基本初等函数图像及性质大全
一、一次函数与二次函数
（一）一次函数
一次
函数
k，b
符号
图象
性质
y随x的增大而增大 y
随x的增大而减小
（二）二次函数
（1）二次函数解析式的三种形式
①一般式：
2
()(0)fxaxbxca
②顶点式：
2
()()(0)fxaxhka
③两根式：
12
()()()(0)fxaxxxxa
（2）求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时，宜用一般式．
②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．
③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()fx更方便．
（3）二次函数图象的性质
图像
定义域
对称轴
顶点坐标
值域
单调区间
,2ba
递减
,2ba
递增
,2ba
递增
,2ba
递减
①.二次函数2()(0)fxaxbxca的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bxa顶点坐
标是
2
4(,)24bacbaa
②当0a时，抛物线开口向上，函数在(,]2ba上递减，在[,)2ba上递增，当
2bxa
时，2min4()4acbfxa；当0a时，抛物线开口向下，函数在(,]2ba上递增，在
[,)2ba
上递减，当2bxa时，2max4()4acbfxa．
二、幂函数
（1）幂函数的定义
一般地，函数yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数．
（2）幂函数的图象
过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)．
三、指数函数
（1）根式的概念：如果,,,1nxaaRxRn，且nN，那么x叫做a的n次方根．
（2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mnmnaaamnN且1)n．0的正分数指数
幂等于0．
②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,mmmnnnaamnNaa且1)n．0的负
分数指数幂没有意义．
（3）运算性质
①(0,,)rsrsaaaarsR ②
()(0,,)rsrsaaarsR
③
()(0,0,)rrrabababrR
（4）指数函数
函数名称 指数函数
定义
函数(0xyaa且1)a叫做指数函数
图象
定义域
值域
过定点
图象过定点(0,1)，即当0x时，1y．
奇偶性 非奇非偶
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
x
ay
x
y
(0,1)
O1yxayxy(0,1)O
1y
函数值的
变化情况
a
变化对图象的影
响
在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低．
四、对数函数
（1）对数的定义
①若(0,1)xaNaa且，则x叫做以a为底N的对数，记作logaxN，其中a叫做底
数，N叫做真数．
②负数和零没有对数．
③对数式与指数式的互化：log(0,1,0)xaxNaNaaN．
（2）几个重要的对数恒等式
log10a，log1aa
，logbaab．
（3）常用对数与自然对数
常用对数：lgN，即10logN；自然对数：lnN，即logeN（其中2.71828e…）．
（4）对数的运算性质 如果0,1,0,0aaMN，那么
①加法：logloglog()aaaMNMN ②减法：
logloglogaaaMMNN
③数乘：loglog()naanMMnR ④
logaN
aN
⑤loglog(0,)bnaanMMbnRb
⑥换底公式：
loglog(0,1)logbabN
Nbba且
（5）对数函数
函数
名称
对数函数
定义
函数log(0ayxa且1)a叫做对数函数
图象
定义域
值域
x
y
O
(1,0)
1x
logayx
x
y
O
(1,0)
1x
logayx
过定点
图象过定点(1,0)，即当1x时，0y．
奇偶性 非奇非偶
单调性 在 定义域 上是增函数 在 定义域 上是减函数
函数值的
变化情况
a变化对 图象的影响 在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a
越大图象越
靠高．
五、反函数
（1）反函数的概念
设函数()yfx的定义域为A，值域为C，从式子()yfx中解出x，得式子()xy．如
果对于y在C中的任何一个值，通过式子()xy，x在A中都有唯一确定的值和它对应，
那么式子()xy表示x是y的函数，函数()xy叫做函数()yfx的反函数，记作
1()xfy，习惯上改写成1()yfx
．
（2）反函数的求法
①确定反函数的定义域，即原函数的值域；
②从原函数式()yfx中反解出1()xfy；
③将1()xfy改写成1()yfx，并注明反函数的定义域．
（3）反函数的性质
①原函数()yfx与反函数1()yfx的图象关于直线yx对称．
②函数()yfx的定义域、值域分别是其反函数1()yfx的值域、定义域．
③若(,)Pab在原函数()yfx的图象上，则'(,)Pba在反函数1()yfx的图象上．
④一般地，函数()yfx要有反函数则它必须为单调函数．
六、三角函数的图像和性质
（一）正弦与余函数的图像与性质
函数
图像
定域义 R R
值域
最值
单调性
奇偶性 奇函数 偶函数
周期性 是周期函数，2为最小正周期 是周期函数，2为最小正周期
对称性
对称中心(,0)k， 对称中心(,0)2k，
2. 正切与余切函数的图像与性质
函数
图像
定域义
值域 R R
单调性
奇偶性 奇函数 奇函数
周期性 是周期函数，为最小正周期 是周期函数，为最小正周期
对称性
对称中心(,0)2k 对称中心
(,0)
2
k
七、反三角函数的图像与性质
1. 反正弦与反余函数的图像与性质
函数
反正弦函数
arcsinyx
是sin,22yxx，的反函
数
反余弦函数
arccosyx
是cos0,yxx，的反函数
图像
定域义
值域
单调性
奇偶性 奇函数 非奇非偶
周期性 无 无
对称性
对称中心(0,0) 对称中心
(0,)
2
2. 反正切与反余切函数的图像与性质
函数
反正切函数arctanyx 是tan(,)22yxx，的反函数 反余切函数
arccotyx
是cot0,yxx，的反函数
图像
定域义
值域
单调性
奇偶性 奇函数 非奇非偶
周期性 无 无
对称性 对称中心（0，0） 对称中心（0，π/2）
二基本初等函数及其图像
移
用xh 代替x 是将图像右移h
个单位( h>0)，若h 为负数，则左
移．
第二节 初等函数及其图像
三、构建新函数
例
1. 平
已知 f (x) x3，试画出 2 f (x)
移 和 f (x) 2 的图像，并写出该函数的
图像向左平移 5 个单位所得图像的函
函 函数，设第一种产品的销售利润为
数 U1=f(t)，第二种产品的销售利润为 的 U2=g(t)， 则两种产品的实际利润
和 用函数符号表示即有
差
函数的和
U(t)= U1 +U2 =f(t) +g(t)
第二节 初等函数及其图像
三、构建新函数
函数和的定义
2.
函
两个函数的和是一个函数，其在
数 每一点的函数值都是两个函数在自变 的 量的相同取值点的函数值的和．
例 求函数 y x 的反函数. x2
第二节 初等函数及其图像
一、反函数
想一想
1.一个函数与其反函数的定义域及值域有
什么关系？
2.
f
1(
x)与
1 之间有没有关系？ f( x)
3. f 1( f( x))与f( f 1( x))各等于多少？
第二节 初等函数及其图像
二、基本初等函数及其图像
形如 y = x (R)的函数称为幂函数.
y arccos x的图像
4. 反 三 角 函 数 想一想 反余弦函数有什么性质?
第二节 初等函数及其图像
二、基本初等函数及其图像
y arctan x的图像
4. 反 三 角 函 数 想一想 反正切函数有什么性质?
(完整版)基本初等函数图像及性质大全(初中高中)
一、一次函数与二次函数 （一）一次函数一次k kxb k 0函数k ， bk 0k符号b 0b 0b 0b 0b 0b 0y y y y y y图象OxOxOx性质y 随 x 的增大而增大（二）二次函数（1）二次函数分析式的三种形式 O xOxOxy 随 x 的增大而减小①一般式： f ( x) ax 2 bx c(a0) ②极点式： f (x)a( x h) 2 k (a 0)③两根式： f ( x) a( x x 1)( x x 2 )(a 0)（ 2）求二次函数分析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的极点坐标或与对称轴相关或与最大（小）值相关时，常使用极点式．③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，采用两根式求 f (x) 更方便．（3）二次函数图象的性质f xax 2 bx c a0 a 0 a 0图像xbxb2 a2 a定义域,对称轴xb2a极点坐标b 4 ac b 22 a,4 a值域4 ac b 2,,4 acb 24 a4 a, b 递减, b递加2a 单一区间2 ab递加 b, 递减,2 a2 a①. 二次函数f ( x) ax2 bx c(a 0) 的图象是一条抛物线，对称轴方程为 x b , 极点坐标2a是 ( b , 4ac b2 )2a 4a②当 a 0 时，抛物线张口向上，函数在( , b] 上递减，在 [ b , ) 上递加，当 x b 2a 2a 2a4ac b20 时，抛物线张口向下，函数在( b] 上递加，在 [b)时， f min ( x) ；当 a , , 4a 2a 2a上递减，当x4ac b2b时， f max (x)4a．2a二、幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x 叫做幂函数，此中x 为自变量，是常数．（2）幂函数的图象过定点：全部的幂函数在(0,) 都有定义，而且图象都经过点(1,1)．三、指数函数（1）根式的观点：假如 x na, a R, x R, n 1，且 n N ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根．（2）分数指数幂的观点mna m (a①正数的 正分数指数幂 的意义是： a n 0, m, n N , 且 n 1) ．0 的正分数指数幂等于 0．m m1)m (a 0, m, n②正数的 负分数指数幂 的意义是： an(1)nn (N , 且 n 1) ．0 的负aa分数指数幂没存心义． （3）运算性质①a ra sa r s(a 0, , )r sa rs(a 0, r , s R)r s R ② ( a )③ (ab )rrb r( a 0, b 0, r )a R（4）指数函数函数名称指数函数定义函数 y a x( a且 a 1) 叫做指数函数a 10 a 1yy a xya xy图象y 1y 1(0,1)(0,1)OxOx定义域 R值域(0, )过定点图象过定点(0,1) ，即当 x 0 时， y 1．奇偶性非奇非偶单一性在 R 上是增函数 在 R 上是减函数a x1 ( x 0) a x 1 ( x 0) 函数值的 a x 1 ( x 0)a x1 ( x 0) 变化状况a xa x1 (x 0)1 ( x 0)a 变化对图象的影响 在第一象限内， a 越大图象越高；在第二象限内， a 越大图象越低．四、对数函数（1）对数的定义： ① 若a xN (a0, 且a1)，则 x 叫做以 a为底 N的对数，记作 x log a N ，此中 a 叫做底数， N 叫做真数．② 负数和零没有对数．③ 对数式与指数式的互化：x log a Na xN (a 0, a 1, N0) ．（2）几个重要的对数恒等式：log a 1 0 ， log a a 1， log a a bb ．（3）常用对数与自然对数常用对数： lg N ，即 log 10 N ；自然对数： ln N ，即 log e N （此中 ）． （4）对数的运算性质假如 a 0, a 1, M 0, N 0 ，那么①加法： log a M log a Nlog a (MN )②减法： log a M log a Nlog a MN③数乘： n log a M log a M n(n R)④alog aNN⑤ log bMnnlog a M ( b 0, n)⑥换底公式： loga logb N0, 且 b 1)abRN(blog b a（5）对数函数函数名称对数函数定义函数 y log a x( a 0 且 a 1) 叫做对数函数a 10 a 1yx 1yx 1y log a xy log a x图象(1,0)O (1,0)xOx定义域 (0, ) 值域R过定点 图象过定点 (1,0) ，即当 x1 时， y0 ．奇偶性非奇非偶单一性在 定义域 上是增函数 在 定义域 上是减函数log a x 0 ( x 1)log a x 0 ( x 1) 函数值的 log a x 0 ( x 1)log a x 0 ( x 1) 变化状况log a x 0 (0x 1)log a x0 (0 x 1)五、反函数 （1）反函数的观点设函数 yf (x) 的定义域为 A ，值域为 C ，从式子 yf ( x) 中解出 x ，得式子 x ( y) ．假如对于 y 在 C 中的任何一个值，经过式子x( y) ， x 在 A 中都有独一确立的值和它对应，那么式子 x( y) 表示 x 是 y 的函数， 函数 x( y) 叫做函数 y f (x) 的反函数， 记作 x f1( y) ，习惯上改写成 yf 1 ( x) ．（ 2）反函数的求法①确立反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式 y f ( x) 中反解出 xf 1 ( y) ；③将 x f1( y) 改写成 y f 1 (x) ，并注明反函数的定义域．（3）反函数的性质①原函数 yf ( x) 与反函数 y f1( x)的图象对于直线y x对称．②函数 yf (x) 的定义域、值域分别是其反函数 y f 1(x) 的值域、定义域．③若 P(a,b) 在原函数 y f ( x) 的图象上，则 P ' (b, a) 在反函数 y f1( x) 的图象上．④一般地，函数 yf ( x) 要有反函数则它一定为单一函数．六、三角函数的图像和性质 （一）正弦与余函数的图像与性质函数y cosxy sin x图像定域义 RR值域1,11,1最值x2k 时 ,y 最大 ， k Zx2k 时, y 最大，k Z112x2k 时, y 最小， Zx2k 时, y 最小 ，Z1 k1k2单一性在每个 [2 k, 2k ] 上递加 22在每个 [2k,32 k ] 上递减在每个 [ 2k ,2 k ]上递加在每个 [2 k ,2k ] 上递减奇偶性 奇函数偶函数周期性 是周期函数， 2 为最小正周期 是周期函数， 2 为最小正周期 对称性对称中心 (k ,0)，对称中心 (k ,0) ，2对称轴 : xk ,( k Z )对称轴 : x k ,( kZ )22. 正切与余切函数的图像与性质函数 图像y tan x y cot x定域义{ x | x R 且 xk ,k Z} { x | x R 且xk ,k Z}2值域 RR单一性在每个 (k ,k )上递加 在每个 ( k ,k )上递减2 2k Zk Z奇偶性 奇函数奇函数周期性 是周期函数， 为最小正周期是周期函数， 为最小正周期对称性对称中心 (k,0)对称中心 (k,0)2 2七、反三角函数的图像与性质1.反正弦与反余函数的图像与性质反正弦函数yarcsin x 反余弦函数 y arccosx函数是y cos x， x 0, 的反函数ysin x ， x ,2是 2 的反函数图像定域义1,1 1,1值域,2 0,2单一性在[ 1, 1]上递加在[ 1, 1]上递减奇偶性奇函数非奇非偶周期性无无对称性对称中心(0,0) 对称中心 (0, )2 2.反正切与反余切函数的图像与性质函数arctan x 反余切函数 y arccot x反正切函数 y是y tan x， x ( , ) 的反函数是y cot x， x 0,的反函数2 2图像定域义( , , ) ( , , )值域2 2 0,,单一性在 ( , , )上递加在( , , )上递减奇偶性奇函数非奇非偶周期性无无对称性对称中心（ 0， 0）对称中心（0，π /2）。
五大基本初等函数性质及其图像
五、基本初等函数及其性质和图形之巴公井开创作时间：二O二一年七月二十九日1.幂函数函数称为幂函数.如,,,都是幂函数.没有统一的界说域,界说域由值确定.如,.但在内总是有界说的,且都经过（1,1）点.当时,函数在上是单调增加的,那时,函数在内是单调减少的.下面给出几个经常使用的幂函数：的图形,如图1-1-2、图1-1-3.图1-1-2图1-1-32.指数函数函数称为指数函数,界说域,值域；那时函数为单调增加的；当时为单调减少的,曲线过点.高等数学中经常使用的指数函数是时,即.以与为例绘出图形,如图1-1-4.图1-1-43.对数函数函数称为对数函数,其界说域,值域.那时单调增加,那时单调减少,曲线过（1,0）点,都在右半平面内. 与互为反函数.那时的对数函数称为自然对数,那时,称为经常使用对数.以为例绘出图形,如图1-1-5.图1-1-54.三角函数有,它们都是周期函数.对三角函数作简要的叙述：（１）正弦函数与余弦函数：与界说域都是,值域都是.它们都是有界函数,周期都是,为奇函数,为偶函数.图形为图1-1-6、图1-1-7.图1-1-6 正弦函数图形图1-1-7 余弦函数图形（２）正切函数,界说域,值域为.周期,在其界说域内单调增加的奇函数,图形为图1-1-8图1-1-8（３）余切函数,界说域,值域为,周期.在界说域内是单调减少的奇函数,图形如图1-1-9.图1-1-9（４）正割函数,界说域,值域为,为无界函数,周期的偶函数,图形如图1-1-10.图1-1-10（５）余割函数,界说域,值域为,为无界函数,周期在界说域为奇函数,图形如图1-1-11.图1-1-115.反三角函数反正弦函数,界说域,值域,为有界函数,在其界说域内是单调增加的奇函数,图形如图1-1-12；图1-1-12反余弦函数,界说域为[-1,1],值域为,为有界函数,在其界说域内为单调减少的非奇非偶函数,图形如图1-1-13；图1-1-13反正切函数,界说域,值域为,为有界函数,在界说域内是单调增加的奇函数,图形如图1-1-14；图1-1-14反余切函数,界说域为,值域,为有界函数,在其界说域内单调减少的非奇非偶函数.图形如图1-1-15.图1-1-15时间：二O二一年七月二十九日。
基本初等函数图像及性质小结
为高等数学小结的——基本初等函数1.函数的五个要素：自变量，因变量，定义域，值域，对应法则2.函数的四种特性：有界限，单调性，奇偶性，周期性复习的时候一定要从这四个方面去研究函数。
3.每个函数的图像很重要. 幂函数(a为实数)定义域：随a的不同而不同，但无论a取什么值，x^a在内总有定义。
值域：随a的不同而不同有界性：单调性：若a>0,函数在内单调增加；若a<0,函数在内单调减少。
奇偶性：要知道这些函数那些事奇函数，那些是偶函数周期性：每种函数的图像.. 指数函数定义域：值域：有界性：单调性：若a>1 函数单调增加；若0<a<1 函数单调减少奇偶性：周期性：注意：图形过（0，1）点暨 a^0=1 直线y=0为函数图形的水平渐近线今后用的较多这个函数的图形，性质要记清楚1、. 对数函数1、定义域：值域：有界性：单调性：a>1时，函数单调增加；0<a<1时，函数单调减少奇偶性：周期性：主要性质：与指数函数互为反函数，图形过（1，0）点，直线x=0为函数图形的铅直渐近线e=2.7182……，无理数经常用到以e为底的对数. 三角函数强调：图像定义域：值域：[-1,1]有界性：[-1,1] 有界函数单调性：（-T/2,T/2）单调递增奇偶性：奇函数周期性：以为周期的周期函数；定义域：值域：[-1,1] 有界性：[-1,1] 有界函数单调性：奇偶性：偶函数周期性：定义域：值域：有界性：单调性：奇偶性：奇函数周期性：，定义域：值域：有界性：单调性：奇偶性：奇函数周期性：，. 反三角函数定义域： [-1,1] 值域：有界性：单调性：单调增加奇偶性：奇函数周期性：---定义域值域：定义域： [-1,1] 值域：有界性：单调性：单调减少奇偶性：周期性：---定义域定义域：值域：有界性：单调性：单调增加奇偶性：奇函数周期性：---定义域定义域：值域：有界性：单调性：单调减少；奇偶性：周期性：以上是五种基本初等函数，关于它们的常用运算公式都应掌握。
(完整)(考研高数)基本初等函数图像与性质
（高数）基本初等函数图像与性质1.函数的五个要素：自变量，因变量，定义域，值域，对应法则2.函数的四种特性：有界限，单调性，奇偶性，周期性3.每个函数的图像很重要一、幂函数 a x =y (a 为常数）最常见的几个幂函数的定义域及图形1.当a 为正整数时，函数的定义域为区间(,)x ∈-∞+∞，他们的图形都经过原点，并当a>1时在原点处与x 轴相切。
且a 为奇数时，图形关于原点对称；a 为偶数时图形关于y 轴对称；2.当a 为负整数时。
函数的定义域为除去x =0的所有实数。
3.当a 为正有理数m n 时，n 为偶数时函数的定义域为(0,)+∞，n 为奇数时函数的定义域为(,)-∞+∞。
函数的图形均经过原点和(1,1)；如果m n >图形于x 轴相切,如果m n <,图形于y 轴相切,且m 为偶数时,还跟y 轴对称;m，n均为奇数时,跟原点对称。
4.当a为负有理数时,n为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数；n为奇数时,定义域为去除x=0以外的一切实数。
二、指数函数xay=(a是常数且01a a>≠，)，),(+∞-∞∈x图形过（0，1）点，a>1时，单调增加；0<a<1时，单调减少。
今后用的较多。
三、对数函数xyalog=(a是常数且01a a>≠，)，(0,)x∈+∞；四、三角函数正弦函数 x y sin =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ， 余弦函数 x y cos =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ，正切函数 x y tan =，2ππ+≠k x ，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ，余切函数 x y cot =，πk x ≠，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ；五、反三角函数 反正弦函数 x y arcsin =， ]1,1[-∈x ，]2,2[ππ-∈y ， 反余弦函数 x y arccos =，]1,1[-∈x ，],0[π∈y ，反正切函数xy arctan=，),(+∞-∞∈x，)2,2(ππ-∈y，反余切函数xy cotarc=，),(+∞-∞∈x，),0(π∈y．Αα：阿尔法Alpha Ββ：贝塔BetaΓγ：伽玛Gamma Δδ：德尔塔DelteΕε：艾普西龙Epsilon ζ ：捷塔Zeta Ζη：依塔Eta Θθ：西塔Theta Ιι：艾欧塔IotaΚκ：喀帕Kappa ∧λ：拉姆达LambdaΜμ：缪Mu Νν：拗NuΞξ：克西Xi Οο：欧麦克轮Omicron∏π：派Pi Ρρ：柔Rho∑σ：西格玛Sigma Ττ：套TauΥυ：宇普西龙Upsilon Φφ：fai PhiΧχ：器Chi Ψψ：普赛PsiΩω：欧米伽Omega。
基本初等函数知识点
基本初等函数知识点一、引言在数学中，初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）以及复合运算得到的函数。
基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数以及反三角函数。
本文将详细介绍这些基本初等函数的定义、性质和图像。
二、常数函数定义：常数函数 \( f(x) = c \)，其中 \( c \) 是一个实数常数。
性质：常数函数的图像是一条平行于 \( x \) 轴的直线，其所有点的函数值都等于常数 \( c \)。
图像：见附录图1。
三、幂函数定义：幂函数 \( f(x) = x^n \)，其中 \( n \) 是实数。
性质：幂函数的性质取决于指数 \( n \) 的值。
当 \( n \) 为正整数时，函数图像是 \( n \) 次幂的曲线；当 \( n \) 为负整数时，函数图像是倒数的幂函数曲线。
图像：见附录图2。
四、指数函数定义：指数函数 \( f(x) = a^x \)，其中 \( a > 0 \) 且 \( a\neq 1 \)。
性质：指数函数的底数 \( a \) 决定了函数图像的形状。
当 \( a > 1 \) 时，函数是增长的；当 \( 0 < a < 1 \) 时，函数是衰减的。
图像：见附录图3。
五、对数函数定义：对数函数 \( f(x) = \log_a(x) \)，其中 \( a > 0 \) 且\( a \neq 1 \)。
性质：对数函数是指数函数的逆函数。
当 \( a > 1 \) 时，函数是单调增加的；当 \( 0 < a < 1 \) 时，函数是单调减少的。
图像：见附录图4。
六、三角函数1. 正弦函数 \( \sin(x) \)2. 余弦函数 \( \cos(x) \)3. 正切函数 \( \tan(x) \)定义：这些函数与单位圆上的点的坐标有关。
性质：三角函数具有周期性，它们的周期为 \( 2\pi \)。
基本初等函数图像与性质大全初中高中资料全
①原函数 与反函数 的图象关于直线 对称．
②函数 的定义域、值域分别是其反函数 的值域、定义域．
③若 在原函数 的图象上，则 在反函数 的图象上．
④一般地，函数 要有反函数则它必须为单调函数．
六、三角函数的图像和性质
（一）正弦与余函数的图像与性质
函数
图像
定域义
R
R
值域
最值
单调性
奇偶性
③数乘： ④
⑤ ⑥换底公式：
（5）对数函数
函数名称
对数函数
定义
函数 且 叫做对数函数
图象
定义域
值域
过定点
图象过定点 ，即当 时， ．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在定义域上是增函数
在定义域上是减函数
函数值的
变化情况
变化对图象的影响
在第一象限， 越大图象越靠低；在第四象限， 越大图象越靠高．
五、反函数
（1）反函数的概念
奇函数
偶函数
周期性
是周期函数，2 为最小正周期
是周期函数，2 为最小正周期
对称性
对称中心 ，
对称中心 ，
2.正切与余切函数的图像与性质
函数
图像
定域义
值域
R
R
单调性
奇偶性
奇函数
奇函数
周期性
是周期函数， 为最小正周期
是周期函数， 为最小正周期
对称性
对称中心
对称中心
七、反三角函数的图像与性质
1.反正弦与反余函数的图像与性质
②正数的负分数指数幂的意义是： 且 ．0的负分数指数幂没有意义．
（3）运算性质
① ②
③
基本初等函数的图象、性质及变换
华林课辅知识归纳专区:基本初等函数的图象、性质及变换一、问题的提出要学习函数图像的变换首先应掌握基本初等函数的图像及性质，在此基础上，进一步学习函数图象的变换。
挖掘中学数学教材,基本初等函数可归纳为十五个，函数的图像变换包括四类十二种。
教学中特别是高考复习中，教师对这部分知识进行系统梳理，恰当整合相关知识，将十分有利于学生对知识的理解和掌握。
二、十五个基本初等函数及四类十二种图象变换⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧正切型函数余弦型函数正弦型函数正切函数余弦函数正弦函数三角函数类轴方向上的伸缩变换轴方向上的伸缩变换伸缩变换对称关于直线对称关于直线轴对称关于关于直线对称）对称关于点（关于原点对称关于点对称对称变换称保右方左方关于右方对保上方下方调上方局部翻折变换整体翻折变换翻折变换轴方向的平移变换沿轴方向的平移变换沿平移变换函数图像变换对勾函数三次函数幂函数对数函数指数函数二次函数一次函数反比例函数正比例函数非三角函数类基本初等函数.15.14.13.12.11.10y x .4,.3.2.1.2.9.8.7.6.5.4.3.2.1.1a x x y Y b a y x二、十五个基本初等函数的图象及性质函数名表达式定义域值域单调性奇偶性对称性周期恒过点图象1、正比例函数y kx=x R∈y R∈k>增k<减奇函数关于原点对称无()0,02、反比例函数kyx=x R∈且x≠y R∈且0y≠k>减k<增奇函数关于原点对称无无3、一次函数y kx b=+x R∈y R∈k>增k<减无直线上的点均为对称点无()0,b4、二次函数2y ax bx c=++()0a≠x R∈a>时24[,)4ac bya-∈+∞；a<时，24(,]4ac bya-∈-∞a>时，在对称轴左侧减，右侧增；0a<时，在对称轴的左側增，右側减b=时，为偶函数关于直线2bxa=-对称无过点()0,c和顶点24,24b ac ba a⎛⎫-- ⎪⎝⎭5、指数函数xy a=（0a>且1a≠）x R∈0y>1a>，增；01a<<，减无无无()0,16、对数函数log xay=（0a>且1a≠）x>y R∈1a>，增；01a<<，减无无无()1,07、幂函数ny x=1,3,5 (21)n k=+x R∈y R∈在R上单调递增奇函数关于原点对称无过点()1,1 2,4,6 (2)n k=x R∈y≥](,0-∞上减；()0,+∞上增偶函数关于y轴对称无过点(0,0),(1,1)111,...242n k=0x ≥0y ≥()0,+∞上增无 无 无过点(0,0),(1,1)111,...3521n k =+x R ∈y R ∈(),-∞+∞单调增函数奇函数 关于原点对称 无过点(0,0),(1,1)1,3...12n k=----0x ≠y R ∈且 0y ≠()(),0,0,-∞+∞上单调递减奇函数 关于原点对称 无过点()1,12, 4...2n k=---0x ≠0y >)(,0-∞上增；()0,+∞上减偶函数关于y 轴对称无过点()1,18、正弦函数sin y x =x R ∈[]1,1y ∈-2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上增；32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上减 奇函数对称中心(),0k π对称轴2x k ππ=+()k Z ∈2π过点()0,09、余弦函数cos y x =x R ∈[]1,1y ∈-[]2,2k k πππ-上增；[]2,2k k πππ+上减偶函数对称中心,02k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭对称轴x k π=2π过点()0,110正切函数tan y x =x R ∈且2x k ππ≠+y R ∈定义域上的单调增函数 奇函数对称中心,02k π⎛⎫⎪⎝⎭，渐近线2x k ππ=+π过点()0,011三次函数32y ax bx cx d =+++(0)a ≠x R ∈y R ∈若0a >且230b ac -<时，函数在定义域上单调增 ；若0a <且230b ac -<时，函数在定义域上单调减b c ==时，为偶函数；b d ==时， 为奇函数为奇函数时关 于原点对称， 为偶函数时关 于y 轴对称无无若20,30a b ac >->且，max 1()()f x f x =，min 2()()f x f x =则函数在()1,x -∞和()2,x +∞上增，在无可以是点对称无无()12,x x 上减若20,30a b ac <->且，max 2()()f x f x =，min 1()()f x f x =则函数在()1,x -∞和()2,x +∞上减，在()12,x x 上增无可以是点对称无无12对勾函数by ax x=+(0)ab >x R ∈且 0x ≠(,2ab ⎤-∞-⎦)2,ab ⎡+∞⎣若0a>且0b >，,b a ⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭和(,)ba +∞增； (,0)ba -和(0,)b a减 奇函数关于原点对称无过点(,2)bab a和(,2)bab a--若0a <且0b <，,b a ⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭和(,)ba +∞减； (,0)ba -和(0,)b a增 奇函数 关于原点对称 无 过点 (,2)bab a-和(,2)bab a-13正弦型函数sin()y A x b ωϕ=++(0)ω>x R ∈[],y A b A b ∈-++22,k x ππϕω⎡--⎢∈⎢⎢⎣22k ππϕω⎤+-⎥⎥⎥⎦单调增；22,k x ππϕω⎡+-⎢∈⎢⎢⎣322k ππϕω⎤+-⎥⎥⎥⎦单调减0,b =2k ϕπ=时为奇函数；(21)2n πϕ+=()n Z ∈时为偶函数对称轴：2k x ππϕω+-=对称中心：(,)k b πϕω-max min2y y A -=maxmin 2y y b += 2πω无14余弦型函数cos()y A x b ωϕ=++(0)ω>x R ∈[],y A b A b ∈-++2,k x ππϕω--⎡∈⎢⎣2k πϕω-⎤⎥⎦单调增；2,k x πϕω-⎡∈⎢⎣2k ππϕω+-⎤⎥⎦单调减k ϕπ=时，为偶函数；0,b =(21)2n πϕ+=()n Z ∈时为奇函数对称轴：k x πϕω-=对称中心：2(,)k b ππϕω+-max min2y y A -=maxmin 2y y b +=2πω无基本初等函数的性质研究应包括:定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、恒过点、极值和最值等。
基本初等函数性质&图像
基本初等函数. 幂函数(a为实数)要记住最常见的几个幂函数的定义域及图形.. 指数函数定义域：，值域：，图形过（0，1）点，a>1时，单调增加；a时，单调减少。
今后用的较多。
. 对数函数定义域：，值域：，与指数函数互为反函数，图形过（1，0）点，a>1时，单调增加；a<1时，单调减少。
. 三角函数，奇函数、有界函数、周期函数；，偶函数、有界函数、周期函数；，的一切实数，奇函数、周期函数，的一切实数，奇函数、周期函数；，. 反三角函数；；；。
以上是五种基本初等函数，关于它们的常用运算公式都应掌握。
注：（1）指数式与对数式的性质由此可知，今后常用关系式，如：（2）常用三角公式复合函数设y是u的函数，，而u是x的函数，如果，则称为由和复合而成的复合函数，u 叫中间变量。
注：（1）的定义域或者和的定义域相同，或者只是的定义域的一部分，并且不是任何两个函数都可以构成复合函数。
如：,则的定义域是,是的定义域的一部分，不能构成复合函数。
例 1 设的定义域是[0，1]，求的定义域。
解所以的定义域为（2）复合函数也可以由更多个函数复合而成。
如：，则要求：能够判断一个复合函数是由哪些简单函数符合而成的，这一点对今后的学习非常重要，方法是：从外向里，层层剥皮。
例2判断下列函数是由那些简单函数复合而成的（1）（2）（3）（4）解（1）（2）（3）（4）初等函数由基本初等函数和常数经过有限次的四则运算及有限次复合构成的能用一个解析式表出的函数叫初等函数。
说明：一般情况下，大多数分段函数不是初等函数，但能用一个解析式表达的分段函数仍为初等函数。
双曲函数与反双曲函数双曲正弦：，奇函数，单调增函数；双曲余弦：，偶函数，时，单调减，时，单调增；双曲正切：，奇函数，单调增函数。
函数的图形见书P27~P28。
下面公式成立，，，。
反双曲正弦反双曲余弦，反双曲正切函数图形的变换平移①由的图形，作的图形。
图形右移，，图形左移。
基本初等函数图像总结
基本初等函数图像总结初等函数是数学中最基本的函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等等。
这些函数的图像是我们在数学学习中最常见和重要的部分之一，通过对这些函数图像的了解，我们可以更好地理解函数的性质和变化。
1. 常数函数常数函数是最简单的函数之一，它的定义域和值域都是一个常数。
常数函数的图像是一条平行于x轴的直线，表示函数的值始终保持不变。
例如，函数f(x) = 2是一个常数函数，其图像是一条平行于x轴且与x轴之间的距离为2的直线。
2. 幂函数幂函数是形如f(x)=x n的函数，其中n可以是任意实数。
幂函数的图像取决于n的值。
当n为正偶数时，幂函数的图像是一个以原点为中心的开口向上的抛物线。
当n为负偶数时，幂函数的图像是一个以原点为中心的开口向下的抛物线。
当n为奇数时，幂函数的图像是一个经过原点且在第一和第三象限之间变化的曲线。
3. 指数函数指数函数是形如f(x)=a x的函数，其中a是一个正常数。
指数函数的图像是一条曲线，其在y轴上的截距为1。
当a大于1时，指数函数的图像是一个逐渐增长并趋近于正无穷的曲线。
当0小于a小于1时，指数函数的图像是一个逐渐递减并趋近于0的曲线。
4. 对数函数对数函数是指数函数的反函数，即$y = \\log_a(x)$。
对数函数的图像是指数函数的反转，当a大于1时，对数函数的图像是一个逐渐增长但增长速度越来越慢的曲线。
当0小于a小于1时，对数函数的图像是一个逐渐递减但递减速度越来越慢的曲线。
对数函数的值表示指数函数中x的幂。
5. 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
这些函数在数学中具有重要的应用，特别是在几何学和物理学中。
正弦函数和余弦函数的图像是周期性的曲线，它们都在y轴和-1之间变化。
正弦函数的图像在0到2π之间波动，而余弦函数的图像在0到2π之间波动但相位差为π/2。
正切函数的图像是在无穷多个点上存在无穷多个垂直渐近线的曲线。