 比较下列两组函数值的大小． (1)tan(－1 280°)与tan 1 680°；(2)tan 1，tan 2，tan 3.
5.4.3 正切函数的性质与图象
5．4.3正切函数的性质与图象 考点学习目标核心素养正切函数的定义域与值域掌握正切函数的定义域、值域数学抽象 正切函数的单调性及应用 会利用正切函数图象研究其单调 性， 并利用单调性解决其相应问题 直观想象、 逻辑推理 正切函数的周期性与奇偶性掌握正切函数的周期性及奇偶性 逻辑推理、 数学运算 问题导学 预习教材P209－P212，并思考以下问题： 1．如何借助单位圆画正切函数图象？ 2．正切函数的性质与正弦函数性质有何不同？ 3．正切函数在定义域内是不是单调函数？ 函数y＝tan x的图象与性质 解析式y＝tan x 图象 定义域 ⎩ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ x⎪⎪x≠ π 2＋kπ，k∈Z 值域R 最小正 周期 π 奇偶性奇函数 单调性在开区间 ⎝ ⎛ ⎭ ⎫ － π 2＋kπ， π 2＋kπ(k∈Z)上都是增函数 对称性对称中心 ⎝ ⎛ ⎭ ⎫ kπ 2，0(k∈Z)
■名师点拨 (1)正切函数在每一个开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫ －π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )内是增函数．不能说函数在其定 义域内是单调递增函数，无单调递减区间． (2)画正切函数图象常用三点两线法：“三点”是指(－π4，－1)，(0，0)，(π 4，1)，“两线” 是指x ＝－π2和x ＝π2，大致画出正切函数在(－π2，π 2)上的简图后向左、向右扩展即得正切曲 线． 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数的定义域和值域都是R .( ) (2)正切函数在整个定义域上是增函数．( ) (3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．( ) (4)存在某个区间，使正切函数为减函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× 函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭ ⎫x ＋π 6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫x |x ∈R ，x ≠k π－π 2，k ∈Z B ．{x |x ∈R ，x ≠k π，k ∈Z } C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，x ≠k π＋π 6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫x |x ∈R ，x ≠k π＋π 3，k ∈Z 答案：D 函数y ＝tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π 4的最小正周期为( ) A.π 2 B ．π C ．2π D ．3π 答案：A 函数f (x )＝tan x 在[－π3，π 4]上的最小值为________． 答案：－ 3
5.4.3 正切函数的性质与图象
5．4.3 正切函数的性质与图象 [目标]y ＝tan x 的图象；2.理解并记住正切函数的性质；3.会利用正切函数的图象与性质解决相关问题． [重点] 正切函数的性质． [难点] 正切函数的图象、性质及其应用． 知识点一 正切函数y ＝tan x 的图象 [填一填] 正切函数y ＝tan x 的图象叫做正切曲线． [答一答] 1．正切函数y ＝tan x 的图象与x ＝k π＋π 2 ，k ∈Z 有公共点吗？ 提示：没有．正切曲线是由被互相平行的直线x ＝k π＋π 2(k ∈Z )隔开的无穷多支曲线组成 的． 2．直线y ＝a 与y ＝tan x 的图象相邻两交点之间的距离是多少？ 提示：由图象结合正切函数的周期性可知，两交点之间的距离为π. 3．观察正切函数曲线，写出满足以下条件的x 的集合． (1)满足tan x ＝0的集合为{x |x ＝k π，k ∈Z }． (2)满足tan x <0的集合为{x |k π－π 20的集合为{x |k π知识点二 正切函数y ＝tan x 的性质 [填一填] (1)定义域是{x |x ≠k π＋π 2 ，k ∈Z }． (2)值域是R ，即正切函数既无最大值，也无最小值． (3)周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是π. (4)奇偶性：正切函数是奇函数． (5)单调性：正切函数在开区间(k π－π2，k π＋π 2 )，k ∈Z 内是增函数． (6)对称性：正切函数的图象关于原点对称，正切曲线都是中心对称图形，其对称中心坐标是(k π 2 ，0)(k ∈Z )，正切函数无对称轴． [答一答] 4．y ＝tan x 在定义域上是增函数吗？ 提示：y ＝tan x 在每个开区间(－π2＋k π，π 2＋k π)，k ∈Z 内都是增函数，但在整个定义域上 不具有单调性． 5．正切函数图象与x 轴有无数个交点，交点的坐标为(k π，0)(k ∈Z )，因此有人说正切函数图象的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )，这种说法对吗？ 提示：不对．正切函数的图象不仅仅关于点(k π，0)对称，还关于点(π 2＋k π，0)(k ∈Z )对称， 因此正切函数y ＝tan x 的对称中心为(k π 2 ，0)(k ∈Z )． 类型一 利用正切函数图象求定义域及值域 [例1] 求以下函数的定义域和值域： (1)y ＝tan ⎝⎛⎭ ⎫x ＋π 4；(2)y ＝3－tan x . [解] (1)由x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z 得，x ≠k π＋π 4 ，k ∈Z . 所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的定义域为{x ⎪ ⎪⎭ ⎬⎫ x ≠k π＋π4，k ∈Z ，其值域为(－∞，＋∞)． (2)由3－tan x ≥0得，tan x ≤ 3. 结合y ＝tan x 的图象可知，在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上，满足tan x ≤3的角x 应满足－π2正切函数的性质与图象基础梳理
《正切函数的性质与图象》基础梳理 一、 正切函数的性质 1．正切函数的定义域和值域：定义域为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭ ⎪⎬⎪ ⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值 域为R ． 2．正切函数的周期性：y ＝tan x 的周期是k π(k ∈Z，k ≠0)，最小正周期是π． 3．正切函数的奇偶性与对称性：正切函数是奇函数，其图象关于原点中心对称． 4．正切函数的单调性：正切函数在开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫ －π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z)内 都是增函数． 练习：正切函数y ＝tan x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤ －π4，π4上的值域为[－1，1]． 思考应用 1．能否说正切函数在整个定义域上是增函数？ 解析：不能．正切函数在整个定义域上不具有单调性，因为它的定义域不连续，所以，不能说它在整个定义域上是增函数，正切函数在它的任一个连续区间内是单调递增函数．举反例：x 1＝ π4，x 2＝5π 4 ，x 12．将正切函数y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫ －π2，π2上的图象向左、右扩展，就可以 得到正切函数y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ x ≠k π＋π2，k ∈Z 的图象，我们把它叫做正切曲线．正切曲线是被互相平行的直线x ＝k π＋π 2 (k ∈Z)所隔开的无数多支曲线组成的．这些平行直线x ＝k π＋ π 2 (k ∈Z)叫做正切曲线各支的渐近线． 3．结合正切曲线的特征，类比正弦、余弦函数的“五点法”作图，也可用三点两线作图法作出正切函数y ＝tan x 在一个单调区间⎝ ⎛⎭⎪⎫ －π2 ，π2上的简图．
正切函数的图象和性质
一、一周内容概述 （一）、正切函数的图象 1、“三点两线法”作上的简图. 2、左、右平移π的整数倍即得正切曲线. 注：正切曲线是被互相平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的. （二）、函数y=tanx与y=tan(ωx＋φ)的性质对比：
二、重难点知识归纳及讲解 （一）、利用正切函数的图象及图象变换规律作有关函数的简图. 例1、作下列函数的简图 （1）y=tan(－x) （2）y=|tanx|（3）y=tan|x| 分析： （1）中函数图象与正切函数的图象关于x轴或y轴对称. （2）中需要把正切函数图象在x轴下方部分翻折到x轴上方. （3）中函数是偶函数，把正切函数图象位于y轴右侧部分不变，然后把右侧部分图象沿y轴翻折即得左侧部分的图象. 解答：
（二）、利用正切函数的单调性比较大小及求单调区间. 例2、比较下列各组数的大小. （1）tan2和tan9 （2） 分析： 首先应由诱导公式将角化到同一单调区间内，然后再根据正切函数的单调性比较大小. 解答： （1）∵tan9=tan(9－2π)，且， ∴tan2＜tan(9－2π)，即tan2＜tan9. （2），
例3、求函数单调区间 分析： 先由诱导公式把x的系数化为正的，然后根据正切函数的单调性规律，此函数只含有减区间. 解答： ∴函数的单调减区间是.（三）正切函数性质的综合运用 例4、已知函数f(x)是以3为周期的奇函数，且f(－1)=1，若，求f(tan2α). 分析： 已知tanα，可用正切的倍角公式求出tan2α.再根据f(x)是奇函数和f(x)是周期函数的性质：f(－x)=－f(x)和f(x＋T)=f(x).寻找f(tan2α)与f(－1)之间的关系. 解答：
正切函数的图象与性质
《5.4.3正切函数的图象与性质》 一、学习目标 1.会求函数y=tan(ωx+φ)的周期,掌握正切函数y=tan x的奇偶性,并会判断简单三角函数的奇偶性,体会数形结合思想的应用. 2.掌握正切函数的单调性,并掌握其图象的画法,体会运用数学知识解决问题的能力. 二、思维导图 解析式y＝tan x 图象 定义域{x\ x≠π 2 +kπ,k∈Z} 值域R 最小 正周期 π 奇偶性奇函数 单调性在每一个区间(-π 2+kπ,π 2 +kπ)(k∈Z)上都单调递增 三、导学指导与检测 自习 P209-212并完善表格一、正切函数的周期性 【思考1】1.正切函数y=tan x的定义域是什么? 2.诱导公式tan(π+x)=tan x,x∈R,且x≠π 2 +kπ,k∈Z说明了正切函数的什么性质? 3.诱导公式tan(-x)=-tan x,x∈R,且x≠π 2 +kπ,k∈Z说明了正切函数的什么性质? 4.填空:正切函数是，周期是；正切函数是. 正切曲线的对称中心是(k ∈Z). 二、正切函数的图象 【思考2】1.画函数y=tan x,x∈[0,π 2 )图象的步骤是什么? 2.填空: (1)正切函数的图象，我们把它叫做. (2)正切曲线是被与y轴平行的一系列直线所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的. (3)画正切函数在区间(-π 2 ,π 2 )内的简图,常用“三点两线”法，三点：(-π 4 ,0)，(0,0)，(π 4 ,0),两线：x=-π 2 ，
三、巩固诊断 1.函数y=2tan(-3x+π 4 )的最小正周期是() A.π 6B.π 3 C.π 2 D.π 2.函数y=3tan(π 6-x 4 )的定义域为 3.求函数y=3tan(π 4 -2x)的单调区间. 4.比较大小: tan(-7π 4)tan(-9π 5 ).tan1 2 tan5 2 . 5.求函数y=tan 2x的定义域、值域和周期,并画出它在区间[-π,π]上的图象.
5.4.3 正切函数的性质与图象
5.4.3正切函数的性质与图象 课标要求素养要求 1.了解正切函数图象的画法，理解并掌 握正切函数的性质. 2.能利用正切函数的图象与性质解决有 关问题. 通过利用正切函数的图象，发现数学规 律，重点提升学生的数学抽象、逻辑推 理素养. 新知探究 学习了y＝sin x，y＝cos x的图象与性质后，明确了y＝sin x，y ＝cos x的图象是“波浪”型，连续不断的，且都是周期函数， 都有最大(小)值. 问题类比y＝sin x，y＝cos x的图象与性质. (1)y＝tan x是周期函数吗？有最大(小)值吗？ (2)正切函数的图象是连续的吗？ 提示(1)y＝tan x是周期函数，且T＝π，无最大，最小值. (2)正切函数的图象在定义域上不是连续的. 函数y＝tan x的图象和性质图象与性质是函数的灵魂 解析式y＝tan x
图象 定义域 {x |x ∈R ，且x ≠π 2＋k π，k ∈Z } 值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数 单调性 在区间(k π－π2，k π＋π 2)(k ∈Z )都是增函数 对称中心 (k π 2，0)(k ∈Z ) 拓展深化 [微判断] 1.函数y ＝tan x 在其定义域上是增函数.(×) 提示 y ＝tan x 在区间⎝ ⎛ ⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上是增函数，但在其定义域上不是增 函数. 2.函数y ＝tan 2x 的周期为π.(×) 提示 y ＝tan 2x 的周期为π 2. 3.正切函数y ＝tan x 无单调递减区间.(√) 4.函数y ＝2tan x ，x ∈⎣⎢⎡ ⎭⎪⎫0，π2的值域是[0，＋∞).(√) [微训练] 1.tan x ≥1的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥k π＋π 4（k ∈Z ） B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2k π＋π4（k ∈Z ） C.⎩ ⎨⎧⎭ ⎬⎫x |x ≥π4
