任意角的三角函数(1)
任意角的三角函数(第一课时)
������ 4
������ 3
cos
tan
sin ������ cos ������ tan ������
探讨：当角α 不是锐角时，sinα ，cosα ，tanα 的值又如何去求呢？ 知识探究一：任意角的三角函数 问题 1：为了研究方便，我们把锐角 α 放到直角坐标系中，并使角 α 的顶点与原点 O 重合, 始边与 x 轴的非负半轴重合.在角 α 的终边上取一点 P（x，y）,设点 P 与原点的距离为 r，那 么，sinα，cosα，tanα 的值分别如何表示？
其中： OM x MP y OP r x 2 y 2
问题 2：如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
sin
MP y OP r OM x cos OP r MP y tan OM x
问题 3： 为了使sin ������， cos ������的表示式更简单， 你认为点 P 的位置选在何处最好？此时， sin ������， cos ������分别等于什么？
任意角的三角函数(第一课时) 学习目标: 1、 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义 2、 理解任意角的三角函数不同的定义方法 学习重点： 任意角的正弦、余弦、正切的定义 学习难点： 用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数 学习过程： 复习回顾：我们已经学习过锐角的三角函数，如图：
sin
α
������ 6
在直角坐标系中，以原点 O 为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆. 问题 4： 设角������是一个任意角， 对于角������的终边上一点 P， 要使|OP|=1， 点 P 的位置如何确定？
任意
角
的三角函数定义
P( x, y)
任意角的三角函数 课件
任意角的三角函数问题
已知角α的顶点与坐标原点重合，其始边与x轴 的正半轴重合．若角α的终边上有一点P(2t，－4t)(t≠0)，求tan α，sin α的值．
【思路分析】首先求出终边上的点到原点的距离，利用定 义便可求解．
【规范解答】tan α＝－24t t＝－2.
利用定义求三角函数的定义域
求函数
y＝sin
x＋cos tan x
x的定义域
【思路分析】应考虑到分式中分母不等于零，还应考虑使 tan x有意义．
【规范解答】要使函数有意义，需 tan x≠0. ∴x≠kπ＋π2(k∈Z)且 x≠kπ(k∈Z)． ∴x≠2kπ(k∈Z)． 故函数的定义域是{x|x∈R 且 x≠2kπ(k∈Z)}.
任意角的三角函数
1．单位圆：在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长 度为半径的圆为单位圆．
2．三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边与单位 圆交于点P(x，y)，则
(1)y 叫做 α 的正弦，记作 sin α，即 sin α＝y； (2)x 叫做 α 的余弦，记作 cos α，即 cos α＝x； (3)yx叫做 α 的正切，记作 tan α，即 tan α＝yx. 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的 坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称它们为三角函数．
∵|OP|＝ 2t2＋－4t2＝2 5|t|，
∴当 t>0 时，sin α＝2－45tt＝－255；
Байду номын сангаас
当
t<0
时，sin
α＝－－2 4t5t＝2
5
5 .
(1)利用定义解题是一种良好的数学思维方 法，因为定义是一切基本问题的出发点，是打开知识宝库的金 钥匙．三角函数的定义贯穿于与三角有关的各个部分，并起着 关键作用，应高度重视．
高一数学测试题—任意角的三角函数(1)
高中学生学科素质训练高一数学测试题—任意角的三角函数（1）一、选择题： 1、如果sin θ= m,|m|>1,180°<θ<270°,那么tan θ等于 （）A ．213m m -- B ．－21m m- C ．±21m m- D ．－m m 21-2、若sin θ=53+-m m , cos θ=524+-m m,其中θ为第二象限的角,则m 的取值范围是（）A ．m = 8B ．3<m<9C ．m=0或m=8D ．－5<m < 93、函数y=)2cot()2cos()tan()sin(a ++-++-παπαπαπ (α≠ 2πk )的函数值为（）A ．恒为负值B ．恒为正值C ．可能为0D ．随α的不同可取正值或负值 4、P={y|y=sin3xπ ,x ∈N* },则P 为（）A ．{－23, 23} B ．{－23,0, 23 } C ．{y|－1≤y ≤1} D ．{－1,－23 ,0, 23,1}5、己知θ是第二象限的角，则必有（）A ．tan2θ>cot 2θ B ．tan 2θ <cot 2θ C ．sin 2θ >cos 2θ D ．sin 2θ <cos 2θ 6、α、β、γ均为锐角，若sin α=31 , tg β＝2，cos γ＝43，则α、β、γ的大小顺序是（）A ．γβα<<B ．βγα<<C ．αβγ<<D ．αγβ<<7、在ΔABC 中，A ＞B ，下列四个不等式中不正确的是（） A ．sinA ＞sinB B ．cosA ＜cosB C ．sin2A ＞sin2B D ．cos2A ＜cos2B 8、y=tan|tan ||cos |cos sin |sin |x x x x x ++的值域是（） A ．{1,－1} B ． {－1,1,3}C ． {－1,3}D ．{1,3}二、选择题：9、己知α是第二象限的角，且|cos2α |=－cos 2α,则 是第_____ 象限的角. 10、已知tan α+ cot α=－2,则tan nα+cot nα=______ .11、已知α是第一象限的角，且sin α=2sin β,tan α=3tan β,则cos α的值为___ .12、已知log (tan θ+cot θ) sin θ=－43,则log tan θcos θ=_______ . 三、计算题13、设sin θ和cos θ是方程2x 2－(3 +1)x+m=0的两个根,求m 及θθθθtan 1cos cot 1sin -+- 的值.14、已知θθθθsin 3cos 5cos 2sin 4+-=116,求证：θ22sec lg )5353(log =--++lg 2.15、己知sin θ+cos θ=－510,求①sec θ +csc θ的值 ②tan θ的值16、设f(x)=⎩⎨⎧≥+-<);0(1)1()0(sin x x f x x π；g(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-<)21(1)1()21(cos x x g x x π,求g( 41)+f( 31)+g( 65)+f( 43)的值.高一数学测试题—参考答案同角三角函数的关系一、BABBA BCC 二、（9）二 （10）±2 （11）46（12）21三、（13）由已知θθθθθθθθcos sin 21)cos (sin ,2cos sin ,213cos sin 2+=+=+=+考虑m.213cos sin cos sin cos sin sin cos cos cos sin sin tan 1cos cot 1sin .23,1)213(:22222+=+=--=-+-=-+-=+=+θθθθθθθθθθθθθθθθm m 解得可得（14）12log )5353(log )5353(log 12lg sec lg 5sec ,2tan ,116tan 352tan 4116sin 3cos 5cos 2sin 4222222==--+=--+=+∴==∴=+-⇒=+-而由θθθθθθθθθ31tan 3tan ,03tan 10tan 3,310tan 1tan ,310cos sin cos sin .1032cos sin cos sin sin 1cos 1csc sec ,103cos sin 52cos sin 21,510cos sin )15(2222-=-=∴=++-=+∴-=+=+=+=+∴-==+∴-=+θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ或即即 .31221231)23(221)4sin(1)41()43(1)32sin(1)32()31(:2311)6cos(1)61(1)165()65(,2165,224cos )41(,2141)16(=+-+++-+=∴+-=+-=+-=+-=+=+-=+-=+-=∴>==∴<原式同理πππππf f f f g g g g②。
7.2.1任意角的三角函数课件高中数学苏教版必修第一册
知识点拨
一、任意角的三角函数
对于任意角α,在平面直角坐标系中,设α的终边上异于原点的任意一点P的
坐标是(x,y),它与原点O的距离是r,则 r= x 2 + y 2 .
要点笔记在任意角的三角函数的定义中,应该明确:α是一个任意角,其范围
是使函数有意义的实数集.
微思考
)
5
5
2 5
D.5
答案 B
解析 因为 sin
2 5
α=y=- ,cos
5
α=x=
5
,所以
5
sin α+cos
2 5
α=5
+
5
5
=- .
5
5
二、三角函数在各象限的符号
正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各个象限的符号如图所示.
要点笔记正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号,它在x轴上方为正,下方
为负;余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号,在y轴右侧为正,左侧为负;
C.[-2,3) D.[-2,3]
(2)已知角α的终边与单位圆的交点为(- 1 ,y)(y<0),则sin αtan α=
2
.
答案 (1)A
3
(2)2
解析 (1)∵cos α≤0,sin α>0,∴α 终边在第二象限或 y 轴非负半轴.则
3-9 ≤ 0,
解得-2<a≤3.
+ 2 > 0,
1
(2)∵α 的终边与单位圆的交点为(-2,y),
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
)
答案 D
解析 由条件可知cos θ>0,sin θ<0,则θ为第四象限角,故选D.
(完整版)任意角的三角函数及诱导公式(学生版)
任意角的三角函数及诱导公式【知识梳理】 1．任意角 (1)角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成)(3600Z k k ∈⋅+α．(3)弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，rl=||α,l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角叫做弧度制．比值rl与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：π23600=弧度；π=0180弧度． ⑤弧长公式：r l ||α=，扇形面积公式：2||2121r lr S α==扇形. 2．任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数定义：设(),P x y 为角α终边上异于原点一点，则角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α=cos α=tan y xα=特别地，当221x y +=时，sin ,cos y x αα==，()cos ,sin P αα(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P作PM 垂直于x 轴于M .由三角函数的定义知，点P 的坐标为()cos ,sin αα，即()cos ,sin P αα，其中OM =αcos ，MP =αsin ，单位圆与x 轴的正半轴交于点)0,1(A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则AT =αtan .我们把有向线AT 、叫做α的余弦线、正弦线、正切线.(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) (Ⅳ)有向线段MP 为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线段AT 为正切线4．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：()222222sincos 1 sin 1cos ,cos 1sin αααααα+==-=-．(2)商数关系：sin sin tan sin tan cos ,cos cos tan ααααααααα⎛⎫=== ⎪⎝⎭.对于角“)(2Z k ∈±α”的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．【课前小练】1.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若(4,y)P 是角θ终边上一点，且sin θ=，则y =_____________ 2.若4sin 5θ=，tan 0θ>，则cos ( )θ=A ．35 B ．35- C ．45D ． 45-3.已知51sin()25πα+=，那么cos α=（ ） A.25- B.15- C. 15 D. 25【例题解析】考点一 任意角的三角函数值例1 已知角α的终边过点(1P -，求这个角的三个三角函数值。
任意角的三角函数诱导公式
任意角的三角函数、诱导公式[基础归纳]1．设α是一个任意角，它的始边与x 轴的非负半轴重合，顶点在原点，终边与单位圆的交点为P(x ，y)．(1)y 叫做α的正弦，记作sin_α，即sin_α＝y ； (2)x 叫做α的余弦，记作cos_α，即cos_α＝x ； (3)y x 叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝yx (x ≠0)． 2．三角函数的定义域如表所示：三角函数 定义域 sin α R cos α Rtan α {α|α≠π2＋kπ，k ∈Z}3.三角函数的值在各象限的符号如图所示．4．终边相同的角的同一三角函数的值相等，即sin(α＋k·2π)＝sin_α cos(α＋k·2π)＝cos_α tan(α＋k·2π)＝tan_α (其中k ∈Z)．5．已知角α的终边位置，角α的三条三角函数线如图所示．sin α＝MP ，cos α＝OM ，tan α＝AT.6．熟记各特殊角的三个三角函数值 角度α 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°弧度α 0 π6 π4 π3 π2 π 3π22π sin α 0 12 22 321 0 －1 0 cos α 1 32 2212 0 －1 0 1 tan α 0 331 3 不存在 0 不存在 0 （1）．三角函数也是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从一个角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应，并且对任意一个角，在比值集合中都有唯一确定的象与之对应．三角函数的自变量是角α，比值是角α的函数．（2）．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x ，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定，即三角函数值的大小只与角有关．知识要点二：三角函数值在各象限内的符号 （1）．三角函数值的符号是根据三角函数的定义，由各象限内点的坐标的符号得出的． （2）．对正弦、余弦、正切函数值的符号可用下列口诀记忆：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，该口诀表示：第一象限全是正值，第二象限正弦是正值，第三象限正切是正值，第四象限余弦是正值．知识要点三：诱导公式一的理解及其应用 （1）．公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等． （2）．公式一的结构特征：①左、右为同一三角函数；②公式左边的角为α＋k·2π，右边的角为α. （3）．公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值． 知识要点四：三角函数线（1）．三角函数线的意义三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负，具体地说，正弦线、正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐标轴一致，向右为正，向左为负，三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便．（2）．三角函数线的作用三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名三角函数值的大小，同时它也是以后学习三角函数的图象与性质的基础．7．同角三角函数的基本关系式包括： 平方关系式：sin 2α＋cos 2α＝1；商数关系式：tan α＝sin αcos α.8．商数关系tan α＝sin αcos α成立的角α的范围是{α|α≠kπ＋π2，k ∈Z}．知识要点一：公式的推导（1）．设P(x ，y)是角α的终边与单位圆的交点，由三角函数的定义：x ＝cos α，y ＝sin α，yx＝tan α，及单位圆上的点到原点的距离为1，可知x 2＋y 2＝1，即cos 2α＋sin 2α＝1，且y x ＝sin αcos α＝tan α.（2）．由任意角的三角函数的定义也可求得． 设P(x ，y)为角α终边上的任一点，|OP|＝r.则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx.易知sin 2α＋cos 2α＝x 2＋y 2r 2＝1，tan α＝y x ＝sin αcos α.知识要点二：公式应用时注意的问题 （1）．公式成立的条件sin 2α＋cos 2α＝1对一切α∈R 均成立，tan α＝sin αcos α仅在α≠kπ＋π2(k ∈Z)时成立．（2）．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin 22α＋cos 22α＝1，sin 8αcos 8α＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”．（3）．使用平方关系sin α＝±1－cos 2α， cos α＝±1－sin 2α，“±”由角α所在象限来确定． （4）．对于同角三角函数的基本关系式应注意变用及逆用．如：sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，1＝sin 2α＋cos 2α，si n α＝tan α·cos α，cos α＝sin αtan α，sin αcos α＝tanα 等．9．诱导公式二sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan_α. 10．诱导公式三sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tan(－α)＝－tan_α. 11．诱导公式四sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α， tan(π－α)＝－tan_α.即α＋k·2π(k ∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．12．诱导公式五 13．诱导公式六 sin(π2－α)＝cos_α，cos(π2－α)＝sin_α. sin(π2＋α)＝cos_α，cos(π2＋α)＝－sin_α. 即π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．知识要点一：公式的记忆方法六组诱导公式可用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀来记忆．其中α＋2kπ(k ∈Z)，π＋α，－α，π－α，π2－α，π2＋α可统一表示成kπ2±α(k ∈Z)的形式．当k 为奇数时，函数的名称要改变，由sin α变为cos α，cos α变为sin α；当k 为偶数时，函数的名称不变，这就是“奇变偶不变”的意思．还有，在记忆公式时要把α看成锐角(注意这里是为了记忆的方便，仅仅是看成锐角，而不是一定为锐角)，然后确定kπ2±α所在的象限，并结合函数的名称来确定符号，这就是“符号看象限”的意思．知识要点二：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数 利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是：可以看出，这些步骤体现了把未知问题化归为已知问题的数学思想．可以简单记为“负化正，大化小，化成锐角才罢了”．[典例解析]第一部分：任意角的三角函数【例1】 已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a ≠0)，求sin α、cos α、tan α的值．思路点拨：先求出点P 到原点的距离，再利用任意角三角函数的定义，求sin α，cos α，tan α的值． 解：r ＝(－4a )2＋(3a )2＝5|a|.若a>0，则r ＝5a ，角α在第二象限，sin α＝y r ＝3a 5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a 5a ＝－45，tan α＝y x ＝3a －4a ＝－34.若a<0，则r ＝－5a ，角α在第四象限，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.变式训练11：角α的终边过点P(－8m ，－6cos 60°)且cos α＝－45，则m 的值是( )(A)12 (B)－12 (C)－32 (D)32 解析：P(－8m ，－3)，cos α＝－8m 64m 2＋9＝－45.∴m ＝12. 故选A.【例2】 判定下列各式的符号： (1)tan 191°－cos 191°；(2)sin 2cos 3tan 4. 解：(1)∵191°是第三象限角， ∴tan 191°＞0，cos 191°＜0， ∴tan 191°－cos 191°＞0.(2)∵π2＜2＜π，π2＜3＜π，π＜4＜3π2，∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角． ∴sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0. ∴sin 2cos 3tan 4＜0.变式训练21：若θ是第二象限角，则sin (cos θ)cos (sin 2θ)的符号是什么？解：∵2kπ＋π2＜θ＜2kπ＋π(k ∈Z)，∴－1＜cos θ＜0,4kπ＋π＜2θ＜4kπ＋2π，－1＜sin 2θ＜0.∴sin(cos θ)＜0，cos(sin 2θ)＞0. ∴sin (cos θ)cos (sin 2θ)＜0.变式训练22：若sin 2α>0，且cos α<0，试确定α的终边所在象限． 解：∵sin 2α>0，∴2kπ<2α<2kπ＋π(k ∈Z)，∴kπ<α<π2＋kπ(k ∈Z)．当k 为偶数，设k ＝2m(m ∈Z)有：2mπ<α<2mπ＋π2(m ∈Z)；当k 为奇数，设k ＝2m ＋1(m ∈Z)有：2mπ＋π<α<2mπ＋3π2(m ∈Z)．∴α为第一或第三象限角．又∵cos α<0，∴α的终边在第三象限【例3】 求下列各式的值 (1)a 2sin(－1350°)＋b 2tan 405°－(a －b)2tan 765°－2abcos(－1080°)；(2)sin(－11π6)＋cos 125π·tan 4π.解：(1)原式＝a 2sin(－4×360°＋90°)＋b 2tan(360°＋45°)－(a －b)2tan(2×360°＋45°)－2abcos(－3×360°)＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－(a －b)2tan 45°－2abcos 0°＝a 2＋b 2－(a －b)2－2ab ＝0.(2)原式＝sin(－2π＋π6)＋cos 125π·tan 0＝sin π6＝12.变式训练31：求值： (1)sin(－1320°)cos 1110°＋cos(－1020°)·sin 750°＋tan 495°；(2)cos(－233π)＋tan 174π；(3)已知tan α＝13，且0＜α＜π2，求sin (α－2π)·cos (2π＋α)tan (α－4π)的值．解：(1)原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°＝32×32＋12×12－1＝0.(2)原式＝cos[π3＋(－4)×2π]＋tan(π4＋2×2π)＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(3)由tan α＝13可设α的终边上一点为(3x ，x)，x>0，∴sin α＝x 10x 2＝1010，cos α＝3x 10x 2＝31010，∴sin (α－2π)·cos (2π＋α)tan (α－4π)＝sin α·cos αtan α＝1010×3101013＝910.【例4】 求下列函数的定义域：(1)y ＝2cos x －1；(2)y ＝lg(3－4sin 2 x) 解：(1)如图(1)．∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.∴函数定义域为[－π3＋2kπ，π3＋2kπ](k ∈Z)．(2)如图(2)．∵3－4sin 2x>0，∴sin 2x<34， ∴－32<sin x<32.∴函数定义域为(－π3＋2kπ，π3＋2kπ)∪(2π3＋2kπ，4π3＋2kπ)(k ∈Z)，即(－π3＋kπ，π3＋kπ)(k ∈Z)．变式训练41：利用单位圆解不等式(组)(1)3tan α＋3>0；(2)⎩⎨⎧2sin x －2>02cos x ≤1.解：(1)原不等式可化为3tan α>－3，即tan α>－33， 则不等式的解的集合如图(阴影部分)所示，∴{α|kπ－π6<α<kπ＋π2，k ∈Z}．(2)原不等式组可化为⎩⎪⎨⎪⎧2sin x>2，cos x ≤12.即⎩⎨⎧sin x>22，cos x ≤12.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴{x|2kπ＋π3≤x<2kπ＋34π，k ∈Z}．【例5】 求函数y ＝cos x·tan x 的定义域． 解：要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≥0，tan x ≥0，x ≠π2＋kπ，或⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≤0，tan x ≤0，x ≠π2＋kπ，⇒x ∈[2kπ，π2＋2kπ)∪(π2＋2kπ，π＋2kπ]，k ∈Z ，即定义域为[2kπ，π2＋2kπ)∪(π2＋2kπ，π＋2kπ]，k ∈Z.第二部分：同角的三角函数的基本关系【例1】 已知cos α＝－35，求sin α，tan α的值．解：∵cos α＜0且cos α≠－1， ∴α是第二或第三象限角． 当α为第二象限角时，sin α＝1－cos 2α＝ 1－(－35)2＝45，tan α＝sin αcos α＝－43.当α为第三象限角时，sin α＝－1－cos 2α＝－1－(－35)2＝－45，tan α＝sin αcos α＝43.【例2】 已知tan α＝3，求下列各式的值．(1)3cos α－sin α3cos α＋sin α；(2)2sin 2α－3sin αcos α.解：(1)原式＝3cos α－sin αcos α3cos α＋sin αcos α＝3－tan α3＋tan α＝3－33＋3＝(2)原式＝2sin 2α－3si n αcos αsin 2α＋cos 2α＝2sin 2α－3sin αcos αcos 2αsin 2α＋cos 2αcos 2α＝2tan 2α－3tan αtan 2α＋1＝2×32－3×332＋1＝910.【例3】 已知0<α<π，sin α＋cos α＝15，求tan α的值．解：由sin α＋cos α＝15①两边平方易得sin αcos α＝－1225<0，又0<α<π，∴sin α>0，cos α<0，则sin α－cos α>0， ∴sin α－cos α＝(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×(－1225)＝75②由①②解得sin α＝45，cos α＝－35，所以tan α＝sin αcos α＝－43.变式训练31：已知－π2<x<0，sin x ＋cos x ＝15.求sin x －cos x 的值．解：法一：由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin xcos x ＋cos 2x ＝125，即2sin xcos x ＝－2425，∴(sin x －cos x)2＝1－2sin xcos x ＝4925.又∵－π2<x<0，∴sin x<0，cos x>0，∴sin x －cos x<0，∴sin x －cos x ＝－75.【例4】 化简：1cos α1＋tan 2α＋1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.解：原式＝1cos α1＋sin 2αcos 2α＋(1＋sin α)21－sin 2α－(1－sin α)21－sin 2α＝|cos α|cos α＋1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α| ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2tan α(α为第一或第四象限角)，－1－2tan α(α为第二或第三象限角). 变式训练41：若tan θ＝2，则sin θ1＋sin θ－sin θ1－sin θ的值为________．解析：∵tan θ＝2，∴sin θ1＋sin θ－sin θ1－sin θ＝sin θ(1－sin θ)－sin θ(1＋sin θ)(1＋sin θ)(1－sin θ)＝－4.【例5】 求证：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α.证明：左边＝cos α(1＋cos α)－sin α(1＋sin α)(1＋sin α)(1＋cos α)＝cos 2α－sin 2α＋cos α－sin α1＋sin α＋cos α＋sin αcos α ＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)12(cos α＋sin α)2＋sin α＋cos α＋12 ＝2(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)(sin α＋cos α＋1)2＝2(cos α－sin α)1＋s in α＋cos α＝右边． ∴原式成立．变式训练51：证明：1－2sin θcos θcos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ1＋2sin θcos θ.证明：∵1－2sin θcos θcos 2θ－sin 2θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)－2sin θcos θcos 2θ－sin 2θ＝(cos θ－sin θ)2cos 2θ－sin 2θ＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝cos 2θ－sin 2θ(cos θ＋sin θ)2＝cos 2θ－sin 2θ(cos 2θ＋sin 2θ)＋2sin θcos θ＝cos 2θ－sin 2θ1＋2sin θcos θ， ∴1－2sin θcos θcos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ1＋2sin θcos θ. 【例6】 若sin A ＝45，且A 是三角形的一个内角，求5sin A ＋815cos A －7的值．解：因为sin A ＝45，所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±35，当cos A ＝35时，5sin A ＋815cos A －7＝5×45＋815×35－7＝6；当cos A ＝－35时，5sin A ＋815cos A －7＝5×45＋815×(－35)－7＝12－16＝－34.故所求的值为6或－34.变式训练61：已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin Acos A ；(2)判断△ABC 是锐角三角形，还是钝角三角形？解：(1)因为sin A ＋cos A ＝15，所以两边平方得1＋2sin Acos A ＝125，sin Acos A ＝－1225.(2)由(1)sin Acos A ＝－1225<0，且0<A<π，可知cos A<0，所以A 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形．第三部分：三角函数的诱导公式 【例1】 求下列三角函数式的值．(1)sin 1320°；(2)cos(－316π)；(3)tan(－945°)．解：(1)法一：sin 1320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 法二：sin 1320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32.(2)法一：cos(－31π6)＝cos 31π6＝cos(4π＋7π6)＝cos(π＋π6)＝－cos π6＝－32.变式训练11：计算下列各式的值： (1)sin 600°＋tan 240°；(2)sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°. 解：(1)sin 600°＋tan 240°＝sin(360°＋240°)＋tan(180°＋60°)＝sin 240°＋tan 60°＝－sin 60°＋tan 60°＝32.(2)sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°＝sin 2 15°＋cos 2 15°＝1.【例2】 已知cos(π＋α)＝－12，求sin(2π－α)的值．解：∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12，∴α是第一或第四象限角． ①若α是第一象限角，则sin(2π－α)＝－sin α＝－1－cos 2α＝－32.②若α是第四象限角，则sin(2π－α)＝－sin α＝1－cos 2α＝32. 变式训练21：已知sin(π3－α)＝12，则cos(π6＋α)＝________.解析：∵(π3－α)＋(π6＋α)＝π2，∴cos(π6＋α)＝cos[π2－(π3－α)]＝sin(π3－α)＝12.【例3】 求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)＝－tan α.证明：原式左边＝sin (2π－α)cos (2π－α)·sin (－α)·cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)＝－sin α·(－sin α)·cos αcos α·(－cos α)·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边． ∴原式得证．变式训练31：已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，证明： (1)cos A ＋cos(B ＋C)＝0；(2)sin B ＋C 2＝cos A 2.证明：(1)∵A ＋B ＋C ＝π， ∴B ＋C ＝π－A ，∴cos A ＋cos(B ＋C)＝cos A ＋cos(π－A)＝cos A －cos A ＝0；(2)∵B ＋C 2＝π－A 2＝π2－A 2，∴sin B ＋C 2＝sin(π2－A 2)＝cos A 2.。
高中数学第三章三角函数3.2任意角的三角函数3.2.1任意角三角函数的定义一课件湘教版必修2
2.三角函数在各个象限的符号
3.三角函数的定义域 三角函数 sin α,cos α
tan α,sec α
cot α,csc α
定义域 R
{α|α≠kπ＋π2,k∈Z} {α|α≠kπ,k∈Z}
要点一 三角函数定义的应用 例 1 已知角 α 的终边在直线 y＝－3x 上,求 10 sin α＋co3s α 的值.
解 由题意知,cos α≠0. 设角α的终边上任一点为P(k,－3k)(k≠0),则
x＝k,y＝－3k,r＝ k2＋－3k2＝ 10|k|.
(1)当 k>0 时,r＝ 10k,α 是第四象限角,
sin
α＝yr＝ －130kk＝－3
10 10 ,
1 cos
α＝xr＝
1k0k＝
10,
∴10sin α＋co3s α＝10×－3 1010＋3 10
规律方法 在解决有关角的终边在直线上的问题时,应注意
到角的终边为射线,所以应分两种情况处理,取射线上异于原
点 的 任 意 一 点 坐 标 (a,b), 则 对 应 角 的 正 弦 值 为 sin α ＝
b ,cos α＝ a2＋b2
a ,tan
a2＋b2
α＝ba.
跟踪演练 1 已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半
答 锐角A的正弦,余弦,正切依次为：
sin A＝ac,cos A＝bc,tan A＝ab.
[预习导引]
1.三角函数的定义
(1)正弦、余弦、正切
如图,在α的终边上任取一点P(x,y),设OP＝r
y
x
y
(r≠0).定义：sin α＝ r ,cos α＝r ,tan α＝ x ,
苏教版高中数学必修第一册《7.2.1任意角的三角函数》精品课件
，是第四象限角，所以
−° < .
< .
设计意图：判断三角函数值的正负，是本章中的一项重要的知识、技能要求要引导学生
抓住定义、数形结合，利用总结出的符号法则，判断和记忆三角函数值的正负符号，这
也是理解和记忆的关键.
典例剖析
例4、画出下列角的正弦线、余弦线、正切线：
义自主探索确定三角函数的定义域，有利于在理解的基础上记住它、应用它，也增进了
对三角函数概念的掌握.
典例剖析
例1、已知角的终边经过点(, −ሻ，求的正弦值、余弦值、正切值.
分析
这是教材上的例题，是定义的直接应用若已知角的终边上一点的坐标，则可直接利用定义
求三角函数值.
解析
因为角的终边过点(, −ሻ，所以 = ， = ， =
数为自变量的函数通过分析三角函数线，让学生归纳总结出三角函数的定义域：
= sin和 = cos的定义域都为, = tan的定义域为 ∣ ≠ + , ∈ .
2
教师指出：分析sin, cos, tan的定义域时必须紧扣三角函数定义，在理解的基础上
记熟.
设计意图：定义域是函数的三要素之一，研究函数必须明确定义域.指导学生根据定
学生小组合作，作图分析.
问题4：对于确定的角，这三个比值是否与点P在的终边上的位置有关？为什么？
先让学生想象思考，作出主观判断，再进行小组交流，产生思维碰撞，联系相似三角
形知识，探索发现：对于锐角的每一个确定值，比值都是确定的，不会随点P在终边上
的移动而变化（如图）.
情境引入
得出结论（强调）：当为锐角时，比值随的变化而变化；但对于锐角的每一个确
任意角的三角函数
任意角的三角函数一．概念：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P （x,y ），那么（1）y 叫做α的正弦，记作sin α,即sin α＝y ； （2） x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； （3） x y 叫做α的正切，记作tan α，即tan α= xy 。
正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。
二．设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0y x xα=≠．三．三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．四．三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．五．诱导公式一：终边相同角的同一三角函数值相等，即)(,sin )2sin(Z k k ∈=+απα六．练习1. 已知角α的终边过点(5,12)P -，则cos α= ， tan α= ．2. 已知角α的终边过点)4,3(--P ，则=αs i n ，cos α= ， tan α= ．3. 已知角α的终边在直线043=+y x 上，求角α的三个三角函数值。
4. 已知角θ的终边上一点(,1)P a -（0≠a ），且a -=θtan ，求θsin ，θcos 的值．5.若0cos sin <⋅αα且0tan cos <αα则角α终边在第 象限。
6.4tan 3cos 2sin 0。
7.设θ是第三象限角，且2cos 2cosθθ-=，则2θ是第 象限。
8.求下列三角函数值 （1）49sin π （2）37sin π （3）611sin(π- （4）425tan π9.确定下列三角函数值的符号（1） 156sin （2）516cosπ （3）)450cos( - （4）)817tan(π-10. 1）已知角α的终边经过一点(4,3)(0)P a a a -≠，求2sin cos αα+的值；（2）已知角α的终边在一条直线y =上，求sin α，tan α的值．11. （1）若sin cos 0θθ⋅>，则θ在第_____________象限．（2）若角α是第二象限角，则sin 2α，cos 2α，sin2α，cos 2α，tan 2α中能确定是正值的有____个．12. 已知6α=，则点(sin ,tan )A αα在第________象限。
任意角的三角函数
三角函数定义域
三角函数 定义域
sin cos
tan
R
R
k , k z 2
cot
k , k z
sec csc
k , k z
k , k z 2
（二）过关训练
1、角a的终边在直线y=2x上，求a的六个三角 函数值。 2、若角a终边上有一点p(-3,0)，则下列函数 值不存在的是（ ）． A sina B cosa C tana D cota 3 , 3、角a的终边上一点p(-3,x),且 cos 5 则x= 。 1 y tan 的定义域为 4、函数 。 cos 5、角a的终边经过点p(-4m,3m)(m≠0)，求 sina,cosa,tana,cota的值。
四、小结
本节课我们学习了什么？ (1)任意角的三角函数的定义，它是一个比值，与点 P在角a的终边的上的位置无关，与a 角有关。 (2)三角函数的定义域。 (3)任意角的三角函数的定义的应用。
五、作业
1、《红对勾》P11-12：2、4、6、8、12、 13。 2、书P19练习1、2，P20习题3、4、5、6。
（二）例题讲解
例、求下列角的六个三角函数值： （ 1） 0 （2）3 2
三、学生练习
（一）、基础练习：
1、已知角a的终边经过点P(-2，－3)，求a的 六个三角函数值. 2、求 2 的六个三角函数值. 3、函数 y sin x cos x 的定义域为 。 4、已知角a的终边经过点P(-2m，－3)，求a 的六个三角函数值.
任意角的三角函数（一）