西南大学初等数论作业答案
作业1答案
一、简答题（每小题10分，共30分）
1. 判断30是质数还是合数，如果是合数，请给出其标准分解式。
答：30是合数，其标准分解式为。
2. 94536是否是9的倍数，为什么？
答：94536是9的倍数，因为是9的倍数。
3. 写出模6的最小非负完全剩余系。
答：模6的最小非负完全剩余系为0，1，2，3，4，5。
4. 叙述质数的概念，并写出小于18的所有质数。
答：一个大于1的整数，如果它的正因数只有1和它本身，就叫作质数。
小于18的所有质数是23571113，17。
5. 叙述模m的最小非负完全剩余系的概念。
答：0，1，2，…，m-1称为m的最小非负完全剩余系。
6. 2358是否是3的倍数，为什么？
答：2358是3的倍数。
因为一个整数能被3整除的充要条件是它的各个位数的数字之和为3的倍数，而2+3+5+8=18，18是3的倍数，所以2358是3的倍数。
二、给出不定方程ax + by = c有整数解的充要条件并加以证明。
解： 结论：二元一次不定方程ax + by = c有整数解的充要条件是。 证明如下：若ax + by = c有整数解，设为，则
但，，因而，必要性得证。
反之，若，则，为整数。由最大公因数的性质，存在两个整数s，t满足下列等式
于是。
令，则，故为ax + by = c的整数解，从而ax + by = c有整数解。
三、给出有关同余的一条性质并加以证明。
答：同余的一条性质：整数a，b对模m同余的充要条件是m｜a-b，即a=b+mt ，t是整数。
证明如下： 设，，，。若a≡b（mod m），则，因此，即m｜a－b。
反之，若m｜a－b，则，因此，但，故，即a≡b（mod m）。
四、叙述带余数除法定理的内容并给出证明。
答：若a，b是两个整数，其中b>0，则存在两个整数q及r，使得
a=bq+r，
成立，而且q及r是唯一的。
下面给出证明： 证作整数序列
…，－3b，－2b，－b，0，b，2b，3b，…
则a必在上述序列的某两项之间，及存在一个整数q使得qb≤a<(q+1)b成立。令a－qb＝r，则r为整数，且a＝qb＋r，而。
设是满足（2）的另两个整数，则
，
所以，于是，故。由于r，都是小于b的正整数或零，故。如果，则，这是一个矛盾。因此，从而。
初等数论1习题参考答案
初等数论1习题参考答案
附录1 习题参考答案
第一章习题一
1. (ⅰ) 由a b知b= aq，于是b=
(a)(q)，b = a(q)及b = (a)q，即a b，a b及a b。反之，由a b，a b 及a b也可得a b； (ⅱ) 由a b，b c 知b= aq1，c= bq2，于是c= a(q1q2)，即a c； (ⅲ) 由b a i知a i= bq i，于是a1x1a2x2a k x
k = b(q1x1q2x2q k x k)，即b a1x1a2x2
a k x k；(ⅳ) 由
b a知a = bq，于是a
c = bcq，即bc ac； (ⅴ) 由b a知a = bq，于是|a| = |b||q|，再由a0得|q| 1，从而|a|
|b|，后半结论由前半结论可得。
2. 由恒等式mq np= (mn pq) (m p)(n
q)及条件m p mn pq可知m p mq np。
3. 在给定的连续39个自然数的前20个数中，存在两个自然数，它们的个位数字是0，其中必有一个的十位数字不是9，记这个数为a，它的数字和为s，则a, a 1, , a 9, a 19的数字和为s, s 1, , s 9, s 10，其中必有一个能被11整除。
4. 设不然，n1 = n2n3，n2p，n3p，于是n = pn2n3p3，即p3n，矛盾。
5. 存在无穷多个正整数k，使得2k1是合数，对于这样的k，(k1)2不能表示为a2p的形式，事实上，若(k1)2= a2p，则(k 1 a)( k 1 a) =
p，得k 1 a = 1，k 1 a = p，即p = 2k 1，此与p为素数矛盾。
第一章习题二
1. 验证当n =0,1，2，… ,11时，12|f(n)。
2.写a = 3q1r1，b = 3q2r2，r1, r2 = 0,
1或2，由3a2b2 = 3Q r12r22知r1
= r2 = 0，即3a且3b。 3.记n=10q+r, (r=0,1,…,9)，则n k+4- n k被10除的余数和r
(完整版)初等数论第2版习题答案
第一章 §1
1 证明：naaa,,21都是m的倍数。
存在n个整数nppp,,21使
nnnmpampampa,,,222111
又nqqq,,,21是任意n个整数
mpqpqqpaqaqaqnnnn)(22112211
即nnaqaqaq2211是m的整数
2 证： )12)(1()12)(1(nnnnnnn
)1()1()2)(1(nnnnnn
)1()1/(6),2)(1(/6nnnnnn
)1()1()2)(1(/6nnnnnn
从而可知 )12)(1(/6nnn
3 证： ba,不全为0
在整数集合ZyxbyaxS,|中存在正整数，因而
有形如byax的最小整数00byax
Zyx,，由带余除法有00000,)(byaxrrqbyaxbyax
则Sbqyyaqxxr)()(00，由00byax是S中的最小整数知0r
byaxbyax/00 下证8P第二题
byaxbyax/00 （yx,为任意整数） bbyaxabyax/,/0000
).,/(00babyax 又有bbaaba/),(,/),(
00/),(byaxba 故),(00babyax
4 证：作序列,23,,2,0,2,,23,bbbbbb则a必在此序列的某两项之间 即存在一个整数q，使bqabq212成立
)(i当q为偶数时，若.0b则令bqabsatqs2,2，则有
22220btbqbqabqatbsa
若0b 则令bqabsatqs2,2，则同样有2bt
)(ii当q为奇数时，若0b则令bqabsatqs21,21，则有
初等数论习题集参考答案
习题参考答案
第一章 习 题 一
1. (ⅰ) 由ab知b = aq，于是b = (a)(q)，b = a(q)及 b = (a)q，即ab，ab及ab。反之，由 ab，ab及 ab也可得ab； (ⅱ) 由ab，bc知b = aq1，c = bq2，于是c = a(q1q2)，即ac； (ⅲ) 由bai知ai = bqi，于是a1x1 a2x2 akxk = b(q1x1 q2x2 qkxk)，即ba1x1 a2x2
akxk；(ⅳ) 由ba知a = bq，于是ac = bcq，即bcac； (ⅴ) 由ba知a = bq，于是|a| = |b||q|，再由a
0得|q| 1，从而|a| |b|，后半结论由前半结论可得。
2. 由恒等式mq np = (mn pq) (m p)(n q)及条件m pmn pq可知m pmq np。
3. 在给定的连续39个自然数的前20个数中，存在两个自然数，它们的个位数字是0，其中必有一个的十位数字不是9，记这个数为a，它的数字和为s，则a, a 1, , a 9, a 19的数字和为s, s 1, , s 9,
s 10，其中必有一个能被11整除。
4. 设不然，n1 = n2n3，n2 p，n3 p，于是n = pn2n3 p3，即p 3n，矛盾。
5. 存在无穷多个正整数k，使得2k 1是合数，对于这样的k，(k 1)2不能表示为a2 p的形式，事实上，若(k 1)2 = a2 p，则(k 1 a)( k 1 a) = p，得k 1 a = 1，k 1 a = p，即p = 2k 1，此与p为素数矛盾。
初等数论
1 《初等数论》
1、判断同余式)593(mod4382x是否有解？2、判断同余式)1847(mod3652x是否有解？
3、求11的平方剩余与平方非剩余. 4、计算563429,其中563是素数. 5、计算443383
二、证明题：
1、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. 2、证明形如14n的整数不能写成两个平方数的和.
3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数. 4、素数写成两个平方数和的方法是唯一的.
《初等数论》答案
一、计算：
1.判断同余式)593(mod4382x是否有解？ (答：无解。方法参照题2)
2、判断同余式)1847(mod3652x是否有解？解 我们容易知道1847是素数,所以只需求1847365的值.如果其值是1,则所给的同余式有解,否则无解.
因为735365,所以184773184751847365.
再)4(mod173),4(mod15,所以1525184718475,
.17471111711731 73117327322731847184773
所以, 1847365=1.
于是所给的同余式有解.
《初等数论》作业.
《初等数论》作业
第一次作业：
一、单项选择题
1、),0(b（ ）.
A b B b C b D 0
2、如果ab，ba，则( ).
A ba B ba C ba
D ba
3、如果1),(ba，则),(baab=（ ）.
A a B b C 1
D ba
4、小于30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 7
5、大于10且小于30的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 6个 D 7个
6、如果n3，n5，则15（）n.
A 整除 B 不整除 C 等于 D不一定
7、在整数中正素数的个数（ ）.
A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定
二、计算题
1、求24871与3468的最大公因数?
2、求[24871,3468]=? 3、求[136,221,391]=?
三、证明题
1、如果ba,是两个整数,0b,则存在唯一的整数对rq,,使得rbqa,其中br0.
2、证明对于任意整数n,数62332nnn是整数.
3、任意一个n位数121aaaann与其按逆字码排列得到的数nnaaaa121的差必是9的倍数.
4、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.
第二次作业
一、单项选择题
1、如果( A ),则不定方程cbyax有解. A cba),( B ),(bac C ca D
aba),(
2、不定方程210231525yx（A ）.
A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解
二、求解不定方程
1、144219yx.
初等数论练习题答案
初等数论练习题答案
初等数论练习题一
一、填空题
1、d(2420)=12; ?(2420)=_880_
2、设a,n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2.
3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4}.
4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。
5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t
t Z 。.
6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_(m )_。
7、18100被172除的余数是_256。 8、??
10365 =-1。 9、若p 是素数，则同余方程x p 1
1(mod p )的解数为 p-1 。
二、计算题 1、解同余方程：3x 2
11x 20 0 (mod 105)。
解：因105 = 35
7， 同余方程3x 211x 20 0 (mod 3)的解为x 1 (mod 3)， 同余方程3x 211x 38 0 (mod 5)的解为x 0，3 (mod 5)， 同余方程3x 2
11x
20
0 (mod 7)的解为x
2，6 (mod 7)，
故原同余方程有4解。 作同余方程组：x
b 1 (mod 3)，x b 2 (mod 5)，x
b 3 (mod 7)，
其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6，
由子定理得原同余方程的解为x 13，55，58，100 (mod 105)。
2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？ 1
107421
7271071107713231071107311072107
7107310721077
32107422
1
10721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==??≡-?--?-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（）
）（）（（
）（解： 故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。
(完整版)初等数论练习题答案
初等数论练习题一
一、填空题
1、d(2420)=12; (2420)=_880_2、设a,n是大于1的整数，若an-1是质数，则a=_2.
3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4}.
4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x≡11(mod 37)。
5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t，y=700+18t tZ。.
6、分母是正整数m的既约真分数的个数为_(m)_。
7、18100被172除的余数是_256。
8、 =-1。10365
9、若p是素数，则同余方程x p 1 1(mod p)的解数为 p-1 。
二、计算题
1、解同余方程：3x211x20 0 (mod 105)。
解：因105 = 357，
同余方程3x211x20 0 (mod 3)的解为x 1 (mod 3)，
同余方程3x211x38 0 (mod 5)的解为x 0，3 (mod 5)，
同余方程3x211x20 0 (mod 7)的解为x 2，6 (mod 7)，
故原同余方程有4解。
作同余方程组：x b1 (mod 3)，x b2 (mod 5)，x b3 (mod 7)，
其中b1 = 1，b2 = 0，3，b3 = 2，6，
由孙子定理得原同余方程的解为x 13，55，58，100 (mod 105)。
2、判断同余方程x2≡42(mod 107)是否有解？
1107421727107110771323107110731107210771073107210773210742
2110721721107213)(
）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（）（解：
故同余方程x2≡42(mod 107)有解。
3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。
《初等数论》作业. 2
《初等数论》作业.
《初等数论》作业
第⼀次作业：
⼀、单项选择题1、=),0(b （ ）. A b B b - C b D 0
2、如果a b ，b a ，则( ).
A b a =
B b a -=
C b a ≤
D b a ±=
3、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）. A a B b C 1 D b a +
4、⼩于30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 7
5、⼤于10且⼩于30的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 6个 D 7个
6、如果n 3，n 5，则15（）n .
A 整除
B 不整除
C 等于
D 不⼀定 7、在整数中正素数的个数（ ）.
A 有1个
B 有限多
C ⽆限多
D 不⼀定 ⼆、计算题
1、求24871与3468的最⼤公因数?
2、求[24871,3468]=?
3、求[136,221,391]=? 三、证明题
1、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯⼀的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.
2、证明对于任意整数n ,数6
233
2n n n ++是整数. 3、任意⼀个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数. 4、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.
第⼆次作业
⼀、单项选择题1、如果( A ),则不定⽅程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),(
2、不定⽅程210231525=+y x （A ）.
A 有解B ⽆解
C 有正数解
D 有负数解
⼆、求解不定⽅程 1、144219=+y x .
解：因为（9，21）=3，1443，所以有解；
化简得4873=+y x ；
考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ， 所以原⽅程的特解为48,96=-=y x ， 因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。 2、18176=-y x .
初等数论附录1习题参考答案
初等数论附录1习题参考答案
附录1习题参照答案第一章 习题一
1. (ⅰ)由ab知b=aq，于是b=(a)(q)，b=a(q)及b=(a)q，即ab，ab及
ab。反之，由ab，ab及ab也可得ab； (ⅱ)由ab，bc知b=aq1，c=bq2，
于是c=a(q1q2)，即ac； (ⅲ) 由bai知ai=bqi，于是a1x1a2x2 akxk=b(q1x1
q2x2 qkxk)，即ba1x1 a2x2 akxk；(ⅳ) 由ba知a=bq，于是ac=bcq，即
bcac； (ⅴ)由ba知a=bq，于是|a|=|b||q|，再由a0得|q| 1，进而|a|
|b|，后半结论由前半结论可得。
2. 由恒等式mq np=(mn pq)(m p)(nq)及条件mpmn pq可知m 初等数论附录1习题参考答案
pmq np。在给定的连续39个自然数的前20个数中，存在两个自然数，它们的个位数字是0，此中必有一个的十位数字不是9，记这个数为a，它的数字和为s，
则a,a 1,,a9,a19的数字和为s,s1,,s9,s10，此中必有一个能被11
整除。
. 设不然，n1=n2n3，n2 p，n3 p，于是n=pn2n3p3，即p3n，矛盾。
. 存在无量多个正整数 k，使得 2k1是合数，对于这样的 k，(k 1)2不可以
表示为a2p的形式，事实上，若(k 1)2=a2p，则(k1a)(k 1a)=p，得
k1 a=1，k1a=p，即p=2k 1，此与p为素数矛盾。
第一章 习题二 初等数论附录1习题参考答案
1. 考证当n=0,1，2，,11时，12|f(n)。
2. 1，b=3q22，r12
，由3a 2=3Qr 12 2 知写a=3q r,r=0,1或2 b r1=r2=0，即3a且3b。
3. 记n=10q+r,(r=0,1,,9)，则nk+4-nk被10除的余数和rk+4-rk=rk(r4-1)被 10
（完整版）初等数论练习题二（含答案）
（完整版）初等数论练习题二（含答案）
《初等数论》期末练习一
一、单项选择题
1、如果a b ，b a ，则( ).
A b a =
B b a -=
C b a ≤
D b a ±=
2、如果n 3，n 5，则15（ ）n .
A 整除
B 不整除
C 等于
D 不一定
3、在整数中正素数的个数（ ）.
A 有1个
B 有限多
C 无限多
D 不一定
4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则
A )(mod m bc ac ≡
B b a =
C ac T )(mod m bc
D b a ≠
5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解.
A c b a ),(
B ),(b a c
C c a
D a b a ),(
6、整数5874192能被( )整除. A 3
B 3与9
C 9
D 3或9
7、如果n 2，n 15，则30（ ）n .
A 整除
B 不整除
C 等于
D 不一定
8、大于10且小于30的素数有（ ）.
A 4个
B 5个
C 6个
D 7个
9、模5的最小非负完全剩余系是( ).
A -2,-1,0,1,2
B -5,-4,-3,-2,-1
C 1,2,3,4,5
D 0,1,2,3,4
10、整数637693能被( )整除.
A 3
B 5
C 7
D 9
二、填空题
1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）.
2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ).
3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为(
). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ).
6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r
π≤0.
7、设p 是素数,则不定方程22y x p +=有（ ）.
8、如果同余式)(mod 0m b ax ≡+有解,则解的个数( ).