数形结合思想在初中数学中的解题应用
数形结合思想在初中数学中的解题应用
【摘要】数形结合思想是一种重要的数学思想。
数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的，有些数量关系直观化，形象化，简单化。
而图形的一些性质借助于数量的计量和分析，得于严谨化。
【关键词】数学思想；数形结合；以形助数；以数解形
数形结合的思想方法是数学教学内容的主体之一。
数与形的结合可以使某些抽象的数学问题直观化，能够把抽象思维转化为形象思维，有助于把生活实际问题转化为数学问题，建立数学模型，从而把实际的问题迎刃而解，起到画龙点睛的作用。
在新课改后，在初中数学教学中应用到数形结合思想进行教学的内容占的比例较大。
主要体现在：①实数与数轴上的点的对应关系②方程与方程组③不等式与不等式组④函数问题⑤概率与统计⑥图形的相似及坐标，下面我们就通过具体的例子来加以说明这一直观的数学思想方法的具体应用
1.实数与数轴
1.1 实数包括有理数和无理数。
而有理数和无理数都可以在数轴上表示，反之数轴上的每一个点都对应着某一个有理数或无理数。
所以实数与数轴上的点是一一对应的关系，这时若要向学生解释一一对应的关系，可以采用数形结合的方法呈现给学生。
案例一：如图（1）
在数轴上除了有-1，-2， 0， 1， 2，…有理数之外还存在着无理数，如以坐标圆点为顶点，以单位“1”的长度作正方形，则对角线的长度为，再以0点为圆心，对角线的长为半径画弧线与数轴交于点b，所以b点表示的数就是无理数，以此类推，我们还可以得到，- ，…等更多的无理数，因此有理数和无理数就把数轴上的所有点填满了，所以实数与数轴上的点是一一对应的关系。
并且数轴上的数从左到右逐渐增大
案例二：如图（2）在数轴上：
分析：在案例二的第二个问题中，是把形化为数，这是解决此类问题的突破口，也就是解题的瓶颈，只有利用形与数的完美结合与互化才能解决此类问题，体现了数形结合的思想价值。
1.2 相反数与绝对值
相反数是指只有符号不同的两个数互为相反数，而绝对值是指一个数离开坐标原点的长度单位（注0的相反数与绝对值都是它本身），在相反数与绝对值的数学过程中，如果采用数形结合的方法进行教学，那么取得的教学效果是事半功倍。
如图（2）中，1的相反数是-1，-2的相反数是2，的相反数是- ，4的相反数是-4，
∣1∣=1 ∣-2∣=2 ∣-3∣=3
由此我们还可以得出结论：①数轴上的数从左到右逐渐增大，②对于负数绝对值越大的数反而越小，③负数的绝对值等于它的相反数，正数的绝对值等于它本身，④互为相反数的两个数绝对值相等。
在案例一，案例二中，如果我们只采用“数”的方法讲解，而不采用“数与形”结合的方式，学生是很难理解的，只有把数与形互相结合起来，真正做到直观化，形象化，学生就能够一目了然，由此我们还可以把问题由特殊化转为一般化，就可以很轻松的得到结论解。
反之，如果在平面直角坐标系中，
知道了两条直线l1和l2的交点坐标，也可以根据交点坐标得出相应的方程组。
3.解决一元一次不等式（组）和一次函数结合的问题
在近几年中，考察不等式的题型在原有的填空题，选择题，解答题，求不等式组的解集的基础上有了新的突破。
特别是在不等式与方程结合的实际方案优化设计问题，不等式和一次函数结合方面考察的较多。
解决这类问题的关键是采用数形结合的思想，把“数”化为“形”，使复杂问题简单化。
案例5.已知直线经过点a（-1，-2）和点b（-2，0），直线经过点a，
求不等式的解集。
解析：如果采用单一的“数”的形式来解决这类问题（即用代数的方法），需要把点的坐标代入函数关系式中，用“待定系数”法求出函数关系式，再把函数关系式代入不等式中组成不等式组，最后求出不等式组的解集。
虽然这样处理问题，能够得到最终的答案，但是做起来感觉比较繁，又会浪费我们许多宝贵的时间。
如果采用“数形结合”的办法来解决，会起到把复杂问题简单化，起到立竿
见影，事半功倍的效果。
解析：⑴建立平面直角坐标系，作出函数图象，如图（5）所示。
⑵由函数图象可知：函数是减函数y随x的增大而减小，并且当x>-2时y-2时 0.即x0
⑶函数是正比例函数，y随x的增大而增大。
当x>o时y>o，即2x>o，当x2x，在x = -1的右侧是案例6.如图（6）所示：小虹准备到甲、乙两商场去应聘，下图中l1，l2分别表示了甲、乙两商场每月付给员工的工资y1和y2（单位：元）与销售商品的件数x（单位：件）的关系。
⑴根据图象分别求出y1，y2与x的函数关系式。
⑵根据图象直接回答：如果小虹决定去应聘，她可能会选择甲商场还是乙商场？
解：（1）设l1的函数关系式为y1=k1x，把（40，600）带入y1=k1x 中，得40k1=600，解这个方程，得k1=15，所以y1与x的函数关系式为y1=15x.
设l2的函数关系式为y2=k2x+b.把（0，400）与（40，600）带人y2=k2x+b中，得。
解这个方程组，得。
所以y2与x的函数关系式为y2=5x+400
（2）当销售件数大于40件时，选择甲商场
当销售件数小于40件时，选择乙商场
当销售件数等于40件时，选择去甲商场或乙商场都一样。
4.2 解决反比例函数与一次函数结合的问题
反比例函数也是学业水平测试的必考内容，近年来备受青睐。
反比例函数的图象与性质、解析式的确定及实践应用都是热点。
在解答题中主要考查反比例函数与一次函数结合为主，难度处于低、中档次。
案例7.如图（7）所示：已知一次函数y1=x+2与反比例函数y2= 图象相交于a，b两点，a点坐标为（1，3）。
⑴试确定b点的坐标及反比例函数的表达式。
⑵若y1>y2时，求x的取值范围
解：⑴∵反比例函数y2= 的图象经过点a（1，3）
∴，∴k=3
∴反比例函数的表达式为
由消去y，得x2+2x-3=0，
即（x+3）（x-1）=0
∴x=-3或x=1，可的y=-1或y=3
于是或
∵点b在第三象限，∴点b的坐标为b（-3，-1）
⑵要求y1>y2时，x的取值范围，即x+2> 。
此时对于初中的学生来说，要用代数的方法解决这个问题是很难的，可以说是无法解出的。
要解决这个问题，我们只能借助函数图象，采用数形结合的办法来解决，使问题简单化。
解析：①分别过一次函数和反比例函数图象的交点作x轴的垂线，分别与x轴相交于-3和1（即直线x=-3和直线x=1，如图（7）中
的虚线所示）。
②分别以直线x=-3和直线x=1的左右来区分是一次函数的值大，还是反比例函数的值大。
而在直线x=-3和直线x=1
的左右两边，什么函数图象在上，就是该函数的函数值大。
③根据函数值确定自变量的取值范围（注：自变量x不能取到0，要与y 轴为分界线）
因此y1>y2时，x的取值范围就只能在直线x=-3和直线x=1的右边来确定。
因为在直线x=-3和直线x=1的右边都是一次函数的图象在上，所以y1>y2时，自变量x的取值范围是-31.这样，我们采用数形结合的方法就直接获得所需要解决问题的答案。
4.3解决二次函数的问题。
二次函数是初中水平测试命题的热点，各种题型，各档次试题都会涉及。
特别是与实际生活相关的阅读理解题、实际应用题、探索题在最近几年中更为突出。
解决这类问题的关键是利用二次函数的图像与性质，建立二次函数模型，用数形结合的思想方法进行。
5.解决概率的问题。
例8.在一个不透明的口袋里装有5个分别标有数字-2，-1，0，1，2的小球，它们除数字不同外其余全部相同。
现从口袋里随机取出一个小球，将该小球上的数字作为点p的横坐标，将该数的平方作为点p的纵坐标。
那么点p落在抛物线y=-x2+2x+3与x轴所围成的区域内（不含边界）的概率是多少呢？
解：⑴画树形图表示点p的所有可能情况
开始
⑵点p的坐标有p1（1，1），p2（2，4），p3（0，0），p4（-1，1），p5（-2，4）.其中点p落在抛物线y=-x2+2x+3与x轴所围成的区域内（不含边界）的点只有p1（1，1），所以点p落在抛物线
y=-x2+2x+3与x轴所围成的区域内（不含边界）的概率为。
6.教学过程中要注意数学思想的培养
中学阶段的数学基本思想包括分类讨论的思想，数形结合思想，变换与转化的思想，整体思想，函数与方程的思想，抽样统计思想，极限思想等等，中学数学中处处渗透着基本数学思想，如果能使它落实到学生学习和教学上，就能够发展学生的数学能力。
其中数形结合思想使一种很重要的思想，它贯穿于整个初中数学的教学内容中。
对中学数形结合思想的研究有助于我们更好的掌握中学数学知识，提高解题能力，尤其在初三系统复习中，如果教师利用好“数形结合”思想来培养学生的学习兴趣，那么提高学习效率，提高教学成绩是有很大帮助的，我们就能在学业水平测试中取得优异的成绩。
参考文献
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科书 [n] 北京：北京师范大学出版社收稿日期：2013-02-24。
以形助数-以数解形——浅谈数形结合思想在初中数学中的应用
以形助数，以数解形—-浅谈数形结合思想在初中数学中的应用摘要:在初中数学中，数形结合思想无处不在，利用好它可以帮助解决较难问题，并提高解题速度。
笔者结合教学实际,对数形结合思想进行浅议，探讨其在数学教学中的应用.关键词：数形结合初中数学数学应用数形结合思想是初中数学中一种重要的数学思想.在近几年武汉中考数学试卷中，利用数形结合思想解决问题的题目屡见不鲜，而且有逐年加强的趋势，可见其重要性。
因此,笔者结合数学教学实际，探讨数形结合思想在初中数学中的应用.在《初中数学新课程标准》中提到：“数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的，如：数形结合思想等。
”［1]所谓数形结合，就是指把代数的精确刻划与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合的一种思想方法。
利用它可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，很多难题便迎刃而解，而且解法简便易懂。
数与形是密切相关的两个数学表象，它们是一一对应的关系，且相互依存、相互促进.在解决数学问题时,我们要把它们有机的结合起来,并相互转化，即把几何图形转化为数量关系问题, 应用代数、三角函数等知识进行讨论，或者把数量关系问题转化为图形问题，借助几何知识加以解决，使学生看到“形”能想到“数”, 而看到“数”则能想到“形”,最终达到优化解题途径的目的.著名的数学家华罗庚说得好：“数缺形时少直观，形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休,几何代数统一体，永远联系莫分离" [2].初一我们就学习了数轴，它建立起了实数与数轴上的点的一一对应关系.进而，又引入了直角坐标系，它扩大成了有序实数对与坐标平面上的点的一一对应.到了初二、初三又陆续学习了一次函数、二次函数，我们知道它们跟直线、抛物线也是一一对应的关系，以至于后来的“用函数的观点看方程”，实质上就是曲线和方程的对应关系。
正是这些数与形的对应，才促使我们要利用它们之间的联系，相互结合，相互转化，最终达到解决数学问题的目的。
数形结合思想在初中数学教学中的应用优秀获奖科研论文-2
数形结合思想在初中数学教学中的应用优秀获奖科研论文数形结合是一种非常重要的数学思想方法，也是数学解题中要求掌握的重要思想方法之一，在数学学习中有着重要的地位.数形结合，有利于学生对数学知识的理解，落实新课标的要求，即通过“以形助数，以数解形”，能够将复杂问题简单化，抽象问题具体化.很多数学问题利用数形结合思想来解决，能够达到化难为易的目的.在初中数学教学中，教师应重视数形结合思想，从而提高学生分析问题和解决问题的能力.下面结合自己的教学实践就数形结合思想在初中数学教学中的应用谈点体会.一、数形结合思想在集合问题中的应用在教学中，教师单一地讲解集合问题，很难使学生想象出各数集之间的关联性，而利用图示法，能够解决抽象的集合问题，让学生对集合问题一目了然.在图形中，一般利用圆来表示集合，两集合有公共的元素则两圆相交，两圆相离则表示没有公共的元素.例如，在学校开展兴趣班时，初中某班共有28个学生，其中有15人参加音乐兴趣班，有8人参加舞蹈兴趣班，有14人参加书法兴趣班，同时参加音乐和舞蹈兴趣班的有3人，同时参加音乐和书法兴趣班的有3人，没有人同时参加三个兴趣班，问：同时参加舞蹈班和书法兴趣班的有多少人？只参加音乐兴趣班的有多少人？图1解析：如图1，设A={参加音乐兴趣班的学生}，B={参加舞蹈兴趣班的学生}，C={参加书法兴趣班的学生}，同时参加舞蹈和书法兴趣班的学生有x人.由题意可知，card（A交B）=3.card（A交C）=3，card（B交C）=x，则15+8+14-3-3-x=28，得x=3.因此，同时参加舞蹈和书法班的有3人，只参加音乐兴趣班的有15-3-3=9人.这样，利用图示法，可以使复杂的数学问题变得简单化和具体化，降低做题难度，有助于激发学生的学习兴趣.二、数形结合思想在函数问题中的应用函数是整个数学的重点，关于函数类型的题也数不胜数.利用函数求极值的问题是常见的题型，以数辅形，需要将图象中的数量关系整理清楚，以函数的形式表达出来，把握函数与图形之间的关系，达到快速解决数学问题的目的，体现数形结合在解题中的重要性.初中生对一次函数和二次函数的图象有着很深的了解，因此在面对这类函数问题时，往往可以根据函数图象来解答.这样，不但可以加深学生对基本概念的理解，还可以加强学生对这些基本知识的灵活运用.例如，当0 解析：方程中含有两个未知数，无法直接求解，可以转化成两个函数问题，图2求解的个数就是求函数图象的交点个数.由|1-x2|=kx+k，可构造y=|1-x2|和y=kx+k，如图2.所以原方程解的个数为3个.这样，复杂的函数问题，利用图形进行展示，能够直接得出问题的答案，强化了学生的认知，深化了学生的思维训练，提升了教学效率.三、数形结合思想在概率问题中的应用概率作为初中数学教学中的重点内容，一直是教学的难点.许多概率问题在思考中都存在着抽象，如果借助于坐标平面或数学模型的问题，以形助数，运用数形结合思想，就能够帮助学生迅速找到问题的切入点，优化解题过程，提高解题速度.总之，在初中数学教学中，数形结合思想既是一种教学手段，又是一种解题方法.运用数形结合思想，能够拓宽学生的思维；运用数形之间的关联性，以图形助数学解题，能够强化学生对数学本质的认知和了解，提高学生数学思维的灵活性、根基性等.教师应适当运用数形结合思想开展教学活动，从学生的角度出发，培养学生的综合技能和素质，提升初中数学教学质量，确保学生全面发展.。
初中数学中数形结合思想的应用
初中数学中数形结合思想的应用数形结合是直观化教学的一种重要手段，通过数形结合，使较为抽象的数量关系通过几何图形形象地反映出来，使抽象的概念、关系得以直观化、形象化，从而有利于分析、发现和理解；使抽象的代数问题更加形象、直观。
现行初中数学教材中，数形结合问题占有不小比例。
代数、几何这两个学科联系密切，是互相统一的，所以在数学教学中必须重视数形结合。
一、理解数形结合的概念。
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。
实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图像的对应关系；（3）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如三角函数等；（4）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义，如等式。
二、利用数轴、平面直角坐标系培养学生运用数形结合解题的能力。
初中教材中不论用代数方法研究几何问题，还是几何图形研究数和式，都贯穿着数形结合方法分析问题和解决问题的思想，要强化数形两意识的渗透和能力的培养。
数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。
要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等。
【说明】建立坐标系，利用坐标及相关公式处理一些几何问题，有时可以避免添加辅助线（这是平面几何的一大难点）.在高中“解析几何”里，我们将专门学习利用坐标将几何问题代数化.【说明】利用勾股定理证明垂直关系是比较常用的“以数助形”的手法，另外，熟练的代数运算在这道题中起到了比较重要的作用，代数运算是学好数学的一个基本功，就像武侠小说中所说的“内功”，没有一定的内功，单单依靠所谓的“武林秘笈”是起不了多少作用的。
巧用数形结合思想解答初中数学题
数学篇数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”的方法使复杂的问题简单化，抽象的数学问题直观化，从而达到优化解题途径、简化解题过程的目的.下面简单介绍数形结合思想在解题中的具体应用方法.一、运用数形结合思想解答数与式问题数与式是实践生活中抽象出来的数量关系.数形结合思想在解答数与式问题中的应用主要表现在数轴与实数的对应关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数.借助实数在数轴上的位置关系可以求解各类问题，比如去绝对值、比较大小、开根号等，从而把隐蔽的问题明朗化，抽象的问题直观化，达到快速有效解题的目的.例1实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图1所示，化简|a +b |-|c -b |的结果是（）.A.a +cB.-a -2b+cC.a +2b-cD.-a -c 0a cb 图1解：根据数轴知a 、c 都在原点0的左边，故而a <0且c <0，但c 离原点的距离比a 离原点的距离远，所以|a |<|c |，进而c <a <0；同理，b 在原点0的右侧，故而b >0.从数轴上可以看出b 点离原点0的距离比c 点还远，故而|b |>|c |.综合以上分析可知，c <a <0<-c <b .此时可以借助于数轴进一步明确a 、b 、c 三点及其相反数在数轴上的位置如图2所示，即-b <c <a <0<-a <-c <b .0a c b-a -c -b 图2据此数轴可以去绝对值如下：因为a <0,b >0且|b |>|a |，所以a +b >0，故|a +b |=a +b ，因为c -b =c +(-b )，c <0且-b <0，所以c -b <0，故而有|c -b |=b -c ，所以|a +b |-|c -b |=(b+a )-(b-c)=b+a -b+c=a +c.故选A 项.评注：对于选择题，我们可以借助数形结合思想给部分代数式或字母赋值，快速得到答案.对于解答题，我们可以多次利用数形结合的方法“正过来、逆过去”实现问题的简化，从而解题.二、运用数形结合思想解答方程与不等式问题解答方程与不等式问题需要较强的计算能力.当用代数方法求解比较繁杂时，可以利用数形结合思想将方程或不等式转化为几何问题，比如转化为交点问题、最大（小）值问题.利用几何图形的特征和直观性解题，可以使解题更便捷.例2方程组{y =2x -1,y =-x -1,的解是______.解：方程组的解一定都适合每一个方程，那么借助于数形结合思想来观察，方程组的解一定在每一条直线上，所以方程组的解一定是两直线的交点，即交点的坐标.将方程的图象在坐标系中表示出来，如图3所示，由图可知两条直线相较于点（0，-1），所以方程组的解就是{x =0，y =-1.例3若不等式组{3x +a <0，2x +7>4x -1，的解集为x <0，则a 的取值范围为（）.A.a >0B.a =0C.a >4D.a =4解：解不等式2x +7>4x -1得解集为x <4①.巧用数形结合思想解答初中数学题甘肃省张掖市山丹育才中学韩永年图3学思导引30数学篇化简不等式3x +a <0得x <-a 3②,借助数轴画出①的解集如图4：图4由题目条件知不等式组的解集为x <0，故不等式组的解集可以进一步细化，如图5所示：图5可以确定阴影部分的区域就是不等式3x +a <0的解集，所以x <-a 3与x <0是等价的.从而有-a 3=0，即a =0.所以选择B 项.评注：无论是方程（组）还是不等式（组），都可以借助数轴或直角坐标系实现数和形的转化.三、运用数形结合思想解答函数问题平面直角坐标系把有序实数对(x ,y )与点一一对应起来，使数与形有了统一.一个函数也就因此可以用图形来表示，而借助这个图形又可以直观地分析函数的一些性质和特点.运用数形结合思想解答函数问题就要充分挖掘图象中的各种信息以及信息之间的内在联系，利用获取的信息解题.例4某班“数学兴趣小组”对函数y =x 2-2|x |的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下：x y ……-33-5254-2m -1-1001-120525433……直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出函数的两点性质.（4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x 轴有个交点，所以对应的方程x 2-2|x |=0有个实数根；②方程x 2-2|x |=2有个实数根；③关于x 的方程x 2-2|x |=a 有4个实数根时，a 的取值范围是．图6图7解：（1）根据函数的对称性可得m =0，故答案为：0；（2）如图7所示；（3）由函数图象知：①函数y =x 2-2|x |的图象关于y 轴对称；②当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；（4）①由函数图象知：函数图象与x 轴有3个交点，所以对应的方程x 2-2|x |=0有3个实数根；②如图7，∵y =x 2-2|x |的图象与直线y =2有2个交点，∴x 2-2|x |=2有2个实数根；③由函数图象知：∵关于x 的方程x 2-2|x |=a 有4个实数根，∴a 的取值范围是-1＜a ＜0，故答案为：3，3，2，-1＜a ＜0．评注：本题考查了抛物线与x 轴的交点以及二次函数的性质.正确的识别图象并根据题意画出图形，利用数形结合思想解题是关键．“数形结合”有两个方面，即“以形助数”或“以数解形”.我们不可以偏废其一，要灵活掌握数形之间互化的方法.既要学会让图说学思导引。
初中数学在实际生活中的应用案例 数形结合思想的应用
初中数学在实际生活中的应用案例数形结合思想的应用数学是一门应用广泛的学科，它不仅仅存在于课本和考试中，更贯穿于我们日常生活的方方面面。
在初中数学中，数形结合思想是一个重要的概念，它将数学与几何图形相结合，让我们能够更好地理解和应用数学知识。
本文将介绍一些初中数学在实际生活中的应用案例，重点聚焦于数形结合思想的应用。
案例一：棋盘覆盖问题在数学中，棋盘覆盖问题是一个经典的问题。
假设有一个8x8的棋盘，用2x1的骨牌完全覆盖该棋盘，共有多少种覆盖方法？我们可以利用数形结合思想解决这个问题。
首先，我们将2x1的骨牌看作一种特殊的图形单元，将这种单元覆盖在棋盘上。
由于每个2x1的骨牌占据两个单元，因此整个棋盘共有64/2=32个单元。
而每个骨牌可以垂直或水平放置，因此每个单元有两种可能的覆盖方式。
接下来，我们尝试利用数形结合思想进行推理。
考虑到棋盘的边界问题，我们可以发现，棋盘的右下角必须覆盖一块。
那么，我们可以把右下角单元放上一块骨牌。
这样，右下角单元被覆盖后，原棋盘被分成了两个部分：一个是7x8的矩形，另一个是1x8的窄矩形。
对于7x8的矩形，在数形结合思想的指导下，我们可以将问题转化为一个更小规模的棋盘覆盖问题。
同样地，我们可以继续将其右下角单元覆盖，然后将其分成两个部分。
如此反复，最终我们可以找到问题的解。
通过以上的推理过程，我们可以得出结论：棋盘覆盖问题的解法共有2的32次方种可能。
案例二：测量高楼高度在实际生活中，我们有时候需要测量一座高楼的高度，但是往往无法直接测量。
这时，我们可以利用数形结合思想进行近似测量。
假设我们站在离高楼一定距离的地方，并且竖直放置一个测距仪。
我们可以利用三角形的形状和几何定理，使用测距仪与我们所看到的高楼顶部的夹角，以及我们与测距仪之间的距离，来计算出高楼的高度。
首先，我们假设测距仪的底部位置为A，顶部位置为B，高楼的底部位置为C，顶部位置为D。
通过观察可以发现，三角形ABC和三角形ABD相似。
数形结合思想在初中数学教学中的应用[论文]
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浅谈数形结合思想在初中数学教学中的应用摘要：本文主要介绍数学思想方法，及其在初中数学教学中的应用。
关键词：数形结合思想；数量关系；图形关系。
数形结合思想是指将数与图形结合起来解决问题的一种思维方式。
一般地，人们把代数称为“数”，而把几何称为“形”，数与形表面看是相互独立，其实在一定条件下它们可以相互转化，数量问题可以转化为图形问题，图形问题也可以转化为数量问题。
在数学教学中，由数想形，以形助数的数形结合思想，具有可以使问题直观呈现的优点，有利于加深学生对知识的识记和理解；在解答数学题时，数形结合，有利于学生分析题中数量之间的关系，丰富表象，引发联想，启迪思维，拓宽思路，迅速找到解决问题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。
抓住数形结合思想教学，不仅能够提高学生数形转化能力，还可以提高学生迁移思维能力。
数形结合思想在数学几乎全部的知识中，处处以数学对象的直观表象及深刻精确的数量表达这两方面给人以启迪，为问题的解决提供简捷明快的途径。
它的运用，往往展现出“柳岸花明又一村”般的数形和谐完美结合的境地。
著名的数学家华罗庚先生曾作过精辟的论述：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。
数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事非。
切莫忘，几何代数统一体，永远联系切莫离。
”这就是在强调把数和形结合起来考虑的重要性。
把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化.因此，在教学中应重视数形结合思想的渗透，正确引导学生适时的应用数形结合思想。
体会数形结合思想的应用价值。
在教材《有理数》里面用数轴上的点来表示有理数，就是最简单的数形结合思想的体现，结合数轴表示有理数，能帮助学生较好地理解有理数的绝对值、相反数等概念，以及进行两个有理数的大小比较。
例如上图，在数轴上的两点a、b表示的数分别为a、b，则表示下列结论正确的是（）（a）（b）a-b>0（c）2a+b>0（d）a+b>0分析：本题首先引导学生根据a、b在数轴上的位置，得到a<-1、0<b<1。
第1讲-数形结合思想在初中数学中的应用
第一讲：数形结合思想在初中数学中的应用【写在前面】数形结合思想是初中数学中的一个重要思想，“数”与“形”就好比数学中的“左右腿”。
全面理解数形结合思想，就需要从“以数助形”和“以形助数”两个方面来体会，另外在相关的函数题型中利用“数形结合思想”解决问题能起到事到功半的效果，本文就从“以形助数”、“以数助形”“函数中数形结合思想的运用”三个方面来探讨数形结合思想在初中数学中的相关应用。
【例题精讲】 一、以数助形从“以数助形”的角度来看“数形结合”思想主要有以下两个结合点： （1）利用数轴、平面直角坐标系把几何问题进行代数化；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用线段比例证明相似等。
【例题1】两只小虫A 、B 躺在数轴上睡大觉，已知它们之间的距离为10个单位长度，其中小虫A 躺在数+4对应的点上，小虫B 所在的位置绝对值大于6，则小虫B 所在的位置表示的数是（ ） 【思路点拨】本题旨在着重考察数轴上两点之间的距离公式：数轴上点A 代表数1x ，点B 代表数2x ，则A 、B 两点之间的距离21x x d -=。
这个两点之间的距离公式不论是它的推导还是运用都恰到好处的将相关的几何问题进行了代数化。
【例题2】两直线之间的位置关系包括：平行、相交、重合。
在初中数学中研究这种位置关系一般是通过几何作图来研究。
但是如果知道两直线的函数解析式该如何通过代数的方法来研究这两条直线的位置关系呢？例如：直线1l ：11b x a y +=，直线2l ：b x a y +=2，利用代数的方法研究直线1l 、2l 之间的位置关系。
【思路点拨】这个问题实质上就是二元一次方程组⎩⎨⎧+=+=2211b x a y b x a y 的几何意义。
关于二元一次方程组⎩⎨⎧+=+=2211b x a y b x a y 的解有三种情况：①无解；②无数个解；③ 只有一个解。
这三种情况可以转化为直线1l ：11b x a y +=与直线2l ：b x a y +=2的三种位置关系：①平行；②重合；③ 相交。
数形结合思想在解初中数学题中的应用
概率是新增加的 内容 ， 其抽象 陛、 难理解性使它 成为教学 的 难点。如果在计算简单事件的概率 时， 采用 画树状 图的方法 ， 数
根据笔者多年 的教学实践 ，数形结合 的解题方法在初 中数 形结合 ， 会收到化难 为易 的显著效果。 学 中的应 用 ， 主要体现在 以下几个 方面 ： 判断有 理数大 小的关 八、 在三角函数 中的应用 系、 代数式变换 、 解方程及解不等式 、 列方程解应用题 ， 函数及其 图象 、 平 面几何问题 、 数据统计及简单的三角 函数等方面。
但是 ， 如果把 通 过这两个有 理数在数轴 上对应 点的位置关 系来判 断 。虽 然 是一个较难的问题 。 我们学 习的是 有理数 ， 但要记住 它 的“ 形” ， 逐渐渗 透数形结 合 数 和形 结合起来 ，画 出相应 的图 从几何 的直观性人手 ， 则 可立 的方法 ，帮助 初 中生正 确理解并 掌握有 理数 的概 念和运算 法 象 ，
数形结合就是在形象 与抽象思维的交叉运用 中，使两种思 为数学 的研究和应 用提供 了极大的帮助。所 以，函数及其图象 教师在 教学时 ， 学 生在运用 维互相促进 ， 协调 发展 ， 有助于培 养和发展 学生 的空间感 和数 内容着重体现 了数形结合 的方 法 ， 感 培养学 生灵活运 用知识 、 转化知识的水平能力。恰 当地利用 数形结合 ， 可使复杂问题 简单化 ， 抽象 问题具体化。 从 学 习数轴起 ，我们就 开始建立起 有理数 与数轴 上点 的
则。 二、 在代数式 中的应用
以 ／
～
／
、
７
刻看 出结论 。
／
ｙ。
Ｉ
令 ｉ ｎ ｘ． 因为 ｌ ｌ ≤ ， 所
充分利用 图形面积相等的关系 ，进一步从几何 的角度来验 证公式 的正确性 ， 这其 中便渗透 了数形结合 的思想 ， 让学生体会 代数与几何之间存在的内在联 系， 引导学生多角度 、 多方面来思 考问题 、 解决问题 。
例谈数形结合在初中数学解题中的应用
例谈数形结合在初中数学解题中的应用数形结合在数学解题中是一种常见的策略，它能够帮助学生更好地理解和解决各种数学问题。
在初中数学学习中，数形结合不仅可以帮助学生更直观地理解数学问题，而且还可以提高他们的解题能力和逻辑思维能力。
本文将以具体的例子介绍数形结合在初中数学解题中的应用。
1. 长方形面积问题在初中数学学习中，计算长方形的面积是一个基本的数学问题。
传统的做法是通过公式S=长×宽来计算长方形的面积。
通过数形结合的方法，我们可以更生动地理解长方形的面积。
假设有一个长方形，长为3，宽为4，我们可以将这个长方形分成3行4列的小正方形，然后计算出其中小正方形的个数，即12个。
这样，我们就可以通过数形结合的方法更直观地理解长方形面积的计算过程。
2. 图形的相似性在初中数学学习中，图形的相似性是一个重要的概念。
通过数形结合的方法，我们可以更好地理解和应用图形的相似性。
有两个相似三角形，它们的对应边长比为3:4，我们可以通过数形结合的方法来证明它们是相似的。
我们可以用尺子测量两个三角形对应边的长度，然后比较它们的比值，如果两个比值相等，就可以得出这两个三角形是相似的结论。
3. 直角三角形的斜边长度假设有一个直角三角形，已知两条直角边的长度分别为3和4，我们可以通过画图的方式来计算斜边的长度。
我们可以在一个平面上画出两条互相垂直的线段，分别代表两条直角边，然后连接这两条线段的端点，就可以得到一个直角三角形。
通过这种方式，我们可以更直观地理解直角三角形的斜边长度。
4. 利用数形结合解决应用题5. 利用数形结合推导数学公式通过数形结合的方法，我们还可以更好地理解和推导各种数学公式。
我们可以通过数形结合的方法来推导直角三角形的勾股定理。
我们可以画出一个直角三角形的图形，然后利用几何的方法来证明勾股定理。
通过这种方法，我们可以更生动地理解和推导这个重要的数学公式。
希望这篇文章能够帮助到你，如果有其他问题，欢迎随时向我咨询。
浅议数形结合思想在初中数学教学中的运用
浅议数形结合思想在初中数学教学中的运用数学作为基础性的应用学科，在长期的实践和探究问题过程，逐步形成了较为全面的解题策略和思想。
数形结合思想作为数学学科问题解答的四种最常用的思想方法之一，在实际问题有着广泛的应用。
教育学认为，数形结合，就是抓住“数”与“形”的特点，进行有效融合，互为补充，也就是将抽象的数学语言与直观的几何图形进行有效融合，通过“数”与“形”的有效转化进行问题解答的方法策略。
我国著名的数学家华罗庚先生曾经用“数与形是两依椅，焉能分作两边飞，数缺形时少直观，形少数时难入微”的经典语言，深刻阐述了数形结合思想的内涵真谛。
一、利用数形结合思想解答函数方程问题
这是一道关于平行四边形的数学问题案例。
学生解答“bd与ef 互相平分”的过程中，如果直接借助于平行四边形的性质，很难求出“bd与ef互相平分”的结论。
因此，在解答中学生需要运用数形结合思想，借助数学问题所给予的条件，再通过对图形的分析，从出采用“构建法”，通过添加“连接de、bf”的辅助线，然后借助平行四边形性质，采用等量代换的形式，求得ae＝cf，eb＝df，从而证得四边形debf是平行四边形，求得“bd与ef互相平分”这一结论。
三、利用数形结合思想解决不等式问题
以上所述，是本人在教学实践中对运用数形结合思想的一点心得和体会，在此抛砖引玉，希望同仁共同探究，为提升学生解题能
力作出更大贡献。