中考数学总复习圆的认识复习课件
圆心角与圆周角
◆中考指数:★★★★☆
知 1.圆周角与圆心角是密切联系的一个整体，实现了圆中角的
识 转化，知其一，可求其二.
点
2.圆周(或心)角与它所对弧常互相转化，即欲求证圆周(或 心)角相等，可转化证“圆周(或心)角所对的弧相等”.弧相
睛 等的条件可转化为它们所对的圆周(或心)角相等的结论.
特 1.考查圆周角和圆心角的这类题侧重对基础知识的考查，利
【解析】分别作弦AB，CD的弦心距，设垂足分别为E，F，连结 OA，OC.∵AB=30 cm，CD=16 cm， ∴AE=1 AB=1 ×30=15(cm)，
22
CF=1 CD=1 ×16=8(cm).
22
在Rt△AOE中，
OE= OA2 AE2 172 152 8cm，
在Rt△OCF中，
【自主解答】(1)∵∠ABC=∠APC， 又∵∠BAC=∠APC=60°, ∴∠ABC=∠BAC=60°，∴∠ACB=60°， ∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°， ∴△ABC是等边三角形. (2)连结OB，则易得∠OBD=30°, 又∠ODB=90°,∴OD=1 OB=4.
2
【对点训练】 8.(2012·湖州中考)如图，△ABC是⊙O的内接 三角形，AC是⊙O的直径，∠C=50°,∠ABC的 平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是( ) (A)45° (B)85° (C)90° (D)95° 【解析】选B.根据直径所对的圆周角为90°，∠C=50°,可得 ∠BAC的度数为40°，再利用圆周角定理，∠CBD=∠CAD= 90= 45°,∠BAD=∠CAD+∠BAC=85°.
【例3】(2012·长沙中考)如图，A,P,B,C是半径为8的⊙O上的 四点， 且满足∠BAC=∠APC=60°,
(1)求证：△ABC是等边三角形.(2)求圆心O到BC的距离OD. 【思路点拨】(1)∠ABC=∠APC→ ∠ABC=∠BAC=60°→ 结论 (2)连结OB→解Rt△OBD→OD的长
一、圆的有关概念 1.圆的基本概念： (1)平面内到一定点的距离等于定长的_所__有__点__组成的图形叫做 圆，这个定点叫做_圆__心__，定长叫做_半__径__. (2)圆可以看成是平面内一个动点绕一个定点_旋__转__一__周__所形成 的图形.
2.圆的弦和弧 如图：线段AB，BC，AC都是⊙O的_弦__，曲线BC，BAC都是⊙O中 的_弧__. 小于半圆周的圆弧叫_劣__弧__，大于半圆周的圆弧叫_优__弧__.
2
9.(2012·万宁中考)如图所示，已知⊙O是
△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连结CD，
若AD=3，AC=2，则cos B的值为( )
(A) 3 (B) 5 (C) 5 (D) 2
2
3
2
3
【解析】选B.∵∠B和∠D所对的弧是 A，C根据同弧所对的圆周
角相等，∴∠B=∠D.
又∵AD是直径，∴∠ACD=90°，根据勾股定理，得
【教你解题】
【对点训练】 1.(2012·黔东南中考)如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的 弦，∠ABD=55°,则∠BCD的度数为( )
(A)35° (B)45° (C)55° (D)75° 【解析】选A.连结AD，∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°,∴∠A=90°-55°=35°, 根据同弧所对的圆周角相等可得∠BCD=∠A=35°.
【创新命题】圆中的分类讨论 【例】(2011·凉山州中考)如图，∠AOB=100°，点C在⊙O 上，且点C不与A,B重合，则∠ACB的度数为( )
(A)50° (B)80°或50° (C)130° (D)50°或130°
【解题导引】利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求得圆
周角的度数即可，注意点C可能在优弧上也可能在劣弧上，分
3.圆心角与圆周角： (1)顶点在_圆__心__的角叫做圆心角; (2)顶点在_圆__上__，并且两边都与圆_相__交__的角叫做圆周角.
【即时应用】 1.圆的最长的弦是_直__径__. 2.已知圆上有三个点，以任意两个点为端点的弧共有_6_条. 3.如图_∠__B_O_C_是圆心角，_∠__B_A_C_为圆周角.
【即时应用】 1.如图，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，则圆心到这条弦 的距离为_6_.
2.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠ACO=16°,则 ∠BOC= _3_2_°_.
3.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°,则∠BAC的度数 等于_5_0_°_.
4.△ABC的三边长分别为5，12，13，则其外接圆的半径为_6_._5_. 5.等边三角形的边长为6，则其外接圆的半径为_2___3_.
OF= OC2 CF2 172 82 15cm，
∴EF=OF-OE=15-8=7(cm)． ∴AB和CD间的距离为7 cm.
三角形的外接圆
◆中考指数:★★★☆☆
知 识 三角形的外心的位置： 点 锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是
的中点，钝角三角形的外心在三角形外部. 睛
特 别 1.三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点； 提 2.根据三角形的外心的位置可以确定三角形的形状. 醒
两种情况讨论.
【规范解答】选D.当点C在优弧上时，
∠ACB＝1 ∠AOB＝1 ×100°＝50°.
2
2
当点C在劣弧上时，
∠ACB＝1 (360°－∠AOB)＝ 1×(360°－100°)＝130°.
2
2
【名师点评】通过对圆中分类讨论的试题的分析和总结，我们 可以得到以下该类型题目的创新点拨和解题启示：
(2011·牡丹江中考)已知⊙O的直径AB=40，弦CD⊥AB于点E，
且CD=32，则AE的长为( )
(A)12
(B)8
(C)12或28
(D)8或32
【解析】选D.如图,连结OC. ∵弦CD⊥AB于点E， ∴CE= 1CD=16.
2
在直角△OCE中，OE OC2 CE2 202 162 12， 则AE=20+12=32，或AE=20-12=8， 故AE的长是8或32.
【核心点拨】 1.一条直线若满足：①垂直于弦；②平分弦；③过圆心；④平 分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧中任意两个条件，则可 得到另外三个条件. 2.离开同圆或等圆，不存在等弧. 3.圆中常用的辅助线 ①作半径，利用同圆或等圆的半径相等可得等腰三角形；②作 半径和圆心到弦的垂线段，与弦的一半构成直角三角形； ③作弦、直径等构造直径所对的圆周角.
2.(2012·六盘水中考)如图，已知∠OCB=20°,则∠A=____度.
【解析】∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=20°, ∴∠O=180°-∠OBC-∠OCB=140°, ∴∠A= 1∠O=70°.
2
答案：70
3.(2011·兰州中考)如图，OB是⊙O的半径，点C，D在⊙O上， ∠DCB=27°，则∠OBD=____度．
第二十七讲 圆 的 认 识
1.了解：圆的定义及其有关概念，圆心角和圆周角的概念. 2.理解：圆的轴对称性和中心对称性. 3.掌握：垂径定理及其推论，圆周角定理及其推论. 4.会：运用垂径定理及其推论和圆心角所对的弦、弧之间的关 系定理及其推论解决有关证明、计算和作图问题. 5.能：用垂径定理及圆周角的性质解决与圆有关的分类问题.
【解析】连结BO.∵直径CD垂直于AB，∴AC BC.
则∠BDC=1 ∠BOC=1 ∠AOC=24°.
2
2
答案：24
6.(2012·衢州中考)工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽 口，假设钢珠的直径是10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距 离为8 mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为____mm.
别
用有关概念和定理在理解时，要注意其成立的条件，结合图 形进行分析.
提 2.有直径时，常常添加辅助线构造直径上的圆周角，由此转
醒 化为解直角三角形的问题.
【例1】(2012·湘潭中考)如图，在⊙O中，弦AB∥CD,若 ∠ABC=40°，则∠BOD=( ) (A)20° (B)40° (C)50° (D)80°
二、圆的有关性质 1.圆的对称性：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形. 2.垂直于弦的直径的性质及其推论 (1)定理：垂直于弦的直径_平__分__这__条__弦__ ，并且平分这条弦所对 的两条弧; (2)推论：平分弦(不是直径)的直径_垂__直__于弦，并且平分弦所 对的_两__条__弧__.
3.圆心角、弧、弦之间的关系 在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所 对的弦也相等. 4.圆周角定理及其推论 (1)定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角_相__等__， 都等于这条弧所对的圆心角的_一__半__； (2)推论：半圆(或直径)所对的圆周角是_直__角__，90°的圆周角 所对的弦是直径. 5.三角形的外心 外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离_相__等__.
【解析】∠DOB=2∠DCB=54°，因为OB=OD,所以△OBD是等腰三 角形，得∠OBD=(180°－54°)÷2=63°． 答案：63
垂直于弦的直径的应用
◆中考指数:★★★★☆
1.垂直于弦的直径及其推论是证线段相等、角相等、垂直关
知 系的重要依据，应用时要注意：垂直于弦的直径的推论“平
识
分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧” 一定要强调“弦不是直径”.
பைடு நூலகம்
(2)求△ABC面积的最大值.
(参考数据：sin 60°= 3 ,cos 30°= 3 ,tan 30°= 3 ).
2
2
3
【教你解题】 (1)
(2)
【对点训练】 4.(2012·湛江中考)如图，在半径为13的⊙O中，OC垂直弦AB于 点D，交⊙O于点C，AB=24，则CD的长是_________.
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中考数学一轮复习课件-第二十一讲圆的认识
2
2
2
∴DE=OD-OE=27- .
2
B.130°
C.135°
D.140°
3.(202X·贵港中考)如图,AD是☉O的直径, AB＝CD ,若∠AOB=40°,则圆周角 ∠BPC的度数是 ( B )
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
4.(202X·河池中考)如图,AB为☉O的直径,点C在☉O上. (1)尺规作图:作∠BAC的平分线,与☉O交于点D;连接OD,交BC于点E(不写作法, 只保留作图痕迹,且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑); (2)探究OE与AC的位置及数量关系,并证明你的结论.
【答题关键指点】圆内接四边形的角的“两种”关系 (1)对角互补:若四边形ABCD为☉O的内接四边形,则∠A+∠C=180°, ∠B+∠D=180°. (2)任一外角与其相邻的内角的对角相等,简称圆内接四边形的外角等于其内对 角.
【跟踪训练】
1.(202X·湖州中考)如图,已知四边形ABCD内接于☉O,∠ABC=70°,则∠ADC的
度数是 ( B )
A.70°
B.110°
C.130°
D.140°
2.(202X·天水中考)如图,四边形ABCD是菱形,☉O经过点A,C,D,与BC相交于点E,
连接AC,AE.若∠D=80°,则∠EAC的度数为
(C)
A.20°
B.25°
C.30°
D.35°
3.(202X·安徽中考)如图,☉O为锐角△ABC的外接圆,半径为5. (1)用尺规作图作出∠BAC的平分线,并标出它与劣弧 BC 的交点E(保留作图痕迹, 不写作法). (2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长.
初中数学圆总复习课件
圆的综合问题
圆的运动问题
总结词
理解运动问题中的变量和常量，掌握运动过程中圆的变化规 律。
详细描述
在解决圆的运动问题时，需要理解圆心和半径在运动过程中 的变化规律，以及这些变化对圆的面积、周长等量的影响。 同时，要善于利用代数和几何方法来求解相关问题。
圆的面积和周长问题
总结词
掌握计算圆面积和周长的公式，理解半径与面积、周长的关系。
扇形面积公式
若圆心角为 $alpha$，半径为 $r$，则扇形面积 $S_{扇形} = frac{1}{2} alpha r^{2}$。
圆与直线的位置关系
相切
直线与圆只有一个公共点，即直 线与圆相切。
相交
直线与圆有两个公共点，即直线与 圆相交。
相离
直线与圆没有公共点，即直线与圆 相离。
02
圆的定理与性质
圆的内接四边形
总结词
理解内接四边形的性质和判定定理
详细描述
圆的内接四边形具有一系列重要的性质，如对角互补、外角等于内对 角等。这些性质在解题过程中经常用到，需要熟练掌握。
总结词
掌握内接四边形的面积和周长的计算方法
详细描述
圆的内接四边形的面积和周长的计算涉及到圆的半径和内角，需要灵 活运用圆的性质和三角函数的知识。
总结词 详细描述
总结词 详细描述
理解弦的重要定理和性质
弦在圆中具有很多重要的定理和性质，如垂径定理、弦心距定 理等。这些定理和性质在解题过程中经常用到，需要熟练掌握
。
掌握弦长的计算方法以及与弦相关问题的解决方法
弦长的计算以及与弦相关问题的解决方法是解决与弦相关问题 的关键，需要熟练掌握其应用方法。
03
圆的数学建模
总结词
圆的运动问题
总结词
理解运动问题中的变量和常量，掌握运动过程中圆的变化规 律。
详细描述
在解决圆的运动问题时，需要理解圆心和半径在运动过程中 的变化规律，以及这些变化对圆的面积、周长等量的影响。 同时，要善于利用代数和几何方法来求解相关问题。
圆的面积和周长问题
总结词
掌握计算圆面积和周长的公式，理解半径与面积、周长的关系。
扇形面积公式
若圆心角为 $alpha$，半径为 $r$，则扇形面积 $S_{扇形} = frac{1}{2} alpha r^{2}$。
圆与直线的位置关系
相切
直线与圆只有一个公共点，即直 线与圆相切。
相交
直线与圆有两个公共点，即直线与 圆相交。
相离
直线与圆没有公共点，即直线与圆 相离。
02
圆的定理与性质
圆的内接四边形
总结词
理解内接四边形的性质和判定定理
详细描述
圆的内接四边形具有一系列重要的性质，如对角互补、外角等于内对 角等。这些性质在解题过程中经常用到，需要熟练掌握。
总结词
掌握内接四边形的面积和周长的计算方法
详细描述
圆的内接四边形的面积和周长的计算涉及到圆的半径和内角，需要灵 活运用圆的性质和三角函数的知识。
总结词 详细描述
总结词 详细描述
理解弦的重要定理和性质
弦在圆中具有很多重要的定理和性质，如垂径定理、弦心距定 理等。这些定理和性质在解题过程中经常用到，需要熟练掌握
。
掌握弦长的计算方法以及与弦相关问题的解决方法
弦长的计算以及与弦相关问题的解决方法是解决与弦相关问题 的关键，需要熟练掌握其应用方法。
03
圆的数学建模
总结词
初中数学 圆 ppt课件ppt课件ppt
圆上两点之间的最短距离
圆上两点之间的最短距离是经过这两 点的直径。
圆的性质
圆的对称性
圆是中心对称图形，对称中心是圆心。
圆的直径与半径的关系
在一个圆中，直径是半径的两倍。
圆的周长与面积的关系
圆的周长与半径成正比，与面积成正比。
圆的分类
01
02
03
按照半径分类
根据半径的大小，可以将 圆分为大圆和小圆。
初中数学 圆 ppt课件
目录
• 圆的基本概念 • 圆的性质和定理 • 圆的计算 • 圆的实际应用 • 圆的复习与巩固
01
圆的基本概念
圆的基本定义
圆上三点确定，三个不共线的点可以 确定一个圆，其中任意两点为直径的 两个端点，第三个点为圆心。
圆心是圆的中心点，半径是从圆心到 圆上任一点的线段，所有半径都相等 。
圆心到圆上任一点的距离相等，即半径。
圆的重点知识回顾
圆心在圆内、圆上、圆外的性质。 圆的周长与面积
周长公式：$C = 2pi r$
圆的重点知识回顾
面积公式：$S = pi r^{2}$
圆与直线的位置关系
圆周率$pi$是一个无 限不循环小数，近似 值为3.14159。
圆的重点知识回顾
相交
有且仅有一个公共点。
无处不在，形状完美
详细描述
生活中随处可见圆形的物体，如车轮、餐具、建筑物的窗户等，这是因为圆具 有完美的对称性和连续性，给人以舒适和完美的视觉感受。
圆在几何图形中的应用
总结词
基础图形，构建其他图形
详细描述
圆是几何学中的基础图形之一，它可以与其他图形结合，形成更复杂的图形，如 椭圆、圆弧等。这些复杂的图形在日常生活和工程设计中有着广泛的应用。
2024年中考数学一轮复习考点精讲课件—圆的相关概念及性质
3）圆周角定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所
对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.
考点二 圆的性质
题型01 由垂径定理及推论判断正误
【例1】（2023·浙江·模拟预测）如图，是⊙ 是直径，是弦且不是直径， ⊥ ，则下列结论不一定正
【详解】解：如图，连接，
∵线段是⊙ 的直径， ⊥ 于点E， = 16，
1
1
∴ = = 2 = 2 × 16 = 8，
∴在Rt △ 中，可有 = 2 + 2 = 62 + 82 = 10，
∴⊙ 半径是10．
故选：D．
考点二 圆的性质
题型03 根据垂径定理与全等三角形综合求解
直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简
称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理.
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt △，用勾股，求长度；
2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.
考点二 圆的性质
3. 弧、弦、圆心角的关系
即的最小值是8．故选：C．
考点二 圆的性质
1. 圆的对称性
内容
补充
圆的轴对称 经过圆心任意画一条直线，并沿此直线圆对折,直线两旁的部分能够 ①圆的旋转不变性是其他中心对称图形所
性
完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的 没有的性质.
对称轴，圆有无数条对称轴.
圆的中心对 将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它
①圆心，它确定圆的位置.
②半径，它确定圆的大小.
的点组成的图形.
对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.
考点二 圆的性质
题型01 由垂径定理及推论判断正误
【例1】（2023·浙江·模拟预测）如图，是⊙ 是直径，是弦且不是直径， ⊥ ，则下列结论不一定正
【详解】解：如图，连接，
∵线段是⊙ 的直径， ⊥ 于点E， = 16，
1
1
∴ = = 2 = 2 × 16 = 8，
∴在Rt △ 中，可有 = 2 + 2 = 62 + 82 = 10，
∴⊙ 半径是10．
故选：D．
考点二 圆的性质
题型03 根据垂径定理与全等三角形综合求解
直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简
称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理.
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt △，用勾股，求长度；
2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.
考点二 圆的性质
3. 弧、弦、圆心角的关系
即的最小值是8．故选：C．
考点二 圆的性质
1. 圆的对称性
内容
补充
圆的轴对称 经过圆心任意画一条直线，并沿此直线圆对折,直线两旁的部分能够 ①圆的旋转不变性是其他中心对称图形所
性
完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的 没有的性质.
对称轴，圆有无数条对称轴.
圆的中心对 将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它
①圆心，它确定圆的位置.
②半径，它确定圆的大小.
的点组成的图形.
整理中考复习资料《圆》的课件 (共19张PPT)
（四）达标检测
1、已知正n边形的一个内角为135°，则边数n的值是 ( ) A． 6 B． 7 C． 8 D．10
2、如图，将四个圆两两相切拼接在一起，它们的半径均为 1cm，则中间阴影部分的面积为 cm²． 3、如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形 OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD= 。
弧长 扇形面积
圆锥的侧面积与全面积
(三)典例分析
弧、弦、圆心角的关系 （2015临沂）如图A、B、C是⊙O上的三个点，若 ∠AOC=100°，则∠ABC等于（ ）
A. 50° B. 80° C. 100° D. 130°
【典例设计】
垂径定理及其推论
(2015贵州省)如图⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足 是E，∠A＝22.5°，OC=4，CD的长为（） A.2 B.4 C.4 D.8
A、EF>AE＋BF B、EF<AE＋BF
C、EF＝AE＋BF
D、EF≤AE＋BF
【典例设计】
与其他知识的综合运用
例3：如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，AC为 ⊙O的直径，PO交⊙O于点E． (1)试判断∠APB与∠BAC的数量关系，并说明理由； (2)若⊙O的半径为4，P是⊙O外一动点，是否存在点P．使四边 形PAOB为 正方形？ 若存在，请求出PO的长，并判断点P的个 数及其满足的条件；若 不存在，请说明理由．
2014
15 22
2013
10 20
2012
3 12 21
2011
11 23
填空题 解答题
4 12
圆锥侧面积 圆的对称性、切线的性质
结合课标要求、考试说明，通过对近几年的中 考分析，直线与圆的位置关系年年必考，尤其是切 线的判定与性质是每年中考的重点之一，对于切线 的性质与判定以解答题为主，常与三角形、平行四 边形等知识综合考查。 同时与圆有关的计算是近几年中考的热点问题， 每年必考，重点是考查弧长、扇形面积、垂径定理、 圆周角定理、切线长定理，并能综合运用勾股定理、 三角函数、全等、相似等知识解决数学问题。
九年级数学总复习第六章圆第26课时与圆有关的概念及性质PPT课件
B.∠ABD C.∠BAC D.∠BAD
思路
由AB为直径,得∠ADB=90°,从而可得图中互余的两角.再根据“同弧所对圆周角 相等”可知与∠ACD相等的角是∠B,从而确定一定与∠ACD互余的角.
-
14
命题点二 圆周角定理及其推论——
命题角度2 运用直径所对圆周角是直角来求角的度数
典例5
变式训练3
解题方法
-
16
命题点二 圆周角定理及其推论——命题角度3 在直径条件下的综合题
典例6
变式训练4
典例6 (2016厦门,26)已知AB是☉O的直径,点C在☉O上,点D在半径OA上(不与 点O,A重合). (1)如图(1),若∠COA=60°,∠CDO=70°,求∠ACD的度数; (2)如图(2),点E在线段OD上(不与点O,D重合),CD,CE的延长线分别交☉O于点 F,G,连接BF,BG,点P是CO的延长线与BF的交点,若 CD=1,BG=2,∠OCD=∠OBG,∠CFP=∠CPF,求CG的长.
考点点拨 在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.
-
5
考点四 与圆有关的多边形
1.圆内接多边形:如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做这个 圆的内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆. 2.圆内接四边形性质:圆内接四边形对角 互补 ,每个外角等于与它相邻的内角的 对角,简称:外角等于它的内对角.
-
6
命题点一 垂径定理及其运用——命题角度1 求弦长
典例1
(2016莆田,15改编)如图,CD为☉O的弦,直径AB为4,AB⊥CD于点E,∠A=30°, 则CD的长为 .
思路
解题方法
圆中“铁三角”
在圆中,弦的一半、过该弦端点的半径和圆心到该弦的垂线段可谓是圆中的
2024年中考数学一轮复习课件--圆的性质
成立，则其余对应的两项也成立.如图，①∠AOB＝∠COD，
②弧AB＝弧CD，③AB＝CD，“知一推二”.
注意点
①进一步拓展，在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、弦心距
这四个量中，有一个量相等，则其余三个量都相等.
②一条弦所对的圆心角只有一个，而所对的弧有两条.
圆周角的概念与性质
1.圆周角
顶点在
圆周 上，角的两边都与圆 相交
可以A为圆心，AB长为半
径作圆
图形
模型
特征
①共斜边的两个直角三角形的四
个顶点共圆，圆心为斜边中点，
四点 如图
共圆
②共边三角形且边所对角相等的
四个顶点共圆，如图
图形
模型
特征
四点 ③对角互补四边形的四个顶
共圆 点共圆，如图
图形
特征
模型
在☉O中，AB的长度为定值（即定
弦），C为动点，且∠C为定值，根
圆心
，并且平
分弦所对的两条弧；
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦
所对的另一条弧；
（3）圆的两条平行弦所夹的弧 相等 .
注意点
（1）根据圆的对称性，在以下5个结论中：①过圆心；②垂直
于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.
如果满足其中的2个结论，那么可推出其余3个结论，注意解题
径，点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），连接CP.若
∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是（ D ）
第8题图
A.70°
B.105°
C.125°
D.155°
9.（2023·泰安模拟）如图，AB是☉O的直径，∠ACD＝∠CAB，
②弧AB＝弧CD，③AB＝CD，“知一推二”.
注意点
①进一步拓展，在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、弦心距
这四个量中，有一个量相等，则其余三个量都相等.
②一条弦所对的圆心角只有一个，而所对的弧有两条.
圆周角的概念与性质
1.圆周角
顶点在
圆周 上，角的两边都与圆 相交
可以A为圆心，AB长为半
径作圆
图形
模型
特征
①共斜边的两个直角三角形的四
个顶点共圆，圆心为斜边中点，
四点 如图
共圆
②共边三角形且边所对角相等的
四个顶点共圆，如图
图形
模型
特征
四点 ③对角互补四边形的四个顶
共圆 点共圆，如图
图形
特征
模型
在☉O中，AB的长度为定值（即定
弦），C为动点，且∠C为定值，根
圆心
，并且平
分弦所对的两条弧；
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦
所对的另一条弧；
（3）圆的两条平行弦所夹的弧 相等 .
注意点
（1）根据圆的对称性，在以下5个结论中：①过圆心；②垂直
于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.
如果满足其中的2个结论，那么可推出其余3个结论，注意解题
径，点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），连接CP.若
∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是（ D ）
第8题图
A.70°
B.105°
C.125°
D.155°
9.（2023·泰安模拟）如图，AB是☉O的直径，∠ACD＝∠CAB，
中考数学总复习 第六章 圆 第 圆的有关概念及性质数学课件
形重合.这就是圆的旋转不变性.
12/9/2021
考点梳理
自主测试
考点二 圆心角、弧、弦之间的关系
1.定理
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.
2.推论
在同圆或等圆中,(1)两个圆心角相等;(2)两条弧相等;(3)两条弦相
等.若三项中有一项成立,则其余对应的两项也成立.
12/9/2021
考点梳理
自主测试
考点三 垂径定理及推论
1.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
2.推论1
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的
另一条弧.
在 Rt△ABC 中,AC= 2 - 2 =
102 -62 =8.
(2)∵PE⊥AB,
∴∠APE=90°.
又∠ACB=90°,∴∠APE=∠ACB.
又∠PAE=∠CAB,∴△AEP∽△ABC.
∴ = .
∴6
=
12/9/2021
1
10× 2
8
15
4
,∴PE= .
命题点1
命题点2
示.圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每条弧都叫做半圆.
小于半圆的弧叫做劣弧,如图中以 B,C 为端点的劣弧记作“”;大于
半圆的弧叫做优弧,优弧要用三个字母表示,如图中“”3.弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做直径.
4.弦心距:从圆心到弦的距离.
12/9/2021
命题点3
命题点4
12/9/2021
考点梳理
自主测试
考点二 圆心角、弧、弦之间的关系
1.定理
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.
2.推论
在同圆或等圆中,(1)两个圆心角相等;(2)两条弧相等;(3)两条弦相
等.若三项中有一项成立,则其余对应的两项也成立.
12/9/2021
考点梳理
自主测试
考点三 垂径定理及推论
1.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
2.推论1
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的
另一条弧.
在 Rt△ABC 中,AC= 2 - 2 =
102 -62 =8.
(2)∵PE⊥AB,
∴∠APE=90°.
又∠ACB=90°,∴∠APE=∠ACB.
又∠PAE=∠CAB,∴△AEP∽△ABC.
∴ = .
∴6
=
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1
10× 2
8
15
4
,∴PE= .
命题点1
命题点2
示.圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每条弧都叫做半圆.
小于半圆的弧叫做劣弧,如图中以 B,C 为端点的劣弧记作“”;大于
半圆的弧叫做优弧,优弧要用三个字母表示,如图中“”3.弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做直径.
4.弦心距:从圆心到弦的距离.
12/9/2021
命题点3
命题点4
2023最新中考数学总复习(精品课件)第六篇 《圆》
经过半径的外端并且 垂直 这条半径的直线是圆的切线.
4.证明直线和圆相切的方法:
(1)当已知直线与圆有公共点时,连半径,证 垂直 .
(2)当不知道直线与圆是否有公共点时,过圆心作直线的垂线,证圆心到直线的距离
等于半径
.
5.切线长定理.
PA=PB , ∠APO=∠BPO .
_____p_r______
知识点5:五种基本作图
(1)作一条线段等于已知线段. (2)作一个角等于已知角. (3)作一个角的平分线. (4)经过一已知点作直线的垂线: ①经过已知直线 上 一点作这条直线的垂线; ②经过直线 外 一点做已知直线的垂线. (5)作已知线段的垂直平分线.
【注意】运用基本作图法作图时,一般先画出草图,分析作图步骤以及相应的字母表 示,选择正确的作图程序,再按分析后编排的字母写出已知、求作,按步骤一边画图一 边写好作法.
知识点5:圆心角与圆周角
________
∠_________________. ACB=90°
知识点6:圆内接四边形及其性质
___∠__D____
知识点7:弦、弧、圆心角的关系
1.定理: 同圆 或 等圆 中,相等的圆心角所对的弧相等 ,所对的弦相等 .
2.推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弦和两条弧(同是优弧或劣弧)中有一 组量相等,那么它们对应的其余各组量也分别 相等 .
知识点4:垂径定理及推论
1.垂径定理:垂直于弦的直径 平分 这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
2.推论:
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. (2)弦的垂直平分线经过 圆心 ,并且平分弦所对的两条弧. (3)平分弦所对的一条弧的直径 垂直于 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
中考圆的复习 ppt课件(1)
问 ∠则A题∠在=二A＿三∠=:角＿当55A00形=°＿点°1内8，＿O或0时-当为＿1 1,外∠∠3△＿0心BB°A＿OO在BCCC三==的2角13∠外形0°A外心，时时，，
2
你做对了吗？
2020/12/17
心动不如行动
2.已知，如图，OA、OB为⊙O的
两过条C作半C径D∥，O且A，OA交⊥AOBB于，DC，是求A⌒BA的D的中度点，
而∠知又2D=∵E与∠D圆E3⊥有，A公CD，共E⊥点A，C B ∴ ∠故∴用1O+D第∠⊥二D种4E=，证90所法°以DE为
∴ ∠⊙2O+的∠切线4=90 °
∴ DE为⊙O的切线
2020/12/17
C
D
.2
4 3
1
E
O
A
心动不如行动
4.已知：如图， AB、AC与⊙O相切于点B、
C，∠A=50°，P为⊙O上异于B、C的一个动点，
当 _r_=_4_._8__或__6_＜__r_≤_8 时,
⊙O与线段AB仅有一交点;
2020/12/17
C
6
A
D
8
B
10.如图甲,A是半径为2的⊙O外一点,OA=4,AB
是⊙O的切线,B为切点,弦BC∥OA,连接AC,求
阴影部分的面积.
C
B
C
B
O
A
O
A
甲 解:如图一: SABC SOBC
乙
点拨:图连中接的OB阴π、影是不规则图形,不易直接求 出,所以OC要. 将其转π化为与其面积相等的规则
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
2
你做对了吗？
2020/12/17
心动不如行动
2.已知，如图，OA、OB为⊙O的
两过条C作半C径D∥，O且A，OA交⊥AOBB于，DC，是求A⌒BA的D的中度点，
而∠知又2D=∵E与∠D圆E3⊥有，A公CD，共E⊥点A，C B ∴ ∠故∴用1O+D第∠⊥二D种4E=，证90所法°以DE为
∴ ∠⊙2O+的∠切线4=90 °
∴ DE为⊙O的切线
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C
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E
O
A
心动不如行动
4.已知：如图， AB、AC与⊙O相切于点B、
C，∠A=50°，P为⊙O上异于B、C的一个动点，
当 _r_=_4_._8__或__6_＜__r_≤_8 时,
⊙O与线段AB仅有一交点;
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C
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A
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B
10.如图甲,A是半径为2的⊙O外一点,OA=4,AB
是⊙O的切线,B为切点,弦BC∥OA,连接AC,求
阴影部分的面积.
C
B
C
B
O
A
O
A
甲 解:如图一: SABC SOBC
乙
点拨:图连中接的OB阴π、影是不规则图形,不易直接求 出,所以OC要. 将其转π化为与其面积相等的规则
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”