高数—10春—07—正切函数图像及其性质—-学生版

高一数学春季班（学生版）

1、角的正切线：

2、正切函数的图像： 可选择⎪⎭⎫

⎝

⎛-

2,2ππ的区间作出它的图像，通过单位圆和正切线，类比正、余弦函数图像的画法作出正切函数的图像

根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数tan ,y x x R =∈， 且()2

x k k Z π

π≠+

∈的图像，称“正切曲线”.

由正弦函数图像可知： （1）定义域：{|()}2

x x k k Z π

π≠+∈，

（2）值域：R 观察：当x 从小于()z k k ∈+2

π

π，2

π

+π−→−k x 时，tan x →+∞

当x 从大于

()z k k ∈+ππ

2

，ππ

k x +−→

−2

时，tan x →-∞.

x y

2π

-

2

πy

2

π-

π2

3

π2

3-2

πx 正切函数的图像与性质

知识梳理

（3）周期性：T π=

（4）奇偶性：tan()tan x x -=-，所以是奇函数 （5）单调性：在开区间(,

),2

2

k k k Z π

π

ππ-

++∈内，函数单调递增.

（6）中心对称点：,0,2k k Z π⎛⎫

∈

⎪⎝⎭

3、 余切函数的图象：

⎪⎭⎫ ⎝

⎛

--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2tan 2tan cot ππx x x y

即将x y tan =的图象，向左平移

2

π

个单位，再以x 轴为对称轴上下翻折，即得x y cot =的图象

由余弦函数图像可知：

（1）定义域：{|()}x x k k Z π≠∈， （2）值域：R

（3）周期性：T π=

（4）奇偶性：tan()tan x x -=-，所以是奇函数

（5）单调性：在开区间(,),k k k Z πππ+∈内，函数单调递增.

（6）中心对称点：,0,2k k Z π⎛⎫

∈

⎪⎝⎭

一、正切函数的图像

【例1】作函数||y tan x =的图像.

【例2】求函数()tan tan f x x x =+的定义域、周期、单调增区间，并画草图．

【例3】根据正切函数图象，写出满足下列条件的x 的范围. （1）tan 0x > （2）tan 0x = （3）tan 0x < （4）tan 3x >

【例4】根据正切函数图像，写出使下列不等式成立的x 值的集合： （1）0tan 1≥+x （2）3tan -x 0≥

【例5】比较下列两数的大小 （1）2tan 7π与10tan 7π （2）6tan 5π与13

tan()5

π- （3）81cot o 与191cot o

【例6】函数sin y x =与tan y x =的图像在[2,2]ππ-上的交点有 （ ）

.A 3个 .B 5个 .C 7个 .D .D 9个

例题解析

【巩固训练】

1．作出函数|tan |y x =的图象.

2．利用图像，不等式tan 21x <≤的解集为____________.

3．比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-

413tan π与⎪⎭

⎫

⎝⎛-517tan π的大小

4．若()tan()4

f x x π

=+

，试比较(1),(0),(1)f f f -，并按从小到大的顺序排列：_________.

二、正切函数的定义域及值域

1、正切函数的定义域

【例7】求下列函数的定义域

（1）tan 2y x = （2）y =（3）cos tan y x x =⋅ （4）1

1tan y x

=

+

【例8】求函数y =lg(tan x -+3cos 2+x 的定义域．

【巩固训练】

1．函数tan 4y x π⎛⎫

=+ ⎪⎝

⎭

的定义域为__________

2．与函数)4

2tan(π

+

=x y 的图象不相交的一条直线是 （ ）

.A 2

π

=

x .B 2

π

-

=x .C 4

π

=

x .D 8

π

=

x

3．求下列函数的定义域

(1)1tan y x = ；(2)sin tan()log (2cos 1)4

x y x x π

=+⋅- ．

2、正切函数的值域与最值

【例9】函数2tan ,0,124y x x ππ⎛

⎫

⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝

⎭⎣⎦

的值域为

【例10】若⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-∈4,3ππx ，求函数1tan 2cos 12++=x x y 的最值及相应的x 值；.

【例11】已知2

tan tan y x a x =-，当1

[0,],[0,]34

x a π

∈∈时，函数max y =，求实数a 的值.

【例12】求函数25

2tan 4tan 3

y x x =-+的值域.

【巩固训练】

1．求函数sin tan ,[,]44

y x x x ππ

=+∈-的值域

2．求函数2

)1(tan 12

-+=x y 的最大值，并求当函数取得最大值时，自变量x 的集合.

3．已知2

tan 2tan 3y x x =-+，求它的最小值

4．函数2

tan 4tan 1y x x =+-的值域为____________

三、正切函数的性质

1、正余弦函数的周期性 【例13】求下列函数的周期: （1）tan(3)3

y x π

=-+

（2）2

2tan 1tan x

y x

=

+ （3）cot tan y x x =- （4）22tan

21tan

2

x

y x =- （5）sin 1tan tan 2x y x x ⎛⎫=+ ⎪

⎝⎭

【巩固训练】

1．函数

3tan(2)4

y x π

=+的周期为_____________.

2．函数tan()(0)6

y ax a π

=+≠的最小正周期为_____________,

3．函数y ＝x

x

22tan 1tan 1+-的周期为

2、正切函数的奇偶性与对称性

【例14】判断下列函数的奇偶性

()(1)2cos tan f x x x =++ ()22(2)tan cot f x x x x =- ()1sin cos (3)1sin cos x x

f x x x

+-=

++

()()4

4tan 2f x x x x =+ ()()2tan tan 51tan x x

f x x

-=

-

【例15】求函数1

()tan cot f x x x

=-的最小正周期，并判断函数的奇偶性.

【例16】求函数3tan(2)3

y x π

=+的对称中心的坐标．

【例17】若)2tan(θ+=x y 图象的一个对称中心为)0,3

(π

，若2

2

π

θπ

<

<-

，求θ的值.

【巩固训练】

1．判断下列函数的奇偶性（1）x

x x f tan 1

tan )(-=；（2）x x x f tan cos 2)(++=；.

2．判断下列函数的奇偶性 （1）tan(3)3y x π

=-（2）|tan()|4

y x π

=+

3．函数tan 2y x =的图像关于点 成中心对称.

4．下列坐标所表式的点中，不是函数)6

2

tan(π

-

=x

y 的图象的对称中心的是 （ ）

.A )0,3(π .B )0,3

5(π

- .C )0,34(π .D )0,32(π

3、正切函数的单调性

【例18】求下列函数的单调区间： （1）13tan()2

4y x π

=+ （2）3tan()24

x y π

=-+

【例19】求下列函数的单调区间： （1）cot(2)4

y x π

=- （2）|tan |y x =

【例20】已知函数wx y tan =在⎪⎭

⎫

⎝⎛-

2,2ππ内是减函数，则 （ ） .A 10≤

【例21】已知函数3tan(),[0,]33

x y b x a ππ

=-+∈是增函数，值域为[-，求,a b 的值。

【例22】求函数⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+=4tan πx y 的定义域、值域并指出它的周期性、奇偶性、单调性.

【例23】已知函数tan ,(0,)2y x x π

=∈，若1212,(0,),2

x x x x π

∈≠.

求证：1212()()()22

f x f x x x

f ++>.

【例24】设足球场宽65米，球门宽7米，当足球运动员沿边路带球突破，距底线多远处射球门，对球门所张的角最大.（保留两位小数） 【难度】★★

【巩固训练】

1．求函数tan(2)3

y x π

=-的单调区间．

2．求下列函数的单调区间 （1）2tan()36

x y π=+ （2）tan(3);6y x π

=-+

3．下列函数中，周期为π，且在⎪⎭

⎫

⎝⎛2,

0π上是单调递增函数的是 （ ） .A x y tan = .B x y sin = .

C x y tan = .

D x

y cos =

3．下列命题中正确的是 （ ）

.A x y tan =在第一象限单调递增 .B 在函数x y tan =中，x 越大，y 也越大

.C 当0>x 时，总有0tan >x .D x y tan = 的图象关于原点对称

4．下列命题中正确的是 （ ）

.A cos y x =在第二象限是减函数 .B tan y x =在定义域内是增函数

.C |cos(2)|3

y x π=+的周期是2π

.D sin ||y x =是周期为2π的偶函数

5．函数)0(tan )(>=w wx x f 的图像相邻的两支截直线4

π

=y 所的线段长度为

4π，则⎪⎭

⎫

⎝⎛4πf 的值为 （ ）

.

A 4

π

.B 0 .C 1 .D 2

6．直线y a =(a 为常数)与正切曲线tan (y x ωω=为常数，且0)ω>相交的两相邻点间的距离为（ ）

.A π .

B 2πω

.

C πω

.D 与a 值有关

7．已知函数)2tan(ϕ+=x y 的图像过点⎪⎭

⎫

⎝⎛0,12π，则ϕ可以是 （ ） .A 6

π-

.

B 6π .

C 12π- .

D 12

π

8．在下列函数中，同时满足：①在0,

2π⎛⎫

⎪⎝⎭

上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是（ ）

.A tan y x = .B cos y x = .C tan 2

x

y = .D .tan y x =-

9．求函数tan(3)3

y x π

=-的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性。

本节课是在学生已经掌握了正弦函数、余弦函数正切函数的图像及性质的前提下，进一步分析

和探究余切函数图像和性质及正切函数的图像和性质的应用。例题的设计上从最基本的利用单调性比较大小出发，到函数性质的简单应用，再到单调性和周期性的变式训练，由浅入深，层层递进，以积极发挥课堂教学的基础型和研究型功能，教师遵循“以学生为主体”的思想，鼓励学生善于观察和发现；鼓励学生积极思考和探究；鼓励学生大胆猜想，努力营造一个民主和谐、平等交流的课堂氛围，采取启发、对话式教学，调动学生学习的积极性，激发学生学习的热情，使学生较开阔的思维空间，让学生积极参与教学活动，提高学生的数学思维能力。

1、函数2

2tan(),[0,]33

y x x π

π=-

∈的值域为_________.

2、函数tan y x =与cos y x =在[0,2]π上同时为递增的区间是_________.

3、函数tan 2y x =的图像关于点_________成中心对称.

4、函数3tan 3y x =

-的定义域是_________.

5、函数2tan(3)4

y x π

=+

的周期是_________.

6、函数2tan()23

x y π

=+

的单调区间为_________.

7、已知函数()tan(

)2

f x x π

=-的定义域为(,0)3

π

-

，则函数()f x 的值域为_________.

课后练习

反思总结

8、在下列各函数中，同时满足：（1）在(0,)2

π

上单调递增；（2）以π为最小正周期；（3）为偶

函数的是_________（填序号） ①tan y x = ②1

tan y x

=- ③|tan |y x = ④1|tan |y x =

9、函数3tan(2)3

y x π

=+

的对称中心是_________.

10、若tan(2)1,6

x π

-≤则x 的取值范围是___________.

11、函数lg tan

2

x

y =的定义域是 （ ） .A (,),4k k k Z πππ+∈ .B (4,4),2k k k Z π

ππ+∈

.C (2,2),k k k Z πππ+∈ .D x 是第一、三象限的角

12、下列函数既在(0,

)2

π

上递减，又以π为周期的是 （ ）

.A (cot1)tan y x = .B |sin |y x = .C cos 2y x =- .D tan ||y x =-

13、求函数22sec tan sec tan x x

y x x

-=+的值域.

14、求函数2

tan 2tan ,[,]33

y x x x ππ

=-∈-的值域.