专题13求数列通项公式
专题13求数列通项公式
求数列通项公式主要以考查由递推公式求通项公式与已知前n项和或前n项和与第
n
项的关系式求通项为重点，特别是数列前n项和
nS与n
a
关系的应用，难度为中档题，题型
为选择填空小题或解答题第1小题，同时要注意对数列单调性与周期性问题的复习与训练.
数列解题常见易错点
易错点1：已知数列{a
n}的前n项和Sn与通项an的关系式，求an
时应注意分类讨论的应用，
特别是在利用an＝Sn－Sn－1进行转化时，要注意分n＝1和n≥2两种情况进行讨论，学生
特别是容易忽视要检验n＝1是否也适合an.
易错点2：在等比数列求和公式中要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论.
易错点3：在解答数列问题时，及时准确地“数清”数列的项数是必不可少的，在数项数时，
要把握数列的项的构成规律，找准数列的通项公式的特点并找准项数．如果把数列的项数弄
错了，将会前功尽弃．
易错点4：对等差、等比数列的性质理解错误。
等差数列的前n项和在公差不为0时是关于n的常数项为0的二次函数。一般地，有结
论“若数列{a
n}的前n项和Sn=an2+bn+c(a，b，c∈R)，则数列{an
}为等差数列的充要条件是c=0”;
在等差数列中，S
m，S2m-Sm，S3m-S2m
(m∈N*)是等差数列。解决这类题目的一个基本出发点就
是考虑问题要全面，把各种可能性都考虑进去，认为正确的命题给以证明，认为不正确的命
题举出反例予以驳斥。在等比数列中公比等于-1时是一个很特殊的情况，在解决有关问题时
要注意这个特殊情况。
易错点5：数列中的最值错误。
数列的通项公式、前n项和公式都是关于正整数的函数，要善于从函数的观点认识和理
解数列问题。但是考生很容易忽视n为正整数的特点，或即使考虑了n为正整数，但对于
n
取何值时，能够取到最值求解出错。在关于正整数n的二次函数中其取最值的点要根据正整
数距离二次函数的对称轴远近而定。
易错点6：利用错位相减法求解数列的前n项和时，应注意两边乘以公比后，对应项的幂指
数会发生变化，为避免出错，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另
外一个式子后面就会多了一项，两式相减，除第一项和最后一项外，剩下的n－1项是一个
等比数列．
题组一:公式法
已知或根据题目的条件能够推出数列
n
a
为等差或等比数列，根据通项公式
dnaan11
或
1
1
n
n
qaa
进行求解.
1.
已知
na是一个等差数列，且5,152aa，na的通项公式n
a
=_________.
2.（2019全国1理9
）记
n
S
为等差数列{}na的前n项和．已知
45
05Sa，
，则
A．
25
nanB． 310n
an
C．228nSnnD．
2
1
2
2
n
Snn
3．（2014新课标1
）已知
n
a
是递增的等差数列，2a，4a是方程
2
560xx
的根．则
n
a
=_________.
4.（2013新课标1
）已知等差数列
{}
na的前n项和n
S满足30S，55S，则na
=_______.
5.（2011
新课标）等比数列
n
a
的各项均为正数，且
12
231,aa
2
326
9.aaa
则
n
a
=_________.
6．（2013新课标2）已知等差数列
{}
n
a的公差不为零，125a，且1a，11a，13a
成等比数
列．则
n
a
=_________.
题组二:已知数列
na的前n项和ns的解析式，求n
a
.
7.已知数列
n
a
的前n项和3-2nns，通项公式na=_________.
8.数列na的前n项和为322nnSn，则
n
a
_________________
.
9.数列
na满足2132321nnnnaaaan，则n
a
__________.
题组三:Sn与an的关系式法
已知数列
na的前n项和ns与通项na的关系式，求n
a
.
10.已知数列
na的前n项和ns满足nnsa311，其中11a，n
a
=_________.
11.（2013新课标Ⅰ）若数列
n
a
的前n项和为3132nnaS，则na=__________.
12.(2015
新课标Ⅰ)
nS为数列{}n
a
的前n项和，若20,243nnnnaaaS，
则
n
a
=________.
13.(2014新课标1)已知数列
{}
n
a的前n项和，nnaS1
，其中0，
则
n
a
=__________.
14．(2018全国卷Ⅰ)
记
nS为数列{}na的前n项和，若21nn
Sa，则6S
_____
．
题组四:累加法
当数列na中有nfaann1，即第n项与第1n项的差是个有“规律”的数时，
就可以用这种方法.
15.已知
12,0
11
naaann，求通项na
.
16.
设数列
n
a
满足21112,32nnnaaa，则na=_______；
17.（2015
新课标Ⅱ）设
n
S是数列na的前n项和，且11a，11nnnaSS
，则
n
S
________．
题组五:累乘法
它与累加法类似，当数列na中有1nnafna，即第n项与第1n项的商是个有“规
律”的数时，就可以用这种方法.
18.
已知
11
1,
1
nn
n
aaa
n
2,nnN
求通项
n
a
.
题组六:构造法
在数列na中有1nnakab（,kb均为常数且0k），从表面形式上来看
n
a
是关于
1n
a
的“一次函数”的形式，这时用下面的方法:
（一）一般方法：设1nnamkam则11nnakakm而
1nn
akab
1bkm
即1bmk，故
1
11
nn
bb
aka
kk
数列11nbak是以k为公比的等比数列，借助它去求
n
a
19.已知
11
1,21
nn
aaa2,nnN求通项na
20.已知数列
n
a
满足1a=1，131nnaa.则na=_____________.
21.
在数列
na中，,134,2a11naann则n
a
=_____________
；
（二）取倒数法：这种方法适用于11nnnkaamap2,nnN（,,kmp均为常数
0m
），两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于
1nn
akab
的式子.
22.已知
1
1
1
2
2,
2
n
n
n
a
aa
a
2,nnN
，求通项
n
a
.
23.已知数列
{}
na满足115a且当112,,14nnnannNaa，则n
a
=________.
数列求通项的七种方法及例题
数列求通项的七种方法及例题数列求通项的7种方法及例题：1. 已知首项和公比法：设数列{an}中，a1为首项，q为公比，则an = a1 × q^(n-1)。
例如：已知数列{an}中，a1=2，q=3，求a5。
答案：a5=2×3^4=2×81=1622. 已知前n项和法：设数列{an}中，Sn为前n项和，则an = S0 + S1 + S2 +···+ Sn-1 - (S1 + S2 +···+ Sn-1) = S0。
例如：已知数列{an}中，S2=6，S4=20，求a3。
答案：a3 = S2 - (S2 - S1) = 6 - (6 - 2) = 83. 等差数列的通项公式：设数列{an}为等差数列，d为公差，则an = a1 + (n-1)d。
例如：已知数列{an}为等差数列，a1=2，d=4，求a5。
答案：a5 = 2 + (5-1)4 = 184. 等比数列的通项公式：设数列{an}为等比数列，q为公比，则an = a1 ×q^(n-1)。
例如：已知数列{an}为等比数列，a1=2，q=3，求a5。
答案：a5=2×3^4=2×81=1625. 三项和平均数法：设数列{an}中，Sn = a1 + a2 + a3 +···+ an，则an = Sn/n。
例如：已知数列{an}中，S4=20，求a3。
答案：a3 = S4/4 = 20/4 = 56. 泰勒公式法：对于一般的数列，可以使用泰勒公式进行求通项。
例如：已知数列{an}中，a1=2，且当n→∞ 时，an → 0，求a4。
答案：使用泰勒公式，a4 = a1 + (n-1)(a2 - a1)/1! + (n-1)(n-2)(a3 -2a2 + a1)/2! + (n-1)(n-2)(n-3)(a4 - 3a3 + 3a2 - a1)/3! = 2 + 3(2 - 2)/1! + 3(3 - 2)(3 - 4)/2! + 3(3 - 2)(3 - 4)(3 - 5)/3! = 2 + 3(0)/1! + 3(1)(-1)/2! + 3(1)(-1)(-2)/3! = 2 - 3/2 - 3/4 + 3/6 = 2 - 1/87. 斐波那契数列法：斐波那契数列是一种特殊的数列，它的通项公式可以写作 an = an-1 + an-2。
数列史上最全求通项公式10种方法并配大量习题及答案
数列通项公式的求法10种求数列的通项公式方法非常众多，而且这个问题基本上都是高考试卷中第一问，也就是说这一问题做不出来或没有思路，那么即使后面的问题比如求前N 项和的问题，会做也是无济于事的。
我们逐个讲解一下这些重要的方法。
递推公式法：递推公式法是指利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，这样的问题有两种类型，（1）题目中给出的是()n S f n =的形式，也就是n S 的表达式是一个关于n 的函数，要将n 改成n-1，包括角标，这样加上题中给出的式子就得到两个式子，两式子做差，即可整理出通项公式。
这种情况是比较简单的，但是也有值得我们注意的地方，那就是求出的通项公式一定要检验是否需要写成分段的形式，即验证一下1a 和1S 是否相等，若不相等，则需要写成分段的形式，只要题中涉及到角标n 不能从n=1开始取值的，都需要检验。
（2）第二种情况是非常常见的，即11(,)n n n a a a -+与n S (1n S -,1n S +)同时存在于一个等式中，我们的思路是将n 改写成n-1，又得到另一个式子，这两个式子做差，在做差相减的过程中，要将等式的一端通过移项等措施处理为零，这样整理,容易得出我们想要的关系式。
累加法（迭、叠加法）：累加法是在教材上推导等差数列通项公式和前n 项和公式的时候使用的一种方法，其实这个方法不仅仅适用于等差数列，它的使用范围是非常广泛的，我们可以总结为，只要适合：1()n n a a f n -=+的形式，都是可以使用累加法的，基本的书写步骤是：21324312,(2)3,(3)4,(4)......,()n n n a a f n a a f n a a f n n a a f n -=-==-==-==-=将上述展开后的式子左边累加后总是得到1(2)(3)(4)......()n a a f f f f n -=++++所以重点就是会求后边这部分累加式子的和，而这部分累加的式子，绝大部分都是三种情况之一，要么是一个等差数列的前n-1项的和，要么是一个等比数列前n-1项的和，要么就是能够在累加过程能够中消掉，比如使用裂项相消法等。
高三数学数列通项公式的求法
a3 a 4 2 2 2 ……
a4 a3 4 3 2
∴ an 2a2 4n 3
2(n 1)
例10，已知 a1 2 ，an 0 ， 且 an 1 an 2an 1 an (n N ) ，求 an 。 解：∵ an 1 an 2an 1 an 且an 0 1 1 1 1 2即 ∴
例7．已知下列两数列 {an} 的前n项和sn的 公式，求 {an } 的通项公式。 2 2 （1） sn n 1 （2）sn 2n 3n a1 s1 1 ，当n 2时 解： （1）
由于 a1 也适合于此等式 ∴ an 4n 5 a1 s1 0，当 n 2 时 （2）
解：设
cn a (n 1)d bq
n 1
a b 2 q 2 a d bq 4 d 1 n 1 cn n 2 2 a 2d bq 7 b 1 a 3d bq3 12 a 1
d 2 p d P 1 a1 2 0 P 3
Pn ( P 1)n p 3
2
2
2ห้องสมุดไป่ตู้
2
∴ ∴
P 3 d 6 a 5 1
an a1 (n 1)d 1 6n
例6．设数列 {cn }的各项是一个等差数列 与一个等比数列对应项的和，若 c1=2 ， c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式cn
注意：用不完全归纳法，只从数列的有限项 来归纳数列所有项的通项公式是不一定可靠 n 的，如2，4，8，……。可归纳成 an 2 或 2 者an n n 2两个不同的数列（ a4 便不同）
求数列通项公式方法汇总专题
公式法、累加(乘)法求数列通项公式 121n n a d a d---=-=1,n a -=个式子相乘得一、 公式法例1 已知数列{}n a 满足12n n a a +=+,12a =,求数列{}n a 的通项公式.二、 累加法例2 已知数列{}n a 满足112,1n n a a n a +=+=，求数列{}n a 的通项公式.方法总结：递推公式形如1n n a a +=+_______或1n n a a -=+________时用叠加法求n a 。
变式训练：已知数列{}n a 满足1113,3n n n a a a ++=+=，求数列{}n a 的通项公式.三、 累乘法例3 已知数列{}n a 中,112,3n n n a a a +==⋅,求该数列的通项公式.方法总结：递推公式形如1n n a a +=_______或1n n a a -=________用累乘法求n a 变式训练：已知数列{}n a 满足113,25n n n a a a +==⨯⋅，求数列{}n a 的通项公式.课堂检测：1. 已知数列{}n a 满足111,22n n n a a a n +=-=+，求数列{}n a 的通项公式.2. 已知数列{}n a 满足1(1)n n na n a +=+，12a =，求数列{}n a 的通项公式.课后练习：1. 已知数列{}n a 满足11211,(2)21n n a a a n n -==+≥-,求数列{}n a 的通项公式.2. 已知数列{}n a 满足12n n n a a n +=+,且123a =,求数列{}n a 的通项公式.构造法求数列通项公式知识目标：掌握常见形式数列的通项公式求法，掌握构造法在不同形式递推公式中的应用问题1：在数列{}n a 中, 111,23n n a a a +=-=+,试证明数列{3}n a +是等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式.问题2：在数列{}n a 中, 111,23n n a a a +=-=+，试确定λ的值，使得数列{}n a λ+为等比数列.方法总结：递推公式形如1n n a pa q -=+时，构造成公比为p 的等比数列{n a +_____}求n a 。
数列通项公式的几种求法
数列通项公式的几种求法一、常规数列的通项注：认真观察所给数据的结构特征，找出an与n的对应关系，正确写出对应的表达式。
二、等差、等比数列的通项直接利用通项公式an=a1+（n－1）d和an=a1qn－1写通项，但先要根据条件寻求首项、公差和公比。
三、摆动数列的通项例2：写出数列1，－1，1，－1，…的一个通项公式。
解：an=（－1）n－1变式1：求数列0，2，0，2，0，2，…的一个通项公式。
分析与解答：若每一项均减去1，数列相应变为－1，1，－1，1，…故数列的通项公式为an=1+（－1）n变式2：求数列3，0，3，0，3，0，…的一个通项公式。
分析与解答：若每一项均乘以3(2)，数列相应变为2，0，2，0，…故数列的通项公式为an=2(3)[1+（－1）n－1 ]变式3：求数列5，1，5，1，5，1，…的一个通项公式。
分析与解答1：若每一项均减去1，数列相应变为4，0，4，0，…故数列的通项公式为an=1++2×3(2)[1+（－1）n－1 ]=1+3(4)[1+（－1）n－1 ] 分析与解答2：若每一项均减去3，数列相应变为2，－2，2，－2，…故数列的通项公式为an=3+2（－1）n－1四、循环数列的通项例3：写出数列1，10，100，1000，…的一个通项公式。
变式1：1)求数列9，99，999，…的一个通项公式。
2)：写出数列4，44，444，4444…的一个通项公式。
变式2：1)写出数列0.1，0.01，0.001，0.0001，…的一个通项公式。
2)：求数列0.5，0.05，0.005，…的一个通项公式。
3)：求数列0.9，0.99，0.999，…的一个通项公式。
4)：求数列0.7，0.77，0.777，0.7777，…的一个通项公式。
五、用累加法求an=a n－1+f（n）型通项例4：（1）数列{an}满足a1=1且an=a n－1+3n－2（n≥2），求a n。
（2）数列{an}满足a1=1且an=a n－1+2n(1)（n≥2），求a n。
数列的通项公式的求法专题
专题：求数列的通项的方法1、数列｛a n ｝的前n 项和为S n 2n，求数列｛a n ｝的通项。
方法二：数列是特殊的函数，禾U 用函数的代换思想求数列的通项公式；3、数列｛a n ｝中，a 1 2a 2 3a 3na . n 3 n ,求数列｛a .｝的通项。
2"4、数列｛a n ｝中，a 1 a 2 a 3 a n 2,求数列｛a n ｝的通项。
方法一：a nS, n 1 S n , n 2（其中S n 是数列｛a n ｝的前n 项和）的运用;2、数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，S n 2a n 2，求数列｛a n ｝的通项。
变式：已知正项数列｛a n ｝的前n 项和S n ,且S n1 1 1 an0；，求｛a n｝的通项公式。
2)， ai 3，求数列｛a n ｝的通项。
方法三：累加法、累乘法（针对相邻两项的关系）方法四：化非等差、等比数列为等差、等比数列求解。
变式1:数列a n 满足a 1 1,a 2 3,a n 2 3a n 1 2a n (n N ). (I )证明：数列 <an 1是等比数列；（II ）求数列 a n 的通项公式。
5、数列｛a n ｝中，a nan 11n(n6、数列｛a n ｝中, a nn-1am,(n 2)，n3，求数列｛a n ｝的通项。
7、数列｛a n ｝中, a n 2a n i 2, (n 2) ， a i3，求数列｛a n ｝的通项。
变式2、已知数列｛a n ｝中，a 1 5， a 2 2，a n 2a n 1 3a n 2(n 3),求数列｛a n ｝的通项。
变式3：数列｛a n ｝中，a n 2a n 1 3n,(n 2) ,5，求数列｛a .｝的通项。
8、数列｛a n ｝中，a n口 ，(n 2),耳a . 1 1求数列a n 的通项。
1 9数列｛a n ｝的前n 项和为Sn , a1 2，Sn 变式：如果数列 a n 满足 a i 2 , a 21，且一a n (n>2),i a na n a n 13，求数列｛a n ｝的通项。
求数列的通项公式列(教案+例题+习题)
求数列的通项公式（教案+例题+习题）一、教学目标1. 理解数列的概念，掌握数列的基本性质。
2. 学会求解数列的通项公式，并能应用于实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
二、教学内容1. 数列的概念与基本性质2. 数列的通项公式的求法3. 数列通项公式的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：数列的概念，数列的通项公式的求法及应用。
2. 教学难点：数列通项公式的推导和应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解数列的概念、性质及通项公式的求法。
2. 利用例题，演示数列通项公式的应用过程。
3. 布置习题，巩固所学知识。
五、教学过程1. 引入数列的概念，讲解数列的基本性质。
2. 讲解数列通项公式的求法，引导学生掌握求解方法。
3. 通过例题，演示数列通项公式的应用，让学生理解并掌握公式。
4. 布置习题，让学生巩固所学知识，并提供解题思路和指导。
5. 总结本节课的重点内容，布置课后作业。
教案结束。
例题：已知数列的前n项和为Sn = n(n+1)/2，求该数列的通项公式。
解答：由数列的前n项和公式可知，第n项的值为Sn S(n-1)。
将Sn = n(n+1)/2代入上式，得到第n项的值为：an = Sn S(n-1) = n(n+1)/2 (n-1)n/2 = n/2 + 1/2。
该数列的通项公式为an = n/2 + 1/2。
习题：1. 已知数列的前n项和为Sn = n^2，求该数列的通项公式。
2. 已知数列的通项公式为an = 2n + 1，求该数列的前n项和。
3. 已知数列的通项公式为an = (-1)^n，求该数列的前n项和。
4. 已知数列的通项公式为an = n^3 6n，求该数列的前n项和。
5. 已知数列的通项公式为an = 3n 2，求该数列的前n项和。
六、教学目标1. 掌握数列的递推关系式，并能运用其求解数列的通项公式。
2. 学习利用函数的方法求解数列的通项公式。
3. 提升学生分析问题、解决问题的能力。
数列通项公式经典题型(含详细答案)
1.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1(1)4,2,(2,)2n n n n a S na n n -==+-≥∈N *则数列{}n a 的通项公式；4,(1)1.(2,)n n a n n n =⎧=⎨+≥∈⎩N *2.设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n nb S =-则数列{}n b 的通项公式n n b 312⋅=3.设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-=则}{n b 的通项公式；.42}{,4121111---=⨯-=n n n n n n b b q b b 的通项公式为即4.已知等比数列}{n a 的前n 项和为S n =K ·2n+m ，k ≠0,且a 1=3. ,nn a nb =数列}{n b 的通项公式)223221(31,23121--++++=⋅==n n n n n n T n a n b 5.已知各项均为正数的数列{}n a 满足22*1120()n n n n a a a a n N ++--=∈且32a +是2a 、4a 的等差中项，则数列{}n a 的通项公式n a 2nn a =6.在数列{}n a 中，1111,30(2)n n n n a a a a a n --=+-=≥．则数列{}n a 的通项132n a n =-7.已知数列{}n a 满足：123,(1,2,3,)n n a a a a n a n ++++=-=则数列{}n a的通项公式11()2n n a =-，8已知数列{}n a 的前n 项积123n a a a a T =２ｎ＋ｎ２ｎ．．．则{}n a 通项公式a ｎｎ＝３ 9.数列{}n a 满足01=a ，nn a n a n n 32)33(1+++=+.则{}n a 通项公式n a 131-⋅=-n n n a ；10.已知数列{}n a 中，0122,3,6a a a ===，且对3n ≥时，有12(4)4(48)n n n na n a n a n a ---=+-+-数列{}n b 的通项公式．11(1),2(1)2222n n n nb b n n b =--=-得 11.在等比数列}{n a 中，)(0*N n a n ∈>，且134a a =，13+a 是2a 和4a 的等差中项.12log n n n b a a +=+则数列}{n b 的通项公式12log 21n n n n b a a n +=+=+-12.已知数列}{n a 中120(2)nn n n a a ---=≥１＝２，ａ，n a =()1n n n a =+13. 已知数列}{n a 中，1112,22n n n a a a ++==+则{}n a 通项公式2nnn a =⋅ 14.已知数列{}n a 的前n 项和Sn,a 1=2，当n 大于等于2时,2S 2n =(2S n -1)a n,则{}n a 的通项公式为15. 数列{}n a 的前n 项积为Sn ，且Sn=2-2 a n ，则a n=。
(完整版)数列通项公式及其求和公式
一、数列通项公式的求法（1）已知数列的前n 项和n S ,求通项n a ； （2）数学归纳法：先猜后证;（3）叠加法(迭加法)：112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+L ；叠乘法(迭乘法)：1223322111a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅=-----ΛΛ. 【叠加法主要应用于数列{}n a 满足1()n n a a f n +=+，其中()f n 是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成1()n n a a f n +-=，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出n a ，从而求出n s 】（4）构造法(待定系数法):形如1n n a ka b -=+、1nn n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列；【用构造法求数列的通项或前n 项和：所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的通项或前n 项和.】 （5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决.【根据递推公式求通项公式的常见类型】 ①1+1=,()n n a a a a f n =+型，其中()f n 是可以和数列，用累加法求通项公式，即1思路（叠加法）1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得111()n n i a a f n -=-=∑，即111()n n i a a f n -==+∑例题1：已知11a =，1n n a a n -=+，求n a解：∵1n n a a n -=+ ∴1n n a a n --=，依次类推有：122321122n n n n a a n a a n a a -----=--=--=、、…∴将各式叠加并整理得12n n i a a n =-=∑，121(1)2n nn i i n n a a n n ==+=+==∑∑ 思路（转化法）1(1)n n a pa f n -=+-，递推式两边同时除以np 得11(1)n n n n na a f n p p p ---=+，我们令n n n a b p =，那么问题就可以转化为类型一进行求解了.例题： 已知12a =，1142n n n a a ++=+，求n a解：∵1142n n n a a ++=+ ∴142nn n a a -=+，则111442nn n nn a a --⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∵令4n n na b =，则112nn n b b -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，依此类推有11212n n n b b ---⎛⎫-= ⎪⎝⎭、22312n n n b b ---⎛⎫-= ⎪⎝⎭、…、22112b b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴各式叠加得1212nnn i b b =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑，即122111*********n n n n n n n n i i i b b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑ ∴1441422n nnn n n n a b ⎡⎤⎛⎫=⋅=⋅-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦②1+1=,()n n a a a a f n =⋅型，其中()f n 是可以求积数列，用累乘法求通项公式，即1(2)(1)f f a思路（叠乘法）：1(1)n n a f n a -=-，依次类推有：12(2)n n a f n a --=-、23(3)n n a f n a --=-、…、21(1)af a =， 将各式叠乘并整理得1(1)(2)(3)na f f f a =⋅⋅⋅…(2)(1)f n f n ⋅-⋅-，即(1)(2)(3)n a f f f =⋅⋅⋅…1(2)(1)f n f n a ⋅-⋅-⋅例题：已知11a =，111n n n a a n --=+，求n a . 解：∵111n n n a a n --=+ ∴111n n a n a n --=+，依次类推有：122n n a n a n ---=、2331n n a n a n ---=-、…、3224a a =、2113a a = ∵11a =∴将各式叠乘并整理得112311n a n n n a n n n ---=⋅⋅⋅+-…2143⋅⋅，即12311n n n n a n n n ---=⋅⋅⋅+- (212)43(1)n n ⋅⋅=+ ③1+1=,n n a a a pa q =+型（其中p q 、是常数），可以采用待定系数法、换元法求通项公式，即1()11n n q q a p a p p +-=---，设1n n qba p=--，则1n n b pb +=.利用②的方法求出n b 进而求出n a 当1p =时，数列{}n a 是等差数列；当0,0p q ≠=时，数列{}n a 是等比数列； 当0p ≠且1,0p q ≠≠时，可以将递推关系转化为111n n q q a p a p p +⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭,则数列1nq a p ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以11qa p +-为首项，p 为公比的等比数列.思路（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1qp μ=-，数列{}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1111n n q q a a p p p -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，即1111n nq qa a p p p -⎛⎫=++ ⎪--⎝⎭ 例题：已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式 解：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=∵11a =∴数列{}3n a +是以134a +=为首项、2为公比的等比数列∴113422n n n a -++=⋅=，即123n n a +=-④1+1=,n n n a a a pa q =+型,其中p q 、是常数且0,1q q ≠≠，111n n n n a a p q q q q ++=⋅+,设n n n a b q =，则11n np b b q q+=⋅+思路（构造法）：11n n n a pa rq --=+，设11n n n n a a q q μλμ--⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()11n n q p q rq λμλ-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，从而解得p q r p q λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩那么n na r qp q ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以1a r q p q +-为首项，p q 为公比的等比数列 例题：已知11a =，112n n n a a --=-+，求n a 。
求数列通项公式的十一种方法
①若 f(n)是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若 f(n)是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和; ③若 f(n)是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若 f(n)是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。
例 3.已知数列{an }中,
an
0且 Sn
( 1 ) n1 2
1
2．形如： a n1 p an q n
(其中 q 是常数，且 n 0,1)
①若 p=1 时，即： a n1 an q n ，累加即可.
②若 p 1 时，即： a n1 p an q n ，
求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以 p n1 .目的是把所求数列构造成等差数列
)
(
an 3n
2 2
an 3n
3 3
)
(
a2 32
3a11)
a1 3
(
2 3
1 3n
)
(
2 3
1 3n 1
)
(
2 3
1 3n 2
)
(
2 3
1 32
)
3 3
2(n 1) 3
(31n
1 3n
1 3n 1
1 3n 2
1 32
)
1
因此 an 3n
求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）
总述：一．利用递推关系式求数列通项的 11 种方法： 累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、 换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、 数学归纳法、 不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、 特征根法