两铰拱的内力计算方法
两铰拱的截面内力计算方法
超静定拱在实际工程中应用广泛，其主要可分为对称两铰拱和无铰拱。两铰
拱为一次超静定结构，无铰拱为三次超静定结构。下面，主要讨论两铰拱的内力
计算方法。
如图1，一个两铰拱，超静定次数为1，选用立法解决此问题。选取简支曲
梁（图2中的拱）为基本体系，推力1X为基本未知量，力法方程为
（a）
由于拱是曲梁，求位移11和P1时不能用图乘法。
图1 两铰拱及其代梁
因为基本结构是一个简支曲梁，计算P1时只考虑弯曲变形；计算11时，对
较扁平的拱且截面较厚时，要考虑轴向变形。所以有
（b）
如图2，基本结构在11X的作用下，竖向支反力为零，任意截面D的弯矩
和轴力为
图2 基本体系
0111
P
sEIMMsEANsEIMPPd
dd
1
1
212
1
11
cos11N
yM
（c）
这里，y表示截面D的纵坐标，以向上为正；表示截面D处拱的切线与
x轴所成的锐角，左半跨为正，右半跨为负；弯矩M以下侧受拉为正；轴力N以
拉力为正。
当仅有竖向荷载作用时，简支曲梁任意截面处的弯矩PM与等跨度等荷载的
简支水平代梁的相应截面的弯矩0M相等，即
（d）
将（c）、（d）代入到（b）中得
（e）
则由（a）、（e）可得出1X：
接下来，内力的计算与三铰拱完全一致。仅在竖向荷载作用下，两铰拱的内
力计算公式为
其中，0M为代梁相应截面处的弯矩，0Q为代梁相应截面处的剪力。
到此，两铰拱的任意截面内力计算公式全部得出。
0
MMP
sEIyMsEAsEIyPd
dcosd
0
1
22
11
sEAsEIysEIyMHXPdcosd
d
22
0
11
1
1
cossinsincos000HQNHQQHyMM
《工程力学》(二)辅导资料七
工程力学（二）辅导资料七主题：第三章结构力学知识回顾（第1~2节）学习时间：2012年11月12日－11月18日内容：本周我们学习平面体系组成分析，静定梁、静定平面刚架的内力计算及内力图绘制，三铰拱的内力分析及合理轴线的相关内容。
希望通过本周的学习，使同学们加深对相关知识的认识和理解。
基本要求与重点：1.理解自由度、几何可变体系与几何不变体系、瞬变体系、瞬铰的概念；2.了解计算自由度的计算方法；3.掌握几何不变体系的基本组成规律，并能应用这些规律分析平面体系的几何构造；4.理解静定梁的分析方法和受力特点；5.掌握各种荷载作用下梁的内力图画法，掌握叠加法画弯矩图；6.掌握静定刚架（简支、悬臂、三铰刚架）的内力计算和内力图的画法；7.了解拱式结构的分类及各自的特点，掌握三铰拱在竖向荷载作用下的内力计算；8.掌握静定平面桁架结构的受力特点和结构特点；9.熟练掌握结点法、截面法和联合法求解桁架结构的内力。
一、平面几何体系组成分析（一）概述1.几何不变体系与几何可变体系几何不变体系——在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和形状是不能改变的；几何可变体系——在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和形状是可以改变的。
2.自由度平面内一点有两种独立运动方式，因此一点在平面内有两个自由度。
一个刚片在平面内有三种独立的运动方式，因此一个刚片在平面内有三个自由度。
一般说来，如果一个体系有n个独立运动的方程，则这个体系有n个自由度。
换句话说，一个体系自由度的个数，等于这个体系运动时可以独立改变的坐标的数目。
（二）计算自由度计算自由度可采用以下几种算法：①把体系看作由许多刚片受铰结、刚结和链杆的约束而组成的。
以m表示体系中刚片的个数，则刚片的自由度个数总和为3m。
计算约束总数时，体系中如有复约束，则应事先把它折合成单约束；刚片内部如有多余约束，也应把它们计算在内。
以g代表单刚结个数，以h代表单铰结个数，以b代表单链杆根数，则约束总数为32++。
《建筑力学》11章静定结构的内力分析
图11-15
返回
如图11-16所示去掉零杆后结构变得更简单， 可使计算简化
图11-16
3）几种特殊结点 使用结点法时，熟悉如图11-17所示的几种特殊结点，可使计算简化，对题解 有益处： ① L型结点。不在一直线上的两杆结点，当结点不受外力时，两杆均为零杆， 如图11-17 (a)所示。若其中一杆与外力F共线，则此杆内力与外力F相等， 另 一杆为零杆，如图11-17 (d)所示。 ② T型结点。两杆在同一直线上的三杆结点，当结点不受外力时，第三杆为零 杆，如图11-17 (b)所示。若外力F与第三杆共线，则第三杆内力等于外力F， 如图11-17 (e)所示。 ③ X型结点。四杆结点两两共线，如图11-17 (c)所示，当结点不受外力时， 则共线的两杆内力相等且符号相同。 ④ K型线点。这也是四杆结点，其中两杆共线，另两杆在该直线同侧且与直 线夹角相等，如图11-17 (f)所示，当结点不受外力时，则非共线的两杆内力大 小相等但符号相反。 以上结论，均可取适当的坐标由投影方程得出。 （4）结点法计算桁架的内力 结点法是指以截取的结点为研究对象，根据外力和杆件内力组成的平面汇 交力系平衡方程计算杆件内力的方法。 实际计算时，可以先从未知力不超过两个的结点计算，求出未知杆的内力后， 再以这些内力为已知条件依次进行相邻结点的计算。
图11-13
4．桁架的分类 ． （1） 按照桁架的外形分类 ① 平行弦桁架，如图11-14(a)所示； ② 折线形桁架， 如图11-14 (b)所示； ③ 三角形桁架， 如图11-14 (c)所示； ④ 梯形桁架，如图11-14 (d)所示； ⑤ 抛物线形桁架，如图11-14(e)所示。 （2）按照桁架的几何组成分类 2 ① 简单桁架：以一个基本铰结三角形为基础，依次增加二元体而组成的无 多余约束的几何不变体系，如图11-14(a)、(d)、(e)所示。 ② 联合桁架：由几个简单桁架按几何不变体系组成规则组成的桁架，如图 11-14(c)、(f)所示。 ③ 复杂桁架：不属于前两类的桁架即为复杂桁架，如图11-14(b)所示。
结构力学(一)第三版龙驭球第三章3.4三铰拱
下面所示结构在竖向荷 载作用下，会产生水平反 力，因此它是拱结构。
FP FP
曲梁
三铰拱
二、 拱的类型
三铰拱
两铰拱
无铰拱
超静定拱
拉杆拱 静定拱
三、 拱的各部分名称 拱顶
C
拱轴线 拱高 f
B
拱趾 A
起拱线
跨度 l
f l
f
B
A
0 FYB
FYB
FPi ai
L
xk
L1 L
FP2 k C
L2
FP3
取左半跨为隔离体：
FP1
M
C
0
A
0 FYA L1 FP1 L1 a1 FP 2 L1 a2 M C FH f f
B
反力计算公式：
F F 0 YA YA 0 FYB FYB 0 MC H A H B H f
P P P1 P2
P
P
P1
P2
结点单元
杆件单元
杆件体系 单元
1 静定结构受力分析的方法 二、平衡方程的数目 单元平衡方程的数目=单元的自由度数，不一定等 于单元上未知力的数目。
P P1
P2
P
P1
P2
结点单元
杆件体系 单元
1 静定结构受力分析的方法 三、计算的简化与截取单元的次序 计算简化的原则：避免解联立方程，尽量使一个方程中只
FP2 FP1 D
E
C
FP3 FP1 FP2 F B
FRA
A
o
FRA
FRB
FP3
第五章力法超静定结构概述（ＰＤＦ）
第五章 力 法§5—1 超静定结构概述超静定结构是工程实际中常用的一类结构，前已述及，超静定结构的反力和内力只凭静力平衡条件是无法确定的，或者是不能全部确定的。
例如图5—1a所示的连续梁，它的水平反虽可由静力平衡条件求出，但其竖向反力只凭静力平衡条件就无法确定，因此也就不能进一步求出其全部内力。
又如图5—1b所示的加劲梁，虽然它的反力可由静力平衡条件求得，但却不能确定杆件的内力。
因此，这两个结构都是超静定结构。
分析以上两个结构的几何组成，可知它们都具有多余约束。
多余约束上所发生的内力称为多余未知力。
如图5—1a所示的连续梁中，可认为B支座链杆是多余约束，其多余未知力(图5—1c)。
又如图5—1b所示的加劲梁，可认为其中的BD杆是多余约束，其多余为FBy未知力为该杆的轴力F(图5—d)。
超静定结构在去掉多余约束后，就变成为静定结构。
N常见的超静定结构类型有：超静定梁（图5—2），超静定刚架（图5—3），超静定桁架（图5—4），超静定拱（图5—5），超静定组合结构（图5—6）和铰接排架（图5—7）等。
超静定结构最基本的计算方法有两种，即力法和位移法，此外还有各种派生出来的方法，如力矩分配法就是由位移法派生出来的一种方法。
这些计算方法将在本章和以下两章中分别介绍。
§5—2 力法的基本概念在掌握静定结构内力和位移计算的基础上，下面来寻求分析超静定结构的方法。
先举一个简单的例子加以阐明。
设有图5—8a 所示一端固定另一端铰支的梁，它是具有一个多余约束的超静定结构。
如果以右支座链杆作为多余约束，则去掉该约束后，得到一个静定结构，该静定结构称为力法的基本结构。
在基本结构上，若以多余未知力代替所去约束的作用，并将原有荷载q 作用上去，则得到如图5—8b 所示的同时受荷载和多余未知力作用的体系。
该体系称为力法的基本体系。
在基本体系上的原有荷载是已知的，而多余力是未知的。
因此，只要能设法先求出多余未知力，则原结构的计算问题即可在静定的基本体系上来解决。
结构力学第3章
B C YC A C
Q
q P
D
XD (b) C YC XC XC
q
Q
B YB A YA XA
(c)
刚架指定截面内力计算
与梁的指定截面内力计算方法相同（截面法）.
注意未知内力正负号的规定（未知力先假定为正）
注意结点处有不同截面（强调杆端内力） 注意正确选择隔离体（选外力较少部分）
注意利用结点平衡（用于检验平衡，传递弯矩） 连接两个杆端的刚结点,若结点上无外力偶作用, 则两个杆端的弯矩值相等,方向相反
刚架内力图的绘制
弯矩图
取杆件作隔离体
剪力图
轴力图
取结点作隔离体
静定刚架的内力图绘制方法： 一般先求反力，然后求控 制弯矩，用区段叠加法逐杆 绘制，原则上与静定梁相同。
例一、试作图示刚架的内力图
求反力
(单位：kN . m)
48 192
144 126
12
48 kN
42 kN
22 kN
例一、试作图示刚架的内力图
计算关键
正确区分基本结构和附属结构 熟练掌握单跨静定梁的绘制方法
多跨度梁形式
并列简支梁
多跨静定梁
超静定连续梁
为何采用 多跨静定梁这 种结构型式?
作内力图
例
叠层关系图
先附属，后基本， 先求控制弯矩，再区段叠加
18 10 10
5
12
例
9
12
18
+ 9 9
4
其他段仿 此计算 5
5
2.5 FN 图（kN）
l
q
A
ql2 8 l
B
a m l m A b m l a b l B
结构力学课后习题答案重庆大学
第1章 绪论（无习题）第2章 平面体系的几何组成分析习题解答习题 是非判断题(1) 若平面体系的实际自由度为零，则该体系一定为几何不变体系。
( )(2) 若平面体系的计算自由度W =0，则该体系一定为无多余约束的几何不变体系。
( ) (3) 若平面体系的计算自由度W ＜0，则该体系为有多余约束的几何不变体系。
( ) (4) 由三个铰两两相连的三刚片组成几何不变体系且无多余约束。
( )(5) 习题(5) 图所示体系去掉二元体CEF 后，剩余部分为简支刚架，所以原体系为无多余约束的几何不变体系。
( )B DACEF习题 (5)图(6) 习题(6)(a)图所示体系去掉二元体ABC 后，成为习题(6) (b)图，故原体系是几何可变体系。
( )(7) 习题(6)(a)图所示体系去掉二元体EDF 后，成为习题(6) (c)图，故原体系是几何可变体系。
( )(a)(b)(c)D习题 (6)图【解】（1）正确。
（2）错误。
0W 是使体系成为几何不变的必要条件而非充分条件。
（3）错误。
（4）错误。
只有当三个铰不共线时，该题的结论才是正确的。
（5）错误。
CEF 不是二元体。
（6）错误。
ABC 不是二元体。
（7）错误。
EDF 不是二元体。
习题 填空(1) 习题(1)图所示体系为_________体系。
习题(1)图(2) 习题(2)图所示体系为__________体系。
习题2-2(2)图(3) 习题(3)图所示4个体系的多余约束数目分别为_______、________、__________、__________。
习题(3)图(4) 习题(4)图所示体系的多余约束个数为___________。
习题(4)图(5) 习题(5)图所示体系的多余约束个数为___________。
习题(5)图(6) 习题(6)图所示体系为_________体系，有_________个多余约束。
习题(6)图(7) 习题(7)图所示体系为_________体系，有_________个多余约束。
结构力学
第一讲平面体系的几何组成分析及静定结构受力分析【内容提要】平面体系的基本概念，几何不变体系的组成规律及其应用。
静定结构受力分析方法，反力、内力计算与内力图绘制，静定结构特性及其应用。
【重点、难点】静定结构受力分析方法，反力、内力计算与内力图绘制一、平面体系的几何组成分析(一)几何组成分析按机械运动和几何学的观点，对结构或体系的组成形式进行分析。
(二)刚片结构由杆(构)件组成，在几何分析时，不考虑杆件微小应变的影响，即每根杆件当做刚片。
(三)几何不变体系体系的形状(或构成结构各杆的相对位置)保持不变，称为几何不变体系，如图6-1-1 (四)几何可变体系体系的位置和形状可以改变的结构，如图6-1-2。
图6-1-1 图6-1-2(五)自由度确定体系位置所需的独立运动参数数目。
如一个刚片在平面内具有3个自由度。
(六)约束减少体系独立运动参数(自由度)的装置。
1．外部约束指体系与基础之间的约束，如链杆(或称活动铰)，支座(固定铰、定向铰、固定支座)。
2．内部约束指体系内部各杆间的联系，如铰接点，刚接点，链杆。
规则一：一根链杆相当于一个约束。
规则二：一个单铰(只连接2个刚片)相当于两个约束。
推论：一个连接n 个刚片的铰(复铰)相当于(n－ 1)个单铰。
规则三：一个单刚性结点相当于三个约束。
推论：一个连接个刚片的复刚性结点相当于( n－ 1)个单刚性结点。
3．必要约束如果在体系中增加一个约束，体系减少一个自由度，则此约束为必要约束。
4．多余约束如果体系中增加一个约束，对体系的独立运动参数无影响，则此约束称为多余约束。
(七)等效作用1．虚铰两根链杆的交叉点或其延长线的交点称为(单)虚铰，其作用与实铰相同。
平行链杆的交点在无限远处。
2．等效刚片一个内部几何不变的体系，可用一个刚片来代替。
3．等效链杆。
两端为铰的非直线形杆，可用一连接两铰的直线链杆代二、几何组成分析(一)几何不变体系组成的基本规则1．两刚片规则平面两刚片用不相交于一点的三根链杆连接成的体系，是内部几何不变且无多余约束的体系。
结构力学复习指导
第2章 结构的几何构造分析
计算自由度计算公式
W=各部件的自由度总和-全部约束总数
W 3m (2n r) (适用于任何体系)
W 2J (b r) (只适用于铰结体系)
W>0（几何可变）
W=0（无多余约束） 是几何不变的必要条件
上一张 下一张 退 出
W<0（有多余约束）
上一张 下一张 退 出
二、二刚片规则
规则： 二个刚片用一个铰和 一根不通过此铰的链杆相连， 组成的体系是几何不变的， 且无多余约束。
二个刚片用不完全相 交，也不完全平行的三根链 杆相连，组成的体系是几何 不变的，且无多余约束。
应用条件：
上一张 下一张 退 出
上一张 下一张 退 出
上一张 下一张 退 出
三、二元体规则
二元体定义：由两根不在 同一直线上的链杆连接一 个新结点的构造，称为二
元体。
规则：在一个体系上增加
或拿掉二元体，不会改变
原体系的几何构造性质。
上一张 下一张 退 出
二元体形式
上一张 下一张 退 出
二 元体的运用
上一张 下一张 退 出
几何组成分析举例
几何组成分析依据：前述三个规则（分析时可将基础 <大地>以及体系中的一根梁一根链杆或某些几何不 变部分视为一刚片） 步骤： （1）如果给定的体系可以看成是两个或三个刚片时则 可直接利用规则一、二加以判断。 （2）如果给定体系不能归结为两个或三个刚片时则先 把其中能直接观察出的某些几何不部分当作刚片， 或撤二元体使体系的组成简化，这样不会影响原体 系的几何构造性质，然后再根据规则做出判别。
平面几何不变体系的组成规律
一、三刚片规则
等截面抛物线拱桥内力实用解析解研究
ｄ ： （） １
‰＝
＝ 一 击（
一
＝
（） ６
号
式中， Ｙ 为拱轴 方程 的一 阶导 。 以拱 顶 为 坐 标 原 点 的 抛 物 线 方 程 为 Ｙ ＝
，
（） ）４ ）去 ２ 一詈 去 舌（。（ ＋ 去 ｃ ］ ［詈ｓ ｓ ２ ｈ 詈２ ｈ ｈ
ｈ ｎ ｅ ｒ ｈ ａ ｄ ｈ ｎｇ ｌｓ ｒ ｈ ｕ ｄ ｒｍａｎ ａ ｃ ｉ ｇ ａ ｄ ｄ ｃ ｙ ｔ ｍ ｅ ｄ ｌａ ｓｄｅ ｕ ｅ ｔ ｒ ｕ ｈ ｃ ｎｓａ ｔ ｉ ｇ ｄ ａｃ ｎ ｉ ｅｅ ｓａ ｃ ｎ ｅ ｉ ｒ ｈ ｒｎ ｎ ｅ ｋ ｓ ｓｅ ｄ ａ ｏ ｄ ｗａ ｄ ｃ ｄ ｈ ｏ ｇ ｏ ｔ ｎ
拱 是结 构 也 是 建 筑 ¨ ， 土 木 工 程 领 域 具 有 ｊ在
物线 是其 弧长微 分表 达形式 复杂 ， 不 出曲线积 分 的显 得 示解 ， 国拱 桥 手 册 和英 国 Ｍ Ｘ 我 Ｅ Ｅ法 均 采
用将 沿弧长 的 曲线 积分 简 化 为沿 水 平 直线 积 分 的
中 图分 类 号 ：４ ５ Ｕ４ 文 献 标 志 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：６ ２— ０ ９ ２ １ ）５— ０ ２— ７ １７ ７ ２ （０ １ ０ ０ １ ０
Ｒｅ ｅ ｒ ｈ ｏ ｒｃ ｉａ ｎ ｌｔ ｏｕ ｉｎ ｏ ａ ａ ｏｉ ｒ ｈ ｂ ｉｇ ｓ ｗｉ ｎｆ ｒ ｓ ｃ ｉｎ ｓ ａ ｃ ｎ ｐ ａ ｔ ｌ ａｙ ｉ ｓ ｌｔ ｆｐ ｒ ｂ ｌ ａ ｃ ｒ ｅ ｔ ｕ Ｉ ｍ ｅ ｔ ｃ ａ ｃ ｏ ｃ ｄ ｈ Ｏ ｏ
作者简介 ： 胡常福（９ ０一 ， ， １８ ） 男 安徽六安人 ， 博士研究生 ， 讲师 ， 从事桥梁工程的研究与教学
第3章 三铰拱
（二） 对称三铰拱的数解法
1. 计算支座反力
图示三铰拱中，共有 四个反力： VA、HA、VB、HB。 根据整体的平衡 条件可建立三个 平衡方程： ∑MA=0 ∑MB=0 ∑X=0 再取中间铰一侧隔离 体， ∑ MC=0， 由这四个方程可 解出四个反力。
由∑MB= 0，得： VAl－P1b1－ P2b2－…= 0 VA= (P1b1 ＋ P2b2 ＋ …)/ l V0A 由∑MA= 0，得： VB= (P1a1＋ P2a2＋…)/ l V0B 把两个竖向反力VA 、VB与相应简支梁支座反力V0A 、 V0B 相比，可知竖向荷载作用下，对称三铰拱的竖向反力与 其相应简支梁的反力完全相同。
两个投影方程可用拱轴在该点的法线n和切线t为 投影轴。
∑n = 0 ，得： QD = VA cosφD －P1 cosφD －P2 cosφD －H sinφD = (V0A－P1－P2) cosφD －H sinφD
= Q0D cosφD －H sinφD
∑t = 0 ，得： ND = VA sinφD - P1 sinφD -P2 sinφD +H cosφD = (V0A－P1－P2) sinφD +H cosφD
由∑X= 0，得： HA= HB = H 中间铰左侧隔离体 ∑MC=0 得：
∑ MC =
VAl1－P1(l1 － a1) － P2(l1 － a2) － P3(l1 － a3)－ H f = 0 得： H=[VAl1－P1(l1 － a1)－ P2(l1 － a2)－ P3(l1 － a3)] / f 因 VA = V0A ，得：H= M0C / f M0C为相应简支梁截面C的弯矩。
最后根据本例的已知条件，进行具体计算。
VA=VB= V0A = q l / 2= 4× 16 / 2 = 32kN H = (q l 2 / 8) / f = (4× 162 / 8) / 4 = 32kN