十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学专题18 坐标系与参数方程 (含解析)

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学

专题18坐标系与参数方程

1.(2018·北京·理T10)在极坐标系中,直线ρcos θ+ρsin θ=a(a>0)与圆ρ=2cos θ相切,则a=___________. 【答案】√2 +1

【解析】由题意,可得直线的直角坐标方程为x+y=a(a>0),圆的直角坐标方程为x2+y2-2x=0,即(x-1)2+y2=1. 由直线与圆相切,可知

√1+1

=1,即|1-a|=√2,解得a=1±√2.∵a>0,∴a=√2+1. 2.(2019·全国1·理T22文T22)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{

x =

1-t 2

1+t 2,

y =

4t 1+t 2

(t 为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为2ρcos θ+√3 ρsin θ+11=0. (1)求C 和l 的直角坐标方程; (2)求C 上的点到l 距离的最小值.

【解析】(1)因为-1<1-t 2

1+t

2≤1,且

+(y 2

)2=

(1-t 21+t

2)2

4t 2

(1+t 2)

2=1,所以C 的直角坐标方程为x 2

+y 24

=1(x≠-1).

l 的直角坐标方程为2x+√3y+11=0.

(2)由(1)可设C 的参数方程为{x =cosα,

y =2sinα(α为参数,-π<α<π). C 上的点到l

的距离为

√3sinα+11√7

4cos (α-π

3)+11

√7

当α=-2π

时,4cos (α-π

)+11取得最小值7,故C 上的点到l 距离的最小值为√7.

3.(2019·全国2·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程]

在极坐标系中,O 为极点,点M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C:ρ=4sin θ上,直线l 过点A(4,0)且与OM 垂直,垂足为P. (1)当θ0=π

3时,求ρ0及l 的极坐标方程;

(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时,求P 点轨迹的极坐标方程. 【解析】(1)因为M(ρ0,θ0)在C 上,当θ0=π

3时,ρ0=4sin π

3=2√3.

由已知得|OP|=|OA|cos π

3=2.

设Q(ρ,θ)为l 上除P 的任意一点.在Rt △OPQ 中,ρcos θ-π

3=|OP|=2. 经检验,点P 2,π

3在曲线ρcos θ-π

3=2上. 所以,l 的极坐标方程为ρcos θ-π

3=2.

(2)设P(ρ,θ),在Rt△OAP中,|OP|=|OA|cos θ=4cos θ,即ρ=4cos θ.

因为P在线段OM上,且AP⊥OM,故θ的取值范围是π

,π

所以,P点轨迹的极坐标方程为ρ=4cos θ,θ∈π

,π

4.(2019·全国3·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程]

如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B(√2,π

4),C(√2,3π

),D(2,π),弧AB?,BC?,CD?所在圆的圆心分别是

(1,0),(1,π

),(1,π),曲线M1是弧AB?,曲线M2是弧BC?,曲线M3是弧CD?.

(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;

(2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|=√3

【解析】(1)由题设可得,弧所在圆的极坐标方程分别为ρ=2cos θ,ρ=2sin θ,ρ=-2cos θ.

所以M 1的极坐标方程为ρ=2cos θ0≤θ≤,M2的极坐标方程为ρ=2sin θ≤θ≤,M3的极坐标方程为

ρ=-2cos θ≤θ≤π.

(2)设P(ρ,θ),由题设及(1)知

若0≤θ≤,则2cos θ=,解得θ=;

若≤θ≤,则2sin θ=,解得θ=或θ=;

若≤θ≤π,则-2cos θ=,解得θ=.

综上,P的极坐标为.

5.(2018·全国1·文T理22)[选修4—4:坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0.

(1)求C2的直角坐标方程;

(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.

【解析】(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.

(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.

由题设知,C 1是过点B(0,2)且关于y 轴对称的两条射线.记y 轴右边的射线为l 1,y 轴左边的射线为l 2,由于B 在圆C 2的外面,故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点,或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点.

当l 1与C 2只有一个公共点时,A 到l 1所在直线的距离为2,所以

√k +1

=2,故k=-43或k=0.经检验,当k=0时,l 1与C 2没有公共点;当k=-4

3时,l 1与C 2只有一个公共点,l 2与C 2有两个

公共点.

当l 2与C 2只有一个公共点时,A 到l 2所在直线的距离为2,所以|k+2|

√k +1

=2,故k=0或k=4

3,经检验,当k=0时,l 1与

C 2没有公共点;当k=43

时,l 2与C 2没有公共点. 综上,所求C 1的方程为y=-43

|x|+2.

6.(2018·全国2·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为(θ为参数),直线l 的参数方程为

为参数).

(1)求C 和l 的直角坐标方程;

(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2),求l 的斜率. 【解析】(1)曲线C 的直角坐标方程为

=1.

当cos α≠0时,l 的直角坐标方程为y=tan α·x+2-tan α, 当cos α=0时,l 的直角坐标方程为x=1.

(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程,整理得关于t 的方程 (1+3cos 2α)t 2+4(2cos α+sin α)t-8=0,①

因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内,所以①有两个解,设为t 1,t 2,则t 1+t 2=0. 又由①得t 1+t 2=-,

故2cos α+sin α=0,于是直线l 的斜率k=tan α=-2.

7.(2018·全国3·文T 理22)[选修4—4:坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy 中,☉O 的参数方程为(θ为参数),过点(0,-)且倾斜角为α的直线l

与☉O 交于A,B 两点. (1)求α的取值范围;

(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程.

【解析】(1)☉O的直角坐标方程为x2+y2=1.

当α=时,l与☉O交于两点.

当α≠时,记tan α=k,则l的方程为y=kx-,l与☉O交于两点当且仅当<1,解得k<-1或k>1,即α∈

或α∈.

综上,α的取值范围是.

(2)l的参数方程为t为参数,<α<.

设A,B,P对应的参数分别为t A,t B,t P,则t P=,且t A,t B满足t2-2tsin α+1=0.

于是t A+t B=2sin α,t P=sin α.又点P的坐标(x,y)满足

所以点P的轨迹的参数方程是

α为参数,<α<.

8.(2017·全国1·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).

(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;

(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.

【解析】(1)曲线C的普通方程为+y2=1.

当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.

由解得

从而C与l的交点坐标为(3,0),.

(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos θ,sin θ)到l的距离为d=.

当a≥-4时,d的最大值为.由题设得,所以a=8;

当a<-4时,d的最大值为.

由题设得,所以a=-16.

综上,a=8或a=-16.

9.(2017·全国2·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4.

(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;

),点B在曲线C2上,求△OAB面积的最

(2)设点A的极坐标为(2,π

大值.

【解析】(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).

由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.

由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程ρ=4cos θ(ρ>0).

因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).

(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).

由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB面积

S=|OA|·ρB·sin∠AOB

=4cos α·

=2≤2+.

当α=-时,S取得最大值2+.

所以△OAB面积的最大值为2+.

10.(2017·全国3·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.

(1)写出C的普通方程;

(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cos θ+sin θ)- √2 =0,M为l3与C的交点,求M的极径.

【解析】(1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程l2:y=(x+2).

设P(x,y),由题设得消去k 得x 2-y 2=4(y≠0).

所以C 的普通方程为x 2-y 2=4(y≠0).

(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π). 联立

得cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ). 故tan θ=-,从而cos 2θ=,sin 2θ=. 代入ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=4得ρ2=5, 所以交点M 的极径为

11.(2017·江苏·T21)在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为

(t 为参数),曲线C 的参数方程为

(s 为参数).设P 为曲线C 上的动

点,求点P 到直线l 的距离的最小值. 【解析】直线l 的普通方程为x-2y+8=0. 因为点P 在曲线C 上,设P(2s 2,2s),

从而点P 到直线l 的距离d=

当s=时,d min =.

因此当点P 的坐标为(4,4)时,曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值

12.(2016·全国1·理T23文T23)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =acost ,

y =1+asint (t 为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cos θ. (1)说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程;

(2)直线C 3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a. 【解析】(1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2+(y-1)2=a 2,C 1是以(0,1)为圆心,a 为半径的圆. 将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C 1的普通方程中,得到C 1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a 2=0. (2)曲线C 1,C 2的公共点的极坐标满足方程组

若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,

由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,

从而1-a2=0,解得a=-1(舍去),a=1.

a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上,

所以a=1.

13.(2016·全国2·理T23文T23)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.

(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;

(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.

【解析】(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆C的极坐标方程ρ2+12ρcos θ+11=0.

(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).

设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcos α+11=0.

于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.

|AB|=|ρ1-ρ2|=

由|AB|=得cos2α=,tan α=±.

所以l的斜率为或-.

14.(2016·全国3·理T23文T23)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=2.

(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;

(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.

【解析】(1)C1的普通方程为+y2=1.C2的直角坐标方程为x+y-4=0.

(2)由题意,可设点P的直角坐标为(cos α,sin α).

因为C2是直线,

所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,

d(α)=.

当且仅当α=2kπ+(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为.

15.(2015·全国1·理T23文T23)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求C1,C2的极坐标方程;

(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,

(2)若直线C3的极坐标方程为θ=π

求△C2MN的面积.

【解析】(1)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以C1的极坐标方程为ρcos θ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.

(2)将θ=代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=.故ρ1-ρ2=,

即|MN|=.由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为.

16.(2015·全国2·理T23文T23)在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t≠0),其中0≤α<π.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2cos θ.

(1)求C2与C3交点的直角坐标;

(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.

【解析】(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.

联立

解得

所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.

(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.因此A的极坐标为(2sin α,α),B的极坐标为(2cos α,α).

所以|AB|=|2sin α-2cos α|

=4.

故当α=时,|AB|取得最大值,最大值为4.

17.(2015·陕西·理T23文T23)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C的极坐标方程为ρ=2sin θ.

(1)写出☉C 的直角坐标方程;

(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标. 【解析】(1)由ρ=2sin θ,得ρ2=2

ρsin θ,

从而有x 2+y 2=2y,

所以x 2+(y-)2=3.

(2)设P

,又C(0,

则|PC|=

故当t=0时,|PC|取得最小值, 此时,点P 的直角坐标为(3,0).

18.(2015·湖南·理T16文T16)已知直线l:(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为

极轴

建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos θ. (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程;

(2)设点M 的直角坐标为(5, √3 ),直线l 与曲线C 的交点为A,B,求|MA|·|MB|的值. 【解析】(1)ρ=2cos θ等价于ρ2=2ρcos θ. ①

将ρ2=x2+y2,ρcos θ=x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.② (2)将

代入②,得t 2+5

t+18=0.设这个方程的两个实根分别为t 1,t 2,则由参数t 的几何意义即

知,|MA|·|MB|=|t 1t 2|=18.

19.(2014·全国1·理T23文T23)已知曲线C:=1,直线l:(t 为参数).

(1)写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程;

(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线,交l 于点A,求|PA|的最大值与最小值. 【解析】(1)曲线C 的参数方程为{x =2cosθ,y =3sinθ(θ为参数).

直线l 的普通方程为2x+y-6=0.

(2)曲线C 上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l 的距离为d=√5

5|4cos θ+3sin θ-6|,则|PA|=d sin30°=2√5

5|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α=4

当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为22√5

5. 当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为2√5

20.(2014·全国2·理T23文T23)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ,θ∈[0,π2]. (1)求C 的参数方程;

(2)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线l:y=√3x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D 的坐标. 【解析】(1)C 的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).可得C 的参数方程为

(t 为参数,0≤t≤π).

(2)设D(1+cos t,sin t),由(1)知C 是以C(1,0)为圆心,1为半径的上半圆,因为C 在点D 处的切线与l 垂直,所以直线CD 与l 的斜率相同,tan t=,t=.

故D 的直角坐标为

,即

21.(2013·全国2·理T23文T23)已知动点P,Q 都在曲线 C:(t 为参数)上,对应参数分别为t=α

与t=2α(0<α<2π),M 为PQ 的中点. (1)求M 的轨迹的参数方程;

(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点. 【解析】(1)依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α), 因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α). M 的轨迹的参数方程为(α为参数,0<α<2π).

(2)M 点到坐标原点的距离 d=

(0<α<2π).

当α=π时,d=0,故M 的轨迹过坐标原点.

22.(2013·全国1·理T23文T23)已知曲线C1的参数方程为(t 为参数),以坐标原点为极点,x

轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程; (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π). 【解析】(1)将

消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,

即C 1:x 2+y 2-8x-10y+16=0.

将代入x2+y2-8x-10y+16=0得ρ2-8ρcos θ-10ρsinθ+16=0.

所以C1的极坐标方程为

ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.

(2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0.

由

解得

所以C1与C2交点的极坐标分别为.

23.(2013·江苏·T21)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(θ为参数).试求直线l和曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.

【解析】因为直线l的参数方程为(t为参数),由x=t+1得t=x-1,代入y=2t,得到直线l的普通方程为2x-y-2=0.

同理得到曲线C的普通方程为y2=2x.

联立方程组

解得公共点的坐标为(2,2),.

24.(2012·全国·理T23文T23)已知曲线C1的参数方程是(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为.

(1)求点A,B,C,D的直角坐标;

(2)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.

【解析】(1)由已知可得A,

即A(1,),B(-,1),C(-1,-),D(,-1).

(2)设P(2cos φ,3sin φ),

令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,

则S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ.

因为0≤sin2φ≤1,所以S的取值范围是[32,52].

25.(2011·全国·理T23文T23)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).M是C1上的动点,P点满足=2,P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程;

(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ=π与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|.

【解析】(1)设P(x,y),则由条件知M.

由于M点在C1上,所以

即

从而C2的参数方程为(α为参数).

(2)曲线C1的极坐标方程为ρ=4sin θ,曲线C2的极坐标方程为ρ=8sin θ.

射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin,

射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin.

所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2.

26.(2010·全国·理T23文T23)已知直线C1:(t为参数),圆C2:(θ为参数).

(1)当α=时,求C1与C2的交点坐标;

(2)过坐标原点O作C1的垂线,垂足为A,P为OA的中点.当α变化时,求P点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.

【解析】(1)当α=时,C1的普通方程为y=(x-1),C2的普通方程为x2+y2=1.

联立方程组

解得C1与C2的交点坐标为(1,0),.

(2)C1的普通方程为xsin α-ycos α-sin α=0.

A点坐标为(sin2α,-cos αsin α),

因此当α变化时,P点轨迹的参数方程为(α为参数). P点轨迹的普通方程为+y2=.

故P点轨迹是圆心为,半径为的圆.

十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题18 坐标系与参数方程 (含解析)

十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学专题18 坐标系与参数方程 (含解析)