初学者看的固体能带理论
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《固体能带理论》课件
分类
导带、价带、禁带等，导带与价带之 间的区域称为能隙，决定了固体是否 导电。
能带结构的形成
原子轨道重叠
固体中的原子通过轨道重叠形成分子轨道，进一步形 成能带。
周期性结构
固体中的原子按照一定的周期性排列，导致能带结构 的周期性。
电子相互作用
电子之间的相互作用会影响能带结构，包括电子间的 排斥力和交换力等。
量子场论和量子力学
与量子场论和量子力学的结合，将有助于更全面地描述和理解固体中的电子行为 和相互作用。
谢谢聆听
新材料的设计与发现
拓扑材料
随着拓扑学的发展，将会有更多具有独特电子结构和性质的拓扑材料被发现， 为新材料的设计和开发提供新的思路。
二维材料
二维材料具有独特的物理性质和结构，未来将会有更多新型二维材料被发现和 应用。
与其他理论的结合与发展
强关联理论
固体能带理论与强关联理论的结合，将有助于更深入地理解强关联体系中的电子 行为和物理性质。
电子在能带中的状态
01
02
03
占据电子
价带中的电子被原子轨道 上的电子占据，导带中的 电子较为自由。
热激发
在温度较高时，价带中的 电子可以被激发到导带中 ，形成电流。
光电效应
光照在固体表面时，能量 较高的光子可以使价带中 的电子激发到导带中，产 生光电流。
03 固体能带理论的的基本方程，描述 了电子密度随时间和空间的变化 。
02
交换相关泛函
03
自洽迭代方法
描述电子间的交换和相关作用的 能量，是密度泛函理论中的重要 部分。
通过迭代求解哈特里-福克方程 ，得到电子密度和总能量，直至 收敛。
格林函数方法
格林函数
导带、价带、禁带等，导带与价带之 间的区域称为能隙，决定了固体是否 导电。
能带结构的形成
原子轨道重叠
固体中的原子通过轨道重叠形成分子轨道，进一步形 成能带。
周期性结构
固体中的原子按照一定的周期性排列，导致能带结构 的周期性。
电子相互作用
电子之间的相互作用会影响能带结构，包括电子间的 排斥力和交换力等。
量子场论和量子力学
与量子场论和量子力学的结合，将有助于更全面地描述和理解固体中的电子行为 和相互作用。
谢谢聆听
新材料的设计与发现
拓扑材料
随着拓扑学的发展，将会有更多具有独特电子结构和性质的拓扑材料被发现， 为新材料的设计和开发提供新的思路。
二维材料
二维材料具有独特的物理性质和结构，未来将会有更多新型二维材料被发现和 应用。
与其他理论的结合与发展
强关联理论
固体能带理论与强关联理论的结合，将有助于更深入地理解强关联体系中的电子 行为和物理性质。
电子在能带中的状态
01
02
03
占据电子
价带中的电子被原子轨道 上的电子占据，导带中的 电子较为自由。
热激发
在温度较高时，价带中的 电子可以被激发到导带中 ，形成电流。
光电效应
光照在固体表面时，能量 较高的光子可以使价带中 的电子激发到导带中，产 生光电流。
03 固体能带理论的的基本方程，描述 了电子密度随时间和空间的变化 。
02
交换相关泛函
03
自洽迭代方法
描述电子间的交换和相关作用的 能量，是密度泛函理论中的重要 部分。
通过迭代求解哈特里-福克方程 ，得到电子密度和总能量，直至 收敛。
格林函数方法
格林函数
《固体物理能带理论》课件
探索禁带宽度
禁带宽度的影响
深入探究禁带宽度对材料性质的 影响，介绍如何利用禁带宽度调 控材料性质。
直接/间接带隙
介绍直接带隙和间接带隙的概念 和特点，以及如何通过调控禁带 宽度实现它们之间的转换。
量子点
了解量子点的概念及其在光伏、 光催化、发光等方面的应用。
电子在周期势场中的行为
布拉歇特条件
探究布拉歇特条件的作用和意义，以及如何通过布拉歇特条件来理解材料导电性。
电子自旋
介绍电子自旋的概念和特点，以及在磁性材料中的重要作用。
量子霍尔效应
了解量子霍尔效应的概念和特点，以及其在电子学、自旋测量等方面的应用。
应用能带理论
1
太阳能电池
探究太阳能电池的原理和构造，以及如
半导体激光器
2
何利用能带理论来提高太阳能电池的性 能。
介绍半导体激光器的原理和构造，以及
如何通过能带理论来优化激光器的性能。
《固体物理能带理论》 PPT课件
通过本PPT了解固体物理能带理论，理解能带的概念和特点，并探究能带理论 在实际应用中的应用。
什么是固体物理能带理论？
晶体的电子结构
介绍晶体的基本结构和存在能带 的原因，以及能带分布的规律。
能带、狄拉克相对论
进一步探究能带的特点及其与材 料导电性的关系，介绍狄拉克相 对论的意义。
Bloch定理和能带图
介绍Bloch定理的作用，以及如何 通过能带图来描绘材料的电子结 构。
深入理解价带和导带
价带的物理意义
介绍价带中电子的特征和性 质，并探讨不同能级之间的 关系。
导带的物理意义
深入剖析导带中的电子行为， 介绍电子元件中导带的作用。
轻重空穴带
固体物理基础-能带理论
NZ
e j 1 j i 4 0 ri r j
NZ
1
2
NZ ve ri i 1
1 ve ri 2
e2 j 1 j i 4 0 ri r j
NZ
1
2）单电子近似
• 电子体系的哈密顿量变为：
ˆ T Rm Rn r Rm Rn r 又 ˆ T ˆ r r T R Rm Rn m Rn Rm Rn Rm Rn 将Rn =e Rn 带入得 Rm Rn = Rn + Rm , 仅当 是Rn的线性函数 时满足，因此取 Rn =k Rn , 则
Bloch定理说明
ik Rn r Rn e r
i k r k r e uk r , uk r Rn uk r
用Bloch波函数描述的电子，或遵从周期势单电子薛 定谔方程的电子，称为Bloch电子； 布洛赫波的特征：周期性条幅的平面波；当平移晶 ik R 格矢量 ������ ������ 时，波函数只变化一个相位因子 e n • 表明在不同原胞的对应点上，波函数只相差一个相 位因子，波函数的大小相同，所以电子出现在不同 原胞的对应点上几率是相同的。这是晶体周期性的 反映。
将使矢量 ������ 平移 ������ ������ ，即
ˆ f r f r R T n Rn
各平移算符之间互相对易
ˆ T ˆ f r T ˆ f r R f r R R T m n m Rn Rn Rm ˆ T ˆ f r T ˆ f r R f r R R T n m n R R Rm m n ˆ T ˆ f r T ˆ T ˆ f r T ˆ T ˆ T ˆ T ˆ T Rm Rn Rn Rm Rm Rn Rn Rm ˆ ,T ˆ 0 T Rn Rm
e j 1 j i 4 0 ri r j
NZ
1
2
NZ ve ri i 1
1 ve ri 2
e2 j 1 j i 4 0 ri r j
NZ
1
2）单电子近似
• 电子体系的哈密顿量变为：
ˆ T Rm Rn r Rm Rn r 又 ˆ T ˆ r r T R Rm Rn m Rn Rm Rn Rm Rn 将Rn =e Rn 带入得 Rm Rn = Rn + Rm , 仅当 是Rn的线性函数 时满足，因此取 Rn =k Rn , 则
Bloch定理说明
ik Rn r Rn e r
i k r k r e uk r , uk r Rn uk r
用Bloch波函数描述的电子，或遵从周期势单电子薛 定谔方程的电子，称为Bloch电子； 布洛赫波的特征：周期性条幅的平面波；当平移晶 ik R 格矢量 ������ ������ 时，波函数只变化一个相位因子 e n • 表明在不同原胞的对应点上，波函数只相差一个相 位因子，波函数的大小相同，所以电子出现在不同 原胞的对应点上几率是相同的。这是晶体周期性的 反映。
将使矢量 ������ 平移 ������ ������ ，即
ˆ f r f r R T n Rn
各平移算符之间互相对易
ˆ T ˆ f r T ˆ f r R f r R R T m n m Rn Rn Rm ˆ T ˆ f r T ˆ f r R f r R R T n m n R R Rm m n ˆ T ˆ f r T ˆ T ˆ f r T ˆ T ˆ T ˆ T ˆ T Rm Rn Rn Rm Rm Rn Rn Rm ˆ ,T ˆ 0 T Rn Rm
§17.3 固体能带理论基础
分开，原子数N变化时，能带宽度不变，密度变化。 2)能带宽度随能量增加而增加，随离子对电子约束程
度增加而减少。
E N个子能级
E N个子能级
N个子能级
3)每个角量子数一定的能带中最多容纳的电子数为： 2(2l+1)N
能带被电子填满： 满带 能带未被电子填满： 导带 完全未被电子填充： 空带（激发态能级）
热运动足以使一些电子从满带进入空带，使空 带成为导带，满带中留下空穴。
E
空带
空带
E=0.1~1.5eV
价带
E=0.1~1.5eV
价带
外 场
导带中电子逆电场方向运动 ——电子导电
作 原满带中电子填补空穴
用 满带中空穴沿电场方向运动 ——空穴导电 下
“电子—空穴”对为载流子
2) n型半导体（四价元素中掺入五价元素）
同学们好！
一.物态 §17.3 固体能带理论基础
物质的聚集态：大量粒子在一定温度、压力等外界 条件下聚集而成的稳定结构状态。
p
T
一定条件下，各种物态可以相互转化，有时还可以共存。
物态 条 件
结构
热运动动能 气态 >>分子相互 完全无序
作用势能
性质
对称性
无外场时自动趋向稳 定、均匀的平衡态， 最高 无一定形状、体积。
2) 泡利不相容原理 由于共有化电子彼此间量子数不能完全相同，于是 各原子中能量相同的能级分裂为N个与原来能级接 近的新能级，组成能带来容纳这些共有化电子。
N个
数量级概念： 晶格常数：d~10-10m，1cm3中点阵数：N~1023-1024
能带宽度：△E：几个eV，子能级间隔：10-23eV
2. 能带特点 1)能带由准连续的N个子能级组成，能带之间用禁带
度增加而减少。
E N个子能级
E N个子能级
N个子能级
3)每个角量子数一定的能带中最多容纳的电子数为： 2(2l+1)N
能带被电子填满： 满带 能带未被电子填满： 导带 完全未被电子填充： 空带（激发态能级）
热运动足以使一些电子从满带进入空带，使空 带成为导带，满带中留下空穴。
E
空带
空带
E=0.1~1.5eV
价带
E=0.1~1.5eV
价带
外 场
导带中电子逆电场方向运动 ——电子导电
作 原满带中电子填补空穴
用 满带中空穴沿电场方向运动 ——空穴导电 下
“电子—空穴”对为载流子
2) n型半导体（四价元素中掺入五价元素）
同学们好！
一.物态 §17.3 固体能带理论基础
物质的聚集态：大量粒子在一定温度、压力等外界 条件下聚集而成的稳定结构状态。
p
T
一定条件下，各种物态可以相互转化，有时还可以共存。
物态 条 件
结构
热运动动能 气态 >>分子相互 完全无序
作用势能
性质
对称性
无外场时自动趋向稳 定、均匀的平衡态， 最高 无一定形状、体积。
2) 泡利不相容原理 由于共有化电子彼此间量子数不能完全相同，于是 各原子中能量相同的能级分裂为N个与原来能级接 近的新能级，组成能带来容纳这些共有化电子。
N个
数量级概念： 晶格常数：d~10-10m，1cm3中点阵数：N~1023-1024
能带宽度：△E：几个eV，子能级间隔：10-23eV
2. 能带特点 1)能带由准连续的N个子能级组成，能带之间用禁带
固体物理学基础晶体的电子结构与能带理论
固体物理学基础晶体的电子结构与能带理论在固体物理学中，研究晶体的电子结构是一项重要的课题。
晶体是由周期性排列的原子或分子组成的固体，而其电子行为对于晶体的性质以及各种物理现象的理解至关重要。
能带理论是描述晶体中电子行为的一种重要模型，通过能带理论，我们可以更好地理解晶体材料的导电、绝缘和半导体特性等基本特性。
首先，让我们来了解晶体的电子结构。
晶体中的原子或分子排列成一定的周期性结构，这种结构会对电子的行为产生重要影响。
在晶体中，电子的行为可以近似地看作是存在于一系列能级中，称为能带。
能带可以被分为价带和导带，其中价带中的电子被束缚在原子核附近，而导带则存在着自由电子。
晶体的周期性结构使得电子在其中受到布里渊区的限制。
布里渊区是倒格子中一个基本单元，它是晶体中全部电子状态所覆盖的空间。
当电子在布里渊区内运动时，具有周期性的波动特性，其波矢量（k）和波函数（Ψ）可以描述电子在晶体中的运动。
能带理论则进一步解释了电子如何填充在能级中。
根据泡利不相容原理，每个能级只能容纳一个电子，因此能带在填充时会出现能级填充顺序的规律。
根据能带的填充情况，我们将晶体分为导体、绝缘体和半导体三类。
对于金属晶体，由于其导带和价带之间存在较小的能隙，几乎所有能级都可以被电子填充，因此金属具有良好的导电性能。
对于绝缘体晶体，导带和价带之间存在较大的能隙，这意味着电子必须获取足够的能量才能从价带跃迁到导带。
由于常温下绝缘体的电子很难获得足够的能量，因此导带中很少有电子，绝缘体表现出非常低的导电性能。
而在半导体晶体中，导带和价带之间的能隙处于介于绝缘体和金属之间的状态。
半导体的电导率可以通过控制掺杂或加热等方式进行调节。
除了以上三类基本晶体材料，还有一类特殊的材料，称为拓扑绝缘体。
拓扑绝缘体是一种新兴的研究领域，它们具有特殊的能带结构和边界态，可以展现出一些非常有趣的现象和性质。
总结起来，固体物理学中研究晶体的电子结构和能带理论是了解晶体导电、绝缘和半导体等基本特性的重要途径。
固体物理课件第四章：能带理论能带理论(1)
填充的部分（允带）和禁止填充的部分（禁带）相间组成 的能带，所以这种理论称为能带论。
需要指出的是：
在固体物理中，能带论是从周期性势场中推导出来的，这 是由于人们对固体性质的研究首先是从晶态固体开始的。而周 期性势场的引入也使问题得以简化，从而使理论研究工作容易 进行。所以，晶态固体一直是固体物理的主要研究对象。然而，
系统的哈密顿量可以简化为NZ个电子哈密顿量之和：
N 2 1 Ze2 ˆ H i2 ue (ri ) i 1 2m n 1 4 0 ri Rm NZ
因此可以用分离变量法对单个电子独立求解（单电子近似）。 单电子所受的势场为：
T T f r
TT－ T T 晶格周期性：
2 2 T Hf r T r U r f r 2m 2 2 r a U r a f r a 2m
{
H r E r
其中 是平移算符 T 的本征值。为了确定平移算符的本征 值，引入周期性边界条件。
设晶体为一平行六面体，其棱边沿三个基矢方向，N1，N2和N3 分别是沿a1，a2和a3方向的原胞数，即晶体的总原胞数为 N ＝N1N2N3 。
周期性边界条件：
r r N a
i k Rn k r Rn e k r
它表明在不同原胞的对应点上，波函数只相差一个相位因子
e
i k Rn
，它不影响波函数的大小，所以电子出现在不同原胞的
对应点上几率是相同的。这是晶体周期性的反映。
Bloch 定理：
周期势场中 的电子波函 数必定是按 晶格周期函 数调幅的平 面波。
需要指出的是：
在固体物理中，能带论是从周期性势场中推导出来的，这 是由于人们对固体性质的研究首先是从晶态固体开始的。而周 期性势场的引入也使问题得以简化，从而使理论研究工作容易 进行。所以，晶态固体一直是固体物理的主要研究对象。然而，
系统的哈密顿量可以简化为NZ个电子哈密顿量之和：
N 2 1 Ze2 ˆ H i2 ue (ri ) i 1 2m n 1 4 0 ri Rm NZ
因此可以用分离变量法对单个电子独立求解（单电子近似）。 单电子所受的势场为：
T T f r
TT－ T T 晶格周期性：
2 2 T Hf r T r U r f r 2m 2 2 r a U r a f r a 2m
{
H r E r
其中 是平移算符 T 的本征值。为了确定平移算符的本征 值，引入周期性边界条件。
设晶体为一平行六面体，其棱边沿三个基矢方向，N1，N2和N3 分别是沿a1，a2和a3方向的原胞数，即晶体的总原胞数为 N ＝N1N2N3 。
周期性边界条件：
r r N a
i k Rn k r Rn e k r
它表明在不同原胞的对应点上，波函数只相差一个相位因子
e
i k Rn
，它不影响波函数的大小，所以电子出现在不同原胞的
对应点上几率是相同的。这是晶体周期性的反映。
Bloch 定理：
周期势场中 的电子波函 数必定是按 晶格周期函 数调幅的平 面波。
固体物理6-2 能带理论
波矢群中的对称操作 4z，mx，my，σ1，σ2 2z， mx，my 4z，mx，my，σ1，σ2 my
σ2
mx
简单立方晶格Oh (m3m)点群：
特殊位置 Γ点 R S ΔT X Γ Z Σ M Λ X点 M点 R点 Δ轴 Z轴 Σ轴 S轴 T轴 Λ轴 k (0, 0, 0) (π/a, 0, 0) (π/a, π/a, 0) (π/a, π/a, π/a) (k, 0, 0) (π/a, k, 0) (k, k, 0) (π/a, k, k) (π/a, π/a, k) (k, k, k) β群 Oh (m3m) D4h (4/mmm) D4h (4/mmm) Oh (m3m) C4V (4mm) C2V (mm2) C2V (mm2) C2V (mm2) C4V (4mm) C3V (3m)
T (α )ψ n ,k ( r ) = T (α ) eikr un ,k ( r )
=e
ik α 1r
un ,k (α 1r )
′ = eiα kr un ,α k ( r ) = ψ n ,α k ( r )
un ,k (α 1r ) 仍以格矢Rl为周期， 由于
可以改写为 由于α是正交变换，
∴ k α 1r = α k r
V = 2 3 8π
∫∫
等能面
dSdk⊥
dE = k E dk⊥
dZ V ∴N (E) = = 3 dE 4π
2. 近自由电子的能态密度 对于自由电子：
∫∫
dS k E
h2k 2 E (0) ( k ) = 2m
的球面
2mE 能量为E的等能面是半径为 k = h2
在球面上
dE h 2 k E = = k dk m
能带理论-固体物理理论
三 倒格子
基矢+法线取向 周期性的点 米勒指数 倒格子 晶面族 基矢 P点的位矢： 光程差 正格矢
衍射极大值条件 令 则
令 则 倒格矢
若倒格矢写为：
倒格矢和正格矢之间的关系：
反比 倒格矢是电子在市场傅立叶展开的元函数。
四 布里渊区
Wigner-Seitz原胞(WS)：以晶格中某一格点为中心， 作其与近邻的所有格点连线的垂直平分面，这些平 面所围成的以该点为中心的凸多面体即为该点的WS 原胞。
周期边界条件(Born-Von Karman)
边界上原子的振动对于晶格振动的色散关系的影响是很小的。 1.固定边界条件 即固定两端的原子不动，得到驻波解。 2.周期边界条件 行波解
波矢是量子化的
七一维双原子链
色散关系
色散关系
声学支 光学支
禁带
光学波&声学波
主要依据长波极限下的性质
&
极化波
长光学波可以利用光波的电磁场激发
假定，所有离子产生的势场和其他电子饿 平均场是周期势场，其周期为晶格的周期。 单电子的薛定谔方程为：
Bloch定理： 周期势场的平移对称性
周期势场中粒子波函数的形式为： 即，波函数不再是平面波，而是调幅的平面波，幅度周期性变化。 另外一种形式：
它表明在不同原胞的对应点上，波函数相差一个位相因子 ， 所以不同原胞对应点上，电子出现的几率是相同的，这是晶体周期性的反映。
声子
晶格的振动是一种集体运动形式，表现为不同模式的格波
简正变化，消除交叉项
晶格振动的总Hamiltonian
晶格振动系统的总能量为 能量是量子化的
声子：
特点： 1.准粒子：不是真实的粒子，不能游离于固体之外 2.准动量： 3.Bose子：
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六安市长安小学
1
第 八 章 晶体的能带结构
前言
物理学前言之一 材料的性质 大规模集成电路 半导体激光器
超导 人工微结构
六安市长安小学
从STM得到的硅晶体
表面的原子结构图
2
§8.1 晶体的能带 一. 电子共有化
晶体具有大量分子、原子或离子有规则 排列的点阵结构。
电子受到周期性势场的作用。
a
按量子力学须解定态薛定格方程。
即周期性边界条件使 k 只能取分立值：
六安市长安小学
k n 2 n 2 (n 0,1,2,)
Na L
16
k n 2 n 2
Na L
k 是代表电子状态的角波数, n 是代表电子状态的量子数。
(n 0,1,2,)
对于三维情形, 电子状态由一组量子数(nx、 ny、nz)来代表。
它对应一组状态角波数（kx、 ky、 kz）。
k 一个 对应电子的一个状态。
六安市长安小学
17
三. 空k间
我们以
kx、 ky、 k为z 三个直角坐标轴，建立一个假想的空间。这个空
间称为波矢空间、
空间，或动量空间*。
k 在 空间中，电子的每个状态可以用 k 一个状态点来表示，这个点的坐标是
kx
2
L
nx
(nx 0,1,2,)
ky
2 L
ny
(ny 0,1,2,)
晶体中的电子能级 有什么特点？
量子力学计算表明，晶体中若有N个
原子，由于各原子间的相互作用，对应于
原来孤立原子的每一个能级,在晶体中变
成了N条靠得很近的能级,称为能带。
六安市长安小学
5
能带的宽度记作E ，数量级为 E～eV。 若N~1023,则能带中两能级的间距约10-23eV。
一般规律：
1. 越是外层电子，能带越宽，E越大。
2. 点阵间距越小，能带越宽，E越大。
3. 两个能带有可能重叠。
六安市长安小学
6
E
2P 2S
1S
0
a
离子间距
能带重叠示意图
六安市长安小学的一个电子只能处在某个能带中的 某一能级上。
排布原则： 1. 服从泡里不相容原理（费米子） 2. 服从能量最小原理
设孤立原子的一个能级 Enl ，它最多能容 纳 2 (2 l +1)个电子。
(3)
此式称为周期性边界条件。
采用周期性边界条件以后，具有 N 个晶格点的 晶体就相当于首尾衔接起来的圆环：
六安市长安小学
14
a a
图 2 周期性边界条件示意图
周期性边界条件对波函数中的波数是有影响的。
由周期性边界条件可以推出:布洛赫波函数 的 波数 k 只能取一些特定的分立值。
六安市长安小学
15
具有(2)式形式的波函数称为布洛赫波函数, 或布洛赫函数。
注*：关于布洛赫定理的证明，有兴趣的读者 可以查阅《固体物理学》黄昆原著 韩汝琦改编 （1988）P154
六安市长安小学
12
布洛赫定理说明了一个在周期场中运动的电子
e 波函数为：一个自由电子波函数
与一个具有
晶体结构周期性的函数
的乘积。
ik x
晶体中电子的能带理论奠定了基础。
布洛赫定理指出了在周期场中运动的电子 波函数的特点。
六安市长安小学
10
在一维情形下，周期场中运动的电子能量E(k)
和波函数
必k 须( x满)足定态薛定谔方程
2 2m
d2 dx 2
V (x)
k(x) E(k)k(x)
(1)
k -------表示电子状态的角波数 V( x ) ----周期性的势能函数，它满足
证明如下:
由周期性边界条件 按照布洛赫定理：
k ( x) k ( x Na)
(3)
左边为 右边为
k ( x) ei k xuk ( x)
k
(
x
Na )
eik(
u x Na ) k
(
x
Na )
e i kNae i kxuk ( x)
ei kNa k ( x)
所以
eikNa 1
kNa 2n (n 0,1,2,)
六安市长安小学
3
解定态薛定格方程(略）， 可以得出两点重要结论：
1.电子的能量是分立的能级; 2.电子的运动有隧道效应。
原子的外层电子(高能级)， 势垒穿透概率 较大， 电子可以在整个晶体中运动, 称为 共有化电子。
原子的内层电子与原子核结合较紧,一般 不是 共有化电子。
六安市长安小学
4
二. 能带 (energy band)
亦称导带
3．空带（未排电子） 亦称导带 4．禁带（不能排电子）
六安市长安小学
9
§8.2（补充） 布洛赫定理
k
空间
一. 布洛赫定理
一个在周期场中运动的电子的波函数应 具有哪些基本特点？
在量子力学建立以后，布洛赫（F.Bloch） 和布里渊（Brillouin）等人就致力于研究 周期场中电子的运动问题。他们的工作为
13
二 . 周期性边界条件
实际的晶体体积总是有限的。因此必须 考虑边界条件。
在固体问题中，为了既考虑 到晶体势场的周期性，又考虑到晶体是有限 的，我们经常合理地采用周期性边界条件：
设一维晶体的原子数为N,它的线度为 L=Na,则布洛赫波函数
应
满足如下条件
k ( x)
k ( x) k ( x Na)
这一能级分裂成由 N条能级组成的能带后， 能带最多能容纳 2N(2l +1)个电子。
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8
2N(2l+1)
例如，1ｓ、2ｓ能带，最多容纳 2N个电子。 2ｐ、3ｐ能带，最多容纳 6N个电子。
电子排布时，应从最低的能级排起。
有关能带被占据情况的几个名词：
1．满带（排满电子） 2．价带（能带中一部分能级排满电子）
kz
2 L
nz
(nz 0,1,2,)
注：
由 所于以德布洛空意间关也系称为动量空，间即P。
h
，
P k
k
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kx
2
L
nx
(nx 0,1,2,)
uk ( x)
它是按照晶格的周期 a 调幅的行波。
这在物理上反映了晶体中的电子既有共有化的 倾向，又有受到周期地排列的离子的束缚的特点。
只电有子在的波函数u等才k于完( x常全)数变时为，自在由周电期子场的中波运函动数的。
因此，布洛赫函数是比自由电子波函数 更接近实际情况的波函数。
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V( x ) = V( x + n a ) a ---- 晶格常数 n -----任意整数
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布洛赫定理：
满足（1）式的定态波函数必定具有如下的特殊形式
k ( x) ei k xuk ( x)
(2)
式中 *
uk (也x是) 以a为周期的周期函数，即
uk ( x) uk ( x na)
1
第 八 章 晶体的能带结构
前言
物理学前言之一 材料的性质 大规模集成电路 半导体激光器
超导 人工微结构
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从STM得到的硅晶体
表面的原子结构图
2
§8.1 晶体的能带 一. 电子共有化
晶体具有大量分子、原子或离子有规则 排列的点阵结构。
电子受到周期性势场的作用。
a
按量子力学须解定态薛定格方程。
即周期性边界条件使 k 只能取分立值：
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k n 2 n 2 (n 0,1,2,)
Na L
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k n 2 n 2
Na L
k 是代表电子状态的角波数, n 是代表电子状态的量子数。
(n 0,1,2,)
对于三维情形, 电子状态由一组量子数(nx、 ny、nz)来代表。
它对应一组状态角波数（kx、 ky、 kz）。
k 一个 对应电子的一个状态。
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三. 空k间
我们以
kx、 ky、 k为z 三个直角坐标轴，建立一个假想的空间。这个空
间称为波矢空间、
空间，或动量空间*。
k 在 空间中，电子的每个状态可以用 k 一个状态点来表示，这个点的坐标是
kx
2
L
nx
(nx 0,1,2,)
ky
2 L
ny
(ny 0,1,2,)
晶体中的电子能级 有什么特点？
量子力学计算表明，晶体中若有N个
原子，由于各原子间的相互作用，对应于
原来孤立原子的每一个能级,在晶体中变
成了N条靠得很近的能级,称为能带。
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能带的宽度记作E ，数量级为 E～eV。 若N~1023,则能带中两能级的间距约10-23eV。
一般规律：
1. 越是外层电子，能带越宽，E越大。
2. 点阵间距越小，能带越宽，E越大。
3. 两个能带有可能重叠。
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6
E
2P 2S
1S
0
a
离子间距
能带重叠示意图
六安市长安小学的一个电子只能处在某个能带中的 某一能级上。
排布原则： 1. 服从泡里不相容原理（费米子） 2. 服从能量最小原理
设孤立原子的一个能级 Enl ，它最多能容 纳 2 (2 l +1)个电子。
(3)
此式称为周期性边界条件。
采用周期性边界条件以后，具有 N 个晶格点的 晶体就相当于首尾衔接起来的圆环：
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a a
图 2 周期性边界条件示意图
周期性边界条件对波函数中的波数是有影响的。
由周期性边界条件可以推出:布洛赫波函数 的 波数 k 只能取一些特定的分立值。
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具有(2)式形式的波函数称为布洛赫波函数, 或布洛赫函数。
注*：关于布洛赫定理的证明，有兴趣的读者 可以查阅《固体物理学》黄昆原著 韩汝琦改编 （1988）P154
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布洛赫定理说明了一个在周期场中运动的电子
e 波函数为：一个自由电子波函数
与一个具有
晶体结构周期性的函数
的乘积。
ik x
晶体中电子的能带理论奠定了基础。
布洛赫定理指出了在周期场中运动的电子 波函数的特点。
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在一维情形下，周期场中运动的电子能量E(k)
和波函数
必k 须( x满)足定态薛定谔方程
2 2m
d2 dx 2
V (x)
k(x) E(k)k(x)
(1)
k -------表示电子状态的角波数 V( x ) ----周期性的势能函数，它满足
证明如下:
由周期性边界条件 按照布洛赫定理：
k ( x) k ( x Na)
(3)
左边为 右边为
k ( x) ei k xuk ( x)
k
(
x
Na )
eik(
u x Na ) k
(
x
Na )
e i kNae i kxuk ( x)
ei kNa k ( x)
所以
eikNa 1
kNa 2n (n 0,1,2,)
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解定态薛定格方程(略）， 可以得出两点重要结论：
1.电子的能量是分立的能级; 2.电子的运动有隧道效应。
原子的外层电子(高能级)， 势垒穿透概率 较大， 电子可以在整个晶体中运动, 称为 共有化电子。
原子的内层电子与原子核结合较紧,一般 不是 共有化电子。
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二. 能带 (energy band)
亦称导带
3．空带（未排电子） 亦称导带 4．禁带（不能排电子）
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§8.2（补充） 布洛赫定理
k
空间
一. 布洛赫定理
一个在周期场中运动的电子的波函数应 具有哪些基本特点？
在量子力学建立以后，布洛赫（F.Bloch） 和布里渊（Brillouin）等人就致力于研究 周期场中电子的运动问题。他们的工作为
13
二 . 周期性边界条件
实际的晶体体积总是有限的。因此必须 考虑边界条件。
在固体问题中，为了既考虑 到晶体势场的周期性，又考虑到晶体是有限 的，我们经常合理地采用周期性边界条件：
设一维晶体的原子数为N,它的线度为 L=Na,则布洛赫波函数
应
满足如下条件
k ( x)
k ( x) k ( x Na)
这一能级分裂成由 N条能级组成的能带后， 能带最多能容纳 2N(2l +1)个电子。
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2N(2l+1)
例如，1ｓ、2ｓ能带，最多容纳 2N个电子。 2ｐ、3ｐ能带，最多容纳 6N个电子。
电子排布时，应从最低的能级排起。
有关能带被占据情况的几个名词：
1．满带（排满电子） 2．价带（能带中一部分能级排满电子）
kz
2 L
nz
(nz 0,1,2,)
注：
由 所于以德布洛空意间关也系称为动量空，间即P。
h
，
P k
k
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kx
2
L
nx
(nx 0,1,2,)
uk ( x)
它是按照晶格的周期 a 调幅的行波。
这在物理上反映了晶体中的电子既有共有化的 倾向，又有受到周期地排列的离子的束缚的特点。
只电有子在的波函数u等才k于完( x常全)数变时为，自在由周电期子场的中波运函动数的。
因此，布洛赫函数是比自由电子波函数 更接近实际情况的波函数。
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V( x ) = V( x + n a ) a ---- 晶格常数 n -----任意整数
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布洛赫定理：
满足（1）式的定态波函数必定具有如下的特殊形式
k ( x) ei k xuk ( x)
(2)
式中 *
uk (也x是) 以a为周期的周期函数，即
uk ( x) uk ( x na)