2015年高考数学理真题分类汇编：专题10 立体几何 (2)
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专题十 立体几何
1.【2015高考安徽，理5】已知m，n是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命
题正确的是（ ）
（A）若，垂直于同一平面，则与平行
（B）若m，n平行于同一平面，则m与n平行
（C）若，不平行，则在内不存在与平行的直线
（D）若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
2.【2015高考北京，理4】设，是两个不同的平面，m是直线且m⊂．“m∥”是“∥”
的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3.【2015高考新课标1，理6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如
下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内
墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部
的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约
为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）
(A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛
4.【2015高考陕西，理5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．3 B．4 C．24
D．34
5.【2015高考新课标1，理11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何
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体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20，则r=
（ ）
（A）1 （B）2 （C）4 （D）8
6.【2015高考重庆，理5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A、13 B、23
C、 123 D、223
7.【2015高考北京，理5】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）
正(主)视图11俯视图侧(左)视图
2
1
A．25 B．45 C．225 D．5
8.【2015高考安徽，理7】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）
（A）13 （B）23
（C）122 （D）22
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9.【2015高考新课标2，理9】已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，
若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )
A．36π B.64π C.144π D.256π
10.【2015高考山东，理7】在梯形ABCD中，2ABC，//,222ADBCBCADAB .
将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）
（A）23 （B）43 （C）53 （D）2
11【2015高考湖南，理10】某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个
体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料
的利用率为（材料利用率=新工件的体积原工件的体积）（ ）
A.89 B.169 C.34(21) D.312(21)
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12.【2015高考浙江，理2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是
（ ）
A.38cm B. 312cm C. 3323cm D. 3403cm
13.【2015高考福建，理7】若,lm 是两条不同的直线，m 垂直于平面 ，则“lm ”
是“//l 的 （ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
14.【2015高考新课标2，理6】一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如
右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
A．81 B．71 C．61 D．51
15【2015高考上海，理6】若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2，则其母线与轴的夹
角的大小为 ．
16【2015高考上海，理4】若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为163，则a ．
17.【2015高考天津，理10】一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积
为
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3
m
.
1
侧视图
俯视图
正视图
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
18.【2015江苏高考，9】现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高
为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆
锥与圆柱各一个，则新的底面半径为
19.【2015高考新课标2，理19】（本题满分12分）
如图，长方体1111ABCDABCD中,=16AB，=10BC，18AA，点E，F分别在11AB，
11CD上，11
4AEDF
．过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；
（Ⅱ）求直线AF与平面所成角的正弦值．
20.【2015江苏高考，16】（本题满分14分）
如图，在直三棱柱111CBAABC中，已知BCAC，1CCBC，设1AB的中点为D，
EBCCB11.求证：（1）CCAADE11//平面
；
（2）11ABBC.
D
D1 C1 A1 E F
A B
C
B1
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21.【2015高考安徽，理19】如图所示，在多面体111ABDDCBA，四边形11AABB，
11
,ADDAABCD
均为正方形，E为11BD的中点，过1,,ADE的平面交1CD于F.
（Ⅰ）证明：1//EFBC；
25.【2015高考山东，理17】如图，在三棱台DEFABC中，2,,ABDEGH分别为
,ACBC
的中点.
（Ⅰ）求证：//BD平面FGH；
27.【2015高考重庆，理19】如题（19）图，三棱锥PABC中，PC平面
,3,.,2ABCPCACBDE
分别为线段,ABBC上的点，且
2,22.CDDECEEB
（1）证明：DE平面PCD
A B C
D
E
A
1
B
1
C
1
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28.【2015高考四川，理18】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，
在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N
（1）请将字母,,FGH标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）
（2）证明：直线//MN平面BDH
29.【2015高考湖北，理19】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四
棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马PABCD中，
侧棱PD底面ABCD，且PDCD，过棱PC的中点E，作EFPB交PB于点F，连接
,,,.DEDFBDBE
（Ⅰ）证明：PBDEF平面．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角
（只需写出结论）；若不是，说明理由；
30.【2015高考陕西，理18】（本小题满分12分）如图1，在直角梯形CD中，D//C，
D2
，C1，D2，是D的中点，是C与的交点．将
沿折起到1的位置，如图2．
（I）证明：CD平面1C；
31.【2015高考新课标1，理18】如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD
同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.
（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；
十年高考真题分类汇编立体几何
十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题10立体几何2.(2019·全国1·理T12)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为( )A.8√6πB.4√6πC.2√6πD.√6π【答案】D3.(2019·全国2·理T7文T7)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是( )A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α,β平行于同一条直线D.α,β垂直于同一平面【答案】B4.(2019·全国3·理T8文T8)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M 是线段ED的中点,则( )A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线【答案】B6.(2018·全国3·理T10文T12)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9√3,则三棱锥D-ABC体积的最大值为( )A.12√3B.18√3C.24√3D.54√3【答案】B7.(2018·全国1·理T7文T9)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为( )A.2√17B.2√5C.3D.2【答案】B10.(2018·上海·T15)《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA1是正六棱柱的一条侧棱,如图.若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点,以AA1为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是( )A.4B.8C.12D.16【答案】D11.(2018·全国1·文T10)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为( )A.8B.6√2C.8√2D.8√3【答案】C12.(2018·全国2·理T9)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=√3,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )A.15B.√56C.√55D.√22【答案】C13.(2018·全国2·文T9)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )A.√22B.√32C.√52D.√72【答案】C14.(2018·全国1·文T5)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为( )A.12√2πB.12πC.8√2πD.10π【答案】B【解析】过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面为圆柱的轴截面,设底面半径为r,母线长为l,因为轴截面是面积为8的正方形,所以2r=l=2√2,r=√2,所以圆柱的表面积为2πrl+2πr2=8π+4π=12π.18.(2017·全国2·理T10)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )A.√3B.√15C.√10D.√3【答案】C20.(2017·全国3·理T8文T9)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )A.πB.3π4C.π2D.π4【答案】B21.(2017·全国1·文T6)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( )【答案】A4.(2016·浙江·理T2文T2)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则( )A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n【答案】C23.(2016·全国3·理T10文T11)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是( )A.4πB.9π2C.6π D.32π3【答案】B24.(2016·全国1·文T4)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )A.12πB. πC.8πD.4π【答案】A25.(2016·全国1·理T11文T11)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( )A.√32B.√22C.√33D.13【答案】A29.(2016·山东·理T5)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下图所示.则该几何体的体积为( )A.1+2πB.1+√2πC.1+√2πD.1+√2π【答案】C35.(2015·山东·理T7)在梯形ABCD中,∠ABC=π2,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3B.4π3C.5π3D.2π【答案】C40.(2015·浙江·理T8)如图,已知△ABC,D是AB的中点,沿直线CD将△ACD翻折成△A'CD,所成二面角A'-CD-B的平面角为α,则( )A.∠A'DB≤αB.∠A'DB≥αC.∠A'CB≤αD.∠A'CB≥α【答案】B41.(2015·全国2·理T9文T10)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为 ( )A.36πB.64πC.144πD.256π【答案】C42.(2015·安徽·理T5)已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是( )A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行C.若α,β不平行．．．与β平行的直线．．．,则在α内不存在D.若m,n不平行．．．垂直于同一平面．．．,则m与n不可能【答案】D43.(2015·浙江·文T4)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β.( )A.若l⊥β,则α⊥βB.若α⊥β,则l⊥mC.若l∥β,则α∥βD.若α∥β,则l∥m【答案】A44.(2015·广东·文T6)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( )A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交【答案】D47.(2014·辽宁·理T4文T4)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( )A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α【答案】B48.(2014·广东·理T7)在空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定【答案】D49.(2014·浙江·文T6)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.( )A.若m⊥n,n∥α,则m⊥αB.若m∥β,β⊥α,则m⊥αC.若m ⊥β,n ⊥β,n ⊥α,则m ⊥αD.若m ⊥n,n ⊥β,β⊥α,则m ⊥α 【答案】C50.(2014·陕西·理T5)已知底面边长为1,侧棱长为√2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为( ) A.32π3B.4πC.2πD.4π3【答案】D51.(2014·大纲全国·理T8)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( ) A.81πB.16πC.9πD.27π【答案】A56.(2014·大纲全国·理T11)已知二面角α-l-β为60°,AB ⊂α,AB ⊥l,A 为垂足,CD ⊂β,C ∈l,∠ACD=135°,则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为( ) A.14 B.√24C.√34D.12【答案】B57.(2014·大纲全国·文T4)已知正四面体ABCD 中,E 是AB 的中点,则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( ) A.16 B.√36C.13D.√33【答案】B66.(2013·辽宁·理T10)已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上.若AB=3,AC=4,AB ⊥AC,AA 1=12,则球O 的半径为( ) A.3√172 B.2√10C.132D.3√10【答案】C【解析】过C 点作AB 的平行线,过B 点作AC 的平行线,交点为D,同理过C 1作A 1B 1的平行线,过B 1作A 1C 1的平行线,交点为D 1,连接DD 1,则ABCD-A 1B 1C 1D 1恰好成为球的一个内接长方体,故球的半径r=√32+42+1222=132.67.(2013·全国2·理T4)已知m,n 为异面直线,m ⊥平面α,n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m,l ⊥n,l ⊄α,l ⊄β,则( ) A.α∥β且l ∥α B.α⊥β且l ⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l 【答案】D【解析】因为m ⊥α,l ⊥m,l ⊄α,所以l ∥α.同理可得l ∥β.又因为m,n 为异面直线,所以α与β相交,且l 平行于它们的交线.故选D.68.(2013·广东·理T6)设m,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.下列命题中正确的是 ( ) A.若α⊥β,m ⊂α,n ⊂β,则m ⊥n B.若α∥β,m ⊂α,n ⊂β,则m ∥n C.若m ⊥n,m ⊂α,n ⊂β,则α⊥β D.若m ⊥α,m ∥n,n ∥β,则α⊥β 【答案】D【解析】选项A 中, m 与n 还可能平行或异面,故不正确; 选项B 中,m 与n 还可能异面,故不正确; 选项C 中,α与β还可能平行或相交,故不正确; 选项D 中,∵m ⊥α,m ∥n,∴n ⊥α. 又n ∥β,∴α⊥β.故选D.69.(2012·全国·理T11)已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,△ABC 是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为 ( ) A.√26 B.√36C.√23D.√22【答案】A【解析】∵SC 是球O 的直径,∴∠CAS=∠CBS=90°. ∵BA=BC=AC=1,SC=2,∴AS=BS=√3.取AB 的中点D,显然AB ⊥CD,AB ⊥SD,∴AB ⊥平面SCD. 在△CDS 中,CD=√32,DS=√112,SC=2,利用余弦定理可得cos ∠CDS=CD 2+SD 2-SC 22CD ·SD =-√33, ∴sin ∠√2√33∴S △CDS =12×√32×√112×√2√33=√22,∴V=V B-CDS +V A-CDS =13×S △CDS ×BD+13S △CDS ×AD=13S △CDS ×BA=13×√22×1=√26.70.(2012·全国·文T8)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1,球心O 到平面α的距离为√2,则此球的体积为( )A.√6πB.4√3πC.4√6πD.6√3π【答案】B【解析】设球O的半径为R,则R=√12+(√2)2=√3,故V球=43πR3=4√3π.71.(2012·全国·理T7文T7)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )A.6B.9C.12D.18【答案】B【解析】由三视图可推知,几何体的直观图如图所示,可知AB=6,CD=3,PC=3,CD垂直平分AB,且PC⊥平面ACB,故所求几何体的体积为13×(12×6×3)×3=9.72.(2012·大纲全国·理T4文T8)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,CC1=2√2,E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为( )A.2B.√3C.√2D.1【答案】D【解析】连接AC交BD于点O,连接OE,∵AB=2,∴AC=2√2.又CC1=2√2,则AC=CC1.作CH⊥AC1于点H,交OE于点M.由OE为△ACC1的中位线知,CM⊥OE,M为CH的中点.由BD⊥AC,EC⊥BD知,BD⊥面EOC,∴CM⊥BD.∴CM⊥面BDE.∴HM为直线AC1到平面BDE的距离.又△ACC 1为等腰直角三角形,∴CH=2.∴HM=1.73.(2011·陕西·文T5)某几何体的三视图如图所示,则它的体积为( ) A.8-2π3B.8-π3C.8-2πD.2π3【答案】A【解析】由几何体的三视图可知,原几何体是一个棱长为2的正方体且内部挖掉一个底面与正方体上底面内切,高等于正方体棱长的圆锥.正方体的体积为8,圆锥的体积为13πr 2h=2π3,所以所求几何体的体积为8-2π3. 74.(2011·全国·理T6文T8)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如下图所示,则相应的侧视图可以为( )【答案】D【解析】由题目所给的几何体的正视图和俯视图,可知该几何体为半圆锥和三棱锥的组合体,如图所示: 可知侧视图为等腰三角形,且轮廓线为实线,故选D.75.(2011·重庆·理T9)高为√24的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形,点S,A,B,C,D 均在半径为1的同一球面上,则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为( )A.√24B.√22C.1D.√2【答案】C【解析】如图所示,过S点作SE⊥AC,交AC的延长线于E点,则SE⊥面ABCD,故SE=√24.设球心为O,A,B,C,D 所在圆的圆心为O 1,则O1为AC,BD的交点.在Rt△OAO1中,AO1=√22,AO=1,故OO1=√1-(√22)2=√22.故OO1=2SE.过S点作SO2⊥O1O于点O2,则O2为OO1的中点.故△OSO1为等腰三角形,则有O1S=SO=1.76.(2011·辽宁·理T8)如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中不正确的是( )A.AC⊥SBB.AB∥平面SCDC.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角【答案】D【解析】∵SD⊥面ABCD,AC⊂面ABCD,∴SD⊥AC,又∵ABCD为正方形,∴AC⊥BD,又SD∩BD=D,∴AC⊥面SBD,AC⊥SB,故A对;∵AB∥CD,CD⊂面CDS,AB在面CDS外,∴AB∥平面SCD,故B对;设AC∩BD=O,由上面的分析知,∠ASO与∠CSO分别是SA与平面SBD,SC与平面SBD所成的角,易知∠ASO与∠CSO相等,故C对;∵CD⊥SD,CD⊥AD,AD∩SD=D,∴CD⊥平面SAD,∴DC⊥SA,DC与SA所成角为90°.又∵AB∥CD,∴AB与SC所成的角即为∠SCD,是锐角,故D错.77.(2010·浙江·理T6)设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )A.若l⊥m,m⊂α,则l⊥αB.若l⊥α,l∥m,则m⊥αC.若l∥α,m⊂α,则l∥mD.若l∥α,m∥α,则l∥m【答案】B【解析】对于A:若l⊥m,m⊂α,则l⊂α可能成立,l⊥α不一定成立,A错误;对于B:若l⊥α,l∥m,则m⊥α,B正确;对于C,若l∥α,m⊂α,l∥m或l与m异面,故C错误;对于D,若l∥α,m∥α,则l∥m或l与m 相交或l与m异面,故D错误.78.(2010·山东·文T4)在空间,下列命题正确的是( )A.平行直线的平行投影重合B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行【答案】D【解析】对于A,平行直线的平行投影也可能平行或为两个点,故A错误;对于B,平行于同一直线的两个平面也可能相交,故B错误;对于C,垂直于同一平面的两个平面也可能相交,故C错误;由线面垂直的性质知D正确.故选D.79.(2010·全国·理T10)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( )A.πa2B.7πa2C.11πa2D.5πa2【答案】B【解析】如图,O1,O分别为上、下底面的中心,D为O1O的中点,则DB为球的半径r,有r=DB=√OD2+OB2=√a2 4+a23=√7a212,∴S表=4πr2=4π×7a 212=73πa2.80.(2010·全国·文T7)设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( )A.3πa2B.6πa2C.12πa2D.24πa2【答案】B【解析】长方体体对角线长等于球的直径,2R=√a 2+a 2+(2a )2=√6a,R=√62a,S=4πR 2=4π·6a 24=6πa 2.81.(2010·大纲全国·理T12,难度)已知在半径为2的球面上有A,B,C,D 四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为( ) A.2√33 B.4√33 C.2√3 D.8√33【答案】B【解析】过CD 作平面PCD,使AB ⊥平面PCD,交AB 于P.设点P 到CD 的距离为h,则有 V 四面体ABCD =13×2×12×2×h=23h.当直径通过AB 与CD 的中点时,h max =2√22-12=2√3.故V max =4√33.82.(2019·全国3·理T16文T16)学生到工厂劳动实践,利用3D 打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O-EFGH 后所得的几何体,其中O 为长方体的中心,E,F,G,H 分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA 1=4 cm.3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为 g.【答案】118.8【解析】由题意得,四棱锥O-EFGH 的底面积为4×6-4×12×2×3=12(cm 2),点O 到平面BB 1C 1C 的距离为3 cm,则此四棱锥的体积为V 1=13×12×3=12(cm 3).又长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积为V 2=4×6×6=144(cm 3), 则该模型的体积为V=V 2-V 1=144-12=132(cm 3). 故其质量为0.9×132=118.8(g).83.(2019·天津·理T11文T12)已知四棱锥的底面是边长为√2的正方形,侧棱长均为√5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该 圆柱的体积为 . 【答案】π4【解析】由底面边长为√2,可得OC=1.设M 为VC 的中点,O 1M=12OC=12, O 1O=12VO,VO=√VC 2-OC 2=2, ∴O 1O=1.V 柱=π·O 1M 2·O 1O=π×122×1=π4.84.(2019·江苏·T9)如图,长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积是120,E 为CC 1的中点,则三棱锥E-BCD 的体积是 .【答案】10【解析】∵长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积为120, ∴AB ·BC ·CC 1=120.∵E 为CC 1的中点,CC 1⊥底面ABCD,∴CE 为三棱锥E-BCD 的底面BCD 上的高,CE=12CC 1, ∴V E-BCD =13×12AB ·BC ·CE =13×12AB ·BC ·12CC 1=112AB ·BC ·CC 1=112×120=10.85.(2019·全国2·理T16文T16)中国有悠久的金石文T 化,印信是金石文T 化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1,则该半正多面体共有 个面,其棱长为 .【答案】26 -1【解析】由题图2可知第一层与第三层各有9个面,共计18个面,第二层共有8个面,所以该半正多面体共有18+8=26个面.如图,设该半正多面体的棱长为x,则AB=BE=x,延长CB 与FE 的延长线交于点G,延长BC 交正方体的另一条棱于点H.由半正多面体的对称性可知,△BGE 为等腰直角三角形,所以BG=GE=CH=√2x,所以GH=2×√22x+x=(√2+1)x=1,解得x=√2+1=√2-1,即该半正多面体的棱长为√2-1.86.(2019·全国1·文T16)已知∠ACB=90°,P 为平面ABC 外一点,PC=2,点P 到∠ACB 两边AC,BC 的距离均为√3,那么P 到平面ABC 的距离为 . 【答案】√2【解析】作PD,PE 分别垂直于AC,BC,PO ⊥平面ABC.连接CO,OD,知CD ⊥PD,CD ⊥PO,PD ∩PO=P, ∴CD ⊥平面PDO,OD ⊂平面PDO,∴CD ⊥OD. ∵PD=PE=√3,PC=2,∴sin ∠PCE=sin ∠PCD=√32,∴∠PCB=∠PCA=60°.∴PO ⊥CO,CO 为∠ACB 平分线, ∴∠OCD=45°,∴OD=CD=1,OC=√2. 又PC=2,∴PO=√4-2=√2.87.(2018·全国2·文T16)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB 互相垂直,SA 与圆锥底面所成角为30°.若△SAB 的面积为8.则该圆锥的体积为 .【答案】8π 【解析】∵SA ⊥SB, ∴S △SAB =12·SA ·SB=8.∴SA=4.过点S 连接底面圆心O,则∠SAO=30°. ∴SO=2,OA=2√3.∴V=13πr 2h=13×π×(2√3)2×2=8π.88.(2018·天津·理T11)已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,除面ABCD 外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH 的体积为 . 【答案】112【解析】由题意可知,四棱锥M-EFGH 的底面EFGH 为正方形且边长为√22,其高为12, 所以V 四棱锥M-EFGH =1×(√2)2×1=1. 89.(2018·江苏·T10)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 .【答案】43【解析】由题图可知,该多面体为两个全等的正四棱锥的组合体,且正四棱锥的高为1,底面正方形的边长为√2,所以该多面体的体积为2×13×1×(√2)2=43.90.(2018·全国2·理T16)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB 所成角的余弦值为78,SA 与圆锥底面所成角为45°.若△SAB 的面积为5√15.则该圆锥的侧面积为_____________. 【答案】40√2π【解析】如图,设O 为底面圆圆心. ∵SA 与底面成45°角, ∴△SAO 为等腰直角三角形. 设OA=r,则SO=r,SA=SB=√2r. ∵在△SAB 中,cos ∠ASB=78, ∴sin ∠ASB=√158,∴S △SAB =12SA ·SB ·sin ∠ASB=12(√2r)2·√158=5√15, 解得r=2√10,∴SA=√2r=4√5,即母线长l=4√5, ∴S 圆锥侧=πrl=π×2√10×4√5=40√2π.91.(2017·全国1·理T16)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O.D,E,F 为圆O 上的点,△DBC,△ECA,△FAB 分别是以BC,CA,AB 为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB 为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F 重合,得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm 3)的最大值为 .【答案】4【解析】如图所示,连接OD,交BC 于点G. 由题意知OD ⊥BC,OG=√36BC. 设OG=x,则BC=2√3x,DG=5-x, 三棱锥的高h=√DG 2-OG 2= √25-10x +x 2-x 2=√25-10x .因为S △ABC =12×2√3x ×3x=3√3x 2,所以三棱锥的体积V=13S △ABC ·h=√3x 2·√25-10x =√3·√25x 4-10x 5.令f(x)=25x 4-10x 5,x ∈(0,52),则f'(x)=100x 3-50x 4.令f'(x)=0,可得x=2,则f(x)在(0,2)单调递增,在(2,52)单调递减, 所以f(x)max =f(2)=80.所以V≤√3×√80=4√15,所以三棱锥体积的最大值为4√15.92.(2017·全国2·文T15)长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球O 的球面上,则球O 的表面积为 . 【答案】14π【解析】由题意可知长方体的体对角线长等于其外接球O 的直径2R,即2R=2+22+12=√14,所以球O 的表面积S=4πR 2=14π.93.(2017·全国1·文T16)已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,SC 是球O 的直径,若平面SCA ⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC 的体积为9,则球O 的表面积为 . 【答案】36π【解析】取SC 的中点O,连接OA,OB. 因为SA=AC,SB=BC,所以OA ⊥SC,OB ⊥SC. 因为平面SAC ⊥平面SBC,且OA ⊂平面SAC,所以OA ⊥平面SBC.设OA=r,则V A-SBC =13×S △SBC ×OA=13×12×2r ×r ×r=13r 3, 所以13r 3=9,解得r=3.所以球O 的表面积为4πr 2=36π.94.(2017·天津·理T10文T11)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 . 【答案】9π2.【解析】 设正方体的棱长为a,外接球的半径为R,则2R=√3a.∵正方体的表面积为18,∴6a 2=18. ∴a=√3,R=32.∴该球的体积为V=43πR 3=4π3×278=9π2.95.(2017·江苏·T6)如图,在圆柱O 1O 2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O 1O 2的体积为V 1,球O 的体积为V 2,则V1V 2的值是________________.【答案】32【解析】设球O的半径为r,则圆柱O1O2的高为2r,故V1V2=πr2·2r43πr3=32,答案为32.96.(2017·全国3·理T16)a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;③直线AB与a所成角的最小值为45°;④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)【答案】②③【解析】由题意,AB是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线,由AC⊥a,AC⊥b,得AC⊥圆锥底面,在底面内可以过点B,作BD∥a,交底面圆C于点D,如图所示,连接DE,则DE⊥BD,∴DE∥b.连接AD,在等腰三角形ABD 中,设AB=AD=√2,当直线AB与a成60°角时,∠ABD=60°,故BD=√2.又在Rt△BDE中,BE=2,∴DE=√2,过点B作BF∥DE,交圆C于点F,连接AF,由圆的对称性可知BF=DE=√2,∴△ABF为等边三角形,∴∠ABF=60°,即AB与b成60°角,②正确,①错误.由最小角定理可知③正确;很明显,可以满足直线a⊥平面ABC,直线AB与a所成的最大角为90°,④错误.故正确的说法为②③.97.(2016·全国2·理T14)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.④如果m ∥n,α∥β,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号) 【答案】②③④【解析】对于①,若m ⊥n,m ⊥α,n ∥β,则α,β的位置关系无法确定,故错误;对于②,因为n ∥α,所以过直线n 作平面γ与平面α相交于直线c,则n ∥c.因为m ⊥α,所以m ⊥c,所以m ⊥n,故②正确;对于③,由两个平面平行的性质可知正确;对于④,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确,故正确命题的编号有②③④.98.(2016·天津·理T11)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为 m 3.【答案】2【解析】由三视图知四棱锥高为3,底面平行四边形的底为2,高为1,因此该四棱锥的体积为V=13×(2×1)×3=2.故答案为2.99.(2016·四川·理T13)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是 .【答案】√33【解析】由三棱锥的正视图知,三棱锥的高为1,底面边长分别为2√3,2,2,所以底面三角形的高为√22-(√3)2=1,所以,三棱锥的体积为V=13×12×2√3×1×1=√33.100.(2015·浙江·理T13)如图,在三棱锥A-BCD 中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N 分别为AD,BC 的中点,则异面直线AN,CM 所成的角的余弦值是 .【答案】78【解析】连接DN,取DN 的中点P,连接PM,CP,因为M 是AD 的中点, 故PM ∥AN,则∠CMP 即为异面直线AN,CM 所成的角, 因为AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,可得AN=CM=DN=2√2, 故MP=PN=√2. 在Rt △PCN中,CP=√PN 2+CN 2=√2+1=√3,由余弦定理,可得cos ∠CMP=CM 2+MP 2-CP 22·CM ·MP=2×22×2=78,故异面直线AN,CM 所成的角的余弦值为78.101.(2014·山东·理T13)三棱锥P-ABC 中,D,E 分别为PB,PC 的中点,记三棱锥D-ABE 的体积为V 1,P-ABC 的体积为V 2,则V 1V 2=________________. 【答案】1【解析】由题意,知V D-ABE =V A-BDE =V 1,V P-ABC =V A-PBC =V 2.因为D,E 分别为PB,PC 中点, 所以S△BDES △PBC=14.设点A 到平面PBC 的距离为d,则V 12=13S △BDE ·d 13S △PBC ·d=S△BDE△PBC=1. 102.(2014·山东·文T13)一个六棱锥的体积为2√3,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为 . 【答案】12【解析】根据题意知该六棱锥为正六棱锥,底面正六边形面积为6√3,设六棱锥的高为h,则V=13×6√3h=2√3,解得h=1.设侧面高为h',则h 2+(√3)2=h'2,∴h'=2.所以正六棱锥的侧面积为6×12×2×2=12.103.(2013·北京·理T14)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 为BC 的中点,点P 在线段D 1E 上,点P 到直线CC 1的距离的最小值为 .【答案】2√55【解析】如图,过E 点作EE 1垂直底面A 1B 1C 1D 1,交B 1C 1于点E 1,连接D 1E 1,过P 点作PH 垂直于底面A 1B 1C 1D 1,交D 1E 1于点H,P 点到直线CC 1的距离就是C 1H,故当C 1H 垂直于D 1E 1时,P 点到直线CC 1距离最小,此时,在Rt △D 1C 1E 1中,C 1H ⊥D 1E 1,D 1E 1·C 1H=C 1D 1·C 1E 1,∴C 1H=√5=2√55.104.(2013·全国2·文T15)已知正四棱锥O-ABCD 的体积为3√22,底面边长为√3,则以O 为球心,OA 为半径的球的表面积为 .【答案】24π【解析】如图所示,∵V O-ABCD =13×(√3)2×|OO 1|=3√22,∴|OO 1|=3√22, 在Rt △OO 1A 中,|AO 1|=√62,|OA|=√(3√22)2+(√62)2=√6, 即R=√6,∴S 球=4πR 2=24π.105.(2013·全国1·文T15)已知H 是球O 的直径AB 上一点,AH ∶HB=1∶2,AB ⊥平面α,H 为垂足,α截球O 所得截面的面积为π,则球O 的表面积为 .【答案】9π2【解析】如图,设球O 的半径为R,则AH=2R 3,OH=R 3.又∵π·EH 2=π,∴EH=1.∵在Rt △OEH 中,R 2=(R 3)2+12,∴R 2=98.∴S 球=4πR 2=9π2.106.(2013·福建·理T12)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是 .【答案】12π【解析】由题意知该几何体是一个正方体内接于球构成的组合体,球的直径等于正方体体对角线长,即2r=√22+22+22=√12,所以r=√3,故该球的表面积为S 球=4πr 2=4π×3=12π. 107.(2012·辽宁·理T16)已知正三棱锥P-ABC,点P,A,B,C 都在半径为√3的球面上,若PA,PB,PC 两两相互垂直,则球心到截面ABC 的距离为 .【答案】√33 【解析】正三棱锥P-ABC 可看作由正方体PADC-BEFG 截得,如图所示,PF 为三棱锥P-ABC 的外接球的直径,且PF ⊥平面ABC.设正方体棱长为a,则3a 2=12,a=2,AB=AC=BC=2√2.S △ABC =1×2√2×2√2×√3=2√3.由V P-ABC =V B-PAC ,得1·h ·S △ABC =1×1×2×2×2,所以h=2√33,因此球心到平面ABC 的距离为√33. 108.(2012·安徽·理T12)某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是 .【答案】92【解析】由三视图可知,该几何体为底面是直角梯形且侧棱垂直于底面的棱柱,该几何体的表面积为S=2×12×(2+5)×4+[2+5+4+√42+(5-2)2]×4=92. 109.(2011·全国·理T15)已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上,且AB=6,BC=2√3,则棱锥O-ABCD 的体积为 .【答案】8【解析】如图所示,OO'垂直于矩形ABCD 所在的平面,垂足为O',连接O'B,OB,则在Rt △OO'B 中,由OB=4,O'B=2√3,可得OO'=2,故V O-ABCD =13S 矩形ABCD ·OO'=13×6×2√3×2=8√3.110.(2010·全国·理T14文T15)一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的 .(填入所有可能的几何体前的编号)①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱【答案】①②③⑤【解析】只要判断正视图是不是正三角形就行了.111.(2011·全国·文T16)已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的316,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 .【答案】13【解析】设球面半径为R,圆锥底面半径为r.由题意知,πr 2=316×4πR 2,即r 2=34R 2.如图所示,设体积较小者的圆锥为A-CO 1D,其高为AO 1.体积较大的圆锥为B-CO 1D,其高为O 1B.在Rt △O 1CO中,CO 1=r,CO=R,则OO 1=√R 2-r 2=12R.又∵AO=R,∴AO 1=R 2.又∵O 1B=O 1O+OB=12R+R=32R,∴AO 1BO 1=R 232R =13. 112.(2019·全国1·文T19)如图,直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面是菱形,AA 1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N 分别是BC,BB 1,A 1D 的中点.(1)证明:MN ∥平面C 1DE;(2)求点C 到平面C 1DE 的距离.【解析】(1)证明连接B 1C,ME.因为M,E 分别为BB 1,BC 的中点,所以ME ∥B 1C,且ME=12B 1C.又因为N 为A 1D 的中点,所以ND=12A 1D.由题设知A 1B 1 DC,可得B 1C A 1D,故ME ND,因此四边形MNDE 为平行四边形,MN ∥ED.又MN ⊄平面C 1DE,所以MN ∥平面C 1DE.(2)解过C 作C 1E 的垂线,垂足为H.由已知可得DE ⊥BC,DE ⊥C 1C,所以DE ⊥平面C 1CE,故DE ⊥CH.从而CH ⊥平面C 1DE,故CH 的长即为C 到平面C 1DE 的距离.由已知可得CE=1,C 1C=4,所以C 1E=√17,故CH=4√1717.从而点C 到平面C 1DE 的距离为4√1717.113.(2019·天津·文T17)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,△PCD为等边三角形,平面PAC ⊥平面PCD,PA⊥CD,CD=2,AD=3.(1)设G,H分别为PB,AC的中点,求证:GH∥平面PAD;(2)求证:PA⊥平面PCD;(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.【解析】(1)证明连接BD,易知AC∩BD=H,BH=DH.又由BG=PG,故GH∥PD.又因为GH⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,所以GH∥平面PAD.(2)证明取棱PC的中点N,连接DN,依题意,得DN⊥PC,又因为平面PAC⊥平面PCD,平面PAC∩平面PCD=PC,所以DN⊥平面PAC,又PA⊂平面PAC,故DN⊥PA.又已知PA⊥CD,CD∩DN=D,所以PA⊥平面PCD.(3)解连接AN,由(2)中DN⊥平面PAC,可知∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角.因为△PCD为等边三角形,CD=2且N为PC的中点,所以DN=√3,又DN⊥AN,在Rt△AND中,sin∠DAN=DNAD =√33.所以,直线AD与平面PAC所成角的正弦值为√33.114.(2019·全国2·文T17)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.(1)证明:BE⊥平面EB 1C1;(2)若AE=A1E,AB=3,求四棱锥E-BB1C1C的体积.【解析】(1)证明由已知得B1C1⊥平面ABB1A1,BE⊂平面ABB1A1,故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1,所以BE⊥平面EB1C1.(2)解由(1)知∠BEB1=90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E,所以∠AEB=∠A1EB1=45°,故AE=AB=3,AA1=2AE=6.作EF⊥BB1,垂足为F,则EF⊥平面BB1C1C,且EF=AB=3.所以,四棱锥E-BB1C1C的体积V=13×3×6×3=18.115.(2019·江苏·T16)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC.求证:(1)A1B1∥平面DEC1;(2)BE⊥C1E.【解析】证明(1)因为D,E分别为BC,AC的中点,所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1,所以A1B1∥ED.又因为ED⊂平面DEC1,A1B1⊄平面DEC1,所以A1B1∥平面DEC1.(2)因为AB=BC,E为AC的中点,所以BE⊥AC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱,所以C1C⊥平面ABC.又因为BE⊂平面ABC,所以C1C⊥BE.因为C1C⊂平面A1ACC1,AC⊂平面A1ACC1,C1C∩AC=C,所以BE⊥平面A1ACC1.因为C1E⊂平面A1ACC1,所以BE⊥C1E.116.(2019·全国3·文T19)图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2.(1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE;(2)求图2中的四边形ACGD的面积.【解析】(1)证明由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG,故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,故AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)解取CG的中点M,连接EM,DM.因为AB∥DE,AB⊥平面BCGE,所以DE⊥平面BCGE,故DE⊥CG.由已知,四边形BCGE是菱形,且∠EBC=60°得EM⊥CG,故CG⊥平面DEM.因此DM⊥CG.在Rt△DEM中,DE=1,EM=√3,故DM=2.所以四边形ACGD的面积为4.117.(2018·全国1·文T18)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°.以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA.(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=23DA,求三棱锥Q-ABP的体积.【解析】(1)由已知可得,∠BAC=90°,BA⊥AC.又BA⊥AD,所以AB⊥平面ACD.又AB⊂平面ABC,所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=3√2.又BP=DQ=23DA,所以BP=2√2.作QE⊥AC,垂足为E,则QE 13DC.由已知及(1)可得DC⊥平面ABC,所以QE⊥平面ABC,QE=1.因此,三棱锥Q-APB的体积为V Q-ABP=13×QE×S△ABP=13×1×12×3×2√2sin 45°=1.118.(2018·全国3·文T19)如图,矩形ABCD所在平面与半⏜所在平面垂直,M是CD⏜上异于C,D的点.圆弧CD(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC∥平面PBD?说明理由.【解析】(1)由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故⏜上异于C,D的点,且DC为直径,所以DM⊥CM.BC⊥DM.因为M为CD又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.(2)当P为AM的中点时,MC∥平面PBD.证明如下:连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形,所以O为AC中点.连接OP,因为P为AM中点,所以MC∥OP.MC⊄平面PBD,OP⊂平面PBD,所以MC∥平面PBD.119.(2018·北京·文T18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.(1)求证:PE⊥BC;(2)求证:平面PAB⊥平面PCD;(3)求证:EF∥平面PCD.【解析】证明(1)∵PA=PD,且E为AD的中点,∴PE⊥AD.∵底面ABCD为矩形,∴BC∥AD,∴PE⊥BC.(2)∵底面ABCD为矩形,∴AB⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,∴AB⊥平面PAD.∴AB⊥PD.又PA⊥PD,PA∩AB=A,∴PD⊥平面PAB.∵PD⊂平面PCD,∴平面PAB⊥平面PCD.(3)如图,取PC的中点G,连接FG,GD.∵F,G分别为PB和PC的中点,。
2015届高考数学总复习：立体几何专题训练模拟试卷及答案
立体几何专题训练1.如图所示空间图形中， 四边形ABCD 为矩形，ABE AD 平面⊥，2===BC EB AE ，F 为CE 上的点，且ACE BF 平面⊥. （Ⅰ）求证：BCE AE 平面⊥； （Ⅱ）求证；BFD AE 平面//； （Ⅲ）求三棱锥BGF C -的体积. 解： （Ⅰ）证明： ABE AD 平面⊥，BC AD //∴ABE BC 平面⊥，则BC AE ⊥ACE BF 平面⊥，则BF AE ⊥∴BCE AE 平面⊥（Ⅱ）证明：依题意可知：G 是AC 中点ACE BF 平面⊥ 则BF CE ⊥，而BE BC = ∴F 是EC 中点 在AEC ∆中，AE FG //∴BFD AE 平面//（Ⅲ）解： BFD AE 平面//∴FG AE //，而BCE AE 平面⊥∴BCE FG 平面⊥∴BCF FG 平面⊥G 是AC 中点∴F 是CE 中点 ∴FG AE //且121==AE FGACE BF 平面⊥ ∴CE BF ⊥∴BCE Rt ∆中，221===CE CF BF∴12221=⋅⋅=∆CFB S∴3131=⋅⋅==∆--FG S V V CFB BCF G BFG C2．如图,在四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 为直角梯形,BC AD //, 90=∠ADC ,平面⊥PAD 底面ABCD ,Q 为AD 的中点, 2==PD PA ，3,121===CD AD BC ,M 是棱PC 的中点。
（Ⅰ）求证: //PA 平面MQB ； （Ⅱ）证明：⊥CD 平面PAD （Ⅲ）求三棱锥DQM P -的体积。
解：证明:（Ⅰ）连接AC ，交BQ 于N ,连接MN ，AD BC // 且AD BC 21=，即AQ BC //， ∴四边形BCQA 为平行四边形,且N 为AC 中点,又因为点M 是棱PC 的中点, PA MN //∴，因为BABCD Q MBCMB 1C 1NCBA⊂MN 平面MQB ，⊄PA 平面MQB ，则MQB //平面PA ；（Ⅱ）∵Q 为AD 的中点, 2==PD PA ，∴PQ AD PAD ABCD PQ ABCD DC ABCDPQ DC AD DC DC PAD⊥⊥∴⊥⊂∴⊥⊥∴⊥平面平面平面平面,又平面(Ⅲ)PDQ M DQM P V V --=,已证出⊥CD 平面PAD 所以M 到平面PAD 的距离为CD 21所以413211321312121312131=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅==∆--CD PQ QD CD S V V PDQ PDQ M DQM P3．已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，（1）求证：N B C BC 11//平面；（2）求证：BN 11C B N ⊥平面； （3）求此几何体的体积.解：（1）证明： 该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，∴1,,BB BC BA 两两互相垂直。
2015-2017近三年高考理科立体几何高考题汇编
2015-2017高考立体几何题汇编2017(三)16．a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；④直线AB 与a 所成角的最小值为60°；其中正确的是________。
（填写所有正确结论的编号）2017(三)19．（12分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD =∠CBD ，AB =BD ．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D –AE –C 的余弦值．2017(二)4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π2017(二)10．已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．2B ．5C ．5D ．32017(二)19．（12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= E 是PD 的中点． （1）证明：直线CE ∥平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o45，求二面角M AB D --的余弦值．2017(一)7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 2017(一)18．（12分）如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=.（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A −PB −C 的余弦值. 2017(天津)（17）（本小题满分13分）如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒.点D ，E ，N 分别为棱PA ，P C ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，PA =AC =4，AB =2.（Ⅰ）求证：MN ∥平面BDE ；（Ⅱ）求二面角C -EM -N 的正弦值；（Ⅲ）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE，求线段AH 的 2016(二)（19）（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB =5，AC =6，点E ,F 分别在AD ,CD 上，AE =CF =，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△的位置，.（I ）证明：平面ABCD ；（II ）求二面角的正弦值.2016（北京）6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A.B. C. D.2016（北京）17.（本小题14分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，1613121P ABCD -PAD ⊥ABCD PA PD ⊥PA PD =AB AD ⊥，，（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；2015（二）（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（A ）（B ）（C ）（D ）2015（二）（19．（本小题满分12分）如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB = 16，BC = 10，AA 1 = 8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E = D 1F = 4，过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。
【数学】2015高考试题分类总汇编：文科立体几何试卷版
2015全国高考数学试题汇编文科立体几何（试题版）[2015·安徽卷] 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A．48 B．32＋817 C．48＋817 D．80[2015·北京卷] 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( )A．32 B．16＋16 2 C．48 D．16＋32 2[2015·广东卷] 如图，某几何体的正视图(主视图)，侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为( )A．4 3 B．4 C．2 3 D．2[2015·湖南卷] 设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．9π＋42B ．36π＋18C.92π＋12D.92π＋18 [2015·辽宁卷] 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是( )A ．4B ．2 3C ．2D. 3[2015·课标全国卷] 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )[2015·陕西卷] 某几何体的三视图如图所示，则它的体积为( )A ．8－2π3B ．8－π3C ．8－2πD.2π3[2015·天津卷] 一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________ m 3.[2015·浙江卷] 若某几何体的三视图如图1－1所示，则这个几何体的直观图可以是( )上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．[2015·浙江卷] 若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则( )A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交[2015·广东卷] 正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )A．20 B．15 C．12 D．10[2015·四川卷] l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面[2015·湖北卷] 设球的体积为V1，它的内接正方体的体积为V2，下列说法中最合适的是( )A．V1比V2大约多一半B．V1比V2大约多两倍半C．V1比V2大约多一倍D．V1比V2大约多一倍半[2015·辽宁卷] 已知球的直径SC＝4，A、B是该球球面上的两点，AB＝2，∠ASC＝∠BSC ＝45°，则棱锥S－ABC的体积为( )A.33B.233C.433D.533[2015·课标全国卷] 已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．[2015·四川卷] 如图1－3，半径为4的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________．[2015·全国卷] 已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________．[2015·安徽卷] 如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA＝1，OD＝2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形．(1)证明直线BC∥EF；(2)求棱锥F－OBED的体积．[2015·北京卷] 如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．(1)求证：DE∥平面BCP；(2)求证：四边形DEFG为矩形；(3)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．[2015·江苏卷] 如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分别是AP、AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.[2015·课标全国卷] 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.(1)证明：PA⊥BD；(2)设PD＝AD＝1，求棱锥D－PBC的高．[2015·陕西卷] 如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD 把△ABD折起，使∠BDC＝90°.(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；(2)若BD＝1，求三棱锥D－ABC的表面积．[江苏卷] 如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点． 求证：(1)直线EF ∥平面PCD ； (2)平面BEF ⊥平面PAD .[2015·辽宁卷] 如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明：PQ ⊥平面DCQ ；(2)求棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值．[2015·湖南卷] 如图，在圆锥PO中，已知PO＝2，⊙O的直径AB＝2，点C在AB上，且∠CAB＝30°，D为AC的中点．(1)证明：AC⊥平面POD；(2)求直线OC和平面PAC所成角的正弦值．[2015·浙江卷] 如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．(1)证明：AP⊥BC；(2)已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2，求二面角B－AP－C的大小．[2015·福建卷] 如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，点E 在线段AD 上，且CE ∥AB .(1)求证：CE ⊥平面PAD ；(2)若PA ＝AB ＝1，AD ＝3，CD ＝2，∠CDA ＝45°，求四棱锥P －ABCD 的体积．[2015·江西卷] 如图，在△ABC 中，∠B ＝π2，AB ＝BC ＝2，P 为AB 边上一动点，PD ∥BC 交AC 于点D ，现将△PDA 沿PD 翻折至△PDA ′，使平面PDA ′⊥平面PBCD .(1)当棱锥A ′－PBCD 的体积最大时，求PA 的长；(2)若点P 为AB 的中点，E 为A ′C 的中点，求证：A ′B ⊥DE .[2015·山东卷] 如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.(1)证明：AA1⊥BD；(2)证明：CC1∥平面A1BD.[2015·四川卷] 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，延长A1C1至点P，使C1P＝A1C1，连结AP交棱CC1于点D.(1)求证：PB1∥平面BDA1；(2)求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值．[2015·天津卷] 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO ＝2，M 为PD 的中点．(1)证明PB ∥平面ACM ；(2)证明AD ⊥平面PAC ；(3)求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．（本小题满分13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的中点，连接,,DE BD BE .（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PBC . 试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12V V 的值．。
2015-2017近三年高考理科立体几何高考题汇编
2015-2017高考立体几何题汇编2017(三)16．a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；④直线AB 与a 所成角的最小值为60°； 其中正确的是________。
（填写所有正确结论的编号）2017(三)19．（12分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD =∠CBD ，AB =BD ．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D –AE –C 的余弦值． 2017(二)4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π2017(二)10．已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A B ．5C ．5D 2017(二)19．（12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= E 是PD 的中点． （1）证明：直线CE ∥平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o45，求二面角M AB D --的余弦值．2017(一)7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为2017(一)18．（12分）如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=.（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A −PB −C 的余弦值. 2017(天津)（17）（本小题满分13分）如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒.点D ，E ，N 分别为棱PA ，P C ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，PA =AC =4，AB =2.（Ⅰ）求证：MN ∥平面BDE ；（Ⅱ）求二面角C -EM -N 的正弦值；（Ⅲ）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为AH 的 2016(二)（19）（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB =5，AC =6，点E ,F 分别在AD ,CD 上，AE =CF =，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF折到△的位置，.（I ）证明：平面ABCD ；（II ）求二面角的正弦值.2016（北京）6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A.B. C.D.2016（北京）17.（本小题14分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；2015（二）（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（A ）（B ）（C ）（D ）2015（二）（19．（本小题满分12分）如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB = 16，BC = 10，AA 1 = 8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E = D 1F = 4，过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。
2015-2024高考真题 数学 分项汇编 含答案解析(全国通用)13 立体几何角和距离(20页)
专题13 立体几何的空间角与距离小题综合考点01 异面直线所成角及其应用1．（2022·全国新Ⅰ卷）（多选）已知正方体1111ABCD A B C D−，则（）A．直线1BC 与1DA所成的角为90︒B．直线1BC与1CA所成的角为90︒C．直线1BC与平面11BB DD所成的角为45︒D．直线1BC与平面ABCD所成的角为45︒2．（2021·全国乙卷）在正方体1111ABCD A B C D−中，P为11B D的中点，则直线PB与1AD所成的角为（）A．π2B．π3C．π4D．π63．（2018·全国）在正方体1111ABCD A B C D−中，E为棱1CC的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（）A B C D4．（2017·全国）已知直三棱柱111C CAB−A B中，C120∠AB=，2AB=，1C CC1B==，则异面直线1AB与1CB 所成角的余弦值为（）A B C D 5．（2016·全国）平面α过正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1的顶点A ，,ABCD m α⋂=平面，11ABB A n α⋂=平面，则m ，n 所成角的正弦值为（ ）A B C D ．136．（2015·浙江）如图，三棱锥A BCD −中， 3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是 ．考点02 线面角及其应用1．（2024·全国新Ⅱ卷）已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．32．（2023·全国乙卷）已知ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，ABD △为等边三角形，若二面角C AB D −−为150︒，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）A ．15B 5C D ．253．（2022·浙江）如图，已知正三棱柱1111,ABC A B C AC AA −=，E ，F 分别是棱11,BC AC 上的点．记EF 与1AA 所成的角为α，EF 与平面ABC 所成的角为β，二面角F BC A −−的平面角为γ，则（ ） A ．αβγ≤≤B ．βαγ≤≤C ．βγα≤≤D ．αγβ≤≤4．（2022·全国甲卷）在长方体1111ABCD A B C D −中，已知1B D 与平面ABCD 和平面11AA B B 所成的角均为30︒，则（ ）A ．2AB AD = B ．AB 与平面11ABCD 所成的角为30︒ C ．1AC CB =D ．1B D 与平面11BB C C 所成的角为45︒5．（2022·全国新Ⅰ卷）已知正方体1111ABCD A B C D −，则（ ） A ．直线1BC 与1DA 所成的角为90︒B ．直线1BC 与1CA 所成的角为90︒C ．直线1BC 与平面11BBD D 所成的角为45︒ D ．直线1BC 与平面ABCD 所成的角为45︒6．（2018·浙江）已知四棱锥S ABCD −的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S AB C −−的平面角为3θ，则（ ） A ．123θθθ≤≤B ．321θθθ≤≤C ．132θθθ≤≤D ．231θθθ≤≤7．（2018·全国）已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB△的面积为，则该圆锥的侧面积为 ．8．（2018·全国）在长方体1111ABCD A B C D −中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30，则该长方体的体积为（ ）A ．8B ．C ．D ．9．（2018·全国）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）A B C D考点03 二面角及其应用1．（2023·北京）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若25m,10m AB BC AD ===，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD 的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（ ） A ．102m B ．112m C ．117mD ．125m2．（2023·全国乙卷）已知ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，ABD △为等边三角形，若二面角C AB D −−为150︒，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）A ．15B C D ．253．（2023·全国新Ⅱ卷）（多选）已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，AB 为底面直径，120APB ∠=︒，2PA =，点C 在底面圆周上，且二面角P AC O −−为45°，则（ ）．A ．该圆锥的体积为πB ．该圆锥的侧面积为C ．AC =D ．PAC △4．（2022·浙江）如图，已知正三棱柱1111,ABC A B C AC AA −=，E ，F 分别是棱11,BC AC 上的点．记EF 与1AA 所成的角为α，EF 与平面ABC 所成的角为β，二面角F BC A −−的平面角为γ，则（ ） A ．αβγ≤≤B ．βαγ≤≤C ．βγα≤≤D ．αγβ≤≤5．（2019·浙江）设三棱锥V ABC −的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B −−的平面角为γ，则（ ） A ．,βγαγ<< B ．,βαβγ<< C ．,βαγα<<D ．,αβγβ<<6．（2018·浙江）已知四棱锥S ABCD −的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S AB C −−的平面角为3θ，则（ ） A ．123θθθ≤≤B ．321θθθ≤≤C ．132θθθ≤≤D ．231θθθ≤≤7．（2017·浙江）如图，已知正四面体D –ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，2BQ CRQC RA==，分别记二面角D–PR–Q ，D–PQ–R ，D–QR–P 的平面角为α,β,γ，则（ ）A ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α8．（2015·浙江）如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD ∆¢，所成二面角A CD B '−−的平面角为α，则（ ）A ．A DB α'∠≤ B ．A DB α'∠≥C ．A CB α∠'≤D ．A CB α'∠≥考点04 点面距及其应用1．（2019·全国）已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC么P 到平面ABC 的距离为 ．专题13 立体几何的空间角与空间距离及其综合应用小题综合考点01 异面直线所成角及其应用1．（2022·全国新Ⅰ卷）（多选）已知正方体1111ABCDAB CD −，则（ ） A ．直线1BC 与1DA 所成的角为90︒B ．直线1BC 与1CA 所成的角为90︒C ．直线1BC 与平面11BBD D 所成的角为45︒ D ．直线1BC 与平面ABCD 所成的角为45︒ 【答案】ABD【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，连接1B C 、1BC ，因为11//DA B C ，所以直线1BC 与1B C 所成的角即为直线1BC 与1DA 所成的角，因为四边形11BB C C 为正方形，则1B C ⊥1BC ，故直线1BC 与1DA 所成的角为90︒，A 正确； 连接1AC ，因为11A B ⊥平面11BB C C ，1BC ⊂平面11BB C C ，则111A B BC ⊥， 因为1B C ⊥1BC ，1111A B B C B =，所以1BC ⊥平面11A B C ，又1AC ⊂平面11A B C ，所以11BC CA ⊥，故B 正确； 连接11AC ，设1111ACB D O =，连接BO ，因为1BB ⊥平面1111DC B A ，1C O ⊂平面1111D C B A ，则11C O B B ⊥，因为111C O B D ⊥，1111B D B B B ⋂=，所以1C O ⊥平面11BB D D ，所以1C BO ∠为直线1BC 与平面11BB D D 所成的角， 设正方体棱长为1，则1C O =1BC =1111sin 2C O C BO BC ∠==，所以，直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为30，故C 错误；因为1C C ⊥平面ABCD ，所以1C BC ∠为直线1BC 与平面ABCD 所成的角，易得145C BC ∠=，故D 正确. 故选：ABD2．（2021·全国乙卷）在正方体1111ABCD A B C D −中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（ ） A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】D【分析】平移直线1AD 至1BC ，将直线PB 与1AD 所成的角转化为PB 与1BC 所成的角，解三角形即可.【详解】如图，连接11,,BC PC PB ，因为1AD ∥1BC ，所以1PBC ∠或其补角为直线PB 与1AD 所成的角，因为1BB ⊥平面1111D C B A ，所以11BB PC ⊥，又111PC B D ⊥，1111BB B D B ⋂=，所以1PC ⊥平面1PBB ，所以1PC PB ⊥， 设正方体棱长为2，则111112BC PC D B ===1111sin 2PC PBC BC ∠==，所以16PBC π∠=. 故选：D3．（2018·全国）在正方体1111ABCD A B C D −中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为 ABCD【答案】C【分析】利用正方体1111ABCD A B C D −中，//CD AB ，将问题转化为求共面直线AB 与AE 所成角的正切值，在ABE∆中进行计算即可.【详解】在正方体1111ABCD A B C D −中，//CD AB ，所以异面直线AE 与CD 所成角为EAB ∠， 设正方体边长为2a ，则由E 为棱1CC 的中点，可得CE a =，所以BE ，则tan BE EAB AB ∠===故选C.【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.4．（2017·全国）已知直三棱柱111C C AB −A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为 ABCD【答案】C【详解】如图所示，补成直四棱柱1111ABCD A B C D −，则所求角为1111,2,BC D BC BD C D AB ∠=====易得22211C D BD BC =+，因此111cos BC BC D C D ∠===C ．平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,]2π，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围． 5．（2016·全国）平面α过正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1的顶点A ，,ABCD m α⋂=平面，11ABBA n α⋂=平面，则m ，n 所成角的正弦值为A B 2CD ．13【答案】A【详解】试题分析：如图，设平面11CB D 平面ABCD ='m ，平面11CB D 平面11ABB A ='n ，因为//α平面11CB D ，所以//',//'m m n n ，则,m n 所成的角等于','m n 所成的角.延长AD ，过1D 作11D E B C ∥，连接11,CE B D ，则CE 为'm ，同理11B F 为'n ，而111,BD CE B FA B ∥∥，则','m n 所成的角即为1,A B BD 所成的角，即为60︒，故,m n ，选A. 【点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成的角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形、解形求角、得钝求补.6．（2015·浙江）如图，三棱锥A BCD −中， 3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是 ． 【答案】78【详解】如下图，连结DN ，取DN 中点P ，连结PM ，PC ，则可知即为异面直线，所成角（或其补角）易得，，，∴，即异面直线，所成角的余弦值为.考点：异面直线的夹角.考点02 线面角及其应用1．（2024·全国新Ⅱ卷）已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为（ ） A ．12 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高h =AM =进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台111ABC A B C -补成正三棱锥−P ABC ，1A A 与平面ABC 所成角即为PA 与平面ABC 所成角，根据比例关系可得18P ABC V −=，进而可求正三棱锥−P ABC 的高，即可得结果.【详解】解法一：分别取11,BC B C 的中点1,D D ，则11AD D =111116693,2322ABCA B C SS =⨯⨯==⨯⨯=111ABC A B C -的为h ，则(11115233ABC A B C V h −==，解得h =11,A D 作底面垂线，垂足为,M N ，设AM x =，则1AA DN AD AM MN x =--=，可得1DD =结合等腰梯形11BCC B 可得22211622BB DD −⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,即()221616433x x +=++，解得3x =， 所以1A A 与平面ABC 所成角的正切值为11tan 1A MA ADAM?=； 解法二：将正三棱台111ABC A B C -补成正三棱锥−P ABC ， 则1A A 与平面ABC 所成角即为PA 与平面ABC 所成角，因为11113PA A B PA AB ==，则111127P A B C P ABC V V −−=，可知1112652273ABC A B C P ABC V V −−==，则18P ABC V −=， 设正三棱锥−P ABC 的高为d，则11661832P ABC V d −=⨯⨯⨯=，解得d =取底面ABC 的中心为O ，则PO ⊥底面ABC，且AO = 所以PA 与平面ABC 所成角的正切值tan 1POPAO AO∠==. 故选：B.2．（2023·全国乙卷）已知ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，ABD △为等边三角形，若二面角C AB D −−为150︒，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）A ．15B5CD ．25【答案】C【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.【详解】取AB 的中点E ，连接,CE DE ，因为ABC 是等腰直角三角形，且AB 为斜边，则有CE AB ⊥， 又ABD △是等边三角形，则DE AB ⊥，从而CED ∠为二面角C AB D −−的平面角，即150CED ∠=，显然,,CE DE E CE DE ⋂=⊂平面CDE ，于是AB ⊥平面CDE ，又AB ⊂平面ABC ， 因此平面CDE ⊥平面ABC ，显然平面CDE ⋂平面ABC CE =， 直线CD ⊂平面CDE ，则直线CD 在平面ABC 内的射影为直线CE ，从而DCE ∠为直线CD 与平面ABC 所成的角，令2AB =，则1,CE DE =CDE 中，由余弦定理得：CD == 由正弦定理得sin sin DE CD DCE CED =∠∠，即sin1503sinDCE ∠==显然DCE ∠是锐角，cosDCE ∠==所以直线CD 与平面ABC 故选：C3．（2022·浙江）如图，已知正三棱柱1111,ABC A B C AC AA −=，E ，F 分别是棱11,BC AC 上的点．记EF 与1AA 所成的角为α，EF 与平面ABC 所成的角为β，二面角F BC A −−的平面角为γ，则（ ）A ．αβγ≤≤B ．βαγ≤≤C ．βγα≤≤D ．αγβ≤≤【答案】A【分析】先用几何法表示出αβγ，，，再根据边长关系即可比较大小．【详解】如图所示，过点F 作FP AC ⊥于P ，过P 作PM BC ⊥于M ，连接PE ，则EFP α=∠，FEP β=∠，FMP γ=∠， tan 1PE PE FP AB α==≤，tan 1FP AB PE PE β==≥，tan tan FP FPPM PEγβ=≥=， 所以αβγ≤≤， 故选：A ．4．（2022·全国甲卷）在长方体1111ABCD A B C D −中，已知1B D 与平面ABCD 和平面11AA B B 所成的角均为30︒，则（ ）A ．2AB AD = B ．AB 与平面11ABCD 所成的角为30︒ C ．1AC CB = D ．1B D 与平面11BB C C 所成的角为45︒【答案】D【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出． 【详解】如图所示：不妨设1,,AB a AD b AA c ===，依题以及长方体的结构特征可知，1B D 与平面ABCD 所成角为1B DB ∠，1B D 与平面11AA B B 所成角为1DB A ∠，所以11sin 30c b B D B D==，即b c =，12B D c ==a =． 对于A ，AB a =，ADb =，AB =，A 错误；对于B ，过B 作1BE AB ⊥于E ，易知BE ⊥平面11AB C D ，所以AB 与平面11AB C D 所成角为BAE ∠，因为tan c BAE a ∠==30BAE ∠≠，B 错误； 对于C，AC ==，1CB ==，1AC CB ≠，C 错误； 对于D ，1B D 与平面11BB C C 所成角为1DB C ∠，11sin 2CD a DB C B D c ∠===，而1090DB C <∠<，所以145DB C ∠=．D 正确．故选：D ．5．（2022·全国新Ⅰ卷）已知正方体1111ABCD A B C D −，则（ ） A ．直线1BC 与1DA 所成的角为90︒B ．直线1BC 与1CA 所成的角为90︒C ．直线1BC 与平面11BBD D 所成的角为45︒ D ．直线1BC 与平面ABCD 所成的角为45︒ 【答案】ABD【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，连接1B C 、1BC ，因为11//DA B C ，所以直线1BC 与1B C 所成的角即为直线1BC 与1DA 所成的角， 因为四边形11BB C C 为正方形，则1B C ⊥1BC ，故直线1BC 与1DA 所成的角为90︒，A 正确；连接1AC ，因为11A B ⊥平面11BB C C ，1BC ⊂平面11BB C C ，则111A B BC ⊥， 因为1B C ⊥1BC ，1111A B B C B =，所以1BC ⊥平面11A B C ，又1AC ⊂平面11A B C ，所以11BC CA ⊥，故B 正确；连接11AC ，设1111AC B D O =，连接BO ，因为1BB ⊥平面1111D C B A ，1C O ⊂平面1111D C B A ，则11C O B B ⊥， 因为111C O B D ⊥，1111B D B B B ⋂=，所以1C O ⊥平面11BB D D ， 所以1C BO ∠为直线1BC 与平面11BB D D 所成的角， 设正方体棱长为1，则1C O =1BC 1111sin 2C O C BO BC ∠==， 所以，直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为30，故C 错误；因为1C C ⊥平面ABCD ，所以1C BC ∠为直线1BC 与平面ABCD 所成的角，易得145C BC ∠=，故D 正确. 故选：ABD6．（2018·浙江）已知四棱锥S ABCD −的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S AB C −−的平面角为3θ，则 A ．123θθθ≤≤ B ．321θθθ≤≤ C ．132θθθ≤≤ D ．231θθθ≤≤【答案】D【分析】分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系. 【详解】设O 为正方形ABCD 的中心，M 为AB 中点，过E 作BC 的平行线EF ，交CD 于F ，过O 作ON 垂直EF 于N ，连接SO 、SN 、OM ，则SO 垂直于底面ABCD ，OM 垂直于AB ， 因此123,,,SEN SEO SMO θθθ∠=∠=∠= 从而123tan ,tan ,tan ,SN SN SO SOEN OM EO OMθθθ==== 因为SN SO EO OM ≥≥，，所以132tan tan tan ,θθθ≥≥即132θθθ≥≥，选D.【点睛】线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面.7．（2018·全国）已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB△的面积为，则该圆锥的侧面积为 ．【答案】【分析】先根据三角形面积公式求出母线长,再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求出结果.【详解】因为母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，所以母线SA ，SB所成角的正弦值为8，因为SAB △的面积为,l所以212l l ⨯==因为SA 与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为πcos 42l =，因此圆锥的侧面积为2ππ2rl l ==． 【整体点评】根据三角形面积公式先求出母线长，再根据线面角求出底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求出侧面积，思路直接自然，是该题的最优解．8．（2018·全国）在长方体1111ABCD A B C D −中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30，则该长方体的体积为A ．8B ．C ．D ．【答案】C【分析】首先画出长方体1111ABCD A B C D −，利用题中条件，得到130AC B ∠=，根据2AB =，求得1BC =，可以确定1CC =. 【详解】在长方体1111ABCD A B C D −中，连接1BC ，根据线面角的定义可知130AC B ∠=，因为2AB =，所以1BC =，从而求得1CC =所以该长方体的体积为22V =⨯⨯ C.【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.9．（2018·全国）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A B C D 【答案】A【分析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的， 所以在正方体1111ABCD A B C D −中，平面11AB D 与线11111,,AA A B A D 所成的角是相等的，所以平面11AB D 与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的， 同理平面1C BD 也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等， 要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面11AB D 与1C BD 中间的，所以其面积为26S =，故选A. 点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.考点03 二面角及其应用1．（2023·北京）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若25m,10m AB BC AD ===，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD 的夹角的正切值均为5，则该五面体的所有棱长之和为（ ）A ．102mB ．112mC ．117mD ．125m【答案】C【分析】先根据线面角的定义求得tan tan EMO EGO ∠=∠，从而依次求EO ，EG ，EB ，EF ，再把所有棱长相加即可得解.【详解】如图，过E 做EO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，过E 分别做EG BC ⊥，EM AB ⊥，垂足分别为G ，M ，连接,OG OM ，由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为EMO ∠和EGO ∠，所以tan tan EMO EGO ∠=∠.因为EO ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以EO BC ⊥， 因为EG BC ⊥，,EO EG ⊂平面EOG ，EO EG E ⋂=， 所以BC ⊥平面EOG ，因为OG ⊂平面EOG ，所以BC OG ⊥，. 同理：OM BM ⊥，又BM BG ⊥，故四边形OMBG 是矩形， 所以由10BC =得5OM =，所以EO 5OG =，所以在直角三角形EOG 中，EG =在直角三角形EBG 中，5BG OM ==，8EB ，又因为55255515EF AB =−−=−−=， 所有棱长之和为2252101548117m ⨯+⨯++⨯=. 故选：C2．（2023·全国乙卷）已知ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，ABD △为等边三角形，若二面角C AB D −−为150︒，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）A ．15B 5C D ．25【答案】C【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.【详解】取AB 的中点E ，连接,CE DE ，因为ABC 是等腰直角三角形，且AB 为斜边，则有CE AB ⊥， 又ABD △是等边三角形，则DE AB ⊥，从而CED ∠为二面角C AB D −−的平面角，即150CED ∠=，显然,,CE DE E CE DE ⋂=⊂平面CDE ，于是AB ⊥平面CDE ，又AB ⊂平面ABC ， 因此平面CDE ⊥平面ABC ，显然平面CDE ⋂平面ABC CE =， 直线CD ⊂平面CDE ，则直线CD 在平面ABC 内的射影为直线CE ，从而DCE ∠为直线CD 与平面ABC 所成的角，令2AB =，则1,CE DE =CDE 中，由余弦定理得：CD ==由正弦定理得sin sin DE CD DCE CED =∠∠，即sin1503sin DCE ∠==显然DCE ∠是锐角，cosDCE ∠==所以直线CD 与平面ABC 故选：C3．（2023·全国新Ⅱ卷）（多选）已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，AB 为底面直径，120APB ∠=︒，2PA =，点C 在底面圆周上，且二面角P AC O −−为45°，则（ ）．A ．该圆锥的体积为πB ．该圆锥的侧面积为C．AC =D ．PAC △【答案】AC【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A 、B 选项的正确性，利用二面角的知识判断C 、D 选项的正确性.【详解】依题意，120APB ∠=︒，2PA =，所以1,OP OA OB ==A 选项，圆锥的体积为21π1π3⨯⨯⨯=，A 选项正确；B 选项，圆锥的侧面积为π2=，B 选项错误；C 选项，设D 是AC 的中点，连接,OD PD ，则,AC OD AC PD ⊥⊥，所以PDO ∠是二面角P AC O −−的平面角， 则45PDO ∠=︒，所以1OP OD ==，故AD CD ==AC =C 选项正确；D 选项，PD ==122PACS =⨯=，D 选项错误. 故选：AC.4．（2022·浙江）如图，已知正三棱柱1111,ABC A B C AC AA −=，E ，F 分别是棱11,BC AC 上的点．记EF 与1AA 所成的角为α，EF 与平面ABC 所成的角为β，二面角F BC A −−的平面角为γ，则（ ）A ．αβγ≤≤B ．βαγ≤≤C ．βγα≤≤D ．αγβ≤≤【答案】A【分析】先用几何法表示出αβγ，，，再根据边长关系即可比较大小．【详解】如图所示，过点F 作FP AC ⊥于P ，过P 作PM BC ⊥于M ，连接PE ，则EFP α=∠，FEP β=∠，FMP γ=∠， tan 1PE PE FP AB α==≤，tan 1FP AB PE PE β==≥，tan tan FP FPPM PEγβ=≥=， 所以αβγ≤≤， 故选：A ．5．（2019·浙江）设三棱锥V ABC −的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B −−的平面角为γ，则 A ．,βγαγ<< B ．,βαβγ<< C ．,βαγα<< D ．,αβγβ<<【答案】B【解析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.【详解】方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直AE ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 交VG 于F ，过D 作//DH AC ，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED α=∠β=∠γ=∠，则cos cos PF EG DH BD PB PB PB PB α===<=β，即αβ>，tan tan PD PDED BDγ=>=β，即y >β，综上所述，答案为B.方法2：由最小角定理βα<，记V AB C −−的平面角为γ'（显然γ'=γ） 由最大角定理β<γ'=γ，故选B.方法3：（特殊位置）取V ABC −为正四面体，P 为VA 中点，易得cos sin sin 33α=⇒α=β=γ=，故选B.【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法. 6．（2018·浙江）已知四棱锥S ABCD −的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S AB C −−的平面角为3θ，则 A ．123θθθ≤≤ B ．321θθθ≤≤ C ．132θθθ≤≤ D ．231θθθ≤≤【答案】D【分析】分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系. 【详解】设O 为正方形ABCD 的中心，M 为AB 中点，过E 作BC 的平行线EF ，交CD 于F ，过O 作ON 垂直EF 于N ，连接SO 、SN 、OM ，则SO 垂直于底面ABCD ，OM 垂直于AB ， 因此123,,,SEN SEO SMO θθθ∠=∠=∠= 从而123tan ,tan ,tan ,SN SN SO SOEN OM EO OMθθθ==== 因为SN SO EO OM ≥≥，，所以132tan tan tan ,θθθ≥≥即132θθθ≥≥，选D.【点睛】线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面.7．（2017·浙江）如图，已知正四面体D –ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，2BQ CRQC RA==，分别记二面角D–PR–Q ，D–PQ–R ，D–QR–P 的平面角为α,β,γ，则A ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α【答案】B【详解】设O 为三角形ABC 中心，则正四面体D –ABC 的顶点在底面ABC 的投影为O ，过O 分别作PR 、PQ 、RQ 的垂线，垂足分别为E 、F 、G ，连结DE 、DF 、DG ，则有=,=,=,DEO DFO DGO αβγ∠∠=∠所以tan =,tan =,tan =OD OD ODOE OF OGαβγ 只需比较OE 、OF 、OG 的大小：在底面三角形ABC 中，建立如图示的坐标系，不妨设2AB =,则()()(1,0,1,0,,A B C −()120,0,,,33P Q R ⎛⎛− ⎝⎭⎝⎭所以直线RP 的方程为2y x =，直线PQ 的方程为y =，直线RQ 的方程为39y x =+,由点到直线的距离公式，可求出：1,,21393OE OF OG ===所以OE OG OF >>,所以tan tan tan αγβ<<，有α,β,γ均为锐角，所以α<γ<β. 故选：B【点睛】立体几何是高中数学中的重要内容，也是高考重点考查的考点与热点．这类问题的设置一般有线面位置关系的证明与角度距离的计算等两类问题．解答第一类问题时一般要借助线面平行与垂直的判定定理进行；解答第二类问题时先建立空间直角坐标系，运用空间向量的坐标形式及数量积公式进行求解．8．（2015·浙江）如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD ∆¢，所成二面角A CD B '−−的平面角为α，则A ．A DB α'∠≤ B ．A DB α'∠≥C ．A CB α∠'≤D ．A CB α'∠≥【答案】B【详解】设ADC θ∠=，设2AB =，则由题意1AD BD ==，在空间图形中，设A B t '=， 在A DB ∆'中，2222222112cos 22112A D DB AB t t A DB A D DB +−+−−∠===⨯'⨯''⨯，在空间图形中，过A '作AN DC ⊥，过B 作BM DC ⊥，垂足分别为N ，M ， 过N 作//NP MB ，连结A P '，∴NP DC ⊥，则A NP ∠'就是二面角A CD B '−−的平面角，∴A NP α∠'=， 在Rt A ND ∆'中，cos cos DN A D A DC θ=∠=''，，同理，sin BM PN θ==，cos DM θ=，故2cos BP MN θ==， 显然BP ⊥面A NP '，故BP A P ⊥'，在Rt A BP ∆'中，2222222(2cos )4cos A P A B BP t t θθ=−==−'−'，在A NP ∆'中，222cos cos 2A N NP A P A NP A N NP α'''∠'+−==⨯2222sin sin (4cos )2sin sin t θθθθθ+−−=⨯ 222222222222cos 2cos 1cos cos 2sin 2sin sin sin sin t t A DB θθθθθθθθ+−−==+=∠+'，∵210sin θ>，22cos 0sin θθ≥，∴cos cos A DB α≥∠'（当2πθ=时取等号）， ∵，[0,]A DB π∠∈'，而cos y x =在[0,]π上为递减函数，∴A DB α≤∠'，故选B.考点：立体几何中的动态问题考点04 点面距及其应用1．（2019·全国）已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC么P 到平面ABC 的距离为 ．【分析】本题考查学生空间想象能力，合理画图成为关键，准确找到P 在底面上的射影，使用线面垂直定理，得到垂直关系，勾股定理解决．【详解】作,PD PE 分别垂直于,AC BC ，PO ⊥平面ABC ，连CO ，已知,CD PD CD PO ⊥⊥，=PD OD P ，CD \^平面PDO ，OD ⊂平面PDO ，CD OD ∴⊥PD PE =∵2PC =．sin sin PCE PCD ∴∠=∠=，60PCB PCA ︒∴∠=∠=，PO CO ∴⊥，CO 为ACB ∠平分线，451,OCD OD CD OC ︒∴∠=∴===2PC =，PO ∴==【点睛】画图视角选择不当，线面垂直定理使用不够灵活，难以发现垂直关系，问题即很难解决，将几何体摆放成正常视角，是立体几何问题解决的有效手段，几何关系利于观察，解题事半功倍．。
专题15 立体几何多选、填空题(理科)(原卷版)-十年(2014-2023)高考数学真题分项汇编
十年（2014－2023）年高考真题分项汇编立体几何填空、多选目录题型一：立体几何结构特征 (1)题型二：立体几何三视图 (2)题型三：立体几何的表面积与体积 (3)题型四：立体几何中的球的问题 (9)题型五：立体几何线面位置关系 (9)题型六：立体几何中的角度与距离 (10)题型一：立体几何结构特征1．(2023年全国甲卷理科·第15题)在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为AB ，11C D 的中点，以EF 为直径的球的球面与该正方体的棱共有____________个公共点．2．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第15题)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．3．(2019·全国Ⅱ·理·第16长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有个面，其棱长为(本题第一空2分，第二空3分).4．(2017年高考数学上海（文理科）·第11题)如图,以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点,过D 的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,若1DB 的坐标为(4,3,2),则1AC 的坐标为________．5．(2015高考数学江苏文理·第9题)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积和高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_______．二、多选题1．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第12题)下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m )的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有()A ．直径为0.99m 的球体B ．所有棱长均为1.4m 的四面体C ．底面直径为0.01m ，高为1.8m 的圆柱体D ．底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体2．(2021年新高考Ⅰ卷·第12题)在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+ ，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则()A ．当1λ=时，1AB P △的周长为定值B ．当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C ．当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥D ．当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 题型二：立体几何三视图1．(2021年高考全国乙卷理科·第16题)以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________(写出符合要求的一组答案即可)．2．(2019·北京·理·第11题)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．3．(2017年高考数学上海（文理科）·第8题)已知球的体积为36π,则该球主视图的面积等于________．4．(2017年高考数学山东理科·第13题)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如下图,则该几何体的体积为__________．则该棱台的体积为________．2．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第14题)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．3．(2020年新高考全国Ⅰ卷（山东）·第15题)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =35，BH DG ∥，EF =12cm ，DE=2cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．4．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学（海南）·第13题)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点，则三棱锥A -NMD 1的体积为____________5．(2020天津高考·第15题)如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=- ，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN = ，则DM DN ⋅ 的最小值为_________．6．(2020江苏高考·第9题)如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半轻为0．5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm．7．(2019·天津·理·第11题)个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为．8．(2019·全国Ⅲ·理·第16题)学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O EFGH -后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，,,,E F G H 分别为所在棱的中点16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为30.9g /cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g ．9．(2019·江苏·第9题)如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 是1CC 的中点，则三棱椎-E BCD 的体积是______.10．(2018年高考数学江苏卷·第10题)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．11．(2018年高考数学天津（理）·第11题)已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M EFGH -的体积为．12．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）·第16题)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB △的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．13．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =．若二面角1C AB C --的大小为60，则点1C 到直线AB 的距离为．1A 1B 1C AB C14．(2014高考数学天津理科·第10题)已知一个几何体的三视图如图所示(单位:m ),则该几何体的体积为_________3m．15．(2014高考数学山东理科·第13题)三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V =．16．(2014高考数学江苏·第8题)设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ,2S ，体积分别为1V ,2V ，若它们的侧面积相等，且1294S S =，则12V V 的值是．17．(2015高考数学天津理科·第10题)一个几何体的三视图如图所示(单位：m )，则该几何体的体积为3m．18．(2015高考数学上海理科·第4题)若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为，则a =．19．(2017年高考数学江苏文理科·第6题)如图,在圆柱12,O O 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下面及母线均相切．记圆柱12,O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ,则12V V 的值是_______．20．(2016高考数学浙江理科·第14题)如图，在ABC ∆中，2,120AB BC ABC ==∠= ．若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足,PD DA PB BA ==，则四面体PBCD 的体积的最大值是．21．(2016高考数学浙江理科·第11题)某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的表面积是2cm ，体积是3cm ．OO 1O 2(第6题)⋅⋅⋅22．(2016高考数学天津理科·第11题)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m )，则该四棱锥的体积为_____________3m ．23．(2016高考数学四川理科·第13题)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则三棱锥的体积为_______．二、多选题1．(2022新高考全国II 卷·第11题)如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，,2FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥E ACD -，F ABC -，F ACE -的体积分别为123,,V V V ，则()A ．322V V =B ．31V V =C ．312V V V =+D ．3123V V =题型四：立体几何中的球的问题1．(2020年新高考全国Ⅰ卷（山东）·第16题)已知直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D BCC 1B 1的交线长为________．2．(2017年高考数学天津理科·第10题)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ．则下述命题中所有真命题的序号是__________．①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝2．(2019·北京·理·第12题)已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l m ⊥；②m ∥α；③l α⊥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【3．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第14题),αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题：(1)如果m n ⊥，m α⊥，//n β，那么αβ⊥．(2)如果m α⊥，//n α，那么m n ⊥．(3)如果//αβ，m α⊂，那么//m β．(4)如果//m n ，//αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等．其中正确的命题有．(填写所有正确命题的编号)二、多选题1．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第10题)如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点．则满足MN OP ⊥的是()A ．B ．C ．D ．_____________．(结果用反三角函数值表示)2．(2015高考数学浙江理科·第13题)如图，三棱锥A BCD -中，3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是．3．(2015高考数学四川理科·第14题)如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面相互垂直，动点M 在线段PQ 上，,E F 分别为AB ,BC 中点，设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ的最大值为________4．(2015高考数学上海理科·第6题)若圆锥的侧面积与过轴的截面积面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．5．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第16题),a b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与,a b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成30︒角；②当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成60︒角；③直线AB 与a 所成角的最小值为45︒；④直线AB 与a 所成角的最大值为60︒．其中正确的是．(填写所有正确结论的编号)6．(2016高考数学上海理科·第6题)如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为32arctan ，则该正四棱柱的高等于____________．二、多选题1．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第9题)已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，AB 为底面直径，120APB ∠=︒，2PA =，点C 在底面圆周上，且二面角P AC O --为45°，则()．A ．该圆锥的体积为πB ．该圆锥的侧面积为C ．AC =D ．PAC △2．(2022新高考全国I 卷·第9题)已知正方体1111ABCD A B C D -，则()A ．直线1BC 与1DA 所成的角为90︒B ．直线1BC 与1CA 所成的角为90︒C ．直线1BC 与平面11BBD D 所成的角为45︒D ．直线1BC 与平面ABCD 所成的角为45︒。
2015年高考数学（文科）真题分类汇编G单元立体几何
数 学G 单元 立体几何G1 空间几何体的结构19．G1[2015·全国卷Ⅱ] 如图18，长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．图1819．解：(1)交线围成的正方形EHGF 如图．(2)作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8.因为EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10.于是MH ＝＝6，AH ＝10，HB ＝6.EH 2－EM 2因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为也正确．977918．G1，G4，G5[2015·北京卷] 如图15，在三棱锥V ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且AC ＝BC ＝，O ，M 分别为AB ，VA 的中点．2(1)求证：VB ∥平面MOC ；(2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ；(3)求三棱锥V ABC 的体积．图1518．解：(1)证明：因为O ，M 分别为AB ，VA 的中点，所以OM ∥VB .又因为VB ⊄平面MOC ，OM ⊂平面MOC ，所以VB ∥平面MOC .(2)证明：因为AC ＝BC ，O 为AB 的中点，所以OC ⊥AB .又因为平面VAB ⊥平面ABC ，平面VAB ∩平面ABC ＝AB ，且OC ⊂平面ABC ，所以OC ⊥平面VAB .又因为OC ⊂平面MOC ，所以平面MOC ⊥平面VAB .(3)在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝，2所以AB ＝2，OC ＝1.所以等边三角形VAB 的面积S △VAB ＝.3又因为OC ⊥平面VAB ，所以三棱锥C VAB 的体积等于OC ·S △VAB ＝.1333又因为三棱锥V ABC 的体积与三棱锥C VAB 的体积相等，所以三棱锥V ABC 的体积为.3318．G1、G5[2015·湖南卷] 如图14，直三棱柱ABC A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，E ，F 分别是BC ，CC 1的中点．(1)证明：平面AEF ⊥平面B 1BCC 1；(2)若直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角为45°，求三棱锥F AEC 的体积．18．解：(1)证明：如图，因为三棱柱ABC A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AE ⊥BB 1.又E 是正三角形ABC 的边BC 的中点，所以AE ⊥BC .因此AE ⊥平面B 1BCC 1.而AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面B 1BCC 1.(2)设AB 的中点为D ，连接A 1D 因为△ABC 是正三角形，所以CD ⊥AB .又三棱柱ABC A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CD ⊥AA 1.因此CD ⊥平面A 1ABB 1，于是∠CA 1D 为直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角．由题设，∠CA 1D ＝45°，所以A 1D ＝CD ＝AB ＝.323在Rt △AA 1D 中，AA 1＝＝＝，所以FC ＝AA 1＝.A 1D 2－AD 23－121222故三棱锥F AEC 的体积V ＝S △AEC ·FC ＝××＝.131********9．G1[2015·山东卷] 已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.B.22π342π3C ．2πD ．4π229．B [解析] 由条件知该直角三角形的斜边长为2，斜边上的高为，故围成的几22何体的体积为2××π×()2×＝.132242π318．G1，G4，G5[2015·四川卷] 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图12所示．(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论；(3)证明：直线DF图1218．解：(1)点F ，G ，H 的位置如图所示．(2)平面BEG ∥平面ACH .证明如下：因为ABCD EFGH 为正方体，所以BC ∥FG ，BC ＝FG ，又FG ∥EH ，FG ＝EH ，所以BC ∥EH ，BC ＝EH ，于是BCHE 为平行四边形，所以BE ∥CH .又CH ⊂平面ACH ，BE ⊄平面ACH ，所以BE ∥平面ACH .同理BG ∥平面ACH .又BE ∩BG ＝B ，所以平面BEG ∥平面ACH .(3)证明：连接FH .因为ABCD EFGH 为正方体，所以DH ⊥平面EFGH .因为EG ⊂平面EFGH ，所以DH ⊥EG ，又EG ⊥FH ，EG ∩FH ＝O ，所以EG ⊥平面BFHD .又DF ⊂平面BFHD ，所以DF ⊥EG .同理DF ⊥BG .又EG ∩BG ＝G ，所以DF ⊥平面BEG .10．G1、G2[2015·天津卷] 一个几何体的三视图如图13所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.图1310.π [解析] 根据三视图可知，该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，其体积V ＝π83×12×2＋2××π×12×1＝π(m 3)．1383G2 空间几何体的三视图和直观图9．G2[2015·安徽卷] 一个四面体的三视图如图12所示，则该四面体的表面积是( )A ．1＋B ．1＋232C ．2＋D ．2329．C [解析] 四面体的直观图如图所示，设O 是AC 的中点，则OP ＝OB ＝1，因此PB＝，于是S △PAB ＝S △PBC ＝×()2＝，S △PAC ＝S △ABC ＝×2×1＝1，故四面体的表面积23423212S ＝2×1＋2×＝2＋.32311．G2[2015·全国卷Ⅰ] 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图14所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )图14A ．1B ．2C ．4D ．811．B [解析] 由三视图可知，此组合体的前半部分是一个底面半径为r ，高为2r 的半圆柱(水平放置)，后半部分是一个半径为r 的半球，其中半圆柱的一个底面与半球的半个圆面重合，所以此几何体的表面积为2r ·2r ＋πr 2＋πr 2＋πr ·2r ＋2πr 2＝4r 2＋5πr 2＝16＋121220π，解得r ＝2.6．G2[2015·全国卷Ⅱ] 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图12，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )图12A. B.1817C. D.16156．D [解析] 由剩余部分的三视图可知，正方体被截去一个三棱锥，剩余部分如图所示，设正方体的棱长为a ，则被截去的三棱锥的体积为×a 2×a ＝a 3，而正方体的体积为131216a 3，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为.157．G2[2015·北京卷] 某四棱锥的三视图如图12所示，该四棱锥最长棱的棱长为( )图12A ．1 B. C. D ．2237．C [解析] 根据三视图可得，此四棱锥是底面是正方形，有一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如图所示，所以最长棱的棱长为PC ＝＝，故选C.12＋12＋1239．G2[2015·福建卷] ( )图13A ．8＋2B ．11＋2 22C ．14＋2D ．1529．B [解析] 由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，其表面积S ＝(1＋1＋2＋)×2＋×(1＋2)×1×2＝11＋2 .212210．G2、G7、K3[2015·湖南卷] 某工件的三视图如图13所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝)( )新工件的体积原工件的体积图13A.B.89π827πC. D.24（2－1）3π8（2－1）3π10．A [解析] 由三视图知，原工件是底面半径为1，母线长为3的圆锥．设新正方体工件的棱长为x ，借助轴截面，由三角形相似可得，＝，得x ＝x 32－121－22x 1，故V 正＝x 3＝，又V 圆锥＝π×12×＝，故利用率为＝，选223162271332－1222π316227223π89πA.5．G2[2015·陕西卷]12所示，则该几何体的表面积为( )图12A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋45．D [解析] 该几何体是底面半径为1、高为2的圆柱被其轴截面截开的半个圆柱，其表面积为×2π×1×2＋2××π×12＋2×2＝3π＋4.121214．G2，G7[2015·四川卷] 在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是棱AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P A 1MN 的体积是________．14. [解析] 由题意知，三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，棱柱的高124为1且该棱柱为直三棱柱，其底面积为，三棱锥A 1PMN 的底面积是××1，高为，故12121212三棱锥P A 1MN 的体积为××＝.13121412410．G1、G2[2015·天津卷] 一个几何体的三视图如图13所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.图1310.π [解析] 根据三视图可知，该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，其体积V ＝π×8312×2＋2××π×12×1＝π(m 3)．13832．G2[2015·浙江卷] 某几何体的三视图如图11所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )图11A ．8 cm 3B ．12 cm 3C. cm 3D. cm 33234032．C [解析] 该几何体为一个正方体和一个四棱锥的组合体，故所求体积为23＋×2×132×2＝.323G3 平面的基本性质、空间两条直线6．G3[2015·广东卷] 若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交6．D [解析] 若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则l 至少与l 1，l 2中的一条相交，故选D.5．A2、G3[2015·湖北卷] l 1，l 2表示空间中的两条直线，若p ：l 1，l 2是异面直线；q ：l 1，l 2不相交，则( )A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件5．A [解析] 由l1，l2是异面直线，可得l1，l2不相交，所以p⇒q；由l1，l2不相交，可得l1，l2是异面直线或l1∥l2，所以q⇒/ p．所以p是q的充分条件，但不是q的必要条件．故选A.G4 空间中的平行关系18．G4，G5，G11[2015·广东卷] 如图13，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.(1)证明：BC∥平面PDA；(2)证明：BC⊥PD；(3)求点C到平面PDA的距离．图1318．G1，G4，G5[2015·北京卷] 如图15，在三棱锥VABC中，平面VAB⊥平面ABC，2△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝，O，M分别为AB，VA的中点．(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱锥VABC的体积．图1518．解：(1)证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB.又因为VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，所以VB∥平面MOC.(2)证明：因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.又因为平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB.又因为OC⊂平面MOC，所以平面MOC⊥平面VAB.2(3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝，所以AB＝2，OC＝1.所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝.3又因为OC⊥平面VAB，所以三棱锥CVAB的体积等于OC ·S △VAB ＝.1333又因为三棱锥V ABC 的体积与三棱锥C VAB 的体积相等，所以三棱锥V ABC 的体积为.3318．G4、G5[2015·山东卷] 如图13，三棱台DEF ABC 中，AB ＝2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点．(1)求证：BD ∥平面FGH ；(2)若CF ⊥BC ，AB ⊥BC ，求证：平面BCD ⊥平面EGH .18．证明：(1)证法一：如图，连接DG ，CD ，设CD ∩GF ＝M ，连接MH .在三棱台DEF ABC 中，AB ＝2DE ，G 为AC 的中点，可得DF ∥GC ，DF ＝GC ，所以四边形DFCG 为平行四边形，则M 为CD 的中点．又H 为BC 的中点，所以HM ∥BD .又HM ⊂平面FGH ，BD ⊄平面FGH ，所以BD ∥平面FGH .证法二：在三棱台DEF ABC 中，由BC ＝2EF ，H 为BC 的中点，可得BH ∥EF ，BH ＝EF ，所以四边形HBEF 为平行四边形，可得BE ∥HF .在△ABC 中，G 为AC 的中点，H 为BC 的中点，所以GH ∥AB .又GH ∩HF ＝H ，AB ∩BE ＝B ，所以平面FGH ∥平面ABED .因为BD ⊂平面ABED ，所以BD ∥平面FGH .(2)如图，连接HE ，GE .因为G ，H 分别为AC ，BC 的中点，所以GH ∥AB .由AB ⊥BC ，得GH ⊥BC ，又H 为BC 的中点，所以EF ∥HC ，EF ＝HC ，因此四边形EFCH 是平行四边形，所以CF ∥HE .又CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.18．G1，G4，G5[2015·四川卷] 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图12所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；(3)证明：直线DF图1218．解：(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下：因为ABCDEFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明：连接FH.因为ABCDEFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH.因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG，又EG⊥FH，EG∩FH＝O，所以EG⊥平面BFHD.又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG.同理DF⊥BG.又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG.17．G4、G5、G11[2015·天津卷] 如图14，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC ＝2，AA 1＝，BB 1＝2，点E 和F 分别为BC 和A 1C 中点．577(1)求证：EF ∥平面A 1B 1BA ；(2)求证：平面AEA 1⊥平面BCB 1；(3)求直线A 1B 1与平面BCB 1所成角的大小．17．解：(1)证明：如图所示，连接A 1B .在△A 1BC 中，因为E 和F 分别是BC 和A 1C 的中点，所以EF ∥BA 1.又因为EF ⊄平面A A 1B 1BA .(2)证明：因为AB ＝AC ，E 为BC BC .因为AA 1⊥平面ABC ，BB 1∥AA 1，所以BB 1⊥平面ABC ，从而BB 1⊥AE .又因为BC ∩BB 1＝B ，所以AE ⊥平面BCB 1.又因为AE ⊂平面AEA 1，所以平面AEA 1⊥平面BCB 1.(3)取BB 1的中点M 和B 1C 的中点N ，连接A 1M ，A 1N ，NE .因为N 和E 分别为B 1C 和BC的中点，所以NE ∥B 1B ，NE ＝B 1B ，故NE ∥A 1A ，且NE ＝A 1A ，所以A 1N ∥AE ，且A 1N ＝12AE .又因为AE ⊥平面BCB 1，所以A 1N ⊥平面BCB 1，从而∠A 1B 1N 为直线A 1B 1与平面BCB 1所成的角．在△ABC 中，可得AE ＝2，所以A 1N ＝AE ＝2.因为BM ∥AA 1，BM ＝AA 1，所以A 1M ∥AB ，A 1M ＝AB, 又由AB ⊥BB 1，得A 1M ⊥BB 1.在Rt △A 1MB 1中，可得A 1B 1＝＝4.B 1M 2＋A 1M 2在Rt △A 1NB 1中，sin ∠A 1B 1N ＝＝，因此∠A 1B 1N ＝30°，A 1N A 1B 112所以直线A 1B 1与平面BCB 1所成的角为30°.4．G4，G5[2015·浙江卷] 设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β( )A ．若l ⊥β，则α⊥βB ．若α⊥β，则l ⊥mC ．若l ∥β，则α∥βD ．若α∥β，则l ∥m4．A [解析] 由两平面垂直的判定定理知，A 正确；对于B ，直线l ，m 相交、平行、异面都有可能，故不正确；对于C ，要求α内两条相交直线都平行于β，才能推出α∥β，故不正确；对于D ，l ，m 平行和异面都有可能，故不正确．16．G4、G5[2015·江苏卷] 如图12，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1，设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E .求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.图1216．证明：(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.G5 空间中的垂直关系18．G4，G5，G11[2015·广东卷] 如图13，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.(1)证明：BC∥平面PDA；(2)证明：BC⊥PD；(3)求点C到平面PDA的距离．图1320．G5、G12[2015·湖北卷] 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图14所示的阳马P ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，连接DE ，BD ，BE .(1)证明：DE ⊥平面PBC .试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由．(2)记阳马P ABCD 的体积为V 1，四面体EBCD 的体积为V 2，求的值．V 1V2图1420．解：(1)证明：因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥BC .由底面ABCD 为长方形，有BC ⊥CD ，而PD ∩CD ＝D ，所以BC ⊥平面PCD .又DE ⊂平面PCD ，所以BC ⊥DE .又因为PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，所以DE ⊥PC .而PC ∩BC ＝C ，所以DE ⊥平面PBC .由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD ，∠BCE ，∠DEC ，∠DEB .(2)由已知，PD 是阳马P ABCD 的高，所以V 1＝S 长方形ABCD ·PD ＝BC ·CD ·PD ；1313由(1)知，DE 是鳖臑D BCE 的高，BC ⊥CE ，所以V 2＝S △BCE ·DE ＝BC ·CE ·DE .1316在Rt △PDC 中，因为PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，所以DE ＝CE ＝CD .22于是＝＝＝4.V 1V 213BC ·CD ·PD 16BC ·CE ·DE 2CD ·PD CE ·DE18．G5[2015·全国卷Ⅰ] 如图15，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD .(1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC, 三棱锥E ACD 的体积为，求该三棱锥的侧面积．63图1518．解：(1)证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD .因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE ，故AC ⊥平面BED .又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED .(2)设AB ＝x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝x ，GB ＝GD ＝.32x2因为AE ⊥EC ，所以在Rt △AEC 中，可得EG ＝x .32由BE ⊥平面ABCD ，知△EBG 为直角三角形，可得BE ＝x .22由已知得，三棱锥E ACD 的体积V E ACD ＝×AC ·GD ·BE ＝x 3＝，131262463故x ＝2.从而可得AE ＝EC ＝ED ＝，6所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为.5故三棱锥E ACD 的侧面积为3＋2.518．G1，G4，G5[2015·北京卷] 如图15，在三棱锥V ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且AC ＝BC ＝，O ，M 分别为AB ，VA 的中点．2(1)求证：VB ∥平面MOC ；(2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ；(3)求三棱锥V ABC 的体积．图1518．解：(1)证明：因为O ，M 分别为AB ，VA 的中点，所以OM ∥VB .又因为VB ⊄平面MOC ，OM ⊂平面MOC ，所以VB ∥平面MOC .(2)证明：因为AC ＝BC ，O 为AB 的中点，所以OC ⊥AB .又因为平面VAB ⊥平面ABC ，平面VAB ∩平面ABC ＝AB ，且OC ⊂平面ABC ，所以OC ⊥平面VAB .又因为OC ⊂平面MOC ，所以平面MOC ⊥平面VAB .(3)在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝，2所以AB ＝2，OC ＝1.所以等边三角形VAB 的面积S △VAB ＝.3又因为OC ⊥平面VAB ，所以三棱锥C VAB 的体积等于OC ·S △VAB ＝.1333又因为三棱锥V ABC 的体积与三棱锥C VAB 的体积相等，所以三棱锥V ABC 的体积为.3320．G5、G12[2015·福建卷] 如图15，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO ＝OB ＝1.(1)若D 为线段AC 的中点，求证：AC ⊥平面PDO ；(2)求三棱锥P ABC 体积的最大值；(3)若BC ＝，点E 在线段PB 上，求CE ＋OE 的最小值．2图1520．解：方法一：(1)证明：在△AOC 中，因为OA ＝OC ，D 为AC 的中点，所以AC ⊥DO .又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以PO ⊥AC .因为DO ∩PO ＝O ，DO ⊂平面PDO ，PO ⊂平面PDO ，所以AC ⊥平面PDO .(2)因为点C 在圆O 上，所以当CO ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1.又AB ＝2，所以△ABC 面积的最大值为×2×1＝1.12又因为三棱锥P ABC 的高PO ＝1，故三棱锥P ABC 体积的最大值为×1×1＝.1313(3)在△POB 中，PO ＝OB ＝1，∠POB ＝90°，所以PB ＝＝.12＋122同理PC ＝，所以PB ＝PC ＝BC .2在三棱锥P ABC 中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC ′P, 使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ，E ，C ′共线时，CE ＋OE 取得最小值．又因为OP ＝OB ，C ′P ＝C ′B ，所以OC ′垂直平分PB ，即E 为PB 中点．从而OC ′＝OE ＋EC ′＝＋＝，22622＋62亦即CE ＋OE 的最小值为.2＋62方法二：(1)(2)同方法一．(3)在△POB 中，PO ＝OB ＝1，∠POB ＝90°，所以∠OPB ＝45°，PB ＝＝.12＋122同理PC ＝.2所以PB ＝PC ＝BC ，所以∠CPB ＝60°.在三棱锥P ABC 中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC ′P ，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ，E ，C ′共线时，CE ＋OE 取得最小值．所以在△OC ′P 中，由余弦定理得，OC ′2＝1＋2－2×1××cos(45°＋60°)＝1＋2－2 ××－×＝2＋.22221222323从而OC ′＝＝.2＋32＋62所以CE ＋OE 的最小值为＋.226218．G1、G5[2015·湖南卷] 如图14，直三棱柱ABC A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，E ，F 分别是BC ，CC 1的中点．(1)证明：平面AEF ⊥平面B 1BCC 1；(2)若直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角为45°，求三棱锥F AEC 的体积．18．解：(1)证明：如图，因为三棱柱ABC A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AE ⊥BB 1.又E 是正三角形ABC 的边BC 的中点，所以AE ⊥BC .因此AE ⊥平面B 1BCC 1.而AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面B 1BCC 1.(2)设AB 的中点为D ，连接A 1D 因为△ABC 是正三角形，所以CD ⊥AB .又三棱柱ABC A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CD ⊥AA 1.因此CD ⊥平面A 1ABB 1，于是∠CA 1D 为直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角．由题设，∠CA 1D ＝45°，所以A 1D ＝CD ＝AB ＝.323在Rt △AA 1D 中，AA 1＝＝＝，所以FC ＝AA 1＝.A 1D 2－AD 23－121222故三棱锥F AEC 的体积V ＝S △AEC ·FC ＝××＝.1313322261218．G4、G5[2015·山东卷] 如图13，三棱台DEF ABC 中，AB ＝2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点．(1)求证：BD ∥平面FGH ；(2)若CF ⊥BC ，AB ⊥BC ，求证：平面BCD ⊥平面EGH .18．证明：(1)证法一：如图，连接DG ，CD ，设CD ∩GF ＝M ，连接MH .在三棱台DEF ABC 中，AB ＝2DE ，G 为AC 的中点，可得DF ∥GC ，DF ＝GC ，所以四边形DFCG 为平行四边形，则M 为CD 的中点．又H 为BC 的中点，所以HM ∥BD .又HM ⊂平面FGH ，BD ⊄平面FGH ，所以BD ∥平面FGH .证法二：在三棱台DEF ABC 中，由BC ＝2EF ，H 为BC 的中点，可得BH ∥EF ，BH ＝EF ，所以四边形HBEF 为平行四边形，可得BE ∥HF .在△ABC 中，G 为AC 的中点，H 为BC 的中点，所以GH ∥AB .又GH ∩HF ＝H ，AB ∩BE ＝B ，所以平面FGH ∥平面ABED .因为BD ⊂平面ABED ，所以BD ∥平面FGH .(2)如图，连接HE ，GE .因为G ，H 分别为AC ，BC 的中点，所以GH ∥AB .由AB ⊥BC ，得GH ⊥BC ，又H 为BC 的中点，所以EF ∥HC ，EF ＝HC ，因此四边形EFCH 是平行四边形，所以CF ∥HE .又CF ⊥BC ，所以HE ⊥BC .又HE ，GH ⊂平面EGH ，HE ∩GH ＝H ，所以BC ⊥平面EGH .又BC ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面EGH .18．G5[2015·陕西卷] 如图15(1)，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝，AB ＝π2BC ＝AD ＝a ，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到图(2)中△A 1BE12的位置，得到四棱锥A 1 BCDE .(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1 BCDE 的体积为36，求a 的值．2图1518．解：(1)证明：在图(1)中，因为AB ＝BC ＝AD ＝a ，E 是AD 的中点，12∠BAD ＝，所以BE ⊥AC ，π2即在图(2)中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC ，从而BE ⊥平面A 1OC .又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC .(2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ，且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ，又由(1)知，A 1O ⊥BE ，所以A 1O ⊥平面BCDE ，即A 1O 是四棱锥A 1 BCDE 的高．由图(1)知，A 1O ＝AB ＝a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2.2222从而四棱锥A 1 BCDE 的体积V ＝×S ×A 1O ＝×a 2×a ＝a 3.13132226由a 3＝36，得a ＝6.26218．G1，G4，G5[2015·四川卷] 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图12所示．(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论；(3)证明：直线DF图1218．解：(1)点F ，G ，H 的位置如图所示．(2)平面BEG ∥平面ACH .证明如下：因为ABCD EFGH 为正方体，所以BC ∥FG ，BC ＝FG ，又FG ∥EH ，FG ＝EH ，所以BC ∥EH ，BC ＝EH ，于是BCHE 为平行四边形，所以BE ∥CH .又CH ⊂平面ACH ，BE ⊄平面ACH ，所以BE ∥平面ACH .同理BG ∥平面ACH .又BE ∩BG ＝B ，所以平面BEG ∥平面ACH .(3)证明：连接FH .因为ABCD EFGH 为正方体，所以DH ⊥平面EFGH .因为EG ⊂平面EFGH ，所以DH ⊥EG ，又EG ⊥FH ，EG ∩FH ＝O ，所以EG ⊥平面BFHD .又DF ⊂平面BFHD ，所以DF ⊥EG .同理DF ⊥BG .又EG ∩BG ＝G ，所以DF ⊥平面BEG .17．G4、G5、G11[2015·天津卷] 如图14，已知AA 1⊥平面ABC ，BB 1∥AA 1，AB ＝AC ＝3，BC ＝2，AA 1＝，BB 1＝2，点E 和F 分别为BC 和A 1C 中点．577(1)求证：EF ∥平面A 1B 1BA ；(2)求证：平面AEA 1⊥平面BCB 1；(3)求直线A 1B 1与平面BCB 1所成角的大小．17．解：(1)证明：如图所示，连接A 1B .在△A 1BC 中，因为E 和F 分别是BC 和A 1C 的中点，所以EF ∥BA 1.又因为EF ⊄平面A A 1B 1BA .(2)证明：因为AB ＝AC ，E 为BC BC .因为AA 1⊥平面ABC ，BB 1∥AA 1，所以BB 1⊥平面ABC ，从而BB 1⊥AE .又因为BC ∩BB 1＝B ，所以AE ⊥平面BCB 1.又因为AE ⊂平面AEA 1，所以平面AEA 1⊥平面BCB 1.(3)取BB 1的中点M 和B 1C 的中点N ，连接A 1M ，A 1N ，NE .因为N 和E 分别为B 1C 和BC的中点，所以NE ∥B 1B ，NE ＝B 1B ，故NE ∥A 1A ，且NE ＝A 1A ，所以A 1N ∥AE ，且A 1N ＝12AE .又因为AE ⊥平面BCB 1，所以A 1N ⊥平面BCB 1，从而∠A 1B 1N 为直线A 1B 1与平面BCB 1所成的角．在△ABC 中，可得AE ＝2，所以A 1N ＝AE ＝2.因为BM ∥AA 1，BM ＝AA 1，所以A 1M ∥AB ，A 1M ＝AB, 又由AB ⊥BB 1，得A 1M ⊥BB 1.在Rt △A 1MB 1中，可得A 1B 1＝＝4.B 1M 2＋A 1M 2在Rt △A 1NB 1中，sin ∠A 1B 1N ＝＝，因此∠A 1B 1N ＝30°，A 1N A 1B 112所以直线A 1B 1与平面BCB 1所成的角为30°.4．G4，G5[2015·浙江卷] 设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β( )A ．若l ⊥β，则α⊥βB ．若α⊥β，则l ⊥mC ．若l ∥β，则α∥βD ．若α∥β，则l ∥m4．A [解析] 由两平面垂直的判定定理知，A 正确；对于B ，直线l ，m 相交、平行、异面都有可能，故不正确；对于C ，要求α内两条相交直线都平行于β，才能推出α∥β，故不正确；对于D ，l ，m 平行和异面都有可能，故不正确．18．G5，G11[2015·浙江卷] 如图14，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是B 1C 1的中点．(1)证明：A 1D ⊥平面A 1BC ；(2)求直线A 1B 和平面BB 1C 1C 所成的角的正弦值．图1418．解：(1)证明：设E 为BC 的中点，连接DE .由题意得A 1E ⊥平面ABC ，所以A 1E ⊥AE .因为AB ＝AC ，所以AE ⊥BC .故AE ⊥平面A 1BC .由D ，E 分别为B 1C 1，BC 的中点，得DE ∥B 1B 且DE ＝B 1B ，从而DE ∥A 1A 且DE ＝A 1A ，所以四边形AA 1DE 为平行四边形．于是A 1D ∥AE .又因为AE ⊥平面A 1BC ，所以A 1D ⊥平面A 1BC .(2)作A 1F ⊥DE ，垂足为F ，连接BF .因为A 1E ⊥平面ABC ，所以BC ⊥A 1E .因为BC ⊥AE ，所以BC ⊥平面AA 1DE .所以BC ⊥A 1F ，所以A 1F ⊥平面BB 1C 1C .所以∠A 1BF 为直线A 1B 和平面BB 1C 1C 所成的角．由AB ＝AC ＝2，∠CAB ＝90°，得EA ＝EB ＝.2由A 1E ⊥平面ABC ，得A 1A ＝A 1B ＝4，A 1E ＝.14由DE ＝BB 1＝4，DA 1＝EA ＝，∠DA 1E ＝90°，得A 1F ＝.272所以sin ∠A 1BF ＝＝.A 1F A 1B 7820．G5、G7[2015·重庆卷] 如图14，三棱锥P ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，∠ABC ＝，点D ，E 在线段AC 上，且AD ＝DE ＝EC ＝2，PD ＝PC ＝4，点F 在线段AB 上，且π2EF ∥BC .(1)证明：AB ⊥平面PFE ；(2)若四棱锥P DFBC 的体积为7，求线段BC 的长．图1420．解：(1)证明：由DE ＝EC ，PD ＝PC 知，E 为等腰三角形PDC 中DC 边的中点，故PE ⊥AC .又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC ＝AC ，PE ⊂平面PAC ，PE ⊥AC ，所以PE ⊥平面ABC ，从而PE ⊥AB .因为∠ABC ＝，EF ∥BC ，故AB ⊥EF .π2从而AB 与平面PFE 内两条相交直线PE ，EF 都垂直，所以AB ⊥平面PFE .(2)设BC ＝x ，则在直角三角形ABC 中，AB ＝＝，AC 2－BC 236－x 2从而S △ABC ＝AB ·BC ＝x .121236－x 2由EF ∥BC 知，＝＝，△AFE ∽△ABC ，故＝2＝，即S △AFE ＝S △ABC .AF AB AE AC 23S △AFE S △ABC 234949由AD ＝AE ，得S △AFD ＝S △AFE ＝×S △ABC ＝S △ABC ＝x ，12121249291936－x 2从而四边形DFBC 的面积为S 四边形DFBC ＝S △ABC －S △AFD ＝x －x ＝x1236－x 21936－x 2718.36－x 2由(1)知，PE ⊥平面ABC ，所以PE 为四棱锥P DFBC 的高．在直角三角形PEC 中，PE ＝＝＝2.PC 2－EC 242－223所以V 四棱锥P DFBC ＝·S 四边形DFBC ·PE ＝×x ·2＝7，131371836－x 23故得x 4－36x 2＋243＝0，解得x 2＝9或x 2＝27，由于x >0，可得x ＝3或x ＝3.3所以BC ＝3或BC ＝3.3G6 多面体与球G7 棱柱与棱锥10．G2、G7、K3[2015·湖南卷] 某工件的三视图如图13所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝)( )新工件的体积原工件的体积图13A.B.89π827πC.D.24（2－1）3π8（2－1）3π10．A [解析] 由三视图知，原工件是底面半径为1，母线长为3的圆锥．设新正方体工件的棱长为x ，借助轴截面，由三角形相似可得，＝，得x ＝x 32－121－22x1，故V 正＝x 3＝，又V 圆锥＝π×12×＝，故利用率为＝，选223162271332－1222π316227223π89πA.14．G2，G7[2015·四川卷] 在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是棱AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P A 1MN 的体积是________．14. [解析] 由题意知，三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，棱柱的高124为1且该棱柱为直三棱柱，其底面积为，三棱锥A 1PMN 的底面积是××1，高为，故12121212三棱锥P A1MN 的体积为××＝.1312141245．G2、G7、G8[2015·重庆卷] 某几何体的三视图如图12所示，则该几何体的体积为( )图12A.＋2πB.1313π6C. D.7π35π25．B [解析] 由三视图知，该几何体为一个圆柱与一个半圆锥的组合体，其中圆柱的底面半径为1、高为2，半圆锥的底面半径为1、高为1，所以该几何体的体积V ＝××π×131212×1＋π×12×2＝.13π620．G5、G7[2015·重庆卷] 如图14，三棱锥P ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，∠ABC ＝，点D ，E 在线段AC 上，且AD ＝DE ＝EC ＝2，PD ＝PC ＝4，点F 在线段AB 上，且π2EF ∥BC .(1)证明：AB ⊥平面PFE ；(2)若四棱锥P DFBC 的体积为7，求线段BC 的长．图1420．解：(1)证明：由DE ＝EC ，PD ＝PC 知，E 为等腰三角形PDC 中DC 边的中点，故PE ⊥AC .又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC ＝AC ，PE ⊂平面PAC ，PE ⊥AC ，所以PE ⊥平面ABC ，从而PE ⊥AB .因为∠ABC ＝，EF ∥BC ，故AB ⊥EF .π2从而AB 与平面PFE 内两条相交直线PE ，EF 都垂直，所以AB ⊥平面PFE .(2)设BC ＝x ，则在直角三角形ABC 中，AB ＝＝，AC 2－BC 236－x 2从而S △ABC ＝AB ·BC ＝x .121236－x 2由EF ∥BC 知，＝＝，△AFE ∽△ABC ，故＝2＝，即S △AFE ＝S △ABC .AF AB AE AC 23S △AFE S △ABC 234949由AD ＝AE ，得S △AFD ＝S △AFE ＝×S △ABC ＝S △ABC ＝x ，12121249291936－x 2从而四边形DFBC 的面积为S 四边形DFBC ＝S △ABC －S △AFD ＝x －x ＝x1236－x 21936－x 2718.36－x 2由(1)知，PE ⊥平面ABC ，所以PE 为四棱锥P DFBC 的高．在直角三角形PEC 中，PE ＝＝＝2.PC 2－EC 242－223所以V 四棱锥P DFBC ＝·S 四边形DFBC ·PE ＝×x ·2＝7，131371836－x 23故得x 4－36x 2＋243＝0，解得x 2＝9或x 2＝27，由于x >0，可得x ＝3或x ＝3.3所以BC ＝3或BC ＝3.39．G7[2015·江苏卷] 现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．9. [解析] 设新的底面半径为r ，则π×52×4＋π×22×8＝πr 2×4＋πr 2×8 ，71313即πr 2＝π＋32π，解得r ＝.28310037G8 多面体与球5．G2、G7、G8[2015·重庆卷] 某几何体的三视图如图12所示，则该几何体的体积为( )图12A.＋2πB.1313π6C.D.7π35π25．B [解析] 由三视图知，该几何体为一个圆柱与一个半圆锥的组合体，其中圆柱的底面半径为1、高为2，半圆锥的底面半径为1、高为1，所以该几何体的体积V ＝××π×131212×1＋π×12×2＝.13π610．G8[2015·全国卷Ⅱ] 已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π10．C [解析] 因为V 三棱锥O ABC ＝V 三棱锥C OAB ，所以三棱锥O ABC 体积的最大值即三棱锥C OAB 体积的最大值，所以当C 到平面OAB 的距离最大时，即CO ⊥平面OAB 时，体积最大，设球的半径为r ，则V 三棱锥O ABC ＝V 三棱锥C OAB ＝r 3＝36，所以r ＝6，则球O16的表面积S ＝4πr 2＝144π.图12A.＋2πB.1313π6C.D.7π35π2G9 空间向量及运算G10 空间向量解决线面位置关系G11 空间角与距离的求法17．G4、G5、G11[2015·天津卷] 如图14，已知AA 1⊥平面ABC ，BB 1∥AA 1，AB ＝AC ＝3，BC ＝2，AA 1＝，BB 1＝2，点E 和F 分别为BC 和A 1C 中点．577(1)求证：EF ∥平面A 1B 1BA ；(2)求证：平面AEA 1⊥平面BCB 1；(3)求直线A 1B 1与平面BCB 117．解：(1)证明：如图所示，连接A 1B .在△A 1BC 中，因为E 和F 分别是BC 和A 1C 的中点，所以EF ∥BA 1.又因为EF ⊄平面A A 1B 1BA .(2)证明：因为AB ＝AC ，E 为BC BC .因为AA 1⊥平面ABC ，BB 1∥AA 1，所以BB 1⊥平面ABC ，从而BB 1⊥AE .又因为BC ∩BB 1＝B ，所以AE ⊥平面BCB 1.又因为AE ⊂平面AEA 1，所以平面AEA 1⊥平面BCB 1.(3)取BB 1的中点M 和B 1C 的中点N ，连接A 1M ，A 1N ，NE .因为N 和E 分别为B 1C 和BC的中点，所以NE ∥B 1B ，NE ＝B 1B ，故NE ∥A 1A ，且NE ＝A 1A ，所以A 1N ∥AE ，且A 1N ＝12AE .又因为AE ⊥平面BCB 1，所以A 1N ⊥平面BCB 1，从而∠A 1B 1N 为直线A 1B 1与平面BCB 1所成的角．在△ABC 中，可得AE ＝2，所以A 1N ＝AE ＝2.因为BM ∥AA 1，BM ＝AA 1，所以A 1M ∥AB ，A 1M ＝AB, 又由AB ⊥BB 1，得A 1M ⊥BB 1.在Rt △A 1MB 1中，可得A 1B 1＝＝4.B 1M 2＋A 1M 2在Rt △A 1NB 1中，sin ∠A 1B 1N ＝＝，因此∠A 1B 1N ＝30°，A 1N A 1B 112所以直线A 1B 1与平面BCB 1所成的角为30°.18．G5，G11[2015·浙江卷] 如图14，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是B 1C 1的中点．(1)证明：A 1D ⊥平面A 1BC ；(2)求直线A 1B 和平面BB 1C 1C 所成的角的正弦值．图1418．解：(1)证明：设E 为BC 的中点，连接DE .由题意得A 1E ⊥平面ABC ，所以A 1E ⊥AE .因为AB ＝AC ，所以AE ⊥BC .故AE ⊥平面A 1BC .由D ，E 分别为B 1C 1，BC 的中点，得DE ∥B 1B 且DE ＝B 1B ，从而DE ∥A 1A 且DE ＝A 1A ，所以四边形AA 1DE 为平行四边形．于是A 1D ∥AE .又因为AE ⊥平面A 1BC ，所以A 1D ⊥平面A 1BC .(2)作A 1F ⊥DE ，垂足为F ，连接BF .因为A 1E ⊥平面ABC ，所以BC ⊥A 1E .因为BC ⊥AE ，所以BC ⊥平面AA 1DE .所以BC ⊥A 1F ，所以A 1F ⊥平面BB 1C 1C .所以∠A 1BF 为直线A 1B 和平面BB 1C 1C 所成的角．由AB ＝AC ＝2，∠CAB ＝90°，得EA ＝EB ＝.2由A 1E ⊥平面ABC ，得A 1A ＝A 1B ＝4，A 1E ＝.14由DE ＝BB 1＝4，DA 1＝EA ＝，∠DA 1E ＝90°，得A 1F ＝.272所以sin ∠A 1BF ＝＝.A 1F A 1B 7818．G4，G5，G11[2015·广东卷] 如图13，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD ＝PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3.(1)证明：BC ∥平面PDA ；(2)证明：BC ⊥PD ；(3)求点C 到平面PDA 的距离．图13图1422．G11、G12[2015·江苏卷] 如图16，在四棱锥P ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝，PA ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1.π2(1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；(2)点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长．图1622．解：以{，，}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ，则各点的AB → AD → AP →坐标为B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)．(1)因为AD ⊥平面PAB ，所以是平面PAB 的一个法向量，＝(0，2，0)．AD → AD →因为＝(1，1，－2)，＝(0，2，－2)，PC → PD →设平面PCD 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，所以m ·＝0，m ·＝0，PC → PD →即令y ＝1，解得z ＝1，x ＝1，{x ＋y －2z ＝0，2y －2z ＝0.)所以m ＝(1，1，1)是平面PCD 的一个法向量．。
高考数学专题复习2015年高三一模汇编——立体几何
AGDEHBCMF第13题图PABCDE2015年高三一模汇编——立体几何一、填空题1.（2015奉贤一模理11文11）如图，在矩形ABCD 中，E 为边AD 的中点，1AB =，2BC =， 分别以A 、D 为圆心，1为半径作圆弧EB 、EC （E 在线段AD 上）.由两圆弧EB 、EC 及边BC 所围成的平面图形绕直线AD 旋转一周，则所形成的几何体的体积为 . 【答案】32π 2.（2015黄浦一模理9文9）已知某圆锥体的底面半径3r =，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥体的表面积是 ． 【答案】π363.（2015嘉定一模理7文7）若圆锥的侧面积是底面积的4倍，则其母线与轴所成角的大小是____________（结果用反三角函数值表示）． 【答案】41arcsin4.（2015宝山一模理10文10）三棱锥O –ABC 中，OA=OB=OC =2，且∠BOC =45︒，则三棱锥O –ABC 体积的最大值是 ． 【答案】322 5.（2015宝山一模理13文13）如图所示，在长方体ABCD –EFGH 中，AD =2，AB=AE=1，M 为矩形AEHD 内的一点，如果∠MGF =∠MGH ，MG 和平面EFG 所成角的正切值为12，那么点M 到平面EFGH 的距离是 ． 【答案】22 6.（2015静安一模文7）已知圆锥底面圆的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为32π的扇形，则该圆锥的侧面积是 . 【答案】π37.（2015静安一模理4）已知圆锥底面圆的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为32π的扇形，则该圆锥的侧面积是 . 【答案】21 8.（2015浦东一模理11文11）如图，已知⊥PA 平面ABC ，AB AC ⊥，BC AP =，︒=∠30CBA ，D 、E 分别是BC 、AP 的中点. 则异面直线AC 与DE 所成角的大小为 .【答案】42arccos （7arctan ）ABCNEGM D F9.（2015普陀一模理6文6）如图，正三棱柱的底面边长为2，体积为3，则直线C B 1与底面ABC 所成的角的大小为 （结果用反三角函数值表示）. 【答案】21arctan10.（2015普陀一模理14）如图，点1P ,2P ,… ,10P 分别是四面体的顶点或其棱的中点， 则在同一平面内的四点组()k j i P P P P ,,,1 （101≤<<<k j i ）共有 个. 【答案】3311.（2015普陀一模文14）四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取四个 不共面的点，不同的取法共有 . 【答案】14112.（2015青浦一模理6文6）平面α截半径为2的球O 所得的截面圆的面积为π，则球心O 到平面α的距离为 【答案】313.（2015松江一模理5文5）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1BC 与平面ABCD 所成的角为60︒，则1BC 与AC 所成的角为 （结果用反三角函数表示）． 【答案】2arccos414.（2015杨浦一模理10）在底面直径为6的圆柱形容器中，放入一个半径为2的冰球，当冰球 全部溶化后，容器中液面的高度为_______________.（相同质量的冰与水的体积比为10：9） 【答案】161515.（2015杨浦一模文11）已知一个铁球的体积为36π，则该铁球的表面积为______________. 【答案】36π16.（2015长宁一模理8文8）如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线 与底面所成的角的大小是 .【答案】3π17.（2015宝山一模理8文8）若一个球的体积为43π，则它的表面积为 ． 【答案】12π18.（2015宝山一模理10文10）正四棱锥P -ABCD 的所有棱长均相等， E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成的角的余弦值等于 ．【答案】3319.（2015崇明一模理6文6）圆锥的底面半径为3，高为1，则圆锥的侧面积为 ． 【答案】π10320.（2015虹口一模理13文13）右图是正四面体的平面展开图，M N G 、、分别为DE BE FE 、、的中点，则在这个正四面体中，MN 与CG 所成角的大小为 .【答案】3 21.（2015徐汇一模理6文6）若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，高为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是______________．（结果用反三角函数值表示）【答案】5二、选择题1.（2015青浦一模理16文16）设a b 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，则下面四个命题中错．误．的是（ ）. （A ）若,,a b a b αα⊥⊥⊄ ，则b //α （B ）若,,a b a b αβ⊥⊥⊥ ，则αβ⊥ （C ）若,a βαβ⊥⊥ ，则a //α或 a α≠⊂ （D ）若 a //,ααβ⊥ ，则a β⊥【答案】D2.（2015奉贤一模理13文13）正方体中两条面对角线的位置关系是（ ）A ．平行B ．异面C ．相交D ．平行、相交、异面都有可能 【答案】D3.（2015奉贤一模理17文17）在空间中，设m 、n 是不同的直线，α、β是不同的平面，且m α⊂≠，n β⊂≠，则下列命题正确的是 （ ）A ．若n m //，则βα//B ．若m 、n 异面，则α、β平行C ．若m 、n 相交，则α、β相交D ．若n m ⊥，则βα⊥ 【答案】C4.（2015黄浦一模理15文15）给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内的无数条直线 都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的 ( )．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件 【答案】B5.（2015静安一模理18文18）到空间不共面的四点距离相等的平面个数为( ) A ．1个； B ．4个； C ．7个； D ．8个 【答案】C6.（2015浦东一模理18文18）“直线垂直于ABC △的边AB ，AC ”是“直线垂直于ABC △的边BC ” 的（ ）()A 充分非必要条件 ()B 必要非充分条件 ()C 充要条件 ()D 既非充分也非必要条件【答案】()A三、解答题1.（20154奉贤一模理26文26）如图，四棱锥P ABCD -的侧棱都相等，底面ABCD 是正方形，l l第19题图 O 为对角线AC 、BD 的交点，PO OA =，求直线PA 与面ABCD 所成的角的大小． 【答案】解：ABCD Q 为正方形，O ∴为AC 、BD 的中点， 又,,,PA PC PB PD PO AC PO BD ==∴⊥⊥Q ， 2分因为AC 与BD 交于一点O ，PO ∴⊥平面ABCD ， 4分 PAO ∠∴为直线PA 与平面ABCD 所成的角， 5分 在Rt PAO PA PO ∆=中， 45PAO ∴∠=︒， 6分所以直线PA 与平面ABCD 所成的角为45︒． 7分2.（2015黄浦一模理19文19）在长方体1111ABCD A B C D -中，14,3AB AA BC ===，E F 、分别是所在棱AB BC 、的中点，点P 是棱11A B 上的动点，联结1,EF AC ．如图所示．（1）求异面直线1EF AC 、所成角的大小(用反三角函数值表示)； （2）求以E F A P 、、、为顶点的三棱锥的体积．【答案】解：（1）联结AC ，在长方体1111ABCD A B C D -中，有AC EF P . 又1CAC ∠是直角三角形1ACC 一个锐角，∴1CAC ∠就是异面直线1AC EF 与所成的角. 由14,3AB AA BC ===，可算得225AC AB BC =+=.∴114tan 5CC CAC AC ∠==，即异面直线1AC EF 与所成角的大小为4arctan 5. （2）由题意可知，点P 到底面ABCD 的距离与棱1AA 的长相等．∴113P EBF EBF V S AA -∆=⋅．∵113322222EBF S EB BF ∆=⋅=⋅⋅=，∴1113=4=2332P EBF EBF V S AA -∆=⋅⋅⋅．3.（2015嘉定一模理20文20）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90BAC ，21===AA AC AB ，点E 、F 分别为棱AC 与11B A 的中点．（1）求三棱锥11EFC A -的体积；（2）求异面直线C A 1与EF 所成角的大小． 【答案】解：（1）3221313111111111111=⋅⋅⋅⋅=⋅==∆--AA F A C A AA S V V FC A FC A E EFC A 。
【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 立体几何大题(原卷版)
2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 立体几何大题（原卷版）1．(2021年高考全国甲卷理科)已知直三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AA B B 为正方形,2AB BC ==,E ,F 分别为AC 和1CC 中点,D 为棱11A B 上地点．11BF A B ⊥(1)证明：BF DE ⊥。
(2)当1B D 为何值时,面11BB C C 与面DFE 所成地二面角地正弦值最小?2．(2021年高考全国乙卷理科)如图,四棱锥P ABCD -地底面是矩形,PD ⊥底面ABCD ,1PD DC ==,M 为BC 地中点,且PB AM ⊥．(1)求BC 。
(2)求二面角A PM B --地正弦值．3．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)如图,D 为圆锥地顶点,O 是圆锥底面地圆心,AE 为底面直径,AE AD =．ABC 是底面地内接正三角形,P 为DO 上一点,PO =．的(1)证明：PA ⊥平面PBC 。
(2)求二面角B PC E --地余弦值．4．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)如图,已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1地底面是正三角形,侧面BB 1C 1C 是矩形,M ,N 分别为BC ,B 1C 1地中点,P 为AM 上一点,过B 1C 1和P 地平面交AB 于E ,交AC 于F ．(1)证明：AA 1∥MN ,且平面A 1AMN ⊥EB 1C 1F 。
(2)设O 为△A 1B 1C 1地中心,若AO ∥平面EB 1C 1F ,且AO =AB ,求直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角地正弦值．5．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,点,E F 分别在棱11,DD BB 上,且12DE ED =,12BF FB =．(1)证明：点1C 平面AEF 内。
(2)若2AB =,1AD =,13AA =,求二面角1A EF A --地正弦值．6．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)图1是由矩形ADEB ,Rt △ABC 和菱形BFGC 组成地一个平面图形,其中AB =1,BE =BF =2,∠FBC =60°,将其沿AB ,BC 折起使得BE 与BF 重合,连结DG ,如图2．(1)证明：图2中地A ,C ,G ,D 四点共面,且平面ABC ⊥平面BCGE 。