第十一章 线性相关分析与线性回归分析
第十一章 线性相关分析与线性回归分析
11.1 两个变量之间的线性相关分析
相关分析是在分析两个变量之间关系的密切程度时常用的统计分析方法。最简单的相关分析是线性相关分析，即两个变量之间是一种直线相关的关系。相关分析的方法有很多，根据变量的测量层次不同，可以选择不同的相关分析方法。总的来说，变量之间的线性相关关系分为三种。一是正相关，即两个变量的变化方向一致。二是负相关，即两个变量的变化方向相反。三是无相关，即两个变量的变化趋势没有明显的依存关系。两个变量之间的相关程度一般用相关系数r 来表示。r 的取值范围是：-1≤r≤1。∣r∣越接近1，说明两个变量之间的相关性越强。∣r∣越接近0，说明两个变量之间的相关性越弱。相关分析可以通过下述过程来实现：
11.1.1 两个变量之间的线性相关分析过程
1．打开双变量相关分析对话框
执行下述操作：
Analyze→Correlate(相关)→Bivariate（双变量）打开双变量相关分析对话框，如图11-1 所示。
图11-1 双变量相关分析对话框
2．选择进行相关分析的变量
从左侧的源变量窗口中选择两个要进行相关分析的变量进入Variable 窗口。
3．选择相关系数。
Correlation Coefficient 是相关系数的选项栏。栏中提供了三个相关系数的选项：
（1）Pearson:皮尔逊相关，即积差相关系数。适用于两个变量都为定距以上变量，且两个变量都服从正态分布的情况。这是系统默认的选项。
（2）Kendall：肯德尔相关系数。它表示的是等级相关，适用于两个变量都为定序变量的情况。
（3）Spearman:斯皮尔曼等级相关。它表示的也是等级相关，也适用于两个变量都为定序变量的情况。
4．确定显著性检验的类型。
Test of Significance 是显著性检验类型的选项栏，栏中包括两个选项：
（1）Two-tailed:双尾检验。这是系统默认的选项。
（2）One-tailed:单尾检验。
5．确定是否输出相关系数的显著性水平
Flag significant Correlations:是标出相关系数的显著性选项。如果选中此项，系统在输出结果时，在相关系数的右上方使用“*”表示显著性水平为0.05；用“**” 表示显著性水平为0.01。
6. 选择输出的统计量
单击Options 打开对话框，如图11-2 所示。
图11-2 相关分析选项对话框
（1）Statistics 是输出统计量的选项栏。
1）Means and standard deviations 是均值与标准差选项。选择此项，系统将在输出文件中输出均值与标准差。
2）Cross- product deviations and covariances 是叉积离差与协方差选项。选择此项，系统将在输出文件中输出每个变量的离差平方和与两个变量的协方差。
上述两项选择只有在主对话框中选择了Pearson:皮尔逊相关后，计算结果才有价值。
（2）缺失值的处理办法
Missing Valuess 是处理缺失值的选项栏。
1）Exclude cases pairwise 是成对剔除参与相关系数计算的两个变量中有缺失值的个案。
2）Exclude cases listwise 是剔除带有缺失值的所有个案。
上述选项做完以后，单击Continue 按钮，返回双变量相关分析对话框。
8．单击OK 按钮，提交运行。系统在输出文件窗口中输出相关分析的结果。
11.1.2 两个变量之间的线性相关分析实例分析 实例：在“休闲调查1”中，对被调查者的“住房面积”和“家月收入”作相关分析
打开数据文件“休闲调查1”后，执行下述操作：
1．Analyze→Correlate→Bivariate 打开双变量相关分析对话框。
2．从左侧的源变量中选择“住房面积”和“家月收入”进入Variable 窗口。其它选项采用系统默认状态。
3．单击Options 按钮，打开对话框。
选择Means and standard deviations 选项和Cross- product deviations and covariances
选项。
单击Continue 按钮，返回双变量相关分析对话框。
4．单击OK 按钮，提交运行。可以在输出文件中看到相关分析的结果如表11-1、表11-2 所示
表11-1 变量的描述统计
表11-2相关分析表
由于在选项中选择了Means and standard deviations选项。所以在输出文件中出现了表11-1，表中的内容就是两个变量的平均值、标准差和个案数。
表11-2是以交叉表的形式表现的相关分析的结果。下面将表的内容作如下解释：
Pearson Correlation是皮尔逊相关系数。在它右侧“住房使用面积”一列中对应的数据为1.000，这是“住房使用面积”与“住房使用面积”的相关系数。由于使用同一个变量计算相关，数据完全一一对应，所以计算的相关系数为1。在“家月收入”下面对应的数据为0.393，这是“住房使用面积”与“家月收入”的皮尔逊相关系数。
Sig. (2-tailed)是双端检验的显著性水平。可以看出，相关系数0.393 的显著性水平为0.000，表明总体中两个变量的相关是显著的。0.393 的“**”和表下面的英文说明Correlation is significant at the 0.05 level (2-tailed) （相关系数在0.01 的水平上显著）即说明了这一点。Sum of Squares and Cross-products 是离差平方和与叉积和。如果以“家月收入”为X 变量，“住房使用面积”为Y 变量的话，离差平方和是指2XX或2YY 。差积和是指Σ(x − x)(y − y)。表11-2 中“家月收入”一列下面所对应的94462797 是“家月收入”变量的离差平方和。而879447.51 则是差积和。Covariance
是协方差。表11-2 中“家月收入”一列下面所对应的3118.608 是“家月收入”的方差。“住房使用面积”一列下面所对应的187.904 是“家月收入”变量与“住房使用面积”变量的协方差。从输出的情况来看，“住房面积”和“家月收入”呈正相关，其相关系数为0.393，在总体中这个相关系数在0.01 的水平上是显著的。
11.2 线性回归分析
回归分析是用确定性的方法来研究变量之间的非确定性关系的最重要的方法之一。非确定性关系是指变量在变化过程中表现出来的数量上具有一定的依存性，但并非象函数关系那样一一对应的关系。如果把其中的一个或几个变量作为自变量，把另一个随着自变量的变化而变化的变量作为因变量，通过建立线性关系的数学模型来研究它们之间的非确定性的关系的方法就是回归分析的方法。由于回归分析中表现的是自变量和因变量之间的关系，所以这种方法也多用于研究因果关系的数量表现。在SPSS 中的回归分析方法有七种，本节只介绍最简单、最常用的线性回归分析。
回归分析在Analyze 的下拉菜单中，如图11-3 所示。
图11-3 回归分析的指令菜单
图中的主菜单中Regression 是回归，二级菜单中的Linear 是线性。
11.2.1 一元线性回归 11.2.1.1 一元线性回归的原理
1．一元线性回归方程
一元线性回归也就是直线回归。适用于对两个定距以上变量之间关系的分析。是通过给一定数量的样本观测值拟合一条直线 bxayˆ，来研究变量之间关系的方法。这条直线也叫回归直线或回归方程。求回归方程的过程就是利用观测值求出方程中的回归直线中的a、b 两个系数。一般采用最小二乘法。a 是回归直线的截距，b 是回归直线的斜率，也称为回归系数。
2．回归方程的假定条件
有了回归直线，每一个样本观测值都可以表示为 yi = a + bxi +εi 。（i=1,2„n）εi 称为随机误差项。用回归方程来表示变量之间的关系需要满足一定的假定条件。这些假定条件是：（1） 正态性假定。即随机误差项εi 服从正态分布。
（2） 零均值假定。εi 的均值为零，即E(εi)=0。
（3） 同方差假定。εi 分布的方差相等。
（4） 独立性假定。εi 是相互独立的随机变量。
（5） 无系列相关假定。εi 的变化与xi 的变化无相关
上述的假定条件中有一个不满足，回归方程都是没有价值的。由于上述的假定都是对总体而言的，而总体的情况又属于未知。因此在建立回归方程后应该用样本观测值对上述假定进行检验。
3.回归方程的显著性检验
由于回归方程是用样本观测值建立的，用它来描述总体情况时，需要进行假设检验。
（1）回归系数的显著性检验
1）对回归系数b 的检验：检验的原假设是b=0，检验的方法是T 检验。
2）对截距a 的检验：检验的原假设是a=0，检验的方法是T 检验。
（2）对回归直线拟合优度的检验
采用最小二乘法可以给任何一组数据配合一条直线。但只有两个变量之间的相关较强时，用回归直线来描述它们之间的关系才有意义。回归直线拟合优度检验的指标是判定系数R2。R2=r2，即相关系数的平方。它说明因变量的变化中有多少是由自变量的变化引起的。如R2=0.65，则说明，因变量的变化中的65%是由自变量的变化引起的。R2越接近1，说明拟合优度越好。R2=0，说明自变量与因变量没有任何关系，配合回归直线没有价值。
（3）对回归直线意义的检验
对一组数据配合回归直线是否有意义，可以通过方差分析和F 检验的方法来确定。把某一样本观测值到回归直线的距离的平方和定义为残差平方和。它反映了除自变量以外的其它因素对因变量的影响。把回归直线到总平均值之间的距离的平方和定义为回归平方和。它反映了自变量对因变量的影响。如果回归平方和很大而残差平方和很小，说明自变量对因变量的解释能力很大，则配合回归直线有意义。反之则说明配合回归直线没有意义。将两个平方和分别除以各自的自由度，就得到了平均回归平方和及平均残差平方和。统计量F=平均回归平方和/平均残差平方和。F 值过小，达不到显著性水平，说明自变量对因变量的解释力度很差，配合回归直线没有意义。
（4）残差的独立性检验
残差的独立性检验也称系列相关检验。如果随机误差项不独立，那么对回归模型的任何估计与假设所做出的结论都是不可靠的。残差的独立性检验是通过Durbin-Watson 检验来完成
回归分析与相关分析
回归分析与相关分析
导言
回归分析与相关分析是统计学中常用的两种分析方法，用于研究变量之间的关系。在本文中，我们将对回归分析和相关分析进行详细探讨，并介绍它们的原理、应用和实例。
一、回归分析
回归分析是通过建立一个数学模型来描述一个或多个自变量与因变量之间的关系。它可以帮助我们预测因变量的取值，并理解自变量对因变量的影响程度。
1.1 简单线性回归
简单线性回归是回归分析中最常见的一种方法，它假设自变量和因变量之间存在线性关系。通过最小二乘法，我们可以得到最佳拟合直线，从而预测因变量的取值。
1.2 多元线性回归
多元线性回归是对简单线性回归的拓展，它可以同时考虑多个自变量对因变量的影响。通过最小二乘法，我们可以得到最佳的多元回归方程，从而预测因变量的取值。
1.3 逻辑回归 逻辑回归是回归分析在分类问题上的一种应用。它能够根据自变量的取值，预测因变量的类别。逻辑回归常用于预测二分类问题，如预测一个学生是否会被大学录取。
二、相关分析
相关分析是研究两个或多个变量之间相关关系的一种方法。它可以帮助我们了解变量之间的关联程度，以及一个变量是否能够作为另一个变量的预测因子。
2.1 皮尔逊相关系数
皮尔逊相关系数是一种衡量两个连续变量之间线性相关程度的统计量。它的取值范围在-1到1之间，当相关系数接近1时，表示两个变量正相关；当相关系数接近-1时，表示两个变量负相关；当相关系数接近0时，表示两个变量无相关关系。
2.2 斯皮尔曼相关系数
斯皮尔曼相关系数是一种衡量两个变量之间的非线性相关程度的统计量。它的取值范围也在-1到1之间，但它适用于衡量非线性关系和顺序关系。斯皮尔曼相关系数广泛应用于心理学和社会科学领域。
应用实例
为了更好地理解回归分析与相关分析的应用，让我们通过一个实际案例来说明。 假设我们想研究某个国家的人均GDP与教育水平之间的关系。我们收集了10个州的数据，包括每个州的人均GDP和受教育程度指数。我们可以利用回归分析来建立一个数学模型，从而预测人均GDP与受教育水平之间的关系。通过计算相关系数，我们可以评估这两个变量之间的相关程度。
简要说明相关分析与回归分析的区别
相关分析与回归分析的区别和联系
一、回归分析和相关分析主要区别是：
1、在回归分析中,y被称为因变量,处在被解释的特殊地位,而在相关分析中,x与y处于平等的地位,即研究x与y的密切程度和研究y与x的密切程度是一致的；
2、相关分析中,x与y都是随机变量,而在回归分析中,y是随机变量,x可以是随机变量,也可以是非随机的,通常在回归模型中,总是假定x是非随机的；
3、相关分析的研究主要是两个变量之间的密切程度,而回归分析不仅可以揭示x对y的影响大小,还可以由回归方程进行数量上的预测和控制.
二、回归分析与相关分析的联系：
1、回归分析和相关分析都是研究变量间关系的统计学课题。
2、在专业上研究上：
有一定联系的两个变量之间是否存在直线关系以及如何求得直线回归方程等问题,需进行直线相关分析和回归分析。
3、从研究的目的来说：
若仅仅为了了解两变量之间呈直线关系的密切程度和方向,宜选用线性相关分析；若仅仅为了建立由自变量推算因变量的直线回归方程,宜选用直线回归分析.
三、扩展资料：
1、相关分析是研究两个或两个以上处于同等地位的随机变量间的相关关系的统计分析方法。
例如，人的身高和体重之间；空气中的相对湿度与降雨量之间的相关关系都是相关分析研究的问题。
2、回归分析是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。运用十分广泛。
回归分析按照涉及的变量的多少，分为一元回归和多元回归分析；按照因变量的多少，可分为简单回归分析和多重回归分析；按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析
管理统计学习题参考答案第十一章
十一章
1. 解：回归分析是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，运用十分广泛。回归分析按照涉及的变量的多少，分为一元回归和多元回归分析；在线性回归中，按照因变量的多少，可分为简单回归分析和多重回归分析；按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且自变量之间存在线性相关，则称为多元线性回归分析。
相关分析，相关分析是研究现象之间是否存在某种依存关系，并对具体有依存关系的现象探讨其相关方向以及相关程度，是研究随机变量之间的相关关系的一种统计方法。
相关分析和回归分析是研究客观现象之间数量联系的重要统计方法。既可以从描述统计的角度，也可以从推断统计的角度来说明。所谓相关分析，就是用一个指标来表明现象间相互依存关系的密切程度。所谓回归分析，就是根据相关关系的具体形态，选择一个合适的数学模型，来近似地表达变量间的平均变化关系。它们具有共同的研究对象，在具体应用时，相关分析需要依靠回归分析来表明现象数量相关的具体形式，而回归分析则需要依靠相关分析来表明现象数量变化的相关程度。只有当变量之间存在着高度相关时，进行回归分析寻求其相关的具体形式才有意义。由于相关分析不能指出变量间相互关系的具体形式，所以回归分析要对具有相关关系的变量之间的数量联系进行测定，从而为估算和预测提供了一个重要的方法。在有关管理问题的定量分析中，推断统计加具有更加广泛的应用价值。
需要指出的是，相关分析和回归分析只是定量分析的手段。通过相关与回归分析，虽然可以从数量上反映现象之间的联系形式及其密切程度，但是现象内在联系的判断和因果关系的确定，必须以有关学科的理论为指导，结合专业知识和实际经验进行分析研究，才能正确解决。因此，在应用时要把定性分析和定量分析结合起来，在定性分析的基础上开展定量分析。
高考数学第十一章 11.3
§11.3 变量间的相关关系、统计案例
1． 相关性
(1)通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．
(2)从散点图上，如果变量之间存在某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样的近似过程称为曲线拟合．
(3)若两个变量x和y的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关，若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，称此相关是非线性相关．如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的．
2． 回归方程
(1)最小二乘法
如果有n个点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，可以用[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近程度，使得上式达到最小值的直线y＝a＋bx就是所要求的直线，这种方法称为最小二乘法．
(2)回归方程
方程y＝bx＋a是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中a，b是待定参数．
b＝∑ni＝1 xi－xyi－y∑ni＝1 xi－x2＝∑ni＝1xiyi－nx y∑ni＝1x2i－nx2a＝y－bx.
3． 回归分析
(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
(2)样本点的中心
对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中(x，y)称为样本点的中心．
(3)相关系数
①r＝∑ni＝1 xi－xyi－y∑ni＝1 xi－x2∑ni＝1 yi－y2
＝∑ni＝1xiyi－nx y∑ni＝1x2i－nx2∑ni＝1y2i－ny2；
②当r>0时，表明两个变量正相关；
当r<0时，表明两个变量负相关．
管理统计学习题参考答案第十一章 2
一章
1. 解：回归分析是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，运用十分广泛。 回归分析按照涉及的变量的多少，分为一元回归和多元回归分析；在线性回归中，按照因变量的多少， 可分为简单回归分析和多重回归分析；按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非 线性回归分析。如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似 表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且自变量 之间存在线性相关，则称为多元线性回归分析。
相关分析，相关分析是研究现象之间是否存在某种依存关系，并对具体有依存关系的现象探讨其相 关方向以及相关程度，是研究随机变量之间的相关关系的一种统计方法。
相关分析和回归分析是研究客观现象之间数量联系的重要统计方法。既可以从描述统计的角度，也 可以从推断统计的角度来说明。 所谓相关分析， 就是用一个指标来表明现象间相互依存关系的密切程度。 所谓回归分析，就是根据相关关系的具体形态，选择一个合适的数学模型，来近似地表达变量间的平均 变化关系。它们具有共同的研究对象，在具体应用时，相关分析需要依靠回归分析来表明现象数量相关 的具体形式，而回归分析则需要依靠相关分析来表明现象数量变化的相关程度。只有当变量之间存在着 高度相关时，进行回归分析寻求其相关的具体形式才有意义。由于相关分析不能指出变量间相互关系的 具体形式，所以回归分析要对具有相关关系的变量之间的数量联系进行测定，从而为估算和预测提供了 一个重要的方法。在有关管理问题的定量分析中，推断统计加具有更加广泛的应用价值。
需要指出的是，相关分析和回归分析只是定量分析的手段。通过相关与回归分析，虽然可以从数量 上反映现象之间的联系形式及其密切程度，但是现象内在联系的判断和因果关系的确定，必须以有关学 科的理论为指导，结合专业知识和实际经验进行分析研究，才能正确解决。因此，在应用时要把定性分 析和定量分析结合起来，在定性分析的基础上开展定量分析。
直线相关与回归分析
直线相关与回归分析
直线相关（Linear correlation）是用来衡量两个连续变量之间的关系强度和方向的方法。相关系数是直线相关的一个重要概念，它衡量了两个变量之间的线性关系的强度和方向。常见的相关系数有Pearson相关系数和Spearman相关系数。Pearson相关系数适用于两个连续变量之间的线性关系的度量，取值范围为-1到1，其中-1表示完全的负相关，1表示完全的正相关，0表示无线性相关。Spearman相关系数适用于两个变量之间的任何关系，无论是否为线性关系，它用于衡量两个变量之间的等级关系的强度和方向。
回归分析（Regression analysis）则是利用已知变量的观测值来预测或解释一个或多个目标变量的方法。回归分析可以用来建立一个数学模型，以便根据已知的自变量变量来预测或估计因变量的数值。回归分析可分为简单线性回归和多元线性回归两种类型。简单线性回归分析适用于只有一个自变量和一个因变量的情况，而多元线性回归则适用于有多个自变量和一个因变量的情况。回归分析通过最小二乘法来确定自变量和因变量之间的最佳拟合直线或曲线。回归分析的结果通常以方程的形式给出，其中包含了自变量和系数的关系。
在实际应用中，直线相关与回归分析具有广泛的应用。它们可以帮助我们了解变量之间的关系、预测未来的趋势、发现因果关系等。例如，在经济学中，我们可以使用相关分析和回归分析来研究GDP与失业率之间的关系，以及通货膨胀率与商品价格之间的关系。在医学研究中，我们可以使用相关分析和回归分析来研究患者的体重与心脏病发作的关系，以及吸烟与肺癌发病率的关系。 总的来说，直线相关与回归分析是统计学中常用的两种方法，它们可以帮助我们了解变量之间的关系和预测未来的趋势。无论是在实践中还是在学术研究中，直线相关与回归分析都扮演着重要的角色，并为我们提供了有关数据的更深入的见解和洞察。
线性相关和线性回归的异同
线性相关和线性回归的异同
线性相关和线性回归的主要区别有三点：
1.线性相关分析涉及到变量之间的呈线性关系的密切程度，线性回归分析是在变量存在线性相关关系的基础上建立变量之间的线性模型；
2.线性回归分析可以通过回归方程进行控制和预测，而线性相关分析则无法完成；
3.线性相关分析中的变量地位平等，都是随机变量，线性回归分析中的变量有自变量和因变量之分，而自变量一般属确定性变量，因变量是随机变量。
线性相关和线性回归的相同之处：
所谓回归分析法，是在掌握大量观察数据的基础上，利用数理统计方法建立因变量与自变量之间的回归关系函数表达式（称回归方程式）。回归分析中，当研究的因果关系只涉及因变量和一个自变量时，叫做一元回归分析；当研究的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时，叫做多元回归分析。此外，回归分析中，又依据描述自变量与因变量之间因果关系的函数表达式是线性的还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析。
第十一章(理) 第四节 正态分布、线性回归
1 第十一章（理） 第四节 正态分布、线性回归
题组一 正态分布问题
1.设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1＞0)和N(μ2，σ22)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，
则有 ( )
A．μ1＜μ2，σ1＜σ2
B．μ1＜μ2，σ1＞σ2
C．μ1＞μ2，σ1＜σ2
D．μ1＞μ2，σ1＞σ2
解析：μ反映正态分布的平均水平，x＝μ是正态曲线的对称轴，由图知μ1＜μ2，σ
反映正态分布的离散程度，σ越大，曲线越“矮胖”，表明越分散，σ越小，曲线越
“高瘦”，表明越集中，由图知σ1＜σ2.
答案：A
2．已知随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，则P(ξ<3)＝
( )
A.15
B.14
C.13 D.12
解析：根据正态分布的知识可知此正态分布图象的对称轴为x＝3，而P(ξ<3)表示对
称轴左边图象的面积，对称轴左右两边图象面积相等，整个图象的面积为1.
答案：D
3．设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由题意得随机变量ξ相应的正态密度曲线关于直线x＝2对称，又P(ξ>c＋1)
＝P(ξ
答案：B
4．设随机变量ξ服从标准正态分布N(0,1)，已知Φ(－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)＝( )
A．0.025 B．0.050
C．0.950 D．0.975
解析：P(|ξ|<1.96)＝Φ(1.96)－Φ(－1.96)
多元线性相关与回归分析
多元线性相关与回归分析
多元线性相关分析是通过计算若干个变量之间的协方差来衡量它们之间的相关性。具体来说，给定两个自变量X和Y，它们之间的线性相关性可以用相关系数来衡量，其中最常用的是皮尔逊相关系数。相关系数的取值范围在-1到1之间，取值越接近于1表示两个变量之间的正相关性越强，取值越接近于-1表示两个变量之间的负相关性越强，取值越接近于0表示两个变量之间的相关性越弱。多元线性相关分析可以同时比较多个变量之间的关系，通过构建相关矩阵来研究这些变量之间的相关性。
而回归分析是一种更为深入的分析方法，它试图通过建立一个数学模型来描述自变量和因变量之间的关系。在多元线性回归分析中，我们假设因变量与多个自变量之间存在一个线性关系，通过对样本数据进行拟合，可以得到回归方程。回归方程的形式为Y = a + b1X1 + b2X2 + ... +
bnXn，其中Y是因变量，X1, X2, ..., Xn是自变量，a是常数项，b1,
b2, ..., bn是回归系数。回归系数表示了自变量对因变量的影响程度，可以通过最小二乘法来估计回归系数的取值。
利用回归模型，我们可以进行预测和解释。通过对自变量进行合理的选择和建模，我们可以利用回归模型对未来的因变量进行预测。同时，回归模型还可以用于解释因变量的变化，通过检验回归系数的显著性，可以确定哪些自变量对因变量有着实际上的影响。
在实际应用中，多元线性相关与回归分析经常被用于研究一些变量之间的相关性和预测的关系。以经济学为例，我们可以利用多元线性相关分析来研究国内生产总值（GDP）与劳动力参与率、经济增长等指标之间的相关性。同时，利用回归分析，我们可以建立一个GDP的预测模型，通过预测未来的劳动力参与率和经济增长率，来估计未来的GDP水平。这对决策者和研究者都具有重要的参考价值。
总之，多元线性相关与回归分析是一种重要的统计工具，可以用于研究变量之间的关系、进行预测和解释。在实际应用中，我们可以根据具体问题选择适当的变量和建模方法，来得到准确的分析结果。
线性回归方程分析
精品文档
环球雅思学科教师辅导讲义
讲义编号： 组长签字： 签字日期：
学员编号： 年 级： 高二 课时数：3
学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师：闫建斌
课 题 线性回归方程
授课日期及时段 2014-2-11 18:00-20:00
教学目标 线性回归方程基础
重点、难点
教 学 内 容
1、本周错题讲解
2、知识点梳理
1．线性回归方程
①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系
②制作散点图，判断线性相关关系
③线性回归方程：abxy（最小二乘法）
最小二乘法：求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方最小的方法
1221niiiniixynxybxnxaybx 注意：线性回归直线经过定点),(yx
2．相关系数（判定两个变量线性相关性）：niniiiniiiyyxxyyxxr11221)()())((
注：⑴r>0时，变量yx,正相关；r <0时，变量yx,负相关； 精品文档
⑵①||r 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；
②||r 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
3．线形回归模型：
⑴随机误差e：我们把线性回归模型eabxy，其中ba,为模型的未知参数，e称为随机误差。
随机误差abxyeiii
⑵残差eˆ：我们用回归方程axbyˆˆˆ中的yˆ估计abx，随机误差)(abxye，所以yyeˆˆ是e的估计量，故axbyyyeiiiiiˆˆˆˆ，eˆ称为相应于点),(iiyx的残差。