(北师大版)选修1-1课件：第3章-导数的加法与减法法则-参考课件
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(北师大版)选修1-1课件：第3章-导数的四则法则运算-参考课件(1)
(2)切线过点P(1,0) 斜率k 1 ln 1 1
切线方程是：y=x-1
3.日常生活中的饮用水通常是经过净化 的．随着水纯净度的提高．所需净化 费用不断增加。已知将1吨水净化到纯 净度为x%时所需费用(单位：元)为 c(x)=5284/(100-x) (80<x<100)．
求净化到下列纯净度时，所需净化费 用的瞬时变化率： （１）９０％; （２）９８％。
sin x cos x sin x 1 y' ( )' 2 2 cos x cos x cos x
2
(2) y ( x 2) (3x 1)
3
应用: 1.求下列函数的导数: 2x (1)y=2xtanx y ' 2 tan x 2 cos x
2
x 2 x(2 x 1) ( x 1) y' (4) y 6 3 (2 x 1) (2 x 1)
5284 c90 52 . 84 2 100 98
解：净化费用的瞬时变化率就是 净化费用函数的导数． 5284 5284 c( x) 2 100 x 100 x
所以，纯净度90%时,费用的瞬时 变化率就是52.84元/吨；(2)略
5 6
法则3:
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) g ( x) 2 g ( x)
3:求下列函数的导数 (1)y=tanx
2
2 x3 x 6 x 3 ( 2) y 2 y ' 2 2 x 3 ( x 3)
法则1: [f(x) ±g(x)] ′= f'(x) ± g'(x); 1: 求下列函数的导数 3 (1)y=x +sinx
(北师大版)选修1-1课件：第3章-导数的乘法与除法法则-参考课件
2
x 2 (2)函数y 是函数f ( x) x 和函数 ln x g ( x) ln x之商, 根据导数公式表分别得 出: 1 f ( x) 2 x, g ( x) , x 由求导的除法法则得: 1 2 2 x ln x x 2 x x(2 ln x 1) x . 2 2 ln x (ln x) ln x
令x 0,由于 lim ( x0 x) x ,
2 x 0 2 0
f ( x0 x) f ( x0 ) lim f ( x0 ), x 0 x 2 ( x0 x) 2 x0 lim 2 x0 , x 0 x 知f ( x) g ( x) x 2 f ( x)在x0处的导数值为 x f ( x0 ) 2 x0 f ( x0 ).
导数的加法和减法法则是什么? 两个函数和(差)的导数等于这两个函数 导数的和(差),即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x), f ( x) g ( x).
问题提出
如果有函数 y f ( x) g ( x) x f ( x),
例题讲解
例3求下面函数的导数 : (1) y x e ; ( 2) y
2 x
2 x
x sin x; (3) y x ln x.
2 x
解 : (1)函数y x e 是函数f ( x) x 与g ( x) e 之积, 由导数公式表分别得出 f ( x) 2 x, g ( x) e x , 根据两函数之积的求导 法则, 可得 : ( x 2 e x ) 2 xe x x 2 e x (2 x x 2 )e x .
x 2 (2)函数y 是函数f ( x) x 和函数 ln x g ( x) ln x之商, 根据导数公式表分别得 出: 1 f ( x) 2 x, g ( x) , x 由求导的除法法则得: 1 2 2 x ln x x 2 x x(2 ln x 1) x . 2 2 ln x (ln x) ln x
令x 0,由于 lim ( x0 x) x ,
2 x 0 2 0
f ( x0 x) f ( x0 ) lim f ( x0 ), x 0 x 2 ( x0 x) 2 x0 lim 2 x0 , x 0 x 知f ( x) g ( x) x 2 f ( x)在x0处的导数值为 x f ( x0 ) 2 x0 f ( x0 ).
导数的加法和减法法则是什么? 两个函数和(差)的导数等于这两个函数 导数的和(差),即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x), f ( x) g ( x).
问题提出
如果有函数 y f ( x) g ( x) x f ( x),
例题讲解
例3求下面函数的导数 : (1) y x e ; ( 2) y
2 x
2 x
x sin x; (3) y x ln x.
2 x
解 : (1)函数y x e 是函数f ( x) x 与g ( x) e 之积, 由导数公式表分别得出 f ( x) 2 x, g ( x) e x , 根据两函数之积的求导 法则, 可得 : ( x 2 e x ) 2 xe x x 2 e x (2 x x 2 )e x .
高中数学北师大版选修1-1课件：第3章 §4 4.1 导数的加法与减法法则
故切线方程为y-y0=(3x02-2)(x-x0)， 即y-(x03-2x0)=(3x02-2)(x-x0),
又知切线过点(1,-1),代入上述方程，
解得x0=1或x0= 1 .
2
故所求切线方程为y+1=x-1或 y 7 5 (x 1),
即x-y-2=0或5x+4y-1=0.
84 2
第二十五页，编辑于星期日：二十三点 三十三 分。
∴ 3 2b c 解6，得b=c=-3.
∴所求解1析b式 为c f(2x)=1，x3-3x2-3x+2.
第十六页，编辑于星期日：二十三点 三十三分。
【 互 动 探 究 】 若 题 2 中 把 “ 且 在 点 M(-1,f(-1)) 处 的 切 线 方 程 为 6xy+7=0”改为“且在点M（-1，2）处的切线与直线6x-y+7=0平行”其他 条件不变，求函数f(x)的解析式. 【解题指南】由题意可知f(-1)=2，f'(-1)=6.
第十五页，编辑于星期日：二十三点 三十三分。
【解析】1.选Ｂ．设f(x)=x4+b，则f(1)=1+b=-1,
∴b=-2,∴f(x)=x4-2. 2.由f(x)的图像经过点P(0,2)，解得d=2. ∴f(x)=x3+bx2+cx+2， f'(x)=3x2+2bx+c.
由曲线在点M(-1,f(-1))处的切线方程是6x-y+7=0， 知-6-f(-1)+7=0，即f(-1)=1,f'(-1)=6，
3
1
x2
3x ln
3.
2
(3)
y sin x cos x cos x
2sin
又知切线过点(1,-1),代入上述方程，
解得x0=1或x0= 1 .
2
故所求切线方程为y+1=x-1或 y 7 5 (x 1),
即x-y-2=0或5x+4y-1=0.
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第二十五页，编辑于星期日：二十三点 三十三 分。
∴ 3 2b c 解6，得b=c=-3.
∴所求解1析b式 为c f(2x)=1，x3-3x2-3x+2.
第十六页，编辑于星期日：二十三点 三十三分。
【 互 动 探 究 】 若 题 2 中 把 “ 且 在 点 M(-1,f(-1)) 处 的 切 线 方 程 为 6xy+7=0”改为“且在点M（-1，2）处的切线与直线6x-y+7=0平行”其他 条件不变，求函数f(x)的解析式. 【解题指南】由题意可知f(-1)=2，f'(-1)=6.
第十五页，编辑于星期日：二十三点 三十三分。
【解析】1.选Ｂ．设f(x)=x4+b，则f(1)=1+b=-1,
∴b=-2,∴f(x)=x4-2. 2.由f(x)的图像经过点P(0,2)，解得d=2. ∴f(x)=x3+bx2+cx+2， f'(x)=3x2+2bx+c.
由曲线在点M(-1,f(-1))处的切线方程是6x-y+7=0， 知-6-f(-1)+7=0，即f(-1)=1,f'(-1)=6，
3
1
x2
3x ln
3.
2
(3)
y sin x cos x cos x
2sin
3.4.1《导数的加法与减法法则》课件(北师大版选修1-1)
一、选择题（每题5分，共15分） 1.已知曲线y=x6在点P处的切线与直线y= 1 x +3垂直，则此切线
6
的方程为(
)
(A)x+6y+5=0
(C)x-6y+5=0
(B)6x+y+5=0
(D)6x-y+5=0
【解析】选B.设切点坐标为（x0,x06），则切线的斜率 k=6x05=-6,∴x0=-1,∴切点为(-1,1)，∴切线方程为y-1= -6(x+1)即6x+y+5=0.
∵直线过原点，∴（0，0）符合上述方程，
∴ x0ex =ex , x 0 =1,
0 0
∴切点为（1，e），斜率为e. 答案：(1,e) e
三、解答题（6题12分，7题13分，共25分） 6.求下列函数的导数：
xm + n x （1）y=cotx-cosx;(2)y=ex+log3x;(3)y= (n≠0). x
【解析】∵f′(x)=cosx+ 1 ,∴f′(1)=cos1+1. x 答案：1+cos1
5.过原点作曲线y=ex的切线，则切点的坐标为 ______，切线 的斜率为 ______.
【解析】设切点坐标为 (x 0 ,ex ), 则过该切点的直线的斜率为
0
x x ex0 , ∴切线方程为 y-e 0 =e 0 (x-x0 ).
)
2.（5分）曲线y=x3-x与直线y=2x+b相切，则实数b= ______.
【解析】设切点为（x0,x03-x0），则f′(x0)=3x02-1=2, ∴x0=〒1,当x0=1时，切点为（1，0）代入y=2x+b得b=-2, 当x0=-1时，切点为（-1，0），代入y=2x+b得b=2. 答案：〒2
高中数学 第三章 变化率与导数 4.1 导数的加法与减法法则课件 北师大版选修1-1.pptx
5
思考2
将思考1的结论推广，可得到导数的加法、减法法则， 请写出来.
答案
[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)， [f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x).
6
梳理
两个函数和(差)的导数等于 这两个函数导数 的和(差)， 即[f(x)＋g(x)]′＝ f′(x)＋g′(x) ， [f(x)－g(x)]′＝ f′(x)－g′(x).
19
跟踪训练3 已知直线l1为曲线y＝f(x)＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线， l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2，求由直线l1，l2和x轴所围成的三 角形的面积.
解答
20
当堂训练
22
1.已知f(x)＝x－5＋3sin x，则f′(x)等于 答案 解析 A.－5x－6－3cos x B.x－6＋3cos x
√C.－5x－6＋3cos x D.x－6－3cos x
f′(x)＝(x－5)′＋(3sin x)′＝－5x－6＋3cos x.
1 2 3 4 235
2.设 f(x)＝sin x－cos x，则 f(x)在 x＝π4处的导数 f′π4等于 答案 解析
√A. 2
B.－ 2
2
C.0
D. 2
∵f′(x)＝cos x＋sin x， ∴f′(π4)＝cos π4＋sin π4＝ 2.
7
题型探究
8
类型一 利用导数的加法与减法法则求导
例1 求下列函数的导数： (1)y＝4cos x－3sin x； 解答
y′＝(4cos x－3sin x)′＝(4cos x)′－(3sin x)′＝－4sin x－3cos x.
(2)y＝x2＋tan x； 解答
y′＝(x2＋tan
思考2
将思考1的结论推广，可得到导数的加法、减法法则， 请写出来.
答案
[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)， [f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x).
6
梳理
两个函数和(差)的导数等于 这两个函数导数 的和(差)， 即[f(x)＋g(x)]′＝ f′(x)＋g′(x) ， [f(x)－g(x)]′＝ f′(x)－g′(x).
19
跟踪训练3 已知直线l1为曲线y＝f(x)＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线， l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2，求由直线l1，l2和x轴所围成的三 角形的面积.
解答
20
当堂训练
22
1.已知f(x)＝x－5＋3sin x，则f′(x)等于 答案 解析 A.－5x－6－3cos x B.x－6＋3cos x
√C.－5x－6＋3cos x D.x－6－3cos x
f′(x)＝(x－5)′＋(3sin x)′＝－5x－6＋3cos x.
1 2 3 4 235
2.设 f(x)＝sin x－cos x，则 f(x)在 x＝π4处的导数 f′π4等于 答案 解析
√A. 2
B.－ 2
2
C.0
D. 2
∵f′(x)＝cos x＋sin x， ∴f′(π4)＝cos π4＋sin π4＝ 2.
7
题型探究
8
类型一 利用导数的加法与减法法则求导
例1 求下列函数的导数： (1)y＝4cos x－3sin x； 解答
y′＝(4cos x－3sin x)′＝(4cos x)′－(3sin x)′＝－4sin x－3cos x.
(2)y＝x2＋tan x； 解答
y′＝(x2＋tan
(北师大版)选修1-1课件：第3章-计算导数-参考课件(2)
－5
3 ． 若 y ＝ 10x ， 则 y′|x ＝ 1 ＝ ________. 解析： ∵y′＝10xln10， ∴y′|x＝1＝10ln10. 答案： 10ln10
4．求下列函数的导数： 1 4 (1)y＝x ；(2)y＝x3；(3)y＝ x；
13
(4)y＝log3x；(5)y＝sin x；(6)y＝
π k＝－sin－3＝
3 ， 2
1 3 π ∴其切线方程为 y－2＝ 2 x＋3， 即 3 3x－6y＋ 3π＋3＝0.
2.求曲线 y＝sin x 在点
π 1 A6，2的切线方程；
解析：
y′＝(sin x)′＝cos x，
π 3 ∴y′|x＝ ＝ ， 6 2 3 ∴切线斜率 k＝ 2 ， 1 3 π ∴切线方程为 y－ ＝ x－6， 2 2 化简得：6 3x－12y＋6－ 3π＝0.
1 cos2x
. . . .
f(x)＝tan x
原函数 f(x)＝cot x f(x)＝ax f(x)＝ex f(x)＝logax
导函数 f′(x)＝ f′(x)＝ f′(x)＝ 1
1 －sin2x
. . .
axlna(a>0)
ex
xlna(a>0 且 a≠1) 1 x
f′(x)＝
f′(x)＝
.
.
10 10－1
＝10x ；
9
1 －2 －2－1 －3 (4)y′＝( 2)′＝(x )′＝－2x ＝－2x . x
(2011· 江西卷， 4)曲线 y＝ex 在点 A(0,1)处的切线斜率为( A．1 C．e B．2 1 D.e
)
解析： 由 y′ ＝ ex ，得在点 A(0,1) 处的切线的斜率 k ＝ y′|x ＝ 0 ＝ e0 ＝ 1 ， ∴选A. 答案： A
3 ． 若 y ＝ 10x ， 则 y′|x ＝ 1 ＝ ________. 解析： ∵y′＝10xln10， ∴y′|x＝1＝10ln10. 答案： 10ln10
4．求下列函数的导数： 1 4 (1)y＝x ；(2)y＝x3；(3)y＝ x；
13
(4)y＝log3x；(5)y＝sin x；(6)y＝
π k＝－sin－3＝
3 ， 2
1 3 π ∴其切线方程为 y－2＝ 2 x＋3， 即 3 3x－6y＋ 3π＋3＝0.
2.求曲线 y＝sin x 在点
π 1 A6，2的切线方程；
解析：
y′＝(sin x)′＝cos x，
π 3 ∴y′|x＝ ＝ ， 6 2 3 ∴切线斜率 k＝ 2 ， 1 3 π ∴切线方程为 y－ ＝ x－6， 2 2 化简得：6 3x－12y＋6－ 3π＝0.
1 cos2x
. . . .
f(x)＝tan x
原函数 f(x)＝cot x f(x)＝ax f(x)＝ex f(x)＝logax
导函数 f′(x)＝ f′(x)＝ f′(x)＝ 1
1 －sin2x
. . .
axlna(a>0)
ex
xlna(a>0 且 a≠1) 1 x
f′(x)＝
f′(x)＝
.
.
10 10－1
＝10x ；
9
1 －2 －2－1 －3 (4)y′＝( 2)′＝(x )′＝－2x ＝－2x . x
(2011· 江西卷， 4)曲线 y＝ex 在点 A(0,1)处的切线斜率为( A．1 C．e B．2 1 D.e
)
解析： 由 y′ ＝ ex ，得在点 A(0,1) 处的切线的斜率 k ＝ y′|x ＝ 0 ＝ e0 ＝ 1 ， ∴选A. 答案： A
(北师大版)选修1-1课件：第3章-导数的四则运算法则-参考课件(2)
4 3
lnx (3)y＝x· a (a>0)；(4) (x>0)． x
x
解析：
(1)y′＝(x4－x3－x＋3)′
＝(x4)′－(x3)′－(x)′＋3′ ＝4x3－3x2－1.
(2)方法一：∵y＝2· x ＋3· x ， ∴y′＝(2x－2＋3x－3)′ ＝(2x－2)′＋(3x－3)′ －4 －9 4 9 ＝－4x －9x ＝ x3 ＋ x4 ＝－x3－x4.
；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
； ；
(5)若f(x)＝tan
(6)若f(x)＝cot x，则f′(x)＝
axln a
1 2 cos x x，则f′(x )＝ 1 － 2 sin x
；
(7)若f(x)＝ax，则f′(xx)＝
e
1 (8)若f(x)＝ex，则f′(x)＝ xln； a
(a>0)；
(9)若f(x)＝logax，则f′(x)＝ 且a≠1)；
理由
(3)
利用了导数 的除法法则
f′(x)＝(x)′lg x＋x(lg x)′
(4)
1 ＝lg x＋x· xln 10 1 ＝lg x＋ ln 10
利用了导数 的乘法法则
1.求下列函数的导数： (1)y＝(2x2＋3)(3x－2)； x－1 (2)y＝ ； x＋1 (3)y＝x· tanx.
解析： (1)方法一： y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′ ＝4x(3x－2)＋(2x ＋3)· 3＝18x －8x＋9. 方法二：∵y＝(2x2＋3)· (3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6， ∴y′＝18x －8x＋9.
1 (1)y＝2 xsin x＋ cos x； x x4 (2)y＝ ； 2＋logax 1 1 (3)y＝ ＋ ； 1－ x 1＋ x (4)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)．
lnx (3)y＝x· a (a>0)；(4) (x>0)． x
x
解析：
(1)y′＝(x4－x3－x＋3)′
＝(x4)′－(x3)′－(x)′＋3′ ＝4x3－3x2－1.
(2)方法一：∵y＝2· x ＋3· x ， ∴y′＝(2x－2＋3x－3)′ ＝(2x－2)′＋(3x－3)′ －4 －9 4 9 ＝－4x －9x ＝ x3 ＋ x4 ＝－x3－x4.
；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
； ；
(5)若f(x)＝tan
(6)若f(x)＝cot x，则f′(x)＝
axln a
1 2 cos x x，则f′(x )＝ 1 － 2 sin x
；
(7)若f(x)＝ax，则f′(xx)＝
e
1 (8)若f(x)＝ex，则f′(x)＝ xln； a
(a>0)；
(9)若f(x)＝logax，则f′(x)＝ 且a≠1)；
理由
(3)
利用了导数 的除法法则
f′(x)＝(x)′lg x＋x(lg x)′
(4)
1 ＝lg x＋x· xln 10 1 ＝lg x＋ ln 10
利用了导数 的乘法法则
1.求下列函数的导数： (1)y＝(2x2＋3)(3x－2)； x－1 (2)y＝ ； x＋1 (3)y＝x· tanx.
解析： (1)方法一： y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′ ＝4x(3x－2)＋(2x ＋3)· 3＝18x －8x＋9. 方法二：∵y＝(2x2＋3)· (3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6， ∴y′＝18x －8x＋9.
1 (1)y＝2 xsin x＋ cos x； x x4 (2)y＝ ； 2＋logax 1 1 (3)y＝ ＋ ； 1－ x 1＋ x (4)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)．
高中数学(北师大版 选修1-1)课件第3章4.1-2导数的加法与减法法则 导数的乘法与除法法则 (共39张PPT)
【自主解答】
2 2 (1)∵y＝x＋2＋x ，∴y′＝1－x2.
1 1 x x (2)∵y＝1＋sin2cos2＝1＋2sin x，∴y′＝2cos x.
2 1 1 3 1 2 2 (3)∵y＝x x ＋x ＋x3 ＝x ＋1＋x2，∴y′＝3x －x3.
(4)∵y＝( x＋1) Nhomakorabea f x ________， gx′＝________.
特别地，当 g(x)＝k 时，有[kf(x)]′＝________.
f′xgx－fxg′x f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) kf′(x) g2x
【答案】
若函数 f(x)＝x2ln x，则 f′(x)＝________.
[再练一题] 1．求下列函数的导数： 1 5 4 3 (1)y＝5x －3x ＋3x＋ 2； x 4 x (2)y＝sin 4＋cos 4.
4
【导学号：63470068】
【解】 x4－4x2＋3.
1 5 4 3 (1)y′＝5x －3x ＋3x＋
′ 1 5′ 4 3′ 2 ＝5x －3x ＋(3x)′＋(
1 【解析】 f′(x)＝(x )′ln x＋x · (ln x)′＝2xln x＋x · x ＝(2ln x＋1)x.
2 2 2
【答案】 (2ln x＋1)x
[质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： _____________________________________________________ _______________________________________________________ _____________________________________________________ _______________________________________________________ ______________________________________________________ _______________________________________________________
高中数学选修1-1北师大版 导数的四则运算法则 课件(29张)
x4 4x 2＋logax－xln a (3)y′＝ 2＋logax2
3 3 x 8x3＋4x3logax－ln a ＝ 2＋logax2
1 x 8＋4logax－ln a ＝ . 2＋logax2
3
理解和掌握求导法则和公式的结构特征是灵活进行求导运算的前
提条件，若运算过程中出现失误，其原因是不能正确理解求导法则，
2x 2x 2 2x 2x
导数运算法则的灵活应用
.求下列函数的导数： (1)y＝ex＋log3x； n xm＋ x (2)y＝ x (n≠0)．
.设函数 y＝f(x)满足以下条件： 2 ①f′(x)＝－x3；②f(1)＝2. 求函数 y＝f(x)的表达式．
2 解析：∵f′(x)＝－x3＝－2· x－2－1， 1 ∴f(x)＝x－2＋c＝x2＋c(c 为常数)， 又∵f(1)＝2，∴1＋c＝2， 1 ∴c＝1，∴f(x)＝x2＋1.
)
C．3x2＋1 D．3x2＋x
A．x2ex＋2x
x2)ex
B．2xex
C．(2x＋x2)ex
D．(x＋
读教材 理要点 一、和(差) f′(x)＋g′(x) f′(x)－g′(x) f′xgx－fxg′x 二、f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) kf′(x) g2x 研重点 究疑点 1． 提示： 两个函数和(差)的求导法则可以推广到有限个函数的情况， 即[f1(x)± f2(x)± …± fn(x)]′＝f1′(x)± f2′(x)± …± fn′(x)． 2．提示：要求两个函数必须都可导且商式中要求分母不为零． 3．C ∵y＝x3＋x，∴f′(x)＝(x3＋x)′＝(x3)′＋x′＝3x2＋1. 4．C f′(x)＝(x2ex)′＝(x2)′ex＋(ex)′x2＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex.
2019北师大版高中数学选修1-1课件：3.4 导数的四则运算法则(共27张PPT)
到任意有限个可导函数的和(差)的导数,即(u1±u2±…±un)'= u'1±u'2±…±u'n .
预习探究
f'(x)g(x)+f(x)g'(x) kf'(x)
预习探究
解:①②不成立,③④成立.
备课素材
1．导数的运算法则的形式特点 (1)两个函数的和的导数等于两个函数导数的和，两个函数的差的导数等于两个函数 的导数的差．该特点可以推广到多个函数的情形． (2)导数的加减法则，就是把每一个函数都求导然后再相加减． (3)导数的乘法法则中两个式子中间是加号，导数的除法法则中分子上的两个式子之 间是减号，因此要注意两个函数的位置关系．
新课导入
[导入]
创设情景
1．四种常见函数 y＝c、y＝x、y＝x2、y＝1x的导数公式及应用；
函数
导数
y＝c
y′＝0
y＝x
y′＝1
y＝x2
y′＝2x
y＝1x y＝f(x)＝xn(n∈Q*)
y′＝－x12 y′＝nxn－1
新课导入
2.基本初等函数的导数公式表 函数 y＝c
y＝xn(n∈Q) y＝sinx y＝cosx y＝ax y＝ex
重点难点
[重点] 基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则．
[难点] 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用．
教学建议
教科书直接给出基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，不要求根据导数定义 推导这些公式和法则，只要求能够利用他们能求简单函数的导数即可．在教学中， 适量的练习对于熟悉公式和法则的运用是必要的，但应避免过量的形式化的运算联 系．本节引进四则运算的求导法则，就能得到两函数的和、差、积、商的导数与原 来两函数的导数关系，应用这些法则就可以将比较复杂的函数的求导问题，化为会 求的或易求的函数的导数问题，从而使许多函数的求导过程得到简化．
预习探究
f'(x)g(x)+f(x)g'(x) kf'(x)
预习探究
解:①②不成立,③④成立.
备课素材
1．导数的运算法则的形式特点 (1)两个函数的和的导数等于两个函数导数的和，两个函数的差的导数等于两个函数 的导数的差．该特点可以推广到多个函数的情形． (2)导数的加减法则，就是把每一个函数都求导然后再相加减． (3)导数的乘法法则中两个式子中间是加号，导数的除法法则中分子上的两个式子之 间是减号，因此要注意两个函数的位置关系．
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创设情景
1．四种常见函数 y＝c、y＝x、y＝x2、y＝1x的导数公式及应用；
函数
导数
y＝c
y′＝0
y＝x
y′＝1
y＝x2
y′＝2x
y＝1x y＝f(x)＝xn(n∈Q*)
y′＝－x12 y′＝nxn－1
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2.基本初等函数的导数公式表 函数 y＝c
y＝xn(n∈Q) y＝sinx y＝cosx y＝ax y＝ex
重点难点
[重点] 基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则．
[难点] 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用．
教学建议
教科书直接给出基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，不要求根据导数定义 推导这些公式和法则，只要求能够利用他们能求简单函数的导数即可．在教学中， 适量的练习对于熟悉公式和法则的运用是必要的，但应避免过量的形式化的运算联 系．本节引进四则运算的求导法则，就能得到两函数的和、差、积、商的导数与原 来两函数的导数关系，应用这些法则就可以将比较复杂的函数的求导问题，化为会 求的或易求的函数的导数问题，从而使许多函数的求导过程得到简化．
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(1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程. 1 3 1 解 : (1)由导数公式得: f ( x) x 3 x 2 x 2 . 3 3
故点P的切线斜率是: f ( x0 ) 2 2 4.
8 (2)点P处的切线方程为: y 2 4 x 3 即 : 3 y 12x 26 0.
求函数的导数的步骤是怎样的? (1)求函数的增量y f ( x x) f ( x);
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值 : y f ( x x) f ( x) ; x x y (3)求极限，得导函数y f ( x) lim . x 0 x
函数g ( x) 2 的和,由导数公式表 ,
x
分别得出 f ( x) 2 x, g ( x) 2 ln 2.
x
利用函数和的求导法则 可得 : 2 x x x 2 f ( x) g ( x) 2 x 2 ln 2.
提示: 函数g ( x) ln x的差,由导数公式表 , 对于常用的 分别得出 几个函数的 1 1 f ( x) , g ( x) . 导数,可以熟 x 2 x 记,以便以后 利用函数差的求导法则 可得 : 使用 . 1 1
导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)
如果已知两个函数的导数,如何求这两个 函数的和,差的导数呢?
给出函数f ( x) x x ,
2
如何来பைடு நூலகம்这个函数的导函数 ?
实例分析
按照求函数导数的步骤: 首先给定自变量 x一个改变量x, 则函数值y的改变量为 y f ( x x) f ( x) ( x x) ( x x) 2 ( x x 2 ) x 2 xx x 2 .
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x), f ( x) g ( x).
例1求下列函数的导数: (1) y x 2 2; (2) y x ln x. 2 x 解 : (1)函数y x 2 是f ( x) 2 x与
3
将x 1代入导函数得 1 3 1 4 1 1 即曲线y x 过点(1,0)的切线斜率为 4, x 从而其切线方程为
3
y 0 4( x 1) 即 : y 4( x 1).
1 3 8 P ( 2, ) ,求: 练习:如图已知曲线 y x 上 一 点 3 3
导数的加法与减法法则是什么?
几个常用的函数的导数是什么?
y c(c是常数), y x (为实数),
y a x ( a 0, a 1), y loga x( a 0, a 1), y sin x, y cos x, y t an x, y cot x.
(2)函数y
x ln x是f ( x)
x与
x ln x f ( x) g ( x)
. 2 x x
1 •例2求曲线 y x 过点的切线方程 . x 1 3 解 : 首先求出函数 y x 在x 1处的导数 . x 1 1 3 3 函数y x 是函数f ( x) x 与g ( x) 的差, x x 由导数公式表分别得出 1 2 f ( x) 3 x , g ( x) 2 . x 根据函数差的求导法则 可得 : 1 3 1 2 x f ( x) g ( x) 3 x 2 . x x
相应的平均变化率为 y x 2 xx x 2 1 2 x x. x x
当x趋于0时, 得到导数: f ( x) 1 2 x. 2 2 可以看出: ( x x ) x ( x ).
两个函数和(差)的导数等于这两个函数 导数的和(差),即: