2016-2020年高考数学分类汇编平面向量
2016-2020年高考数学分类汇编：专题6平面向量
全国1
【2020全国1卷文14】设向量(1,1)a
，(1,24)bmm
，则ab
，则𝑚=__________.
【答案】5
【解析】∵𝑎⃗=(1,−1),𝑏⃗⃗
=(m+1,2m-4)，由𝑎⃗⊥𝑏⃗⃗
可得𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗
=0，即𝑚+1+(−1)⋅(2𝑚−
4)=0，解得5m
【2020全国1卷理14】设a
, b
为单位向量，且1ab
，则ab
______________.
【答案】
√3
【解析】
|𝑎⃗+𝑏⃗⃗
|=1，令
|𝑎⃗−𝑏⃗⃗
|=𝑥(𝑥>0)两式平方得:
𝑎⃗2
+𝑏⃗⃗
2
+2𝑎⃗∙𝑏⃗⃗
=1 ①
𝑎⃗2
+𝑏⃗⃗
2
−2𝑎⃗∙𝑏⃗⃗
=𝑥2 ②
①+
②：
4=𝑥2
+1⟹𝑥=
√3
【2019全国1卷理7文8】已知非零向量a,
b满足=2ab
,
且
abb
,
则a与b的夹角
为 江苏山东海南
文科理科文科理科文科理科文科理科文科理科文科理科文科理科文\理文\理文\理
题号1414313661373
题型填填选填选选填选选
分值555555555
题号8737131397141412
题型选选选选填填选选填填填
分值55555555555
题号7641313968812
题型选选选填填填选选选填
分值5555555554
题号13412131275131312,13,16
题型填选选填选选选填填填解
分值55555555522
题号13131313394712151513
题型填填填选选选填选选选填填填
分值555555555544417
填
42020
20191117
填填
5613
填
515
填
512
填
5
解填
1482018
2017
2016
考纲解读 平面向量
1.平面向量的实际背景及基本概念 (1)了解向量的实际背景. (2)理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义. (3)理解向量的几何表示.
2.向量的线性运算 (1)掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义. (2)掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义. (3)了
解向量线性运算的性质及其几何意义.
3.平面向量的基本定理及坐标表示 (1)了解平面向量的基本定理及其意义. (2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. (3)会用坐标表示平面
向量的加法、减法与数乘运算. (4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
4.平面向量的数量积 (1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义. (2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系. (3)掌握数量积的坐标表达
式,会进行平面向量数量积的运算. (4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
5.向量的应用 (1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. (2)会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题
命题趋势以选择,填空形式出现.难度属于容易题或中档题.重点考查平面向量基本定理,共线向量,垂直,夹角,模长以及平面向量数量积的运算等内容.常
结合圆锥曲线解三角形以及一些平面简单几何知识等知识进行考查.细目全国Ⅰ全国Ⅱ全国Ⅲ北京上海浙江天津
89
填选
44
2010,15A.
6
B.
3
C. 2
3
D. 5
6
【答案】B
【解析】2200cos0abbabbabbabb
221
2cos0cos
23bb
,故选B
.
【2018全国1卷理6文7】在ABC
中,AD
为BC
边上的中线,E
为AD的中点,则EB
=
A.ACAB4143
B.ACAB
43
41
C.ACAB
41
43
D.ACAB
43
41
【答案】A
【解析】
ABADABEAEB21
,故选A
【2017全国1卷理13】已知向量ba,
的夹角为
60，2a，1b
，则2ab .
【答案】：32
【解析】：3244444)2(222
2bbaababa
【2017全国1卷文13】已知向量a=（-1，2），b
=（m，1），若向量ba
与a
垂直，则m
= 。
【答案】：7
【解析】：)3,1(mba
向量垂直则有0)(aba
023)1)(1m（
。
【2016全国1卷理13】设向量)1,(ma
，)2,1(b
，且222
baba
，则m= . 【答案】：-2
【解析】： 由已知得：
1,3abm ∴2222
22222
13112ababmm
，解得2m．
【2016全国1卷文13】设向量)1,(xxa，)2,1(b
,且ba
，则x
= .
【答案】
32
【解析】试题分析：由题意，
32
0230xxbaba
.
全国2
【2020全国2卷理13】已知单位向量,abrr
的夹角为45°，kabrr
与ar
垂直，则𝑘=
______________.
【答 案】2
2
【解 析】由题意可得：
2
0cos45=0kabakaab
因为
,abr
r都是单位向量，所以1abrr
==
，上式2
0
2k=-=，所以2
2k=
【2020全国2卷文5】已知单位向量𝑎，
𝑏的夹角为60°,则在下列向量中，与𝑏垂直的是
A.𝑎+2𝑏 B.2𝑎+𝑏 C.𝑎−2𝑏 D.2𝑎−𝑏
【答案】D 【解析】
设向量bnam
与b
垂直，
故而
0
21
60cos2
nmbnbambbnam
。
【2019全国2卷理3】已知
2,3AB
，
3,ACt，1
BC
，则=ABBC
（ ）
.3A
.2B
.2C
.3D
【答案】：C 【解析】：
2(2,3),(3,)(1,3)11(3)13(1,0)
21302ABBCtBCACABtBCttBC
ABBC
选C
【2019全国2卷文3】已知向量
2,3a
，
3,2b
，则ab
A. 2
B.2 C.52
D.50
【答案】A
【解析】
1,1ab
，所以2
2
112ab
，故选A.
【2018全国2卷文4】已知向量a, b满足|a|=1,a·b=-1,则a·（2a-b）=
A. 4 B. 3 C. 2 D.0
【答案】B
【解析】22213aabaaab
【2017全国2卷文4】设非零向量a,b满足a+b=a-b
则
A.a
b B. a=b
C.a∥b D. ab
【答案】A 【解析】
2222
||||220ababaabbaabbabab
【2016全国2卷理1】）已知(3)(1)izmm
在复平面内对应的点在第四象限，则实数
m
的取值范围是
（A
）
31，
（B
）
13，
（C
）
1,+
（D
）
3-，
【答案】A
【解析】∴30m
，10m
，∴31m
，故选A．
【2016全国2卷文13】已知向量a=(m,4)，b=(3,-2)，且a∥b，则m=___________.
【答案】-6
【解析】因为a∥b，所以
2430m，解得
6m．
全国3
1.【2016全国3卷理3】设集合13
(,)
22BA，
31
(,)
22BC
，则ABC
（ ）
A. 0
30
B. 0
45
C. 0
60
D.0120
【答案】A
【解析
】
由题意，得13313
2222
cos
112
||||BABC
ABC
BABC
，所以0
30ABC
，
故选A．
2.【2016全国3卷文3】设集合13
(,)
22BA
，31
(,)
22BC
，则ABC
（ ）
全国卷历年高考平面向量真题归类分析
1 全国卷历年高考平面向量真题归类分析
（2015年-2019年共14套）
一、代数运算（3题）
1.(2015全国2卷13)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ= .
解：因为向量λa+b与a+2b平行,所以λa+b=k(a+2b),则所以．答案:
2.（2017全国1卷13）已知向量，的夹角为，， ，则
.
解解
，所以.
3.（2018全国2卷4）已知向量，满足，，则
A. 4 B. 3 C. 2 D. 0
解：因为所以选B.
4.（2019全国1卷7）已知非零向量a，b满足a=2b，且（a–b）b，则a与b的夹角为
A. π6
B. π3 C. 2π3 D. 5π6
解：因为()abb，所以2()abbabb=0，所以2abb，所以cos=22||12||2abbabb，所以a与b的夹角为3，故选B．
【归类分析】这类题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．解决问题的关键是熟悉公式及运算法则，求夹角公式为：121222221122cosxxyyababxyxy，注意向量夹角范围为[0,]．求模长则利用公式22aaaa转化为向量数量积运算，注意运算结果开平方才是模长．这类题基本解题思路如下： 12,kk，1212ab602a1b2ab22222(2)22cos602ababaabb2212222224441221223ab解题思路及步骤 注意事项
确定基底 一般选择已知模长及夹角大小的两个不共线向量作为基底
用基底表示 所有相关向量统一用同一个基底表示
向量运算解题 常用公式22aaaa求模，模长记得开平方 2 二、几何运算（3题）
高考数学压轴专题最新备战高考《平面向量》真题汇编含答案解析
新数学复习题《平面向量》专题解析
一、选择题
1．设双曲线222210,0xyabab的右焦点为F，过点F作x轴的垂线交两渐近线于,AB两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若,OPOAOBRuuuvuuuvuuuv，225+=8，则双曲线的离心率为（
）
A．233 B．355 C．322 D．98
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据已知求出,u，再代入225+=8求出双曲线的离心率.
【详解】
由题得双曲线的渐近线方程为byxa，设F(c,0)，则2(,),(,),(,),bcbcbAcBcPcaaa
因为,OPOAOBRuuuvuuuvuuuv，所以2(,)((),())bbccucuaa.
所以,,bucuc
解之得,.22bccbucc
因为225+=8，所以22522()(),3,3.22833bccbcecca
故答案为A
【点睛】
本题主要考查双曲线的几何性质和离心率的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.解答本题的关键是根据,OPOAOBRuuuvuuuvuuuv求出,u.
2．在ABCV中，E是AC的中点，3BCBFuuuruuur，若ABauuurr，ACbuuurr，则EFuuur（ ）
A．2136abrr B．1133abrr C．1124ab+rr D．1133abrr 【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量的运算法则计算得到答案.
【详解】
1223EFECCFACCBuuuruuuruuuruuuruuur12212336ACABACABACuuuruuuruuuruuuruuur2136abrr.
故选：A.
【点睛】
本题考查了向量的基本定理，意在考查学生的计算能力和转化能力.
高考数学历年(2018-2022)真题按知识点分类(平面向量)练习(附答案)
高考数学历年（2018-2022）真题按知识点分类（平面向量）练习
一、单选题
1．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）在ABC
中，点D在边AB上，2BDDA．记
CAmCDn
，，
则
CB
（
）
A．32mn
B．23mn
C．32mn
D．23mn
2．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知向量,ab
满足||1,||3,|2|3abab
，则
ab
（
）
A．2 B．
1 C．1 D．2
3．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知向量(3,4),(1,0),t
abcab，若,,
acbc，
则t
（
）
A．6 B．5 C．5 D．6
4．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知向量(2,1)(2,4)ab
，
，则abrr
（
）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2022ꞏ北京ꞏ统考高考真题）在ABC
中，3,4,90ACBCC
．P为ABC
所在
平面内的动点，且1PC，则
PAPB
的取值范围是（
）
A．[5,3]
B．[3,5]
C．[6,4]
D．[4,6]
6．（2021ꞏ浙江ꞏ统考高考真题）已知非零向量,,abc
，则“
acbc
”是“
ab
”的（
）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
7．（2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知向量 a
，
b
满足||5a
，
||6b
，
6ab
，则
cos,=aab
（ ）
A．31
35 B．19
35 C．17
35 D．19
35
8．（2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知单位向量
a
，
b
的夹角为60°，则在下列向量中，与
b
垂直的是（
）
A．
2ab
B．
2ab
C．
2ab
D．
2ab
第六章 平面向量及其应用(公式、定理、结论图表)--2023年高考数学必背知识手册(新教材)
第六章平面向量及其应用（公式、定理、结论图表）
1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算向量运
算定义法则(或几何意义)运算律
加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：(a＋b)＋c＝a
＋(b＋c)
减法求a与b的相反向量
－b的和的运算a－b＝a＋(－b)
数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，
λa与a的方向相同；
当λ<0时，λa与a
的方向相反；
当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μ_a；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.两个向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．
4．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，
λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
5．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21．
(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→
＝(x2－x1，y2－y1)，
|AB→|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2．
6．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．
【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 向量(精解精析)
2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 向量（精解精析）
一、选择题
1．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知向量a，b满足||5a，||6b，6ab，则cos,=aab ( )
A．3135 B．1935 C．1735 D．1935
【答案】D
解析：5a，6b，6ab，225619aabaab．
22222526367ababaabb，
因此，1919cos,5735aabaabaab．
故选：D．
【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题．
2．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知2,3AB，3,ACt，1BC，则ABBC ( )
A．3
B．2 C．2 D．3
【答案】C
【解析】∵2,3AB，3,ACt，∴1,3BCACABt,∴22131BCt，解得3t，
即1,0BC，则ABBC2,31,021302．
【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法，利用转化与化归思想解题．本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．学生易在处理向量的法则运算和坐标运算处出错，借助向量的模的公式得到向量的坐标，然后计算向量数量积．
3．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知非零向量a，b满足2ab，且abb，则a与b的夹角为 ( ) A．6 B．3 C．23 D．56
【答案】B
解析：222,0,abbabbabbabbb，所以221cos,22babababb，
所以,3ab．
4．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为512
2020版高考数学大一轮复习-第1节平面向量的概念及线性运算讲义(理)(含解析)新人教A版
1 第1节 平面向量的概念及线性运算
考试要求 1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的意义和两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示和基本要素；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
知 识 梳 理
1.向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模).
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行.
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.
2.向量的线性运算
向量运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算
(1)交换律：
a＋b＝b＋a.
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向λ(μa)＝λμa；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb 2 相反；当λ＝0时，λa＝0
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
[微点提醒]
1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A1A2→＋A2A3→＋A3A4→＋…＋An－1An＝A1An→，特别地， 一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.
2.若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP→＝12(OA→＋OB→).
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
2024全国高考真题数学汇编：平面向量及其应用章节综合
第1页/共10
页2024全国高考真题数学汇编
平面向量及其应用章节综合
一、单选题
1．（
2024全国高考真题）已知向量
,ab
满足1,22aab
，且
2bab
，则b
（）
A．1
2B
．2
2C．3
2D．
1
2．（
2024全国高考真题）已知向量
(0,1),(2,)abx
，若
(4)bba
，则x
（）
A．
2B．
1C．
1D．
2
3．（
2024全国高考真题）设向量
1,,,2axxbx
，则（）
A．
“3x
”是
“
ab
”的必要条件
B．
“3x
”是
“
//ab
”的必要条件
C．
“0x
”是
“
ab
”的充分条件
D．“
13x”是
“
//ab
”的充分条件
4．（
2024全国高考真题）在ABC中
,内角,,ABC
所对的边分别为,,abc
，若π
3B，29
4bac
，则sinsinAC
（）
A．239
13B．39
13C．7
2D．313
13
5．（
2024北京高考真题）设
a
，b
是向量，则
“
·0abab
”是
“
ab
或ab
”的（）．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二、填空题
6．（
2024上海高考真题）已知
,2,5,6,kabkR
，且//ab
，则k的值为．
7．（
2024天津高考真题）在边长为
1的正方形ABCD中，点
E为线段
CD的三等分点，
1
,
2CEDEBEBABCuuruuruuur
，则
；
F为线段
BE上的动点，G为
AF中点，则AFDG
的最小值为．
三、解答题
8．（2024天津高考真题）在ABC中，角,,ABC
所对的边分别为,,abc，已知92
cos5
163a
Bb
c，，．
(1)求a
；
(2)求sinA
；
(3)求
cos2BA
的值．
第2页/共10页9．（
2024全国高考真题）记ABC的内角
A，
B，
C的对边分别为
a，
b，
高中数学平面向量专题复习(知识要点+六大考试题型详解)pdf版
[平面向量]
1 | 26
平面向量六大题型
知识点：
1．向量的有关概念
（1）定义：即有大小，又有方向的量叫做向量．
（2）表示：
图形表示
字母表示
a
AB
坐标表示
(,)OAxy
2121(,)ABxxyy
（3）向量的长度（模）：a或AB的模记作||a
或||AB
．
（4）几种特殊向量：
特殊向量 定义 备注
零向量 长度为0的向量
记作0，方向任意
单位向量 长度等于1个单位的向量
||a
a即为单位向量
平行向量 方向相同或相反的非零向量（也
叫共线向量） 记为ab∥
，规定0与任意向量共线
相等向量 长度相等方向相同的向量 记为ab，相等一定平行，平行不
一定相等
相反向量 长度相等方向相反的向量
ab，ABBA
[平面向量]
2 | 26
2．向量的运算 运算 几何表示 字母表示 坐标表示
加法 abABBCAC
三角形法则
类比“位移之和”
首尾相连，首位连
11(,)axy
，
22(,)bxy
1212(,)abxxyy
abABADAC
平行四边形法则
类比“力的合成”
共起点，对角线
减法
abABACCB
共起点，后指前 11(,)axy
，
22(,)bxy
1212(,)abxxyy
数乘
长度变为||
倍
0
，方向相同
0
，方向相反
0
，0a
11(,)axy
12(,)axx
数量积
||||cosabab
11(,)axy
，
22(,)bxy
1212abxxyy
3．其他概念
（1）平面向量基本定理：如果
1e
，
2e
是同一平面内的两个不共线向
量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数
1，
2
，
使
1122aee
，我们把不共线的向量
1e
，
2e
叫做表示这一平面内所
有向量的一组基底．
（2）投影：||cos(||cos)ab
叫做向量a
在b
方向上（b
在a
方向
2022届全国高考数学真题分类(平面向量)汇编(附答案)
2022届全国高考数学真题分类（平面向量）汇编
一、选择题
1.（2022∙全国乙（文）T3） 已知向量(2,1)(2,4)ab
，
，则abrr
（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2.（2022∙全国乙（理）T3） 已知向量,ab
满足||1,||3,|2|3abab
，则ab
（ ）
A.
2 B.
1 C. 1 D. 2
3.（2022∙新高考
Ⅰ卷T3） 在ABC
中，点D在边AB上，2BDDA
．记CAmCDn
，，
则CB
（ ）
A. 32mn
B. 23mn
C. 32mn
D.
23mn
4.（2022∙新高考
Ⅱ卷T4） 已知(3,4),(1,0),t
abcab
，若,,
acbc
，则t
（ ）
A. 6
B. 5 C. 5 D. 6
二、填空题
1.（2022∙全国甲（文）T13） 已知向量(,3),(1,1)ambm
．若
ab
，则m
______________．
2.（2022∙全国甲（理）T13） 设向量a
，b的夹角的余弦值为1
3
，且1a
，3br
，则
2abb
_________．
参考答案
一、选择题
1.【答案】D
【答案解析】
【名师分析】先求得
ab
，然后求得abrr
.
【答案详解】因为
2,12,44,3ab
，所以
2
2
435
ab
.
故选：D
2.【答案】C
【答案解析】
【名师分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【答案详解】解：
∵2
22
|2|||44
abaabb
，
又
∵||1,||3,|2|3,
abab
∴91443134
abab，
∴1ab
故选：C.
3. 【答案】B
2020高考知识点25 平面向量的数量积—人教A版高考数学自编知识点复习讲义
知识点25、平面向量的数量积
数量积的概念 已知两个非零向量a与b，我们把数量 ||a||bcosθ 叫做a与b的数量积(或内积)，
记作a·b ，即 a·b＝||a||bcosθ ，其中θ是a与b的夹角，
说明：|a|cosθ(或|b|cosθ)叫向量a在b方向(b在a方向)的 投影
数量积的运算律及常用结论
(1)数量积的运算律
①交换律：a·b＝b·a；
②数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
③分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
(2)常用结论
①(a±b)2＝a2±2a·b＋b2 ；②(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
数量积的性质 设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则
① e·a＝|a|cosθ .
② a⊥b⇔a·b＝0 （掌握）.
③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b| .
特别地，a·a＝|a|2或||a＝a·a .（掌握） ④ cosθ＝a·b|a||b| （掌握）
数量积的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
① a·b＝x1x2＋y1y2；a2＝x21＋y21；||a＝x21＋y21
② a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0
类型一 数量积的定义及几何意义
【例1】、若a，b，c均为非零向量，则下列说法正确的是____________．(填写序号即可)
①a·b＝±||a·||b⇔a∥b；
②a⊥b⇔a·b＝0；
③a·c＝b·c⇔a＝b；
④(a·b)·c＝a·(b·c)．
【解析】：a·b＝||a||bcosθ，θ为a，b的夹角，则cosθ＝±1，①正确；②显然正确；③错误，如a＝－b，a⊥c，则a·c＝b·c＝0，但a≠b；④错误，因为数量积的运算结果是一个数，即等式左边为c的倍数，等式右边为a的倍数．故填①②.
【例2】 已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量AB→在CD→方向上的投影为 ( )