第六节 四格表资料的确切概率法
四格表统计中该用Fisher确切概率法还是卡方检验？
四格表统计中该用Fisher确切概率法还是卡方检验？前段时间帮一位朋友处理了一篇论文的数据，遇见一个比较典型的问题，与大家分享下。
为便于说明情况，我将这位朋友做的课题简要介绍下：比较两种方法（方法A和方法B）治疗某种疾病的效果，设计的细节就不再赘述了。
最终研究者发现29例患者接受了A法治疗，15例有效；27位患者接受了B法治疗，21位有效。
如下表所示：对于此类数据的处理，相信大多数同行都会异口同声地说应该用卡方检验。
的确，这种典型的四格表，且没有任何配对设计的元素，理论上讲是可以用卡方检验观察两个变量之间是否有关联的。
经卡方检验后，得出P等0.042（具体的过程略，感兴趣者可阅读后续章节中关于如何在GraphPad Prism中进行卡方检验的内容）。
于是研究者认定：B法优于A法！这个结论看起来是成立的，但事实真是如此吗？如果我们换一种统计方法，用Fisher确切概率法，会得到什么结果呢？笔者算了一下，P=0.054。
这下问题来了：卡方检验和Fisher 确切概率法的结果，该取哪一个呢？统计学教科书上通常会说：如果总样本量大于40，最小理论频数大于5，就应该用卡方检验；如果总样本量大于40，最小理论频数介于1和5之间，就应该使用卡方检验的校正公式；如果总样本量小于40，或（注意这个或字）最小理论频数小于1，就应该用Fisher确切概率法。
在本案例中，总样本量为56，最小理论频数为：27×20/56=9.64，明显是大于5的，因此应采用卡方检验。
这里穿插一段关于最小理论频数的计算方法，实际上就是最小的横排合计数据和最小的纵列合计数据的乘积再除以总样本量。
在本案例中，横排合计数据只有两个（29和27），纵列合计数据也只有两个（36和20），总样本量是56，因此最小理论频数就是27×20/56=9.64。
在多行多列表格中寻找最小理论频数的方法与此类似。
实际上，在本案子里中，笔者认为应该采用Fisher确切概率法的结果，即两组治疗效果之间的差异无统计学意义。
第六章分类资料的统计描述
＞α，则尚无理由拒绝它。 则尚无理由拒绝它。
从公式χ 值的计算可知， 从公式 2 值的计算可知， χ2 值会随着格子 数的增加而变大， 分布与自由度有关。 数的增加而变大，即χ2 分布与自由度有关。 当自由度为1时 当自由度为 时， χ2 =3.84时P=0.05; 时 当自由度为3时 当自由度为 时， χ2 =7.81时P=0.05。 时 。 自由度计算公式： 自由度计算公式： ν=（行数-1）×（列数 ）=（R-1） × （C-1） （行数 ） 列数-1） （ ） ）
两种疗法缓解率的比较 属性 组别 缓解 单纯化疗 复合化疗 合计 2(4.8) 14(11.2) 16 未缓解 10(7.2) 14(16.8) 24 12 28 40 16.7 50.0 40.0 合计 缓解率(%) 缓解率
H0：π1= π2，即两法总体缓解率相等； 即两法总体缓解率相等； H1：π1≠ π2 ，即两法总体缓解率不等； 即两法总体缓解率不等； α=0.05
0.5
0.4
χ2 1 f (χ 2 ) = 2 2Γ(ν / 2)
(ν / 2−1)
e
−χ 2 / 2
纵 高
0.3
自由度＝1
0.2
自由度＝2 自由度＝3 自由度＝6
0.1
P＝0.05的临界值 ＝ 的临界值
0.0 0 3 3.84
12.59 15 6 7.81 9 12 卡方值
18
图7-1 不同自由度的χ2分布曲线图
χ2分布的特征： 分布的特征：
1、 χ2分布是一种连续型分布：χ2分布曲线是一 分布是一种连续型分布：
簇曲线，其形状依赖自由度的大小： 簇曲线，其形状依赖自由度的大小： （1）当自由度小于2时，曲线呈L型； 当自由度小于2 曲线呈L （2）随着自由度的增加，曲线趋向于对称； 随着自由度的增加，曲线趋向于对称； 分布趋向正态分布。 （3）自由度趋向无穷大， χ2分布趋向正态分布。 自由度趋向无穷大， 2、当自由度确定时，χ2值愈大，P值愈小；反之， 当自由度确定时， 值愈大， 值愈小；反之，
卡方检验
2 0 •查附表8 2界值表： .05(1) 3.84
(P475)
P<0.05，按α=0.05，拒绝H0，接受H1，可认为两
19
药疗效不同，A药疗效优于B药。
四格表专用公式
2 ( ad bc ) n 2 ( a b )(c d )(a c )(b d )
+ T1
T2
b
d
a
c
a+b
c+d n
式中，a、b、c、d为四格表 的四个实际频数据，N为总合计
a+c b+d
数，N=a+b+c+d。对四格表资料
与 检验公式完全等价。
2
2 ( ad bc ) n 2 (a b)(c d )(a c)(b d )
(30 49 10 11) 2 100 40 60 41 59 31.86
处理组 甲药 乙药 合计 有效人数 23 46 69 无效人数 8（3.9） 2 10 合计 31 48 79 有效率(%) 74.19 95.83 87.34
• H0： 1=2 ，即甲、乙两药疗效相同 H1： 12 ，即甲、乙两药疗效不同 α=0.05
24
• 由于，故四格表中有一格1<T<5，且n=79>40，所以 值需校正。
30
• H0:1=2=3,即三种方案有效率相同
H1:三种方案的有效率不同或不全相同
α=0.05
2 n (
i 1 j 1 R C
Ai2 j
ni m j 512 352 59 2 254 ( 100 145 80 145 74 145 49 2 452 152 1) 100 109 80 109 74 109 22.80
第七章卡方检验
第八章 χ2 检 验
分布和χ 第一节 χ2分布和χ2检验的步骤
一、 χ2分布
χ2 分布是一 种连续型随机 变量的概率分 布
图 7-1 若干χ2分布的概率密度曲线
第八章 χ2 检 验
二 、χ2检验的基本步骤
假设检验的基本步骤: 假设检验的基本步骤: 1.建立假设
H0：无效假设 H1：备择假设
2.确定检验水准α 确定检验水准α 确定检验水准 3. 选择检验方法，并计算检验统计量 选择检验方法， 4. 确定P值，作出推断结论 确定P
第八章 χ2 检 验
完全随机设计下两组频数分布的χ 第二节 完全随机设计下两组频数分布的χ2检验
多分类的情形—2 列联表（两个构成比比较） 二、多分类的情形 2×C列联表（两个构成比比较）
1986年某地城市和农村20至40岁已婚妇女避孕方法情况 年某地城市和农村20 岁已婚妇女避孕方法情况， 例7-4 1986年某地城市和农村20至40岁已婚妇女避孕方法情况， 如下表，试分析该地城市和农村避孕方法的总体分布是否有差别？ 如下表，试分析该地城市和农村避孕方法的总体分布是否有差别？ 两种疗法缓解率的比较
两种疗法缓解率的比较 组别 单纯化疗 复合化疗 合计 属性 缓解 2(4.8) 14(11.2) 16 未缓解 10(7.2) 合计 12(固定值 固定值) 固定值 缓解率(%) 缓解率 16.7 50.0 40.0
14(16.8) 28(固定值 固定值) 固定值 24 40
第八章 χ2 检 验
完全随机设计下两组频数分布的χ 第二节 完全随机设计下两组频数分布的χ2检验
2
χ =∑
2
( A− T − 0.5)
T
2
第八章 χ2 检 验
四格表卡方检验
四格表确切概率法的基本思想
在四格表周边合计固定不变的条件下，改 变某一格子的实际频数，列出a、b、c、d各种 组合的四格表，按公式8-9计算每个四格表的概 率，然后计算单侧或双侧累积概率，并与检验 水准α比较，作出是否拒绝H0的结论。
P （a b)!(c d )!(a c)!(b d )! a! b! c! d ! n!
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例8-1 用专用公式 计算 2 值：
2 (271 26 5 74)2 376 56.77 , df 1
276100 345 31
查
2界
值
表
，
2 0.05,1
3.84
下结论：
2
2 0.05,1
3.84;
P 0.05，按 0.05水准，
拒
绝H
，
0
接
受H
，
1
可
以
认
为
疗
效
四格表确切概率法系英国统计学家fisher于1934年提出又称fisher精切概率法fiserexacttest在四格表周边合计固定不变的条件下改变某一格子的实际频数列出abcd各种组合的四格表按公式89计算每个四格表的概率然后计算单侧或双侧累积概率并与检验水准比较作出是否拒绝h组别改善无效合计红花散1520安慰剂1417181937例83研究中药制剂红花散改善周围血管闭塞性病变患者的皮肤微循环状况以安慰剂作对照将37个病例随机分到两组结果如表85分析红花散的疗效
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一、卡方检验的基本思想
例8-1 对表8-1资料推断两药的疗效有无差别
H0:
1
，即两药总体有效率相等
2
由于总体有效率未知，将两组数据合并，计算合并
四格表资料精确检验法的计算程序
参 考 文 献
表 ｌ 新 ＩＮ种药物治疗某种疾病结果 比较［ Ｂ ］
１ 上海第 一医学 院卫生统计教研室 ．医学统计方法 ． １版 ．上海 ： 第
上海 科 学技 术 出版 社 ，９ ９ １ ５ １ ６ １７ ：２ ～ ２ ．
２ 宇传华 ， 徐勇勇 ．四格表精 确检验双 侧概率 计算方法 比较 ．中国
卫生统计 ， ９ ６ １ （ ）４ ￣４ ． １９ ，３ ４ ：７ ９
收 稿 日期 ：０ ９０ —１ ２ ０ —８３
作者简介 ： 毕永 （９ ０）男 ， １ ６一 ， 汉族 ， 卫生 检验 师。
＊ 陕 西省 子 长 县 人 民 医 院
子长
Ｃ ＳＯ ｆ ３ ０ Ａ Ｉ ｘ ６ ０Ｐ计 算器 ， 一 阶乘输 入范 围 ０ ｚ ９， ≤ ≤６ 置 有 ３ ８步程序存储 器 。笔者利用 Ｋ 寄存器输入变量 ， 编制 了确 切 概率 的计 算程 序 ， 在 Ｍ 寄存 器 读 取 ， 高 了工作 效 Ｐ 可 提
率。现介绍如下 ：
Ｐ （ 示 ０ ０４ ） １显 ． ２ ５ 令 ： ｎ１ ７ Ｋｉ
０ Ｋｉ ｎ２
０Ｋｉ ３ ｎ
Ｐ２
输 入 变 量
Ｘ！一 Ｉ ＮＶ） ｋ ＮＶ ｃ １Ｉ — Ｘ！× Ｋｏ ｔ４Ｉ ｕ ＮＶ ！× Ｋｏ ｔ５Ｉ Ｘ ｕ ＮＶ Ｘ！
× Ｋｏ ｔ６ Ｋｉ ＋ ５ Ｉ ｕ ｎ ＮＶ ！－ Ｕ － ｕ ＮＶ ｘ ｋ ＫＯ ｔ１ ｋ Ｋｏ ｔ５ Ｉ ｘ！
Ｌ Ｎ 状 态 Ｒ
Ｐ （ 示 ０ １３ ） １显 ． ８ ６
Ｐｌ
Ｉ Ｃ ＮＶ Ｐ Ｌ
Ｐ ２ ２ 程 序 ｜
Fisher确切概率法
第三节四格表资料的Fisher确切概率法前面提及，当四格表资料中出现久，或,或用公式(8-1)与公式(8-4)计算出工值后所得的概率巴:::二时，需改用四格表资料的Fisher确切概率(Fisher probabilities in 2 x 2 table)。
该法是由R.A.Fisher(1934 年)提出的，其理论依据是超几何分布(hypergeometric distributen) ，并非工检验的范畴但由于在实际应用中常用它作为四格表资料假设检验的补充，故把此法列入本章＜下面以例8-1介绍其基本思想与检验步骤。
例8-1某医师为研究乙肝免疫球蛋白预防胎儿宫内感染HBV的效果，将33例HBsAg阳性孕妇随机分为预防注射组和非预防组，结果见表8-3。
问两组新生儿的HBV总体感染率有无差别？表8-3 两组新生儿HBV感染率的比较组别阳性阴性合计感染率(%)预防注射组 4 18 22 18.18非预防组 5 6 11 45.45合计9 24 33 27.27、基本思想在四格表周边合计数固定不变的条件下，计算表内4个实际频数变动时的各种组合之概率厂；再按检验假设用单侧或双侧的累计概率匸，依据所取的检验水准- 做出推断。
1 •各组合概率厂的计算在四格表周边合计数不变的条件下，表内4个实际频数变动的组合数共有“周边合计中最小数+1 ”个。
如例7-4，表内4个实际频数变动的组合数共有卢-1-个，依次为：(1) (2) (3) (4) (5)0 22 1 21 2 20 3 19 4 189 2 8 3 7 4 6 5 5 6ad-bc = -198 ad-bc = -165 ad-bc =：-132 ad-bc =-99 ad-bc = -66⑹(7) (8) (9) (10)5 176 167 158 149 134 7 3 8 2 9 1 10 0 11ad-bc = -33 ad-bc =0 ad-bc =33 ad-bc =66 ad-bc = 99各组合的概率'服从超几何分布，其和为1。
定性资料的统计分析
按=0.05 水准，不拒绝 H0，差异无统计学意义。故尚不能
认为大脑两半球恶性肿瘤所占比例有差别。
8
二、配对四格表的确切概率法
在配对四格表资料中，当b+c≤20时，因配对
31
Thanks!
32
5(c) 48(d)
165
74
合计
186 53 239
10
分析思路
则在B+C=31不变的前提下，b和c的所有可能取值 为（0,31），（1,30），（2,29），（3,28），……， （28,3），（29,2），（30,1），（31,0），共32
种组合。此时，b和c服从n=31，＝0.5的二项分
3、样本观察单位不同，或在有重复试验中， 重复次数不同时，应先将观察单位化成相 同的小单位，先求出以小单位为观察单位 的平均计数后再计算u值：
u |X1-X2 | X1 X2 n1 n2
X1 X1 / n1 X 2 X 2 / n2 n1、n2分别为两样本的观察单位数。当n1＝
n2时，该公式与式2完全等价。
确切概率法 两事件数的比较 卡方检验应用的注意事项
2
第九节 确切概率法
3
一、四格表的确切概率法
对于普通四格表资料，当n＜40或出现至少
有一个T＜1时，因2检验近似程度较差，易 导致分析的偏性，2检验不再适用，应当用
四格表的确切概率法。
四格表的确切概率法本身不属于2检验范畴， 只是作为四格表2检验应用上的补充。
SPSS列联表分析
例3： 以下是胃癌真菌病因研究中3种食物样品的真菌检出率,比较3种食物真菌检出率有无差异.
本例中SPSS提示没有理论频数小于5,且最小的理论频数为8.00,故直接选择Pearson 卡方结果,即χ2=22.841,P<0.001,提示三种食物中真菌检出率不同.此时还需要进一步考虑三种食物真菌检出率到底谁与谁之间的差异存在统计学意义,这里就需要用到卡方分割,通俗讲就是把RC列联表拆分成若干个四个表分别进行χ2检验,进而判断不同组两两比较差异是否用统计学意义,但是因为多组比较可能会增加犯I类错误概率,所以还需要对χ2检验的P值进行校正.常用Bonferroni法进行校正,本例中需要进行3次两两比较,校正的检验水准α=0.05/比较次数=0.05/3=0.0167,即当两两比较P<0.0167才能认为差异有统计学意义.
Kappa一致性检验
1、Kappa检验旨在评价两种方法是否存在一致性，或者是同一个研究者先后两次的诊断结果 2、Kappa检验会利用列联表的全部数据 3、Kappa检验可计算Kappa值用于评价一致性大小
配对χ2检验(McNemar检验)
1、配对χ2检验主要确定两种方法诊断结果是否有差别 2、配对χ2检验只利用“不一致“数据，如表中b和c 3、配对χ2检验只能给出两种方法差别是否具有统计学意义的判断
无效 疗效=1
好转 疗效=2
显效 疗效=3
治愈 疗效=4
合计
有效率%
甲法
24
26ห้องสมุดไป่ตู้
72
186
308
92.2
乙法
20
16
24
32
92
78.3
丙法
20
22
14
22
检验Chi-SquareTest
果见表7-1。问两组降低颅内压的总体有效率有无
差别？
105
9
表7-1 两组降低颅内压有效率的比较
组 别 有效
无效
合 计 有效率（%）
试验组 99(90.48) a 5(13.52) b 104 (a+ b)
95.20
对照组 75(83.52) c 21(12.48) d 96 (c+d)
78.13
105
13
理论频数由下式求得：
TRC
nRnC n
式中，TRC 为第R 行C 列的理论频数
nR 为相应的行合计
nC 为相应的列合计
105
14
理论频数 T 是根据检验假设H0 :1 2 ，且用合
并率来估计 而定的。
如上例，无效假设是试验组与对照组降低颅内压的 总体有效率相等，均等于合计的有效率87%。那么 理论上，试验组的104例颅内压增高症患者中有效 者应为104(174/200)=90.48，无效者为 104(26/200)=13.52；同理，对照组的96例颅内压增 高症患者中有效者应为96(174/200)=83.52，无效者 为96(26/200)=12.48。
105
20
二、四格表资料检验的专用公式
2
(ad bc)2n
(ab)(ac)(bd)(cd)
2 (99 21 5 75)2 200 12.86
104 96174 26
105
21
2 分布是一连续型分布，而四格表
资料属离散型分布，由此计算得的统计
量 2的抽样分布亦呈离散性质。为改善
2 4.35，P 0.05
结论与之相反。
105