正弦定理练习题
1 一、单选题 1、若的内角所对的边满足,且,则 的值为（ ）
A． B．1 C． D．
2、若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足,且=60°,则 的值为（ ）
A． B．1 C． D． 3、在中，已知，则角为 ( )
A． B． C． D．或 4、某人先朝正东方向走了km，再朝西偏北的方向走了3km，结果它离出发点恰好为km，那么等于 （ ） A． B． C．3 D．或
5、若的三角，则A、B、C分别所对边=（ ） A． B． C． D．
6、在△ABC中，若，则此三角形是 ( ) A．正三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 7、在中，若，则的形状一定是（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
8、在中， （ ） A． B．或 C． D．或 9、△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为( ) A．2+2 B．+1 2
C．2-2 D．-1 10、符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ ） A．a=1, b="2" , c=3 B．a=1, b=2,∠A=100°
C．a=1, b=, ∠A=30° D．b="c=1," ∠B=45°
11、在中，，，面积，则 A． B． C． D． 12、的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且， 则（ ）.
A. B. C. D. 13、在△中，角所对的边分别为，若，则△的面积等于（ ）
A．10 B． C．20 D．
14、在△ABC中，（a，b， c分别为角A、B、C的对边），则△ABC的形状为 A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
15、在中，若，则等于（ ）
A． B． C． D． 16、在中，若，则是 （ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
17、（本小题考查 正弦定理）在三角形ABC中，，则B等于 A或 B. C. D. 以上答案都不对。
18、在△ABC中，三个内角分别是A，B，C，若sinC=2cosAsinB。则此△ABC一定是（ ） A．直角三角形 B.正三角形 C。等腰三角形 D.等腰直角三角形 3
19、在中，角的对边长分别为，若，则的形状为
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
20、已知，角、、所对应的边分别为，满足， 则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 二、解答题 21、（本小题满分12分） 已知、、分别是的三个内角、、所对的边
（1）若面积求、的值； （2）若，且，试判断的形状．
22、沿一条小路前进，从A到B，方位角（从正北方向顺时针转到AB方向所成的角）是 50°，距离是3 km，从B到C，方位角是110°，距离是3 km，从C到D,方位角是140°，
距离是（9+3）km.试画出示意图，并计算出从A到D的方位角和距离（结果保留根号）.
23、第四届中国国际航空航天博览会于2010年11月在珠海举行，一次飞行表演中，一架直升飞机在海拔800m的高度飞行，从空中A处测出前下方海岛两侧海岸P、Q处的俯角分别是45°和30°（如右图所示）.
（1）试计算这个海岛的宽度. （2）若两观测者甲、乙分别在海岛两侧海岸P、Q处同时测得飞机的仰角为45°和30°，他们估计P、Q两处距离大约为600m，由此试估算出观测者甲（在P处）到飞机的直线
距离. 24、在△ABC中，a，b，c分别为角A，B,C所对的边，a，b，c成等差数列，且a=2c。
（1）求cosA的值；（2）若△ABC面积为，求b的值 4
25、在社会实践中,小明观察一棵桃树。他在点A处发现桃树顶端点C的仰角大小为,往正前方走4米后,在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为
. （I） 求BC的长; （II） 若小明身高为1.70米,求这棵桃树顶端点C离地面的高度(精确到0.01米,其中
). 26、（本小题满分12分）
已知△的内角所对的边分别为且. （Ⅰ）若, 求的值;
（Ⅱ）若△的面积 求的值.
27、已知、、为的三个内角，且其对边分别为、、，若
． （1）求；
（2）若，求的面积．
28、在锐角△中，、、分别为角、、所对的边，且 （1）确定角的大小；
（2）若,且△的面积为,求的值． 29、（本小题满分10分） 已知海岛B在海岛A的北偏东45°方向上，A、B相距10海里，小船甲从海岛B以2海里/小时的速度沿直线向海岛A移动，同时小船乙从海岛A出发沿北偏15°方向也以2海里/小时的速度移动。 （Ⅰ）经过1小时后，甲、乙两小船相距多少海里？ （Ⅱ）在航行过程中，小船甲是否可能处于小船乙的正东方向？若可能，请求出所需时间，若不可能，请说明理由。 5
30、中，角A，B,C的对边分别是且满足 （1）求角B的大小；
（2）若的面积为为且，求的值； 6
xxxx - xxxx学年度xx学校xx月考答案及解析 1、 【答案】C 【解析】试题分析：由余弦定理知:⋯① ,又⋯
② ,消去 得: .
2、 【答案】C
【解析】试题分析：由得：，故由余弦定理知：，解得，故选C.
3、 【答案】A 【解析】试题分析：因为，所以，根据余弦定理有：，所以角为. 点评：正弦定理和余弦定理是两个比较重要的定理，要重点掌握，灵活应用.
4、 【答案】D 【解析】试题分析：作出图象，三点之间正好组成了一个知两边与一角的三角形，由余弦定理建立关于x的方程即可求得x的值．则设AB=x,
BC=3, 7
故可知答案为D 点评：考查解三角形的知识，其特点从应用题中抽象出三角形．根据数据特点选择合适的定理建立方程求解
5、 【答案】C
【解析】试题分析：由及得，再由正弦定理得。
6、 【答案】D 【解析】略
7、 【答案】D
【解析】试题分析：∵在△ABC中，acosB=bcosA，∴，又由正弦定理可得 ∴=，sinAcosB-cosAsinB=0，sin（A-B）=0． 由-π＜A-B＜π 得，A-B=0，故△ABC为等腰三角形， 故选D． 点评：解决该试题的关键是利用边化角的思想得到sin（A-B）=0，并能利用角的范围，确定出A,B的关系式。
8、 8
【答案】D 【解析】因为由正弦定理可知， 故A有两个解，选D
9、 【答案】B
【解析】由正弦定理知c==2. 又sinA=sin(π-B-C) =sin(B+C) =sinBcosC+cosBsinC
=, 所以△ABC的面积S=bcsin A=+1. 故选B.
10、 【答案】D 【解析】试题分析：不满足两边之和大于第三边.；大边对大角，
，错误；由正弦定理可知，可得或. 故选D.
11、 【答案】B 【解析】解：因为在中，，，面积
选B 9
12、 【答案】A 【解析】因为解：∵a，b，c，且a，b，c成等比数列且c=2a b2=ac=2a2，
b=a，c=2a
由余弦定理可知cosB= 故答案为： A
13、 【答案】B
【解析】试题分析：由余弦定理得，，
.
14、 【答案】B 【解析】试题分析：利用二倍角的余弦函数公式化简已知等式的左边，整理后表示出cosA，再利用余弦定理表示出cosA，两者相等，整理后得到a2+b2=c2，根据勾股定理的
逆定理即可判断出此三角形为直角三角形。因为，那么可知
可知答案为B. 点评：此题考查了三角形形状的判断，考查二倍角的余弦函数公式，余弦定理，以及勾股定理的逆定理；熟练掌握公式及定理是解本题的关键．
10
15、 【答案】D
【解析】解：因为 选D
16、 【答案】A
【解析】由得，则，即，所以，则，即，又是的内角，所以，则，即，所以是等腰三角形。故选A。
17、 【答案】C 【解析】略
18、 【答案】C 【解析】略
19、 【答案】B 【解析】试题分析：根据正弦定理，角的对边长分别为，若,展开得到故可知等腰三角形，故选B
(2021年整理)正弦定理练习题(经典)
(完整版)正弦定理练习题(经典)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整版)正弦定理练习题(经典)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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6 B.错误! C.错误! D ．2错误!2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4错误!C ．4错误! D.错误!3．在△ABC 中,a ，b ,c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°,b ＝错误!,则c ＝( )A ．1 B.错误! C ．2 D 。
错误!4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A ＝60°，a ＝4错误!，b ＝4错误!，则角B 为( ）A ．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝错误!，b ＝错误!，B ＝120°，则a 等于( ）A 。
高考正弦定理和余弦定理练习题及答案演示教学
解： 由 cos∠ ADC ＝35>0 知 B<π2，
由已知得 cosB＝12， sin ∠ADC ＝4，
13
5
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从而 sin∠ BAD＝ sin( ∠ADC － B) ＝ sin∠ ADC cosB－ cos∠ ADCsinB
＝ 45×1123－ 35× 153＝3635.
由正弦定理得 sAinDB＝sin∠BDBAD，
答案： 60°
解析：
S△
ADC
＝
1× 2
2×DC ×
3＝ 3－ 2
3，
解得 DC ＝ 2( 3－1) ，
∴ BD＝ 3－ 1， BC＝ 3( 3－1)．
在△ ABD 中， AB2＝ 4＋ ( 3－ 1)2－ 2× 2× ( 3－1) ×cos120°＝ 6，
∴ AB＝ 6.
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在△ ACD 中， AC2＝ 4＋ [2( 3－ 1)] 2－ 2× 2×2( 3－ 1)×cos60°＝ 24－ 12 3，
∴腰长为 2a，由余弦定理知
cosα＝
2a 2＋ 2× 2
2a a×
2－ 2a
a2 ＝
7 8
.
方法二：如图，过点 A 作 AD⊥ BC 于点 D，
则 AC＝ 2a， CD ＝ a，∴ sinα＝ 1，
2
24
∴
cosα＝
1
－
2sin2α 2
＝
1－
2×
116＝
7 8.
6. (2010 泉·州模拟 )△ ABC 中， AB＝ 3，AC＝ 1，∠ B＝ 30°，则△ ABC 的面积等于 ( )
B ． 60° D ．150 °
正弦定理推导题
正弦定理推导题一、正弦定理推导的基础概念正弦定理是在三角形中非常重要的定理哦。
简单来说呢，在一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等。
那这个比值到底是怎么来的呢？我们可以从三角形的面积公式入手去推导它。
我们知道三角形的面积公式有多种表示形式，比如对于三角形ABC，它的面积S = 1/2 ab sinC。
这里的a和b是三角形的两条边，C是这两条边的夹角。
同样的，这个面积也可以表示为S = 1/2 bc sinA，还可以是S = 1/2 ac sinB。
那我们可以让这三个面积表达式相等呀，就得到1/2 ab sinC = 1/2 bc sinA = 1/2 ac sinB。
然后把等式两边同时除以1/2 abc，就可以得到sinA/a = sinB/b = sinC/c啦，这就是正弦定理。
二、不同三角形中的正弦定理应用1. 直角三角形在直角三角形中，正弦定理也是适用的呢。
比如一个直角三角形ABC，其中C = 90°。
那么sinC = 1。
根据正弦定理sinA/a = sinB/b = sinC/c，就可以很方便地求出三角形中的一些边或者角啦。
2. 锐角三角形对于锐角三角形ABC，我们可以利用正弦定理来求解一些未知的边或者角。
比如说知道了角A和角B的正弦值，以及边a的长度，就可以通过正弦定理求出边b的长度呢。
3. 钝角三角形在钝角三角形中，正弦定理同样发挥着重要的作用。
虽然钝角三角形的钝角对应的正弦值是正数，但是在运用正弦定理的时候，也要注意计算的准确性。
三、正弦定理推导的意义正弦定理的推导在很多方面都有着重要的意义。
首先呢，在数学解题方面，它可以帮助我们解决三角形中的边角关系问题。
无论是已知两角和一边，还是已知两边和其中一边的对角，都可以通过正弦定理来求解其他的边和角。
其次呢，在实际生活中的测量方面，比如测量不可到达的两点之间的距离，我们可以利用正弦定理构建三角形模型来进行测量计算。
四、关于正弦定理推导的一些练习题1. 在三角形ABC中，已知A = 30°，B = 45°，a = 1，求b的长度。
高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案
高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案一、选择题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若a ＝2 ，b ＝3 ，B ＝π3，则A ＝( )A ．π6B ．56 πC ．π4D ．π4 或34 π答案：C解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝a sin B b ＝2×323＝22 ，又a <b ，∴A为锐角，∴A ＝π4.2．在△ABC 中，b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定 答案：C解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220 ＝3 >1，∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝7 ，则角C ＝( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2答案：C解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋9－72×2×3 ＝12，又C 为△ABC 内角，∴C ＝π3 .4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．12 B ．1 C ．3 D ．2答案：C解析：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴2cos A ＝1，cos A ＝12 ，∴sin A ＝1－cos 2A ＝32 ，∴S △ABC ＝12 bc sin A ＝12 ×4×32＝3 . 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( )A.14 B ．6 C ．14 D ．6 答案：D解析：∵b sin A ＝3c sin B ，由正弦定理得ab ＝3bc ，∴a ＝3c ，又a ＝3，∴c ＝1，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝9＋1－2×3×23＝6，∴b ＝6 .6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 答案：B解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，∴sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin A ＝1，又A 为△ABC 的内角，∴A ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．7．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2 ，则AC ＝( )A ．5B ．5C ．2D ．1 答案：B解析：∵S △ABC ＝12 AB ×BC ×sin B ＝22 sin B ＝12 ，∴sin B ＝22，若B ＝45°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 45°＝1＋2－2×2 ×22 ＝1，则AC ＝1，则AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不合题意；当B ＝135°时，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 135°＝1＋2＋2×2 ×22＝5，∴AC ＝5 .8．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．502 mB ．503 mC ．252 mD ．2522m答案：A解析：由正弦定理得AC sin B ＝ABsin C，∴AB ＝AC ·sin Csin B ＝50×22sin （180°－45°－105°） ＝502 .9．[2024·全国甲卷(理)]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，b 2＝94ac ，则sin A ＋sin C ＝( )A ．32 B ．2C ．72D ．32答案：C解析：∵b 2＝94 ac ，∴由正弦定理可得sin 2B ＝94sin A sin C ．∵B ＝60°，∴sin B ＝32 ，∴34 ＝94 sin A sin C ，∴sin A sin C ＝13.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，将b 2＝94 ac 代入整理得，a 2＋c 2＝134ac ，∴由正弦定理得sin 2A ＋sin 2C ＝134 sin A sin C ，则(sin A ＋sin C )2＝sin 2A ＋sin 2C ＋2sin A sin C ＝134 sin A sin C＋2sin A sin C ＝214 sin A sin C ＝214 ×13 ＝74 ，∴sin A ＋sin C ＝72 或－72(舍).故选C.二、填空题10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，则B ＝________．答案：23π解析：由(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac 得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12 ，又B 为△ABC 的内角，∴B ＝23π.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝a cos B ，①则A ＝________；②若sin C ＝13，则cos (π＋B )＝________．答案：①90° ②－13解析：①∵c ＝a ·cos B ，∴c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，得a 2＝b 2＋c 2，∴∠A ＝90°；②∵cos B ＝cos (π－A －C )＝sin C ＝13 .∴cos (π＋B )＝－cos B ＝－sin C ＝－13 .12．[2023·全国甲卷(理)]在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6 ，∠BAC 的角平分线交BC 于D ，则AD ＝________．答案：2 解析：方法一 由余弦定理得cos 60°＝AC 2＋4－62×2AC ，整理得AC 2－2AC －2＝0，得AC＝1＋3 .又S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ，所以12 ×2AC sin 60°＝12 ×2AD sin 30°＋12 AC ×AD sin30°，所以AD ＝23AC AC ＋2 ＝23×（1＋3）3＋3＝2.方法二 由角平分线定理得BD AB ＝CD AC ，又BD ＋CD ＝6 ，所以BD ＝26AC ＋2，CD ＝6AC AC ＋2 .由角平分线长公式得AD 2＝AB ×AC －BD ×CD ＝2AC －12AC（AC ＋2）2 ，又由方法一知AC ＝1＋3 ，所以AD 2＝2＋23 －12×（1＋3）（3＋3）2＝2＋23 －(23 －2)＝4，所以AD ＝2.[能力提升]13．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝8，b <4，c ＝7，且满足(2a －b )cos C ＝c ·cos B ，则下列结论正确的是( )A ．C ＝60°B ．△ABC 的面积为63 C ．b ＝2D ．△ABC 为锐角三角形 答案：AB解析：∵(2a －b )cos C ＝c cos B ，∴(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ，∴2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即2sin A cos C ＝sin (B ＋C )，∴2sin A cos C ＝sin A ．∵在△ABC 中，sin A ≠0，∴cos C ＝12 ，∴C ＝60°，A 正确．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝64＋b 2－2×8b cos 60°，即b 2－8b ＋15＝0，解得b ＝3或b ＝5，又b <4，∴b ＝3，C 错误．∴△ABC 的面积S ＝12 ab sin C ＝12 ×8×3×32 ＝63 ，B 正确．又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝9＋49－642×3×7<0，∴A 为钝角，△ABC 为钝角三角形，D 错误． 14．[2023·全国甲卷(理)]已知四棱锥P ABCD 的底面是边长为4的正方形，PC ＝PD ＝3，∠PCA ＝45°，则△PBC 面积为( )A ．22B ．32C ．42D ．62 答案：C解析：如图，过点P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取DC 的中点M ，AB 的中点N ，连接PM ，MN ，AO ，BO .由PC ＝PD ，得PM ⊥DC ，又PO ⊥DC ，PO ∩PM ＝P ，所以DC ⊥平面POM ，又OM ⊂平面POM ，所以DC ⊥OM .在正方形ABCD 中，DC ⊥NM ，所以M ，N ，O 三点共线，所以OA ＝OB ，所以Rt △P AO ≌Rt △PBO ，所以PB ＝P A .在△P AC 中，由余弦定理，得P A ＝PC 2＋AC 2－2PC ·AC cos 45° ＝17 ，所以PB ＝17 .在△PBC 中，由余弦定理，得cos ∠PCB ＝PC 2＋BC 2－BP 22PC ·BC ＝13 ，所以sin ∠PCB ＝223 ，所以S △PBC ＝12 PC ·BCsin ∠PCB ＝42 ，故选C.15．[2022·全国甲卷(理)，16]已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB ＝120°，AD ＝2，CD ＝2BD .当ACAB取得最小值时，BD ＝________．答案：3 －1解析：以D 为坐标原点，DC 所在的直线为x 轴，DC →的方向为x 轴的正方向，过点D 且垂直于DC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，易知点A 位于第一象限．由AD ＝2，∠ADB ＝120°，得A (1，3 ).因为CD ＝2BD ，所以设B (－x ，0)，x ＞0，则C (2x ，0).所以AC＝（2x －1）2＋（0－3）2＝4x 2－4x ＋4，AB ＝（－x －1）2＋（0－3）2＝x 2＋2x ＋4 ，所以⎝⎛⎭⎫AC AB 2＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4.令f (x )＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4，x ＞0，则f ′(x )＝（4x 2－4x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（x 2＋2x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）2＝（8x －4）（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（2x ＋2）（x 2＋2x ＋4）2＝12（x 2＋2x －2）（x 2＋2x ＋4）2 ．令x 2＋2x －2＝0，解得x ＝－1－3 (舍去)或x ＝3 －1.当0＜x ＜3 －1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，3 －1)上单调递减；当x ＞3 －1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(3 －1，＋∞)上单调递增．所以当x ＝3 －1时，f (x )取得最小值，即ACAB 取得最小值，此时BD ＝3 －1.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且6S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝________．答案：125解析：由余弦定理得2ab cos C ＝a 2＋b 2－c 2，又6S ＝(a ＋b )2－c 2，所以6×12 ab sin C ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝2ab cos C ＋2ab ，化简得3sin C ＝2cos C ＋2，结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得sin C ＝1213 ，cos C ＝513 ，所以tan C ＝125.。
(完整版)正弦定理和余弦定理练习题
【正弦定理、余弦定理模拟试题】一. 选择题：1. 在∆ABC 中，a b B ===︒232245，，，则A 为（ ）A B C D ....60120603015030︒︒︒︒︒︒或或2. 在∆AB C A a B bB 中，若，则sin cos =∠=（ ） A BCD ....30456090︒︒︒︒3. 在∆ABC 中，a b c bc 222=++，则A 等于（ ）A B C D ....604512030︒︒︒︒4. 在∆ABC 中，||||()()AB BC AB BC AB BC →=→=→+→⋅→+→=+12523，，，则边||AC →等于（ ） A B C D ....5523523523--+5. 以4、5、6为边长的三角形一定是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 锐角或钝角三角形6. 在∆ABC 中，b A a B cos cos =，则三角形为（ ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形7. 在∆ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则∆ABC 是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 正三角形8. 三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程57602x x --=的根，则三角形的另一边长为（ ）A. 52B. 213C. 16D. 4二. 填空题：9. 在∆ABC 中，a b A B +==︒=︒126045，，，则a =_______，b =________10. 在∆ABC 中，化简b C c B cos cos +=___________11. 在∆ABC 中，已知sin :sin :sin ::A B C =654，则cosA =___________12. 在∆ABC 中，A 、B 均为锐角，且cos sin A B >，则∆ABC 是_________三. 解答题：13. 已知在∆ABC 中，∠=︒==A a c 4526，，，解此三角形。
正弦定理、余弦定理的应用举例练习题(基础、经典、好用)
正弦定理、余弦定理的应用举例一、选择题图3－8－91．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图3－8－9)，要测算A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA ＝45°，就可以计算出A，B两点的距离为()A．50 2 m B．50 3 mC．25 2 m D.2522m2．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时()A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里图3－8－103．(2013·广州模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是() A．102海里B．103海里C．202海里D．203海里图3－8－114．如图3－8－11所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B处营救，则sin θ的值为()A.217 B.22 C.32 D.5714图3－8－125．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 6 m(如图3－8－12所示)，则旗杆的高度为()A．10 m B．30 m C．10 3 m D．10 6 m二、填空题6．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则乙楼的高是________米．7．在地上画一个∠BDA＝60°，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一方向行走14米正好到达∠BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点B，则B与D之间的距离为________米．图3－8－138．如图3－8－13，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________．三、解答题图3－8－149．(2013·佛山调研)如图3－8－14，某观测站C在城A的南偏西20°的方向，从城A出发有一条走向为南偏东40°的公路，在C处观测到距离C处31 km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去，行驶了20 km后到达D处，测得C，D两处的距离为21 km，这时此车距离A城多少千米？图3－8－1510．如图3－8－15，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D间的距离(计算结果精确到0.01 km，2≈1.414，6≈2.449)．图3－8－1611．(2013·惠州模拟)某城市有一块不规则的绿地如图3－8－16所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝14，BC＝10，AC＝16，∠C＝∠D.(1)求AB的长度；(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建设费用最低，请说明理由．解析及答案一、选择题1．【解析】在△ABC中，由正弦定理BCsin 30°＝ABsin 45°，AB＝50 2.【答案】 A2．【解析】如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，得AB＝5，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/小时)．【答案】 C3．【解析】由已知可得，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，从而∠ACB＝45°.在△ABC中，由正弦定理，得BC＝ABsin 45°×sin 30°＝10 2.【答案】 A4．【解析】连接BC.在△ABC中，AC＝10，AB＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AB·AC·cos 120°＝700，∴BC＝107，再由正弦定理，得BCsin∠BAC ＝AB sin θ，∴sin θ＝21 7.【答案】 A5．【解析】如图，在△ABC中，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°.由正弦定理得106sin 30°＝BCsin 45°，所以BC＝206×2 2＝203(m)．在Rt△CBD中，CD＝BC sin 60°＝203×32＝30(m)．【答案】 B二、填空题6．【解析】如图，依题意甲楼高度AB＝20tan 60°＝203米，又CM＝DB＝20米，∠CAM ＝60°.所以AM＝CM·1tan 60°＝2033米，所以乙楼的高CD＝203－2033＝4033米．【答案】403 37．【解析】如图所示，设BD＝x m，则142＝102＋x2－2×10×x×cos 60°，∴x2－10x－96＝0，∴x＝16.【答案】168．【解析】设AB＝h，在△ABC中tan 60°＝h BC，∴BC＝33h，在△BCD中，∠DBC＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理得CDsin∠DBC ＝BCsin∠BDC，即30sin 135°＝33hsin 30°，解得h＝15 6.【答案】15 6三、解答题9．【解】在△BCD中，BC＝31，BD＝20，CD＝21，由余弦定理cos∠BDC＝DB2＋DC2－BC22DB·DC＝－17，所以cos∠ADC＝17，sin∠ADC＝437，在△ACD中，由条件知CD＝21，A＝60°，所以sin∠ACD＝sin(60°＋∠ADC)＝32×17＋12×437＝5314，由正弦定理ADsin∠ACD ＝CD sin A，所以AD＝2132×5314＝15，故这时此车距离A城15千米．10．【解】 在△ACD 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ，又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线， 所以BD ＝BA . 在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝ACsin ∠ABC，即AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620，因此，BD ＝32＋620≈0.33 km.故B ，D 间的距离约为0.33 km.11．【解】 (1)在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝356－320cos C ， ① 在△ABD 中，由余弦定理及∠C ＝∠D 整理得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos D ＝392－392cos C ， ② 由①②得：356－320cos C ＝392－392cos C ， 整理可得，cos C ＝12，又∠C 为三角形的内角，所以C ＝60°， 又∠C ＝∠D ，AD ＝BD ， 所以△ABD 是等边三角形， 故AB ＝14，即A 、B 两点的距离为14. (2)小李的设计符合要求．理由如下：S △ABD ＝12AD ·BD sin D ， S △ABC ＝12AC ·BC sin C ， 因为AD ·BD ＞AC ·BC ， 所以S △ABD ＞S △ABC ，由已知建造费用与用地面积成正比，故选择△ABC建造环境标志费用较低．因此小李的设计符合要求．。
正弦定理与余弦定理各地高考练习题
一、选择题1.已知在△ ABC 中,sinA:sinB:sinC=3:2:4，那么cosC 的值为1_ 1 2 2A.- 4B. 4C.- 3D. _>2.在△ ABC中，a=入b=，隹入,A=45° ,则满足此条件的三角形的个数是A.0B.1C.2D.无数个3.在△ ABC中，bcosA=acosB,则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4.已知三角形的三边长分别为x2+x+1,x2-1和2x+1（x>1）,则最大角为A.150 °B.120°C.60°D.75°5.在4ABC中，出=1 , BC=2,（须+切）・（项+加）=5+2、5则边|4C|等于A-5 …而杼苕+增A. B .5-2 C. D.6.在△ ABC中，已知B=30° ,b=50，》，c=150,那么这个三角形是A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形7.在△ ABC 中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC,则此三角形为A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形8.正弦定理适应的范围是 A.RtA B.锐角△ C.钝角△ D.任意△9.已知△ ABC 中，a=10,B=60° ,C=45° ,贝U c=A.10+ 万B.10（Q-1）C.（而+1）D.10万10.在4ABC中，bsinAvav b,则此三角形有A.一解B.两解C.无解D.不确定11.三角形的两边分别为5和3,它们夹角的余弦是方程5x2-7 x-6=0的根，则三角形的另一边长为A.52B.2 L~C.16D.412.在4ABC 中，a2=b2+c2+bc,则A 等于A.60 °B.45°C.120D.30°= 7c=-13.在△ ABC中， 2 4，则△ ABC是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形14.在△ ABC 中，a=2, A=30° ,C=45° ,则^ ABC 的面积S”BC等于18. 4ABC 中，sin 2A=sin 2B+sin 2C,则△ ABC 为19. 4ABC 中,A=60° ,b=1,这个三角形的面积为 』’3 ,则^AB C 外接圆的直径为15.已知三角形ABC 的三边A.cos 2BB.1-cos 2B16 .在△ ABC 中, A.充分不必要条件条件17 .在△ ABC 中, A.直角三角形C. + +11D ； ( +1)a 、b 、c 成等比数列，它们的对角分别是A 、B 、C,则 sinAsinC 等C.1+cos 2BD.1+sin 2BsinA > sinB 是 A > B 的 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要bCosA=acosB,贝U 三角形为 B.锐角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形26^3A.yB. 2届岳C.二D.-20.在△ ABC 中, ——k:C ，则k 为A.2RB.RC.4R-RD. 2(R 为△ ABC 外接圆半径)二、填空题1.在△ ABC 中, A=60° , C=45° , b=2,则此三角形的最小边长为2.在△ ABC 中, dbc口‘十/十白’3 .在△ ABC 中,a ： b ：c=(0+1):痴:2,则^ ABC 的最小角的度数为 4 .在△ ABC 中，已知 sinA : sinB : sinC=6 ： 5 ： 4,贝U secA=5 . 4ABC 中，匕1ns 2m 方，则三角形为6 .在△ ABC 中，角 A 、B 均为锐角且 cosA>sinB,则△ ABC 是7 .在△ ABC 中，若此三角形有一解，则 a 、b 、A 满足的条件为8 .已知在△ ABC 中，a=10,b=5v6,A=45° JU B= 9 .已知△ ABC 中，a=181,b=209,A=121° 14'，此三角形解.10.在△ ABC 中,a=1,b=1,C=120° 贝U c=.11.在△ ABC 中，若a2>b2+c2,则△ ABC 为；若a2=b2+c2,则△ ABC 为;若a2 v b2+c2且b2v a2+c2且c2< a2+b2,则^ ABC 为.12.在△ ABC 中，sinA=2cosBsinC,则三角形为.sn C 2 yr 外—=—6 +1)13.在△ ABC 中，BC=3, AB=2,且41 8 5 , A=.14.在△ ABC 中，B= V3,C=3,B=30° ,贝(J A=.15.在△ ABC 中，a+b=12,A=60° , B=45° ,贝U a=,b=.16.若2,3,x为三边组成一个锐角三角形，则x的范围为.17.在△ ABC 中，化简bcosC+ccosB=.18.钝角三角形的边长是三个连续自然数，则三边长为.三、解答题1.已知在^ ABC 中，c=10, A=45° , C=30° ,求a、b 和B.2.已知△ ABC的三边长a=3, b=4, c= 437 ,求三角形的最大内角.3.已知在△ ABC中，/ A=45° , a=2, c=^ ,解此三角形.4.在四边形ABCD中，BC=a, DC=2a,四个角A、B、C、D度数的比为3 ： 7 ： 4 ： 10,求AB.5.在△ ABC中，A最大，C最小，且A=2C, A+C=2B,求此三角形三边之比.7.在△ ABC中，最大角A为最小角C的2倍，且三边a、b、c为三个连续整数，求a、b、c的值.8.如下图所示，半圆O的直径MN=2, OA=2, B为半圆上任意一点，以AB为一边作正三角形ABC,问B在什么位置时，四边形OACB面积最大？最大面积是多少？9.在△ ABC 中，若sinA : sinB : sinC=m : n ： l,且a+b+c=S,求a.10.根据所给条件，判断△ ABC的形状(1) acosA=bcosB值_ b _ 白oosA. 8s R oosC(2)11.△ABC中，a+b=10,而cosC是方程2x2—3x— 2=0的一个根，求^ ABC周长的最小值.12.在△ ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b,A—C= 3 ,求sinB的值.13.已知△ ABC 中，a=1,b= J^,A=30°，求B、C 和c.14.在△ ABC中，c=242, tanA=3,tanB=2,试求a、b及此三角形的面积.15.已知S AABC=10，》,一个角为60° ,这个角的两边之比为5 : 2,求三角形内切圆的半径.* ”------ - 二二口，且7cosm =bcosA16.已知△ ABC中，a-\-b-c，试判断^ ABC的形状.l7tanC=-217.已知△ ABC的面积为1, tanB=2 ，求4ABC的各边长.18.求值：an cos2 800+ j5an20o<xK80c19.已知△ ABC勺面积S=底口 = = 2解此三角形.20.在△ ABC 中，a="G,b=2,c=^^+1 ,求A、B、C 及&.21.已知(a2+bc) x2+2 V* * + 1=0是关于x的二次方程，其中a、b、c是4ABC的三边，⑴若/ A为钝角，试判断方程根的情况.(2)若方程有两相等实根，求/ A的度数.22.在4ABC 中，(a2+b2) sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),判断△ ABC 的形状.元23.在△ ABC中，u = 2J"，a>b,C= 4 ,且有tanA • tanB=6,试求a、b以及此三角形的面积.24.已知：k是整数，钝角△ ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c二+ A = 7/ < 3(1)若方程组国+D有实数解，求k的值.向-7^ ，, N T 2 (2)对于(1)中的k值，若“且有关系式- 上，试求A、B、C的度数.试题本一地区：四川文科卷年份：2012分值：5.0 难度：31. 如图，正方形&C0的边长为1 ,延长至1T ,使= l ,连接因.即snZ.<^D=()4.在△山C 中，角凡及U 对应的边分别是 值力£.已知他门乂-3期（8+0-1 . （I ）求角X 的大小；（n ）若 MBC 的面积& =5邛，匕=5 ,求sm £sinC 的值.地区：浙江理科卷 年份：2013 分值：4.0 难度：3血NBA 财'=—5. △ABC 中，IZC = 90。
正弦定理余弦定理应用实例练习含答案
课时作业3 应用举例时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是( )A ．103海里B ．106海里C ．52海里D ．56海里【答案】 D【解析】 如图，∠A ＝60°，∠B ＝75°， 则∠C ＝45°， 由正弦定理得：BC ＝AB ·sin A sin C ＝10×sin60°sin45°＝5 6.2．如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A 、B 两点的距离为( )A ．502mB ．503mC ．252m D.2522m【答案】 A【解析】 因为∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，所以∠ABC ＝30°，根据正弦定理可知，AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠ACB ，即50sin30°＝ABsi n45°，解得AB ＝502m ，选A.3．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A ，B 间距离是35m ，则此电视塔的高度是________m.【答案】 521【解析】 如图所示，塔高为OC ，则∠OAC ＝60°，∠AOB ＝180°－30°＝150°，∠CBO ＝45°，AB ＝35，设电视塔高度为h m，则OA＝33h，OB＝h，在△AOB中由余弦定理可得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos∠AOB，即352＝(33h)2＋h2－2×33h×h×(－32)解得h＝521.4．如图所示，海中小岛A周围38海里有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？【分析】船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A到直线BC的距离与38海里的大小，于是我们只要先求出AC或AB的大小，再计算出A到BC的距离，将它与38海里比较大小即可．【解析】在△ABC中，BC＝30，∠B＝30°，∠ACB＝135°，∴∠BAC＝15°由正弦定理BCsin A＝ACsin B，即：30sin15°＝ACsin30°∴AC＝60cos15°＝60cos(45°－30°)＝60(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝15(6＋2)，∴A到BC的距离为d＝AC sin45°＝15(3＋1)≈40.98海里>38海里，所以继续向南航行，没有触礁危险．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°【答案】 B【解析】 如图所示，∠ECA ＝40°，∠FCB ＝60°，∠ACB ＝180°－40°－60°＝80°，∵AC ＝BC ，∴∠A ＝∠ABC ＝180°－80°2＝50°，∴∠ABG ＝180°－∠CBH －∠CBA ＝180°－120°－50°＝10°.故选B.2．某市在“旧城改造”工程中，计划在如下图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境．已知这种草皮价格为a 元/m 2，则购买这种草皮需要( )A．450a元B．225a元C．150a元D．300a元【答案】 C【解析】S△＝12×20×30×sin150°＝12×20×30×12＝150(m2)，∴购买这种草皮需要150a元，故选C.3．有一长为10m的斜坡，倾斜角为75°.在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是( )A．5 B．10C．10 2 D．10 3【答案】 C【解析】如图，设将坡底加长到B′时，倾斜角为30°.在△ABB′中，利用正弦定理可求得BB′的长度．在△ABB ′中，∠B ′＝30°，∠BAB ′＝75°－30°＝45°，AB ＝10m. 由正弦定理，得BB ′＝AB sin45°sin30°＝10×2212＝102(m)．∴坡底延长102m 时，斜坡的倾斜角将变为30°.4．一船以226km/h 的速度向正北航行，在A 处看灯塔S 在船的北偏东45°，1小时30分后航行到B 处，在B 处看灯塔S 在船的南偏东15°，则灯塔S 与B 之间的距离为( )A ．66 kmB ．132 kmC ．96 kmD ．33 km【答案】 A【解析】 如图，∠ASB ＝180°－15°－45°＝120°， AB ＝226×32＝336，由正弦定理336sin120°＝SBsin45°，∴SB ＝66(km)．5．据新华社报道，强台风“珍珠”在饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，树尖与地面成45°角，树干也倾斜，与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是( )A.2063米B ．106米 C.1063米D ．202米【答案】 A【解析】 设树干底部为O ，折断点为P ，树尖着地处为M ，如图，△OPM 中，∠P ＝180°－∠M －∠O ＝180°－45°－75°＝60°，由正弦定理得PO sin M ＝MOsin P ，∴PO ＝MO sin M sin P ＝20×sin45°sin60°＝2063.6．甲船在B 岛的正南A 处，AB ＝10km ，甲船以4 km/h 的速度向正北航行，同时，乙船自B 岛出发以6km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是( )A.1507min B.157h C ．21.5min D ．2.15h【答案】 A 【解析】如图，设经过x小时时距离为s，则在△BPQ中，由余弦定理知：PQ2＝BP2＋BQ2－2BP·BQ·cos120°，即s2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)×6x×(－1 2 )＝28x2－20x＋100.当x＝－b2a＝514时，s2最小，此时x＝514h＝1507min.7．一艘船以4km/h的速度与水流方向成120°角的方向航行，已知河水流速为2km/h，则经过3h，该船实际航程为( ) A．215km B．6kmC．221km D．8km【答案】 B【解析】如图，∵|OA→|＝2，|OB→|＝4，∠AOB＝120°，∴∠A＝60°，|OC→|＝22＋42－2×2×4cos60°＝2 3.经过3h，该船的航程为23×3＝6(km)．8．如图，△ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上的两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为( )A．75° B．60°C．50° D．45°【答案】 C【解析】 如图，作CE ⊥平面ABD 于点E ，则∠CDE 是太阳光线与地面所成的角，即∠CDE ＝40°，延长DE 交直线AB 于点F ，连接CF ，则∠CFD 是遮阳棚与地面所成的角，设为α.要使S △ABD 最大，只需DF 最大．在△CFD 中，CF sin40°＝DF sin 140°－α. ∴DF ＝CF ·sin 140°－αsin40°.∵CF 为定值，∴当α＝50°时，DF 最大．二、填空题(每小题10分，共20分)9．如图在山脚A 测得山顶P 的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a 米到B ，又测得山顶P 的仰角为γ，则山高为________．【答案】 a sin α·sin γ－βsin γ－αm 【解析】 在△PAB 中，已知∠BAP ＝α－β，∠APB ＝γ－α，AB ＝a ，由正弦定理可得PA ＝a sin γ－βsin γ－α， 在Rt △PAQ 中，PQ ＝PA sin α＝a sin αsin γ－βsin γ－α. 10．一只蚂蚁沿东北方向爬行x cm 后，再向右转105°爬行20cm ，又向右转135°，这样继续爬行可回到出发点处，那么x ＝________.【答案】 2036【解析】如图△ABC中，∠A＝45°＋15°＝60°，∠B＝45°＋30°＝75°，∠ACB＝45°，由正弦定理知xsin∠ACB ＝20sin A，∴x＝2036.三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．A、B是海平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D 是点C到水平面的垂足，求山高CD.【分析】 如图，由于CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，所以CD ＝AD .因此，只需在△ABD 中求出AD 即可．【解析】 在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°，由AB sin15°＝AD sin45°，得AD ＝AB ·sin45°sin15°＝800×226－24＝800(3＋1)(m)．∵CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°∴CD ＝AD ＝800(3＋1)≈2 (m)．答：山高CD 为2 m.12．如图，一辆汽车从O点出发，沿海岸一条直线公路以100千米/小时的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在O点南偏东方向距O 点500千米且与海岸距离为300千米的海上M处有一快艇，与汽车同时出发，要把一件重要的物品递送给这辆汽车的司机，问快艇至少必须以多大的速度行驶，才能把物品递送到司机手中？并求快艇以最小速度行驶时方向与OM所成的角．【分析】根据题意画出示意图如图所示．在△MON中，利用余弦定理得到速度v关于时间t的函数关系式，然后利用二次函数求最值．【解析】 如图所示，设快艇从M 处以v 千米/小时的速度出发，沿MN 方向航行，t 小时后与汽车相遇．在△MON 中，MO ＝500，ON ＝100t ，MN ＝vt ，设∠MON ＝α，由题意得sin α＝35，则cos α＝45. 由余弦定理，得MN 2＝OM 2＋ON 2－2OM ·ON ·cos α，即v 2t 2＝5002＋1002t 2－2×500×100t ×45. v 2＝5002×1t 2－2×500×80×1t ＋1002＝(500×1t－80)2＋3 600. 当1t ＝80500，即t ＝254时，v 2min ＝3 600. 即快艇至少必须以60千米/小时的速度行驶，此时MN ＝60×254＝375，MQ 是M 到ON 的距离，且MQ ＝300. 设∠MNO ＝β，则sin β＝300375＝45.所以可得α＋β＝90°， 即MN 与OM 所成的角为90°.。
正弦定理练习题2 答案
正弦定理练习题2基本信息：[矩阵文本题] *姓名：________________________班级：________________________1. [单选题] *A BC D(正确答案)2. .[单选题] *A BC(正确答案)D3. 3.在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinC=√3c，则角A 等于() [单选题] *A．π/12B．π/4C．π/6D．π/3(正确答案)4. [单选题] *A B(正确答案)C D5. .[单选题] *A(正确答案)BC D6. [单选题] *A BC(正确答案)D7. . [单选题] *A BC D(正确答案)8. . [单选题] *A BC(正确答案)D9. [单选题] *A BC D(正确答案)10. [单选题] *A B(正确答案)C D11. [单选题] *A BC D(正确答案)12.[单选题] *A(正确答案)BC D13. [单选题] *A BC D(正确答案)14. [单选题] *A B(正确答案)C D15. 15．△ABC中，a=1，b=√3，A=30°，则B等于() [单选题] *A．60°B．60°或120°(正确答案)C．30°或150°D．120°16. 16.在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边长为（） [单选题] *A.二分之根号六B.2C.1/2D.三分之根号六(正确答案)17. [单选题] *A BC(正确答案)D18.[单选题] *A BC D(正确答案)。
正弦定理例题
正弦定理例题篇一：正弦定理练习题正弦定理练习题1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于( )62 C.3 D．262．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )32A．42 B．43C．6 D.33．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝43，b＝42，则角B为( )A．45°或135°B．135°C．45°D．以上答案都不对4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于( ) A．1∶5∶6B．6∶5∶1 C．6∶1∶5D．不确定5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b2，则c＝( )11A．1 B.C．2 24cos Ab6．在△ABC中，若，则△ABC是( )cos BaA．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形7．已知△ABC中，AB3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为( )33333 B.C.或3D.或242428．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于( )6B．2 C.3 D.2π9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，c＝3，C＝则A＝________.34310．在△ABC中，已知a＝，b＝4，A＝30°，则sinB＝________.311．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a ＋c＝________.12．在△ABC中，a＝2bcosC，则△ABC的形状为________．a＋b＋c13．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，则________，sinA＋sinB＋sinCc＝________.a－2b＋c14．已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，则＝________.sin A－2sin B＋sin C115．在△ABC中，已知a＝2，cosC＝，S△ABC＝43，则b＝________.316．在△ABC中，b＝43，C＝30°，c＝2，则此三角形有________组解．17．△ABC中，ab＝603，sin B＝sin C，△ABC的面积为3，求边b的长．正弦定理1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于( )62 C.3 D．26abasinB解析：选A.应用正弦定理得：b＝6.sinAsinBsinA2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )32A．42 B．43C．6 D.3asinB解析：选C.A＝45°，由正弦定理得b＝46.sinA3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝43，b＝42，则角B为( )A．45°或135°B．135°C．45°D．以上答案都不对abbsinA2解析：选C.由正弦定理＝sinB＝，又∵a>b，∴BsinAsinBa24．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于( ) A．1∶5∶6B．6∶5∶1 C．6∶1∶5D．不确定解析：选A.由正弦定理知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝1∶5∶6. 5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b2，则c＝( )11A．1 B.C．2 24bc2×sin 30°解析：选A.C＝180°－105°－45°＝30°，由c＝1.sinBsinCsin45°cos Ab6．在△ABC中，若，则△ABC是( )cos BaA．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形bsin Bcos Asin B解析：选D.∵＝，∴＝asin Acos Bsin AsinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2Bπ即2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B，或A＋B＝27．已知△ABC中，AB3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为( )33B.243333D.242ABAC3解析：选D.，求出sinC＝，∵AB＞AC，sinCsinB2∴∠C有两解，即∠C＝60°或120°，∴∠A＝90°或30°.1再由S△ABC＝AB·ACsinA可求面积．28．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于( )6B．2 3D.262解析：选D.由正弦定理得，sin120°sinC1∴sinC2又∵C为锐角，则C＝30°，∴A＝30°，△ABC为等腰三角形，a＝c＝2.π9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，c＝3，C＝则A＝________.3ac＝sinAsinCa·sinC1所以sinA＝.c2ππ又∵a＜c，∴A＜CA＝36π答案：64310．在△ABC中，已知a＝，b＝4，A＝30°，则sinB＝________.3ab解析：由正弦定理得＝sinAsinB12bsinA3?sinB＝＝a43233答案：211．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a ＋c＝________.解析：C＝180°－120°－30°＝30°，∴a＝c，ab12×sin30°由＝得，a＝＝，sinAsinBsin120°∴a＋c＝83. 答案：812．在△ABC中，a＝2bcosC，则△ABC的形状为________．解析：由正弦定理，得a＝2R·sinA，b＝2R·sinB，代入式子a＝2bcosC，得2RsinA＝2·2R·sinB·cosC，所以sinA＝2sinB·cosC，即sinB·cosC＋cosB·sinC＝2sinB·cosC，化简，整理，得sin(B－C)＝0. ∵0°＜B＜180°，0°＜C＜180°，∴－180°＜B－C＜180°，∴B－C＝0°，B＝C. 答案：等腰三角形a＋b＋c13．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，则________，sinA＋sinB＋sinCc＝________.a＋b＋ca311解析：由正弦定理得＝＝＝12，又S△ABC＝bcsinA，∴22sinA＋sinB＋sinCsinAsin60°×12×sin60°×c＝183，∴c＝6.答案：12 6a－2b＋c14．已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，则＝________.sin A－2sin B＋sin C解析：由∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3得，∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，a1∴2R＝＝2，sinAsin30°又∵a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，a－2b＋c2R?sin A－2sinB＋sin C?∴＝＝2R＝2. sin A－2sin B＋sin Csin A－2sin B＋sin C答案：2115．在△ABC中，已知a＝2，cosC＝，S△ABC＝43，则b＝________.3221解析：依题意，sinC＝S△ABC＝absinC＝43，32解得b＝23. 答案：2316．在△ABC中，b＝43，C＝30°，c＝2，则此三角形有________组解．1解析：∵bsinC＝＝23且c＝2，2∴c17．如图所示，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？1解：在△ABC中，BC＝＝20，2∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，所以∠A＝180°－(30°＋105°)＝45°，由正弦定理得BC·sin∠ABCAC＝sinA20sin30°＝2(km)．sin45°即货轮到达C点时，与灯塔A的距离是102 km.CC118．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a＝23，cos，sin Bsin C224A＝cosA、B及b、c.2CC11解：由sinsinC＝2242π5π又C∈(0，π)，所以CC＝66A由sin Bsin C＝cos21sin Bsin C－cos(B＋C)]，2即2sin Bsin C＝1－cos(B＋C)，即2sin Bsin C＋cos(B＋C)＝1，变形得cos Bcos C＋sin Bsin C＝1，π5π即cos(B－C)＝1，所以B＝C＝B＝C＝(舍去)，662πA＝π－(B＋C)＝3abc由正弦定理，得sin Asin Bsin C12sin Bb＝c＝a22.sin A322ππ故A＝，B＝b＝c＝2.3619．(2019年高考四川卷)在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对应的边分别为a、b、310c，且cos 2A＝，sin B.(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝2－1，求a，b，c的值．51010解：(1)∵A、B为锐角，sin B＝，103∴cos B＝1－sinB＝103525又cos 2A＝1－2sin2AsinA＝cos A＝555∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B 253105102＝－.5105102π又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝43π(2)由(1)知，C＝sin C＝.42abc由正弦定理：得sin Asin Bsin C5a＝10b＝2c，即a＝2b，c5b.∵a－b＝2－12b－b＝2－1，∴b＝1. ∴a2，c＝5.20．△ABC中，ab＝603，sin B＝sin C，△ABC的面积为3，求边b的长．11解：由S＝sin C得，3＝×603×sin C，221∴sin C＝C＝30°或150°.2又sin B＝sin C，故∠B＝∠C. 当∠C＝30°时，∠B＝30°，∠A ＝120°.ab又∵ab＝603，＝b＝15.sin Asin B当∠C＝150°时，∠B＝150°(舍去)．篇二：正弦定理习题及答案正弦定理习题及答案一、选择题(每小题5分，共20分)11．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asin B＝2，sin A＝，2则b的值为( )A．2C．6解析：由正弦定理得b＝B．4 D．8 asin B24. sin A12答案：B2．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，则△ABC是( )A．等边三角形C．直角三角形解析：∵sin2A＝sin2B＋sin2C.∴由正弦定理可得a2＝b2＋c2∴△ABC是直角三角形．答案：C3．在△ABC中，若A＝60°，C＝75°，b＝6，则a等于( ) A.C.6B．3 D．36 B．等腰三角形D．锐角三角形解析：∵B＝180°－(60°＋75°)＝45°，36×2bsin A∴a＝＝36. sin B22答案：D4．在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是( )A．b＝10，A＝45°，B＝70°C．a＝7，b＝5，A＝80°B．a＝60，c＝48，B＝100°D．a＝14，b＝16，A＝45°解析：D中，bsin A＝2，a＝14，所以bsin AD.答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么对应的三边之比为a∶b∶c为________．1解析：∵A∶B∶C＝3∶2∶1，A＋B＋C＝180°，∴A＝90°，B＝60°，C＝30°，设abc＝＝k，sin Asin Bsin C3k，c＝ksin C＝22则a＝ksin A＝k，b＝ksin B＝∴a∶b∶c＝2∶3∶1.答案：23∶16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知a ＝15，b＝2，A＝60°，则tan B＝________.bsin A231解析：由正弦定理得sin B＝×，a1525根据题意，得b故Bcos B＝1－sinB＝sin B1故tan B＝＝cos B21答案： 2三、解答题(每小题10分，共20分)7．(1)在△ABC中，已知A＝30°，a＝6，b＝3，求B.(2)在△ABC中，已知A＝60°，a＝6，b＝2，求B.623解析：(1)在△ABC中，由正弦定理可得＝sin 30°sin B解得sin B＝222. 5∵b>a，∴B>A.∴B＝45°或135°.62(2)在△ABC中，由正弦定理可得＝sin 60°sin B解得sin B＝2 2∵b∴B＝45°.a28．在△ABC中，若sin B＝＝B为锐角，试判断△ABC的形状．c2解析：∵sin B＝2，且B为锐角，22∴B＝45°.a2∵＝. c2sin A∴由正弦定理得，sin C2又∵A＋C＝135°，∴sin(135°－C)整理得cos C＝0.∴C＝90°，A＝45°.∴△ABC是等腰直角三角形．9．(10分)△ABC的各边均不相等，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且acos A＝bcos a＋bB的取值范围．c解析：∵acos A＝bcos B，∴sin Acos A＝sin BcosB，∴sin 2A＝sin 2B.∵2A,2B∈(0,2π)，∴2A＝2B或2A＋2B＝π，π∴A＝B或A＋B＝. 2如果A＝B，则a＝b不符合题意，π∴A＋B＝2a＋bsin A＋sin B∴sin A＋sin B＝sin A＋cos A csin Cπ2sin(A＋，4π∵a≠b，C＝2ππ0，且A ∴A∈??24a＋b∴(12)．c2sin C，23篇三：正弦定理典型例题与知识点正弦定理教学重点：正弦定理教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用,边角转化。