初中数学一题多变、一题多解
CBAS2S3S1CBAS3S2S1S3S2S1CBA一题多解、一题多变
原题条件或结论的变化
所谓条件或结论的变化，就是对某一问题的条件或结论进行变化探讨，并针对问题的内涵与外延进行深入与拓展，从而得到一类变式题组。通过对问题的分析解决，使我们掌握某类问题的题型结构，深入认识问题的本质，提高解题能力。
例1 求证：顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。
变式1 求证：顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形。
变式2 求证：顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形。
变式3 求证：顺次连接正方形各边中点所得的四边形是正方形。
变式4 顺次连接什么四边形各边中点可以得到平行四边形？
变式5 顺次连接什么四边形各边中点可以得到矩形？
变式6 顺次连接什么四边形各边中点可以得到菱形？
……
通过这样一系列变式训练，使学生充分掌握了四边形这一章节所有基础知识和基本概念，强化沟通了常见特殊四边形的性质定理、判定定理、三角形中位线定理等，极大地拓展了学生的解题思路，活跃了思维，激发了兴趣。
一、几何图形形状的变化
如图1，分别以RtABC的三边为边向外作三个正方形，其面积分别为321SSS、、，则321SSS、、之间的关系是
图1 图2 图3
ES3S2S1DCBAS3S2S1ABCDABCDS3S2S1变式1：如图2，如果以RtABC的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别为321SSS、、，则321SSS、、之间的关系是
变式2：如图3，如果以RtABC的三边为边向外作三个正三角形，其面积分别为321SSS、、，则321SSS、、之间的关系是
变式3：如果以RtABC的三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别为321SSS、、，为使321SSS、、之间仍具有上述这种关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论。
,2,90,//,44321321SSSSSSBCABDAABDCBCDADCDCABABCD、、，则、、，其面积分别为为边向梯形外作正方形、、分别以且中，梯形：如图变式之间的关系是
图4 图5 图6
,2,90,//,55321321SSSSSSBCABDAABDCBCDADCDCABABCD、、，则、、形，其面积分别为为边向梯形外作正三角、、分别以且中，梯形：如图变式之间的关系是
,2,90,//,66321321SSSSSSBCABDAABDCBCDADCDCABABCD、、，则、、，其面积分别为为直径向梯形外作半圆、、分别以且中，梯形：如图变式之间的关系是
上述题组设置由易到难，层次分明，把学生的思维逐渐引向深入。这样的安排不仅使学生复习了勾股定理，又在逐渐深入的问题中品尝到成功的喜悦；既掌握了基础知识，也充分认识了问题的本质，可谓是一举两得。
二、图形内部结构的变化
例2.已知：如图7，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形。
QPNMCBA求证：AN=BM
图7 图8
MCBACNCBCNACMCCBNACM,,是等边三角形和证明：
ACN≌MCB
BMAN
变式1：在例2中，连接DE，求证：（1）DCE是等边三角形（2）DE//AB
分析：(1)可证ADC≌MEC，则DC=EC,因为∠DCE=60,所以DCE是等边三角形。
(2)由（1）易证∠EDC=∠ACM=60,所以DE//AB
变式2：例2中，连接CF，求证：CF平分∠AFB
分析：过点C作CG⊥AN于G,CH⊥BM于H,由ACN≌MCB，可得到CG=CH,
所以CF平分∠AFB
变式3：如图8，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形，P是AN的中点，Q是BM的中点，求证：CPQ是等边三角形
证明：ACN≌MCB
BMAN,ANCABM
的中点、分别是、又BMANQP
BCQ≌PNC
是等边三角形CPQ60NCBNCQBCQNCQNCPPCQNCPBCQCP,CQ NMFEDCBA
图7是一个很常见的图形，其中蕴含着很多的关系式，此题还可
适当引导学生探索当点C不在线段AB上时所产生的图形中的一些结论，通过该题的变式训练，让学生利用自己已有的知识去探索、猜想，进而培养了学生思维的创造性。
三、因某一基本问题迁移的变化
例4如图9，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，问泵站修在什么地方使所用的输气管线最短？ 图9
分析：设泵站应建在P处。取点B关于L的对称点B’,如图1，PB’=PB,要使PA+PB最小只要PB’+PA最小，而两点之间距离最短，连接AB’与L的交点P即是泵站所建的位置。本题特点：一直线同旁有两定点，关键要在直线上确定动点的位置，使动点到定
点的距离之和最短，我们常常把这类问题称作“泵站问题”。
变式1：如图2，在ABC中，AC=BC=2,∠ACB=90,D是BC的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是
图2
解：C、D是两定点，E是在直线AB上移动的一动点，以CA、CB为边作正方形ACBF，则C关于AB的对称点一定是F,连接DF交AB于E,这时EC+ED最小。因为D是BC的中点，在直角三角形FBD中，
5122222BFBDDFEFEDEDEC.
变式2：如图3，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一动点，M、N分别是AB、BC边上的中点，则PM+PN的最小值
分析：M、N是两定点，P是在直线AC上移动的一动点，作N关于AC的对称点G，由于四边形ABCD是菱形，所以G一定在DC上，且为DC的中点，连接MG交AC于P,四边形AMGD为平行四边形，连接PM、PLB'BAGNMPDCBAFEDCBA
PN，则PM+PN最小，PM+PN=PM+PG=MG=BC=1
变式3：如图，梯形ABCD中，AD//BC,AB=CD=AD=1, ∠B=60,直线MN为梯形的对称轴，P为MN上一点，那么PC+PD的最小值为
解:C、D是两定点，P是直线MN上一动点，因为图形ABCD中，AD//BC,AB=CD=AD=1,所以四边形ABCD为等腰梯形，而直线MN为梯形ABCD的对称轴，则D关于MN的对称点是A点，连接AC交MN于点P,连接PD,则有PA=PD,要使PC+PD的值最小，就要使PA+PC最小，所以PC+PD=PA+PC=AC,因为∠B=60，可证得ABC为直角三角形，AC=ABtan∠B=1tan60=3,则PC+PD
的最小值为3.
变式4：如图，已知⊙O的半径为r , C、D是直径AB同侧圆周上的两点，弧 AC的度数为96，弧 BD的度数为36,动点P在AB上，则CP+PD的最小值为
解：如图，设D’是D关于直径AB的对称点，连接CD’交AB于P，则P点使CP+PD最小。
弧CD的度数为483696180，弧CD’的度数为120，
所以∠COD’=120,从而易求CP+PD=CD’=r3,所以CP+PD的最小值为r3.
本例利用“泵站问题”进行迁移变式，逐步探究了几种常见的图形中两条线段之和最短问题，这样有利于学生解题思想方法的形成、巩固，达到了透彻理解该基本问题的目的。 PNMDCBAOPD'DCBA
一题多解与一题多变拓展学生思维能力的尝试
-055-2021年第35期（总第287期
）一题多解与一题多变是培养学生掌握数学方法的有效途径，也是培养学生发散思维能力的方式之一。在数学学习中，有些问题的综合性较强，数量关系较多，这就会出现一题多解与一题多变的现象。有些题目可以通过多种途径得到解答，正所谓“殊途同归”。在处理这类题目时，学生如果能够准确理解条件，正确运用各种数量关系，通过多种途径解决问题，做到一题多解，有利于培养他们分析问题的能力，解决问题的能力，锻炼发散思维能力。而一题多变，可以使学生对简单的问题进行多方位、多角度的探索尝试，在这一基础上，让学生提升解决更多新问题，进而拓展学生思维能力。下面通过一个例题来说明笔者的一些尝试。一、一题多解拓展学生思维能力的尝试例题 如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A（－1，0）、B（3，0），与y轴交于C（0，3）。（1）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式。（2）P为直线BC上方的抛物线上的一个动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标，并求出△PBC的最大面积。分析：（1）抛物线的解析式有三种形式：一般式、交点式、顶点式。本题中，已知抛物线所过三点坐标，因此可以用一般式的方法；因为所过三点中的A、B两点是抛物线与x轴的交点，因此还可以运用交点式的方法。（1）方法一：用一般式 a－b＋c＝
0解：根据题意得 9a＋3b＋c＝0 c＝3 a＝－
1 ∴
b＝2
c＝3
∴ y＝－
x2＋
2x＋
3方法二：用交点式解：设抛物线的解析式为y＝a（x＋1）（x－3）,则a（0＋1）（0－3）＝ 3，∴a ＝－1∴y＝－（x＋1）（x－3）∴y＝－x2＋2x＋3（2）方法一：利用S△PBC＝S梯形ONPC＋S△NPB－S△BOC来求△PBC的面积，再利用函数性质求最大值。解：如图2，设P（x，－x2＋2x＋3），过P作PN⊥x轴于点N，则点N（x，0）。设△PBC的为面积S，则S＝ [3＋（－x2＋2x＋3）] x＋ （3－x）（－x2＋2x＋3）－ ·3·3，即S＝－ x2＋ x（0＜x＜3）。∵－ ＜0，∴S有最大值。 方法二：利用S△PBC＝S△POC＋S△POB－S△BOC来求△PBC的面积，再利用函数性质求最大值。解：如图3，设P （x， －x2＋2x＋3），连接OP。设△PBC的面积为S，则S＝ ·3·x＋ ·3·（－x2＋2x＋3）－ ·3·3，即S＝－ x2＋ x（0＜x＜3），（以下同方法一）。方法三：△PBC面积最大时，点P为直线BC向上平移到与抛物线相切时的切点。解：如图4，直线BC的解析式为y＝－x＋3，向上平移后解析式设为y＝－x＋3＋m，当直线BC与抛物线相切时△PBC面积最大。 y＝－x2＋2x＋3 y＝－x＋3＋m 有两个相等的实数解当x＝ 时 ，S有最大值，S最大＝ ，此时点P坐标为（ ， ）。摘 要：文章主要尝试通过一题多解与一题多变拓展学生思维能力，首先对一题多解与一题多变拓展学生思维能力问题的必要性、可行性、意义进行了梳理，然后结合中考模拟题进行了一题多解与一题多变练习的思路详解，最后对一题多解与一题多变拓展学生思维能力的尝试进行了简单总结。关键词：一题多解；一题多变；拓展思维能力 中图分类号：G633.6文献标识码：A褚领群（河北省行唐县第二中学，河北 石家庄 050600）一题多解与一题多变拓展学生思维能力的尝试
数学课堂巧用一题多变
数学课堂巧用一题多变
一、多变的题目精心设计
在数学课堂上，教师可以通过巧妙设计题目的方式，使原本单一的数学题目变得多变且富有趣味性。在教学求解一元一次方程的过程中，可以设计多个题目让学生练习。可以设计如下几个题目：
1. 2x + 3 = 7
2. 3x - 5 = 16
3. 4x + 2 = 10
4. 5x - 7 = 3
以上四道题目都是求解一元一次方程，但是通过巧妙的设计，可以使每道题目的解题思路不同，从而增加学生的练习和思考。这样的题目设计不仅能够提高学生的兴趣，还可以锻炼学生的解题能力和思维灵活性。
二、不同题型的变换
在解题的过程中，教师可以通过变换题型，让学生对同一道题目进行多种解法的探索和思考。以一元一次方程为例，可以通过变换题型让学生学习和掌握不同的解题方法。可以将原有的一元一次方程改编成以下几种不同的题型：
通过这种变换题型的方式，学生可以对同一道题目进行多种解法的思考，从而提高解题的灵活性和综合运用能力。这样的教学方法也可以启发学生的思维，让学生从不同的角度去思考和理解数学问题。
三、巧用实际问题
在数学课堂上，教师可以巧妙地利用一题多变的方法，将数学与实际问题相结合，从而增加学生的学习兴趣。教师可以通过给学生提供不同的实际问题，让学生运用数学知识进行解答。可以设计如下几种实际问题：
1. 有一家超市正在搞活动，某种商品原价15元/件，现在打八五折出售，如果小明购买了5件，他一共需要支付多少钱？
2. 小张骑自行车去旅游，第一天骑行了60公里，第二天骑行了80公里，如果他要骑行的总距离是300公里，他还需要骑行多少公里才能到达目的地？ 3. 小李在做一道数学题，题目是a×(b-c)，其中a=5，b=8，c=3，求这个数学式的值是多少？
四、启发性衍生
初中数学一题多变举一反三培养学生融会贯通能力
锄 羧 晦谚 教学方法 孽一题 变番一庞 鹰豢等 融金纛 链 ◎沈斌 （江苏省常州市金坛区第三中学，江苏 常州 ２１３２００） 【摘要】在初中数学的教学过程中，要以素质教育为宗 旨和原则，培养学生的创新、创造能力和思维，教师要借助 于不同类型的数学习题，引导和启迪学生的数学发散思维， 使学生在数学习题的变化之中，感悟和抓住数学习题内在 线索，做到数学学习过程中的举一反三，更好地通过一题多 变的练习，增强对数学知识的巩固和融会贯通的能力，提升 学生对数学问题的思考和解决能力． 【关键词】初中数学；一题多变；举一反三；融会贯通 市玎中数学是相对抽象的知识内容，为了更好地让初中 生理解和熟练应用初中数学知识，需要借助于一题多变的 习题训练方式，培养学生灵活解答数学习题的技巧和能力， 使其能够将初中数学知识灵活自如地应用＝ｒ变化习题的解 答之中，做Ｎｘ，ｔ数学习题解答的举一反三、融会贯通，更好 地巩固和提升学生对数学知识的理解能力和创新能力．下 面笔者就来谈一下如何在初中数学教学中通过一题多变、 举一反ｉ来提高学生对知识融会贯通的能力． 一、通过一题多变，整理初中数学知识的内在线索和关 联性 在初中数学课堂的习题练习过程中，教师要通过一题 多变的方式和策略，使学生在一题多变的练习中，梳理和明 晰数学知识内在的线索，了解其中隐含的关联性，在一题多 变的练习中，形成对数学知识的“顿悟”和内化，获得数学基 础知识的理解能力，并由此获得对数学一题多变习题的解 题技巧．由于一些初中数学题型看似复杂多样，然而究其实 质是殊途同归，具有内在的关联性，教师要引领学生在一题 多变的习题训练中，牵出一题多变习题中的线索，寻找到其 中的关联性，从而能够做到举一反三、融会贯通．提升数学 解题能力和技巧． 例如，在下述题型之中，已知二次函数的图像中有 ４， Ｂ，ｃ三个点，这三个点的坐标是已知的，它们分别为Ａ（一１， ２），Ｂ（２，０，，Ｃ（０，２）．请根据上述已知条件，求解这个二次 函数的解析式． 这是一个极其典型的初中函数习题类型，它可以产生 多种不同的解题方式（可以用一般式，也可以用顶点式求 解），具有极其灵活的变化特征．为此，教师要使学生能够熟 练地、牢固地掌握这一相关题型的解题技巧和方式，通过对 题型的灵活变通，增强学生对初中数学函数知识的理解和 解析．上述习题类型可以进行如下灵活的变通：①依次连接 ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ．则ＡＡＢＣ的面积是多少？②在抛物线的对称轴 上是否存在一点Ｐ，使得△ＰＢＣ的周长最小，求出点Ｐ的坐 标？③在线段ＡＢ的上方的抛物线上是否存在一点 ，使 得△ＡＭＢ的面积最大？若存在，请求出点Ｍ的坐标，若不 存在，请说明理由． 由上可见，初中数学函数知识具有灵活的变通方式，一 道题目可以关联出很多道问题．教师要让学生掌握内在的 关联性，牢固把握基本的数学知识关键点，教师要适时点拨 和引导，通过对不同题型的比较，可以更好更快地解决数学 问题，锻炼了学生的思维能力，提升了他们的数学素养． 二、通过一题多变。培养学生的深度探究思维 在初中数学教学中，可以通过一题多变、一题多问的方 式，促进学生形成数学解题创新思维，在深人探究一题多变 的习题之下，更为有效地掌握初中数学知识，培养举一反 三、融会贯通的数学思维能力． 例如，已知Ａ（。，ｂ）， （ｍ，ｎ）两点在二次函数Ｙ＝３ｘ ＋ ５的图像 ．①若０＜ｏ＜ｍ，则ｂ与ｎ的大小关系如何？ ②若ｆ。ｆ．Ｉｍｌ，则６与ｎ的大小关系如何？③若Ⅱ＜ｍ，则 ｂ与ｎ的大小关系如何？ 上述问题展示出一题多问的特点，通过问题的设置，培 养了学生分析问题的能力，学会用分类讨论的思想解决问 题．教师在教学时要培养学生的灵活变通能力，突破固化的 问题思维模式和状态，要能够对变通的问题进行思考和解 答，而不会被…题多问的变化所难倒． 三、通过初中数学一题多变。培养学生的数学思维迁移 能力 在初中数学的一题多变中，可以通过对数学知识点的 引申，可以使学生更为深入地挖掘数学知识的深层内容，并 获得数学思维的迁移能力和意识，更好地拓展学生的数学 思维深度和广度．通过对一题多变的习题训练策略，可以增 强学生对数学知识点的深入理解，并逐步训练由特殊到一 般的思维过程，提升数学解题技巧． 教师可以将题型加以多种方式的包装，可以让学生在 反复的运用过程中，实现数学思维的迁移．如，（１）全班有 ５０名学生，同学之间相互握手一次，那么，这个班级之中一 共握手多少次？（２）在Ａ和 两个站点之中，一共有６个休 息点，试问，在不同的站点之间需要不同的车票，那么在Ａ 和 两个站点之间需要多少种不同的车票？这两道题目尽 管看似毫无关联性，然而却有共同的数学知识点内容．教师 可以通过这些系列化的数学题式，实现对知识点和数学原 理的巩固和知识的迁移，更好地提升学生的数学知识举一 反三的能力． 四、结束语 在初中数学教学实践之中，教师要通过灵活变通式的 教学策略和方法，考查相关的、类似的题型，并设计灵活变 通的数学问题，帮助学生更好地理解初中数学知识的重点 和难点，牢固扎实地掌握数学知识的解题技巧，寻求最为快 速而准确的解题方式，通过对数学知识点的引申，挖掘出一 题多变中的隐藏知识点内容，从而培养学生灵活的数学思 维能力，获得数学知识的深度探究能力和知识迁移能力，在 举一反三、融会贯通的数学一题多变中，提升初中数学教学 的效率． 【参考文献】 ［１］宋扬．“因式分解的基本方法与技巧”教学要领 ［Ｊ］．语数外学习（初中版中旬），２０１３（ｏ９）：１７—１８． ［２］张林泉．大学生数学学习态度的实证研究［Ｊ］．当代 教育论坛（管理研究），２０１１（０６）：８９—９０． ［３］张艳玉．是“亮点”，还是“败笔”——由一道“一题多 解”数学题教学引发的思考［Ｊ］．数学教学通讯，２０１１（１５）：４１． 数学学习与研究２０１７ １４ ．融。
例析初中数学教学中的一题多变
考试周刊２０１３年第１３期
例析初中数学教学中的一题多变
詹玉旁
（丹阳市第九中学，江苏丹阳２１２３００）
一题多变，就是对某一问题的引申和拓展．通过增加问题 背景．提高发散程度，使问题不局限于某一框架之中，不受定
势思维的束缚。对一题变出的多个题目．学生通过多角度、多 侧面的探求．使自己在变化的相互比较中，思维能力迅速提
高。课本中的不少题目看似平常，实际上却蕴藏着极其丰富的
外延和内涵。教学中，如对这些命题进行变换和延伸．诱导学 生从多角度、多方面、多层次探索和联想，进行一题多变训练．
不仅会增加学生的知识信息获取量．加深对原题的理解，而且
能在“改变”中激活学生的思维广阔性、探究性和创造性．潜化
创新意识，培养创新能力，兹举例如下。
一、新授课中的“一题多变”
新授课应从情景导入，以问题为基础．层层展开变式进行
拓广，体现发散思维的横向拓广式、纵向深入式、多向联合式
的思维展开方式。充分调动和发挥学生的主体性、主动性、独
立性和体验性。转变学习方式，提高学生乐于动手、勤于实践 的兴趣，培养学生的创新精神，增强学生的实践能力。新授课
时让学生掌握知识就一定要讲例题，而讲例题时正是一题多
变大展身手的大好时机。
例如：在八年级下册讲到相似三角形时，就可以在例题中 改变一些线段的大小和位置，把一个证明相似三角形的问
题转化为证明全等三角形的问题，使知识产生纵向迁移。
而在代数中这种变化更能得到完美的体现。尤其是在讲
应用题的时候。将题设和未知交换位置是最为常用的一种手
段。在行程类问题中有“速度Ｚ时间＝路程”，知道其中两个条件 就能得到第三个。因为这个公式的变形都是成立的。在新授课
中，如果能把一个习题进行多次相关变形，使所学发生横向、
纵向迁移，这对学生掌握知识有很大的帮助。
新课程改革要求教师要注重对学生动手能力．创新能力．
独立思考能力，以及自主学习能力的培养。而一题多变在教学 中的应用正好体现了新课改的要求。它不仅要求教师在教的
“一题多解与一题多变”在培养学生发散思维能力中的应用-最新文档
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“一题多解与一题多变”在培养学生发散思维能力中的应用
引言：在数学教学中，常用一题多解、一题多变的方法开拓学生的思路，克服思维定势，培养发散性思维的创造性能力。所谓“一题多解”，就是尽可能用多种例外方法去解决同一道题，更严重的是可以培养学生的思考能力和创造能力。所谓“一题多变”就是指一个题目反复变换，有利于扩大学生的视野，从而提高解题能力，更能激发学生学习的兴趣，增强求知欲。
一、利用一题多解训练学生的思维能力
发散思维是从同一来源材料中探求例外答案的思维过程，培养这种思维能力，有利于提高学生学习的主动性和创新性等。通过一题多解，引导学生就例外的角度、例外的观点审视分析同一题中的数量关系，用例外解法求得相同结果，可以激发学生去发现和去创造的强烈欲望，训练学生对数学思想和数学方法的熟练运用，从而培养学生的思维品质，发展学生的创造性思维。
二、利用一题多变培养学生的广漠思维
提高学生综合分析能力是帮助学生解答应用题的严重教学手段。
通过“一题多变”的练习可以达到这一目的。在习题课教学过程中，通过一题多解的表现形式对于培养学生数学兴趣和培养发散性思维的创造能力等起着不可估量的作用。即通过对习题的题设或结论进行变换，而对同一个问题从多个角度来研究。这种训练可以增强学生解题的应变能力，培养思维的广漠性和深刻性，从而培养创新思维的品质。
三、在例题讲解中运用一题多解和一题多变
（一）在例题讲解中运用一题多解
一题多解，一道数学题，因思考的角度例外可得到多种例外的思路，广漠寻求多种解法，提高学生分析问题的能力。一题多变，对一道数学题或联想，可以得到一系列新的题目，积极开展多种变式题的求解，有助于增强学生面对新问题敢于联想分析予以解决的意识。
下面仅举一例进行一题多解和一题多变来说明：
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例：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范围。
解答此题的方法比较多，下面给出几种多见的思想方法，以作示例。
浅谈数学中的一题多解与一题多变
浅谈数学中的一题多解与一题多变
发表时间：2019-12-13T18:03:02.603Z 来源：《中小学教育》2020年第392期 作者： 董利杰
[导读] 新课程标准明确指出, 课堂教学要突出学生的主体地位, 考虑学生的身心发展规律。
山东省淄博市临淄区边河中学 255400
摘 要：新课程标准明确指出, 课堂教学要突出学生的主体地位, 考虑学生的身心发展规律。在数学教学中采用一题多解与一题多变的思想方法, 一题多解与一题多变的变式在教学之中, 往往起到一座桥的作用, 在最近发展区能把学生从已知的彼岸渡到未知的彼岸, 有利于学
生提高解决综合问题的能力。
关键词：数学 一题多解 一题多变
数学, 是一门自然学科, 同时也是一门逻辑性很强的学科，所以学好数学, 对于大多数学生是很难的一件事。大多数学生认为数学枯燥、乏味，对数学学习提不起兴趣。“如何帮助学生学好数学? ”便成了教师们的首要任务。
数学题是做不完的, 因此我们要采用巧妙的方法解决这个问题。我认为要使学生学好数学, 要从提高学生学习能力和学习兴趣两方面着手。在数学教学过程中, 通过利用一切条件, 采取一题多解与一题多变的形式进行教学, 这对培养学生思维的广阔性、深刻性、探索性、灵活
性是一种很好的方法。
在赵振威著的文献[1]中, 详细地讲解了学好数学要采用一题多解与一题多变的思想方法；在文献[2]、[3]中作者讲解了一题多解在初、高中数学的运用；文献[4]说明了在高中数学教学中要充分利用课本上的例题和习题展开一题多解与一题多变的教学。由此可见, 在数学教学
中采用一题多解与一题多变的思想方法是很重要的。
那么, 下面就教学中如何运用“一题多解”与“一题多变”两个方面展开谈谈。
一、一题多解
1.何为一题多解
一题多解, 就是引导和启发学生运用不同的方法, 从不同角度、不同思路, 解答同一道数学问题。
用多种解法解答同一道数学题, 就是要充分运用学过的基础知识调动一切解题手段, 从各个不同的角度去探索解题途径。 在这样的过程中, 通过分析比较, 研究哪些途径是可行的, 哪些是不可行的; 鉴别哪些方法灵活巧妙, 哪些方法呆板冗繁; 探讨哪些方法具有普遍意义, 有推广
一题多解与一题多变在数学教学中的运用探究-2019年精选文档
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一题多解与一题多变在数学教学中的运用探究
高中数学内容比初中数学内容更加丰富，而且知识点的相关性更强。所以高中数学老师在授课过程中，应该注意培养学生的逻辑思维能力。教师帮助学生在掌握分单元知识的同时，形成知识体系，采用关联记忆相互促进理解的方式，激发学生的学习兴趣。数学学习离不开习题练习。数学习题的形式灵活多变，通常不会只有单一解，或者相同案例通常存在不同角度的问题。所以教师在教学过程中，可以合理运用一题多解或者一题多变的形式，提高学生的学习积极性，引导学生扩展思维，提高课程学习效果。
一、一题多解和一题多变的运用原则
一题多解是指同一个数学问题可以使用不同方法求解。一题多解要求学生对于数学基础知识的掌握非常娴熟。因为要做到一题多解，学生要从不同角度对问题进行分析，所以要求学生对于知识掌握更加全面。一题多变是变化题目条件和所求对象，由一个原始题目转化出多个题目的方法。一题多变的练习可以帮助学生加深对题目的理解，熟练掌握相关知识形式的转换，增强对知识的触类旁通。对于一题多解和一题多变在数学教学过程中的应用，教师要做到因材施教，对数学基础好且学习兴趣强的学生，鼓励引导其深入研究问题，努力用不同方法答题。这样不仅可以激发学生探索新知识的热情，还可以帮助学生加深对知识的掌握。但是对于数学基础薄弱的学生，教师不能一味要求其追求多方式求解，这样只会让学生对数学学习产生抵触情绪，降低学习效率。
二、一题多解和一题多变的运用策略
（一）选择经典例题
数学教学过程中，教师选取例题的质量对教学效果有显著的影响。好的教学例题为教师引领学生从多个角度解答提供了条件，所以教师在教学、备课过程中要有意识地选择不同方法或者可以通过变化得到其他题目形式的经典例题。
（二）设置变式题组梯度
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数学学习过程是一个循序渐进的过程，学生学习新知识后，需要利用一题多解或者一题多变来进行知识扩展迁移，帮助学生在构建自身学习体系的同时，提高思维能力。在利用一题多解和一题多变扩展知识的过程中，教师要注意设置合理的迁徙梯度，让学生顺畅递进地进行知识扩展，主动巩固原有知识，锻炼逻辑能力。
一题多解与一题多变训练思维
Ｎｏ．０３．２０１３ 语数外学习 Ｙｕ Ｓｈｕ Ｗａｉ Ｘｕｅ Ｘｉ ２０１３年第３期 一题多解与一题多变训练思维 俞慧碌 （上海逸夫职业技术学校，上海２０００４２） 摘要：一题多解与一题多变的思想指导数学的学习，能激发学生的思维，使学生学会纲举目张。能够锻炼数学思维方法、思维品 质、数学观察能力、拓展能力、演变能力、勇于创新奋发向上的精神。 关键词：一题多解；一题多变；数学思维方法；学习兴趣；课堂增值 中图分类号：Ｇ６３３ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００５—６３５１（２０１３）．０３—００２３．０１ 一、探索背景 掌握方法，是攻克难题的有力武器。只有掌握方法，才能触 类旁通，举一反三。一题多解与一题多变能够加强思维训练，在 数学学习中训练学生的一题多解与一题多变能力主要有三个目 的：首先为了充分调动学生思维的积极性，提高他们综合运用已 学知识解答数学问题的技能技巧；其次是为了锻炼学生思维的灵 活性，促进他们长知识、长智慧；最后是为了开阔学生的思路，引 导学生灵活地掌握知识的纵横联系，培养和发挥学生的创造性。 二、设计意图 一题多解与一题多变训练的目的，不是单纯地解题，而是为 了培养和锻炼学生的思维，发展学生的智力，提高学生的解题能 力。所以，在实际训练中，我们不能满足于学生会用几种一般的 方法来分析解答题目，或者会按照原题改动题目。学生的解法越 多，表明学生的思维越灵活，思路越开阔。学生参与改动的变式 题，形式越丰富，表明学生的数学思想本质掌握得越扎实。学生 能够根据题意和数量关系，运用所学习和掌握的知识不拘泥、不 守旧，乐于打破一般的框框去进行广阔的思维，十分用心地去探 求各种解题方法，并能有效地改编出形式多样的变式题，就越有 利于促进其思维的发展，提高创造能力。我们就越应当给予肯定 和鼓励。对于学生别出心裁、独辟蹊径的解题方法，应该给以表 扬和鼓励。更应该鼓励学生在一题多解的基础上自己改题，一题 多变，寻求解法。这对激发学生的学习兴趣，调动一题多解与一题 多变的积极性是很有好处的。这样能促使老师和学生不断探求拓 新，无论是老师的教学水平还是学生的学习能力都能得到提升。 三、实践过程的增值剖析 案例分析：在不等式教学中，我采用了以下这道例题。同时根 据学生的实践总结出了适合学生求解的四种解题与思维的方法。 已知 ，，，∈Ｒ ，且 ＋２ｙ＝３，求函数 ＝÷＋÷的最小值。 思维一：常值代入，创造应用重要不等式的条件求最小值。 解法一： ．．． ：上＋ ： ．（ ＋ ）．３：÷．（ ＋ ）．（ ｘ Ｙ ３ ｘ Ｙ ｊ ｘ ） ＋２＇，）：１＋÷（盟＋土）≥１＋ ｊ Ｙ ．・．当且仅当 ＝ ，且 ＋２ｙ＝３，即 ＝３（ 一１），ｙ＝÷（２ Ｙ 二 一√ ）时，ｒ取得最小值１＋ ． 思维二：整体换元，构造一元二次方程，根据判别式到处不等 式求最小值。 解法二： ・．‘Ｔ＝上＋ ＇．．． ＋，，＝Ｔｘｙ，将 ＝３—２ｙ代入得出关于 的 Ｙ 一元二次方程２Ｔ・Ｙ 一（３Ｔ＋１）・Ｙ＋３＝０ ・．‘Ｙ∈Ｒ ．・．△＝（３Ｔ＋１） 一２４Ｔ￣＞０，即９ 一１８Ｔ￣１≥０ ・． ｏ．．． ＋学 思维三：利用真分式代换，转变思维角度。 解法三：设 ＝ ｏ， ＝ ，。，６ｅＲ’， 口十 口＋Ｄ 则 ＝ｉ１＋了１＝ ＋ 嚣盟＝丁１＋砉＋ ｂ＋季３＝，＋ ｙ ｊｏ ｊＤ ｊ ） （去＋万２，１２，）Ｉ＞１＋２ ２ａ ＝１十学当且仅当寺＝ ，即６＝ 时，等号成立， 取到最小值１＋ ． 思维四：三角换元法。 解法四：设手＝ｓｉｎ ａ，孚＝ｃｏｓ ，ｏ ａ 詈 则 ：ｊ＿＋上：÷。ｓｏｚ ＋知０ ａ ＝ｌ＋÷ｃ ＋÷ 引 √扣 寺 ＋ 懑 ・・・当÷ｃｏｔ２０￣＝手ｔａ ａ，ｌｌｐ。咖＝ 时， 取到最小值１ 讣， ３‘ 一题多解的提出不是简单的把各种解法的堆砌，是各种思维 方法的延伸与拓展。我们经常在观摩教学时发现：给出一道题 司 后，老师会根据已备课的解题方法引导学生，把学生引入了老师 设定好的解题轨道中。这样的教学会使学生感到单调、乏味，不 数 利于学生的思维拓展和深化。然后给出下一道例题，知识给出一 些相互独立 没有联系的问题 或在讲解过程中缺乏场景的转换。 倘若某种类型的题目能够有多种不同思维的解题方法，同时教师 教 又能设计出一组相似的变式题，也能有多种解题方法，让它们如 畜 同连续镜头那样不断变化，不断设置悬念，不断增加难度，可以使 ． 学生更好地区分题目的各种因素，并确定哪些是本质的、主要的， ｌ 哪些是次要的、非本质的。我们在把变式题布置给学生的同时， Ｉ 便可要求学生应用一题多解，也可要求学生自己对题目进行变 Ｉ 式，这样的作业方式不仅能够达到复习巩固的目的，还可以提高 Ｉ 学生的探究能力及学习数学的兴趣。 Ｉ 上述案例的变式题： Ｉ １ ｌ ｌ 已知 ，Ｙ都是正数，且÷十÷＝ｌ，求 ，，的最小值。 ｌ 已知 ， ≥ｏ且 ＋ｙ＝１，求 ，， 的取值范围。 ｌ 实践证明，用一题多解与一题多变的思想指导数学教学，既 ｌ 扩充了教学容量，又激发了学生的思维，使学生学会纲举目张。 ｝ 随着时间的流逝，大多数学生脑海中的数学知识会被遗忘，而数 Ｉ 学恩维方法、思维品质、数学观察能力、拓展能力、演变能力、勇于 ｝ 创新奋发向上的精神等将会越来越显示其价值与魅力，这就是数 ｌ 学素养，这才是数学教育的价值。 ｌ ｆ 参考褒献； ｌ ［１］陈燕．概念教学中的变式策略［Ｊ］．数学教学，２０１１，（０２）． Ｉ ［２］展国培．从学生中来到学生中去［Ｊ］，２０１０，（１１）． Ｉ ２３——＿＿Ｊ
“一题多解与一题多变“在培养学生思维能力中的价值研究黄玉泽
"一题多解与一题多变"在培养学生思维能力中的价值研究 黄玉泽
发布时间：2022-03-01T10:21:03.583Z 来源：《教育研究》2021年12期 作者： 黄玉泽
[导读] 初中阶段的教学在整个教学环节中承担着承上启下的重要作用。
湖北省恩施市小渡船中学 黄玉泽 445000
摘要：初中阶段的教学在整个教学环节中承担着承上启下的重要作用，在素质教育的发展背景之下，人们开始意识到到传统的教学理念已
经不足以满足现代社会的发展需求，社会各界逐渐进行教学的中心转移，将关注重点从学生的学习成绩调整到培养学生的思维发展和学习
习惯方向上，各个学科都在依据素质教育的最新标准创新教学策略。就初中数学学科而言，良好的数学逻辑使得学生能够具备思维发展的
基础，深化学科素养，提升自我能力。因此教师应该结合学生此时的心理状态和发展需求转变自身的教学理念，注重培养学生的学科思
维，促进课堂教学效率的稳步提升。
关键词：一题多解；一题多变；思维能力；初中数学
引言：初中阶段的学生在年龄和自身生活阅历的影响下，还不具备健全的认知能力，对于身边的事物发展没有良好的辩知水平，容易受到周围不良环境的影响养成错误的行为习惯，此时是培养学生三观认知、塑造学科思维的关键时期，数学以其独特的多变性和丰富性，
对学生的思维能力具有较高的要求，教师应该及时明确学生的主体地位，带领其将知识进行合理转化，全面培养他们思维能力和创新水
平，从而使得学生思考问题的范围不再局限，能够全方位促进发散性思维的完善。本文就初中数学“一题多解与一题多变”思想在培养学生
思维能力中的价值展开深度研究，提出几点教学策略，以期为广大教学行业工作者们提供借鉴和参考。
一、营建“一题多解与一题多变”的学习氛围
教师运用传统教学方法进行数学概念知识讲解的方法已经不能够满足现代学生的发展需求，数学学科的知识错综复杂，具有多种解题思路和途径，单一地模式会限制学生的思维创新，长期在这样的教学环境下甚至使得学生产生学习的抵触情绪和厌烦心理。因此，教师应
“一题多解与一题多变”在培养学生思维能力中的应用
“一题多解与一题多变”在培养学生思维能力中的应用
创新的教育价值观认为，教学的根本目的不是教会解答、掌握结论，而是在探究和解决问题的过程中锻炼思维，发展能力。在数学教学中，常用一题多解、一题多变的方法开拓学生的思路，克服思维定势，培养学生思维的发散性和创造性。下面我将结合人教版三年级数学教材浅析如下：
一题多解
所谓“一题多解”，就是启发和引导学生从不同角度、不同思路、不同的方位，运用不同的方法和不同的运算过程，解答同一道数学问题。
教学中适当的一题多解，可以激发学生去发现和去创造的强烈欲望，加深学生对所学知识的深刻理解，训练学生对数学思想和数学方法的娴熟运用，锻炼学生思维的广阔性和深刻性、灵活性和独创性，从而培养学生的思维品质，发展学生的创造性思维。如：
“你们的折法相同吗？为什么涂色部分都是这张纸的四分之一？”
通过一题多解，让学生异中求同，从而揭示出分数的本质。
一、鼓励学生进行一题多解的实际练习。
一题多解训练的目的，不是单纯地解题，而是为了培养和锻炼学生的思维，发展学生的智力，提高学生的解题能力。
二、口述不同的解题思路和解题方法。
口述不同的解题思路和解题方法，就是只要求学生说出不同的解题思路和解题方法，不用具体解答，让学生动脑动口。
三、引导学生自己找出最简便的解法。
在学生求得多种解题方法之后，让他们自己去分析比较，可以相互讨论，也允许相互争论，让学生在此过程中，找出最简便的解题方法。
一题多解训练，还应当注意以下几点：
(1)目的要明确。
(2)要注意把握上这种课的时机。 (3)选题要得当，方法要灵活。
一题多变
所谓“一题多变”就是指一个题目反复变换，使学生学会用联想旧知，联想同类，改变事情，改变问题中的条件或问题等等变题方法，从中悟出解题规律、方法。
通过“一题多变”可以激发学生的学习兴趣，有效地避免题海战术，巩固数学知识，可培养学生独立思考，举一反三的学习态度，有利于扩大学生的视野，可以增强学生解题的应变能力，培养思维的广阔性和深刻性，从而培养创新思维的品质。