三角形外接圆与内切圆半径求法
三角形的外接圆与内切圆半径的求法
江苏省海安县曲塘镇花庄初中（226661）马金全
一、求三角形的外接圆的半径
1、直角三角形
如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边.
例1已知：在△ABC中，AB＝13，BC＝12，AC＝5
求△ABC的外接圆的半径.
解：∵AB＝13，BC＝12，AC＝5，
∴AB2＝BC2＋AC2，
∴∠C＝90°，
∴AB为△ABC的外接圆的直径，
∴△ABC的外接圆的半径为6.5.
2、一般三角形
①已知一角和它的对边
例2如图，在△ABC 中，AB＝10，∠C＝100°，
求△ABC外接圆⊙O的半径.（用三角函数表示）
分析：利用直径构造含已知边AB的直角三角形.
解：作直径BD，连结AD.
则∠D＝180°－∠C＝80°，∠BAD＝90°
∴BD＝DsinAB＝80sin10
∴△ABC外接圆⊙O的半径为80sin5.
注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三
角形的外接圆的半径.
例3如图，已知，在△ABC 中，AB＝10，∠A＝70°，∠B＝50°
求△ABC外接圆⊙O的半径.
分析：可转化为①的情形解题.
解：作直径AD，连结BD.
则∠D＝∠C＝180°－∠CAB－∠BAC＝60°，∠DBA＝90°
∴AD＝DsinAB＝60sin10＝3320
∴△ABC外接圆⊙O的半径为3310.
②已知两边夹一角
例4如图，已知，在△ABC 中，AC＝2，BC＝3，∠C＝60°
求△ABC外接圆⊙O的半径.
分析：考虑求出AB，然后转化为①的情形解题.
解：作直径AD，连结BD.作AE⊥BC，垂足为E.
则∠DBA＝90°，∠D＝∠C＝60°，CE＝21AC＝1，AE＝3，
A
B
C
O
A
B
C
O
D
A
B
C
O
D
A
B
C
O
DE
BE＝BC－CE＝2，AB＝22BEAE＝7
∴AD＝DsinAB＝60sin7＝2132
∴△ABC外接圆⊙O的半径为2131.
③已知三边
例5如图，已知，在△ABC 中，AC＝13，BC＝14，AB＝15
求△ABC外接圆⊙O的半径.
分析：作出直径AD，构造Rt△ABD.只要求出△ABC中BC边
上的高AE，利用相似三角形就可以求出直径AD.
解：作直径AD，连结BD.作AE⊥BC，垂足为E.
则∠DBA＝∠CEA＝90°，∠D＝∠C
∴△ADB∽△ACE ∴ABAEADAC
设CE＝x, ∵AC2-CE2＝AE2＝AB2-BE2 ∴132-x2＝152-(14-x)2 x=5,即CE＝5
∴AE＝12 ∴1512AD13 AD＝465 ∴△ABC外接圆⊙O的半径为865.
二、求三角形的内切圆的半径
1、直角三角形
例6已知：在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c
求△ABC外接圆⊙O的半径.
解：可证四边形ODCE为正方形.设⊙O的半径为r，
则CD=CE=r,BD=a-r,AE=b-r， ∴(a-r)+(b-r)=c,
∴r=2cba,即△ABC外接圆⊙O的半径为2cba.
2、一般三角形
①已知三边
例7已知：如图，在△ABC 中，AC＝13，BC＝14，AB＝15
求△ABC内切圆⊙O的半径r.
分析：考虑先求出△ABC的面积，再利用“面积桥”，从而
求出内切圆的半径.
解：利用例5的方法，或利用海伦公式S△＝)cs)(bs)(as(s(其中s=2cba)可求
出S△ABC＝84，从而21AB•r+21BC•r+21AC•r=84, ∴r=4
②已知两边夹一角
例8已知：如图，在△ABC 中，cotB＝34,AB＝5，BC＝6
求△ABC内切圆⊙O的半径r.
分析：考虑先通过解三角形，求出△ABC的面积及AC的长，
再利用“面积桥”，从而求出内切圆的半径.
解：作△ABC的高AD.解直角三角形可得AD＝3，CD＝2，AC＝13，
A
B
C
O
DE
A
B
C
O
E
D
b
c
a
A
B
C
O
E
F
D
A
B
C
O
D
因为21AB•r+21BC•r+21AC•r=21BC•AD, 可求得r=61311
③已知两角夹一边
例9已知：如图，在△ABC 中，∠B＝60°，∠C＝45°,BC＝6
求△ABC内切圆⊙O的半径r.(精确到0.1)
分析：思路方法同上，读者可完成.
总之，只要通过边、角能确定三角形，就可以借鉴上面的方法求
出这个三角形的外接圆和内切圆的半径.
A
B
C
O
D
等边三角形的外接圆半径
等边三角形的外接圆半径等边三角形的外接圆半径是一个非常重要的几何概念，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
本文将详细介绍等边三角形的外接圆半径的定义、性质、求解方法以及应用。
一、等边三角形的外接圆半径的定义等边三角形是指三条边都相等的三角形，它具有很多特殊性质，其中之一就是它的外接圆半径相对于边长具有固定的比例关系。
具体来说，等边三角形的外接圆半径等于边长的一半，即R=1/2a，其中R 表示外接圆半径，a表示边长。
二、等边三角形的外接圆半径的性质1. 外接圆半径等于边长的一半如上所述，等边三角形的外接圆半径等于边长的一半，这是等边三角形的一个重要性质。
2. 外心在三角形重心、垂心、中心、内心的交点上等边三角形的外心是指过三角形三个顶点的圆心，它具有很多特殊性质。
其中一条重要性质是，外心在三角形的重心、垂心、中心、内心的交点上。
3. 三角形面积等于外接圆半径与边长的乘积等边三角形的面积公式为S=a^2*sqrt(3)/4，其中a表示边长。
根据等边三角形的外接圆半径的定义，可以得到S=1/2*a*R*sqrt(3)，即三角形的面积等于外接圆半径与边长的乘积。
三、等边三角形的外接圆半径的求解方法等边三角形的外接圆半径可以通过多种方法求解，下面介绍两种常用的方法。
1. 利用勾股定理和三角函数求解设等边三角形的边长为a，外接圆半径为R，根据勾股定理可得R^2=(a/2)^2+(a*sqrt(3)/6)^2。
化简后可得R=a/2。
2. 利用等边三角形的面积公式求解根据等边三角形的面积公式S=a^2*sqrt(3)/4和S=1/2*a*R*sqrt(3)，可得R=a/2。
四、等边三角形的外接圆半径的应用等边三角形的外接圆半径在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
下面列举几个例子。
1. 计算三角形内切圆半径等边三角形的内切圆半径等于外接圆半径的一半，即r=R/2=a/4。
2. 计算三角形的面积和周长根据等边三角形的面积公式和边长公式，可以方便地计算三角形的面积和周长。
三角形的外接圆和内切圆推导
三角形的外接圆和内切圆推导在数学中，三角形是一个非常基础且重要的几何形状。
而与三角形相关的一个重要概念是外接圆和内切圆。
本文将推导三角形的外接圆和内切圆的相关性质和推论。
外接圆是指一个圆恰好可以通过三角形的三个顶点，即三个顶点位于圆上的三角形。
下面我们来推导一下三角形的外接圆的性质。
设三角形的三个顶点分别为A、B、C，它们所对应的三条边分别为a、b、c。
我们可以通过下面的推导来得到外接圆的性质。
首先，设三角形的外接圆O半径为R。
根据圆的性质，O到三个顶点的距离都等于R。
设点D为BC边的中点，即D=(B+C)/2。
根据圆的性质，OD为OA的中垂线，因此OD垂直于BC，并且OD的长度等于R。
又根据勾股定理，可以得到OD^2 = BD^2 - BO^2。
由于BD = BC/2，因此BD = c/2。
又由于BO = R，所以BO^2 =R^2。
将这些值代入上述公式中，得到OD^2 = (c/2)^2 - R^2。
类似地，我们可以推导出OE^2 = (a/2)^2 - R^2（E为AC边的中点），OF^2 = (b/2)^2 - R^2（F为AB边的中点）。
根据上述推导结果，我们可以得到以下等式：OD^2 = OE^2 = OF^2 = R^2。
由此可知，三条垂直平分线的交点O就是三角形的外接圆圆心，并且外接圆的半径R可以通过OD、OE或OF求得。
接下来，我们来推导一下三角形的内切圆的性质。
内切圆是指一个圆恰好与三角形的三个边相切，即与三角形的内部正好有一个相切点。
下面我们来推导一下三角形的内切圆的性质。
设三角形的内切圆I半径为r。
根据圆的性质，I到三个边的距离都等于r。
设点M为BC边上与内切圆I相切的点。
根据圆的性质，IM是BI和CI的角平分线，因此IM垂直于BC，并且IM的长度等于r。
又根据勾股定理，可以得到IM^2 = BM^2 -BI^2。
由于BM = p - a（p为三角形的半周长），BI = r，所以BM^2 - BI^2 = (p - a)^2 - r^2。
等边三角形外接圆半径公式
等边三角形外接圆半径公式
等边三角形的外接圆半径公式：
R=2h/3=2(√3a/2)/3=√3a/3。
等边三角形的外接圆半径、内切圆半径、边长的一半组成了直角三角形，其中外接圆半径等于内切圆半径的两倍。
设外接圆半径是R，边长是a，则有：R=√3a/3。
外接圆半径公式是指经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，表示三角形外接圆半径的方法有，用三角形的边和角来表示它的外接圆的半径；用三角形的三边来表示它的外接圆的半径；用三角形的三边和面积表示外接圆半径的公式等。
等边三角形介绍：
等边三角形（又称正三边形），为三边相等的三角形，其三个内角相等，均为60°，它是锐角三角形的一种。
等边三角形也是最稳定的结构。
等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。
等边三角形的性质：
（1）等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
（2）等边三角形每条边上的中线、高线和角平分线互相重合。
（3）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或角的平分线所在的直线。
（4）等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等
边三角形的中心。
三角形的内切圆和外接圆的性质
三角形的内切圆和外接圆的性质三角形是几何学中最基本的图形之一，有很多有趣的性质。
其中，内切圆和外接圆可以为我们提供一些重要的信息和应用。
本文将探讨三角形的内切圆和外接圆的性质，并讨论其与三角形形状和尺寸的关系。
一、内切圆的性质内切圆是指与三角形的三条边都相切的圆。
对于任意三角形ABC，我们可以找到一个唯一的内切圆，其圆心记作I，半径记作r。
1. 内切圆的圆心与三角形的角平分线相交于一点。
这意味着内切圆的圆心I与角A、B、C的平分线相交于D、E、F三点，如图1所示。
这个性质对于证明一些三角形的性质非常有用。
2. 内切圆的半径等于三角形三边的和的一半除以半周长，即r = (a +b + c) / 2s，其中a、b、c分别为边BC、AC、AB的长度，s为半周长（s = (a + b + c) / 2）。
这个公式可以用于计算内切圆的半径。
3. 内切圆的半径与三角形的面积之比等于定值2R / s，其中R为三角形的外接圆半径，s为半周长。
即r / S = 2R / s，其中S为三角形的面积。
这个性质称为“Euler公式”，对于证明一些三角形的性质也非常有用。
二、外接圆的性质外接圆是指可以通过三角形的三个顶点构造出来的圆。
对于任意三角形ABC，我们可以找到一个唯一的外接圆，其圆心记作O，半径记作R。
1. 外接圆的圆心位于三角形的三条中线的交点。
中线是指连接三角形的一个顶点与对应边中点的线段，如图2所示。
这个性质对于证明一些三角形的性质非常有用。
2. 外接圆的直径等于三角形的某条边的长度。
这意味着如果我们能够找到三角形的一条边的长度，就可以确定外接圆的直径，从而计算出外接圆的半径。
这个性质对于计算外接圆的尺寸非常有用。
3. 外接圆的半径与三角形的边长之比等于定值2r / R，其中r为三角形的内切圆半径，R为外接圆的半径。
即R / abc = 2r / R，其中a、b、c分别为三角形的边长。
这个性质也称为“Euler公式”，与内切圆的性质相对应。
内切圆和外接圆半径公式
内切圆和外接圆半径公式哎呀，说到内切圆和外接圆半径公式，这可真是个让人头疼的话题。
记得上高中那会儿，数学老师一提到这个，我那脑袋就嗡嗡的。
不过，今天咱们不聊那些枯燥的数学公式，咱们来聊聊我那次在公园里头，偶然间发现的一个有趣的现象，跟这内切圆和外接圆半径公式有点关系。
那天天气不错，我带着我的小侄子去公园玩。
公园里头有个小池塘，池塘边上有一排石头，我小侄子就喜欢在那儿跳来跳去的。
我呢，就坐在旁边的长椅上，看着他玩。
突然，我注意到了池塘里的荷叶，它们漂在水面上，有的荷叶上还带着水珠，挺好看的。
我就开始想，这些荷叶不就像一个个小圆盘吗？它们在水面上漂着，是不是也有什么规律呢？我就这么盯着看，突然灵光一闪，哎，这不就跟内切圆和外接圆的半径公式有点像吗？你看，荷叶就像是池塘这个大圆的内切圆，而荷叶上的水珠，不就像是荷叶这个小圆的外接圆吗？我越想越觉得有意思，就拿出手机，查了查这两个公式。
内切圆的半径公式是 r = A / s，其中 A 是三角形的面积，s 是半周长。
外接圆的半径公式是 R = abc / (4A)，其中 a、b、c 是三角形的三条边长。
我看着这些公式，再抬头看看那些荷叶，突然觉得数学也没那么讨厌了。
我小侄子看我拿着手机，就跑过来问我在干嘛。
我就跟他解释说，我在看荷叶和水珠，就像我们在学数学一样，有大圆和小圆，大圆套小圆。
他似懂非懂地点点头，然后又跑回去跳石头了。
我坐在那儿，看着他，心里想，其实数学也挺有意思的，它就在我们身边，只是我们平时没注意到罢了。
就像这些荷叶和水珠，它们虽然简单，但背后却有着数学的规律。
我想，这就是数学的魅力吧，它无处不在，却又常常被我们忽视。
那天回家的路上，我还在想，下次再带小侄子去公园，我得好好跟他讲讲这个内切圆和外接圆半径公式。
虽然他还小，可能听不懂，但至少能让他知道，数学其实就在我们身边，它并不遥远，也不枯燥。
所以，你看，内切圆和外接圆半径公式，虽然听起来挺复杂的，但其实它们就在我们的生活中，只要你细心观察，就能发现它们的存在。
三角形的外接圆和内切圆(复习课件
半径与外接圆的关系
半径
外接圆的半径等于三角形一边的一半 。
关系
外接圆的半径与三角形的边长成正比 ，与三角形的面积成正比。
外接圆的作法
方法一
利用三角形三边的垂直平分线交点确定圆心，然后确定半径长度 作圆。
方法二
利用三角形的一边和其上的垂线段确定圆心，然后确定半径长度 作圆。
02
三角形的内切圆
定义与性质
三角形的外接圆和内切圆复习
目
CONTENCT
录
• 三角形的外接圆 • 三角形的内切圆 • 外接圆与内切圆的关系 • 三角形的外接圆和内切圆的应用
01
三角形的外接圆
定义与性质
定义
三角形的外接圆是经过三角形三 个顶点的圆。
性质
外接圆的圆心是三角形三边的垂 直平分线的交点，即外心；外接 圆的半径等于三角形一边的一半 。
特殊三角形面积计算
对于一些特殊形状的三角形，如等边 三角形和等腰三角形，利用其外接圆 和内切圆的关系，可以更简便地计算 面积。
在三角形性质证明中的应用
外心性质
三角形的外心是其外接圆的圆心，位于三角形一边的中垂线上。这一性质可以通过证明外接圆的性质 来得出。
内角和性质
利用三角形的内切圆半径与三角形各边的关系，可以证明三角形的内角和等于180度。
内切圆半径
内切圆的半径等于三角形面积除以半周长。
关系
外接圆的半径是内切圆半径的两倍。
面积之间的关系
02
01
03
外接圆面积
外接圆的面积等于三角形面积的三倍。
内切圆面积
内切圆的面积等于三角形面积的六分之一。
关系
外接圆的面积是内切圆面积的四倍。
三角形内切圆和外接圆的性质
三角形内切圆和外接圆的性质在数学几何中，三角形内切圆和外接圆是两个重要的概念，它们具有一些特殊的性质。
本文将介绍三角形内切圆和外接圆的定义、性质及其相关定理。
一、三角形内切圆的性质三角形内切圆是指与三角形的三边都相切于一个点的圆。
下面是三角形内切圆的一些性质：1. 三角形内切圆的圆心与三角形的三条角平分线交于一点，称为内切圆心。
2. 由内切圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等。
3. 三角形的三条边与内切圆的切点连接起来，构成的三个三角形面积之和等于原三角形的面积。
4. 内切圆的半径等于三角形的周长除以两倍的三角形的面积。
这些性质都可以通过几何推导或利用一些定理来证明。
二、三角形外接圆的性质三角形外接圆是指与三角形的三个顶点都在同一个圆上的圆。
下面是三角形外接圆的一些性质：1. 三角形外接圆的圆心是三角形的三条中垂线的交点。
2. 外接圆的半径等于三角形的任意一条边的长度的一半除以正弦值。
3. 外接圆的直径等于三角形的外接圆切线之间的距离。
4. 外接圆的切线与三角形的边相交于同一个点。
同样，这些性质也可以通过几何推导或利用一些定理来证明。
三、相关定理在三角形内切圆和外接圆的性质基础上，还有一些重要的定理与之相关，如下所示：1. 欧拉定理：三角形的内心、重心、垂心和外心四个点共线。
2. 欧拉-波利亚公式：三角形的内心到三个顶点的距离之和等于三角形的外心到三个顶点的距离之和，且和为内切圆半径的三倍。
3. 欧拉三角恒等式：三角形的外心、垂心和内心的距离平方之和等于内切圆的半径的平方加上九倍的四面角和两倍的外角和。
这些定理在解决三角形相关问题时具有重要的应用价值，深化了对三角形内切圆和外接圆的理解。
综上所述，三角形内切圆和外接圆具有一系列的性质和定理，这些性质和定理有助于我们更深入地研究和理解三角形的特性。
三角形外接内切圆半径与边长关系
一、任意三角形外接圆半径设三角形各边边长分别为a,b,c 外接圆半径为R ，（如右图所示）则βαβαβαsin sin cos cos 2)cos(222-=-+=+abc b a（余弦定理）而R bR b22cos ==α，R b R 4sin 22-=α RaR a22cos ==β，Ra R 4sin 22-=β 即有：=-+ab c b a 2222Ra R Rb R R a R b 44222222-⋅--⋅ 即有：222222222)4)(4(R a R b R ab ab c b a ---=-+ 所以：)4)(4()(222222222a Rb R abc b a R ab --=-+- 即有：2222242222422222)(416)(4)(4)(b a R b a R abc b a R c b a R ab ++-=-++-+- 所以：])(4[222222abc b a R c -+-=，即：])(4[2222222222c b a b a R c b a -+-= 所以：))()()((a c b b c a c b a c b a abcR -+-+-+++=而三角形面积：))()()((4a c b b c a c b a c b a S -+-+-+++= （海伦公式） 所以，有：SabcR 4=※ 另一求法，可用正弦定理，即：R Aa2sin =，而bc a c b A 2cos 222-+=所以：22222222222)(4)2(12)(cos 12sin 2a c b c b abcbca cb aA aA a R -+-=-+-=-==二、任意三角形内切圆的半径 设三角形各边边长分别为a,b,c 内切圆半径为r ，（如右图所示）因为内切圆的圆心为各角的角平分线的交点， 所以，会有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+cz y b y x az x ，解得2c b a x -+= 显然：αtan x r =，而ααααα2cos 1)2(cos 12cos 12sin tan 2+-=+= 而由余弦定理有：abc b a 22cos 222-+=α所以：))(()()(421)2(1tan 222222222222c b a c b a c b a ab abc b a ab c b a -+++-+-=-++-+-=α即有:)(2)()(4))(()()(422222222222c b a c b a ab c b a c b a c b a ab c b a r ++-+-=-+++-+-⋅-+=即：cb a Sc b a S c b a a c b b c a c b a c b a r ++=++=++-+-+-+++=2)(24)(2))()()((。
三角形的内切圆半径公式
《三角形的内切圆半径公式》
1、对于任意一个三角形,其内切圆的半径等于外接圆直径减去内切圆直径。
2、在解析几何中,以三角形内切圆为顶点的三角形面积,等于两条高线与该三角形面积的比值(S\/ A);以边角为顶点的三角形面积,是以同样大小的外接圆面积(πA)再除以同样大小的内切圆面积(πr)。
当S\/ A>3时,三角形面积大于内切圆面积, S\/ A<3时,三角形面积等于内切圆面积.在这些情况下,都存在唯一的最大面积。
[1]
1、内切圆半径=外接圆半径-
2、内切圆面积=外接圆面积-4、外接圆面积=2倍底乘以高÷2。
三角形外接圆半径(外接圆半径等于三角形边长乘积除以倍三角形面积)
三角形外接圆半径（外接圆半径等于三角形边长乘积除以倍三角形面积）在三角形几何学中，外接圆半径是指可以完全包围三角形的圆的半径。
根据外接圆半径的定义，我们可以得到一个简单的计算公式：外接圆半径等于三角形边长的乘积除以三角形面积的两倍。
为了更好地理解这个公式，我们首先来回顾一下三角形的基本概念。
三角形是由三条边和三个内角组成的多边形。
根据三角形的性质，我们知道三角形的内角和为180度。
接下来，我们来推导出外接圆半径的计算公式。
假设我们有一个任意三角形ABC，边长分别为a、b和c。
我们可以通过海伦公式（Heron's formula）来计算三角形的面积。
海伦公式如下：\[\text{面积} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\]其中，s是半周长，计算公式如下：\[s = \frac{a+b+c}{2}\]现在，假设外接圆的半径为R。
根据外接圆的定义，我们知道三角形的三个顶点A、B和C都位于外接圆上。
由于外接圆的半径相同，三角形的三条边和半径R之间相互存在关系。
我们可以通过观察正弦定理（Law of Sines）的推导过程得出结论，即：\[a = 2R\sin(A)\]\[b = 2R\sin(B)\]\[c = 2R\sin(C)\]将上述三个等式代入海伦公式中，我们可以得到下面的等式：\[\text{面积} = \sqrt{s \left(s-2R\sin(A)\right) \left(s-2R\sin(B)\right)\left(s-2R\sin(C)\right)}\]为了简化计算，我们可以先对上述等式两边进行平方处理，得到：\[\text{面积}^2 = s \left(s-2R\sin(A)\right) \left(s-2R\sin(B)\right) \left(s-2R\sin(C)\right)\]将上述等式进一步展开，我们可以得到：\[\text{面积}^2 = s^4 - 2Rs^3\left(\sin(A)+\sin(B)+\sin(C)\right) +4R^2s^2\left(\sin(A)\sin(B)+\sin(A)\sin(C)+\sin(B)\sin(C)\right) -8R^3s\sin(A)\sin(B)\sin(C)\]由于三角形的内角和为180度，即\(\sin(A)+\sin(B)+\sin(C) =\frac{s}{R}\)，我们可以将上述等式进一步简化为：\[\text{面积}^2 = s^4 - 2Rs^3\left(\frac{s}{R}\right) +4R^2s^2\left(\frac{s^2 - r^2 - 4Rr}{4R^2}\right) -8R^3s\sin(A)\sin(B)\sin(C)\]其中，r是三角形的内切圆半径。