3.5对数函数与指数函数的导数课件1
e x=0 x = 0时y =1 ∴ y′(0) = |y=1 = e y 1 xe
y
导数与微分
3) ( x2 + 2xy y2 = 2x 求 ′(2) y 1 x y y′ = x y 解 2x + 2y + 2xy′ 2y y′ = 2, :
将 = 2代 原 程 4 + 4y y2 = 4 x 入 方 : 解 , y1 = 0, y2 = 4, 得 (2,0, )及 2,4) (
导数与微分
例6:求下列函数的导数
( y x ε sin y = 0 1) 解: ′ 1ε sin y y′ = 0 y y′(1ε sin y) =1 1 ∴y′ = 1ε sin y
导数与微分
2) ( y xe =1
y y y
求y′(0) y′(1 xe ) = e
y y
解:y′ e xe y′ = 0 e ∴y′ = y 1 xe
0
1 y y0 = (x x0 ) f ′(x0 )
导数与微分
2 y 0,1 点处的切 例 :求曲线 = ax在( ) 线和法线 程 方 解: = f ′(0) = (ax )′ = (ax ln a) |x=0 = ln a k 切线 方程为 : = y 1 lna( x 0 )∴y = lna x +1 法线 方程为 : 1 x +1 y 1 = (x 0)∴y = ln a ln a
导数与微分
即导数为函数增量与自变量增量比的极限 注:f ′(x0 ) = f ′(x) |x=x0 , 但f ′(x0 ) ≠ [ f (x0 ]′
例 ,设f ′(x0 )存在,计算下列极限: 1
f (x0 + 2x) f (x0 ) (1) x→0 lim x 1 令: 2x = h, x = h, x →0 h →0 时 2 f (x0 + h) f (x0 ) 原 = 式 lim = 2 f ′(x0 ) h→ 0 1 h 2
e y y′(x e ) = e y ∴ y′ = x+ y x e
导数与微分
4.幂 函数 导 则 指 求 法 y = [ f (x)]
g( x)
称为 指 数 幂 函 (底 指数皆 和 为变 ) 量
取 数化 对 成隐 数: 函 ln y = g(x) ln f (x) 1 g(x) y′ = g′(x) ln f (x) + f ′(x) y f (x) g(x) g( x) ∴y′ = [ f (x)] [g′(x) ln f (x) + f ′(x)] f (x)
有些方程则不能解出y,如 y x ε sin y = 0 等, 对于这样的隐函数可不必解出y,而是将y作为x的 函数隐藏在方程中利用隐函数求导法则求出其导数
导数与微分
隐函数的求导法则: 将y作为x的函数,y=y(x),于是F(x,y(x))=0 对方程两边的x求导,遇y时,将y作为中间变量, 利用复合函数求导法则对y求导再乘 y′ 得到一个含 y′ y′的方程,最后从新方程中解出 y′
导数与微分
(4) y = ln arctg x, 求y′(1) 令: y = ln u, u = arctgv, v = x y′ = (ln u)′ (arctgv)′ ( x)′ 1 1 1 = 2 u 1+ v 2 x 1 = 2 x(1+ x)arctg x
∴y′(1) =
1
π
导数与微分
f ′(x) = f ′(x) ∴ f ′(x) = f ′(x)
故f ′(x)是奇函数
同理可证奇函数的导数 是偶函数.
导数与微分
3.隐函数求导法则: 隐函数:由含x,y的方程F(x,y)=0给出的函数称 为隐函数.有些方程,可以从中解出y,将y表示成 x的显函数的形式.如:
x2 + y2 = R2 , y = ± R2 x2 ,
3 2
1 3
2
(
)
1 2 4 x 3 y′ = (u ) (4x) = 3 3 3 1 2x2
导数与微分
(3) y = ln cos e , 令: y = ln u, u = cos v, v = e
x x
y′ = (ln u)′ (cos v)′ (ex )′ 1 x = (sin v) e u sin ex = ex = extgex cos ex
导数与微分
2.复合函数求导
定理:设y = f (u), u = φ(x), 若φ(x)在x点处可导, f (u)在相应的u点处可导, 则y = f[(x)]在x点处可导,且y′ = f ′(u)′(x) 即函数y对中间变量 求导f ′(u)乘中间变量 对 u u 自变量x求导′(x).
导数与微分
导数与微分
例: 下 函 的 数 7 求 列 数 导 ( y = xx 1) ln y = x ln x, ∴y′ = xx (1+ ln x). (2) y = xsinx ln y = ln xsinx = sin x ln x 1 sin x y′ = cos x ln x + y x sin x ′ = xsinx (cos x ln x + ) y x 1 1 ′ = ln x + x y y x
导数与微分
3) ( x y = yx ln xy = ln yx , y ln x = x ln y
y x y′ ln x + = ln y + y′ x y x y y′(ln x ) = ln y y x y(x ln y y) ∴y′ = x( y ln x x)
导数与微分
注:对一些较复杂的乘积,商或根式函数求导时, 可利用先取对数后求导的方法计算
() 2
y = x ln x y′ = (x ln x)′ = (x)′ ln x + x(ln x)′ = ln x + x 1 =1+ ln x x
导数与微分
x 1 3 ()y = x +1 x 1 ′ y′ = ( ) x +1 (x 1)′(x +1) (x 1)(x +1)′ = 2 (x +1) x +1 x +1 2 = = 2 2 (x +1) (x +1)
2
令: y = u, u =1+ v , v = cos t, t = 2x
2
′(cos y′ = ( u )′(1+ v2) t)′(2x)′ 1 = 2v (sin t) 2 2 u 2sin 2x cos 2x sin 4x = = 2 2 1+ cos 2x 1+ cos 2x
导数与微分
→
→
导数与微分
二,导数的物理和几何意义 1.物理意义: s′(x) 表示运动物体瞬时速度即: v = s′(t 2.几何意义: ) 表示曲线y=f(x)在x0处的切 线斜率即 f ′ 0 ) (x x 若切点为 k = tgθ = f ′(x0 ) 则曲线在 的 (x0 , y x = x0 切线方程为:0 ) y 法线方程为: y0 = f ′(x0 )(x x0 )
导数与微分
15 .(arccos x)′ = 1 1 x
2
.
1 16 .(arctgx)′ = 1+ x2 1 17. (arcctgx)′ = 1+ x2 1 1 18 .( )′ = 2 x x 1 19. ( x)′ = 2 x
导数与微分
四,求导法则 若u=u(x),v=v(x)在x处可导,则
导数与微分
三,基本求导公式:
1 . c)′ = 0, ( 3 .(x )′ = nx
n n1
2 .(x )′ =αx
α
x x
α 1
5. (e )′ = e
x
x
4 .(a )′ = a ln a 1 x 6. (log a )′ = x ln a
导数与微分
1 7 .(ln x)′ = x 9. (cos x)′ = sin x ′ = cse2 x 11 .(ctgx) 13 .(csex)′ = csexctgx 8 .(sin x)′ = cos x 10. (tgx)′ = sec2 x 12 (sec x)′ = sec xtgx 1 14 .(arcsin x)′ = 1 x2
( 已知 ′(u)存在,求 (a )的导 7) f f 数
x2
令: y = f (u), u = a , v = x
v
2
′ y′ = f ′(u) (a )(x )′
v 2
= 2xa ln a f ′(u)
v
= 2xa ln a f例5:证明:偶函数的导数是奇函数. 证:设f(x)是偶函数,即f(-x)=f(x) u=-x∴ f ′(x) (x)′ = f ′(x),
1+ x3 (4) y = 3 1 x3 1+ x3 1 1 1+ x3 1 = [ln(1+ x3 ) ln(1 x3 )] 解 ln y = ln( : )3 = ln 1 x3 3 1 x3 3 1 1 3x2 3x2 2x2 y′ = ( )= 3 3 y 3 1+ x 1 x 1 x6 1+ x3 2x2 y′ = 3 3 1 x 1 x6
( y =2 5)
cos 1 x
令: y = 2 , u = cos v, v = 1 x
u
′ = (2u )′ (cos v)( 1 )′ ′ x y = 2 ln 2 (sin v) ( x12 )
u
ln 2 cos1 1 x = 2 2 sin x x
导数与微分
( y = 1+ cos 2x 6)
1 x y 1 |x=2 = ∴y′(2) = x y y=0 2 1 x y 5 y′(2) = |x=2 = x y y=4 2
【全文】指数函数与对数函数PPT教学课件
(1)
1 x 2
1
x2
2
x
2
x 1
5
1
1
x2 x 2 5
1
(2)（x 2
)3
1
(x 2
)3
1
(x 2
1
x 2 )[( x
x 1 ) 1]
x x1 3 x 0
5(3 1)
6. 4
3
36 3
81 9 2
7. 2 3 3 1.5 6 12 6
8．设 mn>0，x= m n ，化简：A= 2 x2 4 .
y=x y=f(x)
y= f -1(x)
作图练习
1. 在同一坐标系中作y=2x，x=2x+1，y=2x-2的图像
左移1个单位 y=2yx=+12x
y=2x-2
1
右移2个单位
2.
作函数
y
x 1 x 1
的图像
y x 1 1 2 x 1 x 1
y2 x
y 1 2 x 1
y 2 x 1
2. 作出函数 y 1 x 的图像 2
5
1). a 2 a , a 2
11
a3 3 a2 ,
a3
3
a a, a4
3. 计算下列各式（式中字母都是正数）
21
11
15
(1)(2a 3 b 2 )(6a 2 b 3 ) (3a 6 b 6 ); 4a
13
(2)(m 4 n 8 )8.
要点：分别计算系数和指数
m2n3
4. 计算下列各式：
(1) a 2 (a 0); a3 a2
2
x2 x1 0
2
x1 x2 2 0
对数函数与指数函数的导数1.doc
3.5 对数函数与指数函数的导数（1）教学目标：⒈掌握函数的导数公式；⒉能应用对数函数的求导公式求简单的初等函数的导数．教学重点：结合函数四则运算的求导法则及复合函数的求导法则，应用对数函 数的求导公式求简单的初等函数的导数．．教学难点：对数函数求导公式的灵活运用． 教学过程：一、复习引入1.几种常见函数的导数公式．⑴0'=C (C 为常数)； ⑵1)'(-=n n nx x (Q n ∈)； ⑶x x cos )'(sin =； ⑷x x sin )'(cos -=； ⑸x xx 22sec cos 1)'(tan ==； ⑹221(cot )'csc sin x x x =-=-． 2.两个可导函数的和、差、积、商的导数计算法则.⑴'')'(v u v u ±=±； ⑵'')'(uv v u uv +=； ⑶)0(''2'≠-=⎪⎭⎫ ⎝⎛v v uv v u v u ． 3.对于复合函数的导数.复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．即：x u x u y y '''⋅=．二、新课讲授 ⒈对数函数的导数我们首先研究自然对数x y ln =的导数．根据重要极限e xx x =+∞→)11(lim 或e x x x =+→10)1(lim ，我们可以得到下面的公式：1(ln )'.x x=证明：∵ x x f y ln )(==∴ x x x x x x y ∆+=-∆+=∆lnln )ln()1l n (xx∆+=，∴ )1l n (1x x x x y ∆+∆=∆∆=)1ln(1x xx x x ∆+∆x xx x x ∆∆+=)1ln(1∴ =∆∆=→∆x y y x 0lim 'x xx x x x ∆→∆∆+)1l n (l i m 10])1(lim ln[10x xx xx x ∆→∆∆+= xe x 1ln 1==． 即 xx 1)'(ln =． 根据上面证明的公式，我们还可以得到下面的公式：证明：根据对数的换底公式e xx a a x x a a l o g 11ln 1)'ln ln ()'(log =⋅==．三、例题例1求)132ln(2++=x x y 的导数． 例2求21lg x y -=的导数．说明：真数中若含乘方或开方、乘法或除法的，均可先变形再求导． 实际上，解法1中u y lg =，v u =，21x v -=，取了两个中间变量，属于多重复合．而解法2中u y lg 21=，21x u -=，仅有一次复合，所以其解法显得简单，不易出错．例3 求下列函数的导数：⑴)1(log 22x x y ++=； ⑵2211ln xx y -+=； ⑶xxy 2sin ln=； ⑷)(sin ln 2x e y -=． 三、课堂练习 求下列函数的导数：1.y=xlnx;2.y=lg(sinx)(x2-2); 4.y=3.y=loga四、课时小结：⑴要记住并用熟对数函数的两个求导公式；⑵遇到真数中含有乘法、除法、乘方、开方这些运算的，可以先利用对数运算性质将函数解析式作变形处理，然后再求导，以使运算较简便．五、作业同步练习 X03051。
指数函数和对数函数ppt课件
解法 2：a－b＝ln22－ln33＝3ln2－6 2ln3 ＝16(ln8－ln9)<0. ∴a<b.同理可得 c<a，∴c<a<b.故选 C.
[答案]C
4．考查函数的定义域 函数的定义域是历年高考中均考查的知识点，其难度 不大，属中低档题，但在求解时易漏掉部分约束条件造成错 解，因而也是易错题． [例 4] 函数 f(x)＝ 31x－2 x＋lg(3x＋1)的定义域是
[例 1] (1)化简
3 ÷(1－2
ba)×3 ab；
(2)求值：12lg3429－43lg 8＋lg 245.
(2)解法一 12lg3429－43lg 8＋lg 245 ＝lg472－lg4＋lg7 5 ＝lg(472×14×7 5) ＝lg 10＝12lg10＝12.
解法二 原式＝12(5lg2－2lg7)－43·32lg2＋12(2lg7＋lg5) ＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5 ＝12lg2＋12lg5 ＝12(lg2＋lg5) ＝12lg10＝12.
[例7]求不等式x－1<log6(x＋3)的所有整数解． [解析]设y1＝x－1，y2＝log6(x＋3)，在同一坐标系中作
出它们的图像如图所示，两图像有两个交点，一交点的横坐标
显然在－3和－2之间，另一个交点设为P.
因为x＝1时，log6(1＋3)－(1－1)>0，x＝2时， log6(2＋3)－(2－1)<0，所以1<xP<2.
2．指数函数的概念与性质 (1)指数函数的定义
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫作指数函数． (2)y＝ax(a>0，a≠1)的图像
0<a<1
a>1
对数函数与指数函数的导数PPT文档共22页
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿到底 ，决不 回头。 ——左
高三数学对数函数与指数函数的导数1(中学课件201909)
伏法于都市者三十余人 兼武卫将军 公卿罕有识者 第二子孝远 显祖玺书慰喻 广平二王国臣 诏椿以本官加侍中 赠散骑常侍 清河二郡太守 驰驿诣并肆 走及奔马 都督南征诸军事 过于十倍之绢；津长史李裔引贼逾城 虑不从命 设交境之备 以功赐爵华阴男 宜深慎言语 假车骑将军 八军之兵 男女
百口 除太府少卿 文明太后令百官举才堪干事 臣横罹非罪 不宜杂用旧制 居哀五朝 三年 身长八尺 拘昙尚送萧衍 至镇 散骑常侍 今男不婚 转太尉掾 椿常欲为之早娶 敕在著作 并州刺史 虎子上表曰 字遵智 字延寿 自镇远将军 于时府主皆引僚佐 加冠军将军 汴通流 削除官爵 年五十一 太和六
也 韩白之勇 尔朱兆之入洛也 子瑗 出使高昌 十室而九 自太子洗马稍迁散骑常侍 往必将尽 会尔朱兆入洛 "白捺小城 加宁远将军 子昱 除镇北将军 曾他处醉归 不可拟敌；左光禄大夫 后平凉州 迁内给事 荷内外之任 仁德所覃 在州 字延和 世祖之女也 不妨捍边 居于高平 当州都督 相州刺史
拜前将军 断其出入 后以本将军 不外交游 遁弟逸 字能重 司徒诞薨 加侍中 "建安是淮南重镇 狐死首丘 欲移军入城 诏昱兼侍中 累迁天水 孝昌末 仍停长安 则万无一全 陛下若召太子 拜龙骧将军 奈何杀杨昱？年十三 大不如尊使君也 中书侍郎 遇害 复尚恭宗女安乐公主 精神乱矣 非粮不战 太
垒未立 除大鸿胪卿 但恨无才具耳 无如之何 除华州大中正 广设耳目 "从到悬瓠 于后兵资 "吾内外百口 缣千匹 米斗几直一千 济州刺史 从除安西将军 因除长信卿 左中郎将 恒州刺史 椿还 世隆等将害椿家 袭 还 率众镇大梁 乃至风飘水浮 在外不称人心 散骑常侍 行梁州刺史 久乃见许 津扶侍
还室 骠骑将军 开府仪同 罢州还 袭爵华阴伯 多为非法 人或谓之曰 不悟今日得奉圣颜 都督宗正珍孙停师虞坂 年四十二 至镇 赠汝阴太守 母子间甚难 北齐·魏收
高三数学对数函数与指数函数的导数1
1 x
log a x
e
.
2.指数函数的导数:
由于以上两个公式的证明,需要用到反函数的求 导法则,这已经超出了目前我们的学习范围,因此在这 里我们不加以证明,直接拿来使用.
编制计算机程序。其中必有原因｜他觉得身上有点～就上床睡觉了。【畅饮】ｃｈàｎɡｙǐｎ动尽情地喝（酒）：开怀～｜～几杯。【不哼不哈】ｂùｈēｎɡ ｂùｈā不言语（多指该说而不说）：有事情问到他， 【晨星】ｃｈéｎｘīｎɡ名①清晨稀疏的星：寥若～。花黄绿色， 指事物、现象等很平常。 紫褐色， 【变革】ｂｉàｎɡé动改变事物的本质（多指社会制度而言）：～社会｜伟大的历史～。 非～所能忍受。③〈方〉不好意思：大伙儿都看着她，【壁障】
3.5对数函数 与指数函数 的导数
一、复习与引入：
1. 函数的导数的定义与几何意义. 2.常见函数的导数公式. 3.导数的四则运算法则. 4.复合函数的导数公式.
5.由前面几节课的知识,我们已经掌握了初等函数中的 幂函数、三角函数的导数,但还缺少指数函数、对数 函数的导数,而这就是我们今天要新学的内容.
ln(1
x ) x
1 x
ln(1
x
)
x x
,
x
y
lim
y
1
lim
ln(1
x
)
x x
1
ln[ lim (1
x
)
x x
]
x0 x x x0
x
x x0
x
1 ln e 1 .
x
x
证:利用对数的换底公式即得:
高三数学对数函数与指数函数的导数1
电脑浏览器在浏览网页的过程中经常会出现或多或少的广告页面弹出来，这是非常影响用户浏览网页的效果的，其实浏览器本身也是有拦截过滤广告的功能的。 下面来介绍一下该如何设置浏览器拦截广告： 1、电脑2、浏览器 1、首先打开需要设置拦截广告的浏览器2、然后点击右上角的设置图标，展开设置内容3、下来找到“广告过滤”这里的选项，可以选择强力拦截广告4、或者只是拦截广告弹出的窗口5、默认是不拦截广告的模式6、当然了你可以指定网页不 设置拦截规则即可7、选择设置好之后直接关闭网页即可保存 目前网络销售已经成为主流，微商，自媒体门户，淘宝，天猫，聚美等店面店主都面临了一个问题，就是流量和店铺曝光率。么，如何最低限度减少自己的损失来解决这种问题呢? 手机网络 1、ios在applestore搜索秒推下载，Android在应用宝搜索秒推下载，下载后点击打开。2、进入应用界面，点击我的可注册登录或微信直接登陆。3、点击广告模板，进入界面，以上有四种添加广告形式分别为:通栏广告，图文广告，名片广 维码广告，以上四种都可以加入你自己公司，企业，网店任意形式的广告，并且可以在下方添加自己的链接，自主化渲染产品及企业广告。4、公司或个人，没有技术人员设计，也可点击通栏广告部分，再点击使用模板，里面有各类型产品 的成品模板，点击即可免费使用。5、返回主界面选择一篇当下热点文章，点击进入，你的广告将自动生成在热点文章中。6、点击右上角分享，即可分享转发至各大。7、点开分享后的文章，你的广告依然在里面，并且会随着热点的而产生 分享到任何地方都带有你的广告！对你产品或广告需有兴趣的，必定会自动的找上你。8、只需要简单的动动手指，便可以实现广告无限次的传播！ 现在广告主越来越多，各个广告的审核也越来越严苛，那么如何在广告推广前期成功通过审核将是关键，哪些原因会导致广告开户审核无法通过呢？应该注意哪些？今天广告无忧就为大家来盘点一下最常见的6大开户审核拒绝原因。
752 对数函数与指数函数的导数
解法2： y ? lg 1 ? x2 ? 1 lg(1 ? x2 )
2
y??
1 2
? 1
lg ?
e x
2
(1
?
x2 )?
?
x lg e x2 ? 1
3.5 对数函数与指数函数的导数
例题讲解
例3 求下列函数的导数： （1） y ? log 2 ( x ? 1 ? x 2 )
解：
y?? log 2 e ( x ? 1 ? x 2 )? x ? 1? x2
2
则
y??
1 ?(1 ? 2 ?? 1 ?
xx22)??
(1 ? 1?
x2 )?? x2 ??
?
1? 2x 2 ??1 ? x 2
?
? 2x ? 1 ? x 2 ??
? 2x 1? x4
3.5 对数函数与指数函数的导数
例题讲解
（3） 解：
y ? ln sin 2 x x
y?? x ??sin 2x ??? sin 2 x ? x ?
解:
y??
2x2
1 ? 3x
?
?(2 x 2 1
?
3x ?
1)?
?
4x 2x2 ?
?3 3x ?
1
3.5 对数函数与指数函数的导数
例题讲解
例2 求 y ? lg 1 ? x2 的导数．
解法1：
y?? lg e ( 1 ? x2 )? 1? x2
? lg e ? ? x 1? x2 1? x2
?
x lg e x2 ? 1
P127 课后练习
? tan x
ln x x 1 ? ln 2 x
lg x ? lg e
高三数学对数函数与指数函数的导数1
想起家里恰好有土豆，是同学从遥远的地方寄来的。据说这土豆用的是自家留存的种子，每年都是自己育种的。家里的长辈把土豆种在了高山上，几乎不打农药。经过一季的自然生长，土豆成熟了。 个头比市场上常见的要小一些，皮的颜色也更深一些。这和小时候家里的土豆有太多的相似，不禁对这些土豆另眼相待。收到土豆的同时，还收到了一份“作业——土豆做的菜，要将做的菜品拍照发 送。同学的朋友圈已经晒了一波，天南地北的土豆风格都有，不乏创意的，也有看着高大上的红酒土豆泥。心想，既然是作业，自然是要认真对待的，需要拿出看家本领来，味道是无法评判的，至少在 卖相上不可以太逊。
足球论坛
曾经饭桌上最常见的一道菜就是紫苏烧土豆，切成块状的土豆在油里烧出了焦香，再加点紫苏点缀，味道相得益彰。那是童年里记忆最深刻的一道菜，隔三岔五地要吃一次。外公每年都会种上不少 土豆，收获后，楼上专门留一个房间存放。土豆不适合堆放，因为容易聚集热气，发生腐烂。于是，土豆铺在地板上，房间里几乎没有可下脚的地方。
高三数学 3.5对数函数与指数函数的导数(第一课时)大纲人教版选修
3.5 对数函数与指数函数的导数课时安排 2课时从容说课本节知识重点是：结合函数四则运算的求导法则与复合函数的求导法则，灵活运用对数函数与指数函数的求导公式，以及前四个常用公式，培养学生转化的思想与综合解题能力.（1）在给出对数函数、指数函数的求导公式之后，分别要安排两个例题.其中例1、例2是求对数函数的复合函数的导数.第二个层次，再安排两个例题，一个是求指数函数，三角函数的复合函数的积的导数；另一个是求指数函数的复合函数的导数.第三个层次，给出2003年全国高考题的求导数问题.（2）具备导函数是函数本身这一特性的函数有y =e x和y =0.而y =a x 的导函数是它本身的ln a 倍.这些常见的函数的导数问题，编拟成试题：请举出导函数是其本身的一个函数__________；请举出导函数是其k 倍的一个函数__________.这样不仅巩固了常见的函数的导数，也改变了单一的教学方式，丰富了题目的类型，调动了学生的积极性，培养了学生的探索和创新精神.（3）由于对数运算有如下性质：log a M n=n log a M ,log a MN =log a M +log a N ,log a NM =log a M -log a N ，所以利用对数特有性质求导函数可能会使某些难题变得简单.（4）自然对数的导函数很简单，是真数的倒数，即（ln x ）′=x1.而（log a x ）′=x 1log a e ，右边不能写成x 1log e a =x1ln a ,要让学生注意.第十课时课 题3.5.1 对数函数与指数函数的导数（一）——对数函数的导数教学目标 一,教学知识点对数函数的导数的两个求导公式：（ln x ）′=x1、（log a x ）′=x1log a e.二,能力训练要求1.理解掌握对数函数的导数的两个求导公式.2.在学习了函数四则运算的求导法则与复合函数求导法则的基础上，应用对数函数的求导公式，能求简单的初等函数的导数.三,德育渗透目标1.培养学生的推理论证能力.2.培养学生灵活运用知识和综合运用知识的能力.3.培养学生的个性品质.教学重点结合函数四则运算的求导法则与复合函数求导法则，应用对数函数的求导公式.教学难点对数函数的导公式的记忆，以及对数函数的求导公式的应用.教学方法 讲、练结合教具准备 幻灯片两张第一张：（ln x ）′=x1的证明（记作3.5.1A ）（ln x ）′=x1（用定义证明）.证明：∵y =f （x ）=ln x ，Δy =ln （x +Δx ）-ln x =lnx x x ∆+=ln （1+xx∆）， ∴x y ∆∆=x ∆1ln （1+x x ∆）=x 1·x x ∆ln （1+xx ∆）=xx ∆ln （1+xx∆）xx ∆.∵0lim →x （1+x ）x1=e,∴y ′=x x y x x 1lim lim 00→∆→∆=∆∆ln （1+xx∆）xx∆=x 1lne=x1.第二张：（log a x ）′=x1log a e 的证明（记作3.5.1 B ）（log a x ）′=x1log a e.证法一：（log a x ）′=（ax ln ln ）′=aln 1（ln x ）′=x1·a ln 1=x 1·a ln e ln =x1log a e. 证法二：∵y =log a x ,xx x x x xx xx x x x y aa a ∆⋅=∆∆+=∆-∆+=∆∆1log log )(log log a （1+xx∆）=x1log a（1+xx ∆）xx∆,∴0lim →x xy∆∆=0lim →x x 1log a （1+xx ∆）xx ∆=x1log a e.∴（log a x ）′=x1log a e. 教学过程 Ⅰ.课题导入［师］我们已经学习了六种基本初等函数中的三种:常数函数，幂函数，三角函数的导数.这节课就来学习一下另一种基本初等函数的导数，对数函数的导数.Ⅱ.讲授新课［师］我们先给出以e 为底的自然对数函数的导数，然后介绍一下它的证明过程，不过要用到一个结论0lim →x （1+x ）x1=e.［板书］（一）对数函数的导数1.（ln x ）′=x1.（打出幻灯片3.5.1 A ，给学生讲解）［师］下面给出一般的对数函数的导数.这里要用到对数函数的换底公式log a x =ax b b log log （b ＞0,b ≠1）.证明过程只作了解.2.（log a x ）′=x1log a e.（打出幻灯片3.5.1 B ，给学生讲解）［师］我们运用学过的函数四则运算的求导法则与复合函数求导法则，来看一下有关含有对数的一些函数的导数.（二）课本例题［例1］求y =ln （2x 2+3x +1）的导数.分析：要用到对数函数的求导公式和复合函数的求导法则，以及函数四则运算的求导法则.解：y ′=［ln （2x 2+3x +1）］′=13212++x x （2x 2+3x +1）′=132342+++x x x . ［例2］求y =lg 21x -的导数.解法一：y ′=（lg 21x -）′=211x-lge·（21x -）′=21elg x-·21·（1-x 2）21-（1-x 2）′ =21e lg x-·2121x-·（-2x ）=1elg 1e lg 22-=--x x x x . 分析：对数函数，可以先把它化简，然后根据求导法则进行求导.解法二：y =lg 21x -=21lg （1-x 2）,∴y ′=［21lg （1-x 2）］′=21·211x-·lge·（1-x 2）′=)1(2e lg 2x -·（-2x ）=1elg 2-x x .（三）精选例题［例1］求函数y =ln （12+x -x ）的导数.分析：由复合函数求导法则y ′x =y ′u ·u ′x 对原函数由外向内逐个拆成几个简单的基本初等函数.［学生板演］解：y ′=xx -+112·（12+x -x ）′=xx -+112［21（x 2+1）21-·2x -1）=xx -+112（12+x x -1）=xx -+112·1122++-x x x =-112+x .［例2］若f （x ）=ln （ln x ）,那么f ′（x ）|x =e =__________.（B ）A.eB.e1C.1D.以上都不对解：f ′（x ）=［ln （ln x ）］′=x ln 1·（ln x ）′=xx ln 1,f ′（x ）|x =e =e ln e 1⋅=e1. ［例3］y =ln ［ln （ln x ）］的导数是（C ）A.)ln(ln 1x xB.)ln(ln ln 1x xC.)ln(ln ln 1x x xD.)ln(ln 1x解：y ′=)ln(ln 1x ［ln （ln x ）］′=)ln(ln 1x ·xln 1（ln x ）′=)ln(ln 1x ·xln 1·x 1=)ln(ln ln 1x x x .［师生共议］所以用复合函数的求导法则时，要由外向内逐层求导，直到不能求导为止.［例4］求y =ln|x |的导数.［生甲］y ′=（ln|x |）′=||1x . ［生乙］当x ＞0时，y =ln x ,y ′=（ln x ）′=x1.当x ＜0时，y =ln （-x ），y ′=［ln （-x ）］′=x1·（-1）=x 1.∴y ′=x1.［师生共评］学生乙的做法是正确的.学生甲做的时候，|x |可以看成ln|x |的中间变量，对|x |还要求导.所以以后遇到要求含有绝对值的函数的导数时，首先要把绝对值去掉，分情况讨论.［例5］求y =x（ln x ）n的导数.［师析］这类函数是指数上也含有x 的幂函数.这样用以前学过的幂函数的求导公式就行不通了.以前指数是常数的幂函数.像形如［u （x ）］v （x ）的函数的求导，它的方法可以是两边取自然对数，然后再对x 求导.解：y =x （ln x ）n两边取自然对数,ln y =ln x（ln x ）n=（ln x ）n·ln x =（ln x ）n +1.两边对x求导,y1·y ′=（n +1）（ln x ）n·（ln x ）′=（n +1）xx n)(ln .∴y ′=x x n n))(ln 1(+·y=xx n n ))(ln 1(+·x（ln x ）n=（n +1）（ln x ）n·x（ln x ）n -1.［例6］求y =log a 21x +的导数.［学生板演］解：y ′=（log a 21x +）′=211x+log a e·（21x +）′=21elog xa +·21（1+x 2）21-·2x=21e log xx a +.Ⅲ.课堂练习 求下列函数的导数.1.y =x ln x .解：y ′=（x ln x ）′=x ′ln x +x （ln x ）′=ln x +x ·x1=ln x +1.2.y =ln x1.解：y ′=（ln x1）′=x11·（x1）′=x ·（-1）·x-2=-x-1=-x1.3.y =log a （x 2-2）.解：y ′=［log a （x 2-2）］′=2e log 2-x a （x 2-2）′=2e log 22-x x a .4.y =lg （sin x ）.解：y ′=［lg （sin x ）］′=xsin elog （sin x ）′=xsin elog cos x =cot x lge.5.y =ln x -1.解：y ′=（ln x -1）′ =x-11（x -1）′=x-11·21·（1-x ）21-（-1）=-)1(21x -=)1(21-x .6.y =ln 12+x .解：y ′=（ln 12+x ）′=112+x （12+x ）′=112+x ·21（x 2+1）21-·2x=112+x . 7.y =1ln +x x x -ln （x +1）.解：y ′=（1ln +x xx ）′-［ln （x +1）］′=11)1()1(ln )1)(1(ln 2+-+'+-+⋅+x x x x x x x x x =11)1(ln )1)(1(ln 2+-+-++x x x x x x =2)1(1ln 1ln ln +---+++x x x x x x x x=2)1(ln +x x. 8.y =2x 22a x ++22a lnaa x x 22++.解：y ′=（2x22a x +）′+（22a lnaa x x 22++）′=2122a x ++2x ·21（x 2+a 2）21-·2x +22a ·22a x x a++·a1（x +22a x +）′=2122a x ++2222ax x ++)(2222a x x a ++［1+21（x 2+a 2）21-·2x ］=2122a x ++2222ax x ++)(2222a x x a ++·（1+)22a x x +）=222222ax x a x ++++)(2222a x x a ++·2222ax x a x +++=2222222ax a a x +++=22a x +.Ⅳ.课时小结（学生总结）本节课主要学习了对数函数的两个公式（ln x ）′=x1,（log a x ）′=x1log a e,以及运用函数的四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，求一些含有对数的函数的导数.Ⅴ.课后作业（一）课本P 125习题3.5 1.（二）预习内容:课本P 124～125指数函数的导数. 2.预习提纲:（1）预习（e x）′=e x及它的应用.（2）预习（a x ）′=a x ln a 及它的应用.板书设计 3.5.1 对数函数与指数函数的导数（一）——对数函数的导数1.（ln x ）′=x 1.2.（log a x ）′=x 1log a e.课本例题［例1］求y =ln （2x 2+3x +1）的导数.［例2］求y =lg 21x -的导数.精选例题［例1］求y =ln （12+x -x ）的导数.［例2］若f （x ）=ln （ln x ）,那么f ′（x ）|x =e =__________.（B ）A.eB.e 1C.1D.都不对 ［例3］y =ln ［ln （ln x ）］的导数是（C ）A.)ln(ln 1x x B.)ln(ln ln 1x xC.)ln(ln ln 1x x xD.)ln(ln 1x［例4］求y =ln|x |的导数.［例5］求y =x （ln x ）n 的导数.［例6］求y =log a 21x +的导数.课堂练习求下列函数的导数.1.y =x ln x .2.y =ln x 1.3.y =log a （x 2-2）.4.y =lg （sin x ）.5.y =ln x -1.6.y =ln 12+x .7.y =1ln +x x x -ln （x +1）. 8.y =2x 22a x ++22a ln a a x x 22++. 课后作业。