一元二次不等式的解法
一元二次不等式解法步骤
一元二次不等式解法步骤步骤1：将不等式转化为标准形式首先，将不等式化为标准形式，即将不等式左边化为一个关于x的二次多项式。
如果不等式是大于号（>），则需要将不等式变形为ax^2+bx+c>0的形式。
如果不等式是小于号（<），则需要将不等式变形为ax^2+bx+c<0的形式。
如果不等式左边已经是一个关于x的二次多项式，那么可以直接进行下一步。
步骤2：判断二次函数的凹凸性为了求出二次函数的解，首先需要判断二次函数的凹凸性。
由于二次函数是一个抛物线，凹凸性可以通过二次项系数a的正负来判断。
如果a大于0，则抛物线开口朝上，函数是凹的；如果a小于0，则抛物线开口朝下，函数是凸的。
步骤3：求出二次函数的零点接下来，需要求出二次函数的零点。
将ax^2+bx+c=0化简，可以得到一个或两个解。
这些解称为二次函数的零点，也就是函数与x轴交点的横坐标。
步骤4：画出二次函数的图像根据二次函数的凹凸性和零点，可以画出二次函数的图像。
如果函数是凹的，开口朝上，则函数图像是向上开口的抛物线，图像低点在两个零点的中点上方。
如果函数是凸的，开口朝下，则函数图像是向下开口的抛物线，图像高点在两个零点的中点下方。
步骤5：确定不等式的解集根据二次函数的图像，可以确定不等式的解集。
如果是大于号（>）的不等式，则解集是函数图像在x轴上方的区域；如果是小于号（<）的不等式，则解集是函数图像在x轴下方的区域。
解集可以用区间表示。
步骤6：检验解集的正确性最后，需要检验解集的正确性。
将解集中的一个任意值代入原始不等式中，如果代入后不等式成立，则说明解集的选择是正确的。
反之，如果代入后不等式不成立，则说明解集的选择错误，需要重新确定解集。
需要注意的是，解一元二次不等式的关键步骤是确定二次函数的凹凸性和求出零点。
根据二次函数的凹凸性和零点，可以确定函数图像的形状，进而确定不等式的解集。
在解题过程中，还需要注意符号的保持和不等式的变化法则。
一元二次不等式的解法(含参不等式 恒成立问题及根的分布)
②当a>2时，则△≤0，有2<a≤6；
③当a<2时，则a的值不存在；
综上，所求a的取值范围为{a|2≤a≤6}.
A
5
题型与解法
（二）不等式的恒成立
a x2b xc0 恒 成 立 ca0b0或a00
ax2bxc0恒 成 立 ca0b0或a00
ax2bxc0恒 成 立 ca0b0或a00
ax2bxc0恒 成 立 ca0b0或a00
1.一元二次方程、一元二次不等式均可用二次 函数图象一统天下，但必须注意前后的等价； 2.一元二次方程根的分布问题； 3.有关一元二次不等式恒成立问题. 4.含参数的一元二次不等式的解法
x=-b/2a
x1
x2
A
25
课后作业
1.P87 习题3—2 B组第1题、第2题； 2.课时作业.
A
26
本节课到此结束，请同学们 课后再做好复习。谢谢！
(C) 4ax3a (D) 3ax4a
A
23
课堂练习
3.（1）不等式ax2+bx+2＞0的解集是
{x|-1/2＜x＜1/3}，则a+b= -14 (a=-12,b=. -2)
（2）关于x不等式ax2+bx+c＞0的解集是 {x|x＜-2或x＞1/2}，则关于x的不等式 ax2-bx+c＜0的解集为 {x|-1/2<x<2} .
A
11
题型与解法
（四）一元二次方程根的分布问题
例3 分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条 件的m值的集合： (3)两根都小于1;
解： (3) ∵两根都小于1,
0
m
2
《一元二次不等式及其解法》
题3：解不等式- x2 + 2x – 3 >0
解：整理，得 x2 - 2x + 3 < 0 因为△= 4 - 12 = - 8 < 0
方程 2 x2 - 3x – 2 = 0无实数根
所以原不等式的解集为ф
解一元二次不等式ax2+bx+c>0、
ax2+bx+c<0 (a>0) 的步骤是： (1)化成标准形式 ax2+bx+c>0 (a>0)
解：解法一：f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数的图象的对 称轴为x=a,
①当a∈(-∞,-1)时，结合图象知，f(x)在［-1,+∞)上单 调递增，f(x)min=f(-1)=2a+3.
要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a, 即2a+3≥a，解得-3≤a<-1; ②当a∈［-1,+∞）时，f(x)min=f(a)=2-a2, 由2-a2≥a,解得-2≤a≤1. 综上所述，所求a的取值范围为-3≤a≤1.
都大于2，求实数m的取值范围.
【分析】借助二次函数图象考查
二次方程根的分布问题.有3个条件
f(2)>0
Δ≥0 或者利用韦达定理. - m>22
2
【解析】
图3-2-1
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图3-2-2
【评析】二次方程根的分布问题多借助根的判别式、韦 达定理或者用数形结合法由二次函数图象求解.
返回目录
已知f(x)=x2-2ax+2,当x∈［-1,+∞)时f(x)≥a恒成立， 求a的取值范围.
有两正根）
0 (x1 n) (x1 n)
一元二次不等式的解法(图像法)
思想方法: 1.数形结合
2.分类讨论
测量与评价学习结果
★
你知道什么是一元二次不等式吗?
★ ★你能解简单的一元二次决
生活中的相关问题吗?
五、作业
★ 1. 解不等式
(1) x2+4x-5≤0 (2) x2 －1>0
2. 已知方程 x2+mx+4=0有实数解 ★★ 求m的取值范围
?
四、小结 1. 解一元二次不等式的步骤 （1）化成标准形式 ax2+bx+c>0 (a>0) ax2+bx+c<0 (a>0) （2）判定△与0的关系，并求出方程 ax2+bx+c=0的实根;
(3)画出二次函数的图象 （4）根据图象写出不等式的解集. 2.在解决实际问题时，正确得出数学模型是关键， 具体问题具体分析
二次函数的图像给我们解一元二次不等式提供了有利的
帮助，这要感谢笛卡尔，他写的《几何学》提供了这种 数形结合的思想，从而有了直角坐标系，所以又把直角
坐标系称为“笛卡尔直角坐标系”，称他本人为“直角 坐 标系之父”，从而他成为了解析几何的创始人之一
【初中数学】初中数学知识点不等式：一元二次不等式的解法
【初中数学】初中数学知识点??不等式：一元二次不等式的解法解法一当△=b2-4ac≥0时，二次三项式，ax2+bx+c有两个实根，那么ax2+bx+c总可分解为a（x-x1）（x-x2）的形式。
这样，解一元二次不等式就可归结为解两个一元一次不等式组。
一元二次不等式的解集就是这两个一元一次不等式组的解集的交集。
举例：试解一元二次不等式2x2-7x+6<0解：利用十字相乘法2x-3x-2得（2x-3）（x-2）<0然后，分两种情况讨论口诀：大于取两边，小于取中间1）2x-3<0，x-2>0得x<1.5且x>2.不成立2）2x-3>0，x-2<0得x>1.5且x<2得最后不等式的解集为：1.5解法二另外，你也可以用配方法解二次不等式。
如上例题：2x2-7x+6=2（x2-3.5x）+6=2（x2-3.5x+3.0625-3.0625）+6=2（x2-3.5x+3.0625）-6.125+6=2（x-1.75）2-0.125<02（x-1.75）2<0.125（x-1.75）2<0.0625两边开平方，得x-1.75<0.25且x-1.75>-0.25x<2且x>1.5得不等式的解集为1.5解法三一元二次不等式也可通过一元二次函数图象进行求解。
通过看图象可知，二次函数图象与X轴的两个交点，然后根据题目所需求的“<0”或“>0”而推出答案。
求一元二次不等式的解集实际上是将这个一元二次不等式的所有项移到不等式一侧并进行因式分解分类讨论求出解集。
解一元二次不等式，可将一元二次方程不等式转化成二次函数的形式，求出函数与X轴的交点，将一元二次不等式，二次函数，一元二次方程联系起来，并利用图像法进行解题，使得问题简化。
解法四数轴穿根：用根轴法解高次不等式时，就是先把不等式一端化为零，再对另一端分解因式，并求出它的零点，把这些零点标在数轴上，再用一条光滑的曲线，从x轴的右端上方起，依次穿过这些零点，这大于零的不等式的解对应这曲线在x轴上方部分的实数x得起值集合，小于零的这相反。
一元二次不等式的解法与应用
一元二次不等式的解法与应用一元二次不等式是代数学中常见的一种求解问题的方法，它可以描述一个变量的取值范围。
在实际问题中，一元二次不等式的解法及其应用广泛存在于各个领域。
本文将介绍一元二次不等式的解法，并探讨其在实际应用中的具体案例。
一、一元二次不等式的解法对于形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的一元二次不等式，我们可以通过以下步骤进行求解。
步骤一：化简方程首先，我们需要将一元二次不等式化简为标准形式，即将不等式的右边移动到左边，使得不等式的右边等于零。
步骤二：求解方程在化简为标准形式后，我们将不等式转化为等式，即求解ax^2+bx+c=0的方程。
通过因式分解、配方法、求根公式等方法，我们可以得到方程的根。
步骤三：确定范围在得到方程的根后，我们需要使用数轴或数表来确定解的范围。
根据方程的根的位置和曲线的走势，我们可以判断出不等式的解在数轴上的位置。
步骤四：确定不等号最后，根据方程和不等式的关系，确定不等号的方向。
如果方程的根对应的点满足不等式，那么不等号应为“≥”或“≤”；如果方程的根对应的点不满足不等式，那么不等号应为“>”或“<”。
通过以上步骤，我们可以得到一元二次不等式的解的具体范围和形式。
二、一元二次不等式的应用一元二次不等式的应用广泛存在于各个领域，如经济学、物理学、工程学等。
下面我们将介绍一些具体的应用案例。
1. 经济学应用在经济学中，一元二次不等式可以用于描述成本、收益、销售额等变量之间的关系。
例如，某公司的利润可以用一元二次不等式P(x) = -2x^2 + 30x - 50来表示，其中x表示销售量。
通过求解不等式P(x) > 0，可以确定该公司的利润为正的销售范围，从而帮助决策者制定合适的销售策略。
2. 物理学应用在物理学中，一元二次不等式可以用于描述运动过程中的问题。
例如，一个物体的运动方程可以表示为一元二次不等式h(t) = -16t^2 + vt+ h0，其中h(t)表示物体的高度，t表示时间，v为初速度，h0为初始高度。
一元二次不等式的解法
x
O
x
R
Φ
Hale Waihona Puke Φ例1.解不等式 x2－3x－4 > 0 .
解:因为△ =(-3)2-4×1×(-4)>0
,
先求方程的根 然后画出函数图象
所以方程x2－3x－4 =0的解是
x1=-1, x2=4
所以,原不等式的解集是
x | x -1, 或x 4.
注:开口向上,大 于0解集是大于 大根,小于小根; 小于0的解集是 大于小根，小于 大根.
一元二次方程的根
一元二次不等式的解
2.一元二次不等式解法的步骤： （1）把一元二次不等式化为标准形式，并把二 次项系数化为正数 (a>0); （2）计算判别式，判断方程是否有根; （3）如果有根，求出方程的根； （4）写出不等式的解集，大于取两边、小于取中间。
1.习题3.2 A组：2题 2.完成课本78页的程序框图
（2）探究新知—从形到数
看一看 画一画
画出二次函数 y x2 20 的图象？ x 84
y
6
14
x
（2）探究新知—从形到数
y x2 20x 84
y
说一说
（1）方程x2-20x+84=0的根是 x1=6,x2=14 （2）不等式x2-20x+84≥0的解集是 {x|x≤6或x≥14} （3）不等式x2-20x+84≤0的解集是 {x|6≤x≤14}
20 x 2
x
（2）观察归纳—形成概念
2 x -20x+84≤0
抢 答 竞 赛
（1）该式子是等式还是不等式？
不等式 一个
不等式 一元
（2）该式中含有几个未知数？
一元二次不等式的解法(含参不等式)
（第三课时）
含参数的不等式
1、分式不等式
1 、
f (x) g ( x)
0
f (x) 0 g(x)
2、指数、对数不等式
①当 a 1时
a f (x) ag(x) f (x) g(x)
loga f (x) loga g(x) f (x) g(x) 0
求出 a,b.
题型与解法
（三）逆向问题
例2.已知不等式 ax2 bx 2 0 的解集为
11
( , ), 求a-b 的值.
23
解法一：∵不等式
∴方程 ax2
ax2
bx
bx 2 0的解集为 (
2 0 的两根为 1 , 1
1 2
,
,
1 3
),
23
1
66 a b 10.
题型与解法
（三）逆向问题
变式训练2
若不等式 ax2 bx c 0 的解 集是{x | 1 x 2}，求不等式
3 cx2 bx a 0 的解集.
{x | 3 x 1} 2
课堂练习
1.下列不等式中，解集为实数集R的是（D ）
(A) (x 1)2 0 (B) | x3 8 | 0
(C) | x | 0
(D) x2 2x 3 0
2.当 a 0时,不等式x2 ax 12a2 0 的解是（C）
(A) x 3a或x 4a (B) 3a x 4a
(C) 4a x 3a (D) 3a x 4a
4 a
a1 2
1b
b 2 0, 2 0.
一元二次不等式恒成立问题解法
一元二次不等式指的是形如$ax^2+bx+c>0$ 或$ax^2+bx+c\geq 0$ 的不等式，其中$a,b,c$ 是实数且$a\neq 0$。
如果要证明这个不等式恒成立，可以使用以下方法：方法一：求解方程将不等式转化为等式，即$ax^2+bx+c=0$。
由于$a\neq 0$，因此该方程的解为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 和$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
如果$x_1$ 和$x_2$ 的符号相同，那么不等式就不成立；如果$x_1$ 和$x_2$ 的符号不同，那么不等式就成立。
这是因为，当$a>0$ 时，$ax^2+bx+c$ 开口向上，所以当$x\in(x_1,x_2)$ 时，$ax^2+bx+c<0$；当$a<0$ 时，$ax^2+bx+c$ 开口向下，所以当$x<x_1$ 或$x>x_2$ 时，$ax^2+bx+c<0$。
方法二：利用一元二次函数的性质一元二次函数$y=ax^2+bx+c$ 的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线。
如果$a>0$，那么抛物线开口朝上，函数的最小值为$c-\frac{b^2}{4a}$，即当$x=-\frac{b}{2a}$ 时；如果$a<0$，那么抛物线开口朝下，函数的最大值为$c-\frac{b^2}{4a}$，即当$x=-\frac{b}{2a}$ 时。
因此，当$c-\frac{b^2}{4a}>0$ 时，不等式恒成立；当$c-\frac{b^2}{4a}\leq 0$ 时，不等式不成立。
综上所述，要证明一元二次不等式恒成立，可以使用上述两种方法之一。
需要注意的是，这些方法只适用于一元二次不等式，对于更高次的不等式，需要使用其他的方法进行证明。
一元二次不等式的解法
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第七章 不等式
19
①当 a＝1 时，1a＝1，x－1a(x－1)<0 无解； ②当 a>1 时，1a<1，解x－1a(x－1)<0， 得1a<x<1； ③当 0<a<1 时，1a>1，解x－1a(x－1)<0， 得 1<x<1a.
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第七章 不等式
20
综上所述，当 a<0 时，解集为xx<1a或x>1； 当 a＝0 时，解集为{x|x>1}； 当 0<a<1 时，解集为x1<x<1a； 当 a＝1 时，解集为∅； 当 a>1 时，解集为x1a<x<1.
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第七章 不等式
24
②若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否能为零，以确定不等式是一次不等 式还是二次不等式，再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； ③对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集． (3)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰对应相应的一元二次方程 的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系． [提醒] 当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于 0 的情况．
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第七章 不等式
21
角度三 已知一元二次不等式的解集求参数 已知不等式 ax2－bx－1>0 的解集是x－12<x<－13，则不等式 x2－bx－a≥0 的
解集是________．
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第七章 不等式
22