数学物理方法第十章_格林函数法讲解
=
1 2π
(x
y0 x0 )2
y02
1 π
(x
y0 x0 )2
y02
1 π
(x
y0 x0 )2
y02
代入到拉普拉斯第一边值问题解的公式，拉普拉斯方程的自由 项 ,则由 f 0
u(r0
)
T
G(r,
r0 )
f
(r)dV
(r)
G(r, n
r0
) ]dS
得
因为
T (r)dV 1
T G(r,0)dV T G(r,0)dV S G(r,0) dS
由于
G
G r
er
,G
只是垂直于轴，且向外的分量，所以上式在
圆柱体上、下底的面积分为零，只剩下沿侧面的积分，即
G r
rddz
T
(r)dV
2π
1 S0 f (r0 ) ln | r r0 | dS0
10.4 用电像法确定格林函数
用格林函数法求解的主要困难还在于如何确定格林函数本身 一个具体的定解问题，需要寻找一个合适的格林函数 为了求解的方便，对一些具体问题我们给出构建格林函数的方法
一、电像法定义 考虑一个具体的物理模型：设在一接地导体球内的 M 0 点
故有
S
G r
r2
sin d d
T
G(r , 0)dV
1
使上式恒成立，有 4πr2 G(r,0) 1 r
G(r,0) 1 c 4πr
r ，G 0 因此 c 0 ,故得到
对于三维无界球对称情形的格林函数可以选取为
1 G(r, r0 ) 4π | r r0 |
(x0 , y0 ),(x0 , y0 ) 处放置于一个正和一个负的点电荷（或点源）
构建格林函数为
G(x,
y
|
x0
,
y0
)
1 4π
ln[ ( x (x
x0 x0
)2 )2
( (
y y
y0 y0
)2 )2
]
边界外法线方向为负 y 轴，故有
G n
|
G y
|y0
布．也就是本问题的格林函数，即为
G(r, r0
)
1 2π
ln
|
r
1 r0
|
1 2π
ln
|
r
1
r1
|
1
1
1
G(x, y | x0 , y0 ) 2π ln
ln (x x0 )2 ( y y0 )2 2π
1 ln[ (x x0 )2 ( y y0 )2 ] 4π (x x0 )2 ( y y0 )2
代入
u(r) T0 G(r, r0 ) f (r0 )dV0
得到三维无界区域问题的解为
u(r) 1
4π
T0
|
f r
(r0 ) r0
|
dV0
上式正是我们所熟知的静电场的电势表达式
二、二维轴对称情形
用单位长的圆柱体来代替球．积分在单位长的圆柱体内进行，即
T G(r,0)dV T (r)dV
u( x0 ,
y0 )
y0 π
(x) dx
(x x0 )2 y02
或代入拉普拉斯方程的第一边值问题的解公式
u(r)
(r0
)
G(r, n0
r0
)
]dS0
得到
u(x, y) y
π
(x
g(x0 ) x0 )2
y2 dx0
称为上半平面的拉普拉斯积分公式．
放置一个单位正电荷，求在体内的电势分布，并满足边界条件为零
对于第一类边值问题，其格林函数可定义为下列定解问题的解
G(Gr,(rr0,)r0 )|(r0- r0 )
为了满足边界条件：电势为零，所以还得在边界外像 点（或对称点）放置一个合适的负电荷，这样才能使这两 个电荷在界面上产生的电势之和为零G(r, r0) (r 来自 r0)两边在球内积分
T G(r,0)dV T (r)dV
T (r)dV 1
利用高斯定理得到
T
G(r , 0)dV
T
G(r,0)dV
S
G(r,0) dS
S
G r
r2
sin d d
1 (x x0 )2 ( y y0 )2
据上述物理模型可求解下列定解问题 例1 定解问题：
uxx uyy 0, ( y 0)
u |y0 (x)
解： 根据第一边值问题，构建的格林函数满足
2G Gxx Gyy (x x0 ) ( y y0 ) G |y0 0
10.3 无界空间的格林函数 基本解
无界区域中格林积分公式中的面积分应为零，故有
u(r) T0 G(r, r0 ) f (r0 )dV0
选取 u(r) 和 G(r, r0 ) 分别满足下列方程
u(r) f (r)
G(r, r0) (r - r0)
一、三维球对称
对于三维球对称情形，我们选取 r0 0
三、 泊松方程的第一边值问题求解
例2 定解问题：
uux(xx, 0u)yy
f (x)
(
x,
y)
( <x<+, y 0) ( <x<+, y 0)
根据第一类边值问题的解公式得到
u(x, y)
G(x,
0
y;
x0 ,
y0
)
f
( x0 ,
这方法是基于静电学的镜像原理来构建格林函数，所 以我们称这种构建方法为电像法（也称为镜像法）．
二、 上半平面区域第一边值问题的格林函数构建
拉普拉斯方程的第一边值问题求解
物理模型：若在 M0 (x0, y0 ) 处放置一正单位点电荷
则虚设的负单位点电荷应该在 M1(x0 , y0 )
于是得到这两点电荷在 xoy 的上半平面的电位分
1
选取的圆柱的高度为单位长，则很容易得到下面的结果
G 1 r 2πr
G(r,0) 1 ln 1 c 2π r
令积分常数为0，得到
G(r,0) 1 ln 1 2π r
因此二维轴对称情形的格林函数为
G(r,
r0
)
1 2π
ln
|
r
1
r0
|
得到二维无界区域的解为
u(r) 1
y0 )dx0dy0
(x0 )
G(r, r0 ) n0
|y0 0
dx0
根据半平面区域第一类边值问题的格林函数式，得到
G(x,
y
|
x0 ,
y0 )
1 4π
ln[ ( x (x
数学物理方法第十章 格林函数法
上式给出了泊松方程解的积分表达(biǎodá)，但由于G(M,M0)未知 且不同边值条件也需做进一步的分析。
共二十六页
§10 格林函数(háns
2、泊松方程(fāngchéng)边值问题的积分公式
(A)第一类边界条件 0
由
边界条件变为 u 1 g(M ) f (M )
基本(jīběn)公式变为
这里(zhèlǐ)G就相当于 格林第二公式中的v
(G u u G )d (Gu uG)d
n
n
[u(M ) (M M0 ) G(M , M 0 )h(M )]d
若能由此式化简整理得到u(M),则一定(yīdìng)是方程（1）的解
共二十六页
§10 格林函数(hán
共二十六页
§10 格林函数(hánsh
显然，为了解决这一矛盾，或者修改格林函数所满足的方程
G(M , M0 ) (M M0 )
使之与边界条件
G 相0 容，
n
这就要引入所谓的广义格林函数方程；或者修改边界条件使之
与格林函数所满足的方程相容，这里不再详细讨论。
共二十六页
§10 格林函数(hánsh
(C)第三类边界条件 0, 0
积分变换法：无界区域(qūyù)的定解问题， 解一般为无穷积分
共二十六页
§ 10.1
函数(hánshù)
§10 格林函数(háns
共二十六页
2、定义(dìngyì)
(x)
0
x0 x0
(x)dx 1
更普遍的定义为
§10 格林函数(hánsh
—— 函数
(hánshù)
共二十六页
§10 格林函数(háns
u(M )
数学物理方程——10 格林函数法续
3/ 2
sin θdθdϕ .
12
上午6时53分
数学物理方法
第六章
格林函数法
R u (r0 , θ 0 , ϕ 0 ) = 4π
∫ ∫ (R
0 2
2π
π π
R 2 − r02
2
+ r − 2 Rr0 cos γ
2 0
)
3/ 2
sin θdθdϕ .
其中 cos γ = cos θ cos θ 0 + sin θ sin θ 0 cos(ϕ − ϕ 0 ). θ 特别的，求温度在球的铅垂直径：0 = 0(直径的 上半部分)和θ 0 = π (下半部分)上的分布。 当θ 0 = 0 时，cos γ = cos θ , 故
在球面 Γ上，
∂G ∂G r − r0 cos γ 1 ⎡ |Γ = |r =R = − ⎢ ∂n ∂r 4π ⎢ r02 + r 2 − 2r0 r cos γ ⎣
(
)
3/ 2
⎤ − ⎥ 2 2 2 4 3/ 2 ⎥ r =R r r0 − 2 R r0 r cos γ + R ⎦
(
(rr
2 0
− R 2 r0 cos γ R
∫ ∫
0
2π
π
0
f ( R, θ , ϕ ) ×
R −r
2 2 0 2 0
(4)
其中 cos γ = cos θ cos θ 0 + sin θ sin θ 0 cos(ϕ − ϕ 0 ). 解 这个问题归结为如下定解问题
Δu (r , θ , ϕ ) = 0 (0 < r < R ),
u |r =R =
Γ
(1) (2)
格林函数（ＰＤＦ）
T=0K 的费米子体系的格林函数虽然真实的系统从来也没有达到过零温, 但有很多量对温度并不特别敏感, 特别是低温下. 比如费米子体系, 在远低于费米温度时, 把系统处理为T=0K 是很好的近似.我们常常把系统描述为它的基态加上它的元激发. T=0K 的格林函数就是计算体系的基态和元激发的. 这样的计算适合电子气体和氦3液体.从T=0K 的格林函数中可以得到准粒子的有效质量, 寿命, 以及准粒子之间的散射解面(朗道费米液体理论中相互作用函数).量子统计中的格林函数方法是从粒子物理中处理量子电动力学中费曼—戴逊图形展开方法移植到凝聚态的多体问题中来的. 这个方法是研究有相互作用的多粒子体系的一个基本的强大的工具.;ˆˆˆ0i H H H+=我们知道, 系统的哈密顿量统常可写为如果相互作用部分比较小, 我们可以对它进行微扰展开. 费曼—戴逊图形展开方法就是一种微扰展开的方法. 它在很多问题上取得了很大的成功. 但并非所有问题都能解决. 比如在低能时, 量子色动力学用费曼—戴逊图形展开方法就不行. 再比如, 高温超导中的低掺杂情况, 也不能用微扰论来解决. 不过它是一个理解多体问题的基本框架.t t t a t a >>ΨΨ<+↑↑',|)()'(|00k k T=0K 的格林函数要研究的是形如下式的量这里是系统的基态. 基态动量为零. 上式中表示在时刻在基态上加上一个动量为粒子. 这个态的动量为. 一般地, 它不是系统的本征态.上式是表示时刻, 系统仍然处于这个态的几率. 这个式子是在海森堡绘景中的.0Ψt >Ψ+↑0|)(t a k k k 't 由于并不是系统的本征态, 原则上它可以用系统的总动量为的本征态来展开, 这些本征态的数量是非常巨大的, 而且能量是不同的. 这一点可以用经典粒子系统的类比来理解, 总动量为的组合方式有无限多种, 不同的组合方式动能和势能是不同的. 那么, 这个态可以展开为>Ψ+↑0|)(t a k k k ∑>Ψ>=Ψ+↑ii i c t a k k ||)(0>Ψi k |这里是总动量为的系统的本征态. 到时刻, 这个态演化为k 't )'(0||)'(t t iE ii i i ec t a −−+↑∑>Ψ>=Ψk k ∑−+↑↑>=ΨΨ<it t iE i i i ec c t a t a )'(*00|)()'(|k k 't 时刻, 系统仍然处于这个态的几率准粒子及其寿命>Ψ+↑0|)(t a k);(E c c i →由于这些本征态的数量巨大, 能量可以处理为连续化的, 也就是有∫∑∞∞−−−→dEeE D E c ec c t t iE it t iE i i i )'(2)'(*)(|)(|如果展开系数分布很宽, 比如constE D E c =)(|)(|2我们马上得到)'(2)'(t t dE et t iE −=∫∞∞−−πδ这是说马上系统就不处于开始的态上了.>Ψ+↑0|)(t a k 如果展开系数分布很窄, 比如)'()(|)(|2E E E D E c −=δ我们马上得到)'(')'()'(t t iE t t iE edE eE E −∞∞−−=−∫δ这是说系统以后永远呆在开始的态上了.>Ψ+↑0|)(t a k 如果展开系数分布为1222])'([)(|)(|−−+Δ=E E E D E c 则有)')('()'(1222])'([t t i E i t t iE ei dE eE E −Δ+∞∞−−−=−+Δ∫π也就是说, 这个几率随时间衰减, 寿命为. Δ=/1τ以上讨论其实是把海森堡的不确定性关系具体化了.洛仑兹分布这里的讨论其实很具一般性,适用于所有寿命有限的粒子.能量分布有宽度,寿命就有限.在时, 粒子之间无相互作用, ,以后随着时间的消逝相互作用缓慢地增长, 在时, 增加到实际大小, 这时系统达到真正的基态−∞→t >Φ>=−∞→Ψ0|)(|t I 0=t >Φ−∞>=−∞Ψ−∞>=Ψ00|),0(ˆ)(|),0(ˆ|U UI H此后, 当时, 再让相互作用缓慢地趋于零,,∞→t>Φ>≡Φ−∞∞>=Ψ∞000|ˆ|),(ˆ|)0,(ˆS UU H 这样就有iL H e U−>Φ∞>=Ψ00|)0,(ˆ|>Φ>=Φ−00||ˆiL e S系统又回到无相互作用的基态, 至多差一个相位因子绝热假设。
格林函数方法
给定，
（1）V内有电荷分布
求V内
相应格林函数问题
在S上）
常数（
（2）
只要知道
和
，即可马上得到
（1） 的求解本身也不是一件很容易的事情。一般只有区域几何形状规则、简单才容易求解。电象法是求解格林函数的有效方法之一。
3．格林函数方法求解讨论
（2）格林函数方法也可用来解拉普拉斯方程的边值问题。由
本节仅研究泊松方程解的格林函数方法。 它与点电荷解的边值相关，但可以解静电学的许多边值问题。 设V内电荷分布 已知，
—— 第一边值问题
① 给定V边界
求V内各点电势值。
本节内容不作考试要求。格林函数方法在求解静电场的某些问题中非常有用，而且在理论物理的研究中是很重要的工具。
—— 第一类边值问题
—— 第二类边值问题
（1）无界空间中的格林函数
的距离
到
球坐标中
（偶函数）
显然满足点电荷泊松方程。
（2）上半空间的格林函数
（3）球外空间的格林函数
设点电荷Q = 1 坐标为
观察点为
（
相当于题中的 a ）
设假想点电荷在
，它的坐标为
（它在
连线上，题中b对应这里的
）
∵
三、用格林函数求解一般的边值问题
一、点电荷密度的
函数表示
处于
点上的单位点电荷的密度
[一般
]
2．常用公式
点电荷的泊松方程：设电势为
单位点电荷产生的电势
空间区域V上的边界条件
或
常数
格林函数的对称性
（偶函数）
对于静电场的点电荷问题
称为静电场的格林函数
（
格林函数方法
格林函数方法
1、格林函数
格林函数（Green's function）是指由著名数学家.格林（Green）提出的数学方法，它是一种可以求解各种微分方程的技术。
格林函数的定义是对于任意给定的初值问题，在区间上的解的和等于给定的数值13。
其用法主要有两种：一种是用于求解某些有定型的初值问题；另一种是求解某些微分方程的积分解。
格林函数的结果可以用来解决复杂的初值问题和理解复杂的微分方程以及系统的时间变化。
2、格林函数的原理
格林函数可以用来解决一类有特定初值条件的常微分方程组。
它的原理是基于一种叫做拉普拉斯变换（Laplacetransform）的数学变换理论，它是一种将微分方程组变换成求积分方程组的方法，从而可以使原本困难的初值问题变得容易解决，其在解决物理学中不变解中特别有用。
3、格林函数的计算
对于特定的初值条件，可以使用格林函数计算出拉普拉斯变换得到的积分方程的结果，从而计算得到解析解。
计算过程比较复杂，需要用到积分变换和methods。
总之，格林函数是一种可以求解复杂常微分方程的有效数学方法，它基于拉普拉斯变换的原理，对于特定的初值问题，运用格林函数，可以计算出相应的解析解。
格林函数及其应用课件
有限差分法
01
有限差分法是将微分方程或积分 方程转化为差分方程，然后求解 差分方程得到格林函数的数值解 。
02
有限差分法适用于求解偏微分方 程，特别是对于具有周期性或对 称性的问题，有限差分法可以大 大简化计算过程。
有限元法
有限元法是将微分方程或积分方程转化为有限元方程，然后求解有限元方程得到 格林函数的数值解。
对于某些领域，需要高精度的格林函数来保证计 算的准确性。
未来格林函数研究的方向与展望
算法优化
寻求更高效、稳定的算法来计算格林函数。
多领域交叉
加强与其他领域的合作，拓展格林函数的应用范围。
数值稳定性
研究如何提高格林函数计算的数值稳定性。
感谢观看
THANKS
量子力学散射问题的格林函数计算
总结词
介绍了量子力学散射问题中格林函数的 计算方法，以及其在散射理论中的应用 。
VS
详细描述
在量子力学中，格林函数用于描述粒子在 相互作用下的运动行为。通过计算格林函 数，可以研究粒子在散射过程中的能量和 动量变化，进一步理解物质的微观结构和 相互作用机制。
流体动力学波动问题的格林函数计算
工程学
在电路分析、控制理论和信号 处理等领域有广泛应用。
生物学
用于研究神经网络的传播和扩 散过程。
金融学
用于描述资产价格波动和风险 评估。
当前格林函数计算中存在的问题与挑战
高维问题
随着问题维度的增加，格林函数的计算变得极为 复杂。
不适定性
在实际应用中，格林函数的求解可能存在数值不 稳定性。
精度要求
有限元法适用于求解复杂的偏微分方程，特别是对于具有复杂边界条件的问题， 有限元法可以更好地处理边界条件。
格林函数法
通过格林公式，把静电边值问题与相应的格林 函数问题联系起来。 一般的处理方法，在物理学领域有着非常广泛 的应用
3
本节主要内容： 1. 格林函数——对应于给定问题的单位点源
的电势解； 2. 格林函数与泊松方程的解之间的关系； 3. 几种简单边界问题的格林函数形式。
10/20/2014
§5 格林函数法
1
几种方法的比较
1. 镜像法只适用于比较简单（点电荷）问题； 2. 分离变量法是精确求解的方法：除了几个高对
称的边界问题以外，一些实际问题往往难以求 解； 3. 多极展开法只适用于求远处的场（最后一节）； 4. 格林函数方法
2
1
10/20/2014
格林函数方法： Green函数本身实际上是对应于给定问题所对
4
2
10/20/2014
几个基本公式：Ñ
1 r
=
-
r r3
,
高斯定理：
ò
E
×
dS
=
1 e0
i
Qi
空间一个单位点电荷的电场： E
=
4
1 e0
r r3
若点电荷处于闭合积分面内：
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
格林函数法PPT课件
练习
利用三维调和方程的基本解，试求三维双调和方程的基本解
Δ2U x x0, y y0, z z0
第22页/共160页
解
以固定点M0为原点，建立球坐标，并假设U与θ,φ无关。若U满足
ΔU
1 r2
d dr
r 2
dU dr
1 4πr
,
则必满足
r0
Δ2U 0, r 0
设未知函数表达式为
考虑到基本解在 r = 0 处应具有奇异性，取 A = 0。为进一步确定B值，对式（2） 两边进行面积分得
ΔUd x x0, y y0 d 1
D
D
利用格林公式，有
ΔUd
D
C
U ds n
1
第16页/共160页
取边界C为圆周， 其半径为 r ，则有
C
U n
ds
C
U r
ds
C
Bds r
2B
所以
B 1 2π
y M1(x0,y0,-z0)
第34页/共160页
应用举例
下面利用半空间格林函数给出定解问题
Δu 3u f,
z0 z0
解的积分表达式。
第35页/共160页
首先计算边界上的方向导数
G
M;M
0
1 4πrMM
0
1 4πrMM1
G G
n z0
z z0
1 4π
z z0
r
3
MM
0
z z0 r3
将上二式两边相减得第二格林公式
uΔv - vΔudV
S
u
v n
v
u n
dS
（4）
第3页/共160页
数学物理方程第10讲 格林函数法 叶葱
M(x,y,z)
v u (u v u)dV (u n v n )ds
现在的问题是， V(x,y,z)不包含M0这一点！！！！ 所以运用公式时我们要挖去M0点（奇异点）
如何去除M0点？？
最简单的，以M0为中心， ɛ 为半径作一个球面， 球面为Ƭɛ,球体积为Kɛ,挖去这样一个球。
1 u(M 0 ) 4 1 rMM 0 n 1 u ( M ) )ds rMM 0 n
(u(M )
我们要求区域内一点M0处的u， 要知道这个函数在区域边界Ƭ上的值 以及在Ƭ上的法向导数的值
1 r 1 u )ds 4u 4 ( u ) 0 根据 (u n r n n
0, lim u u(M 0 )
1 u(M 0 ) 4 1 rMM 0 n 1 u ( M ) )ds rMM 0 n
(u(M )
调和函数的积分表达式
M0(x0,y0,z0)
M(x,y,z)
考虑球面Ƭɛ上，即M点在球面，此时r=ɛ
1 1 r r 1 1 n r r2 2
1 r ds 1 u n 2
uds r 1 u )ds ? (u n r n
2 2
第二格林公式
现在我们求解u（x，y，z）
u0
2
Dirichlet 问题
u
f ( x, y , z )
求出调和函数 的积分表达式
首先构造一个辅助函数
M0(x0,y0,z0) r
M(X,Y,Z)
1 1 v( x, y, z) 2 2 2 r ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )
《格林函数方法》课件
04
格林函数在工程问题中的应用
流体动力学问题
流体力学中的波动和散射问题
格林函数方法可以用于求解流体力学中的波动和散射问题， 例如声波在流体中的传播、波动在管道中的传播等。
流体动力学中的边界层问题
格林函数方法可以用于求解流体力学中的边界层问题，例如 流体在固体表面流动时的速度分布、温度分布等问题。
格林函数方法的优点
精确度高
格林函数方法基于严格的数学推导，能够精 确地描述物理系统的响应。
适用范围广
该方法不仅适用于线性系统，也适用于非线 性系统，具有较强的通用性。
易于实现
格林函数具有明确的物理意义，计算过程相 对简单，易于编程实现。
可扩展性强
通过引入更多的格林函数，可以处理更复杂 的物理问题。
弹性力学问题
总结词
格林函数在弹性力学问题中也有着重要的应用，它可以帮助我们求解弹性波的传播和散射问题。
详细描述
在弹性力学问题中，格林函数可以用于描述弹性波的传播和散射过程。通过求解格林函数，我们可以得到弹性波 在各种不同介质中的传播规律和散射特性，这对于地震探测、声波传播、振动控制等领域有着重要的应用价值。
格林函数方法的缺点
计算量大
对于大规模系统，需要计算的格林函数数量较多，计算量较大。
对初值敏感
某些情况下，初值的选择对计算结果影响较大，需要仔细选择。
对噪声敏感
在数据中存在噪声时，格林函数方法可能会受到影响，导致结果失真。
对边界条件敏感
边界条件的设定对格林函数的计算结果有较大影响，需要谨慎处理。
格林函数方法的未来发展前景
03
格林函数在物理问题中的应用
电磁场问题
总结词
格林函数在电磁场问题中有着广泛的应用，它可以帮助我们求解电磁场中的散射 和辐射问题。