3章-3_正交曲线坐标系
微分几何习题及答案解析
、第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r=)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r ×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。
当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。
所以，)(t r具有固定方向。
6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。
AutoCAD建筑制图--第三章
图3-32 “查询”工具栏
3.8 操 作 实 践
【例3-5】绘制如图3-36所示的双扇门。为在绘制该图形过 程中，结合了辅助绘图工具，希望能进一步帮助用户掌握这 些工具。已知门长1200mm，门厚40mm。绘制完成后存在 以前建立的“AutoCAD 2010学习”目录下，文件名为Ex305。
图3-36 双扇门平面图
三点确定一段圆弧 圆弧各参数
3.5.4 绘制椭圆与椭圆弧 3.5.5 绘制样条曲线
可以通过3种方法启动绘制样条曲线命令。 (1) 选择“绘图”|“样条曲线”命令。 (2) 单击“绘图”工具栏上的“样条曲线”按 钮 。 (3) 在命令行中输入Spline命令。
不同公差的样条曲线
3.5.6 徒手画线
2. 绘制构造线 构造线的主要作用是用作绘图时的辅助线(两端无限长的直线)。 AutoCAD能绘制水平线、竖直线、任意角度线、角平分线和 偏移线。通常我们使用构造线来对齐对象和平分角。可以通 过3种方法启动XLine命令。 (1) 单击“绘图”工具栏上“构造线”按钮 。 (2) 选择“绘图”|“构造线”命令。 (3) 在命令行输入Xline命令并按Enter键或按空格键。
在建筑制图中有时需要随意手绘的一些边界或配景。AutoCAD提供了徒手画 线的命令，可以通过徒手画线命令随意勾画自己所需要的图案，如图3-28所 示。
图3-28 徒手画线一石山效果
3.6 创 建 点
点的绘制表现在AutoCAD中只是一个落笔的动作，即鼠标 在绘图区单击拾取，或通过坐标输入点。这些点在绘图过程 中常用作临时的辅助点，待绘制完其他图形后一般冻结这些 点所在的图层或直接删除掉。 在绘制点之前可以设置点的样式，绘制单点、定数等分点、 定距等分点。
3.4.4 绘制矩形
球坐标柱坐标
【七】 ( A B ) B A A B 【八】 (fA ) f A f A 【九】 ( A B ) ( B ) A B ( A ) ( A ) B A ( B ) 【一0】 ( A B ) ( B ) A ( A ) B B ( A ) A ( B )
三、二重算子
f x22(eˆxeˆx)f y22(eˆyeˆy)f z22(eˆzeˆz)f 2f 2f 2f 2f x2 y2 z2
【例题一.三.四】 证明一个标量场的梯度必无旋!!一个矢量场 的旋度必无散？？ F lr r ＝ e ˆx y z z y e ˆy z x x z e ˆx x y y x ＝ 0
F (r ) r 1 2 r(r 2 F r) rs i 1 n (s inF ) rs i 1 n F
eˆr reˆ rsineˆ
1 A
r2 sin r Ar rA rsin A
【例题一.三.一】
求矢量场
A (r ) x 2 e ˆx y 2 e ˆy z 2 e ˆz 沿xy平
面内一闭合回路C的线积分!!此闭合回路
由【0!!0】和【 】之间2, 的2 一段抛物线
和两段平行y2于 坐x 标轴的直线段组成？？ 再计算 的旋度？？A
【例题一.三.二】
求二维标量场 u(x,y)的梯y2度x!!并取一闭合 回路C!!证明
udl 0
C
【例题一.三.三】
若 Rrr' R R
证明： ( 1) '( 1)
e ˆ e ˆ zz
➢球面坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系
eˆ eˆ sincoseˆ sinsineˆ cos
r
x
y
z
eˆ
eˆ x
10高等流体力学练习题
高等流体力学练习题第一章 场论基本知识 第一节 场的定义及其几何表达1、（RX21）设点电荷q 位于坐标原点，则在其周围空间的任一点M(x, y, z)处所产生的电场强度，由电学知为：34q E r rπε=，其中ε为介质系数，r xi yj zk =++为M 点的矢径，r r = 。
求电场强度的矢量线。
2、（RX22）求矢量场22()A xzi yzj x y k =+-- ，通过点M(2, -1, 1)的矢量线方程。
第二节 梯度1、（RX32）设r =M(x, y, z)的矢径的模，试证明：rgradr r=。
2、（RX33）求数量场u=xy 2+yz 3在点（2，－1，1）处的梯度及在矢量22l i j k=+- 方向的方向导数。
3、（RX34）设位于坐标原点的点电荷q ，由电学知，在其周围空间的任一点M(x, y, z)处所产生的电位为：4q v rπε=，其中ε为介质系数，r xi yj zk=++为M 点的矢径，r r =。
求电位v 的梯度。
4、（BW7）试证明d dr grad ϕϕ=⋅ ，并证明，若d dr a ϕ=⋅，则a 必为grad ϕ。
5、（BW8）若a＝grad ϕ，且ϕ是矢径r 的单值函数，证明沿任一封闭曲线L的线积分0La dr ⋅=⎰ ，并证明，若矢量a沿任一封闭曲线L 的线积分0La dr ⋅=⎰，则矢量a必为某一标量函数ϕ的梯度。
第三节 矢量的散度 1、 （RX39）设由矢径r xi yj zk =++构成的矢量场中，有一由圆锥面x 2+y 2=z 2及平面z=H(H>0)所围成的封闭曲面S 。
试求矢量场从S 内穿出S 的通量。
2、 （RX41）在点电荷q 所产生的电场中，任何一点M 处的电位移矢量为34q D r r π= ，其中，r 为从点电荷q 指向M 点的矢径，r r=。
设S 为以点电荷为中心，R 为半径的球面，求从内穿出S 的电通量。
3、 （RX44）若在矢量场A内某些点（或区域）上有0divA ≠ ，而在其他点上都有0divA =，试证明穿过包围这些点（或区域）的任一封闭曲面的通量都相等，即为一常数。
数学物理方法课件：特殊函数
c2k 1
(2k 1)!
c1
(4.26)
至此，我们得l阶勒让德方程的级数解(通解)为
y(x)＝y0(x)＋y1(x)
(4.27)
22
其中，y0(x)只含有x的偶次幂，即
y0
(x)
c0 [1
k 1
(2k
2
l)(2k
4
l)...(2
l)(l)(l (2k )!
1)(l
3)...(l
2k
1)
x2k
(4.3)
在该圆内有唯一的一个解析的解w(z)满足初值条件
w(z0)＝C1
w'(z0)＝C2
(4.4)
7
其中，C1和C2是任意给定的复常数，并且解w(z)在该圆 内是单值解析的。
注意：
(1)因为解w(z)在|z－z0|<R是解析的，故w(z)可用(z－z0)的 幂级数表示，这就是幂级数解法的基础。即这个解析解可表
，可得确定收敛域为(－∞，＋∞)。
a k k2
17
例4.2 求l阶勒让德方程
(1－x2)y"－2xy'＋l(l＋1)y＝0 (4.17)
在x0＝0点邻域内的级数解。
解：方程可标准化为
y
1
2
x x
2
y
l(l 1) 1 x2
yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
(4.18)
2x
其系数 p(x) 1 x2 即x0＝0是方程的常点。
]
(4.28)
y1(x)只含有x的奇次幂，即
y1 ( x)
c1[ x
k 1
(2k
1
l)(2k
3
l)...(1 l)(l (2k 1)!
电磁场与电磁波教案
教师备课教案本
(理论课程)
系别：电子工程系
课程名称：电磁场与电磁波
教师姓名：刘咏梅
授课时间：2010－2011学年第一学期
电子科技大学中山学院
教师授课计划*
1、教师首次授课时应将本计划告知学生；
2、理论课程教案一般以2节课或3节课为一个单元编写，“授课总次数”即单元总数。
填表日期：2011年02 月28 日
教案
*“教学后记”是授课完毕之后，教师对授课准备情况、授课过程及授课效果的回顾与总结，因此，教师应及时手写补充完整本部分内容。
*“教学后记”是授课完毕之后，教师对授课准备情况、授课过程及授课效果的回顾与总结，因此，教师应及时手写补充完整本部分内容。
*“教学后记”是授课完毕之后，教师对授课准备情况、授课过程及授课效果的回顾与总结，因此，教师应及时手写补充完整本部分内容。
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习题答案—第二章
第二章 正交曲线坐标系下的张量分析与场论1、用不同于书上的方法求柱坐标系和球坐标系的拉梅系数及两坐标间的转换关系ij β。
解：①柱坐标系k z j i r++=ϕρϕρs i n c o s ，2222222dz H d H d H ds z ++=ϕρϕρ ()()k dz j d d i d d r d+++-=ϕϕρρϕϕϕρρϕcos sin sin cos()()222222222222222222222222222222c o s s i n s i n c o s c o s s i n 2c o s s i n s i n c o s s i n 2c o s c o s s i n s i n c o s dz d d dz d d d d dz d d d d d d d d dz d d d d r d r d ds ++=++++=+++++-=+++-=⋅=ϕρρϕϕρϕϕρρϕρϕϕρϕϕρϕϕρρϕϕϕρϕρϕϕρρϕϕϕρρϕϕϕρρϕ故：1=ρH ，ρϕ=H ，1=z H ②球坐标系k R j R i R r θφθφθc o s s i n s i n c o s s i n ++=，2222222φθφθd H d H dR H ds R ++=()()()kd R dR j d R d R dR id R d R dR r dθθθφφθθφθφθφφθθφθφθsin cos cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos cos sin -++++-+= ()()()2222222222s i n s i n c o s c o s s i n s i n c o s s i n s i ns i n s i n c o s c o s c o s s i n φθθθθθφφθθφθφθφφθθφθφθd R d R dR d R dR d R d R dR d R d R dR r d r d ds ++=-++++-+=⋅=故：1=R H ，R H =θ，θφsin R H = ③两坐标间的转换关系ij βφr re e θe φPθru re e zu ze r(1)圆柱坐标系 （2）球坐标系由球坐标系与直角坐标系的坐标变换矩阵为：sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos 0r e i e j e k θφθφθφθθφθφθφφ⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎢⎥=-⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥-⎣⎦⎩⎭⎩⎭注意，圆柱坐标系中的θ和球坐标系的φ相等。
大学电磁场考试资料,习题
阶段测测试题目为单选、多选。
简单练习题目为名词解释、填空、简答。
作业题目为计算、论述题目类型：单选、名词解释、填空、简答、计算、论述。
矢量分析与场论初步0-1 正交坐标系与矢量运算 0-2 标量场和矢量场 0-3 标量场的梯度0-4 矢量场的通量与散度 0-5 矢量场的环量与旋度 0-6 亥姆霍茨定理 0-7 三种特殊形式的场 单选：一个标量场中某个曲面上梯度为零时 CA 其旋度必不为零B 其散度为零C 该面为等值面D 该标量场也为零 一个矢量场的散度为零时 BA 沿任一闭合曲线的线积分不为零B 沿任一闭合曲面的通量为零C 其旋度必不为零D 其梯度必为零直角坐标系中的单位向量e x 与e y 的数量积是 A A 1 B e x C e y D e z 直角坐标系中的单位向量e x 与e y 的矢量积是 D A 1 B e x C e y D e z一个矢量场的散度为零时 BA 沿任一闭合曲线的线积分不为零B 沿任一闭合曲面的通量为零C 其旋度必不为零D 其梯度必为零下述公式中不正确的是（其中C 是常数矢量） CA 、 0C =∇B 、0C =•∇ C 、C B B C ⨯=⨯D 、0C =⨯∇ 已知z y x x y z x y x e e e A )2()3()32(-+-+-=，矢量A 的散度为 B A 、1 B 、2 C 、3 D 、4名词解释：正交坐标系 各个坐标轴（单位向量）互相垂直 标量 只有大小而无方向的量 矢量 有大小又有方向的量梯度 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数；梯度的大小为该点标量函数的最大变化率，即该点最大方向导数；梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向。
矢量场的通量 矢量 E 沿有向曲面S 的面积分 S E d S ⋅⎰=Φ散度 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；散度代表矢量场的通量源的分布特性,是通量密度。
工程力学中的张量分析(刘建林编著)PPT模板
03
第2章张量
第2章张量
2.1张量的定义 2.2张量的运算 2.3特殊张量 2.4张量分解 习题
04
第3章张量函数及场方程
第3章张 量函数及 场方程
3.1张量函数 3.2张量函数的导数 3.3张量场方程 习题
05
第4章曲线坐标系
第4章曲线坐 标系
0 1 4.1基矢量的导数
0 2 4.2张量场函数对矢径的导数 0 3 4.3矢量和张量场函数分量对坐标的
工程力学中的张量分析 (刘建林编著)
演讲人
2 0 2 X - 11 - 11
目录
01. 前言 03. 第2章张量 05. 第4章曲线坐标系
02. 第1章一阶张量——矢量 04. 第3章张量函数及场方程 06. 参考文献
01
前言
前言
02
第1章一阶张量——矢量
第1章一阶张量— —矢量
1.1矢量 1.2矢量的特殊运算 1.3坐标变换 习题
协变导数
0 4 4.4张量场函数的散度与旋度
0 5 4.5非完整系
06
4.6正交曲线坐标系中的物理分 量
第4章曲线坐标系
习题
06
参考文献
参考文献
感谢聆听
张量分析第五章
r3是相互正交的V中每一点都不变的单位矢量时， ( x1, x 2 , x 3 ) ( x1 , x2 , x3 )称为 x ∈V的直角坐标。显然 x ∈V的曲线坐标 ( x i ) 随基底的变化而不同。也正是这种变化使得对不同的物理 、力学问题，或是 Euclid 空间的某些几何属性采用不同的 曲线坐标，其数学表述形式上将会不同。同一问题的不同 曲线坐标描述有的更为直接，有的可能会很复杂。当然对 具体问题的数学表述越直接越好。这就要求在对具体问题 进行数学表述时应当首先选择一个好的曲线坐标（本质上 不同曲线坐标的同一问题表述都是等价的）。正是为了这 一目的，本章将对曲线坐标进行讨论。
( xi i j ) x i
x1 x2 x3 i i1 i i2 i i3 ; (i 1, 2,3) x x x
r1, r2, r3称为参考坐标系{o；i1, i2, i3}中位置矢量x处的局部 基。{ x；r1, r2, r3}称 x 处的局部坐标系。或称为 x 处的曲 线坐标系。 例2： 试求例1曲线坐标（球坐标）的局部基矢量。 解： x x sin x cos x ; x x sin x sin x ; x x cos x ∵ x x x x r i i (sin x cos x )i (sin x sin x )i (cos x )i ∴ x x x x
1 2
con st a
x2
x1 A x2
( x )
1
2
( x2 x3
1 2 2 )
o
const b
x1
x3
( x1 ) 2 ( x 2 ) 2 (bx3 ) 2 0
这是{o；i1, i2, i3}坐标系内顶点在o的锥面。 当 x 3 const 时：