(2008年-2020年)高考数学分类汇编全国1卷(理)--平面解析几何初步(含全部答案解析)
最新版精选2020高考数学专题训练《平面解析几何初步》完整版考核题(含参考答案)(最新整理)
2019年高中数学单元测试卷平面解析几何初步学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．已知直线0=++C By Ax 在x 轴的截距大于在y 轴的截距，则A 、B 、C应满足条件．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（Ｄ）Ａ．B A > Ｂ．B A < Ｃ．0>+B C A C Ｄ．0<-BC A C 2．三条直线0155,02,0321=--=-+=-ky x l y x l y x l ：：：构成一个三角形，则k 的范围是（ ）A ．Rk ∈B ．R k ∈且0,1≠±≠k k C ．R k ∈且10,5-≠±≠k k D ．R k ∈且1,15≠±≠k k 二、填空题3．设M 是圆上的点，则M 点到直线的最短距离是 .222(5)(3)9x y -+-=3420x y +-=4．已知圆C 的圆心与点关于直线对称．直线(2,1)P -1y x =+34110x y +-=与圆C 相交于两点，且，则圆C 的方程为__________________．B A ,6=AB （天津卷15）22(1)18x y ++=5．在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的中心坐标为(3，2)，其一边AB 所在直线的方程为x-y+1=0，则边AB 的对边CD 所在直线的方程为 。
6．已知直线与圆1ax by +=224x y +=有交点，且交点为“整点”（即交点的横坐标、纵坐标均为整数），则满足条件的有序数对的个数为 8(),a b 7．若直线在轴上、轴上的截距分别是和4，则=_____，120mx ny ++=x y 3-m n =____8．若直线通过第一、二、四象限，则圆y ax b =+222()()x a y b r -+-=的圆心落在第____象限。
精选最新版2020高考数学专题训练《平面解析几何初步》完整考题(含标准答案)
2019年高中数学单元测试卷平面解析几何初步学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．在坐标平面内，与点A (1，2)距离为1，且与点B (3，1)距离为2的直线共有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条（2004全国2理8）2．过点(2,1)P 作圆22:2210C x y ax ay a +-+++=的切线有两条，则a 取值范围是_____二、填空题 3．平面直角坐标系中，ABC ∆三个顶点的坐标为A(a ，0)，B(0，b),C(0，c),点D （d,0）在线段OA 上（异于端点），设a,b,c,d 均为非零实数，直线BD 交AC 于点E ，则OE 所在的直线方程为 ▲_4． 已知定点A(3，3)、B(-1，5)，直线1y ax =+与线段AB 有公共点，则实数a 的取值范围是 ．5．直线:sin 102l x y π⎛⎫+⋅+= ⎪⎝⎭的倾斜角为 34π 6．若过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线210x y +-=平行，则m =____7．由曲线1y x =+上的点向圆22(3)(2)1x y -++=引切线，则切线长的最小值为 。
8．已知方程222(2)20a x a y ax a ++++=表示的曲线是圆，则实数a 的值是 ．9．过直线x y l 2:=上一点P 作圆()()218:22=-+-y x C 的切线21,l l ，若21,l l 关于直线l 对称，则点P 到圆心C 的距离为 。
【解答】根据平面几何知识可知，因为直线21,l l 关于直线l 对称，所以直线21,l l 关于直线PC 对称并且直线PC 垂直于直线l ，于是点P 到点C 的距离即为圆心C 到直线l 的距离，d ==。
10．设直线2310x y ++=和圆22230x y x +--=相交于A ，B 两点，则弦AB 的垂直平分线方程是 ．11．直线sin 2xcos y θθ+=与圆224x y +=的公共点的个数是 。
全国通用2020_2022三年高考数学真题分项汇编专题08平面解析几何解答题
08 平面解析几何（解答题）1．【2022年全国甲卷】设抛物线C:y 2=2px(p >0)的焦点为F ，点D (p,0)，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，|MF |=3．(1)求C 的方程；(2)设直线MD,ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线MN,AB 的倾斜角分别为α,β．当α−β取得最大值时，求直线AB 的方程． 【答案】(1)y 2=4x ； (2)AB:x =√2y +4. 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义可得|MF|=p +p2，即可得解；（2）设点的坐标及直线MN:x =my +1，由韦达定理及斜率公式可得k MN =2k AB ，再由差角的正切公式及基本不等式可得k AB =√22，设直线AB:x =√2y +n ，结合韦达定理可解.(1)抛物线的准线为x =−p2，当MD 与x 轴垂直时，点M 的横坐标为p ， 此时|MF|=p +p2=3，所以p =2， 所以抛物线C 的方程为y 2=4x ； (2)设M(y 124,y 1),N(y 224,y 2),A(y 324,y 3),B(y 424,y 4)，直线MN:x =my +1，由{x =my +1y 2=4x 可得y 2−4my −4=0，Δ>0,y 1y 2=−4，由斜率公式可得k MN =y 1−y 2y 124−y 224=4y 1+y 2，k AB=y 3−y 4y 324−y 424=4y 3+y 4， 直线MD:x =x 1−2y 1⋅y +2，代入抛物线方程可得y 2−4(x 1−2)y 1⋅y −8=0，Δ>0,y 1y 3=−8，所以y 3=2y 2，同理可得y 4=2y 1， 所以k AB =4y3+y 4=42(y1+y 2)=k MN 2又因为直线MN 、AB 的倾斜角分别为α,β， 所以k AB =tanβ=k MN 2=tanα2，若要使α−β最大，则β∈(0,π2)， 设k MN =2k AB=2k >0，则tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=k 1+2k 2=11k+2k ≤2√1k⋅2k=√24，当且仅当1k =2k 即k =√22时，等号成立，所以当α−β最大时，k AB =√22，设直线AB:x =√2y +n ，代入抛物线方程可得y 2−4√2y −4n =0， Δ>0,y 3y 4=−4n =4y 1y 2=−16，所以n =4， 所以直线AB:x =√2y +4. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系.2．【2022年全国乙卷】已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A (0,−2),B (32,−1)两点． (1)求E 的方程；(2)设过点P (1,−2)的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =TH ⃑⃑⃑⃑⃑ ．证明：直线HN 过定点． 【答案】(1)y 24+x 23=1(2)(0,−2) 【解析】 【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）设出直线方程，与椭圆C 的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解. (1)解：设椭圆E 的方程为mx 2+ny 2=1，过A (0,−2),B (32,−1)， 则{4n =194m +n =1 ，解得m =13，n =14，所以椭圆E 的方程为：y 24+x 23=1.(2)A(0,−2),B(32,−1)，所以AB:y +2=23x ，①若过点P(1,−2)的直线斜率不存在，直线x =1.代入x 23+y 24=1，可得M(1,2√63)，N(1,−2√63)，代入AB 方程y =23x −2，可得T(√6+3,2√63)，由MT⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =TH ⃑⃑⃑⃑⃑ 得到H(2√6+5,2√63).求得HN 方程： y =(2−2√63)x −2，过点(0,−2).②若过点P(1,−2)的直线斜率存在，设kx −y −(k +2)=0,M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).联立{kx −y −(k +2)=0x 23+y 24=1,得(3k 2+4)x 2−6k(2+k)x +3k(k +4)=0，可得{x 1+x 2=6k(2+k)3k 2+4x 1x 2=3k(4+k)3k 2+4，{y 1+y 2=−8(2+k)3k 2+4y 2y 2=4(4+4k−2k 2)3k 2+4， 且x 1y 2+x 2y 1=−24k3k 2+4(∗) 联立{y =y 1y =23x −2 ,可得T(3y 12+3,y 1),H(3y 1+6−x 1,y 1).可求得此时HN:y −y 2=y 1−y 23y1+6−x 1−x 2(x −x 2)，将(0,−2)，代入整理得2(x 1+x 2)−6(y 1+y 2)+x 1y 2+x 2y 1−3y 1y 2−12=0， 将(∗)代入，得24k +12k 2+96+48k −24k −48−48k +24k 2−36k 2−48=0, 显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,−2). 【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 3．【2022年新高考1卷】已知点A(2,1)在双曲线C:x 2a 2−y 2a 2−1=1(a >1)上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线AP,AQ 的斜率之和为0．(1)求l 的斜率；(2)若tan ∠PAQ =2√2，求△PAQ 的面积． 【答案】(1)−1； (2)16√29．【解析】 【分析】（1）由点A(2,1)在双曲线上可求出a ，易知直线l 的斜率存在，设l:y =kx +m ，P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)，再根据k AP +k BP =0，即可解出l 的斜率；（2）根据直线AP,AQ 的斜率之和为0可知直线AP,AQ 的倾斜角互补，再根据tan ∠PAQ =2√2即可求出直线AP,AQ 的斜率，再分别联立直线AP,AQ 与双曲线方程求出点P,Q 的坐标，即可得到直线PQ 的方程以及PQ 的长，由点到直线的距离公式求出点A 到直线PQ 的距离，即可得出△PAQ 的面积． (1)因为点A(2,1)在双曲线C:x 2a 2−y 2a 2−1=1(a >1)上，所以4a 2−1a 2−1=1，解得a 2=2，即双曲线C:x 22−y 2=1易知直线l 的斜率存在，设l:y =kx +m ，P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)， 联立{y =kx +m x 22−y 2=1可得，(1−2k 2)x 2−4mkx −2m 2−2=0，所以，x 1+x 2=−4mk 2k 2−1,x 1x 2=2m 2+22k 2−1，Δ=16m 2k 2+4(2m 2+2)(2k 2−1)>0⇒m 2−1+2k 2>0．所以由k AP +k BP =0可得，y 2−1x2−2+y 1−1x 1−2=0， 即(x 1−2)(kx 2+m −1)+(x 2−2)(kx 1+m −1)=0， 即2kx 1x 2+(m −1−2k )(x 1+x 2)−4(m −1)=0， 所以2k ×2m 2+22k 2−1+(m −1−2k )(−4mk2k 2−1)−4(m −1)=0，化简得，8k 2+4k −4+4m (k +1)=0，即(k +1)(2k −1+m )=0， 所以k =−1或m =1−2k ，当m =1−2k 时，直线l:y =kx +m =k (x −2)+1过点A (2,1)，与题意不符，舍去， 故k =−1． (2)不妨设直线PA,PB 的倾斜角为α,β(α<β)，因为k AP +k BP =0，所以α+β=π， 因为tan ∠PAQ =2√2，所以tan (β−α)=2√2，即tan2α=−2√2， 即√2tan 2α−tanα−√2=0，解得tanα=√2，于是，直线PA:y =√2(x −2)+1，直线PB:y =−√2(x −2)+1， 联立{y =√2(x −2)+1x 22−y 2=1可得，32x 2+2(1−2√2)x +10−4√2=0， 因为方程有一个根为2，所以x P =10−4√23，y P =4√2−53， 同理可得，x Q =10+4√23，y Q = −4√2−53．所以PQ:x +y −53=0，|PQ |=163，点A 到直线PQ 的距离d =|2+1−53|√2=2√23， 故△PAQ 的面积为12×163×2√23=16√29．4．【2022年新高考2卷】已知双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y =±√3x ． (1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)在C 上，且x 1>x 2>0,y 1>0．过P 且斜率为−√3的直线与过Q 且斜率为√3的直线交于点M .从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|=|MB|．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)x2−y23=1(2)见解析【解析】【分析】（1）利用焦点坐标求得c的值，利用渐近线方程求得a,b的关系，进而利用a,b,c的平方关系求得a,b的值，得到双曲线的方程；（2）先分析得到直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k, M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等价分析得到x0+ky0=8k2k2−3；由直线PM和QM的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率m=3x0y，由②PQ//AB等价转化为ky0=3x0，由①M在直线AB上等价于ky0=k2(x0−2)，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.(1)右焦点为F(2,0)，∴c=2,∵渐近线方程为y=±√3x，∴ba=√3，∴b=√3a，∴c2=a2+ b2=4a2=4，∴a=1，∴b=√3．∴C的方程为：x2−y23=1；(2)由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M为线段AB的中点，假若直线AB的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M在x轴上，即为焦点F,此时由对称性可知P、Q关于x轴对称，与从而x1=x2，已知不符；总之，直线AB的斜率存在且不为零.设直线AB的斜率为k,直线AB方程为y=k(x−2),则条件①M在AB上，等价于y0=k(x0−2)⇔ky0=k2(x0−2)；两渐近线的方程合并为3x2−y2=0,联立消去y并化简整理得：(k2−3)x2−4k2x+4k2=0设A(x3,y3),B(x3,y4),线段中点为N(x N,y N),则x N=x3+x42=2k2k2−3,y N=k(x N−2)=6kk2−3,设M(x0,y0),则条件③|AM|=|BM|等价于(x0−x3)2+(y0−y3)2=(x0−x4)2+(y0−y4)2, 移项并利用平方差公式整理得：(x 3−x 4)[2x 0−(x 3+x 4)]+(y 3−y 4)[2y 0−(y 3+y 4)]=0， [2x 0−(x 3+x 4)]+y 3−y 4x 3−x 4[2y 0−(y 3+y 4)]=0,即x 0−x N +k (y 0−y N )=0,即x 0+ky 0=8k 2k 2−3；由题意知直线PM 的斜率为−√3, 直线QM 的斜率为√3, ∴由y 1−y 0=−√3(x 1−x 0),y 2−y 0=√3(x 2−x 0), ∴y 1−y 2=−√3(x 1+x 2−2x 0), 所以直线PQ 的斜率m =y 1−y2x 1−x 2=−√3(x 1+x 2−2x 0)x 1−x 2, 直线PM:y =−√3(x −x 0)+y 0,即y =y 0+√3x 0−√3x ,代入双曲线的方程3x 2−y 2−3=0,即(√3x +y)(√3x −y)=3中， 得：(y 0+√3x 0)[2√3x −(y 0+√3x 0)]=3, 解得P 的横坐标：x 1=2√3(y +√3x +y 0+√3x 0),同理：x 2=2√3(y−√3x y 0−√3x 0)，∴x 1−x 2=√3(3y0y 02−3x 02+y 0),x 1+x 2−2x 0=−3xy 02−3x 02−x 0,∴m =3x 0y 0,∴条件②PQ//AB 等价于m =k ⇔ky 0=3x 0， 综上所述：条件①M 在AB 上，等价于ky 0=k 2(x 0−2)； 条件②PQ//AB 等价于ky 0=3x 0；条件③|AM|=|BM|等价于x 0+ky 0=8k 2k 2−3；选①②推③:由①②解得：x 0=2k 2k 2−3,∴x 0+ky 0=4x 0=8k 2k 2−3,∴③成立；选①③推②：由①③解得：x 0=2k 2k 2−3，ky 0=6k 2k 2−3， ∴ky 0=3x 0，∴②成立； 选②③推①：由②③解得：x 0=2k 2k 2−3，ky 0=6k 2k 2−3，∴x 0−2=6k 2−3， ∴ky 0=k 2(x 0−2)，∴①成立.5．【2021年甲卷文科】抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：1x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．已知点()2,0M ，且M 与l 相切．（1）求C ，M 的方程；（2）设123,,A A A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M 相切．判断直线23A A 与M 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）抛物线2:C y x =，M 方程为22(2)1x y -+=；（2）相切，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知抛物线与1x =相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出,P Q 坐标，由OP OQ ⊥，即可求出p ；由圆M 与直线1x =相切，求出半径，即可得出结论；（2）方法一：先考虑12A A 斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若121323,,A A A A A A 斜率存在，由123,,A A A 三点在抛物线上，将直线121223,,A A A A A A 斜率分别用纵坐标表示，再由1212,A A A A 与圆M 相切，得出2323,y y y y +⋅与1y 的关系，最后求出M 点到直线23A A 的距离，即可得出结论. 【详解】（1）依题意设抛物线200:2(0),(1,),(1,)C y px p P y Q y =>-， 20,1120,21OP OQ OP OQ y p p ⊥∴⋅=-=-=∴=，所以抛物线C 的方程为2y x =，()2,0,M M 与1x =相切，所以半径为1，所以M 的方程为22(2)1x y -+=；（2）[方法一]：设111222333(),(,),(,)A x y A x y A x y 若12A A 斜率不存在，则12A A 方程为1x =或3x =， 若12A A 方程为1x =，根据对称性不妨设1(1,1)A ， 则过1A 与圆M 相切的另一条直线方程为1y =，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在3A ，不合题意； 若12A A 方程为3x =，根据对称性不妨设12(3,A A 则过1A 与圆M 相切的直线13A A为3)y x -=-，又131********A A y y k y x x y y -==∴=-+， 330,(0,0)x A =，此时直线1323,A A A A 关于x 轴对称，所以直线23A A 与圆M 相切； 若直线121323,,A A A A A A 斜率均存在，则121323121323111,,A A A A A A k k k y y y y y y ===+++， 所以直线12A A 方程为()11121y y x x y y -=-+， 整理得1212()0x y y y y y -++=，同理直线13A A 的方程为1313()0x y y y y y -++=， 直线23A A 的方程为2323()0x y y y y y -++=， 12A A 与圆M相切，1=整理得22212121(1)230y y y y y -++-=，13A A 与圆M 相切，同理22213131(1)230y y y y y -++-= 所以23,y y 为方程222111(1)230y y y y y -++-=的两根，2112323221123,11y y y y y y y y -+=-⋅=--，M 到直线23A A 的距离为：2123|2|y -+=22121111y y +===+，所以直线23A A 与圆M 相切；综上若直线1213,A A A A 与圆M 相切，则直线23A A 与圆M 相切.[方法二]【最优解】：设()()()222111113333322222,,,,,,,,A x y y x A x y y x A x y y x ===．当12x x =时，同解法1．当12x x ≠时，直线12A A 的方程为()211121y y y y x x x x --=--，即121212y y x y y y y y =+++． 由直线12A A 与M1=，化简得()121212130y y x x x +--+=，同理，由直线13A A 与M 相切得()131312130y y x x x +--+=．因为方程()1112130y y x x x +--+=同时经过点23,A A ，所以23A A 的直线方程为()1112130y y x x x +--+=，点M 到直线23A A1==．所以直线23A A 与M 相切．综上所述，若直线1213,A A A A 与M 相切，则直线23A A 与M 相切． 【整体点评】第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；法一是要充分利用1213,A A A A 的对称性，抽象出2323,y y y y +⋅与1y 关系，把23,y y 的关系转化为用1y 表示，法二是利用相切等条件得到23A A 的直线方程为()1112130y y x x x +--+=，利用点到直线距离进行证明，方法二更为简单，开拓学生思路6．【2021年乙卷文科】已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2． （1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值. 【答案】（1）24y x =；（2）最大值为13.【解析】 【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；（2）设()00,Q x y ，由平面向量的知识可得()00109,10P x y -，进而可得20025910y x +=，再由斜率公式及基本不等式即可得解. 【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为222p p p ⎛⎫--== ⎪⎝⎭， 所以该抛物线的方程为24y x =；（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法 设()00,Q x y ，则()00999,9PQ QF x y ==--， 所以()00109,10P x y -， 由P 在抛物线上可得()()200104109y x =-，即20025910y x +=，据此整理可得点Q 的轨迹方程为229525=-y x ，所以直线OQ 的斜率000220001025925910OQ y y y k y x y ===++， 当00y =时，0OQ k =； 当00y ≠时，0010925OQ k y y =+， 当00y >时，因为0092530y y +≥=， 此时103OQ k <≤，当且仅当00925y y =，即035y =时，等号成立；当00y <时，0OQ k <；综上，直线OQ 的斜率的最大值为13.[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法同方法一得到点Q 的轨迹方程为229525=-y x ． 设直线OQ 的方程为y kx =，则当直线OQ 与抛物线229525=-y x 相切时，其斜率k 取到最值．联立2,29,525y kx y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩得22290525k x x -+=，其判别式222940525⎛⎫∆=--⨯= ⎪⎝⎭k ，解得13k =±，所以直线OQ 斜率的最大值为13．[方法三]：轨迹方程+换元求最值法同方法一得点Q 的轨迹方程为229525=-y x ． 设直线OQ 的斜率为k ，则22229525⎛⎫==- ⎪⎝⎭y k x x x． 令11009⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭t t x ，则2292255=-+k t t 的对称轴为59t =，所以21110,933≤≤-≤≤k k ．故直线OQ 斜率的最大值为13．[方法四]：参数+基本不等式法由题可设()24,4(0),(,)>P t t t Q x y ．因为(1,0),9=F PQ QF ，所以()24,49(1,)--=--x t y t x y ．于是249(1)49x t x y t y ⎧-=-⎨-=-⎩，所以21049104x t y t ⎧=+⎨=⎩则直线OQ的斜率为244194934==≤=++y t x t t t ．当且仅当94t t=，即32t =时等号成立，所以直线OQ 斜率的最大值为13．【整体点评】方法一根据向量关系，利用代点法求得Q 的轨迹方程，得到直线OQ 的斜率关于y 的表达式，然后利用分类讨论，结合基本不等式求得最大值；方法二 同方法一得到点Q 的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线OQ 的斜率的最大值，为最优解；方法三同方法一求得Q 的轨迹方程，得到直线OQ 的斜率k 的平方关于x 的表达式，利用换元方法转化为二次函数求得最大值，进而得到直线OQ 斜率的最大值；方法四利用参数法，由题可设()24,4(0),(,)>P t t t Q x y ，求得x,y 关于t 的参数表达式，得到直线OQ 的斜率关于t 的表达式，结合使用基本不等式，求得直线OQ 斜率的最大值.7．【2021年乙卷理科】已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB △面积的最大值． 【答案】（1）2p =；（2）【解析】 【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于p 的等式，即可解出p 的值；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，利用导数求出直线PA 、PB ，进一步可求得直线AB 的方程，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，求出AB 以及点P 到直线AB 的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得PAB △面积的最大值. 【详解】（1）[方法一]：利用二次函数性质求最小值由题意知，0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设圆M 上的点()00,N x y ，则()22041++=x y ． 所以()()22001453=-+-≤≤-x y y ．从而有||==FN=因为053y -≤≤-，所以当03y=-时，min ||4FN ． 又0p >，解之得2p =，因此2p =．[方法二]【最优解】：利用圆的几何意义求最小值抛物线C 的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，42pFM =+，所以，F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4142p+-=，解得2p =； （2）[方法一]：切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法 抛物线C 的方程为24x y =，即24x y =，对该函数求导得=2xy '，设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ， 直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即112x xy y =-，即11220x x y y --=， 同理可知，直线PB 的方程为22220x x y y --=，由于点P 为这两条直线的公共点，则10102020220220x x y y x x y y --=⎧⎨--=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程00220x x y y --=， 所以，直线AB 的方程为00220x x y y --=，联立0022204x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩，可得200240x x x y -+=， 由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，所以，AB ==点P 到直线AB的距离为d =所以，()3220011422PABS AB d x y =⋅==-△， ()()2222000000041441215621x y y y y y y -=-+-=---=-++，由已知可得053y -≤≤-，所以，当05y =-时，PAB △的面积取最大值321202⨯=[方法二]【最优解】：切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值 同方法一得到1201202,4+==x x x x x y ．过P 作y 轴的平行线交AB 于Q ，则2000,2⎛⎫- ⎪⎝⎭x Q x y ．()32221200001111||242222⎛⎫=⋅-=-- ⎪⎝⎭PABSPQ x x x y x y ． P 点在圆M 上，则00cos ,4sin ,x y αα=⎧⎨=-+⎩()()333222222001114cos 4sin 16(sin 2)21222ααα⎡⎤=-=-+=-++⎣⎦PABSx y ． 故当sin 1α=-时PAB △的面积最大，最大值为 [方法三]：直接设直线AB 方程法设切点A ，B 的坐标分别为211,4x A x ⎛⎫⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭．设:AB l y kx b =+，联立AB l 和抛物线C 的方程得2,4,y kx b x y =+⎧⎨=⎩整理得2440x kx b --=．判别式2Δ16160=+>k b ，即20k b +>，且12124,4x x k x x b +==-． 抛物线C 的方程为24x y =，即24x y =，有2x y '=． 则()2111:42-=-PA x x l y x x ，整理得21124x x y x =⋅-，同理可得222:24=⋅-PB x x l y x ．联立方程211222,24,24x x y x x x y x ⎧=⋅-⎪⎪⎨⎪=⋅-⎪⎩可得点P 的坐标为1212,24x x x x P +⎛⎫ ⎪⎝⎭，即(2,)P k b -． 将点P 的坐标代入圆M 的方程，得22(2)(4)1+-+=k b ，整理得221(4)4b k --=．由弦长公式得12||=-=AB x=点P 到直线AB的距离为d =所以21||222==+=PABSAB d k b= 其中[5,3]=-∈--P y b ，即[3,5]∈b ．当5b =时，()max=PAB S【整体点评】（1）方法一利用两点间距离公式求得FN 关于圆M 上的点()00,N x y 的坐标的表达式，进一步转化为关于0y 的表达式，利用二次函数的性质得到最小值，进而求得p 的值；方法二，利用圆的性质，F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值，简洁明快，为最优解；（2）方法一设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，利用导数求得两切线方程，由切点弦方程思想得到直线AB 的坐标满足方程00220x x y y --=，然手与抛物线方程联立，由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，利用弦长公式求得AB 的长，进而得到面积关于()00,P x y 坐标的表达式，利用圆的方程转化得到关于0y 的二次函数最值问题；方法二，同方法一得到1202x x x +=，1204x x y =，过P 作y 轴的平行线交AB 于Q ，则2000,2⎛⎫- ⎪⎝⎭x Q x y ．由121||2PABSPQ x x =⋅-求得面积关于()00,P x y 坐标的表达式，并利用三角函数换元求得面积最大值，方法灵活，计算简洁，为最优解；方法三直接设直线:AB l y kx b =+，联立直线AB 和抛物线方程，利用韦达定理判别式得到20k b +>，且12124,4x x k x x b +==-．利用点P 在圆M 上，求得,k b 的关系，然后利用导数求得两切线方程，解方程组求得P 的坐标(2,)P k b -，进而利用弦长公式和点到直线距离公式求得面积关于b 的函数表达式，然后利用二次函数的性质求得最大值；8．【2021年新高考1卷】在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程； （2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【答案】（1）()221116y x x -=≥；（2）0. 【解析】 【分析】(1) 利用双曲线的定义可知轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点双曲线的右支，求出a 、b 的值，即可得出轨迹C 的方程；(2)方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C 的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，最后化简计算可得12k k +的值.【详解】(1)因为12122MF MF F F -=<=所以，轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则22a =，可得1a =，4b =，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥.（2）[方法一] 【最优解】：直线方程与双曲线方程联立 如图所示，设1(,)2T n ,设直线AB 的方程为112211(),,(2,(),)y n k x A x y B x y -=-．联立1221()2116y n k x y x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩, 化简得22221111211(16)(2)1604k x k k n x k n k n -+---+-=.则22211112122211111624,1616k n k n k k n x x x x k k +-+-+==--．故12,11||)||)22TA x TB x -=-．则222111221(12)(1)11||||(1)()()2216n k TA TB k x x k ++⋅=+--=-．设PQ 的方程为21()2y n k x -=-，同理22222(12)(1)||||16n k TP TQ k ++⋅=-． 因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，所以22122212111616k k k k ++=--，化简得22121717111616k k +=+--，所以22121616k k -=-，即2212k k =．因为11k k ≠，所以120k k +=． [方法二] ：参数方程法设1(,)2T m ．设直线AB 的倾斜角为1θ，则其参数方程为111cos 2sin x t y m t θθ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩， 联立直线方程与曲线C 的方程2216160(1)x y x --≥=，可得222221111cos 116(cos )(sin 2sin )1604t m t t mt θθθθ+-++-=+，整理得22221111(16cos sin )(16cos 2sin )(12)0t m t m θθθθ-+--+=．设12,TA t TB t ==，由根与系数的关系得2212222111(12)12||||16cos sin 117cos t m m TA TB t θθθ-++⋅===--⋅．设直线PQ 的倾斜角为2θ，34,TP t TQ t ==，同理可得2342212||||117cos m T T t P Q t θ+⋅==-⋅由||||||||TA TB TP TQ ⋅=⋅，得2212cos cos θθ=．因为12θθ≠，所以12s o o s c c θθ=-．由题意分析知12θθπ+=．所以12tan tan 0θθ+=， 故直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0． [方法三]：利用圆幂定理因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，由圆幂定理知A ，B ，P ，Q 四点共圆． 设1(,)2T t ,直线AB 的方程为11()2y t k x -=-，直线PQ 的方程为21()2y t k x -=-,则二次曲线1212()()022k kk x y t k x y t --+--+=． 又由22116y x -=，得过A ，B ，P ，Q 四点的二次曲线系方程为： 221212()()(1)0(0)2216k k y k x y t k x y t x λμλ--+--++--=≠，整理可得： []2212121212()()()()16k x y k k xy t k k k k k x μμλλλλ++--+++-12(2)02y k k t m λ++-+=， 其中21212()42k k t m t k k λμ⎡⎤=+-+-⎢⎥⎣⎦．由于A ，B ，P ，Q 四点共圆，则xy 项的系数为0，即120k k +=. 【整体点评】(2)方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问题是最经典的方法，它体现了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解；方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理解，并能够灵活的应用到题目中.方法三：圆幂定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.9．【2021年新高考2卷】已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为F ，且． （1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F三点共线的充要条件是||MN =【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）由离心率公式可得a =2b ，即可得解；（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证MN 充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<，由直线与圆相切得221b k =+，联立直线与椭圆方=1k =±，即可得解. 【详解】（1）由题意，椭圆半焦距c =c e a ==a = 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ， 必要性：若M ，N ，F三点共线，可设直线(:MN y k x =即0kx y -=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，解得1k =±，联立(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得2430x -+=，所以121234x x x x +=⋅=，所以MN 所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b -+=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，所以221b k =+，联立2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x kbx b +++-=， 所以2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-⋅=++，所以MN ==化简得()22310k -=，所以1k =±，所以1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩1k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩:MN y x =y x =-所以直线MN 过点F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立； 所以M ，N，F 三点共线的充要条件是||MN = 【点睛】 关键点点睛：解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.10．【2020年新课标1卷理科】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.【答案】（1）2219x y +=；（2）证明详见解析.【解析】 【分析】（1）由已知可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G ，即可求得21AG GB a ⋅=-，结合已知即可求得：29a =，问题得解.（2）方法一：设()06,P y ，可得直线AP 的方程为：()039y y x =+，联立直线AP 的方程与椭圆方程即可求得点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，同理可得点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，当203y ≠时，可表示出直线CD 的方程，整理直线CD 的方程可得：()02043233y y x y ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭即可知直线过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭，命题得证. 【详解】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a +=>可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G∴(),1AG a =，(),1GB a =- ∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y +=（2）[方法一]：设而求点法 证明：设()06,P y ， 则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭. 同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭ 当203y ≠时，∴直线CD 的方程为：0022200002222000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++， 整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭ 整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭所以直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．[方法二]【最优解】：数形结合设(6,)P t ，则直线PA 的方程为(3)9ty x =+，即930-+=tx y t ． 同理，可求直线PB 的方程为330--=tx y t ．则经过直线PA 和直线PB 的方程可写为(93)(33)0-+--=tx y t tx y t ．可化为()22292712180-+-+=txy txy ty ．④易知A ，B ，C ，D 四个点满足上述方程，同时A ，B ，C ，D 又在椭圆上，则有2299x y -=-，代入④式可得()2227912180--+=tytxy ty ．故()227912180⎡⎤--+=⎣⎦y t y tx t ，可得0y =或()227912180--+=t y tx t ．其中0y =表示直线AB ，则()227912180--+=t y tx t 表示直线CD ．令0y =，得32x =，即直线CD 恒过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭． 【整体点评】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.第二问的方法一最直接，但对运算能力要求严格；方法二曲线系的应用更多的体现了几何与代数结合的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.11．【2020年新课标2卷理科】已知椭圆C 1：22221x y a b +=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.【答案】（1）12；（2）221:13627x y C +=，22:12C y x =.【解析】 【分析】（1）求出AB 、CD ，利用43CD AB =可得出关于a 、c 的齐次等式，可解得椭圆1C 的离心率的值；（2）[方法四]由（1）可得出1C 的方程为2222143x y c c+=，联立曲线1C 与2C 的方程，求出点M 的坐标，利用抛物线的定义结合5MF =可求得c 的值，进而可得出1C 与2C 的标准方程. 【详解】（1）(),0F c ，AB x ⊥轴且与椭圆1C 相交于A 、B 两点， 则直线AB 的方程为x c =，联立22222221x cx y a b a b c =⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，则22b AB a =，抛物线2C 的方程为24y cx =，联立24x cy cx =⎧⎨=⎩，解得2x cy c =⎧⎨=±⎩，4CD c ∴=，43CD AB =，即2843b c a=，223b ac =，即222320c ac a +-=，即22320e e +-=，01e <<，解得12e =，因此，椭圆1C 的离心率为12； （2）[方法一]：椭圆的第二定义由椭圆的第二定义知20||=-MF e a x c，则有200||⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭a MF e x a ex c ，所以0152-=a x ，即0210=-x a ． 又由0||5=+=MF x c ，得052=-a x ． 从而21052-=-aa ，解得6a=． 所以3,6,6====c a b p ．故椭圆1C 与抛物线2C 的标准方程分别是2221,123627+==x y y x ．[方法二]：圆锥曲线统一的极坐标公式以(c,0)F 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．由（Ⅰ）知2a c =，又由圆锥曲线统一的极坐标公式2||1cos θ=-cMF ，得255cos θ=-c ，由132||11cos 2θ⨯=+c MF ，得3105cos θ=+c ，两式联立解得3c =． 故1C 的标准方程为2213627x y+=，2C 的标准方程为212y x =．[方法三]：参数方程由（1）知2,a c b ==，椭圆1C 的方程为2222143x yc c+=，所以1C 的参数方程为{x =2c ⋅cosθ,y =√3c ⋅sinθ（θ为参数），将它代入抛物线22:4C y cx =的方程并化简得23cos 8cos 30θθ+-=，解得1cos 3θ=或cos 3θ=-（舍去），所以sin θ=M的坐标为23⎛ ⎝⎭c ．又||5MF =，所以由抛物线焦半径公式有5+=M x c ，即253+=cc ，解得3c =． 故1C 的标准方程为2213627x y+=，2C 的标准方程为212y x =．[方法四]【最优解】：利用韦达定理由（1）知2a c =，b =，椭圆1C 的方程为2222143x yc c+=，联立222224143y cx x y c c ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得22316120x cx c +-=， 解得23x c =或6x c =-（舍去）， 由抛物线的定义可得25533cMF c c =+==，解得3c =. 因此，曲线1C 的标准方程为2213627x y+=，曲线2C 的标准方程为212y x =. 【整体点评】(2)方法一：椭圆的第二定义是联系准线与离心率的重要工具，涉及离心率的问题不妨考虑使用第二定义，很多时候会使得问题简单明了.方法二：圆锥曲线统一的极坐标公式充分体现了圆锥曲线的统一特征，同时它也是解决圆锥曲线问题的一个不错的思考方向.方法三：参数方程是一种重要的数学工具，它将圆锥曲线的问题转化为三角函数的问题，使得原来抽象的问题更加具体化.方法四：韦达定理是最常用的处理直线与圆锥曲线位置关系的方法，联立方程之后充分利用韦达定理可以达到设而不求的效果.12．【2020年新课标2卷文科】已知椭圆C 1：22221x y a b +=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．【答案】（1）12；（2）1C ：2211612x y +=，2C ： 28y x =. 【解析】 【分析】（1）根据题意求出2C 的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设,A C 在第一象限，运用代入法求出,,,A B C D 点的纵坐标，根据4||||3CD AB =，结合椭圆离心率的公式进行求解即可； （2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可； 【详解】解：（1）因为椭圆1C 的右焦点坐标为：(c,0)F ,所以抛物线2C 的方程为24y cx =，其中c 不妨设,A C 在第一象限，因为椭圆1C 的方程为：22221x ya b+=，所以当x c =时，有222221c y b y a b a +=⇒=±，因此,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a-；又因为抛物线2C 的方程为24y cx =，所以当x c =时，有242y c c y c =⋅⇒=±，所以,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||bAB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⋅=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c+=，所以1C 的四个顶点坐标分别为(2,0)c ，(2,0)c -，)，(0,)，2C 的准线为x c =-. 由已知得312c c c c +++=，即2c =.所以1C 的标准方程为2211612x y+=，2C 的标准方程为28y x =.【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.13．【2020年新课标3卷理科】已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积． 【答案】（1）221612525x y +=；（2）52. 【解析】 【分析】（1）因为222:1(05)25x y C m m+=<<，可得5a =，b m =，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）方法一：过点P 作x 轴垂线，垂足为M ，设6x =与x 轴交点为N ，可得 PMB BNQ ≅△△，可求得P 点坐标，从而求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积. 【详解】 （1）222:1(05)25x y C m m +=<<∴5a =，b m =，根据离心率c e a ===，解得54m =或54m =-(舍)，∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=． （2）［方法一］：通性通法不妨设P ,Q 在x 轴上方，过点P 作x 轴垂线，垂足为M ，设直线6x =与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥， 90PMB QNB ∠=∠=︒，又90PBM QBN ∠+∠=︒， 90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=，∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=， 设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y +=， 可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-，①当P 点为(3,1)时，故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△，∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图(5,0)A -, (6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为d ===，根据两点间距离公式可得：AQ ==，∴APQ 面积为：1522⨯=； ②当P 点为(3,1)-时，故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△，∴||||8MB NQ ==，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图(5,0)A -, (6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为d ==根据两点间距离公式可得：AQ =∴APQ 面积为： 1522=，综上所述，APQ 面积为：52. ［方法二］【最优解】：由对称性，不妨设P ，Q 在x 轴上方，过P 作PE x ⊥轴，垂足为E ．设(6,0)D ，由题知，PEB BDQ ≌．故131p BP PE PEPE x QB BD ==⇒=⇒=±， ①因为(3,1),(5,0),(6,2)P A Q -，如图，所以，52APQAQDPEDQ PEAS SS S=--=．②因为(3,1),(5,0),(6,8)P A Q --，如图，所以52APQAQDPEDQ PEASSS S=--=．综上有52APQ S =△ ［方法三］：由已知可得()5,0B ，直线,BP BQ 的斜率一定存在，设直线BP 的方程为()5y k x =-，由对称性可设0k <，联立方程22(5),161,2525y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()22221161601625250k x k x k +-+⨯-=，由韦达定理得221625255116P k x k ⨯-=+，所以22805116P k x k -=+，将其代入直线BP 的方程得210116P ky k -=+，所以22280510,116116k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，则||BP = 因为BP BQ ⊥，则直线BQ 的方程为1(5)y x k=--，则16,,||Q BQ k ⎛⎫-== ⎪⎝⎭ 因为||||BP BQ ==422566810k k -+=， 即()()22641410k k --=，故2164k =或214k =，即18k =-或12k =-．当18k =-时，点P ，Q的坐标分别为(3,1),(6,8),||P Q PQ -=直线PQ 的方程为71093y x =+，点A 到直线PQ故APQ 的面积为1522=．当12k =-时，点P ，Q 的坐标分别为(3,1),(6,2),||P Q PQ =直线PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线PQ故APQ 的面积为1522．综上所述，APQ 的面积为52．［方法四］：由（1）知椭圆的方程为221612525x y +=，(5,0),(5,0)A B -．不妨设()00,P x y 在x 轴上方，如图．设直线:(5)(0)AP y k x k =+>．因为||||,BP BQ BP BQ =⊥，所以00||1,||5Q y BN y BM x ====-．由点P 在椭圆上得201612525x +=，所以209x =．由点P 在直线AP 上得()015k x =+，所以015k x k -=．所以2159k k -⎛⎫= ⎪⎝⎭，化简得216101k k =-． 所以0110155516k x k k k -⎛⎫-=--== ⎪⎝⎭，即(6,16)Q k ． 所以，点Q 到直线AP 的距离d ==又)0||5AP x ==+=．故115222APQSAP d =⋅==．即APQ 的面积为52．［方法五］：由对称性，不妨设P ，Q 在x 轴上方，过P 作PC x ⊥轴，垂足为C ，设(6,0)D ， 由题知PCB BDQ ≌，所以131p BP PC PCPC x QB BD ==⇒=⇒=±． （1）(3,1),(5,0),(6,2)P A Q -． 则221221115(||||)(||||)|82111|222APQSAP AQ AP AQ x y x y =⋅-⋅=-=⨯-⨯=． （其中()()1122,,,AP x y AQ x y ==）． （2）(3,1),(5,0),(6,8)P A Q --． 同理，221221115(||||)()|28111|222APQSAP AQ AP AQ x y x y =-⋅=-=⨯-⨯=． （其中()()1122,,,AP x y AQ x y ==） 综上，APQ 的面积为52．【整体点评】（2）方法一：根据平面几何知识可求得点P 的坐标，从而得出点Q 的坐标以及直线AQ 的方程，再根据距离公式即可求出三角形的面积，是通性通法；方法二：同方法一，最后通过面积分割法求APQ 的面积，计算上有简化，是本题的最优解；方法三：通过设直线BP 的方程()5y k x =-与椭圆的方程联立，求出点P 的坐标，再根据题目等量关系求出k 的值，从而得出点Q 的坐标以及直线AQ 的方程，最后根据距离公式即可求出三角形的面积，思想简单，但运算较繁琐；方法四：与法三相似，设直线AP 的方程:(5)(0)AP y k x k =+>，通过平面知识求出点P 的坐标，表示出点Q ，再根据距离公式即可求出三角形的面积；方法五：同法一，只是在三角形面积公式的选择上，利用三角形面积的正弦形式结合平面向量的数量积算出．14．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点()2,1A ． （1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．【答案】（1）22163x y +=；（2）详见解析.【解析】 【分析】（1）由题意得到关于,,a b c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.（2）方法一：设出点M ，N 的坐标，在斜率存在时设方程为y kx m =+, 联立直线方程与椭。
精选新版2020高考数学专题训练《平面解析几何初步》完整考试题(含答案)
2019年高中数学单元测试卷平面解析几何初步学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、填空题1． 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆422=+y x 上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是______2．已知点(1,2,1)A -，点B 与A 关于x 轴对称，点C 与A 关于平面yOz 对称，那么,B C 两点间的距离为_______3．经过直线230x y -+=与直线2380x y +-=的交点，且与直线3420x y +-=平行的直线方程为_____________4．直线x ＋ay ＋3＝0与直线ax ＋4y ＋6＝0平行的充要条件是_________．5．已知圆22x y m +=与圆2268110x y x y ++--=相交，则实数m 的取值范围为 ．6．直线x ＝1的倾斜角为________．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,2)，直线:40l x y +-=．点B (,)x y 是圆22:210C x y x +--=的动点，,AD l BE l ⊥⊥，垂足分别为D 、E ，则线段DE 的最大值是 ▲ ．解答：线段DE 的最大值等于圆心（1，0）到直线AD （x-y+2=0）的距离加半径，为2。
8．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆(x -1)2＋(y -1)2＝4，C 为圆心，点P 为圆上任意一点，则OP CP ⋅的最大值为 ▲ .9．一直线倾斜角的正切值为43，且过点()1,2P ，则直线方程为_____________。
10．过直线240x y -+=与50x y -+=的交点，且平行于20x y -=的直线方程是_____11． 在平面直角坐标系xOy 中，点P （1，2）到直线0534=++y x 的距离为__________。
12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，且与直线x －y －3＝0相切，则圆C 的半径为 ▲ ．解析：可设圆心为(2，b )，半径r ＝b 2＋1，则|－1－b |2＝b 2＋1，解得b ＝1．故r ＝2． 13．圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4)A -，(0,2)B -，则圆C 的方程为 _________ ．14．圆心在y 轴上，且与直线y x =相切于点(1,1)的圆的方程为________ ___________．15．圆2236x y +=与圆22860x y x y +--=的公共弦所在直线的方程为 .16．设直线过点(0,),a 其斜率为1，且与圆222x y +=相切，则a 的值为17．直线3(2)(51)430k x k y k ++--+=不论k 为何值恒过一定点__________；18．已知实数x ，y 满足关系：2224200x y x y +-+-=，则22x y +的最小值 ．19．已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，则x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为20．已知点(,)x y 在圆22(2)(3)1x y -++=上．则x y +的最大值为21．在平面直角坐标系xOy 中，设过原点的直线l 与圆C ：22(3)(1)4x y -+-=交于M 、N 两点，若MN ≥l 的斜率k 的取值范围是______．二、解答题22．已知点),(y x Q 位于直线3x =-右侧，且到点(1,0)F -与到直线3x =-的距离之和等于4．（1）求动点),(y x Q 的坐标之间满足的关系式，并化简且指出横坐标x 的范围；（2）设（1）中的关系式表示的曲线为C ，若直线l 过点(1,0)M 且交曲线C 于不同的两点A 、B ，①求直线l 的斜率的取值范围，②若点P 满足1()2FP FA FB =+，且0EP AB ⋅=，其中点E 的坐标为0(,0)x ，试求x 0的取值范围。
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2019年高中数学单元测试卷平面解析几何初步学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22,则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A ． ]412[ππ， B ．]12512[ππ， C ．]36[ππ， D ．]20[π， (2006湖南理)二、填空题2．直线x·cos α＋ 3y －2＝0的倾斜角范围是 ▲ ．3．若直线0ax by c ++=过坐标原点，则,,a b c 应满足的条件是___________-4．点P 在直线04=-+y x 上，O 是坐标原点，则||OP 的最小值是_________．5．过点（1，2）的直线l 与x 轴的正半轴，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当AOB D 的面积最小时，直线l 的方程是6．如果直线0(0)ax by c ab ++=≠和圆221x y +=相切，那么以||,||,||a b c 为边长的三角形的形状是_______7．设(4,9),(6,3)A B ，则以AB 为直径的圆的方程为___________8．若(1,3),(1,5)A B -，则直线AB 的斜率为________，倾斜角为_________9．圆2264120x y x y +--+=上一点到直线3420x y +-=的距离的最小值为10．在平面直角坐标系xOy 中，设过原点的直线l 与圆C ：22(3)(1)4x y -+-=交于M 、N 两点，若MN ≥l 的斜率k 的取值范围是______．11．设直线0543=-+y x 与圆4:221=+y x C 交于B A ,两点,若圆2C 的圆心在线段AB 上,且圆2C 与圆1C 相切,切点在圆1C 的劣弧AB 上,则圆2C 的半径的最大值是 ；12． 已知直线的斜率是-3，点Ｐ（１，２）在直线上，则直线方程的一般式是 .13．圆222210x y x y ++-+=关于直线30x y -+=对称的圆的方程为______________14．函数2)(x x f =在点(1，)1(f )处的切线方程为 ．15．已知直线l 过点(3,4)A -，倾斜角为60，则直线l 的方程为 ．16．圆2221:4440C x y ax a +++-=和圆2222:210C x y by b +-+-=相内切，若,a b R ∈，且0ab ≠，则2211a b +的最小值为 .17．若过P (3－a,2＋a )和Q (1,3a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围为__________．18．在直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是 ．19．直线x +3y －3=0的倾斜角是___56π____________．三、解答题20． 已知圆M ：1)2(22=+-y x ，点Q 是y 轴上的动点，QA 、QB 分别与圆M 切于A 、B 两点，（1）求四边形AMBQ 的面积的最小值及此时点Q 的坐标；（2）如果||3AB =MQ 的方程。
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2019年高中数学单元测试卷平面解析几何初步学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．将圆x 2+y 2 -2x-4y+1=0平分的直线是（ ）A ．x+y-1=0B ．x+y+3=0C ．x-y+1=0D ．x-y+3=0（2012辽宁文）2．下列方程的曲线关于x=y 对称的是（ ）A ．x 2－x ＋y 2＝1B ．x 2y ＋xy 2＝1C ．x －y=1D ．x 2－y 2＝1（2000北京安徽春季4）3．“2a =”是“直线20ax y +=平行于直线1x y +=”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（2007天津文3）4．已知点()P a b ，（0ab ≠）是圆O ：222x y r +=内一点，直线l 的方程为20ax by r ++=，那么直线l 与圆O 的位置关系是A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定5．已知圆的方程为08622=--+y x y x .设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（山东卷11）A ．106B ．206C ．306D ．406 二、填空题6．过点(0，1)，且与直线2x ＋y －3＝0平行的直线方程是______▲______ ．7．已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB ∙的最小值为（ ）A ．4-+B ．3-C ．4-+D ．3-+2004）8． 若圆心在x 的圆C 位于y 轴左侧，且与直线20x y +=相切，则圆C的方程 ▲ ．9．已知点(2,3)A -、(3,2)B ，若直线l 过点(0,2)P -与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 ▲ .10．已知：x xe x f =)(0，若)()(1'x f x f i i -=，则=)(2009x f11．已知直线:l 01243=-+y x ，则过点)3,1(-且与直线l 垂直的直线方程为 ．12．已知直线12:10,:1(1)l x y l y k x +-=-=+，圆22:1C x y +=，则直线12,l l 将圆C 所围区域分成三部分的充要条件k ∈ ．13．已知圆2222220x y kx y k ++++=和点(1,1),P -若过点P 的直线与圆总有公共点，则实数k 的取值范围为___________14．已知M （－1，3），N （2，1），点P 在x 轴上，且使PM +PN 取得最小值，则最小值为 5 ．15．若原点O 在直线l 射影为点(2,1)M -，则直线l 的方程为____________16．设两圆222212:20,:40C x y x C x y y +-=++=相交，则两圆公共弦所在的直线方程为___________17．已知点(2,3),(3,1),(1,3)A B C --，求BC 边上的中线AM 的长。
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2019年高中数学单元测试卷平面解析几何初步学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．直线02=+-b y x 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么b 的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（Ｃ）Ａ．[]2,2- Ｂ．(][)+∞⋃-∞-,22,Ｃ．[)(]2,00,2⋃- Ｄ．()+∞∞-,2． 直线l 过点（-1，2）且与直线垂直，则l 的方程是A ．3210x y +-= B.3270x y ++= C. 2350x y -+= D. 2380x y -+=二、填空题3．已知点(1,2)A 、(3,1)B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是_______________________4．过点M （0，4）、被圆4)1(22=+-y x 截得的线段长为32的直线方程为．5．已知点(2,3),(3,1),(1,3)A B C --，求BC 边上的中线AM 的长。
6．两圆229x y +=和228690x y x y +-++=的位置关系是__________；7．0y +-=截圆224x y +=得到的劣弧所对的圆心角等于_________8．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是___________，最小值是____________________9．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆422=+y x 上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是______ _____10．已知点A (－2，－1)和B(2，3)，圆C ：x 2＋y 2 = m 2，当圆C 与线段．．AB 没有公共 点时， m 的取值范围是 ▲11．如果圆22()()4x a y a -+-=上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围 是 ．12．直线0632=-+y x 关于点（1，－1）对称的直线方程为________.13．自圆222440x y x y +--+=外一点(0,4)P 向圆引两条切线，切点分别为,A B ，则PA PB ⋅等于 ．14．已知111(,)P x y ，222(,)P x y 是以原点O 为圆心的单位圆上的两点，12POP θ∠=（θ为钝角）．若π3sin()45θ+=，则1212x x y y +的值为 ▲ ． 15．在平面直角坐标系xOy 中,直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A 、B 两点,则弦AB 的长等于16．若直线1+=kx y 与圆122=+y x 相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°（其中O 为原点），则k 的值为______▲_______17．已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是 ．18．圆心在直线20x y +=上，且与直线10x y +-=切于点M （2，-1），则此圆的标准方程为__________；19．已知两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ，则a = ▲ ．20．已知点P 的坐标4(,)1x y x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩满足，过点P 的直线l 与圆22:16C x y +=相交于A 、B 两点，则AB 的最小值为 ．22．若圆)0(222>=+r r y x 与圆042:22=-++y x y x C 相切，则r 的值为 _ ___．23．过直线l ：2y x =上一点P 作圆C ：()()22812x y -+-=的切线12,l l ，若12,l l 关于直线l 对称，则点P 到圆心C 的距离为 ．三、解答题24．某风景区在一个直径AB 为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A 与圆弧上的一点C 之间设计为直线段小路，在路的两侧．．边缘种植绿化带；从点C 到点B 设计为沿弧BC 的弧形小路，在路的一侧．．边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计） （1）设 ÐBAC =q （弧度），将绿化带总长度表示为q 的函数()s θ；（2）试确定q 的值，使得绿化带总长度最大． 25．（8分）已知以点P 为圆心的圆经过点A （﹣1，0）和B （3，4），线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD|=4．（1）求直线CD 的方程；（2）求圆P 的方程．26．记直线013)2(=+++my x m 与直线03)2()2(=-++-y m x m 相互垂直时m 的取值集合为M ，直线03=++ny x 与直线064=++y nx 平行时n 的取值集合为N ，求N M ⋃。
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2019年高中数学单元测试卷平面解析几何初步学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．直线02=+-b y x 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么b 的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（Ｃ）Ａ．[]2,2- Ｂ．(][)+∞⋃-∞-,22,Ｃ．[)(]2,00,2⋃- Ｄ．()+∞∞-,二、填空题2．过平面区域202020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩内一点P 作圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，记APB α∠=，则当α最小时cos α= ▲ ．3．圆2264120x y x y +--+=上一点到直线3420x y +-=的距离的最小值为4．已知直线0742:1=+-y x l ，则过点)7,3(A 且与直线1l 垂直的直线的方程是 .5．直线过点(3,2)，斜率为2-，将点（3,2）向右平移2个单位，再向_____平移_____个单位后，得到的点_______仍在此直线上。
6．已知,AC BD 为圆22:4O x y +=的两条互相垂直的弦，,AC BD 交于点(M ，则四边形ABCD 面积的最大值为___________________7．若点M 是圆2286250x y x y +-+-=上的任意一点，O 是坐标原点，则OM 的最大值是_______，最小值是_________8．若直线340x y k ++=与圆22650x y x +-+=相切，则k =_________9．圆224660x y x y +-++=截直线50x y --=所得的弦长为_____________10． 圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线l:3440x y ++=的距离d = 3 。
11． 已知向量a =(2cos α,2sin α), b =(3cos β,3sin β),其夹角为60°,则直线x cos α-y sin α+21=0与圆（x -cos β)2+(y +sin β)2=21的位置关系是 . 相离cos60°=32sin sin 6cos cos 6⨯βα+βα=cos(α-β)= 21. 圆心到直线的距离d =221)sin (cos 21sin sin cos cos |22=>=α-+α+βα+βαr 12．圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝________.解析：∵x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0，∴(x －1)2＋(y －2)2＝1.圆心(1,2)到3x ＋4y ＋4＝0的距离为d ＝|3×1＋4×2＋4|32＋42＝3.13．从圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1外一点P (2,3)向该圆引切线，则过两切点的直线方程为 ．14．已知集合}),{(},9),{(2m x y y x N x y y x M +==-==，且≠N M ∅，则m 的取值范围为 ▲ ．15．在平面直角坐标系xOy 中，设过原点的直线l 与圆C ：22(3)(1)4x y -+-=交于M 、N 两点，若MN ≥l 的斜率k 的取值范围是______．16．经过点在M （1,－1）且与点A （－1,2）、B （3,0）距离相等的直线方程为 ▲ .17．已知点P （3，5），直线l :3x －2y －7=0，则过点P 且与l 平行的直线方程是 ． 18．1 ．（2013年高考湖北卷（文））已知圆O :225x y +=,直线l :cos sin 1x y θθ+=(π02θ<<).设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ,则k =________. 19． 直线0543=-+y x 到直线01543=++y x 的距离是20．已知直线l ：y ＝k(x ＋22)(k≠0)与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，O 为坐标原点．△AOB 的面积为S ．⑴ 试将S 表示为k 的函数S(k)，并求出它的定义域．⑵ 求S(k)的最大值，并求出此时的k 值．21．过点)2,1(作圆01422=--+x y x 的切线方程为______________；22．已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，则x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为23．已知点(,)P a b 关于直线l 的对称点为(1,1)'+-P b a ,则圆22:+C x y 620--=x y 关于直线l 对称的圆'C 的方程为 ▲ ．三、解答题24．（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲） 己知在平面直角坐标系xOy 中，圆M的参数方程为2cos 272sin 2x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（θ为参数），以Ox 轴为极轴，O 为极点建立极坐标系，在该极坐标系下，圆N是以点3π⎫⎪⎭为圆心，且过点)2,2(π的圆．（1）求圆M 及圆N 在平面直角坐标系xOy 下的直角坐标方程；（2）求圆M 上任一点P 与圆N 上任一点Q 之间距离的最小值．25．2．一束光线从点1(1,0)F -出发，经直线:260l x y ++=上一点M 反射后，恰好穿过点2(1,0)F .(1) 求点1F 关于直线l 的对称点1F '的坐标；(2) 求以12F F 、为焦点且过点M 的椭圆C 的方程；(3) 若P 是(2)中椭圆C 上的动点，求12PF PF 的取值范围.26．已知圆:C 22(2)4x y ++=，相互垂直的两条直线1l 、2l 都过点(,0)A a .（1）当2a =时，若圆心为(1,)M m 的圆和圆C 外切且与直线1l 、2l 都相切，求圆M 的方程；（2）当1a =-时，求1l 、2l 被圆C 所截得弦长之和的最大值，并求此时直线1l 的方程. 27．3 ．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分14分.如图,在平面直角坐标系xOy 中,点)3,0(A ,直线42:-=x y l ,设圆C 的半径为1,圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线1-=x y 上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程;(2)若圆C 上存在点M ,使MO MA 2=,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.28．若直线(1)0m x y m -++=不经过第二象限，则m 的取值范围是多少？29．已知圆C 经过P （4，– 2），Q （– 1，3）两点，且在y轴上截得的线段长为径小于5．(1）求直线PQ 与圆C 的方程．(2）若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A 、B ，90AOB ∠=︒，求直线l 的方程．4．30．已知平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥063970y y x x ，恰好被面积最小的圆C ：222)()(r b y a x =-+- 及其内部所覆盖，过动点P 作圆A ：0160162022=++++y x y x 的切线PM 、PN ，其中M 、N 为切点，又过P 作圆C 的切线PS 、PT ，其中S 、T 为切点(1）试求圆C 的方程(2）试问是否存在点P ，使得它们同时满足条件：“ ①P 在直线l: 2x+y=11上；②P 的横、纵坐标均为整数；③MN ⊥ST ”若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由。
高考文数真题训练08 平面解析几何(解答题)(原卷版)
专题08 平面解析几何（解答题）1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程；（2）证明：直线C D 过定点.2．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．4．【2020年高考北京】已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．5．【2020年高考浙江】如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于点M （B ，M 不同于A ）． （Ⅰ）若116p =，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．6．【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．7．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．8．【2020年新高考全国Ⅱ卷】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12， （1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.9．【2020年高考天津】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．10．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │=4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │−│MP │为定值？并说明理由．11．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．12．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点； （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程． 13．【2019年高考北京卷文数】已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点．14．【2019年高考天津卷文数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .已|2||OA OB =（O 为原点）.（1）求椭圆的离心率； （2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线x =4上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.15．【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1． 已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．16．【2019年高考浙江卷】如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ． （1）求p 的值及抛物线的准线方程； （2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．17．【2018年高考全国Ⅰ文数】设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN =∠∠．18．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．19．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：2||||||FP FA FB =+．20．【2018年高考北京卷文数】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为3.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B . （1）求椭圆M 的方程；（2）若1k =，求||AB 的最大值；（3）设(2,0)P -，直线P A 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点71(,)44Q -共线，求k .21．【2018年高考天津卷文数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为3，||AB = （1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值．22．【2018年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程．23．【2018年高考浙江卷】如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上．（1）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（2）若P是半椭圆x2+24y=1(x<0)上的动点，求△P AB面积的取值范围．。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 理(全国卷1,含解析)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试课标1理科数学2020年全国1高考数学与2020全国1高考数学难度方面相对持平，在选择题和填空题方面难度有所提升，解答题方面难度有所减缓.在保持稳定的基础上，进行适度创新，尤其是选择填空压轴题.试卷内容上体现新课程理念，贴近中学数学教学，坚持对基础性的考查，同时加大了综合性、应用性和创新性的考查，如理科第2、3、10、11、12、16、19题，文科第2、4、9、12、19题.1.体现新课标理念，重视对传统核心考点考查的同时，增加了对数学文化的考查，如理科第2题，文科第4题以中国古代的太极图为背景，考查几何概型.2.关注通性通法.试卷淡化了特殊的技巧，全面考查通性通法，体现了以知识为载体，以方法为依托，以能力考查为目的的命题要求.3.考查了数学思想、数学能力、数学的科学与人文价值，体现了知识与能力并重、科学与人文兼顾的精神.如理科第6、10、13、15题，文科第5、12、13、16题对数形结合思想的考查；理科第11，文科第9题对函数与方程思想的考查；理科第12、16题对数学的科学与人文价值的考查.4.体现了创新性，如理科第19题，文科第19题立意新、情景新、设问新，增强了学生数学应用意识和创新能力.命题趋势：（1）函数与导数知识：以函数性质为基础，考查函数与不等式综合知识，如理科第5题，；以基本初等函数为背景考查构造新函数解决比较大小问题，如理科第11题；对含参单调性以及零点问题的考查，如理科21题，比较常规.（2）三角函数与解三角形知识：对三角函数图像与性质的考查，如理科第9题；；对解三角形问题的考查，如理科第17题.重视对基础知识与运算能力的考查.（3）数列知识：对数列性质的考查，如理科第4题；突出了数列与现实生活的联系，考查学生分析问题的能力，如理科第12题，难点较大.整体考查比较平稳，没有出现偏、怪的数列相关考点.（4）立体几何知识：对立体几何图形的认识与考查，如理科第7题，试题难度不大，比较常规；对简单几何体的体积知识的考查，如理科第16题，用到函数知识进行解决，体现了综合性，难度较大，立体几何解答题的考查较常规，如理科对二面角的考查.（5）解析几何知识：对圆锥曲线综合知识的考查，如理科第15题，难度偏大；解答题考查较为常规，考查直线与圆锥曲线的位置关系，难度中等，重视对学生运算能力的考查.【试卷解析】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =<I B ．A B =R U C ．{|1}A B x x =>UD ．A B =∅I【答案】A2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14 B ．π8 C ．12D ．π4【答案】B 【解析】试题分析：设正方形边长为a ，则圆的半径为2a ，则正方形的面积为2a ，圆的面积为24a π.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221248a a ππ⋅=，选B. 秒杀解析：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率1142p <<，故选B.【考点】几何概型【名师点睛】对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A . 3．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A.13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【答案】B4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C 【解析】试题分析：设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C.秒杀解析：因为166346()3()482a a S a a +==+=，即3416a a +=，则4534()()24168a a a a +-+=-=，即5328a a d -==，解得4d =，故选C. 【考点】等差数列的基本量求解【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C 【解析】试题分析：因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x++=⋅++⋅+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ⋅=，621(1)x x⋅+展开式中含2x 的项为44262115C x x x ⋅=，故2x 前系数为151530+=，选C. 【考点】二项式定理【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析好2x 的项共有几项，进行加和.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项式展开式中的r 不同.7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B8．右面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入A．A>1 000和n=n+1B．A>1 000和n=n+2C．A≤1 000和n=n+1D．A≤1 000和n=n+2【答案】D9．已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+2π3)，则下面结论正确的是A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2 【答案】D 【解析】试题分析：因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则222:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x ππππ=+=+-=+，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为sin 2y x =，再将曲线向左平移12π个单位得到2C ，故选D. 【考点】三角函数图像变换.【名师点睛】对于三角函数图像变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住sin cos(),cos sin()22ππαααα=-=+；另外，在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量x 而言.10．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A2222||sin cos()2p pDE παα==-，所以22222211||||4()cos sin cos sin p p AB DE αααα+=+=+ 2222222211sin cos 4()(cos sin )4(2)4(22)16cos sin cos sin αααααααα=++=++≥⋅+=11．设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【答案】D12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440B ．330C ．220D ．110【答案】A【解析】试题分析：由题意得，数列如下：11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k -LL L则该数列的前(1)122k k k ++++=L 项和为 1(1)1(12)(122)222k k k k S k ++⎛⎫=+++++++=-- ⎪⎝⎭L L 要使(1)1002k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是之后的等比数列11,2,,2k +L 的部分和，即1212221t t k -+=+++=-L ，所以2314tk =-≥，则5t ≥，此时52329k =-=， 对应满足的最小条件为293054402N ⨯=+=，故选A. 【考点】等差数列、等比数列的求和.【名师点睛】本题非常巧妙的将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= . 【答案】2314．设x，y满足约束条件2121x yx yx y+≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y=-的最小值为.【答案】5-15．已知双曲线C：22221x ya b-=（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C 的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为________.23【考点】双曲线的简单性质.【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题受到出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是b；③双曲线的顶点到渐近线的距离是abc.16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.【答案】415【考点】简单几何体的体积【名师点睛】对于三棱锥最值问题，肯定需要用到函数的思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决，当变量是高次时需要用到求导得方式进行解决.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长.【考点】三角函数及其变换.【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可. 18.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o .（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=o ，求二面角A -PB -C 的余弦值.则3cos ,||||3⋅==-<>n m n m n m ， 所以二面角A PB C --的余弦值为33-. 【考点】面面垂直的证明，二面角平面角的求解【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键. 19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.969.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，161622221111()(16)0.2121616i ii i s x x x x ===-=-≈∑∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）． 附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=，160.997 40.959 2=，0.0080.09≈．试题解析：（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026，故~(16,0.0026)X B .因此(1)1(0)10.99740.0408P X P X ≥=-==-=.X 的数学期望为160.00260.0416EX =⨯=.20.（12分）已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，32），P 4（1，32）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t ，24t -，（t ，24t -）. 则221242421t t k k ---++==-，得2t =，不符合题设. 从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=由题设可知22=16(41)0k m ∆-+>.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841kmk -+，x 1x 2=224441m k -+.而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+ 1212122(1)()kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-. 当且仅当1m >-时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--， 所以l 过定点（2，1-）【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系.【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中为告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在情况，接着通法是联立方程组，求判别式、韦达定理，根据题设关系进行化简. 21.（12分）已知函数2()(2)x xf x ae a e x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 17 a.【解析】试题分析：（1）先将曲线C 和直线l 化成普通方程，然后联立求出交点坐标；（2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，设C 上的点(3cos ,sin )θθ，l 的距离为17d =.对a 进行讨23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│.（1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围.【解析】试题分析：（1）将1a =代入，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤，对x 按1x <-，11x -≤≤，1x >讨论，得出最值的解集；（2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =.若()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，。