第四章 资产组合选择与定价理论
rXY Cov( X , Y )
X Y
如果两种资产的报酬是相互独立的，亦即它们的协方差为零，那 么它们的相关系数为零；如果两种资产的报酬完全相关，其相关 系数等于1; 如果两种资产的报酬完全负相关，其相关系数等于-1。 相关系数的值域为： -1≤rXY≤1， 根据相关系数定义，我们得到协方差的另一个公式： Cov(X，Y)＝rXYσ Xσ Y 将上式代入资产组合的方差公式，有: Var(RP)＝a2Var(X)+b2Var(Y)+2abr XYσ Xσ Y 最小方差资产组合是指方差(或标准差)变动对资产X投资比重变动 为零的资产组合，也即在任何预期报酬水平上方差最小的资产组 合。 由于b=1-a，资产组合方差Var(VP)为: Var(RP)＝a2σ 2X十(1-a)2σ 2Y十2a〔1-a〕rXYσ Xσ Y 设一阶偏导数为零：
E（RP） III II B C D E F G I A
0 σ （RP） 有效集是对投资机会集进行均值方差选择所形成的子集，它是指在给定方差(或标 准差)时没有其他投资机会超过其预期报酬的投资机会集。
四、无风险资产的引入 如果资产组合由两资产构成，G资产的方差为零，记为Rf，那么资产组合 的均值和方差成为 E(RP)＝aE(X)+(1-a)Rf Var(RP)＝a2Var(X) 假设无风险资产为Rf，其方差和与风险资产的协方差为零，资产组合的 方差就简化为风险资产的方差。
E（RP） V IV III II I
C D 0 F
B
A
σ （RP）
因为无差异曲线具有凹性，最小方差机会集的上半部分具有凸性， 所以，最优资产组合是惟一的。 有效集 假设投资者对机会集有齐次预期，亦即每个投资者都会获得 相同信息，以便都能够精确地观察机会集，同时，假设不存在无 风险资产，投资者有不同的无差异曲线，且反映他们不同的风险 态度。
ERp E[1 R1 2 R2 3 R3 ]
根据均值的持征，有：
ERp 1 E(R1 ) 2 E(R2 ) 3 E(R3 )
E R p i E ( Ri )
3
三资产组合的预期报酬可以表示为各资产预期报酬的加权平均数。 三资产组合方差可定义为： Var( R p ) 12Var( R1 ) 22Var( R2 ) 32Var( R3 ) 21 2 Cov( R1 , R2 )
E(RP) A
rXY=-1
C
-1< rXY <1 rXY=1
0
B
σ (RP)
三、两风险资产的有效集：最优资产组合选择 最优资产组合的风险和报酬的边际替代率(MPS)等于其风险和报酬 的边际转换率(MRT)。在最优资产组合点上，风险和报酬的边际替 代率(MPS)和边际转换率(MRT)之间的均等性决定决策者的主观风 险价格。 根据效用理论，风险回避投资者的无差异曲线在均值一方差平面 上是向下凸的，下图反映了投资者的无差异曲线和两风险资产的 投资比例变动所形成的资产组合选择凸集。
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Var(RP ) a 2Var( X ) b 2Var(Y ) 2abE[(X E( X ))(Y E(Y ))] 由于: ~ ~ ~ ~ ~ ~ Cov( X , Y ) E[ X E( X ))(Y E(Y ))]
因此,两资产组合的方差是两种资产报酬的方差乘上投资权数的平 方,再加上两资产报酬的协方差。 协方差是用来计量两个随机变量相互变动程度的一个统计指标， 如果协方差为正，随机变量的变化方向一致；如果协方差为负， 它们的变化方向刚好相反。 例:考虑资产X和Y的报酬如下表:
E(RP)
E 0<a<1 贷款 Rf Y a<0 0 贷款和抛空 Z
a>1 V X 借款
σ
σ （X）
曲线VXY是线性的，因为其斜率不随着风险性资产X的投资比例变动而变 动。
五、多项资产的最优资产组合选择 1．三项风险资产的资产组合均值、方差和协方差 设资产组合由三项风险资产构成，让ω 1、ω 2、ω 3分别表示三项资 产的投资比例，E(R1)、E(R2)、E(R3)分别表示三项资产的预期报酬； σ 12、σ 22、σ 32分别表示其方差；σ 12、σ 23、σ 31分别表示其协方 差；R1、R2和R3分别表示其随机报酬。 该资产组合的预期报酬可定义为：
Var ( X ) E X i E ( X )
根据均值的定义，上式可表述为:
N ~ ~ Var X Pi ( X i E ( X ))2 i 1
标准差的计算公式为：
~ ~ ( P ) Var ( P )
B股票的方差计算如下:
~ Var(P)
＝0.1(20-26.5)2+0.2(22.5-26.5)2+0.4(25-26.5)2+O.2(3026.5)2+0.1(40-26.5)2＝29 ~ B股票的标准差为: (P ) ＝5.39 二、两资产组合的风险和报酬计量 考虑一资产组合由风险性资产x和y构成，它们的预期报酬呈正态 分布，投资者投资在资产x上的比重为a，在资产y上的比重为b＝ 1-a，计算该资产组合的均值和标准差。 ~ ~ ~ 资产组合的预期报酬为: RP aX bY ~ ~ ~ ~ ~ 预期报酬的均值为: E(RP ) E[aX bY ] aE[ X ] bE[Y ] 资产组合的均值报酬是各有价证券均值报酬的加权平均数，其权 数是各有价证券的投资比重。 资产组合预期报酬的方差为: ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Var(RP ) E[RP E(RP )]2 E[(aX bY ) E(aX bY )]2 然后展开得: ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Var(RP ) E[a 2 ( X E( X ))2 b 2 (Y E(Y ))2 2ab( X E( X ))(Y E(Y ))]
0.1
0.2 0.4 0.2 0.1
20.00
22.50 25.00 30.00 40.00
N ~ E X Pi X i i 1
-20%
-10% 0 +20% +60%
根据上述资料,计算概率分布的均值(Mean)，用预期值表示：
B股票预期期末价格为： ~ E P＝0.1×20+O.2×22.5+0.4×25+0.2×30十0.1×40＝￥26.50。 ~ ~ E P P0 26.5 25 预期报酬率为：本指标，方差通 常的计算公式为: ~ ~ 2
概率 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 Xi 11% 9% 25% 7% -2% Yi -3% 15% 2% 20% 6%
为了简便起见，我们设资产报酬(Xi,Yi)各种状态的概率均为0.2， 资产X的预期报酬为10％,资产Y的预期报酬为8％，它们的方差为: Var(x)＝O.2(0.11-0.10)2+0.2(0.09-0.10)2+0.2(O.25-O.10)2 +O.2(0.07-0.10)2+0.2(0.02-O.10)2 ＝0.0076 Var(y)＝0.2(-O.03-0.08)2+0.2(0.15+O.08)2+0.2(0.02-0.08)2 +0.2(0.2-0.08)2+O.2(0.06—0.08)2＝0.00708 资产x和y的协方差为: Cov(X,y)＝E[(X-E(x))(y-E(Y))] ＝0.2(0.01-0.10)(-0.03-0.08)+0.2(O.09-0.10)(0.15-0.08)+ 0.2(0.25-O.10)(0.02-0.08)+0.2(0.07-0.10)(O.20-0.08)+ 0.2(-0.2-0.10)(0.06-0.08)＝-0.0024 负协方差表明，资产X和Y的报酬按照相反方向变动。如果我们同 时购买资产X和资产Y，组成资产组合，该资产组合的风险小于单 独持有资产x或资产Y的风险，因而该资产组合可导致部分投资对 冲(hedging),降低投资风险。
dVar( R p )
da 求解使方差最小的资产X投资比重，得： y2 rXY X Y a* 2 X Y2 2rXY X Y （1）完全正相关情况。设资产x和y的相关系数rXY＝1，资产x是 资产y的线性函数，不管资产X的投资比重a如何变动，资产组合的 预期报酬和标准差之间变动比率都为一常数。 E(RP)＝aE(X)十(1-a)E(y)， Var(RP)＝a2σ 2X十(1-a)2σ 2Y十2a(1-a) σ Xσ Y Var(RP)＝[aσ X十(1-a) σ y]2 标准差σ (RP)=aσ X+(1-a) σ Y (2)考虑完全负相关情况。设资产x和y的相关系数rXY＝-l。如果 资产x和Y完全负相关，投资者可获得完全投资对冲。也就是说， 如果资产x的投资比重a恰当，资产组合的方差为零,资产组合的均 值和方差为：
2 2a X 2 Y2 2a Y2 2rXY x Y 4arXY x Y 0
E(RP)＝aE(X)十(1-a)E(y)， Var(RP)＝a2σ 2X十(1-a)2σ 2Y-2a(1-a) σ Xσ Y Var(RP)＝[aσ X-(1-a) σ y]2 σ (RP)=±[aσ X-(1-a)σ Y] 值得注意的是，资产组合的方差有正负根。如果资产组合方差有 正根，方差与均值之间的函数曲线为一正倾斜直线；如果资产组 合方差有负根，方差与均值之间的函数曲线为负倾斜直线，最小 方差资产组合的方差为零。
3．N项风险资产的机会集和有效集 在风险报酬平面上，N项风险资产的投资机会集与两项风险资产的 投资机会集具有相同的形状，所不同的是，N项风险资产的投资机 会集考虑机会集曲线内的分布。
E（RP） A E*（RP） F Rf B C 0 G σ (X) E
X Y
如果两种资产的报酬是相互独立的，亦即它们的协方差为零，那 么它们的相关系数为零；如果两种资产的报酬完全相关，其相关 系数等于1; 如果两种资产的报酬完全负相关，其相关系数等于-1。 相关系数的值域为： -1≤rXY≤1， 根据相关系数定义，我们得到协方差的另一个公式： Cov(X，Y)＝rXYσ Xσ Y 将上式代入资产组合的方差公式，有: Var(RP)＝a2Var(X)+b2Var(Y)+2abr XYσ Xσ Y 最小方差资产组合是指方差(或标准差)变动对资产X投资比重变动 为零的资产组合，也即在任何预期报酬水平上方差最小的资产组 合。 由于b=1-a，资产组合方差Var(VP)为: Var(RP)＝a2σ 2X十(1-a)2σ 2Y十2a〔1-a〕rXYσ Xσ Y 设一阶偏导数为零：
E（RP） III II B C D E F G I A
0 σ （RP） 有效集是对投资机会集进行均值方差选择所形成的子集，它是指在给定方差(或标 准差)时没有其他投资机会超过其预期报酬的投资机会集。
四、无风险资产的引入 如果资产组合由两资产构成，G资产的方差为零，记为Rf，那么资产组合 的均值和方差成为 E(RP)＝aE(X)+(1-a)Rf Var(RP)＝a2Var(X) 假设无风险资产为Rf，其方差和与风险资产的协方差为零，资产组合的 方差就简化为风险资产的方差。
E（RP） V IV III II I
C D 0 F
B
A
σ （RP）
因为无差异曲线具有凹性，最小方差机会集的上半部分具有凸性， 所以，最优资产组合是惟一的。 有效集 假设投资者对机会集有齐次预期，亦即每个投资者都会获得 相同信息，以便都能够精确地观察机会集，同时，假设不存在无 风险资产，投资者有不同的无差异曲线，且反映他们不同的风险 态度。
ERp E[1 R1 2 R2 3 R3 ]
根据均值的持征，有：
ERp 1 E(R1 ) 2 E(R2 ) 3 E(R3 )
E R p i E ( Ri )
3
三资产组合的预期报酬可以表示为各资产预期报酬的加权平均数。 三资产组合方差可定义为： Var( R p ) 12Var( R1 ) 22Var( R2 ) 32Var( R3 ) 21 2 Cov( R1 , R2 )
E(RP) A
rXY=-1
C
-1< rXY <1 rXY=1
0
B
σ (RP)
三、两风险资产的有效集：最优资产组合选择 最优资产组合的风险和报酬的边际替代率(MPS)等于其风险和报酬 的边际转换率(MRT)。在最优资产组合点上，风险和报酬的边际替 代率(MPS)和边际转换率(MRT)之间的均等性决定决策者的主观风 险价格。 根据效用理论，风险回避投资者的无差异曲线在均值一方差平面 上是向下凸的，下图反映了投资者的无差异曲线和两风险资产的 投资比例变动所形成的资产组合选择凸集。
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Var(RP ) a 2Var( X ) b 2Var(Y ) 2abE[(X E( X ))(Y E(Y ))] 由于: ~ ~ ~ ~ ~ ~ Cov( X , Y ) E[ X E( X ))(Y E(Y ))]
因此,两资产组合的方差是两种资产报酬的方差乘上投资权数的平 方,再加上两资产报酬的协方差。 协方差是用来计量两个随机变量相互变动程度的一个统计指标， 如果协方差为正，随机变量的变化方向一致；如果协方差为负， 它们的变化方向刚好相反。 例:考虑资产X和Y的报酬如下表:
E(RP)
E 0<a<1 贷款 Rf Y a<0 0 贷款和抛空 Z
a>1 V X 借款
σ
σ （X）
曲线VXY是线性的，因为其斜率不随着风险性资产X的投资比例变动而变 动。
五、多项资产的最优资产组合选择 1．三项风险资产的资产组合均值、方差和协方差 设资产组合由三项风险资产构成，让ω 1、ω 2、ω 3分别表示三项资 产的投资比例，E(R1)、E(R2)、E(R3)分别表示三项资产的预期报酬； σ 12、σ 22、σ 32分别表示其方差；σ 12、σ 23、σ 31分别表示其协方 差；R1、R2和R3分别表示其随机报酬。 该资产组合的预期报酬可定义为：
Var ( X ) E X i E ( X )
根据均值的定义，上式可表述为:
N ~ ~ Var X Pi ( X i E ( X ))2 i 1
标准差的计算公式为：
~ ~ ( P ) Var ( P )
B股票的方差计算如下:
~ Var(P)
＝0.1(20-26.5)2+0.2(22.5-26.5)2+0.4(25-26.5)2+O.2(3026.5)2+0.1(40-26.5)2＝29 ~ B股票的标准差为: (P ) ＝5.39 二、两资产组合的风险和报酬计量 考虑一资产组合由风险性资产x和y构成，它们的预期报酬呈正态 分布，投资者投资在资产x上的比重为a，在资产y上的比重为b＝ 1-a，计算该资产组合的均值和标准差。 ~ ~ ~ 资产组合的预期报酬为: RP aX bY ~ ~ ~ ~ ~ 预期报酬的均值为: E(RP ) E[aX bY ] aE[ X ] bE[Y ] 资产组合的均值报酬是各有价证券均值报酬的加权平均数，其权 数是各有价证券的投资比重。 资产组合预期报酬的方差为: ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Var(RP ) E[RP E(RP )]2 E[(aX bY ) E(aX bY )]2 然后展开得: ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Var(RP ) E[a 2 ( X E( X ))2 b 2 (Y E(Y ))2 2ab( X E( X ))(Y E(Y ))]
0.1
0.2 0.4 0.2 0.1
20.00
22.50 25.00 30.00 40.00
N ~ E X Pi X i i 1
-20%
-10% 0 +20% +60%
根据上述资料,计算概率分布的均值(Mean)，用预期值表示：
B股票预期期末价格为： ~ E P＝0.1×20+O.2×22.5+0.4×25+0.2×30十0.1×40＝￥26.50。 ~ ~ E P P0 26.5 25 预期报酬率为：本指标，方差通 常的计算公式为: ~ ~ 2
概率 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 Xi 11% 9% 25% 7% -2% Yi -3% 15% 2% 20% 6%
为了简便起见，我们设资产报酬(Xi,Yi)各种状态的概率均为0.2， 资产X的预期报酬为10％,资产Y的预期报酬为8％，它们的方差为: Var(x)＝O.2(0.11-0.10)2+0.2(0.09-0.10)2+0.2(O.25-O.10)2 +O.2(0.07-0.10)2+0.2(0.02-O.10)2 ＝0.0076 Var(y)＝0.2(-O.03-0.08)2+0.2(0.15+O.08)2+0.2(0.02-0.08)2 +0.2(0.2-0.08)2+O.2(0.06—0.08)2＝0.00708 资产x和y的协方差为: Cov(X,y)＝E[(X-E(x))(y-E(Y))] ＝0.2(0.01-0.10)(-0.03-0.08)+0.2(O.09-0.10)(0.15-0.08)+ 0.2(0.25-O.10)(0.02-0.08)+0.2(0.07-0.10)(O.20-0.08)+ 0.2(-0.2-0.10)(0.06-0.08)＝-0.0024 负协方差表明，资产X和Y的报酬按照相反方向变动。如果我们同 时购买资产X和资产Y，组成资产组合，该资产组合的风险小于单 独持有资产x或资产Y的风险，因而该资产组合可导致部分投资对 冲(hedging),降低投资风险。
dVar( R p )
da 求解使方差最小的资产X投资比重，得： y2 rXY X Y a* 2 X Y2 2rXY X Y （1）完全正相关情况。设资产x和y的相关系数rXY＝1，资产x是 资产y的线性函数，不管资产X的投资比重a如何变动，资产组合的 预期报酬和标准差之间变动比率都为一常数。 E(RP)＝aE(X)十(1-a)E(y)， Var(RP)＝a2σ 2X十(1-a)2σ 2Y十2a(1-a) σ Xσ Y Var(RP)＝[aσ X十(1-a) σ y]2 标准差σ (RP)=aσ X+(1-a) σ Y (2)考虑完全负相关情况。设资产x和y的相关系数rXY＝-l。如果 资产x和Y完全负相关，投资者可获得完全投资对冲。也就是说， 如果资产x的投资比重a恰当，资产组合的方差为零,资产组合的均 值和方差为：
2 2a X 2 Y2 2a Y2 2rXY x Y 4arXY x Y 0
E(RP)＝aE(X)十(1-a)E(y)， Var(RP)＝a2σ 2X十(1-a)2σ 2Y-2a(1-a) σ Xσ Y Var(RP)＝[aσ X-(1-a) σ y]2 σ (RP)=±[aσ X-(1-a)σ Y] 值得注意的是，资产组合的方差有正负根。如果资产组合方差有 正根，方差与均值之间的函数曲线为一正倾斜直线；如果资产组 合方差有负根，方差与均值之间的函数曲线为负倾斜直线，最小 方差资产组合的方差为零。
3．N项风险资产的机会集和有效集 在风险报酬平面上，N项风险资产的投资机会集与两项风险资产的 投资机会集具有相同的形状，所不同的是，N项风险资产的投资机 会集考虑机会集曲线内的分布。
E（RP） A E*（RP） F Rf B C 0 G σ (X) E
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第四章资本资产定价理论
贝塔系数
E (r i) rfE (r M ) rf iM
式（4.7）
iM
iM
2 M
16
4.2 资本资产定价模型
证券市场线
1、一个组合的贝塔值只是它的各成分证券贝塔值的加权平均， 而权数即为各成分证券的比例。
2、每一个证券或每一证券组合，都必然证券市场线上。这说明， 有效组合既落在资本市场线上也落在证券市场线上，然而非 有效组合则落在证券市场线上，但位于资本市场线之下。
9
4.2 资本资产定价模型
➢ 市场组合 在均衡时，切点组合的比例将与市场组合的
比例相对应。市场组合是由所有证券构成的组合， 在这个组合中，投资于每一种证券的比例等于该 证券的相对市值。一种证券的相对市值简单地等 于这种证券总市值除以所有证券的市值总和。
10
4.2 资本资产定价模型
➢ 有效集
1、M点代表市场组合，rf代 表无风险利率， 有效组合 落在直线rf M上。这一线性 有效集也就是“资本市场 线”（CML)；
零贝塔值资产组合 收益率
iR zM iaMR Z
式（4.8）
21
4.2 资本资产定价模型
传统资本资产定价模型(CAPM)的改进
➢ 存在个人所得税的CAPM模型 传统CAPM模型是在不考虑所得税的情况下推导出来的，但是现实经济
生活中的税收却极为复杂。假定资本市场上存在股利所得税和资本利得税 （印花税较低，不予考虑）；税率只与投资者的收入有关，与证券的种类 无关 。
r i E ( r i) iG D P G D P iI R I R e i
35
4.4 套利定价理论与风险收益多因素模型
E(r)由什么决定？
在CAPM中，证券期望收益的定价由两部分组成：用来补偿货 币时间价值的无风险利率和风险溢价，它决定于基准风险溢价 乘以衡量风险的贝塔值，若将市场组合的风险溢价用RPM表示， 则CAPM公式可表示为：
E (r i) rfE (r M ) rf iM
式（4.7）
iM
iM
2 M
16
4.2 资本资产定价模型
证券市场线
1、一个组合的贝塔值只是它的各成分证券贝塔值的加权平均， 而权数即为各成分证券的比例。
2、每一个证券或每一证券组合，都必然证券市场线上。这说明， 有效组合既落在资本市场线上也落在证券市场线上，然而非 有效组合则落在证券市场线上，但位于资本市场线之下。
9
4.2 资本资产定价模型
➢ 市场组合 在均衡时，切点组合的比例将与市场组合的
比例相对应。市场组合是由所有证券构成的组合， 在这个组合中，投资于每一种证券的比例等于该 证券的相对市值。一种证券的相对市值简单地等 于这种证券总市值除以所有证券的市值总和。
10
4.2 资本资产定价模型
➢ 有效集
1、M点代表市场组合，rf代 表无风险利率， 有效组合 落在直线rf M上。这一线性 有效集也就是“资本市场 线”（CML)；
零贝塔值资产组合 收益率
iR zM iaMR Z
式（4.8）
21
4.2 资本资产定价模型
传统资本资产定价模型(CAPM)的改进
➢ 存在个人所得税的CAPM模型 传统CAPM模型是在不考虑所得税的情况下推导出来的，但是现实经济
生活中的税收却极为复杂。假定资本市场上存在股利所得税和资本利得税 （印花税较低，不予考虑）；税率只与投资者的收入有关，与证券的种类 无关 。
r i E ( r i) iG D P G D P iI R I R e i
35
4.4 套利定价理论与风险收益多因素模型
E(r)由什么决定？
在CAPM中，证券期望收益的定价由两部分组成：用来补偿货 币时间价值的无风险利率和风险溢价，它决定于基准风险溢价 乘以衡量风险的贝塔值，若将市场组合的风险溢价用RPM表示， 则CAPM公式可表示为：
第四章资本资产定价(CAPM)
i 则第 项资产对市场组合的风险的影响越大，在市场均
衡时，该项资产应该得到的风险补偿也就越大。
2019/11/22
SML与CML对比： 都是组合p的收益与风险之间关系的函数 SML对任意的证券组合成立 CML仅对边界证券组合成立 “横坐标”不同：标准差，β 系数
2019/11/22
五、SML的几何含义
有风险资产的市场组合就是指从市场组合中拿掉无 风险证券后的组合。
定理5.2 在均衡时，每一种证券在切点证券组合M 的构成中都占有非零的比例。
2019/11/22
当所有的价格调整过程都停止时，证券市场达到均衡。 这时，市场具有如下性质：
（1）每个投资者都持有正的一定数量的每种风险证券；
（2）证券的价格使得对每种证券的需求量正好等于市场 上存在的证券的数量；
pj
N
D j
(r
,
rf
)
Wm0
j 1
I
I
p j NiDj (r, rf )
ijW0i
i1
i1
Wm0
Wm0
(4.6)
2019/11/22
即当市场达到均衡时，有风险的市场组合的权为所有 投资者的风险证券构成的证券组合的权的凸组合，换 言之，有风险的市场组合是由所有投资者的风险证券 构成的证券组合形成的证券组合：
这就是经典的资产定价模型（CAPM）！
2019/11/22
这种证券的 值与期望回报率之间的均衡关系
称为证券市场线（Security Market Line，简记为
SML）。
E(r)
E(rM )
rf
SML
称证券市场线的斜率 E(rM ) rf
为风险价格，而称 为证券的 风险。由 的定义，我们可知，
衡时，该项资产应该得到的风险补偿也就越大。
2019/11/22
SML与CML对比： 都是组合p的收益与风险之间关系的函数 SML对任意的证券组合成立 CML仅对边界证券组合成立 “横坐标”不同：标准差，β 系数
2019/11/22
五、SML的几何含义
有风险资产的市场组合就是指从市场组合中拿掉无 风险证券后的组合。
定理5.2 在均衡时，每一种证券在切点证券组合M 的构成中都占有非零的比例。
2019/11/22
当所有的价格调整过程都停止时，证券市场达到均衡。 这时，市场具有如下性质：
（1）每个投资者都持有正的一定数量的每种风险证券；
（2）证券的价格使得对每种证券的需求量正好等于市场 上存在的证券的数量；
pj
N
D j
(r
,
rf
)
Wm0
j 1
I
I
p j NiDj (r, rf )
ijW0i
i1
i1
Wm0
Wm0
(4.6)
2019/11/22
即当市场达到均衡时，有风险的市场组合的权为所有 投资者的风险证券构成的证券组合的权的凸组合，换 言之，有风险的市场组合是由所有投资者的风险证券 构成的证券组合形成的证券组合：
这就是经典的资产定价模型（CAPM）！
2019/11/22
这种证券的 值与期望回报率之间的均衡关系
称为证券市场线（Security Market Line，简记为
SML）。
E(r)
E(rM )
rf
SML
称证券市场线的斜率 E(rM ) rf
为风险价格，而称 为证券的 风险。由 的定义，我们可知，
金融市场的资产定价与投资组合理论
金融市场的资产定价与投资组合理论资产定价与投资组合理论是金融市场中重要的理论基础，对于投资者在市场中做出明智的决策具有重要意义。
这些理论不仅仅适用于传统的股票和债券市场，还可以应用于其他金融资产市场。
首先，我们来理解资产定价理论。
资产定价理论试图解释资产价格如何形成。
根据资产定价理论，资产的价格取决于其预期收益和风险。
投资者会衡量每种资产的预期收益和风险，然后决定是否购买或出售该资产。
根据该理论，资产价格应该能够反映资产的潜在价值。
资产定价理论有很多不同的模型。
其中最为著名的是资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model, CAPM）。
CAPM是根据风险与收益之间的关系，对资产的期望收益进行估计。
该模型认为资产的期望收益与整个市场的风险相关。
通过分析市场的整体风险水平，投资者可以确定资产的预期收益。
然而，资本资产定价模型并不是完美的，也存在一些限制。
例如，该模型假设投资者行为遵循风险厌恶的原则，但实际上投资者的行为可能更加复杂。
此外，CAPM还假设市场是完全有效的，但实际市场并非总是如此。
因此，投资者在使用CAPM时，需要谨慎对待并结合其他因素做出决策。
而投资组合理论则强调在构建投资组合时，如何选择资产以实现风险与收益的最佳平衡。
投资组合理论认为，通过选择不同种类的资产，可以达到风险分散的效果，从而降低整体投资组合的风险。
该理论对投资者进行了一系列建议，以帮助他们在投资决策过程中形成合理的投资组合。
投资者在构建投资组合时，需要考虑多种因素，例如，资产的预期收益、风险、相关性等。
他们可以通过分散投资，将资金分配到不同类型的资产上，从而降低整体投资组合的风险。
此外，投资者还可以通过调整资产配置，根据市场条件和个人偏好，为投资组合带来更好的回报。
然而，投资组合理论同样存在一些限制。
例如，理论中假设投资者是理性的，并且具有完全的信息，但实际上，投资者可能会受到情绪和有限的信息影响。
现代资产组合理论和资本资产定价模型分析课件
03 基于现代资产组合理论的资产配置
基于现代资产组合理论的资产配置策略
多元化投资
01
通过分散投资以降低单一资产的风险，是现代资产组合理论的
核心原则。
均值-方差模型
02
通过优化资产组合的均值和方差，以实现资产组合的最优配置
。
资本资产定价模型(CAPM)
03
通过考虑资产的系统性风险，为投资者提供预期收益与风险之
CAPM的主要内容
内容概述
CAPM是一种用于衡量金融资产风险和回报之间关系的模型，它假设投资者在选择资产时 是理性的，并且追求最大化的收益和最小化的风险。
公式解释
CAPM的公式为：预期收益率 = 无风险利率 + β × (市场收益率 - 无风险利率)。其中，β 是资产的系统性风险，无风险利率是类似国债等无风险投资的收益率，市场收益率则是市 场组合的预期收益率。
VS
限制
虽然CAPM具有广泛的应用，但也存在一 些限制。首先，它假设投资者是理性的， 但实际中存在着非理性投资者的行为。其 次，CAPM假设市场是有效的，但现实中 存在着市场摩擦和市场不完全有效性等问 题。此外，CAPM所使用的参数和数据往 往受到市场波动和数据质量等因素的影响 ，也可能导致模型的不准确性和误导性。
02 资本资产定价模型（CAPM）
CAPM的起源与演变
起源
CAPM是一种用于评估风险和回报之间平衡的金融工具，起源于20世纪60年代 ，由威廉·夏普、约翰·林特纳和简·莫辛等人在现代资产组合理论的基础上发展 而来。
演变
自其诞生以来，CAPM不断发展与完善，在学术研究和实际应用方面都取得了 长足进步，成为现代金融理论的重要支柱之一。
案例展示方面，以某只股票为例，通过计算其和市场之间的相关性，可以得出该股票的系统性风险。然后，基于CAPM估算 出该股票的理论价格，并与市场价格进行比较，分析其定价是否合理。
第四章资产组合选择与定价理论
E(RP)
E 0<a<1 贷款
a>1 V X 借款
Rf
Y
a<0 0 贷款和抛空 Z σ σ（X）
曲线VXY是线性的，因为其斜率不随着风险性资产 X的投资比例变动而变 动。
五、多项资产的最优资产组合选择 1．三项风险资产的资产组合均值、方差和协方差 设资产组合由三项风险资产构成，让ω1、ω2、ω3分别表示三项资 产的投资比例，E(R1)、E(R2)、E(R3)分别表示三项资产的预期报酬； σ12、σ22、σ32分别表示其方差；σ12、σ23、σ31分别表示其协方 差；R1、R2和R3分别表示其随机报酬。 该资产组合的预期报酬可定义为：
E（RP） V IV III II I
C D
B
A
0FBiblioteka σ（RP）因为无差异曲线具有凹性，最小方差机会集的上半部分具有凸性， 所以，最优资产组合是惟一的。 有效集 假设投资者对机会集有齐次预期，亦即每个投资者都会获得 相同信息，以便都能够精确地观察机会集，同时，假设不存在无 风险资产，投资者有不同的无差异曲线，且反映他们不同的风险 态度。
ERp E[1 R1 2 R2 3 R3 ]
根据均值的持征，有：
ERp 1 E(R1 ) 2 E(R2 ) 3 E(R3 )
E R p i E ( Ri )
3
三资产组合的预期报酬可以表示为各资产预期报酬的加权平均数。
三资产组合方差可定义为： Var( R p ) 12Var( R1 ) 22Var( R2 ) 32Var( R3 ) 21 2 Cov( R1 , R2 )
rXY Cov( X , Y )
X Y
如果两种资产的报酬是相互独立的，亦即它们的协方差为零，那 么它们的相关系数为零；如果两种资产的报酬完全相关，其相关 系数等于1; 如果两种资产的报酬完全负相关，其相关系数等于-1。 相关系数的值域为： -1≤rXY≤1， 根据相关系数定义，我们得到协方差的另一个公式： Cov(X，Y)＝rXYσXσY 将上式代入资产组合的方差公式，有: Var(RP)＝a2Var(X)+b2Var(Y)+2abr XYσXσY 最小方差资产组合是指方差(或标准差)变动对资产X投资比重变动 为零的资产组合，也即在任何预期报酬水平上方差最小的资产组 合。 由于b=1-a，资产组合方差Var(VP)为: Var(RP)＝a2σ2X十(1-a)2σ2Y十2a〔1-a〕rXYσXσY 设一阶偏导数为零：
E 0<a<1 贷款
a>1 V X 借款
Rf
Y
a<0 0 贷款和抛空 Z σ σ（X）
曲线VXY是线性的，因为其斜率不随着风险性资产 X的投资比例变动而变 动。
五、多项资产的最优资产组合选择 1．三项风险资产的资产组合均值、方差和协方差 设资产组合由三项风险资产构成，让ω1、ω2、ω3分别表示三项资 产的投资比例，E(R1)、E(R2)、E(R3)分别表示三项资产的预期报酬； σ12、σ22、σ32分别表示其方差；σ12、σ23、σ31分别表示其协方 差；R1、R2和R3分别表示其随机报酬。 该资产组合的预期报酬可定义为：
E（RP） V IV III II I
C D
B
A
0FBiblioteka σ（RP）因为无差异曲线具有凹性，最小方差机会集的上半部分具有凸性， 所以，最优资产组合是惟一的。 有效集 假设投资者对机会集有齐次预期，亦即每个投资者都会获得 相同信息，以便都能够精确地观察机会集，同时，假设不存在无 风险资产，投资者有不同的无差异曲线，且反映他们不同的风险 态度。
ERp E[1 R1 2 R2 3 R3 ]
根据均值的持征，有：
ERp 1 E(R1 ) 2 E(R2 ) 3 E(R3 )
E R p i E ( Ri )
3
三资产组合的预期报酬可以表示为各资产预期报酬的加权平均数。
三资产组合方差可定义为： Var( R p ) 12Var( R1 ) 22Var( R2 ) 32Var( R3 ) 21 2 Cov( R1 , R2 )
rXY Cov( X , Y )
X Y
如果两种资产的报酬是相互独立的，亦即它们的协方差为零，那 么它们的相关系数为零；如果两种资产的报酬完全相关，其相关 系数等于1; 如果两种资产的报酬完全负相关，其相关系数等于-1。 相关系数的值域为： -1≤rXY≤1， 根据相关系数定义，我们得到协方差的另一个公式： Cov(X，Y)＝rXYσXσY 将上式代入资产组合的方差公式，有: Var(RP)＝a2Var(X)+b2Var(Y)+2abr XYσXσY 最小方差资产组合是指方差(或标准差)变动对资产X投资比重变动 为零的资产组合，也即在任何预期报酬水平上方差最小的资产组 合。 由于b=1-a，资产组合方差Var(VP)为: Var(RP)＝a2σ2X十(1-a)2σ2Y十2a〔1-a〕rXYσXσY 设一阶偏导数为零：
资产选择与定价理论
EUa=Σpi*U(xi)=11.3 EUb=Σpi*U(xi)=12.4 B优于A 注意到：U(Ea)=U(10)=12> EUa= 11.3
U(Eb)=U(12)=13.2> EUb= 12.4 称该评价人为风险厌恶型
2020/11/28
10
2.1.1 决策的一般模式
注意：在现实生活中，完全同质的资产很少， 此时对投资者而言，对有关资产估价时寻找可 比资产（参照系），并以其价值为基础。此即 市场法（不违背一价原则）。如－ 毕业生的薪水评估； 基于市盈率（P/E）法下的股票价值评估等等
13
2.1.3 信息与有效市场假设
正是由于证券分析家的聪明智慧与不懈努力， 才使得市场的效率不断提高。
讨论：
有效市场对投资者有价值吗？ 怎样才能建立有效市场？
2020/11/28
14
3.3 资本资产定价模型（CAPM）
市场模型 CAPM基本假设 CAPM基本内容
2020/11/28
15
2020/11/28
11
2.1.3 信息与有效市场假设
一般而言，信息影响证券的市场价格。 P=ƒ（I） 有效市场假设(EMH)是指股票当前的价格中已经
完全反映了所有可能影响其价值的信息（基本因 素）
2020/11/28
12
2.1.3 信息与有效市场假设
通过分析一个典型的股票投资过程来理解 EMH
结论：低利率债券的价格对利率变化更加敏感。
2020/11/28
35
2.2.3利率风险及其控制
3、免疫策略－旨在构建抵御利率风险的债券
组合
问题的提出－
一家公司两年后有一笔现金流出100万元，现 在该公司考虑购买无风险债券以建立偿债基金， 市场上可供选择的债券有两种： A （一年期， 面额1000，7％），价格972.73 ; B （三年 期，面额1000，8％），价格950.25 。
U(Eb)=U(12)=13.2> EUb= 12.4 称该评价人为风险厌恶型
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2.1.1 决策的一般模式
注意：在现实生活中，完全同质的资产很少， 此时对投资者而言，对有关资产估价时寻找可 比资产（参照系），并以其价值为基础。此即 市场法（不违背一价原则）。如－ 毕业生的薪水评估； 基于市盈率（P/E）法下的股票价值评估等等
13
2.1.3 信息与有效市场假设
正是由于证券分析家的聪明智慧与不懈努力， 才使得市场的效率不断提高。
讨论：
有效市场对投资者有价值吗？ 怎样才能建立有效市场？
2020/11/28
14
3.3 资本资产定价模型（CAPM）
市场模型 CAPM基本假设 CAPM基本内容
2020/11/28
15
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11
2.1.3 信息与有效市场假设
一般而言，信息影响证券的市场价格。 P=ƒ（I） 有效市场假设(EMH)是指股票当前的价格中已经
完全反映了所有可能影响其价值的信息（基本因 素）
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2.1.3 信息与有效市场假设
通过分析一个典型的股票投资过程来理解 EMH
结论：低利率债券的价格对利率变化更加敏感。
2020/11/28
35
2.2.3利率风险及其控制
3、免疫策略－旨在构建抵御利率风险的债券
组合
问题的提出－
一家公司两年后有一笔现金流出100万元，现 在该公司考虑购买无风险债券以建立偿债基金， 市场上可供选择的债券有两种： A （一年期， 面额1000，7％），价格972.73 ; B （三年 期，面额1000，8％），价格950.25 。
组合投资资产的选择(ppt31)(1)
二、组合资产的收益与风险
1、两个证券构成的组合资产的收益与风险
证券１：E(R1) 1
投资于证券1的比例：x
组合的收益：
证券２ ：E(R2 ) 2
投资于证券2的比例：1 x
Rp xR1 (1 x)R2
组合的期望收益：
E(Rp ) xE(R1) (1 x)E(R2 )
组合的风险：
2 p
x2
2 1
(1
x)2
2 2
2x(1
x) 1 2
公式中 称为相关系数，其取值范围：1 1
Cov(R1, R2 ) E(R1R2 ) E(R1) E(R2 )
1 2
1 2
关于 有以下讨论。
完全正相关
1
R2
R1
完全正相关的两个证券构成的组合分布 p x1 (1 x)2 p x1 (1 x) 2
一、风险资产的有效组合
1、由多个证券构成的组合 其可能分布的区域如图
E(R)
B E
C
D A
图中实线部分为有效组合的分布区域(有效组合的集合)
2、有效边界的确定方法（以三证券组合为例 xC 1 xA xB ）
组合权重图
xB y
R
1.0
S
T
1.0
xA
x
RST 内表示不卖空条件下三种证券在组合中的比例，RS 左侧表示卖空A，ST下侧表示卖空B，RT上侧表示卖空C。
第二步：确定等方差椭圆
根据组合方差的计算，有
P2
xA2
2 A
xB2
2 B
xC 2 C 2
2xAxB AB 2xAxC AC 2xB xC BC
30%
xB
28%
资产组合与资产定价
莫迪利安尼
MM定理
无税MM模型 有税MM模型 破产成本理论
核心内容是:在具备 完美资本市场的经 济中,若不考虑企业 所得税因素,企业价 值与企业的资本结 构无关。
基于破产成本理论, 一条路径以税务 税盾效应对企业市 学派为代表,其核 场价值的提升作用 心是引入企业所 是有边界的;企业在 得税因素,强调税 做出债务融资决策 盾效应；另一条 时,需要充分考虑财 路径以破产成本 务危机成本乃至破 学派为代表,认为 产成本对企业市场 债务融资会增加 价值产生的综合绩 企业的破产成本。 效。
资本市场线
资本资产定价模型
用公式表示为:
证券市场线
期权价格与期权定价模型 期权费
内在价值
时间价值
市场价格大于执 行价格的部分
期权费超过其内 在价值的部分
期权价格与期权定价模型
以美式期权为例： 看涨期权Call的价值区间是:
Call ≥ max（0，P-S）
看跌期权 Put 的价值区间是:
Put ≥ max（S-P，0）
企业的资本结构与市场价值 通常说来,企业的市场价值由企业股权资本的市 场价值和企业债务资本的市场价值组成。 若给定企业的投资决策,企业经营者的目标函数 就是寻找最优的资本结构以实现其市场价值最 大化。
MM定理
MM定理是美国经济学家F.莫 迪利安尼(F. Modigliani)和M. 米勒(M. Miller)提出的一个著 名定理,它标志着现代资本结 构理论的诞生。 此后,许多经济学家循着MM 定理的思路,在逐步放松假定 条件的基础上,发展了现代资 本结构理论。
一个被普遍使用的估计内在价 值的方法是对该项投资形成的 未来收益进行折现值的计算,即 现金流贴现法。
用现金流贴现法计算证券的内在价值包括三步: 第一步,估计投资对象的未来现金流量; 第二步,选择可以准确反映投资风险的贴现率;第 三步,根据投资期限对现金流进行贴现。
第四章 资本资产定价模型和套利定价模型《投资课件》PPT课件
n
n
n
其中 aP xiai ,bP xibi , P xii
合的
i 1
i 1
i 1
，是证券组合对因素的敏感度，为随机误差项，组
期望收益率为： RP aP bP F
证券组合的方差为：
2 P
bP2
2 F
2
n
其中，
2
xi2
2 i
i 1
由以上可知，证券或证券组合的收益率受两类因素影响，一种是证券市场的共同因 素，所有的证券都受它影响；另一种是证券特有的，只对单个证券有影响，与其他证 券没有关联。证券或证券组合的风险可以分为两部分，即因素风险与非因素风险，等 式右边的第一项为因素风险，第二项为非因素风险。
第一，可以运用多因素模型估计切点有效证券组合。
第二，分散化投资可降低非因素风险，可带来因素风险的平均化。
2.因素模型的一般形式
同样的，我们可以写出因素模型的一般形式Ri： ai bi1F1 bi2F2 ... bim Fm i
其中，F1, F2...Fm 为影响证券收益率的m个因素，bik 为证券i对因素
证券市场线表明，β系数反映证券或组合对市场变化的敏感性， 因此，投资者预测牛市到来时，应选择那些高β系数的证券或组合。 这些高β系数的证券将成倍地放大市场收益率，带来更高的收益。相 反，在熊市到来之际，应选择那些低β系数的证券或组合，以减少因 市场下跌而造成的损失。
三、CAPM模型的有效性
其假设的非现实性体现在以下三个方面： 1.市场投资组合的不完全性。由于信息不对称和投资者对理性预期的偏
有效组合期望收益率由两部分构成：一部分是无风险利率，对投资者
放弃消费的补偿，也是货币的时间价值；另一部分是风险溢价，即对
第四讲 马科维茨证券组合选择理论和资本资产定价模型
第四讲 马科维茨证券组合选择理论和资本资产定价模型——习题解答（葛乐乐）1.2,1,...2211=+++=p x x x y n pn p p p θθθ为两个证券组合的未来价格。
试指出证券组合21y y y +=的收益率y r 与21,y y 的收益率1y r 和2y r 之间的关系。
特别是指出，他们作为n 种证券的收益率的组合的相互关系。
解：证券组合y 的收益率为y r 为)()()()()(2122112121y p y p y y p y p y y y p y y r y +++=++=)()()()()()()()(2221211211y p y y p y p y p y p y y p y p y p +++= 令 )()()(,)()()(21222111y p y p y p w y p y p y p w +=+=则 2211y y y r w r w r += )1(21=+w w设n x x x ,...,,21的收益率分别为n r r r ,...,,21，则∑∑====ni ii yn i ii yr w r r w r 1''21'1,其中 1,11''1'==∑∑==ni i ni iw w(彭先慧)2.设p 和q 为两种证券，且它们的收益率rp和rq满足][][r r q p E E =，那么这两种证券组合前沿是什么？证明，证券p 是这两种证券的前沿组合的充要条件为 ][],[r r r pqpVar Cov =。
解：设2,1==q p ,及μ==][][r r qpE E由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=μμμσw w w w w VW Tw 21211min 所以可得μμ=因为w V w w V w V w 22222112211122++=σ 将w w121-=代入可得V w V V w V V V w 2212212211222112)(2)2(+-+-+=σ所以当VV V V Vw 122211122212-+-=时σ2w取最小,所以此时可以得到V V V V V V V V V V V V V V V w12221121222111222112221222122211222)()2(2-+-=-+---+=σ为一个常数值，而μμ=，所以此时的组合前沿为一个点。