第三章 信源及信源熵
信源熵
I ( y j ) I ( y j | xi ) I ( y j )
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条件互信息量
条件互信息量： 在给定 zk 的条件下，xi 与 y j 之间的互信
I ( xi ; y j ) 0 后验概率 先验概率，X 与 Y 统计独立
I ( xi ; y j ) 0 后验概率 先验概率：由于信道受到干扰， 信宿收到 y j 后不但未使 xi 的不确定度 减少，反而增大了 xi 的不确定度 两个消息之间的互信息不大于其中任一消息的自信息 I ( xi ; y j ) I ( xi ) I ( x i | y j ) I ( x i )
符号从平均意义上表征信源总体特性的一个量对于特定的信源其熵只有一个1log?niiipxpx????1logniiipxpx????信息熵的物理含义信源输出前表征信源的平均不确定度信源输出后表征信源发出的每个消息所能提供的平均信息量是一个统计量反映了随机变量x的随机性22统计热力学中熵是表示分子混乱程度的一个物理量在孤立系统中进行的自发过程总是沿着熵增加的方向进行它是不可逆的平衡态相应于熵取最大值的状态即熵增加原理香农借用热力学中熵来描述信源的平均不确定度在信息论中有用的信息熵只会减少不会增加所以信息熵也被称为负热熵ijxyxy
2
信源的分类
信源输出以符号形式出现的具体消息，其分类如下： 按发送消息的时间和取值空间的分布 离散信源 单符号离散信源 连续信源 信源发出的 按发出符号之间的关系 消息是离散的、 无记忆信源 有限的或无限可 列的符号，且一 有记忆信源 个符号代表一条 按发送一条消息所需要的符号数 完整的消息 单个符号信源 符号序列信源
三种表达形式等效
log log p( x i y j ) p( x i ) p( y j ) p( y j | x i ) p( y j )
信源熵的名词解释
信源熵的名词解释信源熵（Source Entropy）是信息论中一个重要的概念，用于衡量信息源的不确定性和信息的平均编码长度。
在信息论中，信息可以被看作是从一个信源中获取的，而信源熵用来描述这个信源的不确定性大小。
信源熵的计算方法是根据信源可能产生的符号的概率分布来进行的。
具体来说，如果一个信源有n个可能取值（符号）S1，S2，...，Sn，并且每个符号出现的概率分别为P1，P2，...，Pn，那么信源的熵H(S)可以通过下面的公式计算得出：H(S) = -P1log(P1) - P2log(P2) - ... - Pnlog(Pn)其中，log是以2为底的对数，P1，P2，...，Pn是概率分布。
信源熵的含义是，对于一个不确定性较大的信源，需要更长的编码长度来表示每一个符号，所以熵值越大，说明信息的平均编码长度越长。
相反，当一个信源的不确定性较小，即各个符号出现的概率分布较平均时，信息的平均编码长度较短，熵值较小。
以一个简单的例子来说明信源熵的概念。
假设有一个只有两个符号的信源，分别记为S1和S2，它们出现的概率分别为P1和P2。
如果这两个符号的概率分布相等（即P1 = P2 = 0.5），那么信源的熵就是最大的，因为这两个符号的不确定性相同，需要同样长度的编码来表示它们。
而如果其中一个符号的概率接近于1，另一个符号的概率接近于0，那么信源的熵就是最小的，因为其中一个符号的信息是确定的，只需要很短的编码来表示它。
这个例子可以帮助我们理解信源熵与不确定性之间的关系。
除了信源熵，信息论中还有一个重要的概念是条件熵（Conditional Entropy）。
条件熵是在已知一定的背景条件下，信源的不确定性大小，即在给定前提条件下的平均编码长度。
条件熵可以通过信源和条件之间的联合概率分布来计算，其公式为：H(S|T) = -ΣΣP(s, t)log(P(s|t))其中，P(s, t)表示符号s和条件t联合发生的概率。
信源及信源熵介绍
2.2.1 自信息量
2. 不确定度 定义：随机事件的不确定度在数量上等于它的 自信息量．
说明:
a. 两者的单位相同，但含义却不相同。 b. 具有某种概率分布的随机事件不管发生与否，都存在
不确定度，不确定度表征了该事件的特性，而自信息 量是在该事件发生后给予观察者的信息量。
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2.2.1 自信息量
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2) 因为X中各符号xi的不确定度I（xi）为非负值，p（xi）也 是非负值，且0 p（xi）1，故信源的平均不确定度H（X） 也是非负量。
3) 平均不确定度H（X）的定义公式与热力学中熵的表示形 式相同，所以又把H（X）称为信源X的熵。熵是在平均意 义上来表征信源的总体特性的，可以表征信源的平均不确 定度。
2
p(xi ) log 2 p(xi ) i 1
= 0.72比特/次 说明：
1) 自信息量I（x1）和I（x2）只是表征信源中各个 符号的不确定度，一个信源总是包含着多个符 号消息，各个符号消息又按概率空间的先验概 率分布，因而各个符号的自信息量就不同。所 以自信息量不能作为信源总体的信息量。
=3 × 105 × 3.32 比特/画面
25
有一篇千字文章，假定每字可从万字表中任选， 则共有不同的千字文 N=100001000=104000 篇 仍按等概率1/100001000计算，平均每篇千字文 可提供的信息量为 H（X）＝log2N ＝4 × 103 × 3．32
1．3 × 104 比特／千字文
离散消息的信源，如文字、数字、数据等符号都是
离散消息。
{ 离散信源
离散无记忆信源 离散有记忆信源
{ {
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发出单个符号的无记忆信源 发出符号序列的无记忆信源 发出符号序列的有记忆信源 发出符号序列的马尔可夫信源
信息论基础-第二、三章
信息论基础-信源及信源熵
离散信源又可以细分为： 1.根据有无记忆： （1）(离散)无记忆信源：所发出的各个符号之间是相 互独立的，发出的符号序列中的各个符号之间没有统 计关联性，各个符号的出现概率是它自身的先验概率。 （2）(离散)有记忆信源：发出的各个符号之间不是相 互独立的，各个符号出现的概率是有关联的。
中国矿业大学信电学院
School of Information and Electrical Engineering, CUMT, 9
信息论基础-信源及信源熵
（1）发出单个符号的无记忆信源；(离散无记忆单符号信源； 先验概率) （2）发出符号序列的无记忆信源；(离散无记忆序列信源，离 散联合概率) （3）发出符号序列的有记忆信源；(离散有记忆序列信源，联 合概率) （4）发出单符号的有记忆信源；(离散有记忆单符号信源，条 件概率) 一类重要的离散有记忆单符号信源——马尔可夫信源： 某 一个符号出现的概率只与前面一个或有限个符号有关，而不 依赖更前面的那些符号。
X=( x1 , x2 ,L , xN )
来描述，其中N可为有限正整数或可数的无限 中国矿业大学信电学院 值。 School of Information and Electrical Engineering, CUMT,
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信息论基础-信源及信源熵
在上述随机矢量中，若每个分量是随机变量 xi (i 1,2,, N )
中国矿业大学信电学院
School of Information and Electrical Engineering, CUMT, 17
信息论基础-信源及信源熵
表述有记忆信源要比表述无记忆信源困难得多。 这种关联性可用两种方式表示:
1）有记忆序列信源（离散有记忆序列信源）
第3章 离散信源
时间长度为bi，则该信源的时间熵定义为：Ht(X)=H(X)/b. 其中b为信源符号的
平均时间长度。
M
b p( xi ) bi
i 1
s / 符号
离散信源的时间熵（续）
K重符号序列离散无记忆信源的时间熵：
K K Ht (X ) H(X ) / B
bit / s 其中B Kb
为K重符号序列消息的平均时间长度。由于信源无记忆，上式也可以写成：
bit / s
由于信源有记忆，所以有：
K ( H t X ) KH ( X ) (Kb) KH ( X ) /(Kb) H ( X ) / b
bit / s
有记忆信源与无记忆信源相比，对外提供信息量的速度下降了。
离散信源的时间熵（续）
马尔可夫信源的时间熵： 若信源从状态Si转移到状态Sj，发出的符号是xij，它的时间长度设为bij，则 信源从状态Si发生转移并发出一个符号时，符号的平均长度为：
信源分类
若离散信源输出符号彼此间相互独立，而且所有符号服从同一种概率分布，则称之 为简单无记忆信源；
若输出符号间彼此相关，且每个符号只与它前面的一个符号相关，而这种相关性可 以用符号间的转移概率来描述，则称之为马尔可夫信源。
离散信源的熵
单符号离散无记忆信源熵： 若信源X含有M个符号，而且每个符号相互独立，则当信源每次发送一个 符号代表一条消息时，其信源熵可以表示为:
H(X ) 100% H ( X )max
信源符号的相关性越大，信源效率越低，要提高信源效率，要设法降 低符号之间的相关性。
信源的效率与冗余度（续）
（2）信源冗余度：
H ( X )max H ( X ) H(X ) R 1 1 100% H ( X )max H ( X )max
第三章 信息论基础知识(Part2)
信息论基础知识主要内容：信源的数学模型 信源编码定理 信源编码算法 信道容量 通信的容限第 1 页 2011-2-21引言一、信息论的研究范畴 信息论是研究信息的基本性质及度量方法，研究信息的获取、传输、存储和处理的一般规律的科学。
狭义信息论：通信的数学理论，主要研究信息的度量方 法，各种信源、信道的描述和信源、信道的编码定理。
实用信息论：信息传输和处理问题，也就是狭义信息 论方法在调制解调、编码译码以及检测理论等领域的应用。
广义信息论，包括信息论在自然和社会中的新的应用， 如模式识别、机器翻译、自学习自组织系统、心理学、生物 学、经济学、社会学等一切与信息问题有关的领域。
第 2 页 2011-2-21二、信息论回答的问题通信信道中，信息能够可靠传 输的最高速率是多少？噪声信道编码定理 噪声信道编码定理信息进行压缩后，依然可以从已压 缩信息中以无差错或低差错恢复的 最低速率是多少？香农信源编码理论 香农信源编码理论最佳系统的复杂度是多少？第 3 页2011-2-21三、香农的贡献香农(Claude Elwood Shannon,1916～2001年)， 美国数学家，信息论的创始人。
创造性的采用概率论的方法来研究通信中的问题，并且对 信息给予了科学的定量描述，第一次提出了信息熵的概念。
1948年，《通信的数学理论》(A mathematical theory of communication ) 以及1949年，《噪声下的通信》标志了信息论的创立。
1949年，《保密通信的信息理论》，用信息论的观点对信息保密问题做了 全面的论述，奠定了密码学的基础。
1959年，《保真度准则下的离散信源编码定理》，它是数据压缩的数学基 础，为信源编码的研究奠定了基础。
1961年发表“双路通信信道”，开拓了多用户信息理论（网络信息论）的研 究；第 4 页 2011-2-21四、信息论发展历史1924年 奈奎斯特(Nyquist,H.)总结了信号带宽和信息速率之 间的关系。
信源熵计算公式
信源熵计算公式
信息熵的计算公式为H(x) = E[I(xi)] = E[ log(2,1/P(xi)) ] = -∑P(xi)log(2,P(xi)) (i=1,2,..n)。
1948年，香农提出了“信息熵”的概念，才解决了对信息的量化度量问题。
信息熵这个词是C.E.Shannon（香农）从热力学中借用过来的。
热力学中的热熵是表示分子状态混乱程度的物理量。
香农用信息熵的概念来描述信源的不确定度。
特点：
信息熵的计算是非常复杂的。
而具有多重前置条件的信息，更是几乎不能计算的。
所以在现实世界中信息的价值大多是不能被计算出来的。
但因为信息熵和热力学熵的紧密相关性，所以信息熵是可以在衰减的过程中被测定出来的。
因此信息的价值是通过信息的传递体现出来的。
在没有引入附加价值（负熵）的情况下，传播得越广、流传时间越长的信息越有价值。
高等教育《信息论》第3章离散信源
X
P
x1
px1
x2
px2
xq
p
xq
(3.5)8
信源输出信息量的度量
定义 3.2.2 设信源 X 中，事件 xi 发生的概率为 pxi ，
则所含有的自信息量定义为
de f
I xi log pxi
(3.6)
定义 3.2.2 给出的自信息量的函数形式有如下性质：
① 信源中信息的量度与输出符号发生的概率有关。
000, 001, 011, 111,100,110, 010,101
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3.1.2 信源的分类 无记忆信源
① 离散无记忆信源 信源发出的消息符号彼此是统计独立的，并且具有
相同的概率分布，其 N 维随机矢量的联合概率分布为
N
N
p X p X k aik pik
k 1
k 1
i 1, 2, , q
其中 N 可为有限正整数或可数无穷值。通常，总限定 N 是有限的，故只限于讨论“有限离散信源”。若在这随机
矢量中的每个随机变量Xk , k 1, 2, , N 都是离散的，则可 用N重离散概率空间的数学模型来描述这类信源。
X
P
a1
pa1
a2
pa2
aqN p aqN
(3.4)
其中
9
自信息量 I xi 是指某一信源发出某一消息符号 xi 所含
有的信息量，所发出的信息符号不同，它们含有的信息量
也就各不相同，故自信息量 I xi 是一个随机变量，不能用
它来作为整个信源输出信息的信息测度。为此，需要引入 平均自信息量，即信息熵来作为信源输出信息的信息测度。
定义 3.2.3 信源输出的各消息的自信息量的数学期望为 信源的平均自信息量，或称为信源的信息熵。
信源熵公式
信源熵公式
信源熵是信息论中的一个重要概念，它是用来度量消息的丰富性和
复杂性的一种度量方法。
它的概念源于 Shannon 在 1948 年出版的文章Information Theory。
一、信源熵是什么
信源熵（即 Shannon 熵）是指数据量的复杂性程度的度量，即信息量
在消息中不确定性的度量。
它可以帮助我们测量消息中内容丰富程度，以及消息是否具有冗余性。
通俗来说，信源熵是一种度量消息中有多
少信息和无规律性的度量方法。
二、信源熵的计算公式
信源熵的计算公式是： H(p) = -∑p(i)logp(i) 。
其中，H(p)是具有信息量
p的信息源的熵，p(i)是每一种信息量的概率。
它很好地反映了消息的复杂性，但它不能用来衡量消息的可靠性，因
此不能按照 Shannon 熵来评估消息的独特性。
三、信源熵的应用
信源熵有很多应用，最重要的是在信号处理、声音分析、密码学、数
据库设计和模式分析等领域有广泛的应用。
例如在压缩文件时，可以
使用信源熵来确定哪些数据需要进行压缩处理，从而减小数据的量。
另外，信源熵也可以用来度量信号的复杂性，比如机器学习算法中的模型复杂度因子，可以使用信源熵来衡量模型的复杂度。
四、总结
信源熵是由 Shannon 在 1948 年提出的一种度量方法，它可以度量消息的复杂性和冗余性，可以帮助我们评估消息的信息量。
它被广泛应用于信号处理、声音分析、密码学、数据库设计和模式分析等领域，可以用来度量信号的复杂性，以及机器学习算法中的模型复杂度因子。
信源与信源熵.ppt
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பைடு நூலகம்
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