7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义-高一数学新教材配套学案(人教A版2019必修第二册)
7.2 复数的四则运算
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
【学习目标】
素 养 目 标 学 科 素 养
1. 掌握复数代数形式的加法、减法运算法则;
2. 理解复数代数形式的加法、减法运算的几何意义。
1.数学运算;
2.直观想象
【自主学习】
一．复数加、减法的运算法则及加法运算律
1.加、减法的运算法则
设z
1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1＋z2
＝ ，
z1－z2＝ ．
2.加法运算律
对任意z
1，z2，z3
∈C，有
① 交换律：z
1＋z2
＝ ．
②结合律：(z
1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3
)．
二．复数加、减法的几何意义
如图所示，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)对应的向量分别为OZ1→，
OZ2→，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是OZ→，与z1－z
2
对应的向量是Z
2Z1
→
.
【小试牛刀】
思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)复数与向量一一对应. ( )
(2)在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．( )
(3)复数的加法不可以推广到多个复数相加的情形．( )
(4) 复数与复数相加减后结果只能是实数．( )
(5)若复数z1，z2满足z1－z2＞0，则z1＞z2.( )
(6)复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立．( )
【经典例题】
题型一 复数的加、减法运算
点拨： 两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是
加法的逆运算。
例1 计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)。
【跟踪训练】1已知复数z满足z＋(1＋2i)＝5－i，则z＝____________．
题型二 复数加、减法的几何意义
点拨：
1.复数的加减运算可以转化为点的坐标或向量运算．
2.复数的加减运算转化为向量运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．
例2 根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点Z
1 (x1 , y1) ,Z2 (x2 , y2
) 间的距离。
【跟踪训练】2 在复平面内，A，B，C，三点分别对应复数1，2＋i，－1＋2i.
(1)求AB
→，AC→，BC→
对应的复数；
(2)判断△ABC的形状．
【当堂达标】
1. (多选)设复数z满足z＋|z|＝2＋i，那么( )
A．z的虚部为i B．z的虚部为1
C．z＝－
34－i D．z＝3
4
＋i
2.已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝( )
A．8i B．6
C．6＋8i D．6－8i
3.在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对
角线AC的长度为( )
A.5 B．5
C．25 D．10
4.若复数z1＝1＋3i，z2＝－2＋ai，且z1＋z2＝b＋8i，z2－z1＝－3＋ci，则实数a＝________，b
＝________，c＝________．
5.A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB一定
是 三角形.
6.已知四边形OACB是复平面内的平行四边形，O为原点，点A，B分别表示复数3＋i,2＋4i，
M是OC，AB的交点，如图所示，求点C，M表示的复数．
【参考答案】
【自主学习】
(a＋c)＋(b＋d) i (a－c)＋(b－d)i z2＋z
1
【小试牛刀】
(1) × (2) √ (3) × (4)× (5)× (6)×
【经典例题】
例1 解 原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i＝－11i.
【跟踪训练】1 4－3i 解析：z＝(5－i)－(1＋2i)＝4－3i.
例2
【跟踪训练】2 解：(1)A，B，C三点分别对应复数1，2＋i，－1＋2i.
所以OA→，OB→，OC→对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i(O为坐标原点)，
所以OA→＝(1，0)，OB→＝(2，1)，OC→＝(－1，2)．
所以AB→＝OB→－OA→＝(1，1)，AC→＝OC→－OA→＝(－2，2)，BC→＝OC→－OB
→
＝(－3，1)．
即AB→对应的复数为1＋i，AC→对应的复数为－2＋2i，BC→对应的复数为－3＋i.
(2)因为|AB→|＝1＋1＝2，|AC→|＝（－2）2＋22＝8，|BC→|＝（－3）
2
＋1＝10，
因为|AB→|2＋|AC→|2＝10＝|BC
→|2.且|AB→|≠|AC→
|，
所以△ABC是以角A为直角的直角三角形．
【当堂达标】
1. BD 解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则x＋yi＋x
2＋y2
＝2＋i，
∴ x＋x2＋y2＝2，y＝1，解得 x＝34，y＝1，∴z＝34＋i.∴z的虚部为1.
2.B 解析：z1＋z2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.
3. B 解析：依题意，AC
→
对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度为|－3－
4i|＝5.
解析 因为复平面内的点𝒁
𝟏 𝒙𝟏,𝒚𝟏 ,𝒁𝟐 𝒙𝟐,𝒚𝟐
对应的复数分别为
𝒁𝟏=𝒙𝟏+𝒚𝟏𝒊,𝒁𝟐=𝒙𝟐+𝒚𝟐𝒊.
所以𝒁𝟏,𝒁𝟐之间的距离为 𝒁
𝟏𝒁𝟐 = 𝒁𝟏𝒁𝟐 = 𝒁𝟏−𝒁𝟐
= 𝒙𝟏−𝒙𝟐 + 𝒚𝟏−𝒚𝟐
= 𝒙𝟏−𝒙𝟐 𝟐+ 𝒚𝟏−𝒚
𝟐
𝟐
4. 5 －1 2 解析：z1＋z2＝(1－2)＋(3＋a)i＝－1＋(3＋a)i＝b＋8i，z2－z1＝(－2－1)＋(a－3)i
＝－3＋(a－3)i＝－3＋ci，所以b＝－1，3＋a＝8，a－3＝c，解得b＝－1，a＝5，c＝2.
5. 直角 解析：根据复数加(减)法的几何意义，知以OA
→，OB→
为邻边所作的平行四边形的对角线
相等，则此平行四边形为矩形，故△AOB为直角三角形．
6. 解：因为OA
→，OB→
分别表示复数3＋i,2＋4i，
所以OC→＝OA→＋OB→表示的复数为(3＋i)＋(2＋4i)＝5＋5i，
即点C表示的复数为5＋5i.
又OM→＝12OC→，所以OM→表示的复数为52＋
5
2
i，
即点M表示的复数为52＋
5
2
i.
高中数学人教A版2019必修第二册 7-2-1 复数的加、减运算及其几何意义(教学课件)
探究一
探究二
(1)答案:1+i
1
1
探究三
4 3
解析: 3 + 2 i +(2-i)- 3 - 2 i
1
4
1
3
= 3 + 2- 3 + 2 -1 + 2 i=1+i.
(2)解:(方法一)设z=x+yi(x,y∈R),
因为z+1-3i=5-2i,
所以x+yi+(1-3i)=5-2i,
即x+1=5且y-3=-2,解得x=4,y=1,
过解方程组,求得x,y的值,也就求得了复数z.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3若复数z满足|z|-1-3i=z,则z=
答案:4-3i
随堂演练
.
解析:设 z=x+yi(x,y∈R),依题意有 2 + 2 -1-3i=x+yi,于是
= 4,
2 + 2 -1 = ,
解得
于是 z=4-3i.
所以z=4+i.
(方法二)因为z+1-3i=5-2i,
所以z=(5-2i)-(1-3i)=4+i.
思维辨析
随堂演练
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
反思感悟 复数加减运算的方法技巧
1.可把复数运算类比实数运算,若有括号,先计算括号里面的;若
没有括号,可以从左到右依次进行.
2.当利用交换律、结合律抵消掉某些项的实部或虚部时,可以利
2
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
复数的加法、减法运算
人教A版(2019)必修 第二册 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义课件
【解析】1.(2-3i)+(-4+2i)=(2-4)+(-3+2)i=-2-i. 答案：-2-i
2.因为x+4+(x+y)i=(y-1)+(3x-1)i，
所以 解答得案：6xx＋ ＋4y1＝＝13yx1,1，
x＝6, y＝11.
3.因为z1-z2=[(3x-4y)+(y-2x)i]-[(-2x+y)+(x-3y)i] =[(3x-4y)-(-2x+y)]+[(y-2x)-(x-3y)]i=(5x-5y)+
(-3x+4y)i=5-3i，
所以
解得x=1，y=0，
5x 5y＝5, 3x＋4y＝ 3，
所以z1=3-2i，z2=-2+i，则z1+z2=1-i， 所以|z1+z2|= . 答案：
2 2
【内化·悟】ຫໍສະໝຸດ 1.复数代数形式的加、减运算的方法是什么？ 提示：就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减 之后分别作为结果的实部与虚部.
B.(-∞，-2)
C.(-2，0)
D.(3，4)
【解析】选D.整理得z=(m2-4m)+(m2-m-6)i，由复数
【习练·破】
1.已知复数z+3i-3=3-3i，则z=
A.0
B.6i
C.6
() D.6-6i
【解析】选D.因为z+3i-3=3-3i， 所以z=(3-3i)-(3i-3)=6-6i.
2.在复平面内，若z=m2(1+i)-m(4+i)-6i所对应的点在
第二象限，则实数m的取值范围是 ( )
A.(0，3)
2.怎样处理含有字母的复数代数形式的加减运算？
高一数学(人教A版)复数的加、减运算及其几何意义-1教案
教 案 教学基本信息 课题 7．2.1复数的加、减运算及其几何意义 学科 数学 学段： 高中 年级 高一 教材 书名：普通高中教科书《数学》必修第二册 出版社： 人民教育出版社 出版日期：2019 年6 月
教学目标及教学重点、难点 教学目标： 1、知识与技能目标：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义。
2、过程与方法目标：在问题探究过程中，体会和学习类比，数形结合等数学思想方法，感悟运算形成的基本过程。
3、情感、态度与价值观目标：通过探究学习,培养学生观察、理解、推理论证的能力。在掌握知识的同时,形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神.
教学重点：理解和掌握复数加减运算的两种运算形式及加法运算律，准确进行加减运算，初步运用加减法的几何意义解决简单问题。
教学难点：复数加减法的几何意义及其应用 教学方法：探究法 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图
复习回顾 教师：复数产生的背景:为了解决方程210x在实数范围无解的问题,引入了虚数单位2i(i1);引入虚数单位后，方程无解的问题得意解决，而数集也随之扩大，实数集扩大到复数集。 复习 1．什么是复数？对于形如i,zababR的数叫做复数。其中i叫做虚数单位，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部， 2.两个复数相等的条件是什么？ ii,,,abcdabcdR当且仅当,acbd 3．复数几何意义 4．复数,zabiabR的模：22OZzabiabOZ，从几何上来看复数通过复习回顾复数概念、几何意义等相关知识,使学生对这一知识结构有个清醒的初步认知,逐渐过渡到对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习情境,为探究本节课的新知识作铺垫. ,zabiabR的模表示点(,)ab到原点的距离。
新课 探究
师：我们知道实数有加、减、乘、除等运算，且有运算律：
数学人教A版高中必修二(2019新编)7-2-1 复数的加、减运算及其几何意义(课件)
新知探索
新知探索
思考2：我们知道，实数的减法是加法的逆运算.类比实数减法的意义，你认为该如 何定义复数的减法？
新知探索
这就是复数的减法法则.由此可见，两个复数的差是一个确定的复数.可以看出， 两个复数相减，类似于两个多项式相减. 问题2：类比复数加法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗？
新知探索
练习
练习
练习
课堂小结
课堂小结
作业
(1)整理本节课的题型； (2)课本P77的练习1——4题； (3)课本P80习题7.2第1、2、5题.
练习
练习
题型二：复数的加、减运算的几何意义
练习
方法技巧： 用复数加、减运算的几何意义解题的技巧
1.形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理. 2.数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于 几何之中.
练习
练习
题型三：复数加、减运算几何意义的应用
答案：√,√，×. 答案：5.
例析
l
例析
l
练习
题型一：复数的加、减运算
练习
方法技巧： 复数代数形式的加、减法运算技巧
1.复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加 减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部. 2.算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后 把实部与实部、虚部与虚部分别相加减. 3.复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从 左到右依次进行计算.
7.2.1 复数的加、减运算及 其几何意义
问题导入
在上一节，我们把实数集扩充到了复数集.引入新数集后，就要研究其中的数 之间的运算.下面就来讨l 论复数集中的运算问题.
【人教A版】高中数学必修第二册第七章：7.2.1复数的加、减运算及其几何意义 教学设计
【人教A 版】高中数学必修第二册第七章 7．2.1 复数的加、减运算及其几何意义 教学设计(教师独具内容)课程标准：1.掌握复数代数表示式的加、减运算法则.2.了解复数代数表示式的加、减运算的几何意义．教学重点：复数代数表示式的加、减运算． 教学难点：复数加、减运算的几何意义以及应用．核心素养：1.通过复数的加法、减法运算提升数学运算素养.2.通过复数的加法、减法运算的几何意义培养数学抽象素养.复数模的两个重要性质(1)||z 1|－|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|＋|z 2|； (2)|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝2|z 1|2＋2|z 2|2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数与向量一一对应．( )(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．( )(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．( ) (4)两个共轭虚数的差为纯虚数．( ) 2．做一做(1)计算：(3＋5i)＋(3－4i)＝____. (2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝____.(3)已知向量OZ 1→对应的复数为2－3i ，向量OZ 2→对应的复数为3－4i ，则向量Z 1Z 2→对应的复数为____.题型一 复数的加、减运算例1 计算：(1)(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)；(2)(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i)．[跟踪训练1] (1)计算：(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)．(2)设z1＝x＋2i，z2＝3－y i(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2.题型二复数加、减运算的几何意义例2 (1)在复平面内，AB→，AC→对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，则BC→对应的复数为( )A．－1－5i B．－1＋5iC．3－4i D．3＋4i(2)如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i.求：①AO→表示的复数；②对角线CA→表示的复数；③对角线OB→表示的复数．[跟踪训练2] (1)在复平面内，若OA→，OB→对应的复数分别为7＋i,3－2i，则|AB→|＝____.(2)在复平面内，A，B，C三点分别对应复数1,2＋i，－1＋2i.①求AB→，AC→，BC→对应的复数；②判断△ABC的形状．题型三复数加、减运算的几何意义的应用例3 已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.[跟踪训练3] 若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，求|z＋i＋1|的最小值．1．复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z1－z2在复平面内对应的点位于( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．(6－3i)－(3i＋1)＋(2－2i)的结果为( )A．5－3i B．3＋5iC．7－8i D．7－2i3．(多选)非零复数z1，z2分别对应复平面内的向量OA→，OB→，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则( )A．OC→＝BA→B．|OC→|＝|BA→|C．OA→⊥OB→D．|OA→|＝|OB→|4．复数z满足z－(1－i)＝2i，则z＝____.5. 已知四边形OACB是复平面内的平行四边形，O是原点，点A，B分别表示复数3＋i,2＋4i，M是OC，AB的交点，如图所示，求点C，M表示的复数．一、选择题1．复数z1＝2－12i，z2＝12－2i，则z1＋z2等于( )A．0 B．32＋52iC．52－52i D．52－32i2．若z＋3－2i＝4＋i，则z等于( )A．1＋i B．1＋3iC．－1－i D．－1－3i3．设m∈R，复数z＝(2m2＋3i)＋(m－m2i)＋(－1＋2m i)，若z为纯虚数，则m等于( )A．－1 B．3C．12D．－1或34．(多选)已知复平面上的四个点A，B，C，D构成平行四边形，顶点A，B，C对应复数－5－2i，－4＋5i,2，则点D对应的复数可以是( ) A．1－7i B．3＋7iC．－7－3i D．－11＋3i5．复数z＝x＋y i(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为( )A．2 B．4C．4 2 D．16二、填空题6．在复平面上复数－1＋i,0,3＋2i所对应的点分别是A，B，C，则平行四边形ABCD的对角线BD的长为____.7．实数x，y满足z1＝y＋x i，z2＝y i－x，且z1－z2＝2，则xy的值是____.8．设f(z)＝z－3i＋|z|，若z1＝－2＋4i，z2＝5－i，则f(z1＋z2)＝____.三、解答题9．已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，求z－.1．已知复平面内的平行四边形ABCD中，点A对应的复数为2＋i，向量BA→对应的复数为1＋2i，向量BC→对应的复数为3－i，求：(1)点C，D对应的复数；(2)平行四边形ABCD的面积．2．设z1＝1＋2a i，z2＝a－i(a∈R)，A＝{z||z－z1|<2}，B＝{z||z－z2|≤22}，已知A∩B＝∅，求a的取值范围．7．2.1 复数的加、减运算及其几何意义(教师独具内容)课程标准：1.掌握复数代数表示式的加、减运算法则.2.了解复数代数表示式的加、减运算的几何意义．教学重点：复数代数表示式的加、减运算． 教学难点：复数加、减运算的几何意义以及应用．核心素养：1.通过复数的加法、减法运算提升数学运算素养.2.通过复数的加法、减法运算的几何意义培养数学抽象素养.复数模的两个重要性质(1)||z 1|－|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|＋|z 2|； (2)|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝2|z 1|2＋2|z 2|2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数与向量一一对应．( )(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．( )(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．( ) (4)两个共轭虚数的差为纯虚数．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．做一做(1)计算：(3＋5i)＋(3－4i)＝____. (2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝____.(3)已知向量OZ 1→对应的复数为2－3i ，向量OZ 2→对应的复数为3－4i ，则向量Z 1Z 2→对应的复数为____.答案 (1)6＋i (2)－11i (3)1－i题型一 复数的加、减运算例1 计算：(1)(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)； (2)(－7i ＋5)－(9－8i)＋(3－2i)． [解] (1)原式＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i ＝－4－10i.(2)原式＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i ＝－1－i.复数代数形式的加、减法运算，其运算法则是对它们的实部和虚部分别进行加、减运算．在运算过程中应注意把握每一个复数的实部和虚部．这种运算类似于初中的合并同类项．[跟踪训练1] (1)计算：(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)． (2)设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，求z 1－z 2. 解(1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i)＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2. (2)因为z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i ，z 1＋z 2＝5－6i ， 所以(3＋x )＋(2－y )i ＝5－6i ， 所以⎩⎨⎧3＋x ＝5，2－y ＝－6，所以⎩⎨⎧x ＝2，y ＝8，所以z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝(2－3)＋[2－(－8)]i ＝－1＋10i. 题型二 复数加、减运算的几何意义例2 (1)在复平面内，AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，则BC →对应的复数为( )A ．－1－5iB ．－1＋5iC ．3－4iD ．3＋4i(2)如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i.求：①AO→表示的复数；②对角线CA→表示的复数；③对角线OB→表示的复数．[解析](1)因为BC→＝AC→－AB→，所以BC→对应的复数为－2－3i－(－1＋2i)＝－1－5i.(2)①因为AO→＝－OA→，所以AO→表示的复数为－3－2i.②因为CA→＝OA→－OC→，所以对角线CA→表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.③因为对角线OB→＝OA→＋OC→，所以对角线OB→表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.[答案](1)A (2)见解析(1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加、减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．(2)复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．(3)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能．[跟踪训练2] (1)在复平面内，若OA→，OB→对应的复数分别为7＋i,3－2i，则|AB→|＝____.(2)在复平面内，A，B，C三点分别对应复数1,2＋i，－1＋2i.①求AB→，AC→，BC→对应的复数；②判断△ABC的形状．解(1)|AB→|＝|OB→－OA→|＝|－4－3i|＝－42＋－32＝5.(2)①因为A，B，C三点分别对应复数1,2＋i，－1＋2i.所以OA→，OB→，OC→对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i(O为坐标原点)，所以OA→＝(1,0)，OB→＝(2,1)，OC→＝(－1,2)．所以AB→＝OB→－OA→＝(1,1)，AC→＝OC→－OA→＝(－2,2)，BC→＝OC→－OB→＝(－3,1)．即AB→对应的复数为1＋i，AC→对应的复数为－2＋2i，BC→对应的复数为－3＋i.②因为|AB→|＝1＋1＝2，|AC→|＝－22＋22＝8，|BC→|＝－32＋1＝10，所以|AB→|2＋|AC→|2＝10＝|BC→|2.且|AB→|≠|AC→|，所以△ABC是以角A为直角的直角三角形.题型三复数加、减运算的几何意义的应用例3 已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.[解]解法一：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，①(a－c)2＋(b－d)2＝1.②由①②得2ac＋2bd＝1.∴|z1＋z2|＝a＋c2＋b＋d2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝ 3.解法二：设O为坐标原点，z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴△OAB是边长为1的正三角形，∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，∴|z1＋z2|＝|OC|＝|OA|2＋|AC|2－2|OA||AC|cos120°＝ 3.掌握以下常用结论：在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．[跟踪训练3] 若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，求|z＋i＋1|的最小值．解解法一：设复数－i，i，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z.如图，3因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以复数z对应的点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，由图可知|Z1Z3|为最小值且最小值为1.解法二：设z＝x＋y i(x，y∈R)．因为|z＋i|＋|z－i|＝2，所以x2＋y＋12＋x2＋y－12＝2，又x2＋y＋12＝2－x2＋y－12≥0，所以0≤ x2＋y－12≤2，因为x2＋y＋12＝2－x2＋y－12，所以两边平方可得1－y＝x2＋y－12，即(1－y)2＝x2＋(y－1)2，且0≤1－y≤2.所以x＝0且－1≤y≤1，则z＝y i(－1≤y≤1)．所以|z＋i＋1|＝|1＋(y＋1)i|＝12＋y＋12≥1，等号在y＝－1即z＝－i时成立．所以|z＋i＋1|的最小值为1.1．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 A解析 ∵z 1－z 2＝(3＋i)－(1－i)＝2＋2i ，∴z 1－z 2在复平面内对应的点位于第一象限．2．(6－3i)－(3i ＋1)＋(2－2i)的结果为( ) A ．5－3i B ．3＋5i C ．7－8i D ．7－2i 答案 C解析 (6－3i)－(3i ＋1)＋(2－2i)＝(6－1＋2)＋(－3－3－2)i ＝7－8i. 3．(多选)非零复数z 1，z 2分别对应复平面内的向量OA →，OB →，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则( )A ．OC →＝BA →B ．|OC →|＝|BA →| C ．OA →⊥OB →D ．|OA →|＝|OB →| 答案 BC解析 如图，由向量的加法及减法法则可知，OC →＝OA →＋OB →，BA →＝OA →－O B →.由复数加法及减法的几何意义可知，|z 1＋z 2|对应OC →的模，|z 1－z 2|对应BA →的模．又|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，所以|OC →|＝|BA →|，所以四边形OACB 是矩形，所以OA →⊥OB →.故选BC.4．复数z 满足z －(1－i)＝2i ，则z ＝____. 答案 1＋i解析 z ＝2i ＋(1－i)＝1＋i.5. 已知四边形OACB 是复平面内的平行四边形，O 是原点，点A ，B 分别表示复数3＋i,2＋4i ，M 是OC ，AB 的交点，如图所示，求点C ，M 表示的复数．解 因为OA →，OB →分别表示复数3＋i,2＋4i ， 所以OC →＝OA →＋OB →表示的复数为 (3＋i)＋(2＋4i)＝5＋5i ， 即点C 表示的复数为5＋5i.又OM →＝12OC →，所以OM →表示的复数为52＋52i ，即点M 表示的复数为52＋52i.一、选择题1．复数z 1＝2－12i ，z 2＝12－2i ，则z 1＋z 2等于( )A ．0B ．32＋52i C ．52－52iD ．52－32i 答案 C解析 z 1＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2i ＝52－52i.2．若z ＋3－2i ＝4＋i ，则z 等于( ) A ．1＋i B ．1＋3i C ．－1－i D ．－1－3i 答案 B解析 z ＝4＋i －(3－2i)＝1＋3i.3．设m ∈R ，复数z ＝(2m 2＋3i)＋(m －m 2i)＋(－1＋2m i)，若z 为纯虚数，则m 等于( )A ．－1B ．3C ．12D ．－1或3答案 C解析 z ＝(2m 2＋m －1)＋(－m 2＋2m ＋3)i 为纯虚数，则⎩⎨⎧2m 2＋m －1＝0，－m 2＋2m ＋3≠0，解得m ＝12.4．(多选)已知复平面上的四个点A ，B ，C ，D 构成平行四边形，顶点A ，B ，C 对应复数－5－2i ，－4＋5i,2，则点D 对应的复数可以是( )A ．1－7iB ．3＋7iC ．－7－3iD ．－11＋3i答案 ABD解析 分三种情况：①当BA →＝CD →时，z A －z B ＝z D －z C ，所以z D ＝z A －z B ＋z C ＝(－5－2i)－(－4＋5i)＋2＝1－7i.②当BA →＝DC →时，z A －z B ＝z C －z D ，所以z D ＝z C －z A ＋z B ＝2－(－5－2i)＋(－4＋5i)＝3＋7i.③当AC →＝DB →时，z C －z A ＝z B －z D ，所以z D ＝z B －z C ＋z A ＝(－4＋5i)－2＋(－5－2i)＝－11＋3i.所以点D 对应的复数为1－7i 或3＋7i 或－11＋3i.故选ABD.5．复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )满足条件|z －4i|＝|z ＋2|，则2x ＋4y 的最小值为( )A ．2B ．4C ．4 2D ．16 答案 C解析 由|z －4i|＝|z ＋2|，得|x ＋(y －4)i|＝|x ＋2＋y i|，所以x 2＋(y －4)2＝(x ＋2)2＋y 2，即x ＋2y ＝3，所以2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ＋2y ＝223＝42，当且仅当x ＝2y ＝32时取等号，故2x ＋4y的最小值为4 2.二、填空题6．在复平面上复数－1＋i,0,3＋2i 所对应的点分别是A ，B ，C ，则平行四边形ABCD 的对角线BD 的长为____.答案13解析 BA →对应的复数为－1＋i ，BC →对应的复数为3＋2i ，BD →对应的复数为－1＋i ＋3＋2i ＝2＋3i ，∴BD 的长为|2＋3i|＝22＋32＝13.7．实数x ，y 满足z 1＝y ＋x i ，z 2＝y i －x ，且z 1－z 2＝2，则xy 的值是____. 答案 1解析 z 1－z 2＝y ＋x i －y i ＋x ＝(x ＋y )＋(x －y )i. ∵z 1－z 2＝2，∴⎩⎨⎧x ＋y ＝2，x －y ＝0，∴⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，∴xy ＝1.8．设f (z )＝z －3i ＋|z |，若z 1＝－2＋4i ，z 2＝5－i ，则f (z 1＋z 2)＝____. 答案 3＋3 2解析 因为z 1＋z 2＝－2＋4i ＋5－i ＝3＋3i ，所以f (z 1＋z 2)＝(3＋3i)－3i ＋|3＋3i|＝3＋32＋32＝3＋3 2.三、解答题9．已知复数z 满足|z |＋z ＝1＋3i ，求z －. 解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |＝x 2＋y 2. 又|z |＋z ＝1＋3i ，所以x 2＋y 2＋x ＋y i ＝1＋3i ， 由复数相等得⎩⎨⎧x 2＋y 2＋x ＝1，y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝－4，y ＝3，所以z ＝－4＋3i.所以z －＝－4－3i.1．已知复平面内的平行四边形ABCD 中，点A 对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求：(1)点C ，D 对应的复数；(2)平行四边形ABCD 的面积．解 (1)因为向量BA →对应的复数为1＋2i ， 向量BC →对应的复数为3－i ，所以向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又因为OC →＝OA →＋AC →，所以点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.因为AD →＝BC →，所以向量AD →对应的复数为3－i ，即AD →＝(3，－1)． 设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)， 所以⎩⎨⎧x －2＝3，y －1＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝0.所以点D 对应的复数为5. (2)因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ， 所以cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝152＝210.因为0<B <π，所以S ▱ABCD ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×7210＝7，所以平行四边形ABCD 的面积为7.2．设z 1＝1＋2a i ，z 2＝a －i(a ∈R )，A ＝{z ||z －z 1|<2}，B ＝{z ||z －z 2|≤22}，已知A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．解 ∵z 1＝1＋2a i ，z 2＝a －i ，|z －z 1|<2，|z －z 2|≤22， 即|z －(1＋2a i)|<2，|z －(a －i)|≤22，由复数减法及模的几何意义知，集合A 是以(1,2a )为圆心，2为半径的圆的内部的点对应的复数，集合B 是以(a ，－1)为圆心，22为半径的圆周及其内部的点所对应的复数，若A ∩B ＝∅，则两圆圆心距大于或等于半径和，即1－a2＋2a ＋12≥32，解得a ≤－2或a ≥85.。