近世代数知识点
近世代数知识点
第一章基本概念
1.1集合
●A的全体子集所组成的集合称为A的幂集，记作2A.
1.2映射
●证明映射：
●单射：元不同，像不同；或者像相同，元相同。
●满射：像集合中每个元素都有原像。
Remark：映射满足结合律！
1.3卡氏积与代数运算
●{（a,b）∣a∈A,b∈B }此集合称为卡氏积，其中（a,b）为有序元素对，所以一般A*B
不等于B*A.
●集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。
1.4等价关系与集合的分类
★等价关系：1 自反性：∀a∈A,a a;
2 对称性：∀a,b∈R, a b=>b a∈R;
3 传递性：∀a,b,c∈R,a b,b c =>a c∈R.
Remark：对称+传递≠自反
★一个等价关系决定一个分类，反之，一个分类决定一个等价关系
★不同的等价类互不相交，一般等价类用[a]表示。
第二章群
2.1 半群
1.半群=代数运算+结合律，记作（S,）
Remark: i.证明代数运算：任意选取集合中的两个元素，让两元素间做此运算，观察运算后的结果是否还在定义的集合中。
ii.若半群中的元素可交换，即a b=b a,则称为交换半群。
2.单位元
i.半群中左右单位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能
都不存在；若都存在，则左单位元=右单位元=单位元。
ii.单位元具有唯一性，且在交换半群中：左单位元=右单位元=单位元。
iii.在有单位元的半群中，规定a0=e.
3.逆元
i.在有单位元e的半群中，存在b,使得ab=ba=e,则a为可逆元。
ii.逆元具有唯一性，记作a-1且在交换半群中，左逆元=右逆元=可逆元。
iii.若一个元素a既有左逆元a1，又有右逆元a2，则a1=a2,且为a的逆
元。
4.子半群
i.设S是半群，≠T S,若T对S的运算做成半群，则T为S的一个
子半群
ii.T是S的子半群∀a,b T,有ab T
2.2 群
1．群=半群+单位元+逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元
Remark：i. 若代数运算满足交换律，则称为交换群或Abel群.
ii. 加群=代数运算为加法+交换群
iii.单位根群Um={m=1},数域P上全体n阶可逆（满秩）矩阵集合GL(n,P),数域P上全体n阶的行列式为1的矩阵集合
SL(n,p).
2. 群=代数运算+结合律+左（右）单位元+左（右）逆元
=代数运算+结合律+单位元+逆元
=代数运算+结合律+∀a,b G,ax=b,ya=b有解
3. 群的性质
i. 群满足左右消去律
ii.设G是群，则∀a,b G,ax=b,ya=b在G中有唯一解
iii.e是G单位元 e2=e
iv.若G是有限半群，满足左右消去律，则G是一个群
4. 群的阶
群G的阶，即群G中的元素个数，用表示。
若为无限群，则=。
Remark：i.克莱因四元群是一个Abel群
ii.四阶群只有克莱因四元群和模4的剩余类群
2.3元素的阶
1. 定义：设G是一个群，a G,使得am=e成立的最小正整数m称为元素a的阶，记作=m;若m不存在，则
2. 阶的性质
①G是一个群，a G,=m,
i.a n=e m n;
ii.a h=a k m;
iii.e=a0,a1,a2,……a m-1两两不同；
iv.★∀r Z,a r=
Remark:i. ∀r Z,a r=m(m,r)=1;
ii.若m=st,s,t N,则a s=t.
②，
i.a n=e n=0;
ii.a h=a k;
iii.……a-2,a-1,a0,a1,a2……两两不等
iv.∀r Z\{0},a r=.
Remark:若a<,b<,则ab<？……（）
●定理：有限群中的元素的阶均有限。
Remark：定理的逆不成立，即群中所有的元素的阶都有限，但群不一定是有限群，例如n次单位根群。
单位根群是一个无限交换群。
3. ★★循环群
定义：设G是群，若在G中存在一个元素a，使得G中的任意元素都是a 的幂，则称该群为循环群，a为该循环群的生成元。
记G=(a). Remark:生成元不一定唯一，例如（Z,+）,1，-1都是生成元。
●定理：设G=（a）是一个循环群，
（1）若,则G是含m个元素的有限群，且G={a0,a1,a2……a m-1}；
（2）若，则G是无限群，且G={……a-2,a-1,a0,a1,a2……}.
●定理：设G=（a）是一个循环群，
（1）若,则G有(m)个生成元：a r ,(r,m)=1
（2）若，则G有两个生成元：a,a-1
（3）若,ar是G的生成元a r=m;
（4）设p是素数，则P阶循环群G=(a)有p-1个生成元：a,a2……a p-1
Remark：(m)表示小于m，且与m互素的非负整数的个数
素数阶群一定是循环群。
★定理：设G是m阶群,则 G是循环群G有m阶元
2.4 子群
定义：设G是半群，≠H G,若H对G的运算构成群，则称H是G的子群，记为H G.
1.子群的性质
（1）传递性：H K，K G，则H G;
（2）保单位元：设H G，a H,则e
H =e
G;
（3）保逆元：设H G，a H,则a-1
H =a-1
G
.
★定理：设G是半群，≠H G, H G∀a,b H,有ab,a-1H∀a,b H,ab-1H。
近世代数知识点教学文稿
近世代数知识点近世代数知识点第一章基本概念1.1集合●A的全体子集所组成的集合称为A的幂集，记作2A.1.2映射●证明映射：●单射：元不同，像不同；或者像相同，元相同。
●满射：像集合中每个元素都有原像。
Remark：映射满足结合律！1.3卡氏积与代数运算●{（a,b）∣a∈A,b∈B }此集合称为卡氏积，其中（a,b）为有序元素对，所以一般A*B不等于B*A.●集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。
1.4等价关系与集合的分类★等价关系：1 自反性：∀a∈A,a a;2 对称性：∀a,b∈R, a b=>b a∈R;3 传递性：∀a,b,c∈R,a b,b c =>a c∈R.Remark：对称+传递≠自反★一个等价关系决定一个分类，反之，一个分类决定一个等价关系★不同的等价类互不相交，一般等价类用[a]表示。
第二章群2.1 半群1.半群=代数运算+结合律，记作（S,）Remark: i.证明代数运算：任意选取集合中的两个元素，让两元素间做此运算，观察运算后的结果是否还在定义的集合中。
ii.若半群中的元素可交换，即a b=b a,则称为交换半群。
2.单位元i.半群中左右单位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能都不存在；若都存在，则左单位元=右单位元=单位元。
ii.单位元具有唯一性，且在交换半群中：左单位元=右单位元=单位元。
iii.在有单位元的半群中，规定a0=e.3.逆元i.在有单位元e的半群中，存在b,使得ab=ba=e,则a为可逆元。
ii.逆元具有唯一性，记作a-1且在交换半群中，左逆元=右逆元=可逆元。
iii.若一个元素a既有左逆元a1，又有右逆元a2，则a1=a2,且为a的逆元。
4.子半群i.设S是半群，≠T S,若T对S的运算做成半群，则T为S的一个子半群ii.T是S的子半群a,b T,有ab T2.2 群1．群=半群+单位元+逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元Remark：i. 若代数运算满足交换律，则称为交换群或Abel群.ii. 加群=代数运算为加法+交换群iii.单位根群Um={m=1},数域P上全体n阶可逆（满秩）矩阵集合GL(n,P),数域P上全体n阶的行列式为1的矩阵集合SL(n,p).2. 群=代数运算+结合律+左（右）单位元+左（右）逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元=代数运算+结合律+∀a,b G,ax=b,ya=b有解3. 群的性质i. 群满足左右消去律ii.设G是群，则∀a,b G,ax=b,ya=b在G中有唯一解iii.e是G单位元⇔ e2=eiv.若G是有限半群，满足左右消去律，则G是一个群4. 群的阶群G的阶，即群G中的元素个数，用表示。
近世代数(复习duo)
6、等价关系，举例说明。
【定义】设 R 是某个集合上的一个二元关系。若满足以下条件： （1）自反性： ∀x ∈ A ， xRx ； （2）对称性： ∀x, y ∈ A ， xRy ⇒ yRx ；
〖例子〗
G 是全体整数的集合， G 对于普通加法来说作成一个群。 G 是所有不等于零的整数的集合， G 对于普通乘法来说不作成一个群。（不满足 4） G 是全体不等于零的有理数的集合，那么 G 对于普通乘法来说作成一个群。 G 是全体整数的集合， G 对于普通减法来说不作成一个群。（不满足 2） 4、什么是一个群 G 的生成元，给出一个子集合会判断该子集是不是子群。 【定义】若一个群 G 的每一个元都是 G 的某一个固定元 a 的乘法，我们就把 G 叫做循环群；我们也说， G 是由 a 所生成的，并且用符号 G = (a) 表示。 a 叫做 G 的一个生成元。 【定义】一个群 G 的一个子集 H 叫做 G 的一个子群，假如对于 G 的乘法来说做成一个群。一个群 G 的一 个不空子集 H 做成 G 的一个子集的充分必要条件是： （1） a,b ∈ H ⇒ ab ∈ H ； （2） a ∈ H ⇒ a−1 ∈ H ； （3） a, b ∈ H ⇒ ab−1 ∈ H 。
【定义】一个集合 A 的代数运算 适合结合律，假如对于 A 的任何三个元 a, b, c 来说，都有：
(a b) c = a (b c) 。
〖例子〗
（1） A = {所有不等于零的实数} ， 是普通除法，a b = a / b ，这个运算 不适合结合律。(4 / 2) / 2
(完整版)近世代数复习知识点
一、二、(45分)
单项选择题和填空题的知识点:
1.
任何有限群G 的子群H 的阶数是G 阶数的因子 2.
任何素数阶数的群是循环群，而循环群是交换群 3.
群的定义是什么？给出一些集合和集合上的运算，能判断集合关于运算是不是群。
4.
什么是一个群G 的生成元，给出一个子集合会判断该子集是不是子群。
5. 什么叫做结合律？给出一个集合和集合上的运算，会判断该运算是不是可结合的。
6. 已知群G 的元素a 的阶是n, 那么m a 的阶是(,)
n n m 。
7. 环、整环、除环、域的定义。
8. 什么是单位元，什么是一个元的逆元素，单位元和一个元素的逆元素唯一吗？
9. 什么叫做一个群的左、右陪集， 有限群的左、右陪集的个数是什么关系？
10. 环无零因子是什么意思？
11. 无零因子的特征是什么意思？
12. 有限群G 的任何元素的阶数都是G 阶数的因子。
13. 集合的直积是怎么定义的。
14. 循环群的子群是循环群吗？
15. 一个集合可以和其真子集建立一一对应吗?
三、问答题知识点（25分）
1. 正规子群,举例说明
2. 循环群, 举例说明
3. 有限域,举例说明
5 . 群的左、右陪集，举例说明
6. 原根，举例说明
7. 等价关系，举例说明
8. 系统同态，举例说明
9. 检错和纠错
10.理想和商环
四、证明题知识点（30分）
1. lagrange 定理。
P .69
2. 例1. P .94
3. 定理1 p.72
4. 定理 p.88。
近世代数——精选推荐
近世代数⽬录基本概念元素。
集合。
空集合。
⼦集 。
真⼦集 。
A =B ⟺A ⊆B ∧B ⊆A 。
幂集：⼀个集合所有⼦集组成的集合， P (A ) 。
交集。
并集。
性质：幂等性；交换律；结合律；⼆者之间有分配律。
关系：M ×M 的⼦集。
即 ∀a ,b ∈M ，法则 R 可以确定 a 和 b 符合/不符合这个法则。
记做 aRb 和 a ¯R b 。
等价关系：满⾜⾃反性（∀a ∈M ,aRa ）、对称性（ aRb ⇔bRa ）和传递性（ aRb ,bRc ⇒aRc ）的关系，⽤ ∼ 表⽰，即 a ∼b 。
分类：把集合 M 的全体元素分为若⼲互不相交的⼦集。
每个分类与⼀个等价关系⼀⼀对应。
映射：集合 A ,B ，有⼀个 法则 φ 使得所有的 x ∈A 存在唯⼀的 y ∈B 与之对应。
记作 φ:x ⟶y 或 y =φ(x ) 。
y 叫做 x 在映射 φ 下的像，把 x 叫做 y 在映射 φ 下的原像或逆像。
满射：B 中每个元素在 A 中都有原像。
单射：A 中不同的元素在 B 中像不同。
双射：满射+单射。
逆映射：只有双射才有逆映射，记为 φ−1 。
有限集合满⾜ |A |=|B | 且 φ 是 A 到 B 的⼀个映射，则 φ 是满射 ⟺ φ 是单射；推论：得出 φ 是双射。
相等映射 ： A 到 B 的映射 σ 和 τ 满⾜ ∀x ∈A ,σ(x )=τ(x ) 。
映射合成/映射乘法： τ:A ⟶B ,σ:B ⟶C ，则 x ⟶σ(τ(x ))(∀x ∈A ) 是 A 到 C 的⼀个映射，记为 στ(x ) 。
代数运算：集合 M 的对应法则 M ×M ⟶M ，即任意两个有次序的元素 a 和 b 有唯⼀确定的元素 d 与它们对应。
代数系统：有代数运算的集合。
（注意代数运算的封闭性。
即 d ∈M ）。
⽤“乘法表”法表⽰有限集合的代数运算时，注意每列⾏⾸（第⼀列）是参与运算第⼀个元素，每列列⾸（第⼀⾏）是第⼆个元素。
近世代数知识点
近世代数知识点近世代数，又称抽象代数，是数学的一个重要分支，它为许多其他数学领域提供了基础和工具。
下面让我们一起来了解一些近世代数的关键知识点。
首先是群的概念。
群是近世代数中最基本的结构之一。
简单来说，一个群就是一个集合 G 以及定义在这个集合上的一种运算“”，满足一些特定的条件。
比如，对于集合中的任意两个元素 a 和 b，运算的结果ab 仍然属于这个集合；存在一个单位元 e，使得对于任意元素 a，都有ae ＝ ea ＝ a；对于每个元素 a，都存在一个逆元 a^（－1)，使得 aa^（－1) ＝ a^（－1)a ＝ e。
群的例子在生活中也有不少，比如整数集合在加法运算下构成一个群。
环也是近世代数中的重要概念。
一个环 R 是一个集合，上面定义了两种运算：加法“＋”和乘法“·”。
加法满足交换律、结合律，有零元，每个元素都有相反数；乘法满足结合律；乘法对加法满足分配律。
常见的环有整数环、多项式环等。
接下来是域。
域是一种特殊的环，它要求非零元素对于乘法运算构成一个群。
比如有理数域、实数域和复数域。
同态和同构是近世代数中用来比较不同代数结构的重要工具。
同态是指两个代数结构之间存在一种保持运算的映射。
如果这个映射还是一一对应的，那就是同构。
同构的两个代数结构在本质上可以看作是相同的。
在近世代数中，子群、子环和理想也具有重要地位。
子群是群的一个子集，在原来的运算下也构成群；子环是环的一个子集，在原来的两种运算下也构成环；理想则是环中的一个特殊子集，对于环中的乘法和加法有特定的性质。
再来说说商群和商环。
以商群为例，给定一个群 G 和它的一个正规子群N，就可以构造出商群G/N。
商群中的元素是由N 的陪集构成的。
近世代数中的重要定理也不少。
比如拉格朗日定理，它对于理解群的结构和性质非常有帮助。
该定理指出，子群的阶整除群的阶。
最后，我们谈谈近世代数的应用。
在密码学中，群和环的理论被广泛用于加密和解密算法的设计。
近世代数笔记
近世代数笔记世代数，也称为代数学，是数学中的一个重要分支，研究代数结构及其上的操作。
在近代数学发展中，代数学作为数学的基础学科，发挥着重要作用。
以下是一些关于近世代数的笔记：一、代数结构代数结构是代数学中的一个重要概念，指具有某种代数运算的数学结构。
常见的代数结构包括群、环、域等。
群是一种具有封闭性、结合律、单位元和逆元的代数结构；环是一种具有加法和乘法运算的代数结构；域是一种具有加法、乘法、单位元和逆元的代数结构。
研究代数结构可以帮助我们更深入地理解数学中的抽象概念和结构。
二、线性代数线性代数是代数学的一个重要分支，研究向量空间及其上的线性变换和矩阵。
线性代数在科学和工程领域有着广泛的应用，如解线性方程组、求特征值和特征向量、研究线性映射等。
掌握线性代数知识可以帮助我们更好地理解和应用代数学中的相关概念。
三、代数方程代数方程是代数学中的一个重要内容，研究方程及其根的性质和解法。
在代数方程中，常见的问题包括一元多项式方程的解法、代数方程组的求解、代数方程的根与系数之间的关系等。
通过学习代数方程，我们可以更好地理解和应用代数学中的代数概念和方法。
四、代数拓扑代数拓扑是代数学和拓扑学的交叉领域，研究代数结构与拓扑结构的关系。
代数拓扑在数学中有着重要的地位，如同调理论、同伦论、拓扑群等都是代数拓扑的经典应用。
通过学习代数拓扑，我们可以更深入地理解代数学和拓扑学的交叉点，为数学研究提供新的视角和方法。
总之，代数学作为数学的基础学科，对于数学的发展和应用具有重要意义。
通过学习代数学，我们可以更好地理解和应用数学中的抽象概念和方法，为数学研究和实际应用提供新的思路和途径。
希望以上的笔记内容可以帮助大家更好地理解近世代数的相关知识。
近代代数知识点总结
近代代数知识点总结近代代数是代数学的一个重要分支，它涉及了一系列复杂的数学概念和技巧。
近代代数的研究对象是数学结构及其性质，主要包括代数系统、线性代数、群论、环论、域论等。
本文将重点总结近代代数的几个重要知识点，包括代数系统的基本概念、线性代数、群论、环论和域论等内容。
一、代数系统的基本概念代数系统是近代代数的基础，它包括了一系列代数结构，如半群、幺半群、群、环、域等。
代数系统的研究是为了更好地理解和描述代数结构之间的联系和性质，为其他分支的发展奠定了基础。
1.1 半群和幺半群半群是代数系统中最基本的结构之一。
一个半群是一个集合S，其上定义了一个二元运算∗，满足封闭性、结合律。
即对于任意a，b，c∈S，有(a∗b)∗c=a∗(b∗c)。
当半群中存在一个元素e，使得对于任意a∈S，都有e∗a=a∗e=a时，这个半群称为幺半群。
1.2 群群是代数系统中最重要的结构之一。
一个集合G上的一个二元运算∗称为一个群，如果满足以下四个性质：封闭性、结合律、单位元存在性、逆元存在性。
即对于任意a，b∈G，都有a∗b∈G，且存在一个元素e∈G，对于任意a∈G，都有e∗a=a∗e=a，对于任意a∈G，存在一个元素b∈G，使得a∗b=b∗a=e。
1.3 环环是一个包含了加法和乘法运算的代数结构，它满足一定的性质。
一个集合R上定义了两个二元运算+和∗，如果满足以下性质，则称为一个环：加法封闭性、加法结合律、加法交换律、加法单位元存在性、加法逆元存在性、乘法封闭性、乘法结合律、乘法分配律。
1.4 域域是一个更为抽象和严格的代数结构，它包含了加法和乘法运算，并且满足一定的性质。
一个集合F上定义了两个二元运算+和∗，如果满足以下性质，则称为一个域：加法和乘法满足环的所有性质，乘法交换律、乘法单位元存在性、乘法逆元存在性。
以上是代数系统的基本概念，对于这些概念的理解和应用将对后续的代数学习起到重要的指导作用。
二、线性代数线性代数是代数系统中的一个重要分支，它主要研究向量空间、线性变换和矩阵等内容。
近世代数1.1
由此知n个元素的集合共有置换n!个。例A={1,2,3} 所有一一置换有6 个分别是
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , , , , , 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1
区别以前的是积集，请注意。
三、集合的运算： 相等，交集，并集，差集 积集：A,B为两个非空集合，由A,B中元素构 成的所有序对（a,b）所成集合称为A与B的积 集。记作A×B 即 A×B={(a,b)|a∈A,b∈B}
例A={1,2} , B={-1,2,3} A×B={(1,-1),(1,2),(1,3),(2,-1),(2,2),(2,3)} 思考：若A={1},B=R A=Z, B=R 作出图 可推广到有限个集合的积
四、映射与变换 研究集合与集合之间的关系，集合内部元素之间的 联系 1、例 [0，1]→[3，5] ：x→2x+3 (-∞,+∞)→[0,+∞] ：x → |x|
定义：设X与Y是两个集合，如果有一个法则f， 它对于X中每一个元素x，在Y中都有一个唯一 确定的元素y与它对应，则称f为X到Y的一个映 射。 表为f ： x →y或y= f(x) 并且y叫做x在映射f 下的像，而x叫做y在映射f下的原像。
置换的乘法：就是映射的乘法，例：
1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 2 1 1 3 2
作业：P5：5， P11:2,3
谢谢观看
这部分是重点，以后还讨论
七、有限集合的一一变换 有限集合的一一变换称为置换A={a1,a2,a3….an} 为方便A可简记为A={1,2,3…n} 若置换： 把1变为i1,把2变为i2,…把n变为in可 表示为
近世代数文档
近世代数引言近世代数是数学中的一个分支，是研究代数结构的一种方法。
它主要研究了群、环、域等代数结构，以及它们之间的关系和性质。
本文将介绍近世代数的基本概念和一些重要的定理。
群群是近世代数的基础概念之一，它是一个集合和一个二元运算的组合。
这个二元运算满足封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性等性质。
封闭性对于群中的任意两个元素a和b，它们的运算结果ab也必须属于群中的元素。
结合律群中的运算满足结合律，即对于群中的任意三个元素a、b 和c，满足(a·b)·c = a·(b·c)。
单位元存在性群中存在一个元素e，称为单位元，对于群中的任意元素a，满足a·e = e·a = a。
逆元存在性对于群中的任意元素a，存在一个元素a’，称为逆元，满足a·a’ = a’·a = e，其中e是单位元。
环环是一种比群更一般的代数结构，它是一个集合和两个运算的组合。
这两个运算分别是加法和乘法，并且满足封闭性、结合律、分配律和单位元存在性等性质。
封闭性对于环中的任意两个元素a和b，它们的加法和乘法结果a+b和a·b也必须属于环中的元素。
结合律环中的加法和乘法满足结合律，即对于环中的任意三个元素a、b和c，满足(a+b)+c = a+(b+c)和(a·b)·c = a·(b·c)。
分配律环中的加法和乘法满足分配律，即对于环中的任意三个元素a、b和c，满足a·(b+c) = a·b + a·c和(b+c)·a = b·a + c·a。
单位元存在性环中存在一个元素0，称为加法的单位元，对于环中的任意元素a，满足a+0 = 0+a = a。
同时，环中存在一个元素1，称为乘法的单位元，对于环中的任意元素a，满足a·1 = 1·a = a。
近世代数的基础知识
近世代数的基础知识初等代数、高等代数和线性代数都称为经典代数（Classical algebra ），它的研究对象主要是代数方程和线性方程组）。
近世代数（modern algebra ）又称为抽象代数（abstract algebra ），它的研究对象是代数系，所谓代数系，是由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。
近世代数主要包括：群论、环论和域论等几个方面的理论，其中群论是基础。
下面，我们首先简要回顾一下集合、映射和整数等方面的基础知识，然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。
3．1 集合、映射、二元运算和整数3．1．1 集合集合是指一些对象的总体，这些对象称为集合的元或元素。
“元素a 是集合A 的元”记作“A x ∈”，反之，“A a ∉”表示“x 不是集合A 的元”。
设有两个集合A 和B ，若对A 中的任意一个元素a （记作A a ∈∀）均有B a ∈，则称A 是B 的子集，记作B A ⊆。
若B A ⊆且A B ⊆，即A 和B 有完全相同的元素，则称它们相等，记作B A =。
若B A ⊆，但B A ≠，则称A 是B 的真子集，或称B 真包含A ，记作B A ⊂。
不含任何元素的集合叫空集，空集是任何一个集合的子集。
集合的表示方法通常有两种：一种是直接列出所有的元素，另一种是规定元素所具有的性质。
例如：{}c b a A ,,=；{})(x p x S =，其中)(x p 表示元素x 具有的性质。
本文中常用的集合及记号有：整数集合{} ,3,2,1,0±±±=Z ；非零整数集合{}{} ,3,2,10\±±±==*Z Z ； 正整数（自然数）集合{} ,3,2,1=+Z ；有理数集合Q ，实数集合R ，复数集合C 等。
一个集合A 的元素个数用A 表示。
当A 中有有限个元素时，称为有限集，否则称为无限集。
用∞=A 表示A 是无限集，∞<A 表示A 是有限集。