沈阳中考数学试题及答案
2022年辽宁省沈阳市中考数学试卷和答案
2022年辽宁省沈阳市中考数学试卷和答案一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题2分，共20分）1．（2分）计算5+（﹣3），结果正确的是（）A．2B．﹣2C．8D．﹣82．（2分）如图是由4个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．3．（2分）下列计算结果正确的是（）A．（a3）3＝a6B．a6÷a3＝a2C．（ab4）2＝ab8D．（a+b）2＝a2+2ab+b24．（2分）在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（）A．（﹣2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣3，﹣2）5．（2分）调查某少年足球队全体队员的年龄，得到数据结果如下表：年龄/岁1112131415人数34722则该足球队队员年龄的众数是（）A．15岁B．14岁C．13岁D．7人6．（2分）不等式2x+1＞3的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，点D、E分别是直角边AC、BC的中点，连接DE，则∠CED的度数是（）A．70°B．60°C．30°D．20°8．（2分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+1的图象是（）A．B．C．D．9．（2分）下列说法正确的是（）A．了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式B．如果某彩票的中奖概率是1%，那么一次购买100张这种彩票一定会中奖C．若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲2＝2.5，S乙2＝8.7，则乙组数据较稳定D．“任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7”是必然事件10．（2分）如图，一条河的两岸互相平行，为了测量河的宽度PT（PT 与河岸PQ垂直），测量得P，Q两点间距离为m米，∠PQT＝α，则河宽PT的长为（）A．msinαB．mcosαC．mtanαD．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）因式分解：ay2+6ay+9a＝．12．（3分）二元一次方程组的解是．13．（3分）化简：（1﹣）•＝．14．（3分）如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，则的长是（结果保留π）．15．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，CD在x轴上，点B 在y轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过第一象限点A，且▱ABCD的面积为6，则k＝．16．（3分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N 分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F 在矩形内部，MF的延长线交边BC于点G，EF交边BC于点H．EN ＝2，AB＝4，当点H为GN的三等分点时，MD的长为．三、答案题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．（6分）计算：﹣3tan30°+（）﹣2+|﹣2|．18．（8分）为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，老师将四道备讲题的题号1，2，3，4，分别写在完全相同的4张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀．（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是；（2）小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率．19．（8分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，分别以点A，D为圆心，大于AD的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AB，AD，AC于点E，O，F，连接DE，DF．（1）由作图可知，直线MN是线段AD的．（2）求证：四边形AEDF是菱形．四、（每小题8分，共16分）20．（8分）某校积极落实“双减”政策，将要开设拓展课程．为让学生可以根据自己的兴趣爱好选择最喜欢的课程，进行问卷调查，问卷设置以下四种选项：A（综合模型）、B（摄影艺术）、C（音乐鉴赏）、D（劳动实践），随机抽取了部分学生进行调查，每名学生必须且只能选择其中最喜欢的一种课程，并将调查结果整理绘制成如下不完整的统计图．根据以上信息，答案下列问题：（1）此次被调查的学生人数为名；（2）直接在答题卡中补全条形统计图；（3）求拓展课程D（劳动实践）所对应的扇形的圆心角的度数；（4）根据抽样调查结果，请你估计该校800名学生中，有多少名学生最喜欢C（音乐鉴赏）拓展课程．21．（8分）如图，用一根60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．（1）若所围成的矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB 的长为多少厘米？（2）矩形框架ABCD面积的最大值为平方厘米．五、（本题10分）22．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD是⊙O的直径，AD，BC的延长线交于点E，延长CB交PA于点P，∠BAP+∠DCE＝90°．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）连接AC，sin∠BAC＝，BC＝2，AD的长为．六、（本题10分）23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，9），与直线OC交于点C （8，3）．（1）求直线AB的函数表达式；（2）过点C作CD⊥x轴于点D，将△ACD沿射线CB平移得到的三角形记为△A′C′D′，点A，C，D的对应点分别为A′，C′，D′，若△A′C′D′与△BOC重叠部分的面积为S，平移的距离CC′＝m，当点A′与点B重合时停止运动．①若直线C′D′交直线OC于点E，则线段C′E的长为（用含有m的代数式表示）；②当0＜m＜时，S与m的关系式为；③当S＝时，m的值为．七、（本题12分）24．（12分）【特例感知】（1）如图1，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，点C在OA上，点D在BO的延长线上，连接AD，BC，线段AD与BC的数量关系是；【类比迁移】（2）如图2，将图1中的△COD绕着点O顺时针旋转α（0°＜α＜90°），那么第（1）问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由．【方法运用】（3）如图3，若AB＝8，点C是线段AB外一动点，AC＝3，连接BC．①若将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接AD，则AD的最大值是；②若以BC为斜边作Rt△BCD（B，C，D三点按顺时针排列），∠CDB＝90°，连接AD，当∠CBD＝∠DAB＝30°时，直接写出AD的值．八、（本题12分）25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线AD．（1）①求抛物线的函数表达式；②直接写出直线AD的函数表达式；（2）点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，当S1＝2S2时，求点E的坐标；（3）点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方的部分沿x 轴向上翻折，与抛物线剩下的部分组成新的曲线记为C1，点C的对应点为C′，点G的对应点为G′，将曲线C1沿y轴向下平移n个单位长度（0＜n＜6）．曲线C1与直线BC的公共点中，选两个公共点记作点P和点Q，若四边形C′G′QP是平行四边形，直接写出点P的坐标．答案一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题2分，共20分）1．【知识点】有理数的加法．【答案】解：5+（﹣3）＝2，故选：A．2．【知识点】简单组合体的三视图．【答案】解：从正面看，底层有2个正方形，上层左边有1个正方形，故选：D．3．【知识点】完全平方公式；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．【答案】解：A．（a3）3＝a9，因此选项A不符合题意；B．a6÷a3＝a6﹣3＝a3，因此选项B 不符合题意；C．（ab4）2＝a2b8，因此选项C不符合题意；D．（a+b）2＝a2+2ab+b2，因此选项D符合题意；故选：D．4．【知识点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【答案】解：点A（2，3）关于y轴的对称点坐标为（﹣2，3）．故选：B．5．【知识点】众数．【答案】解：该足球队队员年龄13岁出现的次数最多，故众数为13岁．故选：C．6．【知识点】在数轴上表示不等式的解集．【答案】解：不等式2x+1＞3的解集为：x＞1，故选：B．7．【知识点】三角形中位线定理．【答案】解：在Rt△ABC中，∠A＝30°，则∠B＝90°﹣∠A＝60°，∵D、E分别是边AC、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠CED＝∠B＝60°，故选：B．8．【知识点】一次函数的图象．【答案】解：一次函数y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1；令y＝0，则x＝1，∴一次函数y＝﹣x+1的图象经过点（0，1）和（1，0），∴一次函数y＝﹣x+1的图象经过一、二、四象限，故选：C．9．【知识点】随机事件；全面调查与抽样调查；方差．【答案】解：A．了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式，是正确的，因此选项A符合题意；B．如果某彩票的中奖概率是1%，那么一次购买100张这种彩票也不一定会中奖，因此选项B不符合题意；C．若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲2＝2.5，S乙2＝8.7，则甲组数据较稳定，因此选项C不符合题意；D．“任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7”是不可能事件，因此选项D不符合题意；故选：A．10．【知识点】解直角三角形的应用．【答案】解：由题意得：PT⊥PQ，∴∠APQ＝90°，在Rt△APQ中，PQ＝m米，∠PQT＝α，∴PT＝PQ•tanα＝mtanα（米），∴河宽PT的长度是mtanα米，故选：C．二、填空题（每小题3分，共18分）11．【知识点】提公因式法与公式法的综合运用．【答案】解：ay2+6ay+9a＝a（y2+6y+9）＝a（y+3）2．故答案为：a（y+3）2．12．【知识点】解二元一次方程组．【答案】解：，将②代入①，得x+4x＝5，解得x＝1，将x＝1代入②，得y＝2，∴方程组的解为，故答案为：．13．【知识点】分式的混合运算．【答案】解：（1﹣）•＝＝＝x﹣1，故答案为：x﹣1．14．【知识点】弧长的计算；圆内接四边形的性质．【答案】解：连接OA、OB．∵正方形ABCD内接于⊙O，∴AB＝BC＝DC＝AD，∴＝＝＝，∴∠AOB＝×360°＝90°，在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2＝42，解得：AO＝2，∴的长＝＝π，故答案为：π．15．【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质；反比例函数的性质．【答案】解：作AE⊥CD于E，如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥x轴，∴四边形ABOE为矩形，∴S平行四边形ABCD＝S矩形ABOE＝6，∴|k|＝6，而k＞0，∴k＝6．故答案为：6．16．【知识点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【答案】解：当HN＝GN时，GH＝2HN，∵将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，∴MF＝MD，CN＝EN，∠E＝∠C＝∠D＝∠MFE＝90°，∠DMN ＝∠GMN，AD∥BC，∴∠GFH＝90°，∠DMN＝∠MNG，∴∠GMN＝∠MNG，∴MG＝NG，∵∠GFH＝∠E＝90°，∠FHG＝∠EHN，∴△FGH∽△ENH，∴＝＝2，∴FG＝2EN＝4，过点G作GP⊥AD于点P，则PG＝AB＝4，设MD＝MF＝x，则MG＝GN＝x+4，∴CG＝x+6，∴PM＝6，∵GP2+PM2＝MG2，∴42+62＝（x+4）2，解得：x＝2﹣4，∴MD＝2﹣4；当GH＝GN时，HN＝2GH，∵△FGH∽△ENH，∴＝＝，∴FG＝EN＝1，∴MG＝GN＝x+1，∴CG＝x+3，∴PM＝3，∵GP2+PM2＝MG2，∴42+32＝（x+1）2，解得：x＝4，∴MD＝4；故答案为：2﹣4或4．三、答案题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．【知识点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【答案】解：原式＝2﹣3×+4+2﹣＝2﹣+4+2﹣＝6．18．【知识点】列表法与树状图法；概率公式．【答案】解：（1）由题意得，随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是．故答案为：．（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是“2”和“3”的结果有2种，∴小明随机抽取两张卡片，两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率为．19．【知识点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；菱形的判定．【答案】（1）解：根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线；故答案为：垂直平分线；（2）证明：∵MN是AD的垂直平分线，∴AF＝DF，AE＝DE，∴∠FAD＝∠FDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠FDA＝∠BAD，∴DF∥AB，同理DE∥AF，∴四边形AEDF是平行四边形，∵FA＝FD，∴四边形AEDF为菱形．四、（每小题8分，共16分）20．【知识点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【答案】解：（1）此次被调查的学生人数为：12÷10%＝120（名），故答案为：120；（2）选择B的学生有：120﹣12﹣48﹣24＝36（名），补全的条形统计图如图所示；（3）360°×＝72°，即拓展课程D（劳动实践）所对应的扇形的圆心角的度数是72°；（3）800×＝320（名），答：估计该校800名学生中，有320名学生最喜欢C（音乐鉴赏）拓展课程．21．【知识点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．【答案】解：（1）设框架的长AD为xcm，则宽AB为cm，∴x•＝144，解得x＝12或x＝18，∴AB＝12cm或AB＝8cm，∴AB的长为12厘米或8厘米；（2）由（1）知，框架的长AD为xcm，则宽AB为cm，∴S＝x•，即S＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣15）2+150，∵﹣＜0，∴要使框架的面积最大，则x＝15，此时AB＝10，最大为150平方厘米．故答案为：150．五、（本题10分）22．【知识点】切线的判定与性质；解直角三角形；圆周角定理．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BCD+∠DCE＝180°，∴∠BAD＝∠DCE，∵∠BAP+∠DCE＝90°，∴∠BAP+∠BAD＝90°，∴∠OAP＝90°，∵OA是⊙O的半径，∴PA是圆O的切线；（2）连接BO并延长交⊙O于点F，连接CF，∵BF是⊙O的直径，∴∠BCF＝90°，∵∠BAC＝∠F，∴sin∠BAC＝sinF＝，在Rt△BCF中，BC＝2，∴BF＝＝＝6，∴AD＝BF＝6，故答案为：6．六、（本题10分）23．【知识点】一次函数综合题．【答案】解：（1）将点B（0，9），C（8，3）的坐标代入直线y ＝kx+b，∴，解得．∴直线AB的函数表达式为：y＝﹣x+9；（2）①由（1）知直线AB的函数表达式为：y＝﹣x+9，令y＝0，则x＝12，∴A（12，0），∴OA＝12，OB＝9，∴AB＝15；如图1，过点C作CF⊥C′D′于点F，∴CF∥OA，∴∠OAB＝∠FCC′，∵∠C′FC＝∠BOA＝90°，∴△CFC′∽△AOB，∴OB：OA：AB＝C′F：CF：CC′＝9：12：15，∵CC′＝m，∴CF＝m，C′F＝m，∴C′（8﹣m，3+m），A′（12﹣m，m），D′（8﹣m，m），∵C（8，3），∴直线OC的解析式为：y＝x，∴E（8﹣m，3﹣m）.∴C′E＝3+m﹣（3﹣m）＝m．故答案为：m．②当点D′落在直线OC上时，有m＝（8﹣m），解得m＝，∴当0＜m＜时，点D′未到直线OC，此时S＝C′E•CF＝•m•m＝m2；故答案为：m2．③分情况讨论，当0＜m＜时，由②可知，S＝m2；令S＝m2＝，解得m＝＞（舍）或m＝﹣（舍）；当≤m＜5时，如图2，设线段A′D′与直线OC交于点M，∴M（m，m），∴D′E＝m﹣（3﹣m）＝m﹣3，D′M＝m﹣（8﹣m）＝m﹣8；∴S＝m2﹣•（m﹣3）•（m﹣8）＝﹣m2+m﹣12，令﹣m2+m﹣12＝；整理得，3m2﹣30m+70＝0，解得m＝或m＝＞5（舍）；当5≤m＜10时，如图3，S＝S△A′C′D′＝×4×3＝6≠，不符合题意；当10≤m＜15时，如图4，此时A′B＝15﹣m，∴BN＝（15﹣m），A′N＝（15﹣m），∴S＝•（15﹣m）•（15﹣m）＝（15﹣m）2，令（15﹣m）2＝，解得m＝15+2＞15（舍）或m＝15﹣2．故答案为：或15﹣2．七、（本题12分）24．【知识点】几何变换综合题．【答案】解：（1）AD＝BC．理由如下：如图1，∵△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD ＝90°，∴OA＝OB，OD＝OC，在△AOD和△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴AD＝BC，故答案为：AD＝BC；（2）AD＝BC仍然成立.证明：如图2，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOB+∠AOC＝∠AOC+∠COD＝90°+α，即∠BOC＝∠AOD，在△AOD和△BOC中，，°∴△AOD≌△BOC（SAS），∴AD＝BC；（3）①过点A作AT⊥AB，使AT＝AB，连接BT，AD，DT，BD，∵△ABT和△CBD都是等腰直角三角形，∴BT＝AB，BD＝BC，∠ABT＝∠CBD＝45°，∴＝＝，∠ABC＝∠TBD，∴△ABC∽△TBD，∴＝＝，∴DT＝AC＝×3＝3，∵AT＝AB＝8，DT＝3，∴点D的运动轨迹是以T为圆心，3为半径的圆，∴当D在AT的延长线上时，AD的值最大，最大值为8+3，故答案为：8+3；②如图4，在AB上方作∠ABT＝30°，过点A作AT⊥BT于点T，连接AD、BD、DT，过点T作TH⊥AD于点H，∵＝＝cos30°＝，∠ABC＝∠TBD＝30°+∠TBC，∴△BAC∽△BTD，∴＝＝，∴DT＝AC＝×3＝，在Rt△ABT中，AT＝AB•sin∠ABT＝8sin30°＝4，∵∠BAT＝90°﹣30°＝60°，∴∠TAH＝∠BAT﹣∠DAB＝60°﹣30°＝30°，∵TH⊥AD，∴TH＝AT•sin∠TAH＝4sin30°＝2，AH＝AT•cos∠TAH＝4cos30°＝2，在Rt△DTH中，DH＝＝＝，∴AD＝AH+DH＝2+；如图5，在AB上方作∠ABE＝30°，过点A作AE⊥BE于点E，连接DE，则＝＝cos30°＝，∵∠EBD＝∠ABC＝∠ABD+30°，∴△BDE∽△BCA，∴＝＝，∴DE＝AC＝×3＝，∵∠BAE＝90°﹣30°＝60°，AE＝AB•sin30°＝8×＝4，∴∠DAE＝∠DAB+∠BAE＝30°+60°＝90°，∴AD＝＝＝；综上所述，AD的值为2+或．八、（本题12分）25．【知识点】二次函数综合题．【答案】解：（1）①∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），∴，解得：，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣3；②由①得y＝x2﹣x﹣3，当y＝0时，x2﹣x﹣3＝0，解得：x1＝6，x2＝﹣2，∴A（﹣2，0），设直线AD的函数表达式为y＝kx+d，则，解得：，∴直线AD的函数表达式为y＝x﹣1；（2）设点E（t，t2﹣t﹣3），F（x，y），过点E作EM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，如图1，∵S1＝2S2，即＝2，∴＝2，∴＝，∵EM⊥x轴，FN⊥x轴，∴EM∥FN，∴△BFN∽△BEM，∴＝＝＝，∵BM＝6﹣t，EM＝﹣（t2﹣t﹣3）＝﹣t2+t+3，∴BN＝（6﹣t），FN＝（﹣t2+t+3），∴x＝OB﹣BN＝6﹣（6﹣t）＝2+t，y＝﹣（﹣t2+t+3）＝t2﹣t﹣2，∴F（2+t，t2﹣t﹣2），∵点F在直线AD上，∴t2﹣t﹣2＝﹣（2+t）﹣1，解得：t1＝0，t2＝2，∴E（0，﹣3）或（2，﹣4）；（3）∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣2）2﹣4，∴顶点坐标为G（2，﹣4），当x＝0时，y＝3，即点C （0，﹣3），∴点C′（0，3），G′（2，4），∴向上翻折部分的图象解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4，∴向上翻折部分平移后的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4﹣n，平移后抛物线剩下部分的解析式为y＝（x﹣2）2﹣4﹣n，设直线BC的解析式为y＝k′x+d′（k′≠0），把点B（6，0），C（0，﹣3）代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，同理直线C′G′的解析式为y＝x+3，∴BC∥C′G′，设点P的坐标为（s，s﹣3），∵点C′（0，3），G′（2，4），∴点C′向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点G′，∵四边形C′G′QP是平行四边形，∴点Q（s+2，s﹣2），当点P，Q均在向上翻折部分平移后的图象上时，则，解得：（不符合题意，舍去），当点P在向上翻折部分平移后的图象上，点Q在平移后抛物线剩下部分的图象上时，则，解得：或（不合题意，舍去），当点P在平移后抛物线剩下部分的图象上，点Q在向上翻折部分平移后的图象上时，则，解得：或（不合题意，舍去），综上所述，点P的坐标为（1+，）或（1﹣，）．。
辽宁2022年沈阳中考数学试卷试题真题精校版(含答案详解)
沈阳市2022年初中学业水平考试数学试题试题满分120分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生须用0.5mm 黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的姓名、准考证号；2．考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效；3．考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回；4．本试题卷包括八道大题，25道小题，共6页．如缺页、印刷不清，考生须声明．一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题2分，共20分）1．计算()53+-正确的是（）A ．2B ．2-C ．8D ．8-2．如图是由4个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是()A ．B ．C ．D ．3．下列计算结果正确的是（）A ．()336a a =B ．632a a a ÷=C ．()248ab ab =D ．()2222a b a ab b +=++4．在平面直角坐标系中，点()2,3A 关于y 轴对称的点的坐标是()A ．()2,3--B ．()2,3-C ．()2,3-D ．()3,2--5．调查某少年足球队全体队员的年龄，得到数据结果如下表：年龄/岁1112131415人数34722则该足球队队员年龄的众数是()A ．15岁B ．14岁C ．13岁D ．7人6．不等式213x +>的解集在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．7．如图，在Rt ABC 中，30A ∠=︒，点D 、E 分别是直角边AC 、BC 的中点，连接DE ，则CED ∠度数是（）A ．70°B ．60°C ．30°D ．20°8．在平面直角坐标系中，一次函数1y x =-+的图象是（）A ．B ．C ．D ．9．下列说法正确的是()A ．了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式B ．如果某彩票的中奖概率是1%，那么一次购买100张这种彩票一定会中奖C ．若甲、乙两组数据的平均数相同，22.5S =甲，28.7S =乙，则乙组数据较稳定D ．“任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7”是必然事件10．如图，一条河两岸互相平行，为测得此河的宽度PT （PT 与河岸PQ 垂直），测P 、Q 两点距离为m 米，PQT α∠=，则河宽PT 的长度是（）A ．sin m αB ．cos m αC ．tan m αD ．tan m α二、填空题（每小题3分，共18分）11．分解因式：269ay ay a ++=______．12．二元一次方程组252x y y x +=⎧⎨=⎩的解是______．13．化简：21111x x x-⎛⎫-⋅= ⎪+⎝⎭______．14．如图，边长为4的正方形ABCD 内接于O ，则 AB 的长是________（结果保留π）15．如图四边形ABCD 是平行四边形，CD 在x 轴上，点B 在y 轴上，反比例函数()0ky x x=>的图象经过第一象限点A ，且平行四边形ABCD 的面积为6，则k =______．16．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，折痕为MN ，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，点C ，D 的对应点分别在E ，F 且点F 在矩形内部，MF 的延长线交BC 与点G ，EF 交边BC 于点H ．2EN =，4AB =，当点H 为GN 三等分点时，MD 的长为______．三、解答题:17213tan 3022-⎛⎫︒+ ⎪⎝⎭．18．为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，老师将四道备讲题的题号1，2，3，4，分别写在完全相同的4张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀．(1)随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是________；(2)小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率．19．如图，在ABC 中，AD 是ABC 的角平分线，分别以点A ，D 为圆心，大于12AD 的长为半径作弧，两弧交于点M ，N ，作直线MN ，分别交AB ，AD ，AC 于点E ，O ，F ，连接DE ，DF ．(1)由作图可知，直线MN 是线段AD 的______．(2)求证：四边形AEDF 是菱形．20．某校积极落实“双减”政策，将要开设拓展课程，为让学生可以根据自己的兴趣爱好选择最喜欢的课程，进行问卷调查，问卷设置以下四种选项：A（综合模型）、B（摄影艺术）、C （音乐鉴赏）、D（劳动实践），随机抽取了部分学生进行调查，每名学生必须且只能选择其中最喜欢的一种课程，并将调查结果整理绘制成如下不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：(1)此次被调查的学生人数为________名；(2)直接在答题卡中补全条形统计图；(3)求拓展课程D（劳动实践）所对应的扇形的圆心角的度数；(4)根据抽样调查结果，请你估计该校800名学生中，有多少名学生最喜欢C（音乐鉴赏）拓展课程．21．如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．(1)若所围成矩形框架ABCD 的面积为144平方厘米，则AB 的长为多少厘米？(2)矩形框架ABCD 面积最大值为______平方厘米．22．如图，四边形ABCD 内接于圆O ，AD 是圆O 的直径，AD ，BC 的延长线交于点E ，延长CB 交PA 于点P ，90BAP DCE ∠+∠=︒．(1)求证：PA 是圆O 的切线；(2)连接AC ，1sin 3BAC ∠=，2BC =，AD 的长为______．23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点()0,9B ，与直线OC 交于点()8,3C ．(1)求直线AB 的函数表达式；(2)过点C 作CD x ⊥轴于点D ，将ACD 沿射线CB 平移得到的三角形记为A C D '''△，点A ，C ，D 的对应点分别为A '，C '，D ¢，若A C D '''△与BOC 重叠部分的面积为S ，平移的距离CC m '=，当点A '与点B 重合时停止运动．①若直线C D ''交直线OC 于点E ，则线段C E '的长为________（用含有m 的代数式表示）；②当1003m <<时，S 与m 的关系式为________；③当245S =时，m 的值为________．24．（1）如图1，AOB 和COD △是等腰直角三角形，90AOB COD ∠=∠=︒，点C 在OA 上，点D 在线段BO 延长线上，连接AD ，BC ．线段AD 与BC 的数量关系为______；（2）如图2，将图1中的COD △绕点O 顺时针旋转α（090α︒<<︒）第一问的结论是否仍然成立；如果成立，证明你的结论，若不成立，说明理由．（3）如图3，若8AB =，点C 是线段AB 外一动点，AC =BC ，①若将CB 绕点C 逆时针旋转90︒得到CD ，连接AD ，则AD 的最大值______；②若以BC 为斜边作Rt BCD ，（B 、C 、D 三点按顺时针排列），90CDB ∠=︒，连接AD ，当30CBD DAB ∠=∠=︒时，直接写出AD 的值．25．如图，平面直角坐标系中，O 是坐标原点，抛物线23y ax bx =+-经过点()6,0B 和点()4,3D -与x 轴另一个交点A ．抛物线与y 轴交于点C ，作直线AD ．(1)①求抛物线的函数表达式②并直接写出直线AD 的函数表达式．(2)点E 是直线AD 下方抛物线上一点，连接BE 交AD 于点F ，连接BD ，DE ，BDF V 的面积记为1S ，DEF 的面积记为2S ，当122S S =时，求点E 的坐标；(3)点G 为抛物线的顶点，将抛物线图象中x 轴下方部分沿x 轴向上翻折，与抛物线剩下部分组成新的曲线为1C ，点C 的对应点C '，点G 的对应点G '，将曲线1C ，沿y 轴向下平移n 个单位长度（06n <<）．曲线1C 与直线BC 的公共点中，选两个公共点作点P 和点Q ，若四''是平行四边形，直接写出P的坐标．边形C G QP1．A 【分析】根据有理数的加法运算即可求解．【详解】解：()53+-2=．故选：A ．【点睛】本题考查了有理数的加法，掌握有理数的加法法则是解题的关键．2．D 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【详解】解：从正面看易得上面第一层有1个正方形，第二层左边和右边都有一个正方形，如图所示：故选：D ．【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．3．D 【分析】分别利用幂的乘方法则，同底数幂的除法，积的乘方法则，完全平方公式分别求出即可．【详解】A ．()339a a =，故此选项计算错误，不符合题意；B ．633a a a ÷=，故此选项计算错误，不符合题意；C ．()2428ab a b =，故此选项计算错误，不符合题意；D ．()2222a b a ab b +=++，故此选项计算正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查幂的乘方法则，同底数幂的除法，积的乘方法则，完全平方公式，熟练掌握相关计算法则是解答本题的关键．幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；222a b a ab b-=-+都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者()2()2a b a ab b+=++与222叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式．4．B【分析】根据“关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数”即可解答．【详解】解：点A（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（-2，3）．故选B．【点睛】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，对称点的坐标规律：①关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．5．C【分析】根据众数的定义即一组数据中出现次数最多的数据，即可得出答案．【详解】解：∵年龄是13岁的人数最多，有7个人，∴这些队员年龄的众数是13；故选：C．【点睛】本题考查了众数，掌握众数的定义是本题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数据．6．B【分析】先解不等式，将不等式的解集表示在数轴上即可．【详解】解：213x +>移项合并得：22x >，系数化1得：1x >，表示在数轴上为∶故选：B ．【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，并把解集表示在数轴上，正确解出不等式是解答本题的关键．7．B【分析】因为点D 、E 分别是直角边AC 、BC 的中点，所以DE 是Rt ABC 的中位线，三角形的中位线平行于第三边，进而得到B CED ∠=∠，求出B ∠的度数，即为CED ∠的度数．【详解】解：∵点D 、E 分别是直角边AC 、BC 的中点，∴DE 是Rt ABC 的中位线，∴DE AB ∥，∴B CED ∠=∠，∵30A ∠=︒，90C ∠=︒，∴903060B ∠=-=°°°，∴60CED ∠=︒，故选：B ．【点睛】本题考查三角形中位线的性质以及三角形内角和，由三角形中位线定义，找到平行线是解答本题的关键．8．C【分析】根据一次函数的图象与性质即可得．【详解】解：一次函数1y x =-+的一次项系数为−1<0，常数项为10>，∴函数图象经过一、二、四象限故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．9．A【分析】根据全面调查和抽样调查的意义、概率的意义、方差的意义、事件可能性的大小分别进行判断即可．【详解】解：A ．要了解一批灯泡的使用寿命，采用普查的方式不合适，破坏性较强，应采用抽样调查，故此选项正确，符合题意；B ．如果某彩票的中奖概率是1%，那么一次购买100张这种彩票不一定一定会中奖，故选项错误，不符合题意；C ．若甲、乙两组数据的平均数相同，2 2.5S =甲，28.7S =乙，则2S 甲＜2S 乙，则甲组数据较稳定，故选项错误，不符合题意；D ．“任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7”是不可能事件，故选项错误，不符合题意．故选：A ．【点睛】此题主要考查了全面调查和抽样调查的意义、概率的意义、方差的意义、事件可能性的大小，关键是熟练掌握各知识点．10．C【分析】结合图形利用正切函数求解即可．【详解】解：根据题意可得：tan PT PQα=，∴·tan tan PT PQ m αα==，故选C ．【点睛】题目主要考查解直角三角形的实际应用，理解题意，利用正切函数解直角三角形是解题关键．11．()23a y +【分析】先提取公因式，然后再利用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：269ay ay a++=()269a y y ++()23a y =+；故答案为：()23a y +．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．12．12x y =⎧⎨=⎩##21y x =⎧⎨=⎩【分析】利用代入消元法进行求解方程组的解即可．【详解】解：252x y y x +=⎧⎨=⎩①②把②代入①得：55=x ，解得：1x =，把1x =代入②得：2y =；∴原方程组的解为12x y =⎧⎨=⎩；故答案为12x y =⎧⎨=⎩．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．13．1x -##1x-+【分析】根据分式的混合运算可直接进行求解．【详解】解：原式=()()1111x x x x x x+-⋅=-+；故答案为1x -．【点睛】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的加减乘除运算是解题的关键．14【分析】连接OA 、OB ，可证∠AOB ＝90°，根据勾股定理求出AO ，根据弧长公式求出即可．【详解】解：连接OA 、OB ．∵正方形ABCD 内接于⊙O ，∴AB ＝BC ＝DC ＝AD ＝4，AO ＝BO ，∴ AB BC CD AD ===，∴∠AOB ＝14×360°＝90°，在Rt △AOB 中，由勾股定理得：AO 2＋BO 2＝2AO 2＝42＝16，解得：AO ＝∴ AB =，．【点睛】本题考查了弧长公式和正方形的性质，能求出∠AOB 的度数和OA 的长是解此题的关键．15．6【分析】过点A 作AE ⊥CD 于点E ，然后平行四边形的性质可知△AED ≌△BOC ，进而可得矩形ABOE 的面积与平行四边形ABCD 的面积相等，最后根据反比例函数k 的几何意义可求解．【详解】解：过点A 作AE ⊥CD 于点E ，如图所示：∴90AED BOC ∠=∠=︒，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴,//BC AD BC AD =，∴ADE BCO ∠=∠，∴△AED ≌△BOC （AAS ），∵平行四边形ABCD 的面积为6，∴6ABCD ABOE S S == 矩形，∴6k =；故答案为6．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及反比例函数k 的几何意义，熟练掌握平行四边形的性质及反比例函数k 的几何意义是解题的关键．16．4或4【分析】由折叠得，∠DMN =∠GMN ，EF =CD ==4，CN =EN =2，∠EFM =∠D =90°，证明GHE NHE ∆∆ 得NH HE NE GH HF GF==，再分两种情况讨论求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD //BC ，CD =AB =4，∠D =∠C =90°，∴∠DMN =∠GNM ，由折叠得，∠DMN =∠GMN ，EF =CD ==4，CN =EN =2，∠EFM =∠D =90°，∴∠GMN =∠GNM ，∠GFH =∠NEH ，∴GM =GN ，又∠GHE =∠NHE ，∴GHE NHE ∆∆ ，∴NH HE NE GH HF GF==，∵点H 是GN 的三等分点，则有两种情况：①若12NH GH =时，则有：12HE NE HF GF ==∴EH =1428,3333EF FH EF ===，GF =2NE =4，由勾股定理得，NH =,∴GH =2NH∴GM =GN =GH +NH =∴MD =MF =GM -GF =4；②若2NH GH =时，则有：2HE NE HF GF==∴EH =2814,3333EF FH EF ===，GF =12NE =1，由勾股定理得，103NH =,∴GH =12NH =53∴GM =GN =GH +NH =5；∴MD =MF =GM -GF =514-=综上，MD 的值为4或4．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识，进行分类讨论是解答本题的关键．17．6【分析】根据二次根式的性质，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，化简绝对值进行计算即可求解．【详解】解：原式＝3423⨯+-42+6=．【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握二次根式的性质，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，化简绝对值是解题的关键．18．(1)1 4(2)1 6【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是2和3的结果有2种，再由概率公式求解即可．（1）解：随机抽取一张卡片，卡片上的数字是4的概率为1 4，故答案为：1 4；（2）解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是2和3的结果有2种，∴两张卡片上的数字是2和3的概率为21 126=．【点睛】此题考查的是用树状图或列表法求概率．树状图或列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．熟练掌握树状图或列表法是解决这类题的关键．19．(1)垂直平分线(2)见详解【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图可直接得出答案；（2）由题意易得90,,AOF AOE FAO EAO AF DF ∠=∠=︒∠=∠=，然后可证AOF AOE ≌，则有OF =OE ，进而问题可求证．（1）解：由题意得：直线MN 是线段AD 的垂直平分线；故答案为：垂直平分线；（2）证明：∵直线MN 是线段AD 的垂直平分线，∴90,,AOF AOE AO DO AF DF ∠=∠=︒==，∵AD 是ABC 的角平分线，∴FAO EAO ∠=∠，∵AO =AO ，∴AOF AOE ≌（ASA ），∴OF =OE ，∵AO =DO ，∴四边形AEDF 是平行四边形，∵AF DF =，∴四边形AEDF 是菱形．【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图、全等三角形的性质与判定及菱形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图、全等三角形的性质与判定及菱形的判定是解题的关键．20．(1)120(2)见解析(3)72︒(4)320名【分析】（1）先求出B 的人数，再将各项人数相加即可．（2）见解析（3）根据D 的百分比乘以圆心角即可．（4）求出C 所占的百分比，乘以800．（1）解：根据扇形统计图中，B 是A 的3倍故喜欢B 的学生数为31236⨯=（名）统计调查的总人数有：12＋36＋48＋24＝120（名）．（2）（3）由条形统计图可知：D 的人数是A 的2倍，故D 占总人数的20%所以D 所占圆心角为20%36072⨯︒=︒答：课程D 所对应的扇形的圆心角的度数为72︒．（4）若有800名学生，则喜欢C 的学生数有：48800320120⨯=（名）答：有320名学生最喜欢C 拓展课程．【点睛】本题考查扇形统计图与条形统计图相关内容，注意从图中获取信息，分析图中数据之间的数量关系是解题的关键．21．(1)AB 的长为8厘米或12厘米．(2)150【分析】（1）设AB 的长为x 厘米，则有6032x AD -=厘米，然后根据题意可得方程6031442x x -⋅=，进而求解即可；（2）由（1）可设矩形框架ABCD 的面积为S ，则有()260331015022x S x x -=⋅=--+，然后根据二次函数的性质可进行求解．（1）解：设AB 的长为x 厘米，则有6032x AD -=厘米，由题意得：6031442x x -⋅=，整理得：220960x x -+=，解得：128,12x x ==，∵60302x ->，∴020x <<，∴128,12x x ==都符合题意，答：AB 的长为8厘米或12厘米．（2）解：由（1）可设矩形框架ABCD 的面积为S 平方厘米，则有：()22603333010150222x S x x x x -=⋅=-+=--+，∵302-<，且020x <<，∴当10x =时，S 有最大值，即为150S =；故答案为：150．【点睛】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是找准题干中的等量关系．22．(1)证明见解析(2)6【分析】（1）根据圆内接四边形的性质和90BAP DCE ∠+∠=︒，可得出90PAD ∠=︒，再根据AD 是圆O 的直径，由切线的判定可得证；（2）延长DC 交AB 的延长线于点F ，由AD 是圆O 的直径，可说明ACF △是直角三角形，从而得到1sin 3CF BAC AF ∠==，再证明FCB FAD △∽△，得到CB CF AD AF =，代入数据即可得到答案．（1）证明：∵四边形ABCD 内接于圆O ，∴BAD DCE ∠=∠，∵90BAP DCE ∠+∠=︒，∴90BAP BAD ∠+∠=︒，∴90PAD ∠=︒，∴PA AD ⊥，∵AD 是圆O 的直径，∴PA 是圆O 的切线．（2）解：延长DC 交AB 的延长线于点F ，∵AD 是圆O 的直径，∴=90ACD ∠︒，∴18090ACF ACD ∠=︒-∠=︒，∴ACF △是直角三角形，∴sin CF BAC AF ∠=，∵四边形ABCD 内接于圆O ，∴FCB FAD =∠∠，又∵F F ∠=∠，∴FCB FAD △∽△，∴CB CF AD AF=，∵1sin 3BAC ∠=，2BC =，∴213CF AD AF ==，∴6AD =．故答案为：6．【点睛】本题考查了切线的判定，圆内接四边形的性质，圆周角定理推论，相似三角形的判定和性质，三角函数等知识．通过作辅助线构造相似三角形是解题的关键．23．(1)y ＝﹣34x +9；(2)①910m ；②925m 215﹣【分析】（1）将点B （0，9），C （8，3）的坐标代入直线解析式，求解即可；（2）①过点C 作CF ⊥C ′D ′，易得△CFC ′∽△AOB ，可用m 表达CF 和C ′F 的长度，进而可表达点C ′，D ′的坐标，由点C 的坐标可得出直线OC 的解析式，代入可得点E 的坐标；②根据题意可知，当0＜m ＜103时，点D ′未到直线OC ，利用三角形面积公式可得出本题结果；③分情况讨论，分别求出当0＜m ＜103时，当103＜m ＜5时，当5＜m ＜10时，当10＜m ＜15时，S 与m 的关系式，分别令S ＝245，建立方程，求出m 即可．（1）解：将点B （0，9），C （8，3）的坐标代入直线y ＝kx +b ，∴983b k b =⎧⎨+=⎩，解得349k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩．∴直线AB 的函数表达式为：y ＝﹣34x +9；（2）①由（1）知直线AB 的函数表达式为：y ＝﹣34x +9，令y ＝0，则x ＝12，∴A （12，0），∴OA ＝12，OB ＝9，∴AB ＝15；如图1，过点C 作CF ⊥C ′D ′于点F，∴CF ∥OA ，∴∠OAB ＝∠FCC ′，∵∠C ′FC ＝∠BOA ＝90°，∴△CFC ′∽△AOB ，∴OB ：OA ：AB ＝C ′F ：CF ：CC ′＝9：12：15，∵CC ′＝m ，∴CF ＝45m ，C ′F ＝35m ，∴C ′（8﹣45m ，3+35m ），A ′（12﹣45m ，35m ），D ′（8﹣45m ，35m ），∵C （8，3），∴直线OC 的解析式为：y ＝38x ，∴E （8﹣45m ，3﹣310m ）.∴C ′E ＝3+35m ﹣（3﹣310m ）＝910m ．故答案为：910m ．②当点D ′落在直线OC 上时，有35m ＝38（8﹣45m ），解得m ＝103，∴当0＜m ＜103时，点D ′未到直线OC ，此时S ＝12C ′E •CF ＝12•910m •45m ＝925m 2；故答案为：925m 2．③分情况讨论，当0＜m ＜103时，由②可知，S ＝925m 2；令S ＝925m 2＝245，解得m ＝3＞103（舍）或m ＝﹣3（舍）；当103≤m ＜5时，如图2，设线段A ′D ′与直线OC 交于点M ，∴M （85m ，35m ），∴D ′E ＝35m ﹣（3﹣310m ）＝910m ﹣3，D ′M ＝85m ﹣（8﹣45m ）＝125m ﹣8；∴S ＝925m 2﹣12•（910m ﹣3）•（125m ﹣8）＝﹣1825m 2+365m ﹣12，令﹣1825m 2+365m ﹣12＝245；整理得，3m 2﹣30m +70＝0，解得m 或m 5（舍）；当5≤m ＜10时，如图3，S ＝S △A ′C ′D ′＝12×4×3＝6≠245，不符合题意；当10≤m ＜15时，如图4，此时A ′B ＝15﹣m ，∴BN ＝35（15﹣m ），A ′N ＝45（15﹣m ），∴S ＝12•35（15﹣m ）•45（15﹣m ）＝625（15﹣m ）2，令625（15﹣m ）2＝245，解得m ＝15+215（舍）或m ＝15﹣故答案为：153-或15﹣【点睛】本题属于一次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、三角形的面积、相似三角形的性质与判定、一元二次方程、分类讨论思想等知识，根据△A ′C ′D ′的运动，进行正确的分类讨论是解题关键．24．（1）AD BC =；（2）结论仍成立，理由见详解；（3）①2AD =．【分析】（1）由题意易得AO BO =，OD OC =，90AOD BOC ∠=∠=︒，然后可证AOD BOC ≌△△，进而问题可求解；（2）由题意易得AO BO =，OD OC =，然后可证AOD BOC ≌△△，进而问题可求证；（3）①根据题意作出图形，然后根据三角不等关系可得AC CD AD +≥，则当A 、C 、D 三点共线时取最大，进而问题可求解；②过点C 作CE AB ⊥于点E ，连接DE ，过点B 作BF DE ⊥于点F ，然后可得点C 、D 、B 、E 四点共圆，则有60DEB DCB ∠=∠=︒，设2BC x =，BE y =，则8AE y =-，CD x =，BD =，进而根据勾股定理可进行方程求解．【详解】解：（1）AD BC =，理由如下：∵AOB 和COD △是等腰直角三角形，90AOB COD ∠=∠=︒，∴AO BO =，OD OC =，90AOD BOC ∠=∠=︒，∴()SAS AOD BOC ≌△△，AD BC ∴=，故答案为：AD BC =；（2）结论仍成立，理由如下：∵AOB 和COD △是等腰直角三角形，90AOB COD ∠=∠=︒，∴AO BO =，OD OC =，∴AOC COD BOA AOC ∠+∠=∠+∠，即AOD BOC ∠=∠，∴()SAS AOD BOC ≌△△，AD BC ∴=；（3）①如图，由题意得：BC CD =，90BCD ∠=︒，根据三角不等关系可知：AC CD AD +≥，∴当A 、C 、D 三点共线时取最大，∴90ACB BCD ∠=∠=︒，∵8AB =，AC =∴BC =AD ∴的最大值为；②过点C 作CE AB ⊥于点E ，连接DE ，过点B 作BF DE ⊥于点F ，如图所示：∴90AEB CDB ∠=∠=︒，∴点C 、D 、B 、E 四点共圆，∵30CBD DAB ∠=∠=︒，∴60BCD ∠=︒，∴60DEB BCD ∠=∠=︒，∴30ADE DEB DAB ∠=∠-∠=︒，9030EBF DEB ∠=︒-∠=︒，∴D AE AD E ∠=∠，∴AE DE =，设2BC x =，BE y =，则8AE y =-，CD x =，BD ，∴1122EF BE y ==，8DE AE y ==-，∴382DF DE EF y =-=-，BF y ===，∴在Rt AEC △和Rt BEC △中，由勾股定理得：()2224278x y y -=--，整理得：241637x y =-①；在Rt BFD 中，由勾股定理得：222338324y y x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，整理得：22642433y y x -+=②，联立①②得：2121443670y y -+=，解得：166y =-，266y =+（不符合题意，舍去），∴86266AE ⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭，过点E 作EM AD ⊥于点M ，∴11212EM AE ==+，12AM AD =，∴4AM ==，∴2AD AE ==【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、四点共圆及含30度直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、四点共圆及含30度直角三角形的性质是解题的关键．25．(1)①2134y x x =--；②112y x =--(2)（2，-4）或（0，-3）(3)（）或512⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）①利用待定系数解答，即可求解；②利用待定系数解答，即可求解；（2）过点E 作EG ⊥x 轴交AD 于点G ，过点B 作BH ⊥x 轴交AD 于点H ，设点21,34E m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则点1,12G m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，可得211242EG m m =-++，然后根据△EFG ∽△BFH ，即可求解；（3）先求出向上翻折部分的图象解析式为()21244y x =--+，可得向上翻折部分平移后的函数解析式为()21244y x n =--+-，平移后抛物线剩下部分的解析式为()21244y x n =---，分别求出直线BC 和直线C G ''的解析式为，可得BC ∥C ′G ′，再根据平行四边形的性质可得点12,22Q s s ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，然后分三种情况讨论：当点P ，Q 均在向上翻折部分平移后的图象上时；当点P 在向上翻折部分平移后的图象上，点Q 在平移后抛物线剩下部分的图象上时；当点P 在平移后抛物线剩下部分的图象上，点Q 在向上翻折部分平移后的图象上时，即可求解．（1）解：①把点()6,0B 和点()4,3D -代入得：3663016433a b a b +-=⎧⎨+-=-⎩，解得：141a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线解析式为2134y x x =--；②令y =0，则21304x x --=，解得：122,6x x =-=，∴点A （-2，0），设直线AD 的解析式为()10y kx b k =+≠，∴把点()4,3D -和点A （-2，0）代入得：114320k b k b +=-⎧⎨-+=⎩，解得：1121k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AD 的解析式为112y x =--；（2）解：如图，过点E 作EG ⊥x 轴交AD 于点G ，过点B 作BH ⊥x 轴交AD 于点H ，当x =6时，16142y =-⨯-=-，∴点H （6，-4），即BH =4，设点21,34E m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则点1,12G m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴2211111322442EG m m m m m ⎛⎫⎛⎫=-----=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵BDF V 的面积记为1S ，DEF 的面积记为2S ，且122S S =，∴BF =2EF ，∵EG ⊥x ，BH ⊥x 轴，∴△EFG ∽△BFH ，∴12EG EF BH BF ==，∴211214242m m -++=，解得：2m =或0，∴点E 的坐标为（2，-4）或（0，-3）；（3）解：()221132444y x x x =--=--，∴点G 的坐标为（2，-4），当x =0时，y =-3，即点C （0，-3），∴点()()0,3,2,4C G ''，∴向上翻折部分的图象解析式为()21244y x =--+，∴向上翻折部分平移后的函数解析式为()21244y x n =--+-，平移后抛物线剩下部分的解析式为()21244y x n =---，设直线BC 的解析式为()2220y k x b k =+≠，把点B （6，0），C （0，-3）代入得：222603k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：22123k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线BC 的解析式为132y x =-，同理直线C G ''的解析式为132y x =+，∴BC ∥C ′G ′，设点P 的坐标为1,32s s ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵点()()0,3,2,4C G ''，∴点C ′向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点G ′，∵四边形C G QP ''是平行四边形，∴点12,22Q s s ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，当点P ，Q 均在向上翻折部分平移后的图象上时，()()22112434211224242s n s s n s ⎧--+-=-⎪⎪⎨⎪-+-+-=-⎪⎩，解得：06s n =⎧⎨=⎩（不合题意，舍去），当点P 在向上翻折部分平移后的图象上，点Q 在平移后抛物线剩下部分的图象上时，()()22112434211224242s n s s n s ⎧--+-=-⎪⎪⎨⎪+---=-⎪⎩，解得：10s n ⎧=+⎪⎨=⎪⎩或10s n ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，当点P 在平移后抛物线剩下部分的图象上，点Q 在向上翻折部分平移后的图象上时，()()22112434211224242s n s n s ⎧---=-⎪⎪⎨⎪-+-+-=-⎪⎩，解得：1s n ⎧=-⎪⎨=⎪⎩1s n ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，综上所述，点P 的坐标为综上所述，点P 的坐标为（）或（1）．答案第23页，共23页【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．。
2022年辽宁省沈阳市中考数学试卷和答案解析
2022年辽宁省沈阳市中考数学试卷和答案解析一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题2分，共20分）1．（2分）计算5+（﹣3），结果正确的是（）A．2B．﹣2C．8D．﹣82．（2分）如图是由4个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．3．（2分）下列计算结果正确的是（）A．（a3）3＝a6B．a6÷a3＝a2C．（ab4）2＝ab8D．（a+b）2＝a2+2ab+b24．（2分）在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（）A．（﹣2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣3，﹣2）5．（2分）调查某少年足球队全体队员的年龄，得到数据结果如下表：年龄/岁1112131415人数34722则该足球队队员年龄的众数是（）A．15岁B．14岁C．13岁D．7人6．（2分）不等式2x+1＞3的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，点D、E分别是直角边AC、BC的中点，连接DE，则∠CED的度数是（）A．70°B．60°C．30°D．20°8．（2分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+1的图象是（）A．B．C．D．9．（2分）下列说法正确的是（）A．了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式B．如果某彩票的中奖概率是1%，那么一次购买100张这种彩票一定会中奖C．若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲2＝2.5，S乙2＝8.7，则乙组数据较稳定D．“任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7”是必然事件10．（2分）如图，一条河的两岸互相平行，为了测量河的宽度PT（PT 与河岸PQ垂直），测量得P，Q两点间距离为m米，∠PQT＝α，则河宽PT的长为（）A．msinαB．mcosαC．mtanαD．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）因式分解：ay2+6ay+9a＝．12．（3分）二元一次方程组的解是．13．（3分）化简：（1﹣）•＝．14．（3分）如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，则的长是（结果保留π）．15．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，CD在x轴上，点B 在y轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过第一象限点A，且▱ABCD的面积为6，则k＝．16．（3分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N 分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F 在矩形内部，MF的延长线交边BC于点G，EF交边BC于点H．EN ＝2，AB＝4，当点H为GN的三等分点时，MD的长为．三、参考答案题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．（6分）计算：﹣3tan30°+（）﹣2+|﹣2|．18．（8分）为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，老师将四道备讲题的题号1，2，3，4，分别写在完全相同的4张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀．（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是；（2）小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率．19．（8分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，分别以点A，D为圆心，大于AD的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AB，AD，AC于点E，O，F，连接DE，DF．（1）由作图可知，直线MN是线段AD的．（2）求证：四边形AEDF是菱形．四、（每小题8分，共16分）20．（8分）某校积极落实“双减”政策，将要开设拓展课程．为让学生可以根据自己的兴趣爱好选择最喜欢的课程，进行问卷调查，问卷设置以下四种选项：A（综合模型）、B（摄影艺术）、C（音乐鉴赏）、D（劳动实践），随机抽取了部分学生进行调查，每名学生必须且只能选择其中最喜欢的一种课程，并将调查结果整理绘制成如下不完整的统计图．根据以上信息，参考答案下列问题：（1）此次被调查的学生人数为名；（2）直接在答题卡中补全条形统计图；（3）求拓展课程D（劳动实践）所对应的扇形的圆心角的度数；（4）根据抽样调查结果，请你估计该校800名学生中，有多少名学生最喜欢C（音乐鉴赏）拓展课程．21．（8分）如图，用一根60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．（1）若所围成的矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB 的长为多少厘米？（2）矩形框架ABCD面积的最大值为平方厘米．五、（本题10分）22．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD是⊙O的直径，AD，BC的延长线交于点E，延长CB交PA于点P，∠BAP+∠DCE＝90°．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）连接AC，sin∠BAC＝，BC＝2，AD的长为．六、（本题10分）23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，9），与直线OC交于点C （8，3）．（1）求直线AB的函数表达式；（2）过点C作CD⊥x轴于点D，将△ACD沿射线CB平移得到的三角形记为△A′C′D′，点A，C，D的对应点分别为A′，C′，D′，若△A′C′D′与△BOC重叠部分的面积为S，平移的距离CC′＝m，当点A′与点B重合时停止运动．①若直线C′D′交直线OC于点E，则线段C′E的长为（用含有m的代数式表示）；②当0＜m＜时，S与m的关系式为；③当S＝时，m的值为．七、（本题12分）24．（12分）【特例感知】（1）如图1，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，点C在OA上，点D在BO的延长线上，连接AD，BC，线段AD与BC的数量关系是；【类比迁移】（2）如图2，将图1中的△COD绕着点O顺时针旋转α（0°＜α＜90°），那么第（1）问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由．【方法运用】（3）如图3，若AB＝8，点C是线段AB外一动点，AC＝3，连接BC．①若将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接AD，则AD的最大值是；②若以BC为斜边作Rt△BCD（B，C，D三点按顺时针排列），∠CDB＝90°，连接AD，当∠CBD＝∠DAB＝30°时，直接写出AD的值．八、（本题12分）25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线AD．（1）①求抛物线的函数表达式；②直接写出直线AD的函数表达式；（2）点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，当S1＝2S2时，求点E的坐标；（3）点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方的部分沿x 轴向上翻折，与抛物线剩下的部分组成新的曲线记为C1，点C的对应点为C′，点G的对应点为G′，将曲线C1沿y轴向下平移n个单位长度（0＜n＜6）．曲线C1与直线BC的公共点中，选两个公共点记作点P和点Q，若四边形C′G′QP是平行四边形，直接写出点P的坐标．参考答案与解析一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题2分，共20分）1．【参考答案】解：5+（﹣3）＝2，故选：A．【解析】本题主要考查有理数加法，掌握其运算法则是解题关键．2．【参考答案】解：从正面看，底层有2个正方形，上层左边有1个正方形，故选：D．【解析】本题考查了三视图的知识．注意主视图是指从物体的正面看物体．3．【参考答案】解：A．（a3）3＝a9，因此选项A不符合题意；B．a6÷a3＝a6﹣3＝a3，因此选项B 不符合题意；C．（ab4）2＝a2b8，因此选项C不符合题意；D．（a+b）2＝a2+2ab+b2，因此选项D符合题意；故选：D．【解析】本题考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法以及完全平方公式，掌握幂的乘方与积的乘方的计算方法，同底数幂的除法的计算法则以及完全平方公式的结构特征是正确判断的前提．4．【参考答案】解：点A（2，3）关于y轴的对称点坐标为（﹣2，3）．故选：B．【解析】本题考查了关于x轴、y轴对称点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．5．【参考答案】解：该足球队队员年龄13岁出现的次数最多，故众数为13岁．故选：C．【解析】本题考查了众数，掌握众数的定义是参考答案本题的关键．6．【参考答案】解：不等式2x+1＞3的解集为：x＞1，故选：B．【解析】本题考查的解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是参考答案此题的关键．7．【参考答案】解：在Rt△ABC中，∠A＝30°，则∠B＝90°﹣∠A＝60°，∵D、E分别是边AC、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠CED＝∠B＝60°，故选：B．【解析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形中位线平行于第三边是解题的关键．8．【参考答案】解：一次函数y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1；令y ＝0，则x＝1，∴一次函数y＝﹣x+1的图象经过点（0，1）和（1，0），∴一次函数y＝﹣x+1的图象经过一、二、四象限，故选：C．【解析】本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线．9．【参考答案】解：A．了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式，是正确的，因此选项A符合题意；B．如果某彩票的中奖概率是1%，那么一次购买100张这种彩票也不一定会中奖，因此选项B不符合题意；C．若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲2＝2.5，S乙2＝8.7，则甲组数据较稳定，因此选项C不符合题意；D．“任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7”是不可能事件，因此选项D不符合题意；故选：A．【解析】本题考查全面调查与抽样调查，方差以及随机事件、不可能事件、必然事件，理解全面调查与抽样调查的方法，方差的意义以及随机事件、不可能事件、必然事件的定义是正确判断的前提．10．【参考答案】解：由题意得：PT⊥PQ，∴∠APQ＝90°，在Rt△APQ中，PQ＝m米，∠PQT＝α，∴PT＝PQ•tanα＝mtanα（米），∴河宽PT的长度是mtanα米，故选：C．【解析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共18分）11．【参考答案】解：ay2+6ay+9a＝a（y2+6y+9）＝a（y+3）2．故答案为：a（y+3）2．【解析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．12．【参考答案】解：，将②代入①，得x+4x＝5，解得x＝1，将x＝1代入②，得y＝2，∴方程组的解为，故答案为：．【解析】本题考查二元一次方程组，理解二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解法是正确参考答案的关键．13．【参考答案】解：（1﹣）•＝＝＝x﹣1，故答案为：x﹣1．【解析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是参考答案本题的关键．14．【参考答案】解：连接OA、OB．∵正方形ABCD内接于⊙O，∴AB＝BC＝DC＝AD，∴＝＝＝，∴∠AOB＝×360°＝90°，在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2＝42，解得：AO＝2，∴的长＝＝π，故答案为：π．【解析】本题考查了弧长公式和正方形的性质，能求出∠AOB的度数和OA的长是解此题的关键．15．【参考答案】解：作AE⊥CD于E，如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥x轴，∴四边形ABOE为矩形，∴S平行四边形ABCD＝S矩形ABOE＝6，∴|k|＝6，而k＞0，∴k＝6．故答案为：6．【解析】本题考查了反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y＝（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．16．【参考答案】解：当HN＝GN时，GH＝2HN，∵将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，∴MF＝MD，CN＝EN，∠E＝∠C＝∠D＝∠MFE＝90°，∠DMN ＝∠GMN，AD∥BC，∴∠GFH＝90°，∠DMN＝∠MNG，∴∠GMN＝∠MNG，∴MG＝NG，∵∠GFH＝∠E＝90°，∠FHG＝∠EHN，∴△FGH∽△ENH，∴＝＝2，∴FG＝2EN＝4，过点G作GP⊥AD于点P，则PG＝AB＝4，设MD＝MF＝x，则MG＝GN＝x+4，∴CG＝x+6，∴PM＝6，∵GP2+PM2＝MG2，∴42+62＝（x+4）2，解得：x＝2﹣4，∴MD＝2﹣4；当GH＝GN时，HN＝2GH，∵△FGH∽△ENH，∴＝＝，∴FG＝EN＝1，∴MG＝GN＝x+1，∴CG＝x+3，∴PM＝3，∵GP2+PM2＝MG2，∴42+32＝（x+1）2，解得：x＝4，∴MD＝4；故答案为：2﹣4或4．【解析】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，考查了分类讨论的思想，根据勾股定理列方程求解是解题的关键．三、参考答案题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．【参考答案】解：原式＝2﹣3×+4+2﹣＝2﹣+4+2﹣＝6．【解析】此题考查的是实数的运算，负整数指数幂的运算，特殊三角形函数值，掌握其运算法则是解决此题的关键．18．【参考答案】解：（1）由题意得，随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是．故答案为：．（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是“2”和“3”的结果有2种，∴小明随机抽取两张卡片，两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率为．【解析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法是参考答案本题的关键．19．【参考答案】（1）解：根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线；故答案为：垂直平分线；（2）证明：∵MN是AD的垂直平分线，∴AF＝DF，AE＝DE，∴∠FAD＝∠FDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠FDA＝∠BAD，∴DF∥AB，同理DE∥AF，∴四边形AEDF是平行四边形，∵FA＝FD，∴四边形AEDF为菱形．【解析】本题考查了作图﹣基本作图以及菱形的判定方法，熟知线段垂直平分线的作法是参考答案此题的关键．四、（每小题8分，共16分）20．【参考答案】解：（1）此次被调查的学生人数为：12÷10%＝120（名），故答案为：120；（2）选择B的学生有：120﹣12﹣48﹣24＝36（名），补全的条形统计图如图所示；（3）360°×＝72°，即拓展课程D（劳动实践）所对应的扇形的圆心角的度数是72°；（3）800×＝320（名），答：估计该校800名学生中，有320名学生最喜欢C（音乐鉴赏）拓展课程．【解析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、频数（率）分布表，参考答案本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想参考答案．21．【参考答案】解：（1）设框架的长AD为xcm，则宽AB为cm，∴x•＝144，解得x＝12或x＝18，∴AB＝12cm或AB＝8cm，∴AB的长为12厘米或8厘米；（2）由（1）知，框架的长AD为xcm，则宽AB为cm，∴S＝x•，即S＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣15）2+150，∵﹣＜0，∴要使框架的面积最大，则x＝15，此时AB＝10，最大为150平方厘米．故答案为：150．【解析】此题考查的是二次函数在实际生活中的运用及求函数最值的方法，属较简单题目．解题的关键是用一个未知数表示出长和宽，利用面积公式来列出函数表达式后再求其最值．五、（本题10分）22．【参考答案】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BCD+∠DCE＝180°，∴∠BAD＝∠DCE，∵∠BAP+∠DCE＝90°，∴∠BAP+∠BAD＝90°，∴∠OAP＝90°，∵OA是⊙O的半径，∴PA是圆O的切线；（2）连接BO并延长交⊙O于点F，连接CF，∵BF是⊙O的直径，∴∠BCF＝90°，∵∠BAC＝∠F，∴sin∠BAC＝sinF＝，在Rt△BCF中，BC＝2，∴BF＝＝＝6，∴AD＝BF＝6，故答案为：6．【解析】本题考查了解直角三角形，切线的判定与性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．六、（本题10分）23．【参考答案】解：（1）将点B（0，9），C（8，3）的坐标代入直线y＝kx+b，∴，解得．∴直线AB的函数表达式为：y＝﹣x+9；（2）①由（1）知直线AB的函数表达式为：y＝﹣x+9，令y＝0，则x＝12，∴A（12，0），∴OA＝12，OB＝9，∴AB＝15；如图1，过点C作CF⊥C′D′于点F，∴CF∥OA，∴∠OAB＝∠FCC′，∵∠C′FC＝∠BOA＝90°，∴△CFC′∽△AOB，∴OB：OA：AB＝C′F：CF：CC′＝9：12：15，∵CC′＝m，∴CF＝m，C′F＝m，∴C′（8﹣m，3+m），A′（12﹣m，m），D′（8﹣m，m），∵C（8，3），∴直线OC的解析式为：y＝x，∴E（8﹣m，3﹣m）.∴C′E＝3+m﹣（3﹣m）＝m．故答案为：m．②当点D′落在直线OC上时，有m＝（8﹣m），解得m＝，∴当0＜m＜时，点D′未到直线OC，此时S＝C′E•CF＝•m•m＝m2；故答案为：m2．③分情况讨论，当0＜m＜时，由②可知，S＝m2；令S＝m2＝，解得m＝＞（舍）或m＝﹣（舍）；当≤m＜5时，如图2，设线段A′D′与直线OC交于点M，∴M（m，m），∴D′E＝m﹣（3﹣m）＝m﹣3，D′M＝m﹣（8﹣m）＝m﹣8；∴S＝m2﹣•（m﹣3）•（m﹣8）＝﹣m2+m﹣12，令﹣m2+m﹣12＝；整理得，3m2﹣30m+70＝0，解得m＝或m＝＞5（舍）；当5≤m＜10时，如图3，S＝S△A′C′D′＝×4×3＝6≠，不符合题意；当10≤m＜15时，如图4，此时A′B＝15﹣m，∴BN＝（15﹣m），A′N＝（15﹣m），∴S＝•（15﹣m）•（15﹣m）＝（15﹣m）2，令（15﹣m）2＝，解得m＝15+2＞15（舍）或m＝15﹣2．故答案为：或15﹣2．【解析】本题属于一次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，三角形的面积，相似三角形的性质与判定，分类讨论思想等知识，根据△A′C′D′的运动，进行正确的分类讨论是解题关键．七、（本题12分）24．【参考答案】解：（1）AD＝BC．理由如下：如图1，∵△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD ＝90°，∴OA＝OB，OD＝OC，在△AOD和△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴AD＝BC，故答案为：AD＝BC；（2）AD＝BC仍然成立.证明：如图2，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOB+∠AOC＝∠AOC+∠COD＝90°+α，即∠BOC＝∠AOD，在△AOD和△BOC中，，°∴△AOD≌△BOC（SAS），∴AD＝BC；（3）①过点A作AT⊥AB，使AT＝AB，连接BT，AD，DT，BD，∵△ABT和△CBD都是等腰直角三角形，∴BT＝AB，BD＝BC，∠ABT＝∠CBD＝45°，∴＝＝，∠ABC＝∠TBD，∴△ABC∽△TBD，∴＝＝，∴DT＝AC＝×3＝3，∵AT＝AB＝8，DT＝3，∴点D的运动轨迹是以T为圆心，3为半径的圆，∴当D在AT的延长线上时，AD的值最大，最大值为8+3，故答案为：8+3；②如图4，在AB上方作∠ABT＝30°，过点A作AT⊥BT于点T，连接AD、BD、DT，过点T作TH⊥AD于点H，∵＝＝cos30°＝，∠ABC＝∠TBD＝30°+∠TBC，∴△BAC∽△BTD，∴＝＝，∴DT＝AC＝×3＝，在Rt△ABT中，AT＝AB•sin∠ABT＝8sin30°＝4，∵∠BAT＝90°﹣30°＝60°，∴∠TAH＝∠BAT﹣∠DAB＝60°﹣30°＝30°，∵TH⊥AD，∴TH＝AT•sin∠TAH＝4sin30°＝2，AH＝AT•cos∠TAH＝4cos30°＝2，在Rt△DTH中，DH＝＝＝，∴AD＝AH+DH＝2+；如图5，在AB上方作∠ABE＝30°，过点A作AE⊥BE于点E，连接DE，则＝＝cos30°＝，∵∠EBD＝∠ABC＝∠ABD+30°，∴△BDE∽△BCA，∴＝＝，∴DE＝AC＝×3＝，∵∠BAE＝90°﹣30°＝60°，AE＝AB•sin30°＝8×＝4，∴∠DAE＝∠DAB+∠BAE＝30°+60°＝90°，∴AD＝＝＝；综上所述，AD的值为2+或．【解析】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，关键是添加恰当辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，综合性较强，难度较大，属于中考压轴题．八、（本题12分）25．【参考答案】解：（1）①∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），∴，解得：，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣3；②由①得y＝x2﹣x﹣3，当y＝0时，x2﹣x﹣3＝0，解得：x1＝6，x2＝﹣2，∴A（﹣2，0），设直线AD的函数表达式为y＝kx+d，则，解得：，∴直线AD的函数表达式为y＝x﹣1；（2）设点E（t，t2﹣t﹣3），F（x，y），过点E作EM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，如图1，∵S1＝2S2，即＝2，∴＝2，∴＝，∵EM⊥x轴，FN⊥x轴，∴EM∥FN，∴△BFN∽△BEM，∴＝＝＝，∵BM＝6﹣t，EM＝﹣（t2﹣t﹣3）＝﹣t2+t+3，∴BN＝（6﹣t），FN＝（﹣t2+t+3），∴x＝OB﹣BN＝6﹣（6﹣t）＝2+t，y＝﹣（﹣t2+t+3）＝t2﹣t﹣2，∴F（2+t，t2﹣t﹣2），∵点F在直线AD上，∴t2﹣t﹣2＝﹣（2+t）﹣1，解得：t1＝0，t2＝2，∴E（0，﹣3）或（2，﹣4）；（3）∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣2）2﹣4，∴顶点坐标为G（2，﹣4），当x＝0时，y＝3，即点C （0，﹣3），∴点C′（0，3），G′（2，4），∴向上翻折部分的图象解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4，∴向上翻折部分平移后的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4﹣n，平移后抛物线剩下部分的解析式为y＝（x﹣2）2﹣4﹣n，设直线BC的解析式为y＝k′x+d′（k′≠0），把点B（6，0），C（0，﹣3）代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，同理直线C′G′的解析式为y＝x+3，∴BC∥C′G′，设点P的坐标为（s，s﹣3），∵点C′（0，3），G′（2，4），∴点C′向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点G′，∵四边形C′G′QP是平行四边形，∴点Q（s+2，s﹣2），当点P，Q均在向上翻折部分平移后的图象上时，则，解得：（不符合题意，舍去），当点P在向上翻折部分平移后的图象上，点Q在平移后抛物线剩下部分的图象上时，则，解得：或（不合题意，舍去），当点P在平移后抛物线剩下部分的图象上，点Q在向上翻折部分平移后的图象上时，则，解得：或（不合题意，舍去），综上所述，点P的坐标为（1+，）或（1﹣，）．【解析】本题主要是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，三角形面积，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，抛物线的平移、翻折变换等，利用数形结合思想参考答案是解题的关键．。
2023年辽宁省各市中考数学试题真题汇编——函数(含答案)
函数（真题汇编）2023年辽宁省各市中考数学试题全解析版一．选择题（共8小题）;1．（2023•沈阳）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k，b的取值范围是（ ）A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0D．k＜0，b＜0 2．（2023•沈阳）二次函数y＝﹣（x+1）2+2图象的顶点所在的象限是（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（2023•大连）已知蓄电池两端电压U为定值，电流I与R成反比例函数关系．当I＝4A时，R＝10Ω，则当I＝5A时R的值为（ ）A．6ΩB．8ΩC．10ΩD．12Ω4．（2023•大连）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为（ ）A．﹣2B．﹣1C．0D．25．（2023•锦州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，在△DEF中，DE＝DF＝5，EF＝8，BC与EF在同一条直线上，点C与点E重合．△ABC以每秒1个单位长度的速度沿线段EF所在直线向右匀速运动，当点B运动到点F时，△ABC停止运动．设运动时间为t秒，△ABC与△DEF重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）A．B．C．D．6．（2023•营口）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．下列说法：①abc＜0；②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；③当﹣3＜x＜0时，ax2+bx+c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而增大；⑤am2+bm≤a﹣b（m为任意实数），其中正确的个数是（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个7．（2023•辽宁）如图，∠MAN＝60°，在射线AM，AN上分别截取AC＝AB＝6，连接BC，∠MAN 的平分线交BC于点D，点E为线段AB上的动点，作EF⊥AM交AM于点F，作EG∥AM交射线AD于点G，过点G作GH⊥AM于点H，点E沿AB方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x，四边形EFHG与△ABC重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x 之间函数关系的图象是（ ）A．B．C．D．8．（2023•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝3cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿射线AB匀速运动，到点B停止运动，同时动点Q从点A出发，以cm/s的速度沿射线AC匀速运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．在PQ的右侧以PQ为边作菱形PQMN，点N在射线AB上．设点P的运动时间为x（s），菱形PQMN与△ABC的重叠部分的面积为y（cm2），则能大致反映y与x之间函数关系的图象是（ ）A．B．C．D．二．填空题（共7小题）9．（2023•锦州）如图，在平面直角坐标系中，△AOC的边OA在y轴上，点C在第一象限内，点B＝（．（2023•锦州）如图，在平A4B4B5C4，…都是平行四边形，顶点C4，…都在正比例函数y＝x2A4C3，…，连接A1B2，A2B3，．（2023•辽宁）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），将线段AO转120°，得到线段AB，连接OB，点B恰好落在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则值是 ．．（2023•沈阳）若点＝的图象上，则y2．（用“＜”“＞”或“＝”填空）．（2023•大连）如图，在数轴上，且A在OC上方．连接AB．（2023•辽宁）如图，矩形＝（B，D，对角线CA的延长线经过原点三．解答题（共13小题）．（2023•辽宁）电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件的销售量y（件）与每件玩具售价．（2023•大连）如图1，在平面直角坐标系为线段OB上一动点（不与点B重合）的重叠面积为S，S关于t的函数图象如图（1）OB的长为 ；△OAB（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量21．（2023•辽宁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点C （0，4），点E在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在第一象限内，过点E作EF∥y轴，交BC于点F，作EH∥x轴，交抛物线于点H，点H在点E的左侧，以线段EF，EH为邻边作矩形EFGH，当矩形EFGH的周长为11时，求线段EH的长；（3）点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形OENM是正方形时，请直接写出点N的坐标．22．（2023•锦州）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣1，0）和B，交y轴于点C（0，3），顶点为D．（1）求抛物线的表达式；（2）若点E在第一象限内对称轴右侧的抛物线上，四边形ODEB的面积为7，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，若点F是对称轴上一点，点H是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是菱形，且∠EFG＝60°，如果存在，请直接写出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．23．（2023•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象交x轴于点A（8，0），交的一个动点（点M不与点C重合），过点M作x轴的垂线交直线CD于点N．设点M的横坐标为m．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）以线段MN，MC为邻边作▱MNQC，直线QC与x轴交于点E．①当0≤m＜时，设线段EQ的长度为l，求l与m之间的关系式；②连接OQ，AQ，当△AOQ的面积为3时，请直接写出m的值．24．（2023•营口）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥y轴于点B，tan∠AOB＝，AB＝2．（1）求反比例函数的解析式；（2）点C在这个反比例函数图象上，连接AC并延长交x轴于点D，且∠ADO＝45°，求点C的坐标．25．（2023•辽宁）抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，4），点P为第一象限内抛物线上的动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当△BEF的周长是线段PF长度的2倍时，求点P的坐标；（3）如图2，当点P运动到抛物线顶点时，点Q是y轴上的动点，连接BQ，过点B作直线l⊥BQ，连接QF并延长交直线l于点M，当BQ＝BM时，请直接写出点Q的坐标．26．（2023•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，2），与x轴的交点为点B（，0）和点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点E，G在y轴正半轴上，OG＝2OE，点D在线段OC上，OD＝OE．以线段OD，OE 为邻边作矩形ODFE，连接GD，设OE＝a．①连接FC，当△GOD与△FDC相似时，求a的值；②当点D与点C重合时，将线段GD绕点G按逆时针方向旋转60°后得到线段GH，连接FH，FG，将△GFH绕点F按顺时针方向旋转α（0°＜α≤180°）后得到△G′FH′，点G，H的对应点分别为G′、H′，连接DE．当△G′FH′的边与线段DE垂直时，请直接写出点H′的横坐标．27．（2023•大连）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝x2上有两点A、B，其中点A的横坐标为﹣2，点B的横坐标为1，抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c过点A、B．过A作AC∥x轴交抛物线C1另一点为点C．以AC、AC长为边向上构造矩形ACDE．（1）求抛物线C2的解析式；（2）将矩形ACDE向左平移m个单位，向下平移n个单位得到矩形A′C′D′E′，点C的对应点C′落在抛物线C1上．①求n关于m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；②直线A′E′交抛物线C1于点P，交抛物线C2于点Q．当点E′为线段PQ的中点时，求m的值；③抛物线C2与边E′D′、A′C′分别相交于点M、N，点M、N在抛物线C2的对称轴同侧，当MN＝时，求点C′的坐标．28．（2023•营口）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D（3，0），过点B作直线l⊥x轴，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q，当＝时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC，在直线BP上是否存在点F，使得∠DEF＝∠ACD+∠BED？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．函数（真题汇编）2023年辽宁省各市中考数学试题全解析版参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2023•沈阳）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k，b的取值范围是（ ）A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0D．k＜0，b＜0【答案】B【解答】解：由图可知该一次函数图象经过第一、三、四象限，则k＞0，b＜0．故答案为B．2．（2023•沈阳）二次函数y＝﹣（x+1）2+2图象的顶点所在的象限是（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2+2，∴顶点坐标为（﹣1，2），∴顶点在第二象限．故选：B．3．（2023•大连）已知蓄电池两端电压U为定值，电流I与R成反比例函数关系．当I＝4A时，R＝10Ω，则当I＝5A时R的值为（ ）A．6ΩB．8ΩC．10ΩD．12Ω【答案】B【解答】解：设I＝，则U＝IR＝40，∴R＝＝＝8，故选：B．4．（2023•大连）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为（ ）A．﹣2B．﹣1C．0D．2【答案】D【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，∴对称轴为直线x＝1，∵a＝1＞0，∴抛物线的开口向上，∴当0≤x＜1时，y随x的增大而减小，∴当x＝0时，y＝﹣1，当1≤x≤3时，y随x的增大而增大，∴当x＝3时，y＝9﹣6﹣1＝2，∴当0≤x≤3时，函数的最大值为2，故选：D．5．（2023•锦州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，在△DEF中，DE＝DF＝5，EF＝8，BC与EF在同一条直线上，点C与点E重合．△ABC以每秒1个单位长度的速度沿线段EF所在直线向右匀速运动，当点B运动到点F时，△ABC停止运动．设运动时间为t秒，△ABC与△DEF重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：过点D作DH⊥CB于H，∵DE＝DF＝5，EF＝8，∴EH＝FH＝EF＝4，∴DH＝＝3，当0≤t＜4时，如图，重叠部分为△EPQ，此时EQ＝t，PQ∥DH，∴△EPQ∽△EDH，∴，即，∴PQ＝t，∴S＝＝2，当4≤t＜8时，如图，重叠部分为四边形POC′B′，此时BB′＝CC′＝t，PB∥DE．∴B′F＝BC+CF﹣BB′＝12﹣t，FC＝8﹣t，∵PB∥DE，∴△PBF∽△DCF，∴，又S△DCF＝，∴，∵DH⊥BC．∠AB′C′＝90°，∴AC′∥DH，∴△C′QF∽△HFD．∴，即，∴，∴S＝S△PB′F﹣S△C′QF＝＝，当8≤t≤12时如图，重叠部分为四边形△PFB′，此时BB′＝CC′＝t，PB′∥DE．∴B′F＝BC+CF﹣BB′＝12﹣t，∵PB′∥DE．∴△PB′F∽△DCF，∴，即，∴，S＝S△PB′F＝，综上，∴符合题意的函数图象是选项A．故选：A．6．（2023•营口）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．下列说法：①abc＜0；②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；③当﹣3＜x＜0时，ax2+bx+c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而增大；⑤am2+bm≤a﹣b（m为任意实数），其中正确的个数是（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），∴对称轴为直线x＝＝﹣1，故②正确；∴﹣＝﹣1，∴b＝2a＜0，∵与y轴的交点在正半轴上，∴c＞0，∴abc＞0，故①错误；由图象可知，当﹣3＜x＜0时，y＞0，∴当﹣3＜x＜0时，ax2+bx+c＞0，故③正确；由图象可知，当x＞1时，y随x的增大而减小，故④错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴当x＝﹣1时，函数有最大值，∴当m为任意实数时，am2+bm+c≤a﹣b+c，∴am2+bm≤a﹣b，故⑤正确；综上所述，结论正确的是②③⑤共3个．故选：C．7．（2023•辽宁）如图，∠MAN＝60°，在射线AM，AN上分别截取AC＝AB＝6，连接BC，∠MAN 的平分线交BC于点D，点E为线段AB上的动点，作EF⊥AM交AM于点F，作EG∥AM交射线AD于点G，过点G作GH⊥AM于点H，点E沿AB方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x，四边形EFHG与△ABC重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x 之间函数关系的图象是（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵∠MAN＝60°，AC＝AB＝6，∴△ABC是边长为6的正三角形，∵AD平分∠MAN，∴∠MAD＝∠NAD＝30°，AD⊥BC，CD＝DB＝3，①当矩形EFHG全部在△ABC之中，即由图1到图2，此时0＜x≤3，∵EG∥AC，∴∠NAD＝∠AGE＝30°，∴AE＝EG＝x，在Rt△AEF中，AE＝x，∠EAF＝60°，∴EF＝AE＝x，∴S＝x2；②图3时，AE+AF＝AC，即x+x＝6，解得x＝4，由图2到图3，此时3＜x≤4，如图4，由题意可知△EQB是正三角形，∴EQ＝EB＝BQ＝6﹣x，∴GQ＝x﹣（6﹣x）＝2x﹣6，∴S＝S矩形EFHG﹣S△PQG＝x2﹣×（2x﹣6）2＝﹣x2+12x﹣18，③图6时，x＝6，由图3到图6，此时4＜x≤6，如图5，由题意可知△EKB是正三角形，∴EK＝EB＝BK＝6﹣x，FC＝AC﹣AF＝6﹣x，EF＝x，∴S＝S梯形EFCK＝（6﹣x+6﹣x）×x＝﹣x2+3x，综上所述，S与x的函数关系式为S＝，因此三段函数的都是二次函数关系，其中第1段是开口向上，第2段、第3段是开口向下的抛物线，故选：A．8．（2023•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝3cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿射线AB匀速运动，到点B停止运动，同时动点Q从点A出发，以cm/s的速度沿射线AC匀速运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．在PQ的右侧以PQ为边作菱形PQMN，点N在射线AB上．设点P的运动时间为x（s），菱形PQMN与△ABC的重叠部分的面积为y（cm2），则能大致反映y与x之间函数关系的图象是（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：作PD⊥AC于点D，作QE⊥AB于点E，由题意得AP＝x，AQ＝x，∴AD＝AP•cos30°＝x，∴AD＝DQ＝AQ，∴PD是线段AQ的垂直平分线，∴∠PQA＝∠A＝30°，∴∠QPE＝60°，PQ＝AP＝x，∴QE＝AQ＝x，PQ＝PN＝MN＝QM＝x，当点M运动到直线BC上时，此时，△BMN是等边三角形，∴AP＝PN＝BN＝AB＝1，x＝1；当点Q、N运动到与点C，B重合时，∴AP＝PN＝AB＝，x＝；当点P运动到与点B重合时，∴AP＝AB＝3，x＝3；∴当0＜x≤1时，y＝x•x＝x2，≤时，如图，作则BN＝FN＝FB＝3﹣2x，FM＝MS＝FS＝（∴y＝x2﹣（3x﹣3）•（3x﹣3）＝﹣x+x﹣，当＜x＜3时，如图，作HI⊥AB于点则BP＝PH＝HB＝3﹣x，HI＝（3﹣x），∴y＝•（3﹣x）•（3﹣x）＝x2﹣x+，综上，y与x之间函数关系的图象分为三段，当0＜x≤时，是开口向下的一段抛物线，当＜x＜3时，是开口向上的一段抛物线，＝（【答案】4．【解答】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图：设点C的坐标为（a，b），点A的坐标为（0，c），∴CD＝a，OA＝c，∵△AOC的面积是6，∴，∴ac＝12，∵点C（a，b）在反比例函数（x＞0）的图象上，∴k＝ab，∵点B为AC的中点，∴点，∵点B在反比例函数（x＞0）的图象上，∴，即：4k＝a（b+c），∴4k＝ab+ac，将ab＝k，ac＝12代入上式得：k＝4．故答案为：4．10．（2023•锦州）如图，在平面直角坐标系中，四边形A1B1B2C1，A2B2B3C2，A3B3B4C3，A4B4B5C4，…都是平行四边形，顶点B1，B2，B3，B4，B5…都在x轴上，顶点C1，C2，C3，C4，…都在正比例函数y＝x（x≥0）的图象上，且B2C1＝2A2C1，B3C2＝2A3C2，B4C3＝2A4C3，…，连接A1B2，A2B3，A3B4，A4B5，…，分别交射线OC1于点O1，O2，O3，O4，…，连接O1A2，O2A3，O3A4，…，得到△O1A2B2，△O2A3B3，△O3A4A4，…若B1（2，0），B2（3， ．【答案】．【解答】解：∵B2（3，0），A1（3，1）∴O1（3，），A1B2⊥x轴，同理可得：A2B3⊥x轴，A3B4⊥x轴，∴，∴，＝，∴＝O＝，：＝（∴＝（）＝（）＝，故答案为：．＝（ ．【答案】．【解答】解：过点B由旋转的性质得，AO∵点A的坐标为（0，∴，由勾股定理得，的坐标为，恰好落在反比例函数（∴，故答案为：．＝的图象上，则则，则，【答案】15．【解答】解：设AB为xm1+ ．1+，＝＝＝，＝，1+，1+．1+，＝（【答案】6．【解答】解：如图，延长∵矩形ABCD的面积是由几何意义得，＝三．解答题（共13小题）16．（2023•辽宁）电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件100元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与每件玩具售价x（元）之间满足一次函数关系（其中100≤x≤160，且x为整数），当每件玩具售价为120元时，每周的销量为80件；当每件玩具售价为140元时，每周的销量为40件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件玩具售价为多少元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大？最大周利润是多少元？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，∵当每件玩具售价为120元时，每周的销量为80件；当每件玩具售价为140元时，每周的销量为40件，∴，解得，即y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+320；（2）设利润为w元，由题意可得：w＝（x﹣100）（﹣2x+320）＝﹣2（x﹣130）2+1800，∴当x＝130时，w取得最大值，此时w＝1800，答：当每件玩具售价为130元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大，最大周利润是1800元．17．（2023•营口）某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同，当每瓶洗衣液的现售价为36元时，每周可卖出600瓶，为了能薄利多销，该超市决定降价销售，经市场调查发现，这种洗衣液的售价每降价1元，每周的销量可增加100瓶，规定这种消毒洗衣液每瓶的售价不低于进价．（1）求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元；根据题意得：＝，）代入得，解得，∴y＝﹣x+140；（2）∵规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，∴40≤x≤80，设每月出售这种护眼灯所获的利润为w元，根据题意得，w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣x+140）＝﹣x2+180x﹣5600＝﹣（x﹣90）2+2500，∴当护眼灯销售单价定为80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2400元．19．（2023•锦州）端午节前夕，某批发部购入一批进价为8元/袋的粽子，销售过程中发现：日销量y（袋）与售价x（元/袋）满足如图所示的一次函数关系．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）每袋粽子的售价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？【答案】（1）y与x的函数关系式为y＝﹣40x+680；（2）当粽子的售价定为12.5元/袋时，日销售利润最大，最大日销售利润是810元．【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，把x＝10，y＝280和x＝14，y＝120别代入解析式，得，解得，∴y与x的函数关系式为y＝﹣40x+680；（2）设这种粽子日销售利润为w元，则w＝（x﹣8）（﹣40x+680）＝40x2+1000x﹣5440＝40（x﹣）2+810，∵﹣40＜0，抛物线开口向下， ；【答案】（1）4，；（2）S＝．【解答】解：（1）t＝0时，P与O重合，此时S＝S△ABO＝，t＝4时，S＝0，P与B重合，∴OB＝4，B（4，0），，；＝OB，即×＝，＝，∴A（，）；当0≤t≤时，设OA交PD于E，如图：∵∠AOB＝45°，PD⊥OB，∴△PEO是等腰直角三角形，∴PE＝PO＝t，∴S△POE＝t2，∴S＝﹣S△POE＝﹣t2；当＜t＜4时，如图：由A（，），B（4，0）得直线AB解析式为y＝﹣x+2，当x＝0时，y＝2，∴C（0，2），∴OC＝2，∵tan∠CBO＝＝＝＝，∴DP＝PB＝（4﹣t）＝2﹣t，∴S＝S△DPB＝DP•PB＝（2﹣t）×（4﹣t）＝（4﹣t）2＝t2﹣2t+4；综上所述，S＝．21．（2023•辽宁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点C （0，4），点E在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在第一象限内，过点E作EF∥y轴，交BC于点F，作EH∥x轴，交抛物线于点H，点H在点E的左侧，以线段EF，EH为邻边作矩形EFGH，当矩形EFGH的周长为11时，求线段EH的长；（3）点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形OENM是正方形时，请直接写出点N的坐标．【答案】（1）见解答．（2）EH＝4，（3）点N的坐标为（4，4）或（﹣，）或（，）或（，）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（4，0）和C（0，4），∴解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；（2）∵点B（4，0）和C（0，4）．设直线BC的解析式为v＝kx+4，则0＝4k+4，解得k＝﹣1．直线BC的解析式为y＝﹣x+4，设E（x，﹣x2+x+4），且0＜x＜4，则F（x，﹣x+4），GH﹣EF＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x，∴解析式的对称轴为﹣，∴H（2﹣x，﹣x2+x+4），∴GF﹣EH＝x﹣（4﹣x）＝2x﹣2，依题意得2（﹣x2+2x+2x﹣2）＝11．解得x＝5（舍去）或x＝3．∴EH＝4，（3）令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，解得x＝﹣2或x＝4．∴A（﹣2，0）．同理，直线AC的解析式为y＝2x+4，∵四边形OENM是正方形，∴OE＝OM，∠EOM＝90°，分别过点M、E作y轴的垂线，垂足分别为P、Q，如图，∠OPM＝∠EQO＝90°，∠OMP＝90°﹣∠MOP＝∠EOQ．∴△OMP≌ΔEOQ（AAS）．∴PM＝OQ，PO＝EQ．设E（m，﹣m2+m+4），∴PM＝OQ＝﹣m，PO﹣EQ＝﹣m2+m+4．则M（m2﹣m+4，m），∵点M在直线AC上，∴m＝2（﹣m﹣4）+4．解得m＝4或m＝﹣1当m＝4时，M（0，4），E（4，0），即点M与点C重合，点E与点B重合时，四边形OENM是正方形，此时N（4，4）：当m＝﹣1时，M（﹣，﹣1），E（﹣1，），点O向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点M，则点E向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点N，N（﹣1﹣，﹣1），即N（﹣，）．当OM沿着点O逆时针旋转90°得到OE，如图：设M（a，b），则点E（b，﹣a），∵点M在y＝2x+4，∴b＝2a+4，则点M（a，2a+4），此时点E（2a+4，﹣a），点E在y＝﹣x2+x+4的图象上，∴，解得a＝0或﹣，∴M1（0，4），E1（4，0），M2（﹣，﹣1），E2（﹣1，），当点E为点M绕点O逆时针旋转90°时，点E（﹣b，a），M（a，2a+4），E（﹣2a﹣4，a），点E在y＝﹣x2+x+4的图象上，∴﹣（﹣2a﹣4）2﹣2a﹣4+4＝a，解得a＝，∴M1（，），E1（，），M2（，），E2（，），∴点N的坐标为（，）或（，），综上，点N的坐标为（4，4）或（﹣，）或（，）或（，）．22．（2023•锦州）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣1，0）和B，交y轴于点C（0，3），顶点为D．（1）求抛物线的表达式；（2）若点E在第一象限内对称轴右侧的抛物线上，四边形ODEB的面积为7，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，若点F是对称轴上一点，点H是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是菱形，且∠EFG＝60°，如果存在，请直接写出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）E（2，3）；（3）存在，G的坐标为（，）或（，）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）和点C（0，3），∴，∴，∴抛物线的表达式y＝﹣x2+2x+3．（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，过点E作EN⊥x轴于点N，设E（x，﹣x2+2x+3），∴BN＝3﹣x，MN＝x﹣1，∴S四边形ODEB＝S△ODM+S梯形DMNE+S△ENB＝×1×4+（4﹣x2+4x+3）（x﹣1）+（﹣x2+2x+3）（3﹣x）＝﹣x2+4x+3，∵四边形ODEB的面积为7，∴﹣x2+4x+3＝7，∴x2﹣4x+4＝0，∴x1＝x2＝2，∴E（2，3）．（3）存在点G，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是菱形，且∠EFG＝60°，满足条件G的坐标为（，）或（，）．理由如下：如图，连接CG，DG，∵四边形EFGH是菱形，且∠EFG＝60°，∴△EFG是等边三角形，∴△DCE是等边三角形，∴△CEG≌△DEF，∴∠ECG＝∠EDF＝30°，∴直线CG的表达式为y＝﹣x+3，∴，∴G（，）；如图，连接CG、DG、CF，∵四边形EFGH是菱形，且∠EFG＝60°，∴△EFG是等边三角形，∴△DCE是等边三角形，∴△DGE≌△CFE，∴DG＝CF，∴CF＝FE，GE＝FE，∴DG＝GE，∴△CDG≌△CEG，∴∠DCG＝∠ECG＝30°，∴直线CG的表达式为y＝x+3，∴，∴G（，），综上，G（，）或（，）．23．（2023•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象交x轴于点A（8，0），交y轴于点B．直线y＝x﹣与y轴交于点D，与直线AB交于点C（6，a）．点M是线段BC上的一个动点（点M不与点C重合），过点M作x轴的垂线交直线CD于点N．设点M的横坐标为m．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）以线段MN，MC为邻边作▱MNQC，直线QC与x轴交于点E．①当0≤m＜时，设线段EQ的长度为l，求l与m之间的关系式；②连接OQ，AQ，当△AOQ的面积为3时，请直接写出m的值．【答案】（1）a的值为，直线AB解析式为y＝﹣x+6；（2）①l＝；②或．【解答】解：（1）∵点C（6，a）在直线y＝x﹣上，∴a＝＝，∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（8，0）和点C（6，），∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6；（2）①∵M点在直线y＝﹣x+6上，且M的横坐标为m，∴M的纵坐标为：﹣m+6，∵N点在直线y＝x﹣上，且N点的横坐标为m，∴N点的纵坐标为：m﹣，∴|MN|＝﹣m+6﹣m+＝﹣，∵点C（6，），线段EQ的长度为l，∴|CQ|＝1+，∵|MN|＝|CQ|，∴﹣＝1+，即l＝；②∵△AOQ的面积为3，∴OA•EQ＝3，即，解得EQ＝，由①知，EQ＝6﹣，∴|6﹣|＝，解得m＝或，即m的值为或．24．（2023•营口）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥y轴于点B，tan∠AOB＝，AB＝2．（1）求反比例函数的解析式；（2）点C在这个反比例函数图象上，连接AC并延长交x轴于点D，且∠ADO＝45°，求点C 的坐标．【答案】（1）反比例函数的解析式为y＝；（2）C（4，2）．【解答】解：（1）∵AB⊥y轴于点B，∴∠OBA＝90°，在Rt△OBA中，AB＝2，tan∠AOB＝，∴OB＝4，∴A（2，4），∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝4×2＝8；∴反比例函数的解析式为y＝；（2）如图，过A作AF⊥x轴于F，∴∠AFD＝90°，∵∠ADO＝45°，∴∠FAD＝90°﹣∠CDE＝45°，∴AF＝DF＝OB＝4，∵OF＝AB＝2，∴OD＝6，∴D（6，0），设直线AC的解析式为y＝ax+b，∵点A（2，4），D（6，0）在直线AC上，∴，∴，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6①，由（1）知，反比例函数的解析式为y＝②，联立①②解得，或，∴C（4，2）．25．（2023•辽宁）抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，4），点P为第一象限内抛物线上的动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当△BEF的周长是线段PF长度的2倍时，求点P的坐标；（3）如图2，当点P运动到抛物线顶点时，点Q是y轴上的动点，连接BQ，过点B作直线l⊥BQ，连接QF并延长交直线l于点M，当BQ＝BM时，请直接写出点Q的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）P（，5）；（3）Q（0，+）或（0，﹣）．【解答】解：（1）将点B（3，0），点C（0，4）代入y＝ax2+x+c，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；（2）∵点B（3，0），点C（0，4），∴OB＝3，OC＝4，∴tan∠OBC＝，∴BE＝EF，BF＝EF，∴△BEF的周长＝3EF，∵△BEF的周长是线段PF长度的2倍，∴3EF＝2PF，设直线BC的解析式为y＝kx+4，∴3k+4＝0，解得k＝﹣，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，设P（t，﹣t2+t+4），则F（t，﹣t+4），E（t，0），∴EF＝﹣t+4，PF＝﹣t2+t+4+t﹣4＝﹣t2+4t，∴3（﹣t+4）＝2（﹣t2+4t），解得t＝3（舍）或t＝，∴P（，5）；（3）∵y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣1）2+，∴P（1，），∵FP⊥x轴，∴F（1，），设Q（0，n），过点M作MN⊥x轴交于点N，∵∠QBM＝90°，∴∠QBO+∠MBN＝90°，∵∠QBO+∠OQB＝90°，∴∠MBN＝∠OQB，∵BQ＝BM，∴△BQO≌△MBN（AAS），∴QO＝BN，MN＝OB，∴M（3+n，3），设直线QM的解析式为y＝k'x+n，∴k'（3+n）+n＝3，解得k'＝，∴直线QM的解析式为y＝x+n，将点F代入，+n＝，解得n＝+或n＝﹣，∴Q（0，+）或（0，﹣）．26．（2023•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，2），与x轴的交点为点B（，0）和点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点E，G在y轴正半轴上，OG＝2OE，点D在线段OC上，OD＝OE．以线段OD，OE 为邻边作矩形ODFE，连接GD，设OE＝a．①连接FC，当△GOD与△FDC相似时，求a的值；②当点D与点C重合时，将线段GD绕点G按逆时针方向旋转60°后得到线段GH，连接FH，F G，将△GFH绕点F按顺时针方向旋转α（0°＜α≤180°）后得到△G′FH′，点G，H的对应点分别为G′、H′，连接DE．当△G′FH′的边与线段DE垂直时，请直接写出点H′的横坐标．【答案】（1）y＝﹣x+2；（2）①或；②当△G′FH′的边与线段DE垂直时，点H ′的横坐标为2+3或2+或．【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，2），与x轴的交点为点B （，0），∴，解得：，∴此抛物线的解析式为y＝﹣x+2；（2）①令y＝0，则﹣x+2＝0，解得：x＝或x＝2，∴C（2，0），∴OC＝2．∵OE＝a，OG＝2OE，OD＝OE，∴OG＝2a，OD＝a．∵四边形ODFE为矩形，∴EF＝OD＝a，FD＝OE＝a，∴E（0，a），D（a，0），F（a，a），G（0，2a），∴CD＝OC﹣OD＝2﹣a．Ⅰ．当△GOD∽△FDC时，∴，∴，∴a＝；Ⅱ．当△GOD∽△CDF时，∴，∴，∴a＝．综上，当△GOD与△FDC相似时，a的值为或；②∵点D与点C重合，∴OD＝OC＝2．∴OE＝2，OG＝2OE＝4，EF＝OD＝2，DF＝OE＝2，∴EG＝OE＝2．∴EG＝DF＝2，∵EG∥DF，∴四边形GEDF为平行四边形，∴FG＝DE＝＝＝4，∴∠GFE＝30°，∴∠EGF＝60°，∵∠DGH＝60°，∴∠EGF＝∠DGH，∴∠OGD＝∠FGH．在△GOD和△GFH中，，∴△GOD≌△GFH（SAS），∴FH＝OD＝2，∠GOD＝∠GFH＝90°．∴GH＝＝＝2．Ⅰ．当G′F所在直线与DE垂直时，如图，∵∠GFH＝90°，GF∥DE，∴∠G′FH′＝90°，∴G，F，H′三点在一条直线上，∴GH′＝GF+FH′＝FG+FH＝4+2．过点H′作H′K⊥y轴于点K，则H′K∥FE，∴∠KH′G＝∠EFG＝30°，∴H′K＝H′G•cos30°＝×（4+2）＝2+3，∴此时点H′的横坐标为2+3；Ⅱ．当G′H′所在直线与DE垂直时，如图，∵GF∥DE，∴G′H′⊥GF，设GF的延长线交G′H′于点M，过点M作MP⊥EF，交EF的延长线于点P，过点H′作H′N⊥MP，交PM的延长线于点N，则H′N∥PF∥x轴，∠PFM＝∠EFG＝30°．∵G′H′•FM＝FH′•FG′，∴4×2＝2FM，∴FM＝．∴FP＝FM•cos30°＝＝，∴PE＝PF+EF＝2+．∵H′M＝＝，∴H′N＝H′M•sin30°＝，∴此时点H′的横坐标为PE﹣H′N＝2＝2+；Ⅲ．当FH′所在直线与DE垂直时，如图，∵∠H′FG′＝90°，GF∥DE，∴∠GFH′＝90°，∴H，F，H′三点在一条直线上，则∠H′FD＝30°，过点H′作H′L⊥DF，交FD的延长线于点L，H′L＝H′F•sin30°＝2×＝，∴此时点H′的横坐标为EF﹣H′L＝2＝．综上，当△G′FH′的边与线段DE垂直时，点H′的横坐标为2+3或2+或．27．（2023•大连）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝x2上有两点A、B，其中点A的横坐标为﹣2，点B的横坐标为1，抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c过点A、B．过A作AC∥x轴交抛物线C1另一点为点C．以AC、AC长为边向上构造矩形ACDE．（1）求抛物线C2的解析式；（2）将矩形ACDE向左平移m个单位，向下平移n个单位得到矩形A′C′D′E′，点C的对应点C′落在抛物线C1上．①求n关于m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；②直线A′E′交抛物线C1于点P，交抛物线C2于点Q．当点E′为线段PQ的中点时，求m 的值；③抛物线C2与边E′D′、A′C′分别相交于点M、N，点M、N在抛物线C2的对称轴同侧，当MN＝时，求点C′的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+4．（2）①n＝﹣m2+4m（0＜m＜4）．②．③或．【解答】（1）根据题意，点A的横坐标为﹣2，点B的横坐标为1，代入抛物线C1：y＝x2，∴当x＝﹣2时，y＝（﹣2）2＝4，则A（﹣2，4），当x＝1时，y＝1，则B（1，1），将点A（﹣2，4），B（1，1）代入抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c，∴，解得，∴抛物线C2的解析式为y＝﹣x2﹣2x+4．（2）①∵AC∥x轴交抛物线另一点为C，当y＝4时，x＝±2，。
2021年辽宁省沈阳市中考数学试卷(含答案解析版)
2021年辽宁省沈阳市中考数学试卷一、选择题〔每题只有一个正确选项，此题共10小题，每题2分，共20分〕1．〔分〕〔2021•沈阳〕以下各数中是有理数的是〔〕A．πB．0 C．D．2．〔分〕〔2021•沈阳〕辽宁男蓝夺冠后，从4月21日至24日各类媒体体关于“辽篮CBA夺冠〞的相关文章到达81000篇，将数据81000用科学记数法表示为〔〕A．×104B．×106C．×104D．×1063．〔分〕〔2021•沈阳〕如图是由五个一样的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是〔〕A．B．C．D．4．〔分〕〔2021•沈阳〕在平面直角坐标系中，点B的坐标是〔4，﹣1〕，点A与点B关于x轴对称，那么点A的坐标是〔〕A．〔4，1〕 B．〔﹣1，4〕C．〔﹣4，﹣1〕D．〔﹣1，﹣4〕5．〔分〕〔2021•沈阳〕以下运算错误的选项是〔〕A．〔m2〕3=m6B．a10÷a9=a C．x3•x5=x8D．a4+a3=a76．〔分〕〔2021•沈阳〕如图，AB∥CD，EF∥GH，∠1=60°，那么∠2补角的度数是〔〕A．60°B．100°C．110° D．120°7．〔分〕〔2021•沈阳〕以下事件中，是必然事件的是〔〕A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数B．13个人中至少有两个人生肖一样C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯D．明天一定会下雨8．〔分〕〔2021•沈阳〕在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象如下图，那么k和b的取值范围是〔〕A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜09．〔分〕〔2021•沈阳〕点A〔﹣3，2〕在反比例函数y=〔k≠0〕的图象上，那么k的值是〔〕A．﹣6 B．﹣C．﹣1 D．610．〔分〕〔2021•沈阳〕如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB=2，那么的长是〔〕A．πB．πC．2πD．π二、细心填一填〔本大题共6小题，每题3分，总分值18分，请把答案填在答題卷相应题号的横线上〕11．〔分〕〔2021•沈阳〕因式分解：3x3﹣12x=．12．〔分〕〔2021•沈阳〕一组数3，4，7，4，3，4，5，6，5的众数是．13．〔分〕〔2021•沈阳〕化简：﹣=．14．〔分〕〔2021•沈阳〕不等式组的解集是．15．〔分〕〔2021•沈阳〕如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．篱笆的总长为900m〔篱笆的厚度忽略不计〕，当AB= m时，矩形土地ABCD的面积最大．16．〔分〕〔2021•沈阳〕如图，△ABC是等边三角形，AB=，点D是边BC上一点，点H是线段AD上一点，连接BH、CH．当∠BHD=60°，∠AHC=90°时，DH=．三、解答题题〔17题6分，18-19题各8分，请认真读题〕17．〔分〕〔2021•沈阳〕计算：2tan45°﹣|﹣3|+〔〕﹣2﹣〔4﹣π〕0．18．〔分〕〔2021•沈阳〕如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．〔1〕求证：四边形OCED是矩形；〔2〕假设CE=1，DE=2，ABCD的面积是．19．〔分〕〔2021•沈阳〕经过校园某路口的行人，可能左转，也可能直行或右转．假设这三种可能性一样，现有小明和小亮两人经过该路口，请用列表法或画树状图法，求两人之中至少有一人直行的概率．四、解答题〔每题8分，请认真读题〕20．〔分〕〔2021•沈阳〕九年三班的小雨同学想理解本校九年级学生对哪门课程感兴趣，随机抽取了局部九年级学生进展调查〔每名学生必只能选择一门课程〕．将获得的数据整理绘制如下两幅不完好的统计图．据统计图提供的信息，解答以下问题：〔1〕在这次调查中一共抽取了名学生，m的值是．〔2〕请根据据以上信息直在答题卡上补全条形统计图；〔3〕扇形统计图中，“数学〞所对应的圆心角度数是度；〔4〕假设该校九年级共有1000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级学生中有多少名学生对数学感兴趣．21．〔分〕〔2021•沈阳〕某公司今年1月份的消费本钱是400万元，由于改良技术，消费本钱逐月下降，3月份的消费本钱是361万元．假设该公司2、3、4月每个月消费本钱的下降率都一样．〔1〕求每个月消费本钱的下降率；〔2〕请你预测4月份该公司的消费本钱．五、解答题〔此题10〕22．〔分〕〔2021•沈阳〕如图，BE是O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点．〔1〕假设∠ADE=25°，求∠C的度数；〔2〕假设AB=AC，CE=2，求⊙O半径的长．六、解答题〔此题10分〕23．〔分〕〔2021•沈阳〕如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标为〔0，10〕．点E的坐标为〔20，0〕，直线l1经过点F和点E，直线l1与直线l2 、y=x相交于点P．〔1〕求直线l1的表达式和点P的坐标；〔2〕矩形ABCD的边AB在y轴的正半轴上，点A与点F重合，点B在线段OF 上，边AD平行于x 轴，且AB=6，AD=9，将矩形ABCD沿射线FE的方向平移，边AD始终与x 轴平行．矩形ABCD以每秒个单位的速度匀速挪动〔点A挪动到点E时止挪动〕，设挪动时间为t秒〔t＞0〕．①矩形ABCD在挪动过程中，B、C、D三点中有且只有一个顶点落在直线l1或l2上，请直接写出此时t的值；②假设矩形ABCD在挪动的过程中，直线CD交直线l1于点N，交直线l2于点M．当△PMN的面积等于18时，请直接写出此时t的值．七、解答题〔此题12分〕24．〔分〕〔2021•沈阳〕：△ABC是等腰三角形，CA=CB，0°＜∠ACB≤90°．点M 在边AC上，点N在边BC上〔点M、点N不与所在线段端点重合〕，BN=AM，连接AN，BM，射线AG∥BC，延长BM交射线AG于点D，点E在直线AN上，且AE=DE．〔1〕如图，当∠ACB=90°时①求证：△BCM≌△ACN；②求∠BDE的度数；〔2〕当∠ACB=α，其它多件不变时，∠BDE的度数是〔用含α的代数式表示〕〔3〕假设△ABC是等边三角形，AB=3，点N是BC边上的三等分点，直线ED 与直线BC交于点F，请直接写出线段CF的长．八、解答题〔此题12分〕25．〔分〕〔2021•沈阳〕如图，在平面角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A〔﹣2，1〕和点B〔﹣1，﹣1〕，抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．〔1〕求抛物线C1的表达式；〔2〕直接用含t的代数式表示线段MN的长；〔3〕当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；〔4〕在〔3〕的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点k，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q的坐标．2021年辽宁省沈阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题〔每题只有一个正确选项，此题共10小题，每题2分，共20分〕1．〔分〕〔2021•沈阳〕以下各数中是有理数的是〔〕A．πB．0 C．D．【考点】27：实数．【专题】511：实数．【分析】根据有理数是有限小数或无限循环小，可得答案．【解答】解：A、π是无限不循环小数，属于无理数，故本选项错误；B、0是有理数，故本选项正确；C、是无理数，故本选项错误；D、无理数，故本选项错误；应选：B．【点评】此题考察了有理数，有限小数或无限循环小数是有理数．2．〔分〕〔2021•沈阳〕辽宁男蓝夺冠后，从4月21日至24日各类媒体体关于“辽篮CBA夺冠〞的相关文章到达81000篇，将数据81000用科学记数法表示为〔〕A．×104B．×106C．×104D．×106【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【专题】1 ：常规题型．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点挪动了多少位，n的绝对值与小数点挪动的位数一样．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：将81000用科学记数法表示为：×104．应选：C．【点评】此题考察科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．〔分〕〔2021•沈阳〕如图是由五个一样的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是〔〕A．B．C．D．【考点】U2：简单组合体的三视图．【专题】55：几何图形．【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形断定那么可．【解答】解：从左边看，从左往右小正方形的个数依次为：2，1．左视图如下：应选：D．【点评】此题主要考察了几何体的三种视图和学生的空间想象才能，视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．4．〔分〕〔2021•沈阳〕在平面直角坐标系中，点B的坐标是〔4，﹣1〕，点A与点B关于x轴对称，那么点A的坐标是〔〕A．〔4，1〕 B．〔﹣1，4〕C．〔﹣4，﹣1〕D．〔﹣1，﹣4〕【考点】P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标．【专题】1 ：常规题型．【分析】直接利用关于x轴对称点的性质，横坐标不变纵坐标改变符号进而得出答案．【解答】解：∵点B的坐标是〔4，﹣1〕，点A与点B关于x轴对称，∴点A的坐标是：〔4，1〕．应选：A．【点评】此题主要考察了关于x轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．5．〔分〕〔2021•沈阳〕以下运算错误的选项是〔〕A．〔m2〕3=m6B．a10÷a9=a C．x3•x5=x8D．a4+a3=a7【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法．【专题】11 ：计算题．【分析】直接利用合并同类项法那么以及单项式乘以单项式运算法那么和同底数幂的除法运算法那么化简求出即可．【解答】解：A、〔m2〕3=m6，正确；B、a10÷a9=a，正确；C、x3•x5=x8，正确；D、a4+a3=a4+a3，错误；应选：D．【点评】此题主要考察了合并同类项法那么以及单项式乘以单项式运算法那么和同底数幂的除法运算法那么等知识，正确掌握运算法那么是解题关键．6．〔分〕〔2021•沈阳〕如图，AB∥CD，EF∥GH，∠1=60°，那么∠2补角的度数是〔〕A．60°B．100°C．110° D．120°【考点】IL：余角和补角；JA：平行线的性质．【专题】551：线段、角、相交线与平行线．【分析】根据平行线的性质比拟多定义求解即可；【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1=∠EFH，∵EF∥GH，∴∠2=∠EFH，∴∠2=∠1=60°，∴∠2的补角为120°，应选：D．【点评】此题考察平行线的性质、补角和余角等知识，解题的关键是纯熟掌握根本知识，属于中考常考题型．7．〔分〕〔2021•沈阳〕以下事件中，是必然事件的是〔〕A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数B．13个人中至少有两个人生肖一样C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯D．明天一定会下雨【考点】X1：随机事件．【专题】543：概率及其应用．【分析】必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可判断．【解答】解：A、“任意买一张电影票，座位号是2的倍数〞是随机事件，故此选项错误；B、“13个人中至少有两个人生肖一样〞是必然事件，故此选项正确；C、“车辆随机到达一个路口，遇到红灯〞是随机事件，故此选项错误；D、“明天一定会下雨〞是随机事件，故此选项错误；应选：B．【点评】考察了随机事件．解决此题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．8．〔分〕〔2021•沈阳〕在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象如下图，那么k和b的取值范围是〔〕A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0【考点】F7：一次函数图象与系数的关系．【专题】53：函数及其图象．【分析】根据一次函数的图象与系数的关系进展解答即可．【解答】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限，∴k＜0，b＞0．应选：C．【点评】此题考察的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y=kx+b〔k≠0〕中，当k＜0，b＞0时图象在一、二、四象限．9．〔分〕〔2021•沈阳〕点A〔﹣3，2〕在反比例函数y=〔k≠0〕的图象上，那么k的值是〔〕A．﹣6 B．﹣C．﹣1 D．6【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】33 ：函数思想．【分析】根据点A的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值，此题得解．【解答】解：∵A〔﹣3，2〕在反比例函数y=〔k≠0〕的图象上，∴k=〔﹣3〕×2=﹣6．应选：A．【点评】此题考察了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上所有点的坐标均满足该函数的解析式．10．〔分〕〔2021•沈阳〕如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB=2，那么的长是〔〕A．πB．πC．2πD．π【考点】LE：正方形的性质；MN：弧长的计算．【专题】1 ：常规题型．【分析】连接OA、OB，求出∠AOB=90°，根据勾股定理求出AO，根据弧长公式求出即可．【解答】解：连接OA、OB，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴AB=BC=DC=AD，∴===，∴∠AOB=×360°=90°，在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2=〔2〕2，解得：AO=2，∴的长为=π，应选：A．【点评】此题考察了弧长公式和正方形的性质，能求出∠AOB的度数和OA的长是解此题的关键．二、细心填一填〔本大题共6小题，每题3分，总分值18分，请把答案填在答題卷相应题号的横线上〕11．〔分〕〔2021•沈阳〕因式分解：3x3﹣12x=3x〔x+2〕〔x﹣2〕．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提公因式3x，然后利用平方差公式即可分解．【解答】解：3x3﹣12x=3x〔x2﹣4〕=3x〔x+2〕〔x﹣2〕故答案是：3x〔x+2〕〔x﹣2〕．【点评】此题考察了提公因式法与公式法分解因式，要求灵敏使用各种方法对多项式进展因式分解，一般来说，假如可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．12．〔分〕〔2021•沈阳〕一组数3，4，7，4，3，4，5，6，5的众数是4．【考点】W5：众数．【专题】1 ：常规题型；542：统计的应用．【分析】根据众数的定义求解可得．【解答】解：在这组数据中4出现次数最多，有3次，所以这组数据的众数为4，故答案为：4．【点评】此题主要考察众数，解题的关键是掌握求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，假设几个数据频数都是最多且一样，此时众数就是这多个数据．13．〔分〕〔2021•沈阳〕化简：﹣=．【考点】6B：分式的加减法．【专题】11 ：计算题；513：分式．【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法那么计算，约分即可得到结果．【解答】解：原式=﹣==，故答案为：【点评】此题考察了分式的加减法，纯熟掌握运算法那么是解此题的关键．14．〔分〕〔2021•沈阳〕不等式组的解集是﹣2≤x＜2．【考点】CB：解一元一次不等式组．【专题】11 ：计算题；524：一元一次不等式(组)及应用．【分析】先求出两个不等式的解集，再求不等式组的公共解．【解答】解：解不等式x﹣2＜0，得：x＜2，解不等式3x+6≥0，得：x≥﹣2，那么不等式组的解集为﹣2≤x＜2，故答案为：﹣2≤x＜2．【点评】此题考察理解一元一次不等式组，遵循以下原那么：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．15．〔分〕〔2021•沈阳〕如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．篱笆的总长为900m〔篱笆的厚度忽略不计〕，当AB= 150m时，矩形土地ABCD的面积最大．【考点】HE：二次函数的应用．【专题】12 ：应用题．【分析】根据题意可以用相应的代数式表示出矩形绿地的面积；即可解答此题．【解答】解：〔1〕设AB=xm，那么BC=〔900﹣3x〕，由题意可得，S=AB×BC=x×〔900﹣3x〕=﹣〔x2﹣300x〕=﹣〔x﹣150〕2+33750∴当x=150时，S获得最大值，此时，S=33750，∴AB=150m，故答案为：150．【点评】此题考察二次函数的应用，解答此题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的顶点式求函数的最值．16．〔分〕〔2021•沈阳〕如图，△ABC是等边三角形，AB=，点D是边BC上一点，点H是线段AD上一点，连接BH、CH．当∠BHD=60°，∠AHC=90°时，DH=．【考点】KD：全等三角形的断定与性质；KK：等边三角形的性质；S9：相似三角形的断定与性质．【专题】11 ：计算题．【分析】作AE⊥BH于E，BF⊥AH于F，如图，利用等边三角形的性质得AB=AC，∠BAC=60°，再证明∠ABH=∠CAH，那么可根据“AAS〞证明△ABE≌△CAH，所以BE=AH，AE=CH，在Rt△AHE中利用含30度的直角三角形三边的关系得到HE=AH，AE=AH，那么CH=AH，于是在Rt△AHC中利用勾股定理可计算出AH=2，从而得到BE=2，HE=1，AE=CH=，BH=1，接下来在Rt△BFH中计算出HF=，BF=，然后证明△CHD∽△BFD，利用相似比得到=2，从而利用比例性质可得到DH 的长．【解答】解：作AE⊥BH于E，BF⊥AH于F，如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵∠BHD=∠ABH+∠BAH=60°，∠BAH+∠CAH=60°，∴∠ABH=∠CAH，在△ABE和△CAH中，∴△ABE≌△CAH，∴BE=AH，AE=CH，在Rt△AHE中，∠AHE=∠BHD=60°，∴sin∠AHE=，HE=AH，∴AE=AH•sin60°=AH，∴CH=AH，在Rt△AHC中，AH2+〔AH〕2=AC2=〔〕2，解得AH=2，∴BE=2，HE=1，AE=CH=，∴BH=BE﹣HE=2﹣1=1，在Rt△BFH中，HF=BH=，BF=，∵BF∥CH，∴△CHD∽△BFD，∴===2，∴DH=HF=×=．故答案为．【点评】此题考察了相似三角形的断定与性质：在断定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥根本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考察了全等三角形的断定与性质和等边三角形的性质．三、解答题题〔17题6分，18-19题各8分，请认真读题〕17．〔分〕〔2021•沈阳〕计算：2tan45°﹣|﹣3|+〔〕﹣2﹣〔4﹣π〕0．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【专题】1 ：常规题型．【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式=2×1﹣〔3﹣〕+4﹣1=2﹣3++4﹣1=2+．【点评】此题主要考察了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．〔分〕〔2021•沈阳〕如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．〔1〕求证：四边形OCED是矩形；〔2〕假设CE=1，DE=2，ABCD的面积是4．【考点】L8：菱形的性质；LD：矩形的断定与性质．【专题】556：矩形菱形正方形．【分析】〔1〕欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；〔2〕由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．【解答】〔1〕证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD=90°．∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∠COD=90°，∴平行四边形OCED是矩形；〔2〕由〔1〕知，平行四边形OCED是矩形，那么CE=OD=1，DE=OC=2．∵四边形ABCD是菱形，∴AC=2OC=4，BD=2OD=2，∴菱形ABCD的面积为：AC•BD=×4×2=4．故答案是：4．【点评】考察了矩形的断定与性质，菱形的性质．此题中，矩形的断定，首先要断定四边形是平行四边形，然后证明有一内角为直角．19．〔分〕〔2021•沈阳〕经过校园某路口的行人，可能左转，也可能直行或右转．假设这三种可能性一样，现有小明和小亮两人经过该路口，请用列表法或画树状图法，求两人之中至少有一人直行的概率．【考点】X6：列表法与树状图法．【专题】1 ：常规题型；543：概率及其应用．【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出“至少有一人直行〞的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两人之中至少有一人直行的结果数为5，所以两人之中至少有一人直行的概率为．【点评】此题考察了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．四、解答题〔每题8分，请认真读题〕20．〔分〕〔2021•沈阳〕九年三班的小雨同学想理解本校九年级学生对哪门课程感兴趣，随机抽取了局部九年级学生进展调查〔每名学生必只能选择一门课程〕．将获得的数据整理绘制如下两幅不完好的统计图．据统计图提供的信息，解答以下问题：〔1〕在这次调查中一共抽取了50名学生，m的值是18．〔2〕请根据据以上信息直在答题卡上补全条形统计图；〔3〕扇形统计图中，“数学〞所对应的圆心角度数是108度；〔4〕假设该校九年级共有1000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级学生中有多少名学生对数学感兴趣．【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．【专题】54：统计与概率．【分析】〔1〕根据统计图化学对应的数据和百分比可以求得这次调查的学生数，进而求得m的值；〔2〕根据〔1〕中的结果和条形统计图中的数据可以求得选择数学的人数，从而可以将条形统计图补充完好；〔3〕根据统计图中的数据可以求得“数学〞所对应的圆心角度数；〔4〕根据统计图中的数据，可以求得该校九年级学生中有多少名学生对数学感兴趣．【解答】解：〔1〕在这次调查中一共抽取了：10÷20%=50〔名〕学生，m%=9÷50×100%=18%，故答案为：50，18；〔2〕选择数学的有；50﹣9﹣5﹣8﹣10﹣3=15〔名〕，补全的条形统计图如右图所示；〔3〕扇形统计图中，“数学〞所对应的圆心角度数是：360°×=108°，故答案为：108；〔4〕1000×=300〔名〕，答：该校九年级学生中有300名学生对数学感兴趣．【点评】此题考察条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答此题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21．〔分〕〔2021•沈阳〕某公司今年1月份的消费本钱是400万元，由于改良技术，消费本钱逐月下降，3月份的消费本钱是361万元．假设该公司2、3、4月每个月消费本钱的下降率都一样．〔1〕求每个月消费本钱的下降率；〔2〕请你预测4月份该公司的消费本钱．【考点】AD：一元二次方程的应用．【专题】34 ：方程思想；523：一元二次方程及应用．【分析】〔1〕设每个月消费本钱的下降率为x，根据2月份、3月份的消费本钱，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；〔2〕由4月份该公司的消费本钱=3月份该公司的消费本钱×〔1﹣下降率〕，即可得出结论．【解答】解：〔1〕设每个月消费本钱的下降率为x，根据题意得：400〔1﹣x〕2=361，解得：x1=0.05=5%，x2〔不合题意，舍去〕．答：每个月消费本钱的下降率为5%．〔2〕361×〔1﹣5%〕〔万元〕．答：预测4月份该公司的消费本钱为万元．【点评】此题考察了一元二次方程的应用，解题的关键是：〔1〕找准等量关系，正确列出一元二次方程；〔2〕根据数量关系，列式计算．五、解答题〔此题10〕22．〔分〕〔2021•沈阳〕如图，BE是O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点．〔1〕假设∠ADE=25°，求∠C的度数；〔2〕假设AB=AC，CE=2，求⊙O半径的长．【考点】KQ：勾股定理；M5：圆周角定理；MC：切线的性质．【专题】55：几何图形．【分析】〔1〕连接OA，利用切线的性质和角之间的关系解答即可；〔2〕根据直角三角形的性质解答即可．【解答】解：〔1〕连接OA，∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，∴OA⊥AC，∴∠OAC=90°，∵，∠ADE=25°，∴∠AOE=2∠ADE=50°，∴∠C=90°﹣∠AOE=90°﹣50°=40°；〔2〕∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵，∴∠AOC=2∠B，∴∠AOC=2∠C，∵∠OAC=90°，∴∠AOC+∠C=90°，∴3∠C=90°，∴∠C=30°，∴OA=OC，设⊙O的半径为r，∵CE=2，∴r=，解得：r=2，∴⊙O的半径为2．【点评】此题考察切线的性质，关键是根据切线的性质进展解答．六、解答题〔此题10分〕23．〔分〕〔2021•沈阳〕如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标为〔0，10〕．点E的坐标为〔20，0〕，直线l1经过点F和点E，直线l1与直线l2 、y=x相交于点P．〔1〕求直线l1的表达式和点P的坐标；〔2〕矩形ABCD的边AB在y轴的正半轴上，点A与点F重合，点B在线段OF 上，边AD平行于x 轴，且AB=6，AD=9，将矩形ABCD沿射线FE的方向平移，边AD始终与x 轴平行．矩形ABCD以每秒个单位的速度匀速挪动〔点A挪动到点E时止挪动〕，设挪动时间为t秒〔t＞0〕．①矩形ABCD在挪动过程中，B、C、D三点中有且只有一个顶点落在直线l1或l2上，请直接写出此时t的值；②假设矩形ABCD在挪动的过程中，直线CD交直线l1于点N，交直线l2于点M．当△PMN的面积等于18时，请直接写出此时t的值．【考点】FI：一次函数综合题．【专题】153：代数几何综合题；31 ：数形结合；32 ：分类讨论；533：一次函数及其应用．【分析】〔1〕利用待定系数法求解析式，函数关系式联立方程求交点；〔2〕①分析矩形运动规律，找到点D和点B分别在直线l2上或在直线l1上时的情况，利用AD、AB分别可以看成图象横坐标、纵坐标之差构造方程求点A坐标，进而求出AF间隔；②设点A坐标，表示△PMN即可．【解答】解：〔1〕设直线l1的表达式为y=kx+b∵直线l1过点F〔0，10〕，E〔20，0〕∴解得直线l1的表达式为y=﹣x+10求直线l1与直线l2交点，得x=﹣x+10解得x=8y=×8=6∴点P坐标为〔8，6〕〔2〕①如图，当点D在直线上l2时∵AD=9∴点D与点A的横坐标之差为9∴将直线l1与直线l2交解析式变为x=20﹣2y，x=y∴y﹣〔20﹣2y〕=9解得y=那么点A的坐标为：〔，〕那么AF=∵点A速度为每秒个单位∴t=如图，当点B在l2直线上时∵AB=6∴点A的纵坐标比点B的纵坐标高6个单位∴直线l1的解析式减去直线l2 的解析式得﹣x+10﹣x=6解得x=那么点A坐标为〔，〕那么AF=∵点A速度为每秒个单位∴t=故t值为或②如图，设直线AB交l2 于点H设点A横坐标为a，那么点D横坐标为a+9由①中方法可知：MN=此时点P到MN间隔为：a+9﹣8=a+1∵△PMN的面积等于18∴解得a1=，a2=﹣〔舍去〕∴AF=6﹣那么此时t为当t=时，△PMN的面积等于18【点评】此题是代数几何综合题，应用待定系数法和根据函数关系式来表示点坐标，涉及到了分类讨论思想和数形结合思想．七、解答题〔此题12分〕24．〔分〕〔2021•沈阳〕：△ABC是等腰三角形，CA=CB，0°＜∠ACB≤90°．点M 在边AC上，点N在边BC上〔点M、点N不与所在线段端点重合〕，BN=AM，连接AN，BM，射线AG∥BC，延长BM交射线AG于点D，点E在直线AN上，且AE=DE．〔1〕如图，当∠ACB=90°时①求证：△BCM≌△ACN；②求∠BDE的度数；〔2〕当∠ACB=α，其它多件不变时，∠BDE的度数是α或180°﹣α〔用含α的代数式表示〕〔3〕假设△ABC是等边三角形，AB=3，点N是BC边上的三等分点，直线ED 与直线BC交于点F，请直接写出线段CF的长．【考点】KY：三角形综合题．【专题】152：几何综合题．【分析】〔1〕①根据SAS证明即可；②想方法证明∠ADE+∠ADB=90°即可；〔2〕分两种情形讨论求解即可，①如图2中，当点E在AN的延长线上时，②如图3中，当点E在NA的延长线上时，〔3〕分两种情形求解即可，①如图4中，当BN=BC=时，作AK⊥BC于K．解直角三角形即可．②如图5中，当CN=BC=时，作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H．【解答】〔1〕①证明：如图1中，∵CA=CB，BN=AM，∴CB﹣BN=CA﹣AM即CN=CM，∵∠ACN=∠BCM∴△BCM≌△ACN．②解：如图1中，∵△BCM≌△ACN，∴∠MBC=∠NAC，∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∵AG∥BC，∴∠GAC=∠ACB=90°，∠ADB=∠DBC，∴∠ADB=∠NAC，∴∠ADB+∠EDA=∠NAC+∠EAD，∵∠ADB+∠EDA=180°﹣90°=90°，∴∠BDE=90°．〔2〕解：如图2中，当点E在AN的延长线上时，易证：∠CBM=∠ADB=∠CAN，∠ACB=∠CAD，∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠CAN+∠CAD=∠BDE+∠ADB，∴∠BDE=∠ACB=α．如图3中，当点E在NA的延长线上时，易证：∠1+∠2=∠CAN+∠DAC，∵∠2=∠ADM=∠CBD=∠CAN，∴∠1=∠CAD=∠ACB=α，∴∠BDE=180°﹣α．综上所述，∠BDE=α或180°﹣α．故答案为α或180°﹣α．〔3〕解：如图4中，当BN=BC=时，作AK⊥BC于K．∵AD∥BC，∴==，∴AD=，AC=3，易证△ADC是直角三角形，那么四边形ADCK是矩形，△AKN≌△DCF，∴CF=NK=BK﹣BN=﹣=．如图5中，当CN=BC=时，作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H．∵AD∥BC，∴==2，∴AD=6，易证△ACD是直角三角形，由△ACK∽△CDH，可得CH=AK=，由△AKN≌△DHF，可得KN=FH=，∴CF=CH﹣FH=4．综上所述，CF的长为或4．【点评】此题考察三角形综合题、全等三角形的断定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想考虑问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．八、解答题〔此题12分〕25．〔分〕〔2021•沈阳〕如图，在平面角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A〔﹣2，1〕和点B〔﹣1，﹣1〕，抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．〔1〕求抛物线C1的表达式；〔2〕直接用含t的代数式表示线段MN的长；〔3〕当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；〔4〕在〔3〕的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点k，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【专题】153：代数几何综合题；16 ：压轴题；537：函数的综合应用；558：平移、旋转与对称．【分析】〔1〕应用待定系数法；〔2〕把x=t带入函数关系式相减；〔3〕根据图形分别讨论∠ANM=90°、∠AMN=90°时的情况．〔4〕根据题意画出满足条件图形，可以找到AN为△KNP对称轴，由对称性找到第一个满足条件Q，再通过延长和圆的对称性找到剩余三个点．利用勾股定理进展计算．【解答】解：〔1〕∵抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A〔﹣2，1〕和点B〔﹣1，﹣1〕。
2021年辽宁省沈阳市中考数学试题及答案
2021年沈阳市中考数学试题＊试题满分150分 考试时间120分钟参考公式： 抛物线c bx ax y ++=2的顶点是(a b 2-，ab ac 442-)，对称轴是直线a bx 2-=.一、选择题 （下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题3分，共24分）1.下列各数中比0小的数是 A.－3 B.311 C.3 D. 32.左下图是由四个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是3.沈阳地铁2号线的开通，方便了市民的出行.从2012年1月9日到2月7日的30天里，累计客运量约达3040000人次，将3040000用科学记数法表示为A ．3.04×105B ．3.04×106C ．30.4×105D ．0.304×107 4.计算(2a )3·a 2的结果是A ．2a 5B ．2a 6C ．8a 5D ．8a 65.在平面直角坐标系中，点P （－1，2 ） 关于x 轴的对称点的坐标为 A.（－1，－2 ） B.（1，－2 ） C.（2，－1 ） D.（－2，1 ）6.气象台预报“本市明天降水概率是30%” ，对此消息下列说法正确的是 A.本市明天将有30%的地区降水 B.本市明天将有30%的时间降水 C.本市明天有可能降水 D.本市明天肯定不降水 7．一次函数y =－x +2的图象经过A.一、二、三象限B.一、二、四象限C.一、三、四象限D.二、三、四象限 8．如图，正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，则图中的等腰直角三角形有 A ．4个 B ．6个 C ．8个 D ．10个二、填空题（每小题4分，共32分）9.分解因式：m 2－6m +9=____________.10.一组数据1，3，3，5，7的众数是____________. 11.五边形的内角和为____________度.12.不等式组⎩⎨⎧>->+02101x x 的解集是____________.13.已知△ABC △△A ′B ′C ′，相似比为3△4，△ABC 的周长为6，则△A ′B ′C 的周长为____________.14.已知点A 为双曲线y = kx 图象上的点，点O 为坐标原点过点A 作AB △x 轴于点B ，连接OA .若△AOB 的面积为5，则k 的值为____________.15.有一组多项式：a +b 2，a 2－b 4，a 3+b 6，a 4－b 8，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为____________.16.如图，菱形ABCD 的边长为8cm ，△A =60°，DE △AB 于点E ，DF △BC 于点F ，则四边形BEDF 的面积为____________cm 2.三、解答题（第17、18小题各8分，第19小题10分，共26分 ）17.计算：(－1)2+|12|-+2sin 45°18.小丁将中国的清华大学、北京大学及英国的剑桥大学的图片分别贴在3张完全相同的不透明的硬纸板上，制成名校卡片，如图.小丁将这3张卡片背面朝上洗匀后放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再随机抽取一张卡片．(1) 小丁第一次抽取的卡片上的图片是剑桥大学的概率是多少？（请直接．．写出结果）(2) 请你用列表法或画树状图（树形图）法，帮助小丁求出两次抽取的卡片上的图片一个是国内大学、一个是国外大学的概率.（卡片名称可用字母表示）19.已知，如图，在荀ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN.（1）求证：△AEM△△CFN；（2）求证：四边形BMDN是平行四边形.四、（每小题10分，共20分）20.为了提高沈城市民的节水意识，有关部门就“你认为最有效的节水措施”随机对部分市民进行了问卷调查.其中调查问卷设置以下选项（被调查者只能选择其中的一项）：A.出台相关法律法规；B.控制用水大户数量；C.推广节水技改和节水器具；D.用水量越多，水价越高；E.其他.根据调查结果制作了统计图表的一部分如下：(1)此次抽样调查的人数为△ 人；(2)结合上述统计图表可得m= △ ，n= △ ；(3)请根据以上信息直接．．在答题卡中补全条形统计图.21.甲、乙两人加工同一种机器零件，甲比乙每小时多加工10个零件，甲加工150个零件所用时间与乙加工120个零件所用时间相等，求甲、乙两人每小时各加工多少个机器零件？22.如图，△O是△ABC的外接圆，AB是△O的直径，D为△O上一点，OD△AC，垂足为E，连接BD.(1)求证：BD平分△ABC；(2) 当△ODB=30°时，求证：BC=OD.六、（本题12分）23．已知，如图，在平面直角坐标系内，点A的坐标为（0，24 ），经过原点的直线l1与经过点A的直线l2相交于点B，点B坐标为（18，6）.(1)求直线l1，l2的表达式；(2)点C为线段OB上一动点（点C不与点O，B重合），作CD△y轴交直线l2于点D，过点C，D分别向y轴作垂线，垂足分别为F，E，得到矩形CDEF.△设点C的纵坐标为a，求点D的坐标（用含a的代数式表示）；△若矩形CDEF的面积为60，请直接．．写出此时点C的坐标．24．已知，如图△，△MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点4，在△MON的内部、△AOB的外部有一点P，且AP=BP，△APB=120°. O重合），且AB=3（1）求AP的长；（2）求证：点P在△MON的平分线上；（3）如图△，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，P A的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP.△当AB△OP时，请直接．．写出四边形CDEF的周长的值；△若四边形CDEF的周长用t表示，请直接．．写出t的取值范围．25.已知，如图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为(－2，0)，点B 坐标为 （0，2 ），点E 为线段AB 上的动点(点E 不与点A ，B 重合)，以E 为顶点作△OET =45°，射线ET 交线段OB 于点F ，C 为y 轴正半轴上一点，且OC =AB ，抛物线y =2-x 2+mx +n 的图象经过A ，C 两点.（1） 求此抛物线的函数表达式； （2） 求证：△BEF =△AOE ；（3） 当△EOF 为等腰三角形时，求此时点E 的坐标；（4） 在（3）的条件下，当直线EF 交x 轴于点D ，P 为（1） 中抛物线上一动点，直线PE 交x 轴于点G ，在直线EF 上方的抛物线上是否存在一点P ，使得△EPF 的面积是△EDG 面积的（122+） 倍.若存在，请直接．．写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答.参考答案一、选择题(每小题3分，共24分）1.A2.D3.B4.C5.A6.C7.B8.C 二、填空题（每小题4分，共32分）9. (m －3)2 10.3 11. 540 12.－1＜x ＜2113.8 14.10 或 －10 15.a 10－b 20 16. 316三、解答题 （第17、 18小题各8分， 第19小题10分，共26分） 17．原式=1+ 2－1+2×22＝22 18.解： （1）31 （2） 列表得或画树状 （形） 图得由表格 （或树状图/树形图） 可知， 共有9种可能出现的结果， 每种结果出现的可能性相同，其中两次抽取的卡片上的图片一个是国内大学， 一个是国外大学的结果有4种： （A ， C ）（B ， C ）（C ， A ）（C ， B ）△P （两次抽取的卡片上的图片一个是国内大学一个是国外大学） ＝94. 19.证明:(1） △四边形ABCD 是平行四边形△△DAB =△BCD △△EAM =△FCN 又△AD △BC △△E =△F △AE =CF △△AEM △△CFN（2） 由（1） 得AM =CN ，又△四边形ABCD 是平行四边形△AB CD △BM DN △四边形BMDN 是平行四边形四、（每小题10分，共20分） 20.解： （1） 500 （2） 35%， 5% （3）21.解：设乙每小时加工机器零件x 个， 则甲每小时加工机器零件（x +10） 个， 根据题意得：xx 12010150=+ 解得x =40 经检验， x =40是原方程的解 x +10=40+10=50 答： 甲每小时加工50个零件， 乙每小时加工40个零件. 五、（本题10分）22.证明： （1） △OD △AC OD 为半径△△△CBD =△ABD △BD 平分△ABC（2） △OB =OD △△OBD =△ODB =30°△△AOD =△OBD +△ODB =30°+30°=60° 又△OD △AC 于E △△OEA =90°△△A =180°－△OEA －△AOD =180°－90°－60°=30° 又△AB 为△O 的直径 △△ACB ＝90°则在Rt △ACB 中BC =21AB △OD =21AB △BC =OD 六、（本题12分）23.解：(1)设直线l 1的表达式为y =k 1x ，它过B （18， 6） 得18k 1=6 k 1=31 △y =31x设直线l 2的表达式为y =k 2x +b ，它过A （0， 24）， B (18， 6)得⎩⎨⎧=+=618242b k b 解得⎩⎨⎧=-=212b ky =－x +24 （2） △△点C 在直线l 1上， 且点C 的纵坐标为a ，△a =31x x =3a △点C 的坐标为 （3a ， a ） △CD △y 轴△点D 的横坐标为3a △点D 在直线l 2上 △y =－3a +24 △D （3a ， －3a +24） △C （3， 1） 或C (15， 5) 七、（本题12分）24.解： (1) 过点P 作PQ △AB 于点Q △P A =PB ， △APB =120° AB =43△AQ =21AB =21×43=23 △APQ = 21△APB =21×120°=60°在Rt △APQ 中， sin △APQ =AP AQ △AP = 233260sin 32sin =︒=∠APQ AQ =sin 60°＝4 （2） 过点P 分别作PS △OM 于点S ， PT △ON 于点T △△OSP =△OTP =90° 在四边形OSPT 中，△SPT =360°－△OSP －△SOT －△OTP =360°－90°－60°－90°=120°△△APB =△SPT =120° △△APS =△BPT又△△ASP =△BTP =90° AP =BP△△APS △△BPT △PS =PT△点P 在△MON 的平分线上（3） △8+43 △4+43＜t ≤8+43八、 （本题14分）25.解：（1） 如答图△， △A （－2， 0） B （0， 2）△OA =OB =2 △AB 2=OA 2+OB 2=22+22=8△AB =22△OC =AB △OC =22， 即C （0， 22） 又△抛物线y =－2x 2+mx +n 的图象经过A 、C 两点 则可得⎪⎩⎪⎨⎧==+--220224n n m 解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=222n m △抛物线的表达式为y =－2x 2－2x +22 （2） △OA =OB △AOB =90° △△BAO =△ABO =45°又△△BEO =△BAO +△AOE =45°+△AOE△BEO =△OEF +△BEF =45°+△BEF △△BEF =△AOE（3） 当△EOF 为等腰三角形时，分三种情况讨论△当OE =OF 时， △OFE =△OEF =45°在△EOF 中， △EOF =180°－△OEF －△OFE =180°－45°－45°=90°又△△AOB ＝90°则此时点E 与点A 重合， 不符合题意， 此种情况不成立.△如答图△， 当FE =FO 时，△EOF =△OEF =45°在△EOF 中，△EFO =180°－△OEF －△EOF =180°－45°－45°=90°△△AOF +△EFO =90°+90°=180°△EF △AO △ △BEF =△BAO =45° 又△ 由 (2) 可知 ，△ABO =45°△△BEF =△ABO △BF =EF △EF =BF =OF =21OB =21×2＝1 △ E (－1， 1) △如答图△， 当EO =EF 时， 过点E 作EH △y 轴于点H 在△AOE 和△BEF 中， △EAO =△FBE ， EO =EF ， △AOE =△BEF △△AOE △△BEF △BE =AO =2△EH △OB △△EHB =90°△△AOB =△EHB △EH △AO △△BEH =△BAO =45°在Rt △BEH 中， △△BEH =△ABO =45° △EH =BH =BEcos 45°=2×22=2 △OH =OB －BH =2－ 22△ E (－2， 2－2)综上所述， 当△EOF 为等腰三角形时， 所求E 点坐标为E (－1， 1)或E (－2， 2－ 22)（4） P (0， 22)或P （－1， 2 2）。
2022年辽宁省沈阳市中考数学试卷及答案解析
2022年辽宁省沈阳市中考数学试卷一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题2分，共20分）1．（2分）计算5+（﹣3），结果正确的是（）A．2B．﹣2C．8D．﹣82．（2分）如图是由4个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．3．（2分）下列计算结果正确的是（）A．（a3）3＝a6B．a6÷a3＝a2C．（ab4）2＝ab8D．（a+b）2＝a2+2ab+b24．（2分）在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（）A．（﹣2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣3，﹣2）5．（2分）调查某少年足球队全体队员的年龄，得到数据结果如下表：年龄/岁1112131415人数34722则该足球队队员年龄的众数是（）A．15岁B．14岁C．13岁D．7人6．（2分）不等式2x+1＞3的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，点D、E分别是直角边AC、BC的中点，连接DE，则∠CED的度数是（）A．70°B．60°C．30°D．20°8．（2分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+1的图象是（）A．B．C．D．9．（2分）下列说法正确的是（）A．了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式B．如果某彩票的中奖概率是1%，那么一次购买100张这种彩票一定会中奖C．若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲2＝2.5，S乙2＝8.7，则乙组数据较稳定D．“任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7”是必然事件10．（2分）如图，一条河的两岸互相平行，为了测量河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测量得P，Q两点间距离为m米，∠PQT＝α，则河宽PT的长为（）A．m sinαB．m cosαC．m tanαD．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）因式分解：ay2+6ay+9a＝．12．（3分）二元一次方程组的解是．13．（3分）化简：（1﹣）•＝．14．（3分）如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，则的长是（结果保留π）．15．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，CD在x轴上，点B在y轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过第一象限点A，且▱ABCD的面积为6，则k＝．16．（3分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F在矩形内部，MF的延长线交边BC于点G，EF交边BC于点H．EN＝2，AB＝4，当点H为GN的三等分点时，MD的长为．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．（6分）计算：﹣3tan30°+（）﹣2+|﹣2|．18．（8分）为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，老师将四道备讲题的题号1，2，3，4，分别写在完全相同的4张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀．（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是；（2）小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率．19．（8分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，分别以点A，D为圆心，大于AD 的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AB，AD，AC于点E，O，F，连接DE，DF．（1）由作图可知，直线MN是线段AD的．（2）求证：四边形AEDF是菱形．四、（每小题8分，共16分）20．（8分）某校积极落实“双减”政策，将要开设拓展课程．为让学生可以根据自己的兴趣爱好选择最喜欢的课程，进行问卷调查，问卷设置以下四种选项：A（综合模型）、B （摄影艺术）、C（音乐鉴赏）、D（劳动实践），随机抽取了部分学生进行调查，每名学生必须且只能选择其中最喜欢的一种课程，并将调查结果整理绘制成如下不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）此次被调查的学生人数为名；（2）直接在答题卡中补全条形统计图；（3）求拓展课程D（劳动实践）所对应的扇形的圆心角的度数；（4）根据抽样调查结果，请你估计该校800名学生中，有多少名学生最喜欢C（音乐鉴赏）拓展课程．21．（8分）如图，用一根60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．（1）若所围成的矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？（2）矩形框架ABCD面积的最大值为平方厘米．22．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD是⊙O的直径，AD，BC的延长线交于点E，延长CB交PA于点P，∠BAP+∠DCE＝90°．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）连接AC，sin∠BAC＝，BC＝2，AD的长为．六、（本题10分）23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与y 轴交于点B（0，9），与直线OC交于点C（8，3）．（1）求直线AB的函数表达式；（2）过点C作CD⊥x轴于点D，将△ACD沿射线CB平移得到的三角形记为△A′C′D′，点A，C，D的对应点分别为A′，C′，D′，若△A′C′D′与△BOC重叠部分的面积为S，平移的距离CC′＝m，当点A′与点B重合时停止运动．①若直线C′D′交直线OC于点E，则线段C′E的长为（用含有m的代数式表示）；②当0＜m＜时，S与m的关系式为；③当S＝时，m的值为．24．（12分）【特例感知】（1）如图1，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，点C在OA 上，点D在BO的延长线上，连接AD，BC，线段AD与BC的数量关系是；【类比迁移】（2）如图2，将图1中的△COD绕着点O顺时针旋转α（0°＜α＜90°），那么第（1）问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由．【方法运用】（3）如图3，若AB＝8，点C是线段AB外一动点，AC＝3，连接BC．①若将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接AD，则AD的最大值是；②若以BC为斜边作Rt△BCD（B，C，D三点按顺时针排列），∠CDB＝90°，连接AD，当∠CBD＝∠DAB＝30°时，直接写出AD的值．八、（本题12分）25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线AD．（1）①求抛物线的函数表达式；②直接写出直线AD的函数表达式；（2）点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，当S1＝2S2时，求点E的坐标；（3）点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方的部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩下的部分组成新的曲线记为C1，点C的对应点为C′，点G的对应点为G′，将曲线C1沿y轴向下平移n个单位长度（0＜n＜6）．曲线C1与直线BC的公共点中，选两个公共点记作点P和点Q，若四边形C′G′QP是平行四边形，直接写出点P的坐标．2022年辽宁省沈阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题2分，共20分）1．【分析】根据有理数异号相加法则即可处理．【解答】解：5+（﹣3）＝2，故选：A．【点评】本题主要考查有理数加法，掌握其运算法则是解题关键．2．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：从正面看，底层有2个正方形，上层左边有1个正方形，故选：D．【点评】本题考查了三视图的知识．注意主视图是指从物体的正面看物体．3．【分析】根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法以及完全平方公式逐项进行计算即可．【解答】解：A．（a3）3＝a9，因此选项A不符合题意；B．a6÷a3＝a6﹣3＝a3，因此选项B不符合题意；C．（ab4）2＝a2b8，因此选项C不符合题意；D．（a+b）2＝a2+2ab+b2，因此选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法以及完全平方公式，掌握幂的乘方与积的乘方的计算方法，同底数幂的除法的计算法则以及完全平方公式的结构特征是正确判断的前提．4．【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．【解答】解：点A（2，3）关于y轴的对称点坐标为（﹣2，3）．故选：B．【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．5．【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．【解答】解：该足球队队员年龄13岁出现的次数最多，故众数为13岁．故选：C．【点评】本题考查了众数，掌握众数的定义是解答本题的关键．6．【分析】解不等式求得不等式的解集，然后根据数轴上表示出的不等式的解集，再对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：不等式2x+1＞3的解集为：x＞1，故选：B．【点评】本题考查的解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．7．【分析】根据直角三角形的性质求出∠B，根据三角形中位线定理得到DE∥AB，根据平行线的性质解答即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠A＝30°，则∠B＝90°﹣∠A＝60°，∵D、E分别是边AC、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠CED＝∠B＝60°，故选：B．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形中位线平行于第三边是解题的关键．8．【分析】依据一次函数y＝x+1的图象经过点（0，1）和（1，0），即可得到一次函数y＝﹣x+1的图象经过一、二、四象限．【解答】解：一次函数y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1；令y＝0，则x＝1，∴一次函数y＝﹣x+1的图象经过点（0，1）和（1，0），∴一次函数y＝﹣x+1的图象经过一、二、四象限，故选：C．【点评】本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线．9．【分析】根据抽样调查与全面调查的定义，概率以及方差的定义逐项进行判断即可．【解答】解：A．了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式，是正确的，因此选项A符合题意；B．如果某彩票的中奖概率是1%，那么一次购买100张这种彩票也不一定会中奖，因此选项B不符合题意；C．若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲2＝2.5，S乙2＝8.7，则甲组数据较稳定，因此选项C不符合题意；D．“任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7”是不可能事件，因此选项D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查全面调查与抽样调查，方差以及随机事件、不可能事件、必然事件，理解全面调查与抽样调查的方法，方差的意义以及随机事件、不可能事件、必然事件的定义是正确判断的前提．10．【分析】根据垂直定义可得PT⊥PQ，然后在Rt△PQT中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：PT⊥PQ，∴∠APQ＝90°，在Rt△APQ中，PQ＝m米，∠PQT＝α，∴PT＝PQ•tanα＝m tanα（米），∴河宽PT的长度是m tanα米，故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共18分）11．【分析】首先提取公因式a，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．【解答】解：ay2+6ay+9a＝a（y2+6y+9）＝a（y+3）2．故答案为：a（y+3）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．12．【分析】用代入消元法解二元一次方程组即可．【解答】解：，将②代入①，得x+4x＝5，解得x＝1，将x＝1代入②，得y＝2，∴方程组的解为，故答案为：．【点评】本题考查二元一次方程组，理解二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解法是正确解答的关键．13．【分析】先算括号内的式子，然后计算括号外的乘法即可．【解答】解：（1﹣）•＝＝＝x﹣1，故答案为：x﹣1．【点评】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．14．【分析】连接OA、OB，可证∠AOB＝90°，根据勾股定理求出AO，根据弧长公式求出即可．【解答】解：连接OA、OB．∵正方形ABCD内接于⊙O，∴AB＝BC＝DC＝AD，∴＝＝＝，∴∠AOB＝×360°＝90°，在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2＝42，解得：AO＝2，∴的长＝＝π，故答案为：π．【点评】本题考查了弧长公式和正方形的性质，能求出∠AOB的度数和OA的长是解此题的关键．15．【分析】作AE⊥CD于E，由四边形ABCD为平行四边形得AB∥x轴，则可判断四边形ABOE为矩形，所以S平行四边形ABCD＝S矩形ABOE，根据反比例函数k的几何意义得到S矩形ABOE＝|k|，利用反比例函数图象得到．【解答】解：作AE⊥CD于E，如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥x轴，∴四边形ABOE为矩形，＝S矩形ABOE＝6，∴S平行四边形ABCD∴|k|＝6，而k＞0，∴k＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y＝（k ≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．16．【分析】根据点H为GN三等分点，分两种情况分别计算，根据折叠的性质和平行线的性质证明∠GMN＝∠MNG，得到MG＝NG，证明△FGH∽△ENH，求出FG的长，过点G作GP⊥AD于点P，则PG＝AB＝4，设MD＝MF＝x，根据勾股定理列方程求出x即可．【解答】解：当HN＝GN时，GH＝2HN，∵将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，∴MF＝MD，CN＝EN，∠E＝∠C＝∠D＝∠MFE＝90°，∠DMN＝∠GMN，AD∥BC，∴∠GFH＝90°，∠DMN＝∠MNG，∴∠GMN＝∠MNG，∴MG＝NG，∵∠GFH＝∠E＝90°，∠FHG＝∠EHN，∴△FGH∽△ENH，∴＝＝2，∴FG＝2EN＝4，过点G作GP⊥AD于点P，则PG＝AB＝4，设MD＝MF＝x，则MG＝GN＝x+4，∴CG＝x+6，∴PM＝6，∵GP2+PM2＝MG2，∴42+62＝（x+4）2，解得：x＝2﹣4，∴MD＝2﹣4；当GH＝GN时，HN＝2GH，∵△FGH∽△ENH，∴＝＝，∴FG＝EN＝1，∴MG＝GN＝x+1，∴CG＝x+3，∴PM＝3，∵GP2+PM2＝MG2，∴42+32＝（x+1）2，解得：x＝4，∴MD＝4；故答案为：2﹣4或4．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，考查了分类讨论的思想，根据勾股定理列方程求解是解题的关键．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．【分析】先计算开方运算、特殊三角函数值、负整数指数幂的运算及绝对值的运算，再合并即可．【解答】解：原式＝2﹣3×+4+2﹣＝2﹣+4+2﹣＝6．【点评】此题考查的是实数的运算，负整数指数幂的运算，特殊三角形函数值，掌握其运算法则是解决此题的关键．18．【分析】（1）根据概率公式求解即可．（2）画树状图，表示出所有等可能的结果数，以及两张卡片上的数字是“2”和“3”的结果数，再结合概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）由题意得，随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是．故答案为：．（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是“2”和“3”的结果有2种，∴小明随机抽取两张卡片，两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率为．【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．19．【分析】（1）根据作法得到MN是线段AD的垂直平分线；（2）根据垂直平分线的性质则AF＝DF，AE＝DE，进而得出DF∥AB，同理DE∥AF，于是可判断四边形AEDF是平行四边形，加上FA＝FD，则可判断四边形AEDF为菱形．【解答】（1）解：根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线；故答案为：垂直平分线；（2）证明：∵MN是AD的垂直平分线，∴AF＝DF，AE＝DE，∴∠FAD＝∠FDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠FDA＝∠BAD，∴DF∥AB，同理DE∥AF，∴四边形AEDF是平行四边形，∵FA＝FD，∴四边形AEDF为菱形．【点评】本题考查了作图﹣基本作图以及菱形的判定方法，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．四、（每小题8分，共16分）20．【分析】（1）根据选择A的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的学生人数；（2）根据条形统计图中的数据，即可计算出选择B的人数，然后即可将条形统计图补充完整；（3）用360°乘以D（劳动实践）所占比例可得答案；（4）用样本估计总体即可．【解答】解：（1）此次被调查的学生人数为：12÷10%＝120（名），故答案为：120；（2）选择B的学生有：120﹣12﹣48﹣24＝36（名），补全的条形统计图如图所示；（3）360°×＝72°，即拓展课程D（劳动实践）所对应的扇形的圆心角的度数是72°；（4）800×＝320（名），答：估计该校800名学生中，有320名学生最喜欢C（音乐鉴赏）拓展课程．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、频数（率）分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21．【分析】（1）设框架的长AD为xcm，则宽AB为cm，根据面积公式列出一元二次方程，解之即可；（2）在（1）的基础上，列出二次函数，再利用二次函数的性质可得出结论．【解答】解：（1）设框架的长AD为xcm，则宽AB为cm，∴x•＝144，解得x＝12或x＝18，∴AB＝12cm或AB＝8cm，∴AB的长为12厘米或8厘米；（2）由（1）知，框架的长AD为xcm，则宽AB为cm，∴S＝x•，即S＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣15）2+150，∵﹣＜0，∴要使框架的面积最大，则x＝15，此时AB＝10，最大为150平方厘米．故答案为：150．【点评】此题考查的是二次函数在实际生活中的运用及求函数最值的方法，属较简单题目．解题的关键是用一个未知数表示出长和宽，利用面积公式来列出函数表达式后再求其最值．五、（本题10分）22．【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补以及平角定义可得∠BAD＝∠DCE，然后根据已知可得∠BAP+∠BAD＝90°，从而可得∠OAP＝90°，即可解答；（2）连接BO并延长交⊙O于点F，连接CF，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BCF＝90°，再利用同弧所对的圆周角相等可得sin∠BAC＝sin F＝，最后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BCD+∠DCE＝180°，∴∠BAD＝∠DCE，∵∠BAP+∠DCE＝90°，∴∠BAP+∠BAD＝90°，∴∠OAP＝90°，∵OA是⊙O的半径，∴PA是圆O的切线；（2）连接BO并延长交⊙O于点F，连接CF，∵BF是⊙O的直径，∴∠BCF＝90°，∵∠BAC＝∠F，∴sin∠BAC＝sin F＝，在Rt△BCF中，BC＝2，∴BF＝＝＝6，∴AD＝BF＝6，故答案为：6．【点评】本题考查了解直角三角形，切线的判定与性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．六、（本题10分）23．【分析】（1）将点B（0，9），C（8，3）的坐标代入直线解析式，求解即可；（2）①过点C作CF⊥C′D′，易得△CFC′∽△AOB，可用m表达CF和C′F的长度，进而可表达点C′，D′的坐标，由点C的坐标可得出直线OC的解析式，代入可得点E的坐标；②根据题意可知，当0＜m＜时，点D′未到直线OC上，利用三角形面积公式可得出本题结果；③分情况讨论，分别求出当0＜m＜时，当＜m＜5时，当5＜m＜10时，当10＜m＜15时，S与m的关系式，分别令S＝，建立方程，求出m即可．【解答】解：（1）将点B（0，9），C（8，3）的坐标代入直线y＝kx+b，∴，解得．∴直线AB的函数表达式为：y＝﹣x+9；（2）①由（1）知直线AB的函数表达式为：y＝﹣x+9，令y＝0，则x＝12，∴A（12，0），∴OA＝12，OB＝9，∴AB＝15；如图1，过点C作CF⊥C′D′于点F，∴CF∥OA，∴∠OAB＝∠FCC′，∵∠C′FC＝∠BOA＝90°，∴△CFC′∽△AOB，∴OB：OA：AB＝C′F：CF：CC′＝9：12：15，∵CC′＝m，∴CF＝m，C′F＝m，∴C′（8﹣m，3+m），A′（12﹣m，m），D′（8﹣m，m），∵C（8，3），∴直线OC的解析式为：y＝x，∴E（8﹣m，3﹣m）.∴C′E＝3+m﹣（3﹣m）＝m．故答案为：m．②法一、当点D′落在直线OC上时，有m＝（8﹣m），解得m＝，∴当0＜m＜时，点D′未到直线OC，此时S＝C′E•CF＝•m•m＝m2；法二、∵C′D′∥BO，∴△CC′E∽△CBO，∴＝（）2，即＝，∴S＝m2．故答案为：m2．③法一、分情况讨论，当0＜m＜时，由②可知，S＝m2；令S＝m2＝，解得m＝＞（舍）或m＝﹣（舍）；当≤m＜5时，如图2，设线段A′D′与直线OC交于点M，∴M（m，m），∴D′E＝m﹣（3﹣m）＝m﹣3，D′M＝m﹣（8﹣m）＝m﹣8；∴S＝m2﹣•（m﹣3）•（m﹣8）＝﹣m2+m﹣12，令﹣m2+m﹣12＝；整理得，3m2﹣30m+70＝0，解得m＝或m＝＞5（舍）；当5≤m＜10时，如图3，S＝S△A′C′D′＝×4×3＝6≠，不符合题意；当10≤m＜15时，如图4，此时A′B＝15﹣m，∴BN＝（15﹣m），A′N＝（15﹣m），∴S＝•（15﹣m）•（15﹣m）＝（15﹣m）2，令（15﹣m）2＝，解得m＝15+2＞15（舍）或m＝15﹣2．法二、分情况讨论，当0＜m＜时，由②可知，S＝m2；令S＝m2＝，解得m＝＞（舍）或m＝﹣（舍）；（同法一）当≤m＜5时，如图2，设线段A′D′与直线OC交于点M，＝×4×3＝6，∵S△A′C′D′＝6﹣＝，∴S＝18，∵S△AOC∵A′D′∥OA，∴△A′CM∽△ACO，∴＝，∴CA′＝，∴m＝C′A′﹣CA′＝5﹣，当5≤m＜10时，如图3，S＝S△A′C′D′＝×4×3＝6≠，不符合题意；当10≤m＜15时，如图4，∵A′D′∥x轴，∴△A′BK∽△ABO，＝54，∵S＝，S△ABO∴＝，解得BA′＝2，∴m＝BA﹣BA′＝15﹣2．故答案为：或15﹣2．【点评】本题属于一次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，三角形的面积，相似三角形的性质与判定，分类讨论思想等知识，根据△A′C′D′的运动，进行正确的分类讨论是解题关键．七、（本题12分）24．【分析】（1）证明△AOD≌△BOC（SAS），即可得出结论；（2）利用旋转性质可证得∠BOC＝∠AOD，再证明△AOD≌△BOC（SAS），即可得出结论；（3）①过点A作AT⊥AB，使AT＝AB，连接BT，AD，DT，BD，先证得△ABC∽△TBD，得出DT＝3，即点D的运动轨迹是以T为圆心，3为半径的圆，当D在AT的延长线上时，AD的值最大，最大值为8+3；②如图4，在AB上方作∠ABT＝30°，过点A作AT⊥BT于点T，连接AD、BD、DT，过点T作TH⊥AD于点H，可证得△BAC∽△BTD，得出DT＝AC＝×3＝，再求出DH、AH，即可求得AD；如图5，在AB下方作∠ABE＝30°，过点A作AE⊥BE 于点E，连接DE，可证得△BAC∽△BTD，得出DE＝，再由勾股定理即可求得AD．【解答】解：（1）AD＝BC．理由如下：如图1，∵△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，∴OA＝OB，OD＝OC，在△AOD和△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴AD＝BC，故答案为：AD＝BC；（2）AD＝BC仍然成立.证明：如图2，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOB+∠AOC＝∠AOC+∠COD＝90°+α，即∠BOC＝∠AOD，在△AOD和△BOC中，，°∴△AOD≌△BOC（SAS），∴AD＝BC；（3）①过点A作AT⊥AB，使AT＝AB，连接BT，AD，DT，BD，∵△ABT和△CBD都是等腰直角三角形，∴BT＝AB，BD＝BC，∠ABT＝∠CBD＝45°，∴＝＝，∠ABC＝∠TBD，∴△ABC∽△TBD，∴＝＝，∴DT＝AC＝×3＝3，∵AT＝AB＝8，DT＝3，∴点D的运动轨迹是以T为圆心，3为半径的圆，∴当D在AT的延长线上时，AD的值最大，最大值为8+3，故答案为：8+3；②如图4，在AB上方作∠ABT＝30°，过点A作AT⊥BT于点T，连接AD、BD、DT，过点T作TH⊥AD于点H，∵＝＝cos30°＝，∠ABC＝∠TBD＝30°+∠TBC，∴△BAC∽△BTD，∴＝＝，∴DT＝AC＝×3＝，在Rt△ABT中，AT＝AB•sin∠ABT＝8sin30°＝4，∵∠BAT＝90°﹣30°＝60°，∴∠TAH＝∠BAT﹣∠DAB＝60°﹣30°＝30°，∵TH⊥AD，∴TH＝AT•sin∠TAH＝4sin30°＝2，AH＝AT•cos∠TAH＝4cos30°＝2，在Rt△DTH中，DH＝＝＝，∴AD＝AH+DH＝2+；如图5，在AB上方作∠ABE＝30°，过点A作AE⊥BE于点E，连接DE，则＝＝cos30°＝，∵∠EBD＝∠ABC＝∠ABD+30°，∴△BDE∽△BCA，∴＝＝，∴DE＝AC＝×3＝，∵∠BAE＝90°﹣30°＝60°，AE＝AB•sin30°＝8×＝4，∴∠DAE＝∠DAB+∠BAE＝30°+60°＝90°，∴AD＝＝＝；综上所述，AD的值为2+或．【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，关键是添加恰当辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，综合性较强，难度较大，属于中考压轴题．八、（本题12分）25．【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式和直线AD的解析式；（2）设点E（t，t2﹣t﹣3），F（x，y），过点E作EM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x 轴于点N，如图1，根据三角形面积关系可得＝，由EM∥FN，可得△BFN∽△BEM，得出＝＝＝，可求得F（2+t，t2﹣t﹣2），代入直线AD的解析式即可求得点E的坐标；（3）根据题意可得：点C′（0，3），G′（2，4），向上翻折部分的图象解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4，向上翻折部分平移后的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4﹣n，平移后抛物线剩下部分的解析式为y＝（x﹣2）2﹣4﹣n，利用待定系数法可得：直线BC的解析式为y＝x﹣3，直线C′G′的解析式为y＝x+3，由四边形C′G′QP是平行四边形，分类讨论即可．【解答】解：（1）①∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），∴，解得：，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣3；②由①得y＝x2﹣x﹣3，当y＝0时，x2﹣x﹣3＝0，解得：x1＝6，x2＝﹣2，∴A（﹣2，0），设直线AD的函数表达式为y＝kx+d，则，解得：，∴直线AD的函数表达式为y＝x﹣1；（2）设点E（t，t2﹣t﹣3），F（x，y），过点E作EM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x 轴于点N，如图1，∵S1＝2S2，即＝2，∴＝2，∴＝，∵EM⊥x轴，FN⊥x轴，∴EM∥FN，∴△BFN∽△BEM，∴＝＝＝，∵BM＝6﹣t，EM＝﹣（t2﹣t﹣3）＝﹣t2+t+3，∴BN＝（6﹣t），FN＝（﹣t2+t+3），∴x＝OB﹣BN＝6﹣（6﹣t）＝2+t，y＝﹣（﹣t2+t+3）＝t2﹣t﹣2，∴F（2+t，t2﹣t﹣2），∵点F在直线AD上，∴t2﹣t﹣2＝﹣（2+t）﹣1，解得：t1＝0，t2＝2，∴E（0，﹣3）或（2，﹣4）；（3）∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣2）2﹣4，∴顶点坐标为G（2，﹣4），当x＝0时，y＝3，即点C（0，﹣3），∴点C′（0，3），G′（2，4），∴向上翻折部分的图象解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4，∴向上翻折部分平移后的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4﹣n，平移后抛物线剩下部分的解析式为y＝（x﹣2）2﹣4﹣n，设直线BC的解析式为y＝k′x+d′（k′≠0），把点B（6，0），C（0，﹣3）代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，同理直线C′G′的解析式为y＝x+3，∴BC∥C′G′，设点P的坐标为（s，s﹣3），∵点C′（0，3），G′（2，4），∴点C′向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点G′，∵四边形C′G′QP是平行四边形，∴点Q（s+2，s﹣2），当点P，Q均在向上翻折部分平移后的图象上时，则，解得：（不符合题意，舍去），当点P在向上翻折部分平移后的图象上，点Q在平移后抛物线剩下部分的图象上时，则，解得：或（不合题意，舍去），当点P在平移后抛物线剩下部分的图象上，点Q在向上翻折部分平移后的图象上时，则，解得：或（不合题意，舍去），综上所述，点P的坐标为（1+，）或（1﹣，）．【点评】本题主要是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，三角形面积，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，抛物线的平移、翻折变换等，利用数形结合思想解答是解题的关键．。
2018年辽宁省沈阳市中考数学试卷(答案+解析)
2018年辽宁省沈阳市中考数学试卷一、选择题(每题只有一个正确选项，本题共10小题，每题2分，共20分)1．(2分)下列各数中是有理数的是()3A．πB．0 C．√2D．√52．(2分)辽宁男篮夺冠后，从4月21日至24日各类媒体关于“辽篮CBA夺冠”的相关文章达到81000篇，将数据81000用科学记数法表示为()A．0.81×104B．0.81×105C．8.1×104D．8.1×1053．(2分)如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是()A．B．C．D．4．(2分)在平面直角坐标系中，点B的坐标是(4，﹣1)，点A与点B关于x轴对称，则点A的坐标是()A．(4，1) B．(﹣1，4) C．(﹣4，﹣1) D．(﹣1，﹣4) 5．(2分)下列运算错误的是()A．(m2)3=m6B．a10÷a9=a C．x3•x5=x8D．a4+a3=a76．(2分)如图，AB∥CD，EF∥GH，∠1=60°，则∠2补角的度数是()A．60°B．100°C．110°D．120°7．(2分)下列事件中，是必然事件的是()A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数B．13个人中至少有两个人生肖相同C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯D．明天一定会下雨8．(2分)在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象如图所示，则k和b的取值范围是()A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜09．(2分)点A (﹣3，2)在反比例函数y =k x (k ≠0)的图象上，则k 的值是( )A ．﹣6B ．﹣32C ．﹣1D ．610．(2分)如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，AB =2√2，则AB̂的长是( )A ．πB ．32πC ．2πD ．12π二、细心填一填(本大题共6小题，每小题3分，满分18分，请把答案填在答題卷相应题号的横线上)11．(3分)因式分解：3x 3﹣12x = ．12．(3分)一组数3，4，7，4，3，4，5，6，5的众数是 ．13．(3分)化简：2a a 2−4﹣1a−2= ．14．(3分)不等式组{x −2＜03x +6≥0的解集是 ．15．(3分)如图，一块矩形土地ABCD 由篱笆围着，并且由一条与CD 边平行的篱笆EF 分开．已知篱笆的总长为900m (篱笆的厚度忽略不计)，当AB = m 时，矩形土地ABCD 的面积最大．16．(3分)如图，△ABC 是等边三角形，AB =√7，点D 是边BC 上一点，点H 是线段AD 上一点，连接BH 、CH ．当∠BHD =60°，∠AHC =90°时，DH = ．三、解答题题(17题6分，18-19题各8分，请认真读题)17．(6分)计算：2tan 45°﹣|√2﹣3|+(12)﹣2﹣(4﹣π)0．18．(8分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．(1)求证：四边形OCED是矩形；(2)若CE=1，DE=2，则菱形ABCD的面积是．19．(8分)经过校园某路口的行人，可能左转，也可能直行或右转．假设这三种可能性相同，现有小明和小亮两人经过该路口，请用列表法或画树状图法，求两人之中至少有一人直行的概率．四、解答题(每题8分，请认真读题)20．(8分)九年三班的小雨同学想了解本校九年级学生对哪门课程感兴趣，随机抽取了部分九年级学生进行调查(每名学生必选且只能选择一门课程)．将获得的数据整理绘制如下两幅不完整的统计图．根据统计图提供的信息，解答下列问题：(1)在这次调查中一共抽取了名学生，m的值是．(2)请根据据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；(3)扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数是度；(4)若该校九年级共有1000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级学生中有多少名学生对数学感兴趣．21．(8分)某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．(1)求每个月生产成本的下降率；(2)请你预测4月份该公司的生产成本．五、解答题(本题10分)22．(10分)如图，BE是O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．(1)若∠ADE=25°，求∠C的度数；(2)若AB=AC，CE=2，求⊙O半径的长．23．(10分)如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标为(0，10)．点E的坐标为(20，0)，直线l1经过点F和点E，直线l1与直线l2 ：y=3x相交于点P．4(1)求直线l1的表达式和点P的坐标；(2)矩形ABCD的边AB在y轴的正半轴上，点A与点F重合，点B在线段OF上，边AD平行于x轴，且AB=6，AD=9，将矩形ABCD沿射线FE的方向平移，边AD始终与x轴平行．已知矩形ABCD以每秒√5个单位的速度匀速移动(点A移动到点E时停止移动)，设移动时间为t秒(t＞0)．①矩形ABCD在移动过程中，B、C、D三点中有且只有一个顶点落在直线l1或l2上，请直接写出此时t的值；②若矩形ABCD在移动的过程中，直线CD交直线l1于点N，交直线l2于点M．当△PMN的面积等于18时，请直接写出此时t的值．七、解答题(本题12分)24．(12分)已知：△ABC是等腰三角形，CA=CB，0°＜∠ACB≤90°．点M在边AC上，点N在边BC上(点M、点N不与所在线段端点重合)，BN=AM，连接AN，BM，射线AG∥BC，延长BM交射线AG于点D，点E在直线AN上，且AE=DE．(1)如图，当∠ACB=90°时①求证：△BCM≌△ACN；②求∠BDE的度数；(2)当∠ACB=α，其它条件不变时，∠BDE的度数是(用含α的代数式表示)(3)若△ABC是等边三角形，AB=3√3，点N是BC边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，请直接写出线段CF的长．25．(12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A(﹣2，1)和点B(﹣1，﹣1)，抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．(1)求抛物线C1的表达式；(2)直接用含t的代数式表示线段MN的长；(3)当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；(4)在(3)的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点K，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q的坐标．2018年辽宁省沈阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(每题只有一个正确选项，本题共10小题，每题2分，共20分)1．(2分)下列各数中是有理数的是()3A．πB．0 C．√2D．√5【分析】根据有理数是有限小数或无限循环小，可得答案．【解答】解：A、π是无限不循环小数，属于无理数，故本选项错误；B、0是有理数，故本选项正确；C、√2是无理数，故本选项错误；3无理数，故本选项错误；D、√5故选：B．2．(2分)辽宁男篮夺冠后，从4月21日至24日各类媒体关于“辽篮CBA夺冠”的相关文章达到81000篇，将数据81000用科学记数法表示为()A．0.81×104B．0.81×105C．8.1×104D．8.1×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将81000用科学记数法表示为：8.1×104．故选：C．3．(2分)如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是()A．B．C．D．【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．【解答】解：从左边看，从左往右小正方形的个数依次为：2，1．左视图如下：故选：D．4．(2分)在平面直角坐标系中，点B的坐标是(4，﹣1)，点A与点B关于x轴对称，则点A的坐标是()A．(4，1) B．(﹣1，4) C．(﹣4，﹣1) D．(﹣1，﹣4)【分析】直接利用关于x轴对称点的性质，横坐标不变纵坐标改变符号进而得出答案．【解答】解：∵点B的坐标是(4，﹣1)，点A与点B关于x轴对称，∴点A的坐标是：(4，1)．故选：A．5．(2分)下列运算错误的是()A．(m2)3=m6B．a10÷a9=a C．x3•x5=x8D．a4+a3=a7【分析】直接利用合并同类项法则以及单项式乘以单项式运算法则和同底数幂的除法运算法则化简求出即可．【解答】解：A、(m2)3=m6，正确；B、a10÷a9=a，正确；C、x3•x5=x8，正确；D、a4+a3=a4+a3，错误；故选：D．6．(2分)如图，AB∥CD，EF∥GH，∠1=60°，则∠2补角的度数是()A．60°B．100°C．110°D．120°【分析】根据平行线的性质比较多定义求解即可；【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1=∠EFH，∵EF∥GH，∴∠2=∠EFH，∴∠2=∠1=60°，∴∠2的补角为120°，故选：D．7．(2分)下列事件中，是必然事件的是()A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数B．13个人中至少有两个人生肖相同C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯D．明天一定会下雨【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可判断．【解答】解：A、“任意买一张电影票，座位号是2的倍数”是随机事件，故此选项错误；B、“13个人中至少有两个人生肖相同”是必然事件，故此选项正确；C、“车辆随机到达一个路口，遇到红灯”是随机事件，故此选项错误；D、“明天一定会下雨”是随机事件，故此选项错误；故选：B．8．(2分)在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象如图所示，则k和b的取值范围是()A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0【分析】根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可．【解答】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限，∴k＜0，b＞0．故选：C．9．(2分)点A (﹣3，2)在反比例函数y =k x (k ≠0)的图象上，则k 的值是( ) A ．﹣6 B ．﹣32 C ．﹣1 D ．6【分析】根据点A 的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k 值，此题得解． 【解答】解：∵A (﹣3，2)在反比例函数y =k x (k ≠0)的图象上，∴k =(﹣3)×2=﹣6．故选：A ．10．(2分)如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，AB =2√2，则AB̂的长是( ) A ．π B ．32π C ．2π D ．12π 【分析】连接OA 、OB ，求出∠AOB =90°，根据勾股定理求出AO ，根据弧长公式求出即可．【解答】解：连接OA 、OB ，∵正方形ABCD 内接于⊙O ，∴AB =BC =DC =AD ，∴AB̂=BC ̂=DC ̂=AD ̂， ∴∠AOB =14×360°=90°，在Rt △AOB 中，由勾股定理得：2AO 2=(2√2)2，解得：AO =2，∴AB ̂的长为90π×2180=π，故选：A ．二、细心填一填(本大题共6小题，每小题3分，满分18分，请把答案填在答題卷相应题号的横线上)11．(3分)因式分解：3x 3﹣12x = 3x (x +2)(x ﹣2) ．【分析】首先提公因式3x ，然后利用平方差公式即可分解．【解答】解：3x 3﹣12x=3x (x 2﹣4)=3x (x +2)(x ﹣2)故答案是：3x (x +2)(x ﹣2)．12．(3分)一组数3，4，7，4，3，4，5，6，5的众数是 4 ．【分析】根据众数的定义求解可得．【解答】解：在这组数据中4出现次数最多，有3次，所以这组数据的众数为4，故答案为：4．13．(3分)化简：2a a 2−4﹣1a−2= 1a+2 ．【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．【解答】解：原式=2a (a+2)(a−2)﹣a+2(a+2)(a−2)=a−2(a+2)(a−2)=1a+2，故答案为：1a+214．(3分)不等式组{x −2＜03x +6≥0的解集是 ﹣2≤x ＜2 ． 【分析】先求出两个不等式的解集，再求不等式组的公共解．【解答】解：解不等式x ﹣2＜0，得：x ＜2，解不等式3x +6≥0，得：x ≥﹣2，则不等式组的解集为﹣2≤x ＜2，故答案为：﹣2≤x ＜2．15．(3分)如图，一块矩形土地ABCD 由篱笆围着，并且由一条与CD 边平行的篱笆EF 分开．已知篱笆的总长为900m (篱笆的厚度忽略不计)，当AB = 150 m 时，矩形土地ABCD 的面积最大．【分析】根据题意可以用相应的代数式表示出矩形绿地的面积；即可解答本题．【解答】解：(1)设AB =xm ，则BC =12(900﹣3x )，由题意可得，S =AB ×BC =x ×12(900﹣3x )=﹣32(x 2﹣300x )=﹣32(x ﹣150)2+33750 ∴当x =150时，S 取得最大值，此时，S =33750，∴AB =150m ，故答案为：150．16．(3分)如图，△ABC 是等边三角形，AB =√7，点D 是边BC 上一点，点H 是线段AD 上一点，连接BH 、CH ．当∠BHD =60°，∠AHC =90°时，DH = 13 ．【分析】作AE ⊥BH 于E ，BF ⊥AH 于F ，如图，利用等边三角形的性质得AB =AC ，∠BAC =60°，再证明∠ABH =∠CAH ，则可根据“AAS ”证明△ABE ≌△CAH ，所以BE =AH ，AE =CH ，在Rt △AHE 中利用含30度的直角三角形三边的关系得到HE =12AH ，AE =√32AH ，则CH =√32AH ，于是在Rt △AHC 中利用勾股定理可计算出AH =2，从而得到BE =2，HE =1，AE =CH =√3，BH =1，接下来在Rt △BFH 中计算出HF =12，BF =√32，然后证明△CHD ∽△BFD ，利用相似比得到HD FD =2，从而利用比例性质可得到DH的长．【解答】解：作AE ⊥BH 于E ，BF ⊥AH 于F ，如图，∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∠BAC =60°，∵∠BHD =∠ABH +∠BAH =60°，∠BAH +∠CAH =60°，∴∠ABH =∠CAH ，在△ABE 和△CAH 中{∠AEB =∠AHC ∠ABE =∠CAH AB =CA， ∴△ABE ≌△CAH ，∴BE =AH ，AE =CH ，在Rt △AHE 中，∠AHE =∠BHD =60°，∴sin ∠AHE =AE AH ，HE =12AH ， ∴AE =AH •sin 60°=√32AH ， ∴CH =√32AH ， 在Rt △AHC 中，AH 2+(√32AH )2=AC 2=(√7)2，解得AH =2，∴BE =2，HE =1，AE =CH =√3，∴BH =BE ﹣HE =2﹣1=1，在Rt △BFH 中，HF =12BH =12，BF =√32， ∵BF ∥CH ，∴△CHD ∽△BFD ，∴HD FD =CH BF =√3√32=2， ∴DH =23HF =23×12=13．故答案为13．三、解答题题(17题6分，18-19题各8分，请认真读题)17．(6分)计算：2tan 45°﹣|√2﹣3|+(12)﹣2﹣(4﹣π)0． 【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式=2×1﹣(3﹣√2)+4﹣1=2﹣3+√2+4﹣1=2+√2．18．(8分)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ．过点C 作BD 的平行线，过点D 作AC 的平行线，两直线相交于点E ．(1)求证：四边形OCED 是矩形；(2)若CE =1，DE =2，则菱形ABCD 的面积是 4 ．【分析】(1)欲证明四边形OCED 是矩形，只需推知四边形OCED 是平行四边形，且有一内角为90度即可；(2)由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．【解答】(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴∠COD =90°．∵CE ∥OD ，DE ∥OC ，∴四边形OCED 是平行四边形，又∠COD =90°，∴平行四边形OCED 是矩形；(2)由(1)知，平行四边形OCED 是矩形，则CE =OD =1，DE =OC =2．∵四边形ABCD 是菱形，∴AC =2OC =4，BD =2OD =2，∴菱形ABCD 的面积为：12AC •BD =12×4×2=4． 故答案是：4．19．(8分)经过校园某路口的行人，可能左转，也可能直行或右转．假设这三种可能性相同，现有小明和小亮两人经过该路口，请用列表法或画树状图法，求两人之中至少有一人直行的概率．【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出“至少有一人直行”的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两人之中至少有一人直行的结果数为5，所以两人之中至少有一人直行的概率为59．四、解答题(每题8分，请认真读题)20．(8分)九年三班的小雨同学想了解本校九年级学生对哪门课程感兴趣，随机抽取了部分九年级学生进行调查(每名学生必选且只能选择一门课程)．将获得的数据整理绘制如下两幅不完整的统计图．根据统计图提供的信息，解答下列问题：(1)在这次调查中一共抽取了 50 名学生，m 的值是 18 ．(2)请根据据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；(3)扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数是 108 度；(4)若该校九年级共有1000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级学生中有多少名学生对数学感兴趣．【分析】(1)根据统计图化学对应的数据和百分比可以求得这次调查的学生数，进而求得m 的值；(2)根据(1)中的结果和条形统计图中的数据可以求得选择数学的人数，从而可以将条形统计图补充完整；(3)根据统计图中的数据可以求得“数学”所对应的圆心角度数；(4)根据统计图中的数据，可以求得该校九年级学生中有多少名学生对数学感兴趣．【解答】解：(1)在这次调查中一共抽取了：10÷20%=50(名)学生，m %=9÷50×100%=18%，故答案为：50，18；(2)选择数学的有；50﹣9﹣5﹣8﹣10﹣3=15(名)，补全的条形统计图如右图所示；(3)扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数是：360°×1550=108°， 故答案为：108；(4)1000×1550=300(名)， 答：该校九年级学生中有300名学生对数学感兴趣．21．(8分)某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元． 假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．(1)求每个月生产成本的下降率；(2)请你预测4月份该公司的生产成本．【分析】(1)设每个月生产成本的下降率为x ，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；(2)由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×(1﹣下降率)，即可得出结论．【解答】解：(1)设每个月生产成本的下降率为x ，根据题意得：400(1﹣x )2=361，解得：x 1=0.05=5%，x 2=1.95(不合题意，舍去)．答：每个月生产成本的下降率为5%．(2)361×(1﹣5%)=342.95(万元)．答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．五、解答题(本题10分)22．(10分)如图，BE 是O 的直径，点A 和点D 是⊙O 上的两点，过点A 作⊙O 的切线交BE 延长线于点C ．(1)若∠ADE =25°，求∠C 的度数；(2)若AB =AC ，CE =2，求⊙O 半径的长．【分析】(1)连接OA ，利用切线的性质和角之间的关系解答即可；(2)根据直角三角形的性质解答即可．【解答】解：(1)连接OA ，∵AC 是⊙O 的切线，OA 是⊙O 的半径，∴OA ⊥AC ，∴∠OAC =90°，∵AE ̂=AE ̂，∠ADE =25°， ∴∠AOE =2∠ADE =50°，∴∠C =90°﹣∠AOE =90°﹣50°=40°；(2)∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，∵AÊ=AE ̂， ∴∠AOC =2∠B ，∴∠AOC =2∠C ，∵∠OAC =90°，∴∠AOC +∠C =90°，∴3∠C =90°，∴∠C =30°，∴OA =12OC ， 设⊙O 的半径为r ，∵CE =2，∴r =12(r +2)， 解得：r =2，∴⊙O 的半径为2．六、解答题(本题10分)23．(10分)如图，在平面直角坐标系中，点F 的坐标为(0，10)．点E 的坐标为(20，0)，直线l 1经过点F 和点E ，直线l 1与直线l 2 ：y =34x 相交于点P ． (1)求直线l 1的表达式和点P 的坐标；(2)矩形ABCD 的边AB 在y 轴的正半轴上，点A 与点F 重合，点B 在线段OF 上，边AD 平行于x 轴，且AB =6，AD =9，将矩形ABCD 沿射线FE 的方向平移，边AD 始终与x 轴平行．已知矩形ABCD 以每秒√5个单位的速度匀速移动(点A 移动到点E 时停止移动)，设移动时间为t 秒(t ＞0)．①矩形ABCD 在移动过程中，B 、C 、D 三点中有且只有一个顶点落在直线l 1或l 2上，请直接写出此时t 的值；②若矩形ABCD 在移动的过程中，直线CD 交直线l 1于点N ，交直线l 2于点M ．当△PMN 的面积等于18时，请直接写出此时t 的值．【分析】(1)利用待定系数法求解析式，函数关系式联立方程求交点；(2)①分析矩形运动规律，找到点D 和点B 分别在直线l 2上或在直线l 1上时的情况，利用AD 、AB 分别可以看成图象横坐标、纵坐标之差构造方程求点A 坐标，进而求出AF 距离；②设点A 坐标，表示△PMN 即可．【解答】解：(1)设直线l 1的表达式为y =kx +b∵直线l 1过点F (0，10)，E (20，0)∴{b =1020k +b =0 解得{k =−12b =10 直线l 1的表达式为y =﹣12x +10 求直线l 1与直线l 2 交点，得34x =﹣12x +10 解得x =8 y =34×8=6∴点P 坐标为(8，6)(2)①如图，当点D 在直线上l 2时∵AD =9 ∴点D 与点A 的横坐标之差为9∴将直线l 1与直线l 2 交解析式变为x =20﹣2y ，x =43y∴43y ﹣(20﹣2y )=9 解得y =8710 则点A 的坐标为：(135，8710) 则AF =√(135)2+(10−8710)2=13√510∵点A 速度为每秒√5个单位∴t =1310 如图，当点B 在l 2 直线上时∵AB =6 ∴点A 的纵坐标比点B 的纵坐标高6个单位∴直线l 1的解析式减去直线l 2 的解析式得﹣12x +10﹣34x =6解得x =165 则点A 坐标为(165，425)则AF =√(165)2+(10−425)2=8√55 ∵点A 速度为每秒√5个单位 ∴t =85 故t 值为1310或85 ②如图，设直线AB 交l 2 于点H设点A 横坐标为a ，则点D 横坐标为a +9由①中方法可知：MN =54a +54 此时点P 到MN 距离为：a +9﹣8=a +1∵△PMN 的面积等于18∴12×(54a +54)⋅(a +1)=18 解得a 1=12√55−1，a 2=﹣12√55−1(舍去) ∴AF =6﹣√52 则此时t 为6√55−12 当t =6√55−12时，△PMN 的面积等于18七、解答题(本题12分)24．(12分)已知：△ABC 是等腰三角形，CA =CB ，0°＜∠ACB ≤90°．点M 在边AC 上，点N 在边BC 上(点M 、点N 不与所在线段端点重合)，BN =AM ，连接AN ，BM ，射线AG ∥BC ，延长BM 交射线AG 于点D ，点E 在直线AN 上，且AE =DE ．(1)如图，当∠ACB =90°时①求证：△BCM ≌△ACN ；②求∠BDE 的度数；(2)当∠ACB =α，其它条件不变时，∠BDE 的度数是 α或180°﹣α (用含α的代数式表示)(3)若△ABC 是等边三角形，AB =3√3，点N 是BC 边上的三等分点，直线ED 与直线BC 交于点F ，请直接写出线段CF 的长．【分析】(1)①根据SAS 证明即可；②想办法证明∠ADE +∠ADB =90°即可；(2)分两种情形讨论求解即可，①如图2中，当点E 在AN 的延长线上时，②如图3中，当点E 在NA 的延长线上时，(3)分两种情形求解即可，①如图4中，当BN =13BC =√3时，作AK ⊥BC 于K ．解直角三角形即可．②如图5中，当CN =13BC =√3时，作AK ⊥BC 于K ，DH ⊥BC 于H ．【解答】(1)①证明：如图1中，∵CA =CB ，BN =AM ，∴CB ﹣BN =CA ﹣AM即CN =CM ，∵∠ACN =∠BCM∴△BCM ≌△ACN ．②解：如图1中，∵△BCM ≌△ACN ，∴∠MBC =∠NAC ，∵EA =ED ，∴∠EAD =∠EDA ，∵AG ∥BC ，∴∠GAC =∠ACB =90°，∠ADB =∠DBC ，∴∠ADB =∠NAC ，∴∠ADB +∠EDA =∠NAC +∠EAD ，∵∠ADB +∠EDA =180°﹣90°=90°，∴∠BDE =90°．(2)解：如图2中，当点E 在AN 的延长线上时，易证：∠CBM =∠ADB =∠CAN ，∠ACB =∠CAD ，∵EA =ED ，∴∠EAD =∠EDA ，∴∠CAN +∠CAD =∠BDE +∠ADB ，∴∠BDE =∠ACB =α．如图3中，当点E 在NA 的延长线上时，易证：∠1+∠2=∠CAN +∠DAC ，∵∠2=∠ADM =∠CBD =∠CAN ，∴∠1=∠CAD =∠ACB =α，∴∠BDE =180°﹣α．综上所述，∠BDE =α或180°﹣α．故答案为α或180°﹣α．(3)解：如图4中，当BN =13BC =√3时，作AK ⊥BC 于K ．∵AD ∥BC ，∴AD BC =AM CM =12， ∴AD =3√32，AC =3√3，易证△ADC 是直角三角形，则四边形ADCK 是矩形，△AKN ≌△DCF ， ∴CF =NK =BK ﹣BN =3√32﹣√3=√32． 如图5中，当CN =13BC =√3时，作AK ⊥BC 于K ，DH ⊥BC 于H ．∵AD ∥BC ，∴AD BC =AM MC=2， ∴AD =6√3，易证△ACD 是直角三角形，由△ACK ∽△CDH ，可得CH =√3AK =9√32， 由△AKN ≌△DHF ，可得KN =FH =√32， ∴CF =CH ﹣FH =4√3．综上所述，CF 的长为√32或4√3．八、解答题(本题12分)25．(12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线C 1：y =ax 2+bx ﹣1经过点A (﹣2，1)和点B (﹣1，﹣1)，抛物线C 2：y =2x 2+x +1，动直线x =t 与抛物线C 1交于点N ，与抛物线C 2交于点M ．(1)求抛物线C 1的表达式；(2)直接用含t 的代数式表示线段MN 的长；(3)当△AMN 是以MN 为直角边的等腰直角三角形时，求t 的值；(4)在(3)的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点K，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q的坐标．【分析】(1)应用待定系数法；(2)把x=t带入函数关系式相减；(3)根据图形分别讨论∠ANM=90°、∠AMN=90°时的情况．(4)根据题意画出满足条件图形，可以找到AN为△KNP对称轴，由对称性找到第一个满足条件Q，再通过延长和圆的对称性找到剩余三个点．利用勾股定理进行计算．【解答】解：(1)∵抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A(﹣2，1)和点B(﹣1，﹣1)∴{1=4a−2b−1−1=a−b−1解得：{a=1b=1∴抛物线C1：解析式为y=x2+x﹣1(2)∵动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M∴点N的纵坐标为t2+t﹣1，点M的纵坐标为2t2+t+1∴MN=(2t2+t+1)﹣(t2+t﹣1)=t2+2(3)共分两种情况①当∠ANM=90°，AN=MN时，由已知N(t，t2+t﹣1)，A(﹣2，1)∴AN=t﹣(﹣2)=t+2∵MN=t2+2∴t2+2=t+2∴t1=0(舍去)，t2=1∴t=1②当∠AMN=90°，AN=MN时，由已知M(t，2t2+t+1)，A(﹣2，1)∴AM=t﹣(﹣2)=t+2，∵MN=t2+2∴t2+2=t+2∴t1=0，t2=1(舍去)∴t=0故t的值为1或0(4)由(3)可知t=1时M位于y轴右侧，根据题意画出示意图如图：第21页（共21页）易得K (0，3)，B 、O 、N 三点共线∵A (﹣2，1)N (1，1)P (0，﹣1)∴点K 、P 关于直线AN 对称设⊙K 与y 轴下方交点为Q 2，则其坐标为(0，2)∴Q 2与点P 关于直线AN 对称∴Q 2是满足条件∠KNQ =∠BNP ．则NQ 2延长线与⊙K 交点Q 1，Q 1、Q 2关于KN 的对称点Q 3、Q 4也满足∠KNQ =∠BNP ． 由图形易得Q 1(﹣1，3)设点Q 3坐标为(a ，b )，由对称性可知Q 3N =NQ 1=BN =2√2 由∵⊙K 半径为1∴{(a −1)2+(b −1)2=(2√2)2a 2+(b −3)2=12解得{a =35b =195，{a =−1b =3 同理，设点Q 4坐标为(a ，b )，由对称性可知Q 4N =NQ 2=NO =√2 ∴{(a −1)2+(b −1)2=(√2)2a 2+(b −3)2=12解得{a =45b =125，{a =0b =2∴满足条件的Q 点坐标为：(0，2)、(﹣1，3)、(35，195)、(45，125)。
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沈阳中考数学试题及答案
一、选择题
1. 以下哪个是方程x + 2 = 5的解：
A) x = 3
B) x = 7
C) x = 6
D) x = 2
答案：A) x = 3
2. 下列哪个是一个整数：
A) 0.7
B) 2/3
C) -5
D) √2
答案：C) -5
3. 下列哪个图形是一个正方形：
A) 四边形WXYZ，其中WX = WY = WZ = 3cm
B) 三角形ABC，其中∠B = 90°，AB = 3cm，BC = 4cm，AC = 5cm
C) 矩形PQRS，其中PS = QR = 4cm，∠P = 90°，∠Q = 90°
D) 梯形MNOP，其中∠N = 90°，∠O = 90°，NO // MP
答案：A) 四边形WXYZ，其中WX = WY = WZ = 3cm
4. 将一个正方形切成相同的两个小正方形，小正方形的边长是原正方形边长的1/3，那么小正方形的面积是原正方形面积的几分之几：
A) 1/2
B) 1/3
C) 1/4
D) 1/9
答案：D) 1/9
5. 若一个三角形两边的长度分别为3cm和5cm，则第三边的长度最小可能是多少：
A) 1cm
B) 2cm
C) 5cm
D) 8cm
答案：B) 2cm
二、解答题
1. 计算以下方程的解：2x + 5 = 13
解：
将方程2x + 5 = 13移项得到2x = 13 - 5，即2x = 8。
再将2x除以2得到x = 4。
所以方程的解为x = 4。
2. 一个正方形的周长是32cm，求它的边长和面积。
解：
正方形的周长等于4倍的边长，所以32 = 4x，其中x代表正方形的边长。
将方程32 = 4x两边除以4得到x = 8。
所以正方形的边长为8cm，面积等于边长的平方，即8^2 = 64cm²。
所以正方形的面积为64cm²。
3. 一辆汽车每小时行驶60km，行驶了4小时后停下来休息，然后再以每小时80km的速度行驶。
求该汽车行驶8小时后的总路程。
解：
在前4小时内，汽车的速度为60km/h，所以总路程为60km/h × 4h = 240km。
在后4小时内，汽车的速度为80km/h，所以总路程为80km/h × 4h = 320km。
所以8小时内汽车的总路程为240km + 320km = 560km。
4. 某个数的1/8等于32，求这个数。
解：
设这个数为x，根据题意可以得到方程x/8 = 32。
将方程两边同时乘以8得到x = 32 × 8，即x = 256。
所以这个数为256。
5. 解方程2x - 7 = 11。
解：
将方程2x - 7 = 11移项得到2x = 11 + 7，即2x = 18。
再将2x除以2得到x = 9。
所以方程的解为x = 9。
以上是沈阳中考数学试题及答案，希望对你有所帮助！。