第二章2.1-2.1.1椭圆及其标准方程
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
2.1 2.1.1 椭圆及其标准方程
2
2
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由余弦定理知： |PF1|2＋ |PF2|2－2|PF1|· |PF2|· cos 30° ＝ |F1F2|2＝ (2c)2＝ 4，② ①式两边平方，得 |PF1|2＋ |PF2|2＋2|PF1|· |PF2|＝20③ ③－②，得(2＋ 3)|PF1|· |PF2|＝ 16， ∴ |PF1|· |PF2|＝16(2－ 3)， 1 ∴ S△ PF1F2＝ |PF1 |· |PF2|· sin 30° ＝ 8－4 3. 2
a2＝ 15， 解得 2 b ＝ 5.
x2 y2 故所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 15 5
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y2 x2 ②当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为 2＋ 2＝1(a>b>0)． a b
2 2 － 2 3 ＋ 2 ＝ 1， a2 b 依题意有 2 － 2 3 1 a2＋ b2 ＝ 1，
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7 解得 2<k<5 且 k≠ . 2 7 7 即当 2<k< 或 <k<5 时， 2 2 x2 y2 方程 ＋ ＝1 表示椭圆． k－2 5－k
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x y 1.如图所示，点 P 是椭圆 ＋ ＝1 上的一点，F1 和 F2 是焦点， 5 4 且∠F1PF2＝30° ，求△F1PF2 的面积．
x2 y2 解析：在椭圆 ＋ ＝1 中，a＝ 5，b＝2， 5 4 ∴c＝ a2－b2＝1. 又∵P 在椭圆上， ∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2 5，①
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2.1.1椭圆的定义与标准方程(优秀课件)
2.1.1椭圆的定义与标准方程一、教学目标1.通过观察、实验、证明等方法的运用，让学生更好的理解椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式，会根据条件求椭圆的标准方程。
2.通过对椭圆的认识及其方程的推导，培养学生的分析、探究、抽象、概括等逻辑思维能力，加强用坐标法解决圆锥曲线问题的能力。
3.鼓励学生大胆猜想、论证，激发学生的学习热情，使他们获得成功的体验。
二、教学重点和难点1.重点：感受建立曲线方程的基本过程，掌握椭圆的标准方程及其推导方法。
2.难点：椭圆标准方程的推导。
三、教法与学法1．教法为了使学生更主动地参加到课堂教学中，体现以学生为主体的探究性学习和因材施教的原则，故采用自主探究法。
按照“创设情境——自主探究——建立模型——拓展应用”的模式来组织教学。
2．学法在教学过程中，要充分调动学生的积极性和主动性，为学生提供自主学习的时间和空间。
让他们经历椭圆图形的形成过程、定义的归纳概括过程、方程的推导化简过程，主动地获取知识。
四、教学过程设计（一）创设情境，复习引入由嫦娥二号绕月飞行的运动轨迹及现实生活中的多幅椭圆的图片引入。
（嫦娥二号绕月飞行、行星运行、国家大剧院、鸟巢、亚运场馆沙特馆、油罐车等）（二）动手实验，归纳概念问：自然界处处存在着椭圆,我们如何用自己的双手画出椭圆呢?引导：先回忆如何画圆（学生利用手中的细线画圆，教师再用几何画板画圆）画圆容易那如果要画椭圆该怎么画呢？（先介绍课前数学实验中的方法用几何画板作椭圆）让学生回忆起要画一个圆只要一定点和一定长就可以。
现在若把一点变成两点，到定点的距离等于定长变成到两定点的距离之和等于定长。
再把笔紧贴细线画图，得到的图形是什么呢？（学生利用手中细线配合同桌共同完成，得到椭圆。
我将在黑板上用同一方法作图，并利用几何画板演示）提出问题：“在画图的过程中，哪些量发生了变化，哪些量没有变？”让学生根据自己的实验，观察回答：“两定点间的距离没变，绳子的长度没变，点在运动。
原创3：2.1.1 椭圆及其标准方程
【规律方法】 1．定义是判断点的轨迹是否为椭圆的重要依据，根据椭 圆的定义可知，集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c， a＞0，c＞0，且 a、c 为常数． 当 a＞c 时，集合 P 为椭圆上点的集合； 当 a＝c 时，集合 P 为线段上点的集合； 当 a＜c 时，集合 P 为空集． 因此，只有|F1F2|＜2a 时，动点 M 的轨迹才是椭圆．
解得nm＝＝1511，5
故所求椭圆的标准方程为1x52 ＋y52＝1.
题目类型三、求与椭圆有关的轨迹方程 例 3、已知圆 x2＋y2＝9，从这个圆上任意一点 P 向 x 轴 作垂线段 PP′，垂足为 P′，点 M 在 PP′上，并且P→M＝ 2M→P′，求点 M 的轨迹． 【思路探究】 设动点Mx，y，Px0，y0 → 找M，P的关系 → 用点M坐标表示点P坐标 → 代入圆方程 → 得点M轨迹
第二章 圆锥曲线与方程
§2.1 椭圆
2.1.1 椭圆及其标准方程
知识点一、椭圆的定义 【问题导思】 1．给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板能画出 椭圆吗？ 【提示】 固定两个图钉，绳长大于图钉间的距离是画 出椭圆的关键． 2．在上述画出椭圆的过程中，你能说出笔尖(动点)满足 的几何条件吗？ 【提示】 笔尖(动点)到两定点(绳端点的固定点)的距离 之和始终等于绳长．
3．椭圆定义中，为什么要限制常数|PF1|＋|PF2|＝2a＞ |F1F2|?
【提示】 只有当 2a＞|F1F2|时，动点 M 的轨迹才是椭 圆；当 2a＝|F1F2|时，点的轨迹是线段 F1F2；当 2a＜|F1F2|时 满足条件的点不存在．
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
标准 方程
ax22＋by22＝1(a＞b＞0)
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程精练含解析北师大版选修1_10416220.doc
1.1 椭圆及其标准方程1.设定点F1(0,-2),F2(0,2),动点P满足条件|PF1|+|PF2|=m+(m>2),则点P的轨迹是()A.椭圆B.线段C.不存在D.椭圆或线段解析:因为m>2,所以m+>2=4,所以点P的轨迹为以F1,F2为焦点的椭圆.答案:A2.椭圆=1的焦点坐标是()A.(±5,0)B.(0,±5)C.(0,±12)D.(±12,0)解析:因为c2=a2-b2=169-25=122,所以c=12.又焦点在y轴上,故焦点坐标为(0,±12).答案:C3.已知椭圆=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3,到另一个焦点的距离为7,则m=()A.10B.5C.15D.25解析:设椭圆的焦点分别为F1,F2,则由椭圆的定义,知|PF1|+|PF2|=2a=10,所以a=5,所以a2=25,所以椭圆的焦点在x轴上,m=25.答案:D4.已知椭圆=1上一点P到两个焦点F1,F2的距离之差为2,则△PF1F2的形状为()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形解析:不妨令|PF1|-|PF2|=2,由|PF1|+|PF2|=8,|PF1|-|PF2|=2,解得|PF1|=5,|PF2|=3.又|F1F2|=4,满足|PF2|2+|F1F2|2=|PF1|2,∴△PF1F2为直角三角形.答案:A5.导学号01844010已知P是椭圆=1上一点,F1,F2为焦点,且∠F1PF2=90°,则△PF1F2的面积是.解析:由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=10, ①∵∠F1PF2=90°,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=36, ②由①②,得|PF1|·|PF2|=32.∴S=|PF1|·|PF2|=16.答案:166.若椭圆=1的焦距等于2,则m的值是.解析:当椭圆的焦点在x轴上时,a2=m,b2=15,所以c2=m-15,所以2c=2=2,解得m=16;当椭圆的焦点在y轴上时,同理有2=2,所以m=14.答案:16或147.已知椭圆的焦点是F1(-1,0),F2(1,0),P是椭圆上的一点,若|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项,则该椭圆的方程是.解析:由题意得2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,所以4c=2a=4,所以a=2.又c=1,所以b2=a2-c2=3,故椭圆方程为=1.答案:=18.求以椭圆9x2+5y2=45的焦点为焦点,且经过点M(2,)的椭圆的标准方程.解由9x2+5y2=45,得=1.其焦点F1(0,2),F2(0,-2).设所求椭圆方程为=1.又∵点M(2,)在椭圆上,∴=1.①又a2-b2=4, ②解①②得a2=12,b2=8.故所求椭圆方程为=1.9.导学号01844011已知P是椭圆+y2=1上的一点,F1,F2是椭圆的两个焦点.(1)当∠F1PF2=60°时,求△F1PF2的面积;(2)当∠F1PF2为钝角时,求点P横坐标的取值范围.解(1)由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=4, ①且F1(-,0),F2(,0).在△F1PF2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°.②由①②得|PF1|·|PF2|=.所以|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2=.(2)设点P(x,y),由已知∠F1PF2为钝角,得<0,即(x+,y)·(x-,y)<0,又y2=1-,所以x2<2,解得-<x<,所以点P横坐标的取值范围是-<x<.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
湘教版高中数学选修1-1第2章 2.1.1 椭圆的定义与标准方程
2．1椭__圆2．1.1椭圆的定义与标准方程[读教材·填要点]1．椭圆的定义平面上到两个定点F1，F2的距离之和为定值(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫作椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程[小问题·大思维]1．定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的定值，其他条件不变，点的轨迹是什么？提示：当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．2．椭圆x2＋y22＝1的焦点坐标是什么？提示：∵x2＋y22＝1，∴a2＝2，b2＝1，c2＝a2－b2＝1，∴c＝1. ∴焦点坐标为(0，±1)．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1，F 2是它的焦点．过F 1的直线AB 与椭圆交于A ，B 两点，求△ABF 2的周长．[自主解答] 如图，∵|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，又∵△ABF 2的周长＝|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ， ∴△ABF 2的周长为4a .椭圆上的点到两定点F 1，F 2的距离的和为定值，所以知道椭圆上点到一个焦点的距离就可以利用|PF 1|＋|PF 2|＝2a >|F 1F 2|求出该点到另一个焦点的距离．1．已知椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O 为坐标原点，求线段ON 的长．解：由椭圆方程x 225＋y 29＝1，得a ＝5.设椭圆的另一个焦点为F ′，则|MF |＋|MF ′|＝10，∴|MF ′|＝10－|MF |＝8. ∵N 为MF 的中点，O 为FF ′的中点， ∴ON ＝12|MF ′|＝4.求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，并且经过点(5,0)；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到离它较近的一个焦点的距离等于2.[自主解答] (1)∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∴2a ＝(5＋3)2＋0＋(5－3)2＋0＝10. ∴a ＝5. 又∵c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝52－32＝16. ∴所求椭圆的方程为x 225＋y 216＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∵P (0，－10)在椭圆上， ∴a ＝10.又∵P 到离它较近的一焦点的距离等于2， ∴－c －(－10)＝2， 故c ＝8.∴b 2＝a 2－c 2＝36.∴所求椭圆的标准方程是y 2100＋x 236＝1.求椭圆标准方程的一般步骤为：2．求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)a ＝5，c ＝2，焦点在y 轴上；(2)经过定点(2，－3)且与椭圆9x 2＋4y 2＝36有共同的焦点． 解：(1)∵a ＝5，c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝25－4＝21. 又∵椭圆的焦点在y 轴上， ∴椭圆的标准方程为y 225＋x 221＝1.(2)由9x 2＋4y 2＝36，得x 24＋y 29＝1.∴椭圆的焦点坐标为(0，±5)． 设椭圆标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1，∴9a 2＋4b 2＝1.又a 2－b 2＝5.∴a 2＝15，b 2＝10. ∴所求椭圆的标准方程为y 215＋x 210＝1.求经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142的椭圆的标准方程． [自主解答] 法一：若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由已知条件得⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由已知条件得⎩⎨⎧4b 2＋2a 2＝1，1b 2＋144a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝8，a 2＝4.即a 2＝4，b 2＝8，则a 2<b 2，与题设中a >b >0矛盾，舍去． 综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.法二：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．将两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.在求椭圆的标准方程时，若椭圆焦点的位置未确定，可分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上两种情况进行讨论．也可利用椭圆的一般方程Ax 2＋By 2＝1(其中A >0，B >0，A ≠B )，直接求A ，B .3．若椭圆的焦距为2，且过点P (－5，0)，求椭圆的标准方程． 解：①若椭圆的焦点在x 轴上， 设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，∵c ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧5a 2＝1，a 2－b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝4.∴椭圆方程为x 25＋y 24＝1.②若椭圆的焦点在y 轴上， 设其方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧5b 2＝1，a 2－b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝6，b 2＝5.∴椭圆方程为y 26＋x 25＝1.综合①②可得，椭圆的标准方程为 x 25＋y 24＝1或y 26＋x 25＝1.解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试已知中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆过点Q (2,1)且与椭圆x 29＋y 24＝1有公共的焦点，求椭圆的标准方程．[解] 法一：由已知的椭圆方程知：所求的椭圆的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由x 29＋y 24＝1⇒c 2＝5，∴a 2－b 2＝5.①又Q (2,1)在椭圆上，则4a 2＋1b 2＝1.②由①②解得：a 2＝5＋5，b 2＝5， 即所求的方程是x 25＋5＋y 25＝1.法二：由已知设所求的椭圆的标准方程是： x 29＋k ＋y 24＋k ＝1(k >－4)． 则49＋k ＋14＋k＝1， 整理得：k 2＋8k ＋11＝0，解得k ＝－4±5， 又∵k >－4， ∴k ＝－4＋5，故所求的椭圆的标准方程是x 25＋5＋y 25＝1.[点评] 利用点Q (2,1)在椭圆上，以及a ，b ，c 之间的关系求得a ，b 的值，从而求得椭圆的标准方程．1．若椭圆x 225＋y 24＝1上一点P 到焦点F 1的距离为3，则点P 到另一焦点F 2的距离为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：根据椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×5＝10，因为|PF 1|＝3，所以|PF 2|＝7. 答案：B2．已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m ＞0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．9解析：由左焦点为F 1(－4,0)知c ＝4.又a ＝5， ∴25－m 2＝16，解得m ＝3或－3.又m ＞0，故m ＝3. 答案：B3．满足条件a ＝13，c ＝5的椭圆的标准方程为( ) A.x 2169＋y 2144＝1 B.y 2169＋x 2144＝1C.x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1 D ．不确定解析：∵a ＝13，c ＝5， ∴b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144.∴椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或x 2144＋y 2169＝1.答案：C4．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦点在y 轴上，若焦距为4，则m 等于________．解析：由题意得m －2＞10－m ＞0，解得6＜m ＜10，且a 2＝m －2，b 2＝10－m ，则c 2＝a 2－b 2＝2m －12＝4，m ＝8.答案：85．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________．解析：∵方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，∴⎩⎪⎨⎪⎧5－k >0，k －3>0，5－k ≠k －3.即⎩⎪⎨⎪⎧k <5，k >3，k ≠4.∴3<k <5且k ≠4. 答案：(3,4)∪(4,5)6．已知椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点，求椭圆C 的标准方程． 解：法一：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且可知左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12. 故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.法二：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4，解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去)． 从而a 2＝16.所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.一、选择题1．设F 1，F 2是椭圆x 225＋y 29＝1的焦点，P 为椭圆上一点，则△PF 1F 2的周长为( )A ．16B ．18C ．20D ．不确定解析：|F 1F 2|＝2c ＝225－9＝8， 又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10. ∴△PF 1F 2的周长为18. 答案：B2．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：m >n >0⇒1n >1m >0⇒方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；反之，若方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m >n >0.答案：C3．已知椭圆x 24＋y 2＝1上一点P 的横坐标为－3，则点P 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－3，12 B.⎝⎛⎭⎫－3，12或⎝⎛⎭⎫－3，－12 C.⎝⎛⎭⎫－3，－12 D.⎝⎛⎭⎫12，－3或⎝⎛⎭⎫－12，－3解析：依题意知点P 的横坐标为－3，代入椭圆方程得(－3)24＋y 2＝1，y ＝±12，从而点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－3，12或⎝⎛⎭⎫－3，－12. 答案：B4．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 212＋y 29＝1 B.x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1 C.x 29＋y 212＝1 D.x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1 解析：由已知2c ＝|F 1F 2|＝23，∴c ＝ 3. ∵2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43， ∴a ＝2 3.∴b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.答案：B 二、填空题5．椭圆25x 2＋16y 2＝400的焦点坐标为________． 解析：由25x 2＋16y 2＝400， 得x 216＋y 225＝1. ∴a 2＝25，b 2＝16，c 2＝a 2－b 2＝9. 又∵焦点在y 轴上，∴焦点坐标为(0,3)，(0，－3)． 答案：(0,3)，(0，－3)6．已知椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且2a ＝6，则椭圆的标准方程为________． 解析：∵椭圆的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)， ∴c ＝1.又∵2a ＝6，即a ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝9－1＝8. ∴椭圆的标准方程为x 29＋y 28＝1.答案：x 29＋y 28＝17．已知x 216＋y 2m 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为________．解析：由题意知0<m 2<16，即0<m <4或－4<m <0. 答案：(0,4)∪(－4,0)8.如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且P Q ⊥PF 1.若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，则椭圆的标准方程为________．解析：由椭圆的定义得，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4， 故a ＝2.设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2， 因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝(2＋2)2＋(2－2)2＝2 3. 即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1， 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.答案：x 24＋y 2＝1三、解答题9．求符合下列条件的椭圆的标准方程． (1)过点⎝⎛⎭⎫63，3和⎝⎛⎭⎫223，1； (2)过点(－3,2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点．解：(1)设所求椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )． ∵椭圆过点⎝⎛⎭⎫63，3和⎝⎛⎭⎫223，1， ∴⎩⎨⎧m ·⎝⎛⎭⎫632＋n ·(3)2＝1，m ·⎝⎛⎭⎫2232＋n ·12＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝19.∴所求椭圆的标准方程为x 2＋y 29＝1.(2)由题意得已知椭圆x 29＋y 24＝1中a ＝3，b ＝2，且焦点在x 轴上，∴c 2＝9－4＝5.∴设所求椭圆方程为x 2a ′2＋y 2a ′2－5＝1. ∵点(－3,2)在所求椭圆上，∴9a ′2＋4a ′2－5＝1.∴a ′2＝15或a ′2＝3(舍去)． ∴所求椭圆的标准方程为x 215＋y 210＝1. 10．已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别是F 1(0，－1)，F 2(0,1)，且3a 2＝4b 2. (1)求椭圆的标准方程；(2)设点P 在这个椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|＝1，求∠F 1PF 2的余弦值． 解：(1)依题意，知c 2＝1，又c 2＝a 2－b 2，且3a 2＝4b 2，所以a 2－34a 2＝1，即14a 2＝1，所以a 2＝4，b 2＝3， 故椭圆的标准方程为y 24＋x 23＝1. (2)由于点P 在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×2＝4.又|PF 1|－|PF 2|＝1，所以|PF 1|＝52，|PF 2|＝32.又|F 1F 2|＝2c ＝2，所以由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝⎝⎛⎭⎫522＋⎝⎛⎭⎫322－222×52×32＝35. 故∠F 1PF 2的余弦值等于35.。
2.1.1椭圆及其标准方程课件人教新课标2
[分析] (1)由焦点坐标知椭圆的焦点在 x 轴上，且可知 c 的值，由 P 到两焦点距离和可求出 a，进而可求出 b2.
(2)由两焦点坐标可知 c 值及焦点在 y 轴上，结合 a2＝b2＋ c2 可设出椭圆的标准方程，再结合椭圆经过点( 3，－ 5)，可 确定 a、b 的值．
[解析] (1)椭圆的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为ax22＋by22 ＝1(a>b>0)．
[解析] (1)由题意可知椭圆的焦点在 x 轴上，且 c＝4,2a＝ 10，
∴a＝5，b2＝a2－c2＝25－16＝9. ∴椭圆的标准方程为2x52 ＋y92＝1.
(2)解法一：∵椭圆的焦点在 y 轴上， ∴可设它的标准方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)． 由 椭 圆 的 定 义 知 2a ＝ 4－02＋3 2＋22 ＋ 4－02＋3 2－22＝12， 所以 a＝6. 又 c＝2，所以 b2＝a2－c2＝32. ∴椭圆的标准方程为3y62 ＋3x22 ＝1.
第二章 圆锥曲线与方程
第二章
2.1 椭圆
椭圆及其标准方程
1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 巩固提高学案
自主预习学案
• 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中 抽象出椭圆的过程和椭圆标准方程的推导与 化简过程．
• 2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形， 会用待定系数法求椭圆的标准方程.
①
因为点( 3，－ 5)在椭圆上，
所以－a252＋ b322＝1，即a52＋b32＝1.
将①式代入②，得b2＋5 16＋b32＝1， 解得 b2＝4(b2＝－12 舍去)． 由①得 a2＝4＋16＝20. 因此，所求椭圆的标准方程为2y02 ＋x42＝1.
椭圆及其标准方程
（4）化方程 f (x, y) 0 为最简形式；
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是 曲线上的点
坐标法
1.建系
2.设坐标
3.列等式
4.代坐标
5.化简方程
新课讲授
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
Байду номын сангаас
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
焦点 F1(c, 0), F2 (c, 0) F1(0, c), F2 (0, c)
a、b、c的 关系
c2 a2 b2
课后思考： 若椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程.
求适合下列条件的椭圆的标准方程： 1、两个焦点的坐标分别是(－4,0)、(4,0)，椭圆上
一点P 到两焦点距离的和是10；
2、两个焦点坐标分别是(0,5)，(0,-5)，椭圆经 过点 (0,-13)。
课时小结
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于 |F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离 叫做椭圆的焦距． 2．椭圆的标准方程
答案 轨迹是可能是一个椭圆或者线段，形状不固定，大 小不固定．
新课讲授
椭圆及其标准方程
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于 |F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点 ，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
人教版高中数学选修2-1第二章椭圆及其标准方程(二)(共19张PPT)教育课件
圆上运动时，线段 PD 的中点 M 的轨迹是什 么？为什么？
解 设点 M 的坐标为(x，y)，点 P 的坐标为(x0，y0)，
则 x＝x0，y＝y20.因为点 P(x0，y0)在圆 x2＋y2＝4 上，
之前有个网友说自己现在紧张得不得了 ，获得 了一个 大公司 的面试 机会， 很不想 失去这 个机会 ，一天 只吃一 顿饭在 恶补基 础知识 。不禁 要问， 之前做 什么去 了？机 会当真 就那么 少？在 我看来 到处都 是机会 ，关键 看你是 否能抓 住。运 气并非 偶然， 运气都 是留给 那些时 刻准备 着的人 的。只 有不断 的积累 知识， 不断的 进步。 当机会 真的到 来的时 候，一 把抓住 。相信 学习真 的可以 改变一 个人的 运气。 在当今社会，大家都生活得匆匆忙忙， 比房子 、比车 子、比 票子、 比小孩 的教育 、比工 作，往 往被压 得喘不 过气来 。而另 外总有 一些人 会运用 自己的 心智去 分辨哪 些快乐 或者幸 福是必 须建立 在比较 的基础 上的， 而哪些 快乐和 幸福是 无需比 较同样 可以获 得的， 然后把 时间花 在寻找 甚至制 造那些 无需比 较就可 以获得 的幸福 和快乐 ，然后 无怨无 悔地生 活，尽 情欢乐 。一位 清洁阿 姨感觉 到快乐 和幸福 ，因为 她刚刚 通过自 己的双 手还给 路人一 条清洁 的街道 ；一位 幼儿园 老师感 觉到快 乐和幸 福，因 为他刚 给一群 孩子讲 清楚了 吃饭前 要洗手 的道理 ；一位 外科医 生感觉 到幸福 和快乐 ，因为 他刚刚 从死神 手里抢 回了一 条人命 ；一位 母亲感 觉到幸 福和快 乐，因 为他正 坐在孩 子的床 边，孩 子睡梦 中的脸 庞是那 么的安 静美丽 ，那么 令人爱 怜。。 。。。 。
第二章 2.1 2.1.1 椭圆及其标准方程(优秀经典公开课比赛课件)
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(2)如果把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点 F1，F2 处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是 什么图形？
提示：椭圆．
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(3)在问题(2)中，移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？ 提示：把细绳的两端拉开一段距离，移动笔尖的过程中，细绳的长度保持不变，即笔 尖到两个定点的距离和等于常数．
[自我检测] 1．下列说法中，正确的是( ) A．到点 M(－3,0)，N(3,0)的距离之和等于 4 的点的轨迹是椭圆 B．到点 M(0，－3)，N(0,3)的距离之和等于 6 的点的轨迹是椭圆 C．到点 M(－3,0)，N(3,0)的距离之和等于 8 的点的轨迹是椭圆 D．到点 M(0，－3)，N(0,3)的距离相等的点的轨迹是椭圆
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知识点二 椭圆的标准方程 预习教材P33－34，思考并完成以下问题 观察椭圆形状，你认为怎样建系才能使椭圆的方程简单？
提示：椭圆是对称图形，以两焦点 F1，F2 所在直线为一条坐标轴，F1F2 的中点为原点 建立直角坐标系方程简单．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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探究二 椭圆的定义及其应用 [教材 P36 练习 3 题]已知经过椭圆2x52＋1y62 ＝1 的右焦点 F2 作垂直于 x 轴的直线 AB，交 椭圆于 A，B 两点，F1 是椭圆的左焦点． (1)求△AF1B 的周长； (2)如果 AB 不垂直于 x 轴，△AF1B 的周长有变化吗？为什么？
椭圆及其标准方程讲课教案
椭圆及其标准方程讲课教案第一章：引言1.1 椭圆的定义讲解椭圆的概念：椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的集合。
通过实际例子演示椭圆的形成过程，让学生直观理解椭圆的定义。
1.2 椭圆的性质介绍椭圆的基本性质：椭圆有两个焦点，两个半轴，对称性等。
通过图形和数学公式展示椭圆的性质，让学生理解椭圆的特性。
第二章：椭圆的标准方程2.1 椭圆的标准方程定义讲解椭圆标准方程的概念：椭圆的标准方程是\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其中\(a\) 是半长轴，\(b\) 是半短轴。
通过实际例子解释椭圆标准方程的含义和作用。
2.2 椭圆标准方程的推导讲解椭圆标准方程的推导过程：利用椭圆的定义和性质，通过几何方法和代数方法推导椭圆的标准方程。
分步解释推导过程，让学生理解并掌握椭圆标准方程的来源。
第三章：椭圆的长轴和短轴3.1 椭圆的长轴讲解椭圆的长轴的概念：长轴是椭圆上距离两个焦点最远的点的线段。
通过图形和数学公式展示椭圆长轴的性质和计算方法。
3.2 椭圆的短轴讲解椭圆的短轴的概念：短轴是椭圆上距离两个焦点最近的点的线段。
通过图形和数学公式展示椭圆短轴的性质和计算方法。
第四章：椭圆的焦点和焦距4.1 椭圆的焦点讲解椭圆的焦点的概念：焦点是椭圆上到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的集合。
通过图形和数学公式展示椭圆焦点的性质和计算方法。
4.2 椭圆的焦距讲解椭圆的焦距的概念：焦距是椭圆上两个焦点之间的距离。
通过图形和数学公式展示椭圆焦距的性质和计算方法。
第五章：椭圆的离心率5.1 椭圆的离心率定义讲解椭圆的离心率的概念：离心率是椭圆的焦距与长轴长度的比值，用\(e\) 表示。
通过图形和数学公式展示椭圆离心率的性质和计算方法。
5.2 椭圆的离心率的应用讲解椭圆的离心率的应用：离心率可以用来判断椭圆的形状和大小，以及与焦点和焦距的关系。
通过实际例子演示椭圆的离心率的应用，让学生理解并掌握椭圆离心率的重要性。