十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题05三角函数与解三角形(理)(含解析)
专题05三角函数与解三角形 历年考题细目表
题型 年份 考点 试题位置 单选题 2019 三角函数 2019年新课标1理科11 单选题 2017 三角函数 2017年新课标1理科09 单选题 2016 三角函数 2016年新课标1理科12 单选题 2015 三角函数 2015年新课标1理科02 单选题 2015 三角函数 2015年新课标1理科08 单选题 2014 三角函数 2014年新课标1理科08 单选题 2012 三角函数 2012年新课标1理科09 单选题 2011 三角函数 2011年新课标1理科05 单选题 2011 三角函数 2011年新课标1理科11 单选题 2010 三角函数 2010年新课标1理科09 填空题 2018 三角函数 2018年新课标1理科16 填空题 2015 解三角形 2015年新课标1理科16 填空题 2014 解三角形 2014年新课标1理科16 填空题 2013 三角函数 2013年新课标1理科15 填空题 2011 解三角形 2011年新课标1理科16 填空题 2010 解三角形 2010年新课标1理科16 解答题 2019 解三角形 2019年新课标1理科17 解答题 2018 解三角形 2018年新课标1理科17 解答题 2017 解三角形 2017年新课标1理科17 解答题 2016 解三角形 2016年新课标1理科17 解答题 2013 解三角形 2013年新课标1理科17 解答题 2012 解三角形 2012年新课标1理科17
历年高考真题汇编 1．【2019年新课标1理科11】关于函数f（x）＝sin|x|+|sinx|有下述四个结论： ①f（x）是偶函数
②f（x）在区间（，π）单调递增 ③f（x）在[﹣π，π]有4个零点 ④f（x）的最大值为2 其中所有正确结论的编号是（ ） A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③ 【解答】解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sinx|＝f（x）则函数f（x）是偶函数，故①正确，
当x∈（，π）时，sin|x|＝sinx，|sinx|＝sinx， 则f（x）＝sinx+sinx＝2sinx为减函数，故②错误， 当0≤x≤π时，f（x）＝sin|x|+|sinx|＝sinx+sinx＝2sinx， 由f（x）＝0得2sinx＝0得x＝0或x＝π， 由f（x）是偶函数，得在[﹣π，）上还有一个零点x＝﹣π，即函数f（x）在[﹣π，π]有3个零点，故③错误， 当sin|x|＝1，|sinx|＝1时，f（x）取得最大值2，故④正确， 故正确是①④， 故选：C．
2．【2017年新课标1理科09】已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin（2x），则下面结论正确的是（ ） A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y＝cos2（x）＝cos（2x）＝sin（2x）的图象，即曲线C2， 故选：D．
3．【2016年新课标1理科12】已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|），x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（ ） A．11 B．9 C．7 D．5
【解答】解：∵x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴， ∴，即，（n∈N） 即ω＝2n+1，（n∈N） 即ω为正奇数，
∵f（x）在（，）上单调，则， 即T，解得：ω≤12， 当ω＝11时，φ＝kπ，k∈Z， ∵|φ|， ∴φ， 此时f（x）在（，）不单调，不满足题意； 当ω＝9时，φ＝kπ，k∈Z， ∵|φ|， ∴φ， 此时f（x）在（，）单调，满足题意； 故ω的最大值为9， 故选：B．
4．【2015年新课标1理科02】sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝（ ）
A． B． C． D． 【解答】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10° ＝sin20°cos10°+cos20°sin10° ＝sin30°
． 故选：D．
5．【2015年新课标1理科08】函数f（x）＝cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区
间为（ ） A．（kπ，kπ），k∈z B．（2kπ，2kπ），k∈z C．（k，k），k∈z D．（，2k），k∈z 【解答】解：由函数f（x）＝cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为2（）＝2，∴ω＝π，f（x）＝cos（πx+ϕ）．
再根据函数的图象以及五点法作图，可得ϕ，k∈z，即ϕ，f（x）＝cos（πx）． 由2kπ≤πx2kπ+π，求得 2kx≤2k，故f（x）的单调递减区间为（，2k），k∈z， 故选：D．
6．【2014年新课标1理科08】设α∈（0，），β∈（0，），且tanα，则（ ） A．3α﹣β B．3α+β C．2α﹣β D．2α+β 【解答】解：由tanα，得： ， 即sinαcosβ＝cosαsinβ+cosα，
sin（α﹣β）＝cosα＝sin（）， ∵α∈（0，），β∈（0，）， ∴当时，sin（α﹣β）＝sin（）＝cosα成立． 故选：C．
7．【2012年新课标1理科09】已知ω＞0，函数f（x）＝sin（ωx）在区间[，π]上单调递减，则 实数ω的取值范围是（ ） A． B． C． D．（0，2] 【解答】解：法一：令：不合题意 排除（D） 合题意 排除（B）（C） 法二：， 得：． 故选：A．
8．【2011年新课标1理科05】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝（ ）
A． B． C． D． 【解答】解：根据题意可知：tanθ＝2，
所以cos2θ， 则cos2θ＝2cos2θ﹣1＝21． 故选：B．
9．【2011年新课标1理科11】设函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）＝f（x），则（ ）
A．f（x）在单调递减 B．f（x）在（，）单调递减 C．f（x）在（0，）单调递增 D．f（x）在（，）单调递增 【解答】解：由于f（x）＝sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）， 由于该函数的最小正周期为T，得出ω＝2， 又根据f（﹣x）＝f（x），得φkπ（k∈Z），以及|φ|，得出φ． 因此，f（x）cos2x， 若x∈，则2x∈（0，π），从而f（x）在单调递减， 若x∈（，），则2x∈（，）， 该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确． 故选：A．
10．【2010年新课标1理科09】若，α是第三象限的角，则（ ） A． B． C．2 D．﹣2 【解答】解：由，α是第三象限的角， ∴可得， 则， 应选A．
11．【2018年新课标1理科16】已知函数f（x）＝2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是 ． 【解答】解：由题意可得T＝2π是f（x）＝2sinx+sin2x的一个周期， 故只需考虑f（x）＝2sinx+sin2x在[0，2π）上的值域， 先来求该函数在[0，2π）上的极值点， 求导数可得f′（x）＝2cosx+2cos2x ＝2cosx+2（2cos2x﹣1）＝2（2cosx﹣1）（cosx+1），
令f′（x）＝0可解得cosx或cosx＝﹣1， 可得此时x，π或 ； ∴y＝2sinx+sin2x的最小值只能在点x，π或 和边界点x＝0中取到， 计算可得f（ ），f（π）＝0，f（ ），f（0）＝0， ∴函数的最小值为， 故答案为：． 12．【2015年新课标1理科16】在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°．BC＝2，则AB的取值范围是 ． 【解答】解：方法一： 如图所示，延长BA，CD交于点E，则 在△ADE中，∠DAE＝105°，∠ADE＝45°，∠E＝30°，
∴设ADx，AEx，DEx，CD＝m， ∵BC＝2，
∴（x+m）sin15°＝1， ∴x+m， ∴0＜x＜4，
而ABx+mxx， ∴AB的取值范围是（，）． 故答案为：（，）． 方法二： 如下图，作出底边BC＝2的等腰三角形EBC，B＝C＝75°，
倾斜角为150°的直线在平面内移动，分别交EB、EC于A、D，则四边形ABCD即为满足题意的四边形； 当直线移动时，运用极限思想， ①直线接近点C时，AB趋近最小，为； ②直线接近点E时，AB趋近最大值，为； 故答案为：（，）．
十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题03函数概念与基本初等函数理(含解析)
专题03函数概念与基本初等函数历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2019 对数函数2019年新课标1理科03单选题2018 分段函数2018年新课标1理科09单选题2017 函数的奇偶性2017年新课标1理科05单选题2017 指数函数2017年新课标1理科11单选题2016 指数函数2016年新课标1理科08单选题2014 函数的奇偶性2014年新课标1理科03单选题2014 函数模型2014年新课标1理科06单选题2013 分段函数2013年新课标1理科11单选题2011 函数的奇偶性2011年新课标1理科02单选题2011 函数的对称性2011年新课标1理科12单选题2010 函数模型2010年新课标1理科04单选题2010 函数的奇偶性2010年新课标1理科08单选题2010 分段函数2010年新课标1理科11填空题2015 函数的奇偶性2015年新课标1理科13历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科03】已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a【解答】解：a＝log20.2＜log21＝0，b＝20.2＞20＝1，∵0＜0.20.3＜0.20＝1，∴c＝0.20.3∈（0，1），∴a＜c＜b，故选：B．2．【2018年新课标1理科09】已知函数f（x），g（x）＝f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：由g（x）＝0得f（x）＝﹣x﹣a，作出函数f（x）和y＝﹣x﹣a的图象如图：当直线y＝﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g（x）存在2个零点，故实数a的取值范围是[﹣1，+∞），故选：C．3．【2017年新课标1理科05】函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．若f（1）＝﹣1，则f（﹣1）＝1，又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故选：D．4．【2017年新课标1理科11】设x、y、z为正数，且2x＝3y＝5z，则（）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z【解答】解：x、y、z为正数，令2x＝3y＝5z＝k＞1．lgk＞0．则x，y，z．∴3y，2x，5z．∵，．∴lg0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z为正数，令2x＝3y＝5z＝k＞1．lgk＞0．则x，y，z．∴1，可得2x＞3y，1．可得5z＞2x．综上可得：5z＞2x＞3y．解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．故选：D．5．【2016年新课标1理科08】若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．a log b c＜b log a c D．log a c＜log b c【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，∴函数f（x）＝x c在（0，+∞）上为增函数，故a c＞b c，故A错误；函数f（x）＝x c﹣1在（0，+∞）上为减函数，故a c﹣1＜b c﹣1，故ba c＜ab c，即ab c＞ba c；故B错误；log a c＜0，且log b c＜0，log a b＜1，即1，即log a c＞log b c．故D错误；0＜﹣log a c＜﹣log b c，故﹣b log a c＜﹣a log b c，即b log a c＞a log b c，即a log b c＜b log a c，故C正确；故选：C．6．【2014年新课标1理科03】设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数【解答】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），f（﹣x）•g（﹣x）＝﹣f（x）•g（x），故函数是奇函数，故A错误，|f（﹣x）|•g（﹣x）＝|f（x）|•g（x）为偶函数，故B错误，f（﹣x）•|g（﹣x）|＝﹣f（x）•|g（x）|是奇函数，故C正确．|f（﹣x）•g（﹣x）|＝|f（x）•g（x）|为偶函数，故D错误，故选：C．7．【2014年新课标1理科06】如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y＝f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：在直角三角形OMP中，OP＝1，∠POM＝x，则OM＝|cos x|，∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）＝OM|sin x|＝|cos x|•|sin x||sin2x|，其周期为T，最大值为，最小值为0，故选：C．8．【2013年新课标1理科11】已知函数f（x），若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．[﹣2，1] D．[﹣2，0]【解答】解：由题意可作出函数y＝|f（x）|的图象，和函数y＝ax的图象，由图象可知：函数y＝ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y＝|f（x）|在第二象限的部分解析式为y＝x2﹣2x，求其导数可得y′＝2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y＝ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D．9．【2011年新课标1理科02】下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y＝2x3B．y＝|x|+1 C．y＝﹣x2+4 D．y＝2﹣|x|【解答】解：对于A．y＝2x3，由f（﹣x）＝﹣2x3＝﹣f（x），为奇函数，故排除A；对于B．y＝|x|+1，由f（﹣x）＝|﹣x|+1＝f（x），为偶函数，当x＞0时，y＝x+1，是增函数，故B正确；对于C．y＝﹣x2+4，有f（﹣x）＝f（x），是偶函数，但x＞0时为减函数，故排除C；对于D．y＝2﹣|x|，有f（﹣x）＝f（x），是偶函数，当x＞0时，y＝2﹣x，为减函数，故排除D．故选：B．10．【2011年新课标1理科12】函数y的图象与函数y＝2sinπx，（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．8 B．6 C．4 D．2【解答】解：函数y1，y2＝2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，如图，当1＜x≤4时，y1＜0而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在（1，）和（，）上是减函数；在（，）和（，4）上是增函数．∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D且：x A+x H＝x B+x G＝x C+x F＝x D+x E＝2，故所求的横坐标之和为8．故选：A．11．【2010年新课标1理科04】如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：通过分析可知当t＝0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，故选：C．12．【2010年新课标1理科08】设偶函数f（x）满足f（x）＝2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}＝（）A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x＜﹣2或x＞2}【解答】解：由偶函数f（x）满足f（x）＝2x﹣4（x≥0），可得f（x）＝f（|x|）＝2|x|﹣4，则f（x﹣2）＝f（|x﹣2|）＝2|x﹣2|﹣4，要使f（|x﹣2|）＞0，只需2|x﹣2|﹣4＞0，|x﹣2|＞2解得x＞4，或x＜0．应选：B．13．【2010年新课标1理科11】已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）＝f （b）＝f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab＝1，则abc＝c∈（10，12）．故选：C．14．【2015年新课标1理科13】若函数f（x）＝xln（x）为偶函数，则a＝．【解答】解：∵f（x）＝xln（x）为偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），∴（﹣x）ln（﹣x）＝xln（x），∴﹣ln（﹣x）＝ln（x），∴ln（﹣x）+ln（x）＝0，∴ln（x）（x）＝0，∴lna＝0，∴a＝1．故答案为：1．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：函数，函数的单调性与最值，函数的奇偶性与周期性，幂函数与二次函数，指数函数，对数函数，分段函数，函数的图象，函数与方程等.历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：函数的单调性与最值，函数的奇偶性与周期性，指数函数，对数函数，分段函数，函数的图象，函数与方程等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点函数的单调性与最值，函数的奇偶性与周期性，指数函数，对数函数，分段函数，函数的图象，函数与方程等为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知()21f x ax bx =-+是定义域为[a ，a +1]的偶函数，则2b a a -＝（ ）A ．0B ．34C D ．4【答案】B 【解析】∵f （x ）在[a ，a +1]上是偶函数， ∴﹣a ＝a +1⇒a 12=-， 所以f （x ）的定义域为[12-，12]， 故：f （x ）12=-x 2﹣bx +1， ∵f （x ）在区间[12-，12]上是偶函数，有f （12-）＝f （12），代入解析式可解得：b ＝0；∴2b a a -13144=-=．故选：B ．2．已知函数()y f x =的定义域为R ,)1(+x f 为偶函数,且对121x x ∀<≤,满足()()01212<--x x x f x f .若(3)1f =,则不等式()2log 1f x <的解集为（ ）A ．1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．)8,1(C ．10,(8,)2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．(,1)(8,)-∞⋃+∞【答案】A 【解析】因为对121x x ∀<≤,满足()()01212<--x x x f x f ，所以()y f x =当1≤x 时，是单调递减函数，又因为)1(+x f 为偶函数，所以()y f x =关于1x =对称，所以函数()y f x =当1>x 时，是增函数，又因为(3)1f =，所以有1)1(=-f ，当2log 1x ≤时，即当02x <≤时，()()222log 1log (11log 2221)1f x f x x x x f <⇒<-⇒>-⇒>∴<≤当2log 1x >时，即当2x >时，()()222log 1log (3)log 3828x x f x f x f x <⇒<⇒∴<<⇒<<，综上所述：不等式()2log 1f x <的解集为1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭，故本题选A.3．函数22()log (34)f x x x =--的单调减区间为（ ）A ．(,1)-∞-B ．3(,)2-∞-C ．3(,)2+∞D ．(4,)+∞【答案】A 【解析】函数()()22log 34f x x x =--,所以 2340(4)(1)04x x x x x -->⇒-+>⇒>或1x <-，所以函数()f x 的定义域为4x >或1x <-，234y x x =--当3(,)2-∞时，函数是单调递减，而1x <-，所以函数()()22log 34f x x x =--的单调减区间为(),1-∞-，故本题选A 。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《三角函数与解三角形》难题汇编含答案解析
A．2或 B． C． D． 或
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数 的图象关于直线 对称，则有 ，解得 ，得到函数再求最值.
【详解】
因为函数 的图象关于直线 对称，
所以 ，
即 ，
解得 或 ，
当 时， ，此时 的最大值为 ；
当 时， ，此时 的最大值为 ；
【详解】
解：双曲线 的右焦点为 ，双曲线 的右支上一点 ，它关于原点 的对称点为 ，满足 ，且 ，可得 ， ， ，
，所以 ，可得 ，
，
所以双曲线的离心率为： ．
故选： ．
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
4．已知函数 ，若方程 的解为 ( )，则 =（）
【详解】
设灯塔位于 处，船开始的位置为 ，船行 后处于 ，如图所示，
可得 ， ，
，
在三角形 中，利用正弦定理可得：
，
可得
故选
【点睛】
本题主要考查的是正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解决本题的关键，属于基础题．
17．函数 （ω＞0）的图像过点（1，2），若f（x）相邻的两个零点x1，x2满足|x1－x2|＝6，则f（x）的单调增区间为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知可得 ，结合x1＜x2求出x1的范围，再由 求解即可．
【详解】
因为0＜x ，∴ ，
又因为方程 的解为x1，x2（0＜x1＜x2＜π），
∴ ，∴ ，
∴ ，
因为 ，∴0＜x1 ，
∴ ，
十年真题(2010-2019)高考数学(理)分类汇编专题03 函数概念与基本初等函数(新课标Ⅰ卷)(解析版)
专题03函数概念与基本初等函数历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科03】已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a【解答】解：a＝log20.2＜log21＝0，b＝20.2＞20＝1，∵0＜0.20.3＜0.20＝1，∴c＝0.20.3∈（0，1），∴a＜c＜b，故选：B．2．【2018年新课标1理科09】已知函数f（），g（）＝f（）++a．若g（）存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：由g（）＝0得f（）＝﹣﹣a，作出函数f（）和y＝﹣﹣a的图象如图：当直线y＝﹣﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g（）存在2个零点，故实数a的取值范围是[﹣1，+∞），故选：C．3．【2017年新课标1理科05】函数f（）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f（﹣2）≤1的的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]【解答】解：∵函数f（）为奇函数．若f（1）＝﹣1，则f（﹣1）＝1，又∵函数f（）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（﹣2）≤1，∴f（1）≤f（﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤﹣2≤1，解得：∈[1，3]，故选：D．4．【2017年新课标1理科11】设、y、为正数，且2＝3y＝5，则（）A．2＜3y＜5 B．5＜2＜3y C．3y＜5＜2 D．3y＜2＜5 【解答】解：、y、为正数，令2＝3y＝5＝＞1．lg＞0．则，y，．∴3y，2，5．∵，．∴lg0．∴3y＜2＜5．另解：、y、为正数，令2＝3y＝5＝＞1．lg＞0．则，y，．∴1，可得2＞3y，1．可得5＞2．综上可得：5＞2＞3y．解法三：对取特殊值，也可以比较出大小关系．故选：D．5．【2016年新课标1理科08】若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．a log b c＜b log a c D．log a c＜log b c【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，∴函数f（）＝c在（0，+∞）上为增函数，故a c＞b c，故A错误；函数f（）＝c﹣1在（0，+∞）上为减函数，故a c﹣1＜b c﹣1，故ba c＜ab c，即ab c＞ba c；故B错误；log a c＜0，且log b c＜0，log a b＜1，即1，即log a c＞log b c．故D错误；0＜﹣log a c＜﹣log b c，故﹣b log a c＜﹣a log b c，即b log a c＞a log b c，即a log b c＜b log a c，故C正确；故选：C．6．【2014年新课标1理科03】设函数f（），g（）的定义域都为R，且f（）是奇函数，g（）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（）•g（）是偶函数B．|f（）|•g（）是奇函数C．f（）•|g（）|是奇函数D．|f（）•g（）|是奇函数【解答】解：∵f（）是奇函数，g（）是偶函数，∴f（﹣）＝﹣f（），g（﹣）＝g（），f（﹣）•g（﹣）＝﹣f（）•g（），故函数是奇函数，故A错误，|f（﹣）|•g（﹣）＝|f（）|•g（）为偶函数，故B错误，f（﹣）•|g（﹣）|＝﹣f（）•|g（）|是奇函数，故C正确．|f（﹣）•g（﹣）|＝|f（）•g（）|为偶函数，故D错误，故选：C．7．【2014年新课标1理科06】如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为的函数f （），则y＝f（）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：在直角三角形OMP中，OP＝1，∠POM＝，则OM＝|cos|，∴点M到直线OP的距离表示为的函数f（）＝OM|sin|＝|cos|•|sin||sin2|，其周期为T，最大值为，最小值为0，故选：C．8．【2013年新课标1理科11】已知函数f（），若|f（）|≥a，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．[﹣2，1] D．[﹣2，0]【解答】解：由题意可作出函数y＝|f（）|的图象，和函数y＝a的图象，由图象可知：函数y＝a的图象为过原点的直线，当直线介于l和轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y＝|f（）|在第二象限的部分解析式为y＝2﹣2，求其导数可得y′＝2﹣2，因为≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y＝a的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D．9．【2011年新课标1理科02】下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y＝23B．y＝||+1 C．y＝﹣2+4 D．y＝2﹣||【解答】解：对于A．y＝23，由f（﹣）＝﹣23＝﹣f（），为奇函数，故排除A；对于B．y＝||+1，由f（﹣）＝|﹣|+1＝f（），为偶函数，当＞0时，y＝+1，是增函数，故B正确；对于C．y＝﹣2+4，有f（﹣）＝f（），是偶函数，但＞0时为减函数，故排除C；对于D．y＝2﹣||，有f（﹣）＝f（），是偶函数，当＞0时，y＝2﹣，为减函数，故排除D．故选：B．10．【2011年新课标1理科12】函数y的图象与函数y＝2sinπ，（﹣2≤≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．8 B．6 C．4 D．2【解答】解：函数y1，y2＝2sinπ的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，如图，当1＜≤4时，y1＜0而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在（1，）和（，）上是减函数；在（，）和（，4）上是增函数．∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D且：A+H＝B+G＝C+F＝D+E＝2，故所求的横坐标之和为8．故选：A．11．【2010年新课标1理科04】如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，），角速度为1，那么点P到轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：通过分析可知当t＝0时，点P到轴距离d为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P在轴上此时点P到轴距离d为0，排除答案B，故选：C．12．【2010年新课标1理科08】设偶函数f（）满足f（）＝2﹣4（≥0），则{|f（﹣2）＞0}＝（）A．{|＜﹣2或＞4} B．{|＜0或＞4} C．{|＜0或＞6} D．{|＜﹣2或＞2}【解答】解：由偶函数f（）满足f（）＝2﹣4（≥0），可得f（）＝f（||）＝2||﹣4，则f（﹣2）＝f（|﹣2|）＝2|﹣2|﹣4，要使f（|﹣2|）＞0，只需2|﹣2|﹣4＞0，|﹣2|＞2解得＞4，或＜0．应选：B．13．【2010年新课标1理科11】已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）＝f （b）＝f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）【解答】解：作出函数f（）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab＝1，则abc＝c∈（10，12）．故选：C．14．【2015年新课标1理科13】若函数f（）＝ln（）为偶函数，则a＝．【解答】解：∵f（）＝ln（）为偶函数，∴f（﹣）＝f（），∴（﹣）ln（﹣）＝ln（），∴﹣ln（﹣）＝ln（），∴ln（﹣）+ln（）＝0，∴ln（）（）＝0，∴lna＝0，∴a＝1．故答案为：1．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：函数，函数的单调性与最值，函数的奇偶性与周期性，幂函数与二次函数，指数函数，对数函数，分段函数，函数的图象，函数与方程等.历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：函数的单调性与最值，函数的奇偶性与周期性，指数函数，对数函数，分段函数，函数的图象，函数与方程等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点函数的单调性与最值，函数的奇偶性与周期性，指数函数，对数函数，分段函数，函数的图象，函数与方程等为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知()21f x ax bx =-+是定义域为[a ，a +1]的偶函数，则2b a a -＝（ ）A ．0B ．34C D ．4【答案】B 【解析】∵f （）在[a ，a +1]上是偶函数， ∴﹣a ＝a +1⇒a 12=-， 所以f （）的定义域为[12-，12]， 故：f （）12=-2﹣b +1， ∵f （）在区间[12-，12]上是偶函数，有f （12-）＝f （12），代入解析式可解得：b ＝0；∴2b a a -13144=-=．故选：B ．2．已知函数()y f x =的定义域为R ,)1(+x f 为偶函数,且对121x x ∀<≤,满足()()01212<--x x x f x f .若(3)1f =,则不等式()2log 1f x <的解集为（ ）A ．1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．)8,1(C ．10,(8,)2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．(,1)(8,)-∞⋃+∞【答案】A 【解析】因为对121x x ∀<≤,满足()()01212<--x x x f x f ，所以()y f x =当1≤x 时，是单调递减函数，又因为)1(+x f 为偶函数，所以()y f x =关于1x =对称，所以函数()y f x =当1>x 时，是增函数，又因为(3)1f =，所以有1)1(=-f ，当2log 1x ≤时，即当02x <≤时，()()222log 1log (11log 2221)1f x f x x x x f <⇒<-⇒>-⇒>∴<≤当2log 1x >时，即当2x >时，()()222log 1log (3)log 3828x x f x f x f x <⇒<⇒∴<<⇒<<，综上所述：不等式()2log 1f x <的解集为1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭，故本题选A.3．函数22()log (34)f x x x =--的单调减区间为（ ）A ．(,1)-∞-B ．3(,)2-∞-C ．3(,)2+∞D ．(4,)+∞【答案】A 【解析】函数()()22log 34f x x x =--,所以 2340(4)(1)04x x x x x -->⇒-+>⇒>或1x <-，所以函数()f x 的定义域为4x >或1x <-，234y x x =--当3(,)2-∞时，函数是单调递减，而1x <-，所以函数()()22log 34f x x x =--的单调减区间为(),1-∞-，故本题选A 。
2010-2019高考数学(文)真题分类汇编(四：三角函数与解三角形-4.-解三角形)
专题四 三角函数与解三角形第四讲 解三角形2019年1.（全国Ⅱ文15）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A +a cos B =0，则B =___________.2.（2019全国Ⅰ文11）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．3（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin （B +C ）的值．4.（2019全国三文18）ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC △为锐角三角形，且c =1，求ABC △面积的取值范围．5.（2019天津文16）在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（Ⅰ）求cosB 的值； （Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 6.（2019江苏15）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 7.（2019浙江14）在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上， 若45BDC ∠=︒，则BD =____，cos ABD ∠=________.2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos2=C 1=BC ，5=AC ，则=AB2．(2018全国卷Ⅲ)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C =A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 3．（2017新课标Ⅰ）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )B A C C +-0=，2a =，c =C =A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π4．（2016全国I ）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a =2c =，2cos 3A =，则b =A B C ．2 D ．3 5．（2016全国III ）在ΔABC 中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ，则sin A =A ．310B ．10C ．5D ．106．（2016山东）ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知22,2(1sin )bc a b A ，则A = A ．3π4 B ．π3C ．π4 D ．π67．(2015广东)设ΑΒC ∆的内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =，cos 2A =，且b c <，则b =A ．3B ．C ．2D8．(2014新课标2)钝角三角形ABC 的面积是12，1AB =，BC =AC =A ．5BC ．2D ．19．（2014重庆）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 满足sin 2sin()A A B C +-+=sin()C A B --12+，面积S 满足12S ≤≤，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是A ．8)(>+c b bcB ．()ab a b +>C ．126≤≤abcD ．1224abc ≤≤ 10．（2014江西）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，若2c =2()6a b -+，3C π=，则ABC ∆的面积是A ．3B ．239 C ．233 D ．33 11．（2014四川）如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是60cm ，则河流的宽度BC 等于A ．1)mB ．1)mC ．1)mD ．1)m12．（2013新课标1）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos A +cos20A =，7a =，6c =，则b =A ．10B ．9C ．8D ．513．（2013辽宁）在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ．若sin cos a B C +1sin cos 2c B A b =，且a b >，则B ∠=A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π14．（2013天津）在△ABC 中，,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠=A B C 15．(2013陕西)设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a ,b ,c ,若cos cos sin b C c B a A +=,则△ABC的形状为A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定16．(2012广东)在ABC ∆中，若60,45,A B BC ︒︒∠=∠==，则AC =A ．．D ．217．（2011辽宁）ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin sin cos a A B b A +=，则=abA ．．18．（2011天津）如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2AB AD AB ==，2BC BD =，则sin C 的值为A C19．（2010湖南）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ．若120C ∠=，c =，则A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．a 与b 的大小关系不能确定 二、填空题20．(2018全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知 sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为__．21．(2018浙江)在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =2b =，60A =，则sin B =___________，c =___________．22．(2018北京)若ABC △的面积为222()4a c b +-，且C ∠为钝角，则B ∠=；ca的取值范围是．23．(2018江苏)在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为．24．（2017新课标Ⅱ）ABC ∆的内角A ,B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B =25．（2017新课标Ⅲ）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知60C =，b =3c =，则A =_______．26．（2017浙江）已知ABC ∆，4AB AC ==，2BC =． 点D 为AB 延长线上一点，2BD =，连结CD ，则BDC ∆的面积是_______，cos BDC ∠=_______． 27．（2016全国Ⅱ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =， 5cos 13C =，1a =，则b =_____．28．（2015北京）在△ABC 中，23,3a b A π==∠=，则B ∠= _________． 29．(2015重庆)设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2a =，1cos 4C =-，3sin 2sin A B =，则c =________．30．（2015安徽）在ABC ∆中，6=AB ， 75=∠A ， 45=∠B ，则=AC ．31．(2015福建)若锐角ABC ∆的面积为5AB =，8AC =，则BC 等于．32．(2015新课标1)在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=，2BC =，则AB 的取值范围是_______．33．（2015天津）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为，2b c -=，1cos 4A =-，则a 的值为．34．（2015湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =m ．35．（2014新课标1）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒．已知山高100BC m =，则山高MN =________m ． 36．（2014广东）在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知cos b C +cos 2c B b =，则=ba． 37．（2013安徽）设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ．若2b c a +=，则3sin 5sin ,A B =则角C =_____．38．（2013福建）如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin 3BAC ∠=，AB =3AD =，则BD 的长为_______________．39．（2012安徽）设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ；则下列命题正确的是．①若2ab c >；则3C π<②若2a b c +>；则3C π<③若333a b c +=；则2C π<④若()2a b c ab +<；则2C π>⑤若22222()2a b c a b +<；则3C π>40．（2012北京）在ABC ∆中，若12,7,cos 4a b c B =+==-，则b =．41．（2011新课标）ABC ∆中，60,B AC =︒=，则AB +2BC 的最大值为____．42．（2011新课标）ABC ∆中，120,7,5B AC AB =︒==，则ABC ∆的面积为___． 43．（2010江苏）在锐角三角形ABC ，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，6cos b a C a b +=，则tan tan tan tan C CA B+=_______．44．（2010山东）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2a b ==，sin cos B B +=A 的大小为．三、解答题45．（2018天津）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin cos()6b A a B π=-．(1)求角B 的大小；(2)设2a =，3c =，求b 和sin(2)A B -的值．46．（2017天津）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知sin 4sin a A b B =，222)ac a b c =--．（Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求sin(2)B A -的值．47．（2017山东）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3b =，6AB AC ⋅=-，3ABC S ∆=，求A 和a ．48．（2015新课标2）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 面积是∆ADC 面积的2倍． (Ⅰ)求sin sin BC；(Ⅱ) 若AD =1，DC =2，求BD 和AC 的长． 49．（2015新课标1）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =．（Ⅰ）若a b =，求cos ;B（Ⅱ）若90B =，且a =ABC ∆的面积．50．（2014山东）ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长．已知3a =，cos 2A B A π==+． （Ｉ）求b 的值； （II ）求ABC ∆的面积．51．（2014安徽）设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且3b =，1c =，2A B =． （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求sin()4A π+的值．52．（2013新课标1）如图，在ABC ∆中，∠ABC ＝90°，AB BC =1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°． （Ⅰ）若PB =12，求P A ； （Ⅱ）若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA ．53．（2013新课标2）ABC ∆在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin a b C c B =+． （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2b =，求△ABC 面积的最大值．54．（2012安徽）设ABC ∆的内角C B A ,,所对边的长分别为,,,c b a ，且有2sin cos B A =sin cos cos sin A C A C +．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ) 若2b =，1c =，D 为BC 的中点，求AD 的长．55．（2012新课标）已知a 、b 、c 分别为ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边，cos a C +sin 0C b c --=．（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若2=a ，ABC ∆的面积为3，求b 、c ．56．（2011山东）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长．已知cos 2cos 2cos A C c aB b --=． （I ）求sin sin CA的值；（II ）若1cos 4B =，2b =，ABC ∆的面积S ．57．（2011安徽）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ，b ，12cos()0B C ++=，求边BC 上的高．58．（2010陕西）如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距(53海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？59．（2010江苏）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H (单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h =4m ，仰角∠ABE =α，∠ADE =β．（1）该小组已经测得一组α、β的值，tan α，tan β，请据此算出H 的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度。
专题05 三角函数-十年(2012-2021)高考数学真题分项详解(全国通用)(原卷版)
D． x + y − +1 = 0
12．（2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））已知 ∈（0， π ），2sin2α=cos2α+1，则 sinα= 2
A． 1 5
B． 5 5
C． 3 3
D． 2 5 5
13．（2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））下列函数中，以 为周期且在区间( ， )单调
B．
sin
x 2
+
12
C．
sin
2x
−
7 12
D．
sin
2
x
+
12
4．（2021 年全国高考乙卷数学（理）试题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第
一题是测海岛的高．如图，点 E ， H ， G 在水平线 AC 上， DE 和 FG 是两个垂直于水平面且等高的测量
A．
B．
C．
D．
21．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试）已知曲线 C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+ 2π )，则下面结论正 3
确的是
A．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π 个单位长度，得到 6
曲线 C2
B．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π 个单位长度，得到 12
31．（2016 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）若 cos( − ) = 3 ，则 sin 2 =
4
5
A． 7 25
B． 1 5
C． − 1 5
D． − 7 25
32．（2016 年全国普通高等学校招生统一考试）若 tan = 1 ，则 cos 2 = 3
2019年高考数学文真题分项解析：专题04 三角函数与解三角形
第四章 三角函数与三角形1.【2019高考新课标Ⅰ，文7】tan255°= A. －2－3 B. －2+3C. 2－3D. 2+3【答案】D 【解析】 【分析】本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查． 【详解】详解：000000tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)=+==+=00031tan 45tan 3032 3.1tan 45tan 30313++==+--【点睛】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．2.【2019高考新课标Ⅰ，文11】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则b c =A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 【详解】详解：由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得22222141313cos ,,,464224242b c a c c c b A bc bc b c +---==∴=-∴=∴=⨯=，故选A ． 【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．3.【2019高考新课标Ⅱ，文8】若x 1=4π，x 2=34π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=A. 2B.32C. 1D.12【答案】A 【解析】 【分析】从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得ω. 【详解】由题意知，()sin f x x ω=的周期232()44T ωπππ==-=π，得2ω=．故选A ． 【点睛】本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用方程思想解题．4.【2019高考新课标Ⅱ，文11】已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα= A. 15B.55 C.33D.255【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 【详解】2sin 2cos21α=α+Q ，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭Q ． sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，5sin 5α∴=，故选B ． 【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．5.【2019高考新课标Ⅲ，文5】函数()2sin sin2f x x x =-在[]0,2π的零点个数为（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】令()0f x =，得sin 0x =或cos 1x =，再根据x 的取值范围可求得零点.【详解】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=， 得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2x π∈Q ，02x ππ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3，故选B ．【点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利用数形结合和方程思想解题．6.【2019高考北京卷，文6】设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -进行判断. 【详解】0b = 时，()cos sin cos f x x b x x =+=, ()f x 为偶函数； ()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=- ，得0bsinx =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.7.【2019高考北京卷，文8】如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A. 4β+4cos βB. 4β+4sin βC. 2β+2cos βD. 2β+2sin β【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先确定面积最大时点P 的位置，然后结合扇形面积公式和三角形面积公式可得最大的面积值. 【详解】观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时，阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π-β, 面积S 的最大值为2222βππ⨯⨯+S △POB + S △POA =4β+1||sin()2OP OB πβ-‖1||sin()2OP OA πβ+-‖ 42sin 2sin 44sin βββββ=++=+⋅.故选：B .【点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.8.【2019高考天津卷，文7】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且24g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. 2- B. 2-C.2 D. 2【答案】C 【解析】 【分析】只需根据函数性质逐步得出,,A ωϕ值即可。
高考数学高考数学压轴题 三角函数与解三角形多选题分类精编附解析
高考数学高考数学压轴题 三角函数与解三角形多选题分类精编附解析一、三角函数与解三角形多选题1．如图，已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，||2πϕ≤）的图象与x 轴交于点,A B ，与y 轴交于点C ，2BC BD =，,||23OCB OA π∠==，221||3AD =.则下列说法正确的有（ ）A ．()f x 的最小正周期为12B ．6πϕ=-C ．()f x 的最大值为163D ．()f x 在区间(14,17)上单调递增【答案】ACD 【分析】由题意可得：3|sin |2A πϕω=+，sin(2)0ωϕ+=，可得A ，B ，C ，D 的坐标，根据221||3AD =，可得方程22228(1)243A sin πϕω-+=，进而解出ω，ϕ，A ．判断出结论． 【详解】由题意可得：||3||OB OC =，3sin 2A πϕω∴=+，sin(2)0ωϕ+=， (2,0)A ，(2B πω+，0)，(0,sin )C A ϕ，sin 1,22A D πϕω⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭， 221AD =，222sin 281243A πϕω⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，把|sin |(2)3A πϕω=+代入上式可得：2()2240ππωω-⨯-=，0>ω.解得6πω=，6πω∴=，可得周期212T ωπ==，sin()03πϕ∴+=，||2πϕ≤，解得3πϕ=-.可知：B 不对，3sin 263A π⎛⎫∴-=+ ⎪⎝⎭，0A >，解得163A =，函数16()sin()363f x x ππ=-，可知C 正确.()14,17x ∈ 时，52,632x ππππ⎛⎫⎛⎫-∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得：函数()f x 在()14,17x ∈单调递增. 综上可得：ACD 正确.故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是表示点,,B C D 的坐标，并利用两点间距离表示等量关系后，求解各点的坐标，问题迎刃而解.2．ABC 中，2BC =，BC 边上的中线2AD =，则下列说法正确的有（ ） A ．AB AC →→⋅为定值B ．2210AC AB += C ．co 415s A << D ．BAD ∠的最大值为30【答案】ABD 【分析】A 利用向量的加减法及向量的数量积公式运算即可，B 根据余弦定理及角的互补运算即可求值，C 利用余弦定理及基本不等式求出cos A 范围即可，D 根据余弦定理及基本不等式求出cos BAD ∠的最小值即可. 【详解】 对于A ，22413AB AC AD DB AD DB AD DB →→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⋅=+-=-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，AB AC →→∴⋅为定值，A 正确； 对于B ，cos cos ADC ADB∠=-∠2222222cos 2cos AC AB AD DC AD DC ADC AD DB AD DB ADB ∴+=+-⋅⋅∠++-⋅⋅∠2222AD DB DC =++ 2221110=⨯++=，故B 正确；对于C ，由余弦定理及基本不等式得224242122b c bc cosA bc bc bc+--=≥=-（当且仅当b c =时，等号成立）,由A 选项知cos 3bc A =，22cos cos 1133cos AA A∴≥-=-， 解得3cos 5A ≥，故C 错误； 对于D，2222213cos 4442c c BAD c c c +-+∠==≥=（当且仅当c =立），因为BAD ABD ∠<∠，所以(0,)2BAD π∠∈，又cos 2BAD ∠≥，所以BAD ∠的最大值30，D 选项正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，余弦定理，基本不等式，考查了推理能力，属于难题.3．已知函数()2sin()05,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭，且对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，3y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的图象关于原点对称 B ．函数()f x 的最小正周期为π C ．函数()f x 的图象关于直线2x π=对称D ．函数()f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】BD 【分析】由()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立可得212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，即()122k k ωππϕπ+=+∈Z ，由3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数可得()3k k ωπϕπ''+=∈Z ，即可求出2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据正弦函数的性质分别判断即可. 【详解】因为对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以2sin 21212f πωπϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即sin 112ωπϕ⎛⎫+=±⎪⎝⎭，得()122k k ωππϕπ+=+∈Z ①. 2sin 2sin 333f x x x ππωπωϕωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数，所以()3k k ωπϕπ''+=∈Z ②.由①②可得()(),3122k k k k ωπωπππ''-=--∈Z ，即()(42,)k k k k ω''=--∈Z .又05ω<<，所以1k k '-=，2ω=， 则(2,)33k k k k ππϕππ=+=-'∈'Z ，得3πϕ=，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，由于(0)0f =≠，故()f x 的图象不关于原点对称，所以A 不正确； ()f x 的最小正周期22T ππ==，所以B 正确；2sin 22sin 2sin 222333f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=-=± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 不正确；令222232k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z ，得51212k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ， 故函数() f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，所以D 正确. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查正弦型函数的性质，解题的关键是：（1）根据“对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立”得到“212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭”；（2）得到“2sin 33f x x πωπωϕ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”后，能根据“3y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭为奇函数”得到“()3k k ωπϕπ''+=∈Z ”.4．已知函数()()sin 22sin cos 644f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭R ，现给出下列四个命题，其中正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f xC ．函数()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．将函数()f x 的图象向左平移512π个单位长度，得到的函数解析式为()()2g x x =【答案】BD 【分析】首先利用三角恒等变形化简函数()23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再根据函数的性质依次判断选项，AB 选项根据解析式直接判断，C 选项可以先求23x π-的范围，再判断函数的单调性，D 选项根据平移规律直接求解平移后的解析式. 【详解】()12cos 2sin 222f x x x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭132cos 2cos 22cos 222x x x x x =--=-23x π⎫⎛=- ⎪⎝⎭，函数()f x 的周期22T ππ==，故A 不正确；B.B 正确； C.,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当52,362x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦时函数单调递减，即,412x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时函数单调递减，,124x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数单调递增，故C 不正确；D. ()23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭向左平移512π个单位长度，得到()52221232g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确. 故选：BD 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.5．已知函数22()(sin cos )2cos f x x x x =++，则（ ） A ．()f x 的最小正周期是πB ．()f x 的图像可由函数()22g x x =+的图像向左平移8π个单位而得到 C ．4x π=是()f x 的一条对称轴D ．()f x 的一个对称中心是,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】AB 【分析】首先化简函数()224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据三角函数形式的公式，以及代入的方法判断选项. 【详解】()1sin 2cos 212sin 224f x x x x π⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭，A.函数的最小正周期22T ππ==，故A 正确； B.根据图象的平移变换规律，可知函数()2sin 22g x x =+的图像向左平移8π个单位而得到()2sin 222sin 2284f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；C.当4x π=时，32444πππ⨯+=，不是函数的对称轴，故C 不正确； D.当8x π=-时，2084ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，此时函数值是2，故函数的一个对称中心应是,28π⎛⎫- ⎪⎝⎭，故D 不正确. 故选：AB 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.6．如图，已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象与x 轴交于点A ，B ，若7OB OA =，图象的一个最高点42,33D ⎛⎫⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．4πϕ=-B ．()f x 的最小正周期为4C ．()f x 一个单调增区间为24,33⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．()f x 图象的一个对称中心为5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】BCD 【分析】先利用7OB OA =设0OA x =，得到点A 处坐标，结合周期公式解得选项A 错误，再利用最高点42,33D ⎛⎫⎪⎝⎭解出0x 得到周期，求得解析式，并利用代入验证法判断单调区间和对称中心，即判断选项BCD 正确. 【详解】由7OB OA =，设0OA x =，则07OB x =，06AB x =，选项A 中，点A ()0,0x 处，()0sin 0x ωϕ+=，则00x ωϕ+=，即0x ϕω=-，0612262T x AB ϕπωω-==⋅==，解得6πϕ=-，A 错误； 选项B 中，依题意0004343D x x x x =+==，得013x =，故1,03A ⎛⎫⎪⎝⎭，最小正周期414433T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，B 正确； 选项C 中，由24T πω==，得2πω=，结合最高点42,33D ⎛⎫⎪⎝⎭，知43A =，即()4sin 326f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当24,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，,2622x ππππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的一个单调增区间，C 正确；选项D 中，53x =-时()5454sin sin 0332363f πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，D 正确.故选：BCD. 【点睛】 思路点睛：解决三角函数()sin y A ωx φ=+的图象性质，通常利用正弦函数的图象性质，采用整体代入法进行求解，或者带入验证.7．已知4παπ≤≤，32ππβ≤≤，4sin 25α=，cos()αβ+= ）A ．cos α=B ．sin cos αα-=C ．34πβα-= D ．cos cos αβ= 【答案】BC 【分析】先根据4sin 25α=，判断角α的范围，再根据cos2α求cos α； 根据平方关系，判断sin cos αα-的值；利用公式cos()cos[()2]βααβα-=+-求值，并根据角的范围判断角βα-的值；利用公式()cos βα+和()cos βα-，联合求cos cos αβ.【详解】 ①因为4παπ≤≤，所以222παπ≤≤，又4sin 205α=>，故有22παπ≤≤，42ππα≤≤，解出2231cos 22cos 1cos cos 555αααα=-=-⇒=⇒=，故A 错误； ②()21sin cos 1sin 25ααα-=-=， 由①知：42ππα≤≤，所以sin cos αα>，所以sin cos 5αα-=，故B 正确； ③由①知：42ππα≤≤，而32ππβ≤≤，所以524παβπ≤+≤，又cos()010αβ+=-<，所以5342ππαβ≤+≤，解得sin()αβ+=所以34cos()cos[()2]1051052βααβα⎛⎫⎛⎫-=+-=--+-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又因为5342ππαβ≤+≤，22ππα-≤-≤-，所以4πβαπ≤-≤，有34πβα-=，故C 正确；④由cos()cos cos sin sin 1010αβαβαβ+=-⇒-=-，由③知，cos()cos cos sin sin 2βααβαβ-=+=-，两式联立得：cos cos 10αβ=-，故D 错误． 故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是三角函数恒等变形的灵活应用，尤其是确定角的范围，根据三角函数值4sin 25α=，确定22παπ≤≤，且cos()010αβ+=-<，进一步确定5342ππαβ≤+≤，这些都是确定函数值的正负，以及角的大小的依据.8．已知函数)()lg1( 2.7)x x f x x e e e -=+-+≈⋯，若不等式(sin cos )2(sin 2)f f t θθθ+<--对任意R θ∈恒成立，则实数t 的可能取值为（ ）A ．1BC ．3D ．4【答案】CD 【分析】令)()lgx x g x x e e -=+-，则()()1f x g x =+，可判断()g x 是奇函数且单调递增，不等式可变形可得(sin cos )(sin 2)g g t θθθ+<-，所以sin cos sin 2t θθθ>++，令()sin cos sin 2h θθθθ=++，换元法求出()h θ的最大值，()max t h θ>即可. 【详解】令)()lgx x g x x e e -=+-，则()()1f x g x =+，()g x 的定义域为R ，))()()lglgx x x x g x g x x e e x e e ---+=+-++-0=，所以()()g x g x -=-，所以()g x 是奇函数， 不等式(sin cos )2(sin 2)f f t θθθ+<--等价于[](sin cos )1(sin 2)1f f t θθθ+-<---，即(sin cos )(sin 2)(sin 2)g g t g t θθθθ+<--=-，当0x >时y x =单调递增，可得)lgy x =单调递增，x y e =单调递增，x y e -=单调递减，所以)()lgx x g x x e e -=+-在()0,∞+单调递增，又因为)()lg x x g x x e e -=+-为奇函数，所以)()lgx x g x x e e -=+-在R 上单调递增，所以sin cos sin 2t θθθ+<-，即sin cos sin 2t θθθ>++， 令()sin cos sin 2h θθθθ=++，只需()max t h θ>，令sin cos m θθ⎡+=∈⎣，则21sin 2m θ=+，2sin 21m θ=-，所以()21h m m m =+-，对称轴为12m =-，所以m =()max 211h m ==，所以1t >可得实数t 的可能取值为3或4，故选：CD 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是构造函数()g x 奇函数且是增函数，将原不等式脱掉f 转化为函数恒成立问题.9．将函数cos 2y x =的图象上所有点向左平移6π个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数()y f x =的图象，则（ ） A ．()f x 的图象的对称轴方程为()62k x k Z ππ=-+∈ B ．()f x 的图象的对称中心坐标为(),0212k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ C ．()f x 的单调递增区间为()2,36k k k Z ππππ⎡⎫-+-+∈⎪⎢⎣⎭D ．()f x 的单调递减区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【答案】AC 【分析】首先根据图象平移求函数()y f x =的解析式，再根据整体代入的方法判断函数的对称性和单调区间.【详解】cos 2y x =的图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向下平移1个单位长度后得到()cos 213y f x x π⎛⎫==+- ⎪⎝⎭， 对于A ，令23x k ππ+=，解得,62k x k Z ππ=-+∈，函数的对称轴是,62k x k Z ππ=-+∈，故A 正确； 对于B ，令232x k πππ+=+，解得：,122k x k Z ππ=+∈，所以函数的对称中心,1,122k k Z ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭，故B 不正确； 对于C ，令2223k x k ππππ-+≤+≤，解得：236k x k ππ-+π≤≤-+π，所以函数的单调递增区间是2,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦，由于单点不具有单调性，所以()f x 的单调递增区间为()2,36k k k Z ππππ⎡⎫-+-+∈⎪⎢⎣⎭也正确，故C 正确； 对于D ，令2223k x k ππππ≤+≤+，解得：63k x k ππππ-+≤≤+，所以函数单调递减区间是,63k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，故D 不正确. 故选：AC【点睛】方法点睛：本题考查函数的图象变换，以及()sin y A ωx φ=+的性质，属于中档题型，()sin y A x ϕ=+的横坐标伸长（或缩短）到原来的1ω倍，得到函数的解析式是()sin y A ωx φ=+，若sin y A x ω=向右（或左）平移ϕ（0ϕ>）个单位，得到函数的解析式是()sin y A x ωϕ=-⎡⎤⎣⎦或()sin y A x ωϕ=+⎡⎤⎣⎦.10．设函数()()1sin 0222f x x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]0,π有且仅有3个零点，则（ ）A ．在()0,π上存在1x 、2x ，满足()()122f x f x -=B ．()f x 在()0,π有且仅有1个最小值点C ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增D ．ω的取值范围是1723,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】AD【分析】 化简函数()f x 的解析式为()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令6t x πω=+，由[]0,x π∈可求得,66t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数sin ,066y t t ππωπω⎛⎫=≤≤+> ⎪⎝⎭的图象，可判断AB 选项的正误；由图象得出346ππωππ≤+<可判断D 选项的正误；取3ω=，利用正弦型函数的单调性可判断C 选项的正误.【详解】 ()3131sin sin sin cos sin 222226f x x x x x x ππωωωωω⎛⎫⎛⎫=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当[]0,x π∈时，,666x πππωωπ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，令6t x πω=+，则,66t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦， 作出函数sin ,066y t t ππωπω⎛⎫=≤≤+> ⎪⎝⎭的图象如下图所示：对于A 选项，由图象可知，max 1y =，min 1y =-，所以，在()0,π上存在1x 、2x ，满足()()122f x f x -=，A 选项正确；对于B 选项，()f x 在()0,π上有1个或2个最小值点，B 选项错误；对于D 选项，由于函数()f x 在[]0,π有且仅有3个零点，则346ππωππ≤+<，解得172366ω≤<，D 选项正确； 对于C 选项，由于172366ω≤<，取3ω=，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，53663x πππ<+<，此时，函数()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，C 选项错误. 故选：AD.【点睛】 关键点点睛：本题考查利用正弦型函数在区间上的零点个数判断正弦型函数的基本性质，解本题的关键在于换元6t x πω=+，将问题转化为函数sin y t =在区间,66ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的零点个数问题，数形结合来求解.。
十年真题(2010-2019)高考数学(理)分类汇编专题03 函数概念与基本初等函数(新课标Ⅰ卷)(解析版)
专题03函数概念与基本初等函数历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科03】已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a【解答】解：a＝log20.2＜log21＝0，b＝20.2＞20＝1，∵0＜0.20.3＜0.20＝1，∴c＝0.20.3∈（0，1），∴a＜c＜b，故选：B．2．【2018年新课标1理科09】已知函数f（），g（）＝f（）++a．若g（）存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：由g（）＝0得f（）＝﹣﹣a，作出函数f（）和y＝﹣﹣a的图象如图：当直线y＝﹣﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g（）存在2个零点，故实数a的取值范围是[﹣1，+∞），故选：C．3．【2017年新课标1理科05】函数f（）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f（﹣2）≤1的的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]【解答】解：∵函数f（）为奇函数．若f（1）＝﹣1，则f（﹣1）＝1，又∵函数f（）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（﹣2）≤1，∴f（1）≤f（﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤﹣2≤1，解得：∈[1，3]，故选：D．4．【2017年新课标1理科11】设、y、为正数，且2＝3y＝5，则（）A．2＜3y＜5 B．5＜2＜3y C．3y＜5＜2 D．3y＜2＜5 【解答】解：、y、为正数，令2＝3y＝5＝＞1．lg＞0．则，y，．∴3y，2，5．∵，．∴lg0．∴3y＜2＜5．另解：、y、为正数，令2＝3y＝5＝＞1．lg＞0．则，y，．∴1，可得2＞3y，1．可得5＞2．综上可得：5＞2＞3y．解法三：对取特殊值，也可以比较出大小关系．故选：D．5．【2016年新课标1理科08】若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．a log b c＜b log a c D．log a c＜log b c【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，∴函数f（）＝c在（0，+∞）上为增函数，故a c＞b c，故A错误；函数f（）＝c﹣1在（0，+∞）上为减函数，故a c﹣1＜b c﹣1，故ba c＜ab c，即ab c＞ba c；故B错误；log a c＜0，且log b c＜0，log a b＜1，即1，即log a c＞log b c．故D错误；0＜﹣log a c＜﹣log b c，故﹣b log a c＜﹣a log b c，即b log a c＞a log b c，即a log b c＜b log a c，故C正确；故选：C．6．【2014年新课标1理科03】设函数f（），g（）的定义域都为R，且f（）是奇函数，g（）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（）•g（）是偶函数B．|f（）|•g（）是奇函数C．f（）•|g（）|是奇函数D．|f（）•g（）|是奇函数【解答】解：∵f（）是奇函数，g（）是偶函数，∴f（﹣）＝﹣f（），g（﹣）＝g（），f（﹣）•g（﹣）＝﹣f（）•g（），故函数是奇函数，故A错误，|f（﹣）|•g（﹣）＝|f（）|•g（）为偶函数，故B错误，f（﹣）•|g（﹣）|＝﹣f（）•|g（）|是奇函数，故C正确．|f（﹣）•g（﹣）|＝|f（）•g（）|为偶函数，故D错误，故选：C．7．【2014年新课标1理科06】如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为的函数f （），则y＝f（）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：在直角三角形OMP中，OP＝1，∠POM＝，则OM＝|cos|，∴点M到直线OP的距离表示为的函数f（）＝OM|sin|＝|cos|•|sin||sin2|，其周期为T，最大值为，最小值为0，故选：C．8．【2013年新课标1理科11】已知函数f（），若|f（）|≥a，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．[﹣2，1] D．[﹣2，0]【解答】解：由题意可作出函数y＝|f（）|的图象，和函数y＝a的图象，由图象可知：函数y＝a的图象为过原点的直线，当直线介于l和轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y＝|f（）|在第二象限的部分解析式为y＝2﹣2，求其导数可得y′＝2﹣2，因为≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y＝a的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D．9．【2011年新课标1理科02】下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y＝23B．y＝||+1 C．y＝﹣2+4 D．y＝2﹣||【解答】解：对于A．y＝23，由f（﹣）＝﹣23＝﹣f（），为奇函数，故排除A；对于B．y＝||+1，由f（﹣）＝|﹣|+1＝f（），为偶函数，当＞0时，y＝+1，是增函数，故B正确；对于C．y＝﹣2+4，有f（﹣）＝f（），是偶函数，但＞0时为减函数，故排除C；对于D．y＝2﹣||，有f（﹣）＝f（），是偶函数，当＞0时，y＝2﹣，为减函数，故排除D．故选：B．10．【2011年新课标1理科12】函数y的图象与函数y＝2sinπ，（﹣2≤≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．8 B．6 C．4 D．2【解答】解：函数y1，y2＝2sinπ的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，如图，当1＜≤4时，y1＜0而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在（1，）和（，）上是减函数；在（，）和（，4）上是增函数．∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D且：A+H＝B+G＝C+F＝D+E＝2，故所求的横坐标之和为8．故选：A．11．【2010年新课标1理科04】如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，），角速度为1，那么点P到轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：通过分析可知当t＝0时，点P到轴距离d为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P在轴上此时点P到轴距离d为0，排除答案B，故选：C．12．【2010年新课标1理科08】设偶函数f（）满足f（）＝2﹣4（≥0），则{|f（﹣2）＞0}＝（）A．{|＜﹣2或＞4} B．{|＜0或＞4} C．{|＜0或＞6} D．{|＜﹣2或＞2}【解答】解：由偶函数f（）满足f（）＝2﹣4（≥0），可得f（）＝f（||）＝2||﹣4，则f（﹣2）＝f（|﹣2|）＝2|﹣2|﹣4，要使f（|﹣2|）＞0，只需2|﹣2|﹣4＞0，|﹣2|＞2解得＞4，或＜0．应选：B．13．【2010年新课标1理科11】已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）＝f （b）＝f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）【解答】解：作出函数f（）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab＝1，则abc＝c∈（10，12）．故选：C．14．【2015年新课标1理科13】若函数f（）＝ln（）为偶函数，则a＝．【解答】解：∵f（）＝ln（）为偶函数，∴f（﹣）＝f（），∴（﹣）ln（﹣）＝ln（），∴﹣ln（﹣）＝ln（），∴ln（﹣）+ln（）＝0，∴ln（）（）＝0，∴lna＝0，∴a＝1．故答案为：1．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：函数，函数的单调性与最值，函数的奇偶性与周期性，幂函数与二次函数，指数函数，对数函数，分段函数，函数的图象，函数与方程等.历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：函数的单调性与最值，函数的奇偶性与周期性，指数函数，对数函数，分段函数，函数的图象，函数与方程等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点函数的单调性与最值，函数的奇偶性与周期性，指数函数，对数函数，分段函数，函数的图象，函数与方程等为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知()21f x ax bx =-+是定义域为[a ，a +1]的偶函数，则2b a a -＝（ ）A ．0B ．34C D ．4【答案】B 【解析】∵f （）在[a ，a +1]上是偶函数， ∴﹣a ＝a +1⇒a 12=-， 所以f （）的定义域为[12-，12]， 故：f （）12=-2﹣b +1， ∵f （）在区间[12-，12]上是偶函数，有f （12-）＝f （12），代入解析式可解得：b ＝0；∴2b a a -13144=-=．故选：B ．2．已知函数()y f x =的定义域为R ,)1(+x f 为偶函数,且对121x x ∀<≤,满足()()01212<--x x x f x f .若(3)1f =,则不等式()2log 1f x <的解集为（ ）A ．1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．)8,1(C ．10,(8,)2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．(,1)(8,)-∞⋃+∞【答案】A 【解析】因为对121x x ∀<≤,满足()()01212<--x x x f x f ，所以()y f x =当1≤x 时，是单调递减函数，又因为)1(+x f 为偶函数，所以()y f x =关于1x =对称，所以函数()y f x =当1>x 时，是增函数，又因为(3)1f =，所以有1)1(=-f ，当2log 1x ≤时，即当02x <≤时，()()222log 1log (11log 2221)1f x f x x x x f <⇒<-⇒>-⇒>∴<≤当2log 1x >时，即当2x >时，()()222log 1log (3)log 3828x x f x f x f x <⇒<⇒∴<<⇒<<，综上所述：不等式()2log 1f x <的解集为1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭，故本题选A.3．函数22()log (34)f x x x =--的单调减区间为（ ）A ．(,1)-∞-B ．3(,)2-∞-C ．3(,)2+∞D ．(4,)+∞【答案】A 【解析】函数()()22log 34f x x x =--,所以 2340(4)(1)04x x x x x -->⇒-+>⇒>或1x <-，所以函数()f x 的定义域为4x >或1x <-，234y x x =--当3(,)2-∞时，函数是单调递减，而1x <-，所以函数()()22log 34f x x x =--的单调减区间为(),1-∞-，故本题选A 。
十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题07 解三角形 无答案原卷版
十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题07 解三角形一、选择题1.(2019·全国1·文T11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-,则=()A.6B.5C.4D.32.(2018·全国2·理T6文T7)在△ABC中,cos,BC=1,AC=5,则AB=()A.4B.C.D.23.(2018·全国3·理T 9文T 11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C=()A. B.C. D.4.(2017·山东·理T9)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin AcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是( )A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A5.(2017·全国1·文T11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cosC)=0,a=2,c=,则C=()A. B. C. D.6.(2016·全国3·理T8)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A=()A. B. C.- D.-7.(2016·全国3·文T9)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sin A=()A. B. C. D.8.(2016·全国1·文T4)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cos A=,则b= ()A. B. C.2 D.39.(2016·天津·理T3)在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC=( )A.1B.2C.3D.410.(2016·山东·文T8)△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A),则A=( )A. B. C. D.11.(2015·广东·文T5)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cos A=且b<c,则b=()A.3B.2C.2D.12.(2014·全国2·理T 4)钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=()A.5B.C.2D.113.(2014·四川·文T8)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于( )A.240(-1) mB.180(-1) mC.120(-1) mD.30(+1) m14.(2013·全国1·文T10)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b=( )A.10B.9C.8D.515.(2013·全国2·文T 4)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为()A.2+2B.+1C.2-2D.-1二、填空题1.(2019·全国2·理T15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=,则△ABC的面积为___________.2.(2019·全国2·文T15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinA+acosB=0,则B= .3.(2019·浙江·T14)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若∠BDC=45°,则BD= ,cos∠ABD= .4.(2018·浙江·T13)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,则sin B=___________,c=___________.5.(2018·北京·文T 14)若△ABC的面积为(a2+c2-b2),且∠C为钝角,则∠B= ________;的取值范围是.6.(2018·全国1·文T16)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsinC+csinB=4asin BsinC,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为.7.(2017·浙江·T14)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是,cos∠BDC= .8.(2017·全国3·文T15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A= .9.(2017·全国2·文T16)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acosC+ccosA,则B= .10.(2016·全国2·理T13文T15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=___________.11.(2016·北京·文T13)在△ABC中,A=,a=c,则=.12.(2015·全国1·理T16)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是.13.(2015·重庆·理T13)在△ABC中,B=120°,AB=,A的角平分线AD=,则AC=___________.14.(2015·湖北·理T13文T15)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= m.15.(2015·福建·理T12)若锐角△ABC的面积为,且AB=5,AC=8,则BC等于.16.(2015·天津·理T13)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3,b-c=2,cos A=-,则a的值为.17.(2015·安徽·文T12)在△ABC中,AB=,∠A=75°,∠B=45°,则AC= .18.(2015·福建·文T14)若△ABC中,AC=,A=45°,C=75°,则BC=___________.19.(2015·重庆·文T13)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=,3sin A=2sin B,则c= .20.(2015·北京·理T 12)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则=.21.(2014·全国1·理T 16)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sinB)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为.22.(2014·全国1·理T16)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,则山高MN=___________m.23.(2011·全国·理T16)在△ABC中,B=60°,AC=,则AB+2BC的最大值为___________.24.(2011·全国·文T 15)△ABC中,B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC的面积为.25.(2010·全国·理T16)在△ABC中,D为边BC上一点,BD=DC,∠ADB=120°,AD=2.若△ADC的面积为3-,则∠BAC= .26.(2010·全国·文T16)在△ABC中,D为BC边上一点,BC=3BD,AD=,∠ADB=135°.若AC=AB,则BD=___________.三、计算题1.(2019·全国1·理T17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.(1)求A;(2)若a+b=2c,求sin C.2.(2019·全国3·T18)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin =bsin A.(1)求B;(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.3.(2019·天津·理T15文T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asinC.(1)求cosB的值;(2)求sin（2B+）的值.4.(2019·江苏·T15)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)若a=3c,b=,cos B=,求c的值;(2)若,求sin的值.5.(2018·全国1·理T17)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB;(2)若DC=2 ,求BC.6.(2018·北京·理T15)在△ABC中,a=7,b=8,cos B=-.(1)求∠A;(2)求AC边上的高.7.(2018·天津·理T15文T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acos .(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.8.(2017·天津·理T15)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a>b,a=5,c=6,sin B=.(1)求b和sin A的值;(2)求sin的值.9.(2017·天津·文T15)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asin A=4bsin B,ac=(a2-b2-c2).(1)求cosA的值;(2)求sin(2B-A)的值.10.(2017·全国1·理T 17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为.(1)求sin BsinC;(2)若6cos BcosC=1,a=3,求△ABC的周长.11.(2017·全国2·理T17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.12.(2017·全国3·理T17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+cos A=0,a=2,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.13.(2017·北京·理T15)在△ABC中,∠A=60°,c=a.(1)求sin C的值;(2)若a=7,求△ABC的面积.14.(2017·山东·文T17)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,=-6,S△ABC=3,求A和a.15.(2016·北京·T5)在△ABC中,a2+c2=b2+ac.(1)求B的大小;(2)求cos A+cosC的最大值.16.(2016·山东·理T16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2(tan A+tan B)=.(1)证明:a+b=2c;(2)求cosC的最小值.17.(2016·天津·文T15)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin 2B=bsin A.(1)求B;(2)若cosA=,求sin C的值.18.(2016·四川·文T 18)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.(1)证明:sinAsin B=sin C;(2)若b2+c2-a2=bc,求tan B.19.(2016·浙江·文T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若cos B=,求cos C的值.20.(2016·全国1·理T17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(1)求C;(2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.21.(2016·浙江·理T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若△ABC的面积S=,求角A的大小.22.(2015·全国2·理T17)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.(1)求;(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.23.(2015·全国1·文T17)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sin AsinC.(1)若a=b,求cosB;(2)设B=90°,且a=,求△ABC的面积.24.(2015·浙江·理T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知A=,b2-a2=c2.(1)求tan C的值;(2)若△ABC的面积为3,求b的值.25.(2015·山东·理T16)设f(x)=sin xcos x-cos2.(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f=0,a=1,求△ABC面积的最大值.26.(2015·陕西·理T17)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,b)与n=(cosA,sinB)平行.(1)求A;(2)若a=,b=2,求△ABC的面积.27.(2015·江苏·理T15)在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.(1)求BC的长;(2)求sin 2C的值.28.(2015·浙江·文T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tan=2.(1)求的值;(2)若B=,a=3,求△ABC的面积.29.(2015·天津·文T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3,b-c=2,cos A=-.(1)求a和sin C的值;(2)求cos的值.30.(2015·全国2·文T17)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC.(1)求;(2)若∠BAC=60°,求∠B.31.(2015·安徽·理T16)在△ABC中,∠A=,AB=6,AC=3,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.32.(2014·全国2·文T17)四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.(1)求角C和BD;(2)求四边形ABCD的面积.33.(2014·浙江·理T18)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=,cos2A-cos2B=sin Acos A-sin Bcos B.(1)求角C的大小;(2)若sin A=,求△ABC的面积.34.(2014·辽宁·理T17)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知=2,cos B=,b=3.求:(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.35.(2014·天津·文T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a-c=b,sin B=sin C.(1)求cos A的值;(2)求cos的值.36.(2014·北京·理T15)如图,在△ABC中,∠B=,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cos ∠ADC=.(1)求sin ∠BAD;(2)求BD,AC的长.37.(2014·湖南·理T18)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.(1)求cos ∠CAD的值;(2)若cos∠BAD=-,sin ∠CBA=,求BC的长.38.(2014·湖南·文T19)如图,在平面四边形ABCD中,DA⊥AB,DE=1,EC=,EA=2,∠ADC=,∠BEC=.(1)求sin ∠CED的值;(2)求BE的长.39.(2013·全国2·理T17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB.(1)求B;(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.40.(2013·全国1·理T17)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.(1)若PB=,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.41.(2012·全国·文T 7)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c=asin C-ccosA.(1)求A;(2)若a=2,△ABC的面积为,求b,c.42.(2012·全国·理T17)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,acos C+ asin C-b-c=0.(1)求A;(2)若a=2,△ABC的面积为,求b,c.43.(2010·陕西·理T17)如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+)海里的两个观测点.现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距20海里名师精心整理助您一臂之力的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/时,该救援船到达D点需要多长时间?名师精心整理助您一臂之力11。
高考数学——三角函数和解三角形经典试题练习及解析
1 / 14高考数学 三角函数和解三角形试题及解析1、在①ac =sin 3c A =，③=c 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由、问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3sin AB ，6C π=，________?【解析】由sin 3sin A B可得：ab=不妨设(),0a b m m ==>，则：2222222cos 32c a b ab C m m m m =+-=+-⨯=，即c m =. 选择条件①的解析：据此可得：2ac m =⨯==，1m ∴=，此时1c m ==. 选择条件②的解析：据此可得：222222231cos 222b c a m m m A bc m +-+-===-，则：sin A ==sin 3c A m ==，则：c m ==选择条件③的解析： 可得1c mb m==，c b =，与条件=c 矛盾，则问题中的三角形不存在.2、在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c、已知5,a b c ===2 / 14（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求sin 24A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值。
【解析】（Ⅰ）在ABC中，由5,a b c ===222cos 22a b c C ab +-===， 又因为(0,)C π∈，所以4Cπ；（Ⅰ）在ABC 中，由4Cπ，a c ==可得sin sin a CA c===13； （Ⅰ）由a c <知角A为锐角，由sin A =cos A ==进而2125sin 22sin cos ,cos22cos 11313A A A A A ===-=，所以125sin(2)sin 2coscos2sin4441313A A A πππ+=+=+=. 【答案】（Ⅰ）4Cπ；（Ⅰ）sin 13A =；（Ⅰ）sin 2426A π⎛⎫+=⎪⎝⎭.3、在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： （Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积、3 / 14条件①：17,cos 7c A ==-； 条件②：19cos ,cos 816A B ==、 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分、【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sin C =, S = 选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sin 4C =, 4S =. 【解析】选择条件①（Ⅰ）17,cos 7c A ==-，11a b +=22222212cos (11)72(11)7()7a b c bc A a a a =+-∴=-+--⋅⋅-8a ∴=（Ⅱ）1cos (0,)sin 7A A A π=-∈∴==，由正弦定理得：7sin sin sin sin 2a c C A C C ==∴=11sin (118)822S ba C ==-⨯=选择条件②（Ⅰ）19cos ,cos ,(0,)816A B A B π==∈，sin A B ∴====4 / 14由正弦定理得：6sin sin a b a A B ===（Ⅱ）91sin sin()sin cos sin cos 8161684C A B A B B A =+=+=+=11sin (116)622S ba C ==-⨯=4、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222b a c ac =+-， （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若a ＝c ＝2，求△ABC 的面积； （Ⅲ）求sinA ＋sinC 的取值范围.【答案】（1）60°； （2； （3）⎝. 【解析】（Ⅰ）由.2222a c b cosB ac+-=，得12cosB =，所以3B π＝；（Ⅱ）由（Ⅰ）得1602ABCSacsin =︒=（Ⅲ）由题意得23sinA sinC sinA sin A π⎛⎫+=+-⎪⎝⎭32sinA =+6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为0＜A ＜23π，所以26A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭.5 / 14故所求的取值范围是⎝.模拟试题1、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=、 （1）求A ；（2）若b c -=，证明：△ABC 是直角三角形、 【答案】（1）3A π=；（2）证明见解析【解析】（1）因为25cos cos 24A A π⎛⎫++=⎪⎝⎭，所以25sin cos 4A A +=，即251cos cos 4A A -+=， 解得1cos 2A =，又0A π<<， 所以3A π=；（2）因为3A π=，所以2221cos 22b c a A bc +-==， 即222b c a bc +-=①，又b c -=②， 将②代入①得，()2223b c b c bc +--=， 即222250b c bc +-=，而b c >，解得2b c =，6 / 14所以a =， 故222b a c =+， 即ABC 是直角三角形、2、在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足πsin sin 3c A a C ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若ABC的面积为1a b -=，求c 和()cos 2A C -的值.【答案】（Ⅰ）3π；（Ⅱ）c =，()6os 22c 1A C -=. 【解析】（Ⅰ）由正弦定理可知：sin sin a c A C =,已知πsin sin 3c A a C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以sin sin sin (sin coscos sin )33C A A C C ππ⋅=⋅⋅+⋅，(0,)sin 0A A π∈∴≠,所以有sin tan 3C C C C π=⇒==.（Ⅱ）41sin 12,132a S ab C ab a b b =⎧=⋅=⇒=-=⇒⎨=⎩，由余弦定理可知：2222cos 13c a b ab C c =+-⋅=⇒=222cos sin 2b c a A A bc +-==⇒==,211sin 22sin cos 22cos 11313A A A A A =⋅==-=-, ()cos 2cos 2cos sin 2s 1111132i 6n 2A C A C A C -⨯=+⋅=-⋅=.7 / 143、ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=、 （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围、【答案】(1) 3B π=;(2)(82. 【解析】(1)根据题意sin sin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2A CB +=、 0<B π<，02AC π+<<因为故2A C B +=或者2A CB π++=，而根据题意A BC π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=. (2)因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=， 故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =， 由三角形面积公式有：222sin()111sin 3sin sin sin 222sin sin ABCC a A Sac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅=22sin cos cos sin 2123133(sin cos )4sin 43tan 38tan 8C C C C C ππππ-=⋅=-=+.又因,tan 62C C ππ<<>318tan C <+<8 / 14ABCS <<. 故ABCS的取值范围是,)824、在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且sin a b C +=、 （1）求角A 的大小；（2）若等差数列{}n a 的公差不为零，1sin 1a A =，且2a 、4a 、8a 成等比数列，求14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S 、【答案】（1）6π；（2）1n n + 【解析】Ⅰ1）由得，所以又（2）设的公差为，由（1）得，且，Ⅰ、又ⅠⅠⅠⅠ、ⅠⅠ5、在△ABC中，a=c=，________.（补充条件）（1）求△ABC的面积；（2）求sin（A+B）.从①b＝4，②cosB=，③sinA=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.【答案】详见解析【解析】选择①（1）在△ABC中，因为a=c=，b＝4，由余弦定理得22222a b ccosCab+-===，因为C∈（0，π），所以2sinC==，所以1142222S absinC==⨯=.（2）在△ABC中，A+B＝π﹣C.所以()2sin A B sinC+==.选择②（1）因为cosB=，B∈（0，π），所以sinB==，因为a=c=11222S acsinB===.9/ 1410 / 14（2）因为a =c =，cosB =， 由b 2＝a 2+c 2﹣2accosB，得222216b ⎛=+-= ⎝⎭，解得b ＝4，由sin sin bc BC ，解得2sinC =， 在△ABC 中，A +B ＝π﹣C ，()sin A B sinC +==. 选择③依题意，A为锐角，由sinA =cosA ==，在△ABC中，因为a=c =cosA =， 由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bccosA，得222210b =+-， 解得b ＝2或b ＝4，（1）当b ＝2时，112122S bcsinA ==⨯=. 当b ＝4时，114222S bcsinA ==⨯=. （2）由a=c=，10sinA =，a c sinA sinC=，得2sinC =，11 / 14在△ABC 中，A +B ＝π﹣C ，()sin A B sinC +==. 7、在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，并且222b c a bc +-=.（1）已知_______________，计算ABC 的面积；请①a =2b =，③sin 2sin C B =这三个条件中任选两个，将问题（1）补充完整，并作答.注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分.（2）求cos cos B C +的最大值.【答案】（1）见解析（2）1【解析】（1）若选②2b =，③sin 2sin C B =、sin 2sin C B =，24c b ∴==，222b c a bc +=+，2221cos 22b c a A bc +-∴==， 又(0,)A π∈，3A π∴=、ABC ∆∴的面积11sin 24222S bc A ==⨯⨯⨯= 若选①a =②2b =、由222b c a bc +=+可得3c =，222b c a bc +=+，2221cos 22b c a A bc +-∴==， 又(0,)A π∈，12 / 14 3A π∴=、ABC ∆∴的面积11sin 2322S bc A ==⨯⨯=、 若选①a =③sin 2sin C B =sin 2sin C B =，2c b ∴=，又222b c a bc +=+，222472b b b ∴+=+，可得b =，c =ABC ∆∴的面积11sin 22MBC S bc A ===、 （2）3A π=1cos cos cos cos[()]cos cos()cos cos 332B C B B B B B B B πππ∴+=+-+=-+=-1cos sin()26B B B π==+ 203B π<<， 5366B πππ∴<+< ∴当3B π=时，sin()cos cos 6B B C π+=+有最大值1、 8、已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，5a b +=，3c =，________.是否存在以a ，b ，c 为边的三角形？如果存在，求出ABC 的面积；若不存在，说明理由.从①1cos 3C =；②1cos 3=-C；③sin 3C =这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.13 / 14【答案】详见解析【解析】若选取条件①1cos 3C =，此时sin 3C ==， 因为5a b +=，所以()2222252a b a b ab ab +=+-=-， 由余弦定理，22225291cos 223a b c ab C ab ab +---===，解得6ab =， 则22252613a b +=-⨯=，所以()222213121a b a b ab -=+-=-=， 所以1a b -=±，又5a b +=，解得32a b =⎧⎨=⎩或者23a b =⎧⎨=⎩， 所以存在以a ，b ，c为边的三角形，其面积为12323ABCS =⨯⨯⨯=若选取条件②1cos 3=-C ， 因为5a b +=，所以()2222252a b a b ab ab +=+-=-， 由余弦定理，22225291cos 223a b c ab C ab ab +---===-，解得12ab =， 则22252121a b +=-⨯=，所以()22221240a b a b ab -=+-=-<，显然不成立，所以不存在以a ，b ，c 为边的三角形.若选取条件③sin C =，得1cos 3C =±， 由选取条件①可知，当1cos 3C =时，存在以a ，b ，c为边的三角形，其面积为ABC S =14 / 14由选取条件②可知，当1cos 3=-C 时，不存在以a ，b ，c 为边的三角形. 9、在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile 的速度沿南偏东75°方向前进，若侦察艇以每小时14 n mile 的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇、若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值、【解析】如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇，则AC Ⅰ14x ⅠBC Ⅰ10x ⅠⅠABC Ⅰ120°.根据余弦定理得(14x )2Ⅰ122Ⅰ(10x )2Ⅰ240x cos 120°Ⅰ解得x Ⅰ2.故AC Ⅰ28ⅠBC Ⅰ20.根据正弦定理得ⅠⅠ解得sin αⅠⅠ.所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为.。