成正比例关系的图像
成正比例的量(优质课课件)
总价） （ ＝（ 单价 ）（一定） （数量） 所以（总价）和（数量）是成正比
例的量。
我的收获
实验结果如何用图像表示
高度/cm 体积/cm 3 底面积/c㎡ 2 50 25 4 6 8 10 12
100 150 200 250 300 25
25
25
25
25
体积/cm
3
300
250 200 150 100 50
矿泉水瓶中喝掉的水和剩下的水。
回想一下:
我们是怎样学习成正比例的量。
怎样判断两种量是不是成正比例？
1.通过计算比较，理解反比例的 意义．能够正确判断两种量是不 是成反比例。 2.进一步认识事物之间的相互联 系和发展变化规律。
判断下面每题中的两种量是否成正比 例，并说明理由。 1、如果3x＝8y，那么y与x成正比例。 2、每块地砖的面积一定，教室地板面 积和地砖块数。 3、圆锥的底面积一定，圆锥的体积和高。 4、正方形的周长和边长。 5、圆柱的体积一定，底面积和高。
全班人数一定，出勤人数与缺勤人数成反比例（ × × ∨ （
、正方形的面积和边长成正比例
、如果X=7Ｙ，Ｘ和Ｙ成正比例
三、填空：
1、如果x和y是两种相关联的量，并且y=3x， 那么y和x成（正 ）比例。
2、x÷12=y（x≠0），那么x与y成（ ）比例。 正 3、当a+b=5，那么a与b（ ）比例。 不成
随变化的量，而且比值是一定的，所以排 球的总价和数量是成正比例的量。
我的收获
判定方法：
判定两个量是不是成正比例，主
要是看它们的商是不是一定的。
如果用字母x和y表示两种相关联的量， 用k表示它们的比值（一定），正比例 关系可以用下面的式子表示：
12.2.1正比例函数的图像与性质课件
解:函数y=2x 的自变量的取值范围是任意实数,列表表示 几对对应值: x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y …
5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 12345
-6 y
-4
-2
0
2
4
6
…
y=2x
1 2
3
4
5
x
练习:画出正比例函数y=-2x的图象？
解：列表
y=-2x
y
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5
x
x
0
1
y
0
-3
-3 -2 -1 0 12 -3 -
(四）巩固练习：
0 1.正比例 函数 y=-4x的图像是经过（ 0，）和
（ 1，-4 ）两点的一条直线， y随x的————
增大而减小。
2. 正比例函数y=(m-1)x的图象经过一、三象限，则
m的取值范围是 ( B)
A.m=1
B.m＞1
C.m＜1
D.m≥1
x …
-3 6
-2 4
-1 2
0 0
1 -2
2 -4
3 -6
… …
Y …
-5 -4 -3 -2 -1 0 12345
发现你 画出的 图象与 x y=2x的 图象相 同吗? ?…
比较刚才两个函数的图象的相同点和 观察 不同点,考虑两个函数的变化规律.
思考:经过原点和 5 4 (1,k)的直线是哪个 3 函数的图象?画正比 2 例函数的图象时 ,怎 1 样画最简单 ? 为什么 ? -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
1 1 y x y x 的图象。 在同一坐标系中画出 2 与 2
小学数学-思维导图-第五章-比和比例-正比例和反比例比例
小学数学思维导图第五章比和比例正比例和反比例比例正比例和反比例是数学中两个重要的概念，它们可以帮助我们理解和解决许多实际问题。
在这一章节中，我们将通过思维导图的方式，深入探讨正比例和反比例的概念、性质以及它们在实际中的应用。
一、正比例1. 定义：如果两个相关联的量，它们的比值（商）始终保持不变，那么它们就是成正比例的关系。
用数学公式表示，即 y = kx，其中 k 是常数，表示比例关系。
2. 性质：a. 当一个量增大时，另一个量也会相应地增大。
b. 当一个量减小时，另一个量也会相应地减小。
c. 两个量的比值始终保持不变。
3. 应用：a. 计算速度：速度 = 路程÷ 时间。
当路程固定时，速度和时间成正比。
b. 计算工资：工资 = 工作量× 单价。
当单价固定时，工资和工作量成正比。
二、反比例1. 定义：如果两个相关联的量，它们的乘积始终保持不变，那么它们就是成反比例的关系。
用数学公式表示，即 xy = k，其中 k 是常数，表示比例关系。
2. 性质：a. 当一个量增大时，另一个量会相应地减小。
b. 当一个量减小时，另一个量会相应地增大。
c. 两个量的乘积始终保持不变。
3. 应用：a. 计算速度：速度 = 路程÷ 时间。
当路程固定时，速度和时间成反比。
b. 计算工资：工资 = 工作量× 单价。
当工作量固定时，工资和单价成反比。
小学数学思维导图第五章比和比例正比例和反比例比例三、比例关系的识别1. 正比例关系的识别：观察两个量的变化趋势，如果它们同时增加或减少，且它们的比值保持不变，那么可以判断它们成正比例关系。
例如，在绘制图表时，如果数据点在一条通过原点的直线上，那么这些数据点就表示正比例关系。
2. 反比例关系的识别：同样地，观察两个量的变化趋势，如果它们一个增加而另一个减少，且它们的乘积保持不变，那么可以判断它们成反比例关系。
例如，在绘制图表时，如果数据点在一条双曲线上，那么这些数据点就表示反比例关系。
正比例函数图像及性质
WORD 格式整理版正比例函数的图像和性质知识精要1.正比例函数的图像一般地，正比例函数 y=kx（k 是常数， k 0）的图像是经过原点 O(0,0) 和点 M（1，k）的一条直线。
我们把正比例函数 y=kx 的图像叫做直线 y=kx。
2.正比例函数性质精讲名题x m 3例 1. 若函数 y=(m-1)是正比例函数，则m=,函数的图像经过象限。
解:m=4, 图像经过第一、三象限。
例 2. 已知 y-1 与 2x 成正比例，当 x=-1 时， y=5, 求 y 与 x 的函数解析式。
解：∵ y-1 与 2x 成正比例∴设y-1=k ·2x （k0 ）把x=-1,y=5代入，得k=-2,∴ y-1=-2·2x∴y=-4x+1例 3. 已知 y 与 x 的正比例函数，且当x=6 时 y=-2WORD 格式整理版(1)求出这个函数的解析式；(2)在直角坐标平面内画出这个函数的图像；(3)如果点 P（a， 4）在这个函数的图像上，求 a 的值；(4)试问，点 A（-6 ， 2）关于原点对称的点 B 是否也在这个图像上？解： (1)设 y=k·x （ k 0）当 x=6 时， y=-2 ∴-2=6k ∴k 1∴这个函数的解析式为 y1x 33(2)y 1x 的定义域是一切实数，图像如图所示：3(3)如果点 P（a， 4）在这个函数的图像上，∴41a ，∴a=-12 3(4)点 A（-6 ，2）关于原点对称的点 B 的坐标（ 6，-2 ），当 x=6 时， y=162因此，点 B 也在直线y 1x 上33例 4. 已知点 ( x1, y1 ) ，( x2, y2 ) 在正比例函数 y=(k-2)x的图像上，当x1x2时， y1y2，那么k 的取值范围是多少？解：由题意，得函数y 随 x 的值增大而减小，∴k-2<0, ∴k<2例 5. （1）已知 y=ax 是经过第二、四象限的直线，且 a 3 在实数范围内有意义，求 a 的取值范围。
正比例
我的收获
把实验结果用图像表示. 把实验结果用图像表示
高度/cm 体积/cm
3
2 50 25
4
6
8
10
12
100 150 200 250 300 25 25 25 25 25
00 150 100 50 0
2
4
6
8
10
12
14
高度/cm
体积/cm
3
300 250 225 200 175 150 100 50 0
判定两个量是否成正比例， 1、判定两个量是否成正比例， 主要看它们的（ 是否一定。 主要看它们的（ 比值）是否一定。 苹果的单价一定， 2、苹果的单价一定，苹果的数量 和总价。（ 和总价。（数量）和（ 总价）是相 关联的量。 关联的量。 （ 总价 ） ）（一定 一定） ＝（ 单价 ）（一定） （ 数量 ） 所以（ 所以（ 数量）和（ 总价）是成正比 例的量。 例的量。
体积 ＝底面积 一定） （一定） 高
像这样，两种相关联的量， 像这样，两种相关联的量，一种量变 相关联的量 另一种量也随着变化， 化，另一种量也随着变化，如果这两种 量中相对应的两个数的比值 也就是商） 比值（ 量中相对应的两个数的比值（也就是商） 一定，这两种量就叫做成正比例的量 成正比例的量， 一定，这两种量就叫做成正比例的量， 它们的关系叫做正比例关系 正比例关系。 它们的关系叫做正比例关系。
2
4
6 7 8 9 10
12
14
高度/cm
(1) 从图中你发现了什么 从图中你发现了什么? (2) 不计算 根据图像判断 如果杯中 不计算,根据图像判断 根据图像判断,如果杯中 从图中我发现这些点都在 水的高度是7cm,那么水的体积是 水的高度是 那么水的体积是 同一条直线上，图像呈上升趋势。 上升趋势 同一条直线上，图像呈上升趋势。 多少?225立方厘米的水有多高 立方厘米的水有多高? 多少 立方厘米的水有多高
19.2.1正比例函数图像及其性质
归函数的图像和性质
一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图像是一 条经过原点的直线，我们称之为直线y=kx。 当k＞0时，直线y=kx经过第三、第一象限，从左向右上 升，即随着x的增大y也增大； 当k＜0时，直线y=kx经过第二、第四象限，从左向右下 降，即随着x的增大y反而减小。
画正比例函数的图像时，只需 描两个点，然后过这两个点画一条 直线
归纳函数的图像和性质
一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图像是一 条经过原点的直线，我们称之为直线y=kx。 当k＞0时，直线y=kx经过第三、第一象限，从左向右上 升，即随着x的增大y也增大； 当k＜0时，直线y=kx经过第二、第四象限，从左向右下 降，即随着x的增大y反而减小。
学习重点：
用数形结合的思想方法，通过画图观察，概括正比 例函数的图象特征及性质．
问题一：什么是正比例函数？请你举出两个例子。 问题一：画函数图像的一般步骤？
分三步走：1.列表 2.描点 3.连线 问题二：画函数图像的注意事项？ 1.建立正确的平面直角坐标系，标记正确的方向，变量字 母，原点，单位长度 2.列表时选取的值最好均匀，当自变量的取值是任意实 数时，尽量正值，0，负值 要选取，一般五点定形，同 时注意省略号 3.连线时要用平滑的曲线连接个点，注意图像是一段还是 无限延伸，从而确定图像有无端点
m、n的值；⑶点E（－1，4）在这个图像上吗？试 说明理由；⑷若－2≤x≤5，则y的取值范围是什么； ⑸若点A在这个函数图像上，AB⊥y轴，垂足B的坐
第五单元 正比例和反比例 2.认识成正比例的量的图像特点
第五单元正比例和反比例2. 认识成正比例的量的图像特点在数学中，正比例是指两个变量之间存在一种成比例的关系，也就是说，当一个变量的值增加时，另一个变量的值也相应地增加或减小。
在本文中，我们将重点介绍成正比例的量的图像特点。
2.1 正比例的定义首先，我们需要明确正比例的定义。
两个变量 x 和 y 成正比例，表示为x ∝ y，如果存在一个常数 k，使得对于任意的 x 和 y，都有 x = k * y。
这种关系可以表示为一个直线通过原点的图形。
2.2 图像特点成正比例的量的图像具有以下特点：2.2.1 直线关系成正比例的量的图像是一条直线。
这是因为，根据正比例的定义，成正比例的两个变量满足 x = k * y，其中 k 是常数。
当 k 不等于 0 时，我们可以将此方程进行整理，得到 y = (1/k) * x，这是一个关于 x 的一次函数，也就是一条直线。
2.2.2 穿过原点成正比例的量的图像总是经过原点 (0, 0)。
这是因为当 x 和 y 都等于 0 时，方程 x = k * y 成立。
也就是说，当两个变量的值都为 0 时，它们是成正比例的。
2.2.3 斜率相同成正比例的量的图像具有相同的斜率。
这是因为斜率表示的是每单位 x 的变化对应的单位 y 的变化。
对于成正比例的两个变量 x 和 y，斜率为 k。
无论是增加还是减小 x，对应的 y 的变化都是相同的，也就是 k。
2.2.4 正相关关系成正比例的量的图像表现出正相关关系。
也就是说，当 x 增加时，y 也增加；当 x 减小时，y 也减小。
这是因为根据正比例的定义，x 和 y 成比例的变化。
2.3 举例说明以下是一些实际生活中的例子，说明成正比例的量的图像特点：2.3.1 速度和时间假设一辆汽车以恒定的速度行驶，根据物理学知识，速度和时间是成正比例的。
如果我们以时间为 x 轴，速度为 y 轴，绘制速度和时间的图像，它将是一条通过原点的直线，斜率表示汽车的速度。
正比例函数及图象
(4)冷冻一个0℃的物体，使它每分下降 2℃，物体的温度T(单位：℃）随冷冻 时间t（单位：分）的变化而变化.
(2)m=7.8v (3)h=0.5n (4)T=-2t
认真观察以上出现的四个函数解析式，分 别说出哪些是函数、常数和自变量．
函数解析式 函数 常数 自变量
l =2πr l 2π r m =7.8V m 7.8 V
2. 描点 3. 连线
5 4 3 2 1
-3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4
x
1 23
画出下列正比例函数的图象
y=－2x
画图步 骤：
１、列表； ２、描点； ３、连线。
走组互助：比较两个函数图象的相同点与不同点
y 2x
y 2x
k＞0
k＜0
两图象都是经过原点的 直线 ， 函数y=2x的图象从左向右 上升 ，经过第 一、三 象限，
-2
-2
-4
y1x
-6
3
y 1 x -4 3
-6
-8
-8
y= -2x
y
y= kx (k＞0)
y= kx
y
(k＜0) k
01
x
01
x
k
正比例函数y= kx (k≠0) 的图象是经 过原点(0,0)和点(1,k)的一条直线。
y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线
y=kx 经过的象限 从左向右 Y随x的增大而
注: 正比例函数y=kx（k≠0） 的结构特征
①k≠0 ②x的次数是1
自变量
练习
1.判断下列函数解析式是否是正比 例函数？如果是，指出其比例系数
是多少？