[原创]课题学习：猜想证明与拓广(1)doc初中数学
[原创]课题学习：猜想证明与拓广（1）doc初中数学猜想、证明与拓广汪国刚贵阳市开阳县宅吉中学课时安排2课时镇定讲课本课题学习中的课题背景是：是否存在一个矩形，其周长与面积是矩形周长与面积相同的假设干倍.探究活动从学生熟悉的简单情形动身，引导学生逐步摸索一个个看似简单但又具挑战性的咨询题，不断经历判定、选择及综合运用二次方程、方程组、不等式、函数等知识的过程，在做中学，体验以数学的方式来做数学.本课题学习整体上是一个开放性、研究性的课题，要紧意图不在于回答一些具体咨询题，而是提供一个摸索、探究的平台，在活动中表达归纳、综合和拓展.感悟处理咨询题的策略和方法，积存数学活动的体会.在内容设计上，教科书为学生自主探究留有较大空间：通过〝做一做〞积存体会，通过〝想一想〞诱导发觉，〝议一议〞中提出的咨询题均有一定深度和相当大的弹性，不同的学生能够找到自己感爱好的咨询题，在〝读一读〞中引出两种思路，对咨询题的解决有专门大的启发性.教学时要为学生提供充分摸索和交流的空间，鼓舞学生在自主探究和推测的基础上及时交流自己的方法和做法，能够采纳小组合作的方法进行教学，注意咨询题的连贯性和前后内容的一致性，引导学生分类研究，由专门到一样，启发学生发觉更具一样性的结论，查找一样性的解决方法，对不同学生有不同要求，分层教学，渗透处理咨询题的策略和方法.第一课时课题课题学习——猜想、证明与拓广(一)教学目标(一)教学知识点探究〝任意给定一个矩形.是否存在另一个矩形，它的周长和面积分不是矩形周长和面积的2倍〞的议题.(二)能力训练要求1.经历猜想、证明、拓广的过程，增强咨询题意识和自主探究的意识.2.在咨询题解决的过程中综合运用所学知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识.3.在探究过程中，感受由专门到一样、形数结合的思想方法，体会证明的必要性.4.在合作交流中扩展思路，进展学生的推理能力.(三)情感与价值观要求1.积极参与数学活动，积极摸索并与同学合作交流.2.获得成功的体验和克服困难的经历，增强运用数学的信心.教学重点探究〝任意给定一个矩形.是否存在另一个矩形，它的周长和面积分不是矩形周长和面积的2倍〞，从而获得解决咨询题的方法和途径.教学难点从专门到一样，启发学生综合运用一元二次方程、方程组、不等式等知识发觉具有一样性的结论，寻求一样性的解决方法.教学方法自主探究——合作交流.教具预备多媒体演示教学过程Ⅰ.创设情境咨询题，搭建探究平台[咨询题1]任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分不是正方形周长和面积的2倍?你是如何样做的?你有哪些解决方法?你能提出新的咨询题吗?[咨询题2]任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分不是矩形周长和面积的2倍?请大伙儿结合自己学过的知识，认识摸索咨询题1，并谈谈你自己的方法.[生1]假设给定的正方形的边长是1，那么它的周长是4，面积是1，另一个正方形周长变成它的2倍，即周长变为4×2＝8，面积那么变成了(48)2＝4，即那个正方形的面积是原先正方形面积的4倍.假设另一个正方形面积变成原正方形的2倍，即面积变为2.那么那个正方形周长变为42.我认为不存在另一个正方形.它的周长和面积分不是正方形周长和面积的2倍.[生2]生1举的只是一个特例，不见得就没有存在的情形.[师]到底存不存在，同学们可在小组内讨论交流，然后发表看法.[组1]我们组找了几个的正方形，都不存在另一个正方形，它的周长和面积是正方形周长和面积的2倍.[组2]我们组从一样情形下证明不存在，设给定的正方形的边长为a ，那么其面积为a 2,周长为4a ，假设周长倍增，即周长变为8a 正方形的边长变为2a.面积变为4a 2.不符合要求；假设面积倍增，即面积变为2a 2，正方形的边长变为a 2，周长变为4a 2，不符合要求，即不管从哪个角度考虑，都讲明不存在如此的正方形.[师]专门好!我们举几个特例猜想如此的正方形不存在，又从一样情形验证了如此的正方形确实不存在.同学们差不多历丁—一个数学咨询题的解决过程，但假如将咨询题1拓展，正方形不具有如此的特点，我们学过的其他图形如三角形、矩形、菱形等是否具有如此的特点呢?11.展现思维过程，构建探究空间[师]你是如何摸索咨询题2的?[生]矩形的形状太多了，我们能够先来研究一个具体的.[师]专门好，我们就来先看一个专门的、具体的矩形.多媒体演示：做一做假如矩形的长和宽分不是2和1.结论会如何样呢?你是如何做的?与同伴交流.[生]矩形的长和宽分不是2和1，那么其周长和面积分不为6和2，那么所求矩形的周长和面积分不为12和4.能够先固定所求矩形的周长：周长为12的矩形专门多，它们的长和宽能够是5和1，4和2，3和3，也能够是和和21121……其中是否有面积为4的呢?我们能够去尝试着找一下. (教师一定要给学生时刻和空间去探究、推测) [生]如此找太费劲。
我找了半天，也没有找到.我们不妨电能够先固定所求矩形的面积：面积为4的矩形也有专门多，它们的长和宽能够中1和1，2和2，21和8，…….其中是否有周长为12的?能够再试一下.[生]我还没有找到，是不是不存在?[生]我也没找到，但我觉得应该能找到，我刚才设面积为4的矩形的长和宽差不多上正有理数，长和宽是否会是正无理数时，才能使周长为12呢?[师]这位同学大胆的猜想倒给了我们一个启发：假如长和宽是无理数，那可就不行找了，有没有不的方法呢?请同学们认真摸索.[生]我们不要一个一个去排查，如此做既耗时又费劲，结果还难寻求，是否能够借助于我们往常学过的方程的知识来解决?假如先固定矩形的周长，周长为12.那么矩形的长和宽的和为6.设长为x,宽为6-x.只要x 的取值使x 与6-x 的积是4.即x(6-x)=4那个方程有解且x>0，那么如此的矩形就存在.[师]那个思路专门好，我们一起解一下x(6-x)＝4，整理，得x 2-6x+4=0.解得x 1=3+5,x 2=3-5.由此可知如此的矩形存在，且它的长和宽分不为3+5，3-5.你还有不的思路吗?[生]假如先固定矩形的面积，面积为4，那么矩形的长和宽的积为4，设长为x ，宽就为x 4，只要x 的取值使长和宽的和为6即x+x4=6那个方程有解且x>0，那么如此的矩形存在.解x+x 4＝6得x 1=3+5,x 2=3-5,因此如此的矩形存在，长为3+5，宽为3-5. [生]事实上能够直截了当设所求矩形的长和宽分不为x 和y ，x+y=6,那么xy=4,由此可知x,y 是方程z 2-6z+4=0的解，方程的解为3+5，3-5.因此矩形的长和宽分不为3+5，3-5.[生]刚才几位同学采纳的方法差不多上方程的方法.我们刚学习了反比例函数及一次函数，假如 x+y=6,把xy=4.的x,y 看成变量而不是未知数，那么满足条件的x 、y 就成了一次函数y ＝6-x.与反比例函数y=x4两个图象的交点坐标. [师]这位同学的方法太棒了，你能把你的方法讲得更具体吗?[生]好!假如固定所求矩形的面积，那么能够发觉：满足要求的(x ，y)可以看作反比例函数 y=x4的图象在第一象限内点的坐标,如此的点有许多个.也确实是讲面积为4的矩形有许多个,假如固定所求矩形的周长，那么能够发觉：满足要求的(x ，y)能够看作一次函数y ＝-x+6的图象在第一象限内点的坐标,如此的点也有许多多个，也确实是讲周长为12的矩形有许多个.而满足〝加倍〞要求的(x,y)就能够看作反比例函数y=x4的图象与一次函数y ＝-x+6的图象在第一象限内交点的坐标,从上图中能够看到，如此的交点存在，即满足要求的矩形是存在的.[师]我们通过〝做一做〞，明白了矩形的长和宽为2和1时，存在另一个矩形，它的周长和面积分不是矩形周长和面积的2倍.下面我们再对几种专门情形进行验证.多媒体演示：议一议当矩形的长和宽分不为3和1时，是否还有相同的结论?矩形的长和宽分不为4和1，5和1，…，n 和1呢?请同学们在小组内讨论.[生]当矩形的长和宽分不为3和1时，能够设所求矩形的长和宽分不为x 、y ，那么 x+y=8 x=4+10, 解得xy=6 y=4-10.(其中x>y)因此当矩形的长和宽分不为3和1时，还有相同的结论，即存在一个矩形的周长和面积是原矩形的2倍.[生]我们组也验证出了当矩形的长和宽分不为4和1，5和1时，结论仍成立，所求矩形的长和宽分不为5+17和5-17，6+26和6-26.[师]当矩形的长为n(n 为任意正数)，宽还为1，结果如何呢?[生]同样道理，能够设所求矩形的长和宽为x ，y ，x+y=2(2n+1),那么xy=2n,x=n+1+12+n .解得 (x ＞y),y=n+1-12+n即上述结果仍成立.[师]你能推广到更一样的情形吗?[生]更一样地，当矩形的长和宽分不为n 和m 时，结论仍成立.[师]如何验证呢?[生]同样可设所求矩形的长和宽分不为x 、y,那么x+y=2(m+n),xy=mn, x=m+n+22n m +,解得 (x ＞y)，y=m+n-22n m +.即矩形的长和宽分不为n 和m 时 能够找到一个矩形，它的面积和周长差不多上已 知矩形的2倍，同时所求矩形的长和宽分不为m+n+22n m +和m+n-22n m +.[师]也确实是讲任意给定一个矩形，一引存在另一个矩形，它的周长和面积分不是矩形周长和面积的2倍.Ⅲ．课时小结这节课我们经历了猜想与证明的过程，由专门到一样结合方程、方程组、函数等知识得出了结论；任意给定一个矩形，一定存在另一个矩形，它的周长和面积分不是矩形周长和面积的2倍．在活动中，感悟处理咨询题的策略和方法，积存了一定的数学活动体会． Ⅳ．课后作业习题P 153第1、3题．Ⅴ．活动与探究阅读以下短文：如图(1)，△ABC 是直角三角形，∠C ＝90°．现将△ABC 补成矩形，使△ABC 的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形能够画出两个：矩形ACBD 和矩形AEFB(如图(2))．解答咨询题：(1)设图(2)中矩形ACBD 和矩形AEFB 的面积分不为S 1、S 2，那么S 1_______S 2(填〝>〞〝＝〞或〝<〞)．(2)如图(3)，△ABC 是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形能够画出_______个．利用图(3)把它画出来．(3)如图(4)，△ABC 是锐角三角形，且三边满足BC>AC>AB ，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形能够画出 个.(4)在(3)所画的矩形中，哪一个周长最小?什么缘故?解析：(1)因为矩形ACBD 和矩形AEFB 的面积都等于△ABC 面积的两倍，因此S 1＝S 2．(2)按短文要求操作，能够画出一个矩形，即矩形ADEB 〔如图(5)〕．(3)按短文要求操作，能够画出三个矩形，即矩形BCED 、矩形AQHC 和矩形ABGF ．〔如图(6)〕(4)通过观看、测量，得猜想：以AB 为边的矩形周长最小．证明：设矩形BCED 、矩形AQHC 和矩形ABGF 的周长分不为L 1，L 2和L 3，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，易知，这三个矩形的面积相等，令其面积为S ，那么有L 1=a S 2+2a ，L 2＝b S 2+2b ，L 3＝c S 2 +2c.∵L 1-L 2=a S 2+2a-(b S 2+2b)＝2(a-b)·abS ab 而ab>S ，a>b ，∴L 1-L 2>0，即L 1>L 2，同理L 2>L 3．∴以AB 为边的矩形周长最小．板书设计课题学习——猜想、证明与拓广(一)[咨询题1]任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分不是正方形周长和面积的2倍?[咨询题2]任意给定一个矩形，是否存在一个矩形，它的周长和面积分不是矩形周长和面积的2倍．策略：(1)先考查一些简单的、专门的情形；(2)发觉规律，再讨论一样情形；(3)最后得出结论．。
证明、猜想、拓广[原创]
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证明、猜想、拓广--------记北师大版九年级数学(上)中的课题探究问题：是否存在一个矩形，其周长和面积都是已知矩形周长和面积的若干倍。
探究过程：从学生熟悉的简单情形出发，引导学生逐步思考一个个看似简单但又颇具有挑战性的问题，不断经历猜想、判断以及综合运用二次方程，方程组、不等式、函数等知识，在做中学，体验用数学的眼光观察整个世界，用数学的方式来解决实际问题，这个课题学习是一个开放性，研究性的课题，主要意图是提供一个思考、探究的平台，在活动中体现归纳、综合与拓广，感悟处理问题的策略和方法，积累数学活动的经验。
一、 任意给定一个正方形，是否一定存在另一个正方形，使得其周长和面积都是原来的2倍？猜想，证明，并拓广。
猜想：任意给定一个正方形，一定不存在另一个正方形，使得其周长和面积都是原来的2倍。
证明：如图1所示，设原来正方形边长为a 。
则原来正方形的周长C 1=4a ，面积S 1=a 2，那么新正方形的边长必定是2a ，新正方形的周长C 2=8a ，面积S 2=4a 2，但此时2221S 4a 42S a ==≠所以，原猜想正确。
评注：本猜想的证明还可以固定新正方形的面积是原正方形面积的2倍；也可以利用相似形的知识来证明，若新正方形周长与原来正方形周长的比为21C 2C =，则其相似比k=2，因此，新正方形面积与原正方形面积比为221S k 42S ==≠；等等。
拓广：1． 任意一个正多边形，一定不存在另一个正多边形，使得其周长和面积都是原来的n 倍(n ≠1)；2． 任意给定一个圆，琔 不存在另一个圆，使得其周长和面积都是的n 倍(n ≠1)；二、 任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，使得其周长和面积都是原来的2倍？猜想，证明，并拓广。
猜想：任意给定一个矩形，一定存在另一个矩形，使得其周长和面积都是原来的2倍？(简称加倍矩形)证明：如图2所示，设原来矩形的长和宽分别为a ，b(a>b)，新矩形的长为x ，则由新矩形的周长是原来矩形周长的2倍，新矩形的宽为2a+2b-x 。
课题学习：猜想、证明与拓广
x(1.5-x)=1 x2-1.5x+1=0 ∵△= -1.75<0 这样的矩形不存在. ∴这样的矩形不存在
问题5:已知矩形的长和宽分别为 和 , 问题 :已知矩形的长和宽分别为6和1,是 否存在另一个矩形, 否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是 已知矩形周长和面积的一半? 已知矩形周长和面积的一半?
问题2:已知矩形的长和宽分别为 和 , 问题 :已知矩形的长和宽分别为2和1,是 否存在另一个矩形, 否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是 已知矩形周长和面积的2倍 已知矩形周长和面积的 倍?
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分析:设所求矩形的长为 , 分析:设所求矩形的长为x, 则宽为(6-x),列方程 则宽为 ,
x(6-x)=4
答:所求矩形的长和宽分别为
n + m + n + m 和n + m n + m
2 2 2
2
问题4:已知矩形的长和宽分别为 和 , 问题 :已知矩形的长和宽分别为2和1,是 否存在另一个矩形, 否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是 已知矩形周长和面积的一半? 已知矩形周长和面积的一半?
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分析:设所求矩形的长为 , 分析:设所求矩形的长为x, 则宽为(1.5-x),列方程 则宽为 ,
x(8-x)=6
解得: 解得:
x=
4 ± 10
讨论:当已知矩形的长和宽分别为n和1时, 讨论:当已知矩形的长和宽分别为 和 时 是否存在另一个矩形, 是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别 是已知矩周长和面积的2倍 是已知矩周长和面积的 倍?
答:所求矩形的长和宽分别为
讨论:已知矩形的长和宽分别为 和 时 讨论:已知矩形的长和宽分别为n和m时,是 否存在另一个矩形, 否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是 已知矩周长和面积的2倍 已知矩周长和面积的 倍?
公开课《课题学习—猜想,证明与拓广》教案
公开课《课题学习—猜想、证明与拓广》教案授课时间：2006年11月8日授课地点：多媒体（1）室教学内容：北师大版九年级上册P152至P154教学目标：1、通过创设问题情境，让学生经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验。
2、在探究过程中，感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会知识之间的内在联系，理解证明的必要性。
3、在合作交流中扩展思路，发展学生的推理水平。
教学重点：经历猜想、证明、拓广的“数学化”的过程教学难点：在问题解决过程中综合使用所学知识教学过程：一、引入：1、解答一道较简单的寻找规律后猜想结果的问题。
2、举出三个数学家猜想的例子，说明猜想中有对的，有错的，有未知对错的。
并动员学生大胆猜想。
3、引入课题二、通过问题1经历猜想、证明、拓广的过程1、出问题1：任意给定一个正方形，是否存有另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？2、引导学生讲出给已知正方形一些具体的边长来验证结论。
3、启发学生由特殊转入一般，由验证转入证明。
4、小结解决问题的方法、过程。
5、由问题1拓广出问题2三、通过问题2再次经历猜想、证明、拓广的过程1、出问题2：任意给定一个矩形，是否存有另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？2、引导学生说出用具体的例子来验证猜想，确定拿已知矩形的长和宽分别为2和1，3和1，4和1，5和1的情况来实行验证。
3、以已知矩形的长和宽分别为2和1的情况来引导学生完成解答。
（主要是用方程或方程组的办法）4、学生分组以已知矩形的长和宽分别为3和1，4和1，5和1的情况来实行验证。
并鼓励学生用不同方法解答。
5、评议学生的解题过程6、引导可用函数方法来解答。
7、引导学生发现规律，并用已知矩形的长和宽分别为n和1的情况来实行验证猜想。
8、说明猜想的必要性，引导学生设定已知矩形的长和宽为n和m的情况来实行证明。
9、再次总结解决问题的方法、过程。
数学北师大版九年级上册《猜想、证明与拓广》课件公开课(1)
已知正方形
所求正形
边长 周长 面积
证明 a
2a（2倍）
4a
8a（2倍）
a2
4a2（4倍）
5
任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积 分别是已知矩形周长和面积2倍？如果存在，所求矩形的长和宽
拓广 分别是多少？
6
猜想 猜想方法：将矩形的长和宽分别赋予具体的数值进行计算证明
（长，宽） 周长 面积
1
综合与实践
猜想、证明与拓广(一)
问题1
如图所示是一个美丽的正 方形，是否存在另一个正方形， 它的周长和面积分别是原来正
2 方形周长和面积的 倍？
2
龙川一中校园一角
3
猜想方法：将正方形的边长赋予具体的数值进行计算
已知正方形
所求正方形
边长 周长 面积
猜想 1
2（2倍）
4
8（2倍）
1
4（4倍）
4
证明方法一：将正方形的边长赋予一个不确定值的字母进行计算证明
?
The courseware
感谢聆听 批评指导
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已知矩形 （2，1）
6 2
所求矩形 （？，？）
12 4
怎样求长和宽，使其周长是12，面积是4？
猜想方法 列举法：固定周长12，列举长和宽，查找面积是4的长和宽的数值 固定面积4，列举长和宽，查找周长是12的长和宽的数值 方程法：以长是2，宽是1的矩形为例
课题学习_——猜想、证明与拓广(答案)
课题学习——猜想、证明与拓广班别：____________ 姓名：______________学号：___________ 在我们学习数学的过程中，往往会遇到许多新的问题。
为了解决这些问题，我们需要综合运用所学的知识，体会知识之间的内在联系，猜想结论，证明结论，并能推广利用结论解决其它的问题。
下面一齐开始我们的探究之旅吧！“加倍”问题【问题一】：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形的2倍？你是怎么做的？你有哪些解决方法？【问题二】：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的2倍？分析：矩形的形状很多，我们可以先从特殊例子入手。
设已知矩形的长和宽分别为2和1，那么其周长、面积为________和_______。
所求的新矩形的周长和面积应分别为_______和________。
☆固定所求的矩形的周长不变，则其面积有可能是已知矩形的2倍吗？解：设矩形的长为x，则宽为，根据题意列方程得：☆如果固定所求矩形的面积，则其周长有可能是已知矩形的2倍吗？从特殊到一般——当已知矩形的长和宽分别为3和1时，是否还有相同的结论；已知矩形的长和宽分别为4和1，……，n和1呢？更一般地，当已知矩形的长和宽分别为n和m时，是否仍结论：___________________________________________________________________________________________________________________ _________“减半”问题任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的一半？你是怎么做的？分析：矩形的形状很多，我们可以先从特殊例子入手。
设已知矩形的长和宽分别为2和1，那么其周长、面积为________和_______。
所求的新矩形的周长和面积应分别为_______和________。
[原创]课题学习：猜想证明与拓广(1)doc初中数学
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[ 原创] 课题学习：猜想证明与拓广（1）doc 初中数学猜想、证明与拓广汪国刚贵阳市开阳县宅吉中学课时安排2 课时镇定讲课本课题学习中的课题背景是：是否存在一个矩形，其周长与面积是矩形周长与面积相同的假设干倍. 探究活动从学生熟悉的简单情形动身，引导学生逐步摸索一个个看似简单但又具挑战性的咨询题，不断经历判定、选择及综合运用二次方程、方程组、不等式、函数等知识的过程，在做中学，体验以数学的方式来做数学.本课题学习整体上是一个开放性、研究性的课题，要紧意图不在于回答一些具体咨询题，而是提供一个摸索、探究的平台，在活动中表达归纳、综合和拓展. 感悟处理咨询题的策略和方法，积存数学活动的体会.在内容设计上，教科书为学生自主探究留有较大空间：通过〝做一做〞积存体会，通过〝想一想〞诱导发觉，〝议一议〞中提出的咨询题均有一定深度和相当大的弹性，不同的学生能够找到自己感爱好的咨询题，在〝读一读〞中引出两种思路，对咨询题的解决有专门大的启发性.教学时要为学生提供充分摸索和交流的空间，鼓舞学生在自主探究和推测的基础上及时交流自己的方法和做法，能够采纳小组合作的方法进行教学，注意咨询题的连贯性和前后内容的一致性，引导学生分类研究，由专门到一样，启发学生发觉更具一样性的结论，查找一样性的解决方法，对不同学生有不同要求，分层教学，渗透处理咨询题的策略和方法. 第一课时课题课题学习——猜想、证明与拓广（一）教学目标（一）教学知识点探究〝任意给定一个矩形. 是否存在另一个矩形，它的周长和面积分不是矩形周长和面积的 2 倍〞的议题.（二）能力训练要求1. 经历猜想、证明、拓广的过程，增强咨询题意识和自主探究的意识.2. 在咨询题解决的过程中综合运用所学知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识.3. 在探究过程中，感受由专门到一样、形数结合的思想方法，体会证明的必要性.4. 在合作交流中扩展思路，进展学生的推理能力.（三）情感与价值观要求1. 积极参与数学活动，积极摸索并与同学合作交流.2. 获得成功的体验和克服困难的经历，增强运用数学的信心.教学重点探究〝任意给定一个矩形. 是否存在另一个矩形，它的周长和面积分不是矩形周长和面积的 2 倍〞，从而获得解决咨询题的方法和途径.教学难点从专门到一样，启发学生综合运用一元二次方程、方程组、不等式等知识发觉具有一样性的结论，寻求一样性的解决方法•教学方法自主探究一一合作交流•教具预备多媒体演示教学过程I •创设情境咨询题，搭建探究平台［咨询题1］任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分不是正方形周长和面积的2倍?你是如何样做的？你有哪些解决方法？你能提出新的咨询题吗？［咨询题2］任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分不是矩形周长和面积的2倍？请大伙儿结合自己学过的知识，认识摸索咨询题1，并谈谈你自己的方法•［生1］假设给定的正方形的边长是1,那么它的周长是4,面积是1,另一个正方形周长8 2变成它的2倍，即周长变为4 X 2 = 8,面积那么变成了（8）2= 4,即那个正方形的面积是原4先正方形面积的4倍.假设另一个正方形面积变成原正方形的2倍，即面积变为2.那么那个正方形周长变为 4 2我认为不存在另一个正方形•它的周长和面积分不是正方形周长和面积的2倍•［生2］生1举的只是一个特例，不见得就没有存在的情形［师］到底存不存在，同学们可在小组内讨论交流，然后发表看法［组1］我们组找了几个的正方形，都不存在另一个正方形，它的周长和面积是正方形周长和面积的2倍•［组2］我们组从一样情形下证明不存在，设给定的正方形的边长为a，那么其面积为a2,周长为4a,假设周长倍增，即周长变为8a正方形的边长变为2a.面积变为4a2.不符合要求；假设面积倍增，即面积变为2a2，正方形的边长变为、2a，周长变为4、. 2a，不符合要求，即不管从哪个角度考虑，都讲明不存在如此的正方形［师］专门好！我们举几个特例猜想如此的正方形不存在，又从一样情形验证了如此的正方形确实不存在•同学们差不多历丁一一个数学咨询题的解决过程，但假如将咨询题1拓展，正方形不具有如此的特点，我们学过的其他图形如三角形、矩形、菱形等是否具有如此的特点呢？11.展现思维过程，构建探究空间［师］你是如何摸索咨询题2的？［生］矩形的形状太多了，我们能够先来研究一个具体的［师］专门好，我们就来先看一个专门的、具体的矩形多媒体演示：做一做假如矩形的长和宽分不是2和1.结论会如何样呢？你是如何做的？与同伴交流•［生］矩形的长和宽分不是2和1,那么其周长和面积分不为6和2,那么所求矩形的周长和面积分不为12和4.能够先固定所求矩形的周长：周长为12的矩形专门多，它们的长和宽能够是5和1, 4［生］刚才几位同学采纳的方法差不多上方程的方法 数，假如 x+y=6, 把-xy=4.的x,y 看成变量而不是未知数，那么满足条件的 4 一数y= 两个图象的交点坐标.x［师］这位同学的方法太棒了，你能把你的方法讲得更具体吗 ［生］好！假如固 定所求矩形的面积， 那么能够发觉：满x 、 y .我们刚学习了反比例函数及一次函就成了一次函数 y = 6-x.与反比例函11 1和2,3和3,也能够是和 —和-……其中是否有面积为4的呢？我们能够去尝试着找一下.2 2(教师一定要给学生时刻和空间去探究、推测)［生］如此找太费劲。
课题学习猜测想证明与拓广完整版文档
x)=6是否有解的问题. 怎样的关系,请写出你的猜想,并证明你的猜想.
课题学习:猜想、证明与拓广 整理得,x2-2(m+n)x+2mn=0
(2)先固定所求矩形的面积,将问题转化为方程 解:如图2,当点P在ΔABC内部时,结论:“h1+h2+h3=h”
对于图3,又有怎样的关系?又如何证明?
x+4/x=6是否有解的问题. 证明:设等边ΔABC的边长为a.
解:如图2,当点P在ΔABC内部时,结论:“h1+h2+h3=h” (1)经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验. ∴∠KPF=∠MFP=∠KMF=900
(3)也可以根据已知矩形的长和宽分别为2和1,那么 所以无论从哪个角度考虑,都说明不存在这样的正方形.
所以无论从哪个角度考虑,都说明不存在这样的正方形.
即x -8x+6=0.解得: x41,0 x410 2 重点:通过对一个开放性、探究性的课题的探索，获得探索和发现的体验，体现归纳、综合和拓展，感悟处理问题的策略和方法.
1
2
经检验符合题意,所以存在一个矩形,长为 4 10,
宽为 4 10.
练一练:当已知矩形的长和宽分别为n和m时，是否 仍然有相同的结论？
经检验x1,x2符合题意,所以存在一个矩形,它的长为
mn m2n2, 宽为 mn m2n2.
结论: 任意给定一个矩形,一定存在另一个矩形,它的 周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍.
挑战自我
1.观察下列各式:
《课题学习——猜想、证明与拓广》第一课时设计思路
《课题学习——猜想、证明与拓广》第一课时设计思路《猜想、证明与拓广》是北师大版初中数学九年级（上）课题学习的内容。
教材以两个具体的几何议题（“倍增”和“减半”图形存在性问题），创设了问题情景，让学生从熟悉的简单情形出发，引导学生通过自主探索活动，综合运用已学的知识，体验处理数学问题的策略和方法。
本案例涉及第一课时——倍增问题。
在此之前，学生已学习了方程、函数、证明等，为过渡到本节的学习起着铺垫作用。
本课题学习整体上是一个开放性、研究性的课题，主要意图不在乎回答一些具体问题，而是提供一个思考、探究的平台。
在活动中体现归纳、综合和拓展，感悟处理问题的策略和方法，积累数学活动经验，所以探究“任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍”，从而获得解决问题的方法和途径是本节课的重点。
而启发学生综合运用方程、函数等知识发现具有一般性的结论，寻求一般性的解决方法是本节课的难点。
在本节课开始，我引用科学家牛顿的“没有大胆的猜想,就不可能有伟大的发现和发明”作为本节课的开场白，既暗示了猜想在生活中的重要意义，又突现了本节课的主题思想，激发起学生的求知欲望。
出示正方形图片引出问题，让学生将生活问题转化为数学问题来解决，引导学生围绕正方形的倍增问题层层递进，循序渐进地展开，让学生在轻松过关的同时感受猜想的乐趣，为下一个环节埋下伏笔。
运用类比的思想，紧接着给学生提出新问题：能不能将一幅矩形图片的周长和面积同时变为原来的二倍？你能将它转化为一个数学问题吗？学生很容易由第一环节的结论中提出：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积是否是已知矩形周长和面积的2倍?问题由学生提出，让学生自己去寻找解决的办法。
这个环节中，我将引导学生思考解决问题的方法和途径，这也是本节课的难点所在。
由于矩形的形状太多了，学生的想法有很多种。
有的学生可能一开始就选择特殊的例子，也有的学生可能一上来就用字母表示长和宽，甚至马上会出现结论：即设已知矩形的长为a，宽为b，根据未知矩形的周长等于已知矩形的二倍，得到未知矩形的长和宽分别是2a和2b，由此学生会得出2a×2b≠2ab，故而矩形不存在的结论。
九年级数学上册-综合与实践-猜想、证明与拓广教案-(新版)北师大版-(新版)北师大版初中九年级上册数
猜想、证明与拓广1. 经历猜想、证明、拓广的过程, 增强问题意识和自主探索意识, 获得探索和发现的体验.2. 在问题解决过程中综合运用所学的知识, 体会知识之间的内在联系, 形成对数学的整体性认识.3. 在探究过程中, 感受由特殊到一般的思维规律和数形结合、函数与方程的思想方法,体会证明的必要性.4．在合作交流中扩展思路, 发展学生的推理能力, 培养团队合作精神．重点探究“任意给定一个矩形, 是否存在另一个矩形, 它的周长和面积, 分别是已知矩形周长和面积的2倍”, 从而获得解决问题的方法和途径.难点综合运用一元二次方程、方程组、函数等知识发现具有一般性的结论.一、情境导入教师: 同学们, 图片中的人物你们认识吗？对, 他是伟大的物理学家——牛顿. 他在思考苹果为什么落地的问题时, 首先做出了大胆的猜想, 最终得出了一个伟大的结论——牛顿万有引力定律. 同时也给我们留下了一句名言: 没有大胆的猜想, 就没有伟大的发现与发明. 当然, 仅靠大胆的猜想, 并不能对问题作出正确的决策和判断, 那么, 怎样才能对问题作出全面、正确的决策和判断呢？本节课我们就一起探究解决问题的策略与方法——猜想、证明与拓广.二、探究新知1. 感悟猜想教师: 已知一个正方形, 是否存在另一个正方形, 它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？引导学生思考：(1)要对这个问题作出合理的猜想, 首先应怎么做？(2)你得出的猜想是什么？你的猜想对任意正方形一定适用吗？学生讨论交流后回答, 教师点评, 并进一步讲解:猜想是在对具体事例的研究结论的基础上, 通过类比或归纳得出的具有普遍性的结论．猜想前所需经历的重要过程就是特例尝试, 要使得猜想合理化, 就要通过特例尝试．2. 体会证明猜想结论：任意给定一个正方形, 不存在另一个正方形, 使它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍．教师: 你的猜想正确吗？对任意正方形一定适用吗？如何知道猜想的正确性？学生思索、讨论、交流意识到: 通过几个特例得来的猜想不一定适用于所有正方形, 必须要经过证明从而体会到证明的必性．3. 学会拓广教师: 由正方形的倍增问题的结论出发, 从改变图形或改变条件或将此结论向更一般化的规律上去拓广等角度出发, 你能提出新的问题吗？学生思考、讨论、交流, 分析出：此命题受图形、周长、面积及2倍等条件因素的影响.教师：如果改变某一条件，新的命题就会生成，这就是拓广．拓广就是改变命题的某一条件，生成新的命题；拓广就是新一轮的猜想；拓广就是举一反三、思维的更高境界.三、举例分析例 1 任意给定一个矩形, 是否存在另一个矩形, 它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？面对矩形倍增问题, 你有怎样的研究过程和步骤？请说出你的研究步骤.学生小组合作研讨解决此问题的主体步骤. 每组可任选一种矩形的长和宽进行研究. 然后得出确定的结论, 注意解题策略的多样性, 小组活动后展示本组的思维成果.例 2 任意给定一个矩形, 是否一定存在另一个矩形, 它的周长和面积, 分别是已知矩形周长和面积的一半？学生思考、讨论、交流、归纳.四、练习巩固1. 当矩形满足什么条件时, 存在一个新矩形, 它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？2. 自学教材第168页“读一读”.五、小结1. 知识方面:(1)任意给定一个正方形, 一定不存在另一个正方形, 它的周长和面积分别是已知正方形的2倍；(2)任意给定一个矩形, 一定存在另一个矩形, 它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍．2. 数学思想方法方面:(1)转化思想——几何中图形是否存在的问题, 常常把它转化为代数中方程是否有解的问题加以解决；(2)特殊到一般的思想——对一个问题的研究, 一般先从特殊开始, 然后再到一般．六、课外作业教材169～170页习题第1～4题.在实际教学中, 我们常被课本或教学参考书中的教学设计模式牢牢套住, 授课时按部就班, 有时显得十分牵强附会. 本设计尽可能做到摆脱课本内容模式对授课过程的束缚, 在学生行动上先从简单易操作的动手试验入手, 力求营造一个轻松愉快的课堂氛围, 激发学生的学习兴趣和求知欲. 在内容上先从最特殊的正方形的探究入手, 让学生在轻松愉快的活动过程中建立起思考和解决问题的模式. 然后循序渐进, 通过类比、实验、探索、猜想、验证和拓广的数学模型, 提出和解决了矩形的相关问题. 然而, 本课题中的具体问题仅是一个展示平台, 在教学活动中感悟问题的产生和提出, 体会知识的归纳、综合与拓展, 领会处理与解决问题的方法与策略, 积累一定的数学活动经验, 才是本课题教学应追某某现的目标. 因此, 本节课教学更侧重于学生数学活动水平的提高, 努力渗透数学思想方法、问题的处理和解决策略等, 并力求做到人人参与, 使不同的学生均有不同的收获.。
初中数学_课题学习：猜想、证明与拓广教学设计学情分析教材分析课后反思.doc
教学设计本节课设计了四个教学环节：第一环节：问题导学，分享交流；第二环节：问题拓广，证明猜想；第三环节：问题拓广，自主探究；第四环节：总结反思，方法提炼第一环节：问题导学、分享交流问题：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？（教学策略：课前提出问题后，学生出现了三种解决问题的思路：1、先有具体情况入手研究，得到一个猜想，然后再拓展到一般情况进行证明。
2、因为问题比较简单，有学生可能直接进行一般情况的证明。
3、由于任意两个正方形都是相似的，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.所以周长比和面积比不可能同时为2.因此这样的正方形不存在.这三种解决问题的方法都应该给与肯定和表扬。
）第二环节：问题拓广，证明猜想根据学生提出的“拓广”问题，想办法解决（教学策略：课前，学生仿照老师的问题提出了新的问题，一类是将问题中的“2倍”替换成“3倍…n倍”，另一类是将“正方形” 替换成“正三角形…正n边形、圆形等相似图形”或替换成“矩形、菱形、三角形等非相似图形”，针对学生提出的问题，引导学生能用相似解决第一类问题和第二类问题中的相似图形问题，方法优化、类比归一。
对于“不相似图形”问题该如何解决呢？从而引出第三环节）第三环节：问题拓广，自主探究问题：任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？(教学策略：由问题一的研究学生能够顺理成章的从两个角度来进行思考，一个是从特殊到一般的思想，一个是直接对一般情况进行证明的思想，但是较问题(1)直接证明难度较大，所以引导学生先从特殊情况入手，得到一个猜想后，再进行一般情况的证明会更好一些。
这样在具体问题的解决过程中，会给学生一些启示，有助于学生一般情况下的证明思路的形成。
)(1)如果已知矩形的长和宽分别为2和1,结论会怎样呢?你是怎么做的?和同伴交流.总结如下:有三种思路可以选择：先固定所求矩形的周长，设另一个矩形的长为x,将问题化为方程x (6—x) =4是否有解的问题.先固定所求矩形的面积，设另一个矩形的长为x,将问题转化为方程x+4/x=6是否有解的问题.也可以根据已知矩形的长和宽分别为2和1,那么其周长和面积分别为6和2,所求矩形的周长和面积同时扩大2倍后应分别为12和4, 设其长和宽分别为x和y,则得方程组x+y=6 , xy=4然后讨论它的解是否符合题意.(2)然后引导学生再通过几组特例的研究，结果都发现存在这样的矩形，于是得到一个猜想。