同济大学)高等数学课件D41不定积分
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(1)0sextcaxd n xsex cC
(1)1csxcco xdxt cs x c C
(1)2 exdxex C (1)3 axdx a x C
ln a
(1)4 shxdxch xC
shxex ex 2
chxex ex 2
(1)5chxdxshxC
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(1)
d dx
f
(x)dx
f(x)或
d
f
(x)dx
f(x)dx
(2 )F(x)d x F(x) C或 dF(x)F(x)C
二、 基本积分表 (P186)
利用逆向思维
(1) kdx kxC ( k 为常数)
(2) xdx11x1C (1)
(3) dxx lnx C
x 0时 (ln x) [ln x )( ] 1
则
n
f(x)dxkifi(x)dx i1
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例5. 求
解: 原式 = [2 (e)x52x)dx
( 2 e ) x 5 2 x C ln( 2 e ) ln 2
2xlne2x1l5n2C
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例6. 求
解: 原式 = (se2xc1)dx se2xcdxdx ta x x n C
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内容小结
1. 不定积分的概念 • 原函数与不定积分的定义 • 不定积分的性质 • 基本积分表 (见P 186)
2. 直接积分法: 利用恒等变形, 积分性质 及 基本积分公式进行积分 .
分项积分 常用恒等变形方法 加项减项
利用三角公式 , 代数公式 ,
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m
m
m
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问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ?
定理1. 存在原函数 .
(下章证明)
初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
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定理 2. 原函数都在函数族
证: 1)
( C 为任意常数 ) 内 . 即
例3. 求
解: 原式 =
x
4 3
dx
x
4 3
1
4 3
1
3x13 C
C
例4. 求
解: 原式= 12sinxdx 1 2coxsC
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三、不定积分的性质
1. kf(x)dxk f (x)dx (k0) 2.[f(x)g(x)d ]xf(x)dxg(x)dx
推论: 若
解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 ,
质点抛出时刻为
此时质点位置为 初速为
设时刻 t 质点所在位置为
则
dx v(t)
(运动速度)
dt
再由此求 x(t)
d2 x d t2
dv dt
g
(加速度)
先由此求 v(t )
x
xx(t)
x0x(0) o
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先求 由
又知
[ (x ) F (x )] (x)F (x)f(x )f(x ) 0
故
(x)F (x) C 0(C0为某个常)数
即 (x)F (x) C 0属于函数族 F(x)C.
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定义 2.
在区间 I 上的原函数全体称为
上的不定积分, 记作
其中
— 积分号;
— 积分变量;
o
x0
x
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例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解:
y
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
(1, 2)
因此所求曲线为 yx2 1
o
x
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例2. 质点在距地面 处以初速 垂直上抛 , 不计阻 力, 求它的运动规律.
知
v(t) (g)dtgtC1
由 v(0)v0,得 C1v0,故
v(t) gtv0
再求
由
知
x
xx(t)
x0x(0)
o
x(t)( gtv0)dt1 2gt2v0tC 2
由 x(0)x0,得 C2x0,于是所求运动规律为
x(t) 1 2gt2 v0 tx0
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从不定积分定义可知:
思考与练习
1. 证明 提示:
(P191题4)
2. 若
x2f(lx)n dx
1 2
x2
C
提示:
ex
f (lnx) elnx 1 x
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根据牛顿第二定律, 加速度
因此问题转化为: 已知 v(t)Asint ,求 v(t)? m
定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x)
满足
则称 F (x) 为f (x)
在区间 I 上的一个原函数 .
如引例中, A sin t 的原函数有 A cos t, Acots3,
第四章
不定积分
微分法: F(x)(?) 互逆运算
积分法: (?)f(x)
第一节
第四章
不定积分的概念与性质
一、 原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、不定积分的性质
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一、 原函数与不定积分的概念
引例: 一个质量为 m 的质点, 在变力
下沿直线运动 , 试求质点的运动速度
若
则
— 被积函数;
(P183)
— 被积表达式.
例如,
exdx ex C
x2dx
1 3
x3
C
( C 为任意常数 )
C 称为积分常数 不可丢 !
sinxdx co x C s
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不定积分的几何意义:
的原函数的图形称为 的积分曲线 .
f (x)dx 的图形
y
的所有积分曲线组成 的平行曲线族.
例7. 求
解: 原式 =
x (1 x2) x(1 x2)
dx
1
1 x2
dx
1 x
d
x
arcxtalnnx C
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例8. 求
1
x
4
x
2
dx
.
解: 原式 = (x141x)21dx
(x211)(xx221)1dx
(x21)dx1 dxx2
1x3xarcxt aC n 3
x
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(4)
dx 1x2
arcx tC an或
ac rx c o C t
(5)
dx arcx sC in 或 ac rx o c C s
1x2
(6) coxdsxsixnC
(7) sixndx co x C s (8) codsx2xse2cxdx taxn C (9) sidn2xx cs2cxdx co x C t
高等数学——不定积分课件
cos x cos2 x
dx
1
d
sin sin
x
2
x
1 2
1 1 sin
x
1 1 sin x
d
sin
x
1 ln 1 sin x ln 1 sin x C
2 1 ln 1 sin x C
2 1 sin x
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例11. 求
(x2
x3 a2
3
)2
dx
1
(
1
1
)
(x a)(x a) 2a x a x a
∴
原式
=
1 2a
dx xa
dx xa
1 2a
d(x a) xa
d(x a) xa
1 ln x a ln x a C 1 ln x a C
2a
2a xa
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(6) f (tan x)sec2 xdx
d
t
ln sect tan t C1
ln
x2 a2
x a
C1
x2 a2 x t a
(C C1 ln a)
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第四章 不定积分
微分法: F(x) ( ? ) 互逆运算
积分法: ( ? ) f (x)
第一节 不定积分的概念与性质
一、 原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、不定积分的性质
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一、 原函数与不定积分的概念
引例: 一个质量为 m 的质点, 在变力 下沿直线运动 , 试求质点的运动速度
根据牛顿第二定律, 加速度
因此问题转化为: 已知 v(t) A sin t , 求 v(t) ? m
高等数学I(电子)(同济大学)高等数学课件D4_1不定积分541 41不定积分
例2. 质点在距地面 处以初速 垂直上抛 , 不计阻 力, 求它的运动规律.
解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 ,
质点抛出时刻为
此时质点位置为 初速为
设时刻 t 质点所在位置为
则
dx v(t)
(运动速度)
dt
再由此求 x(t)
d2 x d t2
dv dt
g
(加速度)
先由此求 v(t)
解: 原式 = (sec2x 1)dx sec2xdx dx tan x x C
例7. 求
解: 原式 =
x (1 x x(1 x2
2
)
)
dx
1 1 x2
dx
1 x
dx
arctan x ln x C
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例8. 求
x4 1 x2
dx
.
解: 原式 =
y
的所有积分曲线组成 的平行曲线族.
o
x0
x
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例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解:
y
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
(1, 2)
因此所求曲线为 y x2 1
o
x
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(x4 1
1) x2
1
dx
(
x
2
1)(x2 1 x2
1)
1
dx
(x2
1)
dx
1
dx x2
1 x3 x arctan x C 3
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《不定积分》ppt课件
2
2
a2 x2 dx x a2 x2 a2 arcsin x C
2
2
a
.
+ 除牢记积分公式外，还需熟练运用几种常 用方法：
+ 〔1〕换元积分法 + 〔2〕分部积分法 + 〔3〕有理函数积分法〔运用分式变形处置
积分函数联络积分根本公式〕
.
+ 关于换元法的问题 不定积分的换元法是在复合函数求导法那 么的根底上得来的，我们应根据详细实例 来选择所用的方法，求不定积分不象求导 那样有规那么可依，因此要想熟练的求出 某函数的不定积分，只需作大量的练习。
ln a
shxdx chx C
chxdx shx C
dx
ln( x
x2 a2
x2 a2 ) C
I n
2
sin n
0
2
xdx cosn
0
xdx
n 1
n
I n2
x 2 a 2 dx x 2
x 2 a 2 a 2 ln( x 2
x2 a2 ) C
x 2 a 2 dx x 2
2
2
2
.
2.第一类换元法 利用复合函数的一阶微分形式的不变性，通过变量代换求不定积分
简记为
g（x） dx = f φ（x） φ‘（x）dx
例 1.求
e x dx
2x
解：令u =
x，原式= e x d x =
eu du = eu + C = e x + C
例 2.求
arcsin x−x2
x
dx
解
：
令
dt
=
1 4
1 t−3
−
同济大学(高等数学)-第四章-不定积分
第四章 不定积分前面讨论了一元函数微分学，从本章开始我们将讨论高等数学中的第二个核心内容：一元函数积分学．本章主要介绍不定积分的概念与性质以及基本的积分方法．第1节 不定积分的概念与性质1.1 不定积分的概念在微分学中，我们讨论了求一个已知函数的导数（或微分）的问题，例如，变速直线运动中已知位移函数为()s s t =， 则质点在时刻t 的瞬时速度表示为()v s t '=．实际上，在运动学中常常遇到相反的问题，即已知变速直线运动的质点在时刻t 的瞬时速度()v v t =，求出质点的位移函数()s s t =．即已知函数的导数，求原来的函数．这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在．为了便于研究，我们引入以下概念．1.1.1原函数定义1 如果在区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I ∈，都有()()F x f x '= 或 d ()()d F x f x x =， 那么函数()F x 就称为()f x 在区间I 上的原函数．例如，在变速直线运动中，()()s t v t '=，所以位移函数()s t 是速度函数()v t 的原函数； 再如，(sin )'cos x x =，所以sin x 是cos x 在(,)-∞+∞上的一个原函数．1(ln )'(0),x x x=>所以ln x 是1x在(0,)+∞的一个原函数． 一个函数具备什么样的条件，就一定存在原函数呢？这里我们给出一个充分条件．定理1 如果函数()f x 在区间I 上连续，那么在区间I 上一定存在可导函数()F x ，使对任一∈x I 都有()()'=F x f x ．简言之，连续函数一定有原函数．由于初等函数在其定义区间上都是连续函数，所以初等函数在其定义区间上都有原函数．定理1的证明，将在后面章节给出. 关于原函数，不难得到下面的结论：若()()'=F x f x ，则对于任意常数C ，()+F x C 都是()f x 的原函数．也就是说，一个函数如果存在原函数，则有无穷多个．假设()F x 和()φx 都是()f x 的原函数，则[()()]0'-≡F x x φ，必有()()φ-F x x =C ,即一个函数的任意两个原函数之间相差一个常数．因此我们有如下的定理：定理2 若()F x 和()φx 都是()f x 的原函数，则()()-=F x x C φ（C 为任意常数）．若()()'=F x f x ，则()+F x C （C 为任意常数）表示()f x 的所有原函数．我们称集合{}()|F x C C +-∞<<+∞为()f x 的原函数族．由此，我们引入下面的定义．1.1.2不定积分定义2 在区间I 上，函数()f x 的所有原函数的全体，称为()f x 在I 上的不定积分， 记作()d ⎰f x x ．其中⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()d f x x 称为被积表达式，x 称为积分变量． 由此定义，若()F x 是()f x 的在区间I 上的一个原函数，则()f x 的不定积分可表示为()d ()=+⎰f x x F x C ．注 （1）不定积分和原函数是两个不同的概念，前者是个集合，后者是该集合中的一个元素．（2）求不定积分，只需求出它的某一个原函数作为其无限个原函数的代表，再加上一个任意常数C ．例1 求23d x x ⎰．解 因为32()3,'=x x 所以233d x x x C =+⎰．例2 求sin cos d x x x ⎰．解 （1）因为2(sin )2sin cos ,'=x x x 所以21sin cos d sin 2x x x x C =+⎰．（2）因为2(cos )2cos sin ,'=-x x x 所以21sin cos d cos 2x x x x C =-+⎰． （3）因为(cos 2)2sin 24sin cos ,'=-=-x x x x 所以1sin cos d cos 24=-+⎰x x x x C ． 例3 求1d x x⎰． 解 由于0x >时，1(ln )'=x x ，所以ln x 是1x在(0,)+∞上的一个原函数，因此在(0,)+∞内，1d ln x x C x=+⎰．又当0x <时，[]1ln()x x '-=，所以ln()-x 是1x在(,0)-∞上的一个原函数，因此在(,0)-∞内，1d ln()=-+⎰x x C x ．综上，1d ln x x C x=+⎰．例4 在自由落体运动中，已知物体下落的时间为t ，求t 时刻的下落速度和下落距离． 解 设t 时刻的下落速度为()=v v t ，则加速度d ()d va t g t==（其中g 为重力加速度）． 因此()()d d v t a t t g t gt C ===+⎰⎰，又当0t =时，(0)0=v ，所以0C =．于是下落速度()=v t gt ． 又设下落距离为()=s s t ，则ds()dt=v t ．所以 21()()d d 2===+⎰⎰s t v t t gt t gt C ， 又当0t =时，(0)0=s ，所以0C =．于是下落距离21()2=s t gt ． 1.1.3不定积分的几何意义设函数()f x 是连续的，若()()F x f x '=，则称曲线()y F x =是函数()f x 的一条积分曲线．因此不定积分()d ()f x x F x C =+⎰在几何上表示被积函数的一族积分曲线．积分曲线族具有如下特点（如图4.1）：（1）积分曲线族中任意一条曲线都可由其中某一条平移得到；（2）积分曲线上在横坐标相同的点处的切线的斜率是相同的，即在这些点处对应的切线都是平行的．图4-1例5 设曲线通过点(1,2)，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程．解 设曲线方程()=y f x ，曲线上任一点(,)x y 处切线的斜率d 2d yx x=，即()f x 是2x 的一个原函数．因为22d =+⎰x x x C ，又曲线过(1,2)，所以21C =+，1C =．于是曲线方程为21y x =+．1.2 基本积分公式由定义可知，求原函数或不定积分与求导数或求微分互为逆运算， 我们把求不定积分的运算称为积分运算．既然积分运算与微分运算是互逆的，那么很自然地从导数公式可以得到相应的积分公式．例如，因11x μμ+'⎛⎫ ⎪+⎝⎭=x μ，所以11x x dx C μμμ+=++⎰（1μ≠-）． 类似可以得到其他积分公式，下面一些积分公式称为基本积分公式． ①d k x kx C =+⎰（k 是常数）; ②1d 1x x x C μμμ+=++⎰（1μ≠-）;③1d ln x x C x=+⎰; ④sin d cos x x x C =-+⎰; ⑤cos d sin x x x C =+⎰; ⑥221d sec d tan cos x x x x C x==+⎰⎰; ⑦221d csc d cot sin x x x x C x==-+⎰⎰; ⑧sec tan d sec x x x x C =+⎰; ⑨csc cot d csc x x x x C =-+⎰; ⑩21d arctan C 1x x x =++⎰，21d cot 1x arc x C x -=++⎰;⑪arcsin x x C =+，arccos x x C =+⎰;⑫e d e x x x C =+⎰;⑬d ln xxa a x C a=+⎰;以上13个基本积分公式，是求不定积分的基础，必须牢记．下面举例说明积分公式②的应用．例6求不定积分x x ⎰．解xx ⎰52d x x =⎰512512x C +=++7227x C =+． 以上例子中的被积函数化成了幂函数x μ的形式，然后直接应用幂函数的积分公式②求出不定积分．但对于某些形式复杂的被积函数，如果不能直接利用基本积分公式求解，则可以结合不定积分的性质和基本积分公式求出一些较为复杂的不定积分．1.3 不定积分的性质根据不定积分的定义，可以推得它有如下两个性质．性质1 积分运算与微分运算互为逆运算（1）()d ()'⎡⎤=⎣⎦⎰f x x f x 或d ()d ()d ⎡⎤=⎣⎦⎰f x x f x x ． （2）()d ()'=+⎰F x x F x C 或d ()()=+⎰F x F x C 性质2 设函数()f x 和()g x 的原函数存在，则[]()()d ()d ()d +=+⎰⎰⎰f x g x x f x x g x x ．易得性质2对于有限个函数的都是成立的．性质3 设函数()f x 的原函数存在，k 为非零的常数，则()d =⎰kf x x ()d ⎰k f x x ．由以上两条性质，得出不定积分的线性运算性质如下：[]()()d ()d ()d +=+⎰⎰⎰kf x lg x x k f x x l g x x ．例7 求23d 1⎛⎫+⎝⎰x x． 解23d 1⎛⎫+⎝x x213d 21x x x =-+⎰3arctan x =2arcsin x -C +．例8 求221d (1)+++⎰x x x x x ．解 原式=22(1)d (1)+++⎰x x x x x 211d 1x x x ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭⎰3arctan 3x x x C =-++． 例9 求2e d x x x ⎰．解 原式(2e)d xx =⎰1(2e)ln 2exC =+2e 1ln 2x x C =++． 例10 求1d 1sin x x+⎰．解 1d 1sin x x+⎰()()1sin d 1sin 1sin xx x x -=+-⎰21-sin d cos x x x=⎰ 2(sec sec tan )d =-⎰x x x x tan sec x x C =-+．例11 求2tan d x x ⎰．解 2tan d x x ⎰=2(sec 1)d tan -=-+⎰x x x x C ．注 本节例题中的被积函数在积分过程中，要么直接利用积分性质和基本积分公式，要么将函数恒等变形再利用积分性质和基本积分公式，这种方法称为基本积分法．此外，积分运算的结果是否正确，可以通过它的逆运算（求导）来检验，如果它的导函数等于被积函数，那么积分结果是正确的，否则是错误的．下面再看一个抽象函数的例子：例12 设22(sin )cos '=f x x ，求()f x ？解 由222(sin )cos 1sin '==-f x x x ，可得()1'=-f x x ， 从而21()2=-+f x x x C ．习题4-11．求下列不定积分．（1）41d x x⎰； （2）x ⎰； （3）； （4）()2d ax b x -⎰；（5）22d 1x x x +⎰； （6）4223d 1x x x x +++⎰；（7）x ； （8）22d 1x x⎛⎫+⎝⎰； （9）32e d x x x⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰； （10）()22d 1x xx+⎰；（11）x ；（12）2tan d x x ⎰； （13）2sin d 2xx ⎰；（14）cos 2d cos sin x xx x-⎰；（15）21cos d 1cos 2xx x++⎰； （16）()sec sec tan d x x x x +⎰；（17）2352d 3x xxx ⋅-⋅⎰；（18）x ．2．已知某产品产量的变化率是时间t 的函数，()=+f t at b （a ，b 为常数）．设此产品的产量函数为()p t ，且(0)0=p ，求()p t ．3．验证12arcsin(21)arccos(12)=-+=-+x C x C 3C =． 4．设33()d f x x x C '=+⎰，求()f x ？第2节 换元积分法和不定积分法2.1 换元积分法上一节介绍了利用基本积分公式与积分性质的直接积分法，这种方法所能计算的不定积分是非常有限的．因此，有必要进一步研究不定积分的求法．这一节，我们将介绍不定积分的最基本也是最重要的方法——换元积分法，简称换元法．其基本思想是：利用变量替换，使得被积表达式变形为基本积分公式中的形式，从而计算不定积分． 换元法通常分为两类，下面首先讨论第一类换元积分法．2.1.1第一类换元积分法定理1 设()f u 具有原函数，()=u x ϕ可导，则有换元公式()[()]()d ()d =⎡⎤'=⎣⎦⎰⎰u x f x x x f u u ϕϕϕ． （4.2.1）证明 不妨令()F u 为()f u 的一个原函数,则[]()()d ()=⎡⎤=+⎣⎦⎰u x f u u F x C ϕϕ．由不定积分的定义只需证明([()])[()]()''=F x f x x ϕϕϕ，利用复合函数的求导法则显然成立．注 由此定理可见，虽然不定积分[()]()d '⎰f x x x ϕϕ是一个整体的记号，但从形式上看，被积表达式中的d x 也可以当做自变量x 的微分来对待．从而微分等式()d d '=x x u ϕ可以方便地应用到被积表达式中．例1 求33e d x x ⎰．解 3333e d e (3)d e d(3)x x x x x x x '=⋅=⎰⎰⎰e d =⎰u u e =+u C ， 最后，将变量3u x =代入，即得333ed e xx x C =+⎰．根据例1第一类换元公式求不定积分可分以下步骤:（1）将被积函数中的简单因子凑成复合函数中间变量的微分； （2）引入中间变量作换元；（3）利用基本积分公式计算不定积分； （4）变量还原．显然最重要的是第一步——凑微分，所以第一类换元积分法通常也称为凑微分法．例2 求()9945d x x +⎰．解 被积函数9945（）+x 是复合函数，中间变量45=+u x ，45（）=4'+x ，这里缺少了中间变量u 的导数4，可以通过改变系数凑出这个因子：99999911(45)d (45)(45)d (45)d(45)44'+=⋅+⋅+=++⎰⎰⎰x x x x x x x 991d 4=⎰u u 1001001(45)4100400+=⋅+=+u x C C ．例3 求22d xx x a +⎰． 解221x a+为复合函数，22u x a =+是中间变量，且222x a x '+=（）， 22222222221111d ()d d()22'=⋅+=++++⎰⎰⎰x x x a x x a xax a x a 221111d ln ln()222==+=++⎰u u C x a C u ． 对第一类换元法熟悉后，可以整个过程简化为两步完成．例4 求x ⎰．解 322211)(1)23=--=--+⎰x x x C ．注 如果被积表达式中出现()d +f ax b x ，-1()d ⋅m m f x x x ，通常作如下相应的凑微分：1()d ()d()+=++f ax b x f ax b ax b a ， 111()d ()d()-+=⋅++n n n n f ax b x x f ax b ax b a n．例5 求1d (12ln )x x x +⎰．解 因为1d d ln x x x=，亦即11d d(1+2ln )2x x x=，所以1111d d ln d(1+2ln )(12ln )12ln 212ln x x x x x x x==+++⎰⎰⎰ 1ln 1+2ln 2x C =+． 例6 求arctan 22d 1xx x +⎰．解 因为21d d arctan 1x x x =+，所以 arctan arctan arctan 222d 2d arctan ln 21x x xx x C x ==++⎰⎰．例7 求x ．解x =x C ==-⎰．在例4至例7中，没有引入中间变量，而是直接凑微分．下面是根据基本微分公式推导出的常用的凑微分公式．①x=②211d d x x x=-．③1d dln x x x=． ④e d de x x x =．⑤ cos d d sin x x x =． ⑥ sin d d cos x x x =-． ⑦221d sec d d tan cos ==x x x x x． ⑧ 221d csc d d cot sin =-=-x x x x x．d(arcsin )d(arccos )x x x ==-．⑩21d d(arctan )d(arccot )1x x x x ==-+． 在积分的运算中，被积函数有时还需要作适当的代数式或三角函数式的恒等变形后，再用凑微分法求不定积分．例8 求221d x a x +⎰． 解 将函数变形2222111.1a x a x a =+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由d d x x a a=，所以得到221d x a x +⎰2111darctan 1x xC aa a ax a ==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰． 例9求x ． 解1x x x aa ⎛⎫==⎪⎝⎭ arcsinxC a=+． 例10 求tan d x x ⎰． 解 tan d x x ⎰=sin d d cos ln cos cos cos x x xx C x x-==-+⎰⎰． 同理，我们可以推得cot d ln sin x x x C =+⎰．例11 求3sin d x x ⎰．解 3222sin d sin sin d sin dcos (1-cos )dcos x x x x x x x x x ==-=-⎰⎰⎰⎰31cos cos 3x x C =-++．例12 求23sin cos d x x x ⎰．解 232222sin cos d sin cos cos d sin cos dsin x x x x x x x x x x ==⎰⎰⎰2224sin (1sin )dsin (sin sin )dsin x x x x x x =-=-⎰⎰3511sin sin 35x x C =-+． 例13 求2sin d x x ⎰． 解 21cos 211sin d d sin 2224x x x x x x C -==-+⎰⎰． 例14 求sec d x x ⎰． 解 12211sec d d cos d cos d sin d sin cos 1sin x x x x x x x x x x--====-⎰⎰⎰⎰⎰ 1sin 1ln ln sec tan 2sin 1x C x x C x +=+=++-． 同理，我们可以推得csc d ln csc cot x x x x C =--+⎰．注 对形如sin cos d m n x x x ⎰的积分，如果m ，n 中有奇数，取奇次幂的底数（如n 是奇数，则取cos x ）与d x 凑微分，那么被积函数一定能够变形为关于另一个底数的多项式函数，从而可以顺利的计算出不定积分;如果m ，n 均为偶数，则利用倍角（半角）公式降幂，直至将三角函数降为一次幂，再逐项积分．例15 求sin 2cos3d x x x ⎰． 解 sin 2cos3d x x x ⎰=11sin 5d sin d 22x x x x -⎰⎰=11cos5cos 102x x C -++ =11cos cos5210x x C -+． 一般的，对于形如下列形式sin cos d mx nx x ⎰， sin sin d mx nx x ⎰， cos cos d mx nx x ⎰，的积分（m n ≠），先将被积函数用三角函数积化和差公式进行恒等变形后，再逐项积分．例16 求221d x x a -⎰． 解 因为 2211111()()2⎛⎫==- ⎪-+-+-⎝⎭x a x a a x a x a x a， 所以 221111111d d d d 22⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪-+-+-⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰x x x x a x a x a a x a x a x a111d()d()2x a x a a x a x a ⎛⎫=--+ ⎪-+⎝⎭⎰⎰ ()11ln ln ln 22x a x a x a C C a a x a-=--++=++． 这是一个有理函数（形如()()P x Q x 的函数称为有理函数，()P x ，()Q x 均为多项式）的积分，将有理函数分解成更简单的部分分式的形式，然后逐项积分，是这种函数常用的变形方法．下面再举几个被积函数为有理函数的例子．例17 求23d 56x x x x +-+⎰．解 先将有理真分式的分母256x x -+因式分解，得256-+=x x (2)-x (3)-x ．然后利用待定系数法将被积函数进行分拆．设232356x A B x x x x +=+---+=(3)(2)(2)(3)-+---A x B x x x ， 从而 3(3)(2)+=-+-x A x B x ， 分别将3,2x x ==代入3(3)(2)+=-+-x A x B x 中，易得56A B =-⎧⎨=⎩．故原式=56d 23x x x -⎛⎫+⎪--⎝⎭⎰=5ln 26ln 3x x C --+-+． 例18 求33d 1x x +⎰． 解 由321(1)(1)+=+-+x x x x ， 令323111A Bx Cx x x x +=+++-+， 两边同乘以31x +，得23(1)()(1)=-++++A x x Bx C x ．令1,x =-得1A =；令0,x =得2C =；令1x =，得1B =-． 所以32312111x x x x x -+=+++-+． 故3223121213d d ln 1d 12111-+--⎛⎫=+=+- ⎪++-+-+⎝⎭⎰⎰⎰x x x x x x x x x x x x =2221d 1d(1)32ln 12211324x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭+-+-+⎛⎫-+⎪⎝⎭⎰⎰．21=ln 1ln(1).2x x x C +--+++2.1.2 第二类换元积分方法定理2 设()=x t ψ是单调，可导的函数，并且()0'≠t ψ，又设[]()()'f t t ψψ具有原函数，则有换元公式，[]1()()d ()()d -=⎡⎤'=⎣⎦⎰⎰t x f x x f t t t ψψψ，其中，1()-x ψ是()=x t ψ的反函数．证明 设[]()()'f t t ψψ的原函数为()t φ．记1()()-⎡⎤=⎣⎦x F x φψ，利用复合函数及反函数求导法则得[][]d d 1()()()()()d d ()''=⋅=⋅=='t F x f t t f t f x t x t φψψψψ， 则()F x 是()f x 的原函数．所以11()()d ()[()][()]()d --=⎡⎤'=+=+=⎣⎦⎰⎰t x f x x F x C x C f t x t ψφψψψ．利用第二类换元法进行积分，重要的是找到恰当的函数()=x t ψ代入到被积函数中，将被积函数化简成较容易的积分，并且在求出原函数后将1()t x ψ-=还原．常用的换元法主要有三角函数代换法、简单无理函数代换法和倒代换法．一、三角函数代换法例19 求22d a x x -⎰(0)>a ．解 设ππsin ,,22x a t t ⎛⎫=∈- ⎪⎭⎝，22cos a x a t -=，d cos d x a t t =，于是22d a x x -⎰=2222cos cos d cos d sin cos 22a a a t a t t a t t t t t C ⋅==++⎰⎰．因为 ππsin ,,22x a t t ⎛⎫=∈- ⎪⎭⎝，所以arcsin ,xt a = 为求出cos t ，利用sin xt a=作辅助三角形（图4-2），求得22cos a x t -=， 所以 22222221d d arcsin 22a x a x x a x x x a x C a -=-=+-+⎰⎰．图4-2例20 求22x a+⎰(0)>a ．解 令2ππtan ,,,d sec d 22x a t t x a t t ⎛⎫=∈-= ⎪⎭⎝，22x a +⎰=21cos sec d sec d ln sec tan t a t t t t t t C a ⋅==++⎰⎰． 利用tan xt a=作辅助三角形（图4-3），求得 22ππsec ,,22x a t t +⎛⎫=∈- ⎪⎭⎝ 所以 ()2222122ln ln x x a c x x a C a x a ⎛⎫+ ⎪=++=+++ +⎝⎭⎰．图4-3例21 求22x a-(0)>a ．解 当x a >时，令πsec ,0,,d sec tan d 2x a t t x a t t t ⎛⎫=∈=⋅ ⎪⎭⎝，22x a -=11cot sec tan d sec d ln sec tan t a t t t t t t t C a⋅⋅⋅==++⎰⎰．利用cos at x=作辅助三角形（图4-4），求得22tan x a t -=所以 (2222122lnln x x a C x x a C aax a -=+=+-+-，1(ln )C C a =-． 当x a <-时，令x u =-则u a >，由上面的结果，得((2222112222ln ln u u a C x x a C x a u a =-=-+=---+--=(221,(2ln )x x a C C C a --+=-． 综上，2222ln x x a C x a =-+-．图4-4注 22a x -22a x +22x a -换元：sin x a t =，tan x a t =，sec x a t =±将根号化去．但是具体解题时，要根据被积函数的具体情况，选取尽可能简捷的代换，不能只局限于以上三种代换．二、简单无理函数代换法 例22 求12x+．解 令22,,d d 2u u x x x u u ===，12x +=d 11d 11u u u u u ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭⎰⎰(ln 12ln 12u u C x x C =-+++． 例23 求3(1+)x x．解 被积函数中出现了两个不同的根式，为了同时消去这两个根式，可以作如下代换： 令6t x =6x t =，5d 6d x t t =，从而522322361d 6d 61d (1)11(1+)t t t t t t t t t x x ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰ 666(arctan )6()t t C x x C =-+=+．例24 求211d xx x x +． 解 为了去掉根式，作如下代换：1x t x +=，则211x t =-，222d d (1)t x t t =--，从而222222112d (1)d 2d (1)x t x t t t t t x x t +-=-⋅=--⎰⎰ 32322133x t C C x +⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭． 一般的，如果积分具有如下形式（1）()d n R x ax b x +⎰，则作变换n t ax b =+（2）(,)d n m R x ax b ax b x ++⎰，则作变换pt ax b =+p 是m ，n 的最小公倍数；（3）(R x x ⎰，则作变换t = 运用这些变换就可以将被积函数中的根数去掉，被积函数就化为有理函数． 三、倒代换法在被积函数中如果出现分式函数，而且分母的次数大于分子的次数，可以尝试利用倒代换，即令1x t=，利用此代换，常常可以消去被积函数中分母中的变量因子x ．例25 求6d (1)+⎰xx x ．解 令211,d d x x t tt ==-， 6d (1)+⎰x x x =52661d d 1111t t t t t t t -=-+⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭⎰⎰661d(1)61+=-+⎰t t 61ln 16t C =-++ 611ln 16C x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭． 例26求x ． 解 设211,d d ,x x t tt ==-则 于是1222241d (1)d ⎫=-=--⎪⎝⎭⎰x t a t t t t t , 当0x >时，有31222222222231()(1)d(1)23-=---=-+⎰a x x a t a t C a a x ． 0x <时，结果相同．本例也可用三角代换法,请读者自行求解．四、指数代换 例27 求2d e (e 1)+⎰x x x．解 设1e ,d d ,x t x t t==则 于是222d 1d e (e 1)(1)=++⎰⎰x x x t t t22111d arctan 1t t C t t t ⎛⎫=-=--+ ⎪+⎝⎭⎰--e arctane x x C =--+． 注 本节例题中，有些积分会经常遇到，通常也被当作公式使用．承接上一节的基本积分公式，将常用的积分公式再添加几个（0a >）：①tan d ln cos x x x C =-+⎰; ②cot d ln sin x x x C =+⎰; ③cscd x ⎰=ln csc cot x x C -+; ④sec d ln sec tan x x x x C =++⎰; ⑤2211d arctan xx C a a a x=++⎰; ⑥221d xx a -⎰=1ln 2x a C a x a -++; ⑦arcsin xx C a =+>（a 0）;⑧(ln x C =+;⑨ln x C =． 例28 求．解=2arcsin3-=+x C ． 例29 求．解=11ln(222=+x C ． 例30 求解ln 1=-x C ．例31 求322d (22)x x x x -+⎰．解 被积函数为有理函数，且分母为二次质因式的平方，把二次质因式进行配方：2(1)1x -+，令ππ1tan ,,22⎛⎫-=∈- ⎪⎝⎭x t t ，则2222sec x x t -+=，2d sec d x t t =．所以332224(1tan )d sec d (22)sec x t x t t x x t +=⋅-+⎰⎰23cos (1tan )d t t t =+⎰3(sin cos )d cos t t t t+=⎰ 3122(sin cos 3sin 3sin cos cos )d t t t t t t t -=+++⎰ 2ln cos cos 2sin cos t t t t t C =--+-+．图4-5按照变换ππ1tan ,22x t t ⎛⎫-=∈- ⎪⎝⎭作（辅助三角形图4-5），则有2cos 22t x x =-+，2sin 22t x x =-+，于是322221d ln(22)2arctan(1)2(22)22x x x x x x C x x x x =-++--+-+-+⎰．2.2 分部积分法前面我们得到了换元积分法．现在我们利用“两个函数乘积的求导法则”来推导求积分的另一种基本方法—分部积分法．定理1 设函数()=u u x ，()=v v x 具有连续的导数，则d d =-⎰⎰u v uv v u ．（4.2.2）证明 微分公式d()d d =-uv u v v u 两边积分得d d =-⎰⎰uv u v v u ，移项后得d d =-⎰⎰u v uv v u ．我们把公式（4.2.2）称为分部积分公式．它可以将不易求解的不定积分d u v ⎰转化成另一个易于求解的不定积分d v u ⎰．例32 求cos d x x x ⎰．解 根据分部积分公式，首先要选择u 和d v ，显然有两种方式，我们不妨先设,cos d d ,u x x x v == 即sin v x =，则cosd dsin sin sin d sin cos x x x x x x x x x x x C ==-=++⎰⎰⎰．采用这种选择方式，积分很顺利的被积出，但是如果作如下的选择： 设cos ,d d ,u x x x v == 即212v x =，则222111cos d cos d cos sin d 222x x x x x x x x x x ==-⎰⎰⎰， 比较原积分cos d x x x ⎰与新得到的积分21sin d 2x x x ⎰，显然后面的积分变得更加复杂难以解出．由此可见利用分部积分公式的关键是恰当的选择u 和d v ．如果选择不当，就会使原来的积分变的更加复杂．在选取u 和d v 时一般考虑下面两点: （1）v 要容易求得；（2）d v u ⎰要比d u v ⎰容易求出． 例33 求e d x x x ⎰．解 令,e d d ,e x x u x x v v ===,则e d de e e d e e x x x x x x x x x x x x C ==-=-+⎰⎰⎰．例34 求2e d x x x ⎰．解 令2,e d d ,e x x u x x v v ===，则利用分部积分公式得22222e d dee e d e 2e d xxx x x x x x x x x x x x ==-=-⎰⎰⎰⎰，这里运用了一次分部积分公式后，虽然没有直接将积分积出，但是x 的幂次比原来降了一次，e d xx x ⎰显然比2e d xx x ⎰容易积出，根据例4.3.2，我们可以继续运用分部积分公式，从而得到222e d e2e d e 2de xxx x x x x x x x x x =-=-⎰⎰⎰2e 2(e e )x x x x x C =--+ 2e (22)x x x C =-++．注 当被积函数是幂函数与正（余）弦或指数函数的乘积时，幂函数在d 的前面，正（余）弦或指数函数至于d 的后面．例35 求ln d x x x ⎰． 解 令ln ,u x =21d d 2x x x =，212v x =，则 222111ln d ln d ln d 22x x x x x x x x x x ⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰2211ln 22x x x C ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 22ln 124x x x C =-+．在分部积分公式运用比较熟练后，就不必具体写出u 和d v ，只要把被积表达式写成d ⎰u v的形式，直接套用分部积分公式即可． 例36 求arctan d x x x ⎰．解 222211arctan d arctan d arctan d 221x x x x x x x x x x ⎛⎫==- ⎪+⎝⎭⎰⎰⎰21(arctan arctan )2=-++x x x x C ． 注 当被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积时，对数函数或反三角函数在d 的前面，幂函数至于d 的后面．下面再来举几个比较典型的分部积分的例子．例37 求e sin d x x x ⎰．解 （法一）e sin d sin de e sin e cos d x x x x x x x x x x ==-⎰⎰⎰e sin cos de x x x x =-⎰=e sin e cos e sin d x x x x x x x --⎰，∴ 1e sin d e (sin cos )2=-+⎰x xx x x x C ． （法二）x e sin d e d(cos )e (cos )cos d(e )=-=-+⎰⎰⎰x x x x x x x x =e cos cos e d e cos e dsin x x x x x x x x x -+=-+⎰⎰ =e cos e sin sin de x x x x x x -+-⎰ =e cos e sin e sin d x x x x x x x -+-⎰，∴ 1e sin d e (sin cos )2=-+⎰x x x x x x C ．当被积函数是指数函数与正（余）弦函数的乘积时，任选一种函数凑微分，经过两次分部积分后，会还原到原来的积分形式，只是系数发生了变化，我们往往称它为“循环法”，但要注意两次凑微分函数的选择要一致．例38 求3sec d x x ⎰．解 32sec d sec d tan sec tan sec tan d x x x x x x x x x ==⋅-⋅⎰⎰⎰3sec tan sec d sec d x x x x x x =⋅+-⎰⎰，利用 1sec d ln sec tan x x x x C =++⎰ 并解方程得3sec d x x ⎰=1(sec tan ln sec tan )2⋅++x x x x +C ．在求不定积分的过程中，有时需要同时使用换元法和分部积分法．例39求x ⎰．解令2,d 2d t t x t t ===，e 2d 2de 2e 2e d 2e 2e t t t t t t x t t t t t t C C ===-=-+=-+⎰⎰⎰⎰．例40 求cos(ln )d x x ⎰． 解 令ln ,e ,d e d t t t x x x t ===，cos(ln )d x x ⎰=()()1cos e d e sin cos sin ln cos ln 22t t xt t t t C x x C ⋅=++=++⎰． 下面再看一个抽象函数的例子．例41 已知()f x 的一个原函数是sin xx，求()d '⎰xf x x ？ 解 因为()f x 的一个原函数是sin x x ，所以sin ()d =+⎰xf x x C x， 且 2sin cos sin ()'-⎛⎫==⎪⎝⎭x x x xf x x x ．从而 原式()()d d[()]()d '===-⎰⎰⎰xf x x x f x xf x f x x cos 2sin x x xC x-=+．习题4-2一、求下列不定积分． 1．2014(23)d -⎰x x ； 2．23d (12)-⎰xx ；3．()d +⎰k a bx x （0b ≠）； 4．sin3d x x ⎰； 5．()cos d x x αβ-⎰； 6．tan5d x x ⎰； 7．3e d x x -⎰； 8．210d x x ⎰； 9．121e d x x x⎰；10．2d 19xx +⎰； 11．2d πsin 24x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰；12．x ⎰；13．2(23)d 38--+⎰x xx x ；14．；15．e sin e d x x x ⎰； 16．2e d x x x ⎰； 17．x ； 18．θ；19．；20．22(arctan )d 1+⎰x x x ；21．2d 3x x x+⎰；22．21d 413x x x x -++⎰；23．2cos d x x ⎰； 24．4sin d x x ⎰； 25．1tan d sin 2xx x+⎰； 26．22cos sin d x x x ⎰； 27．3cos d x x ⎰； 28．35sin cos d x x x ⎰； 29．4sec d x x ⎰；30．4tan d x x ⎰； 31．22d sin cos xx x⎰；32．4；33．；34．322d (1)-⎰x x ；35．3322d (1)+⎰x xx ；36．2x ；37．3222d ()+⎰xx a ；38．x ； 39． 40． 41．；42．；43．x ； 44．x ；45．42d xx x -⎰； 46．2d (1)+⎰xx x ．二、求下列不定积分．1．sin 2d x x x ⎰； 2．-(e e )d 2-⎰x x x x ； 3．2cos d x x x ω⎰；4．2d x x a x ⎰；5．ln d x x ⎰； 6．ln d n x x x ⎰（1n ≠）； 7．arctan d x x ⎰； 8．arccos d x x ⎰； 9．e cos d ax nx x ⎰；10．2ln(1)d +⎰x x x ；11．32ln d xx x⎰；12．2(arcsin )d ⎰x x ；13．2cos d x x x ⎰； 14．2tan d x x x ⎰；15．22cos d x x x ⎰； 16．2ln cos d cos xx x⎰；17．3ln d xx x ⎰； 18．x ⎰．三、已知()f x 的一个原函数是2-e x ，求()d '⎰xf x x .第3节 有理函数的积分3.1 有理函数的积分有理函数的形式:有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数,即具有如下形式的函数: mm m m nn n n b x b x b x b a x a x a x a x Q x P ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=----11101110)()(,其中m 和n 都是非负整数; a 0,a 1,a 2,⋅⋅⋅,a n 及b 0,b 1,b 2,⋅⋅⋅,b m 都是实数,并且a 0≠0,b 0≠0.当n <m 时,称这有理函数是真分式;而当n ≥m 时,称这有理函数是假分式. 假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式.例如1111)1(1122223++=+++=+++x x x x x x x x . 真分式的不定积分:求真分式的不定积分时,如果分母可因式分解,则先因式分解,然后化成部分分式再积分. 例1 求⎰+-+dxx x x 6532.解⎰+-+dx x x x 6532⎰--+=dx x x x )3)(2(3⎰---=dx x x )2536(⎰⎰---=dx x dx x 2536=6ln|x -3|-5ln|x -2|+C . 提示:)3)(2()32()(23)3)(2(3----++=-+-=--+x x B A x B A x B x A x x x ,A +B =1,-3A -2B =3,A =6,B =-5. 分母是二次质因式的真分式的不定积分: 例2 求⎰++-dxx x x 3222.解⎰++-dx x x x 3222dx x x x x x )3213322221(22++-+++=⎰dx x x dx x x x ⎰⎰++-+++=321332222122 ⎰⎰+++-++++=2222)2()1()1(332)32(21x x d x x x x d C x x x ++-++=21arctan 23)32ln(212. 提示:321332221323)22(213222222++⋅-++-⋅=++-+=++-x x x x x x x x x x x .例3 求⎰-dx x x 2)1(1.解⎰⎰-+--=-dx x x x dx x x ])1(1111[)1(122⎰⎰⎰-+--=dx x dx x dx x 2)1(1111C x x x +----=11|1|ln ||ln .提示:222)1(1)1(1)1(1)1(1-+--=-+-=-x x x x x x x x x 22)1(1111)1(1)1(1-+--=-+-+--=x x x x x x x x .3.2 三角函数有理式的积分三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数,其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算.由于各种三角函数都可以用sin x 及cos x 的有理式表示,故三角函数有理式也就是sin x 、cos x 的有理式. 用于三角函数有理式积分的变换:把sin x 、cos x 表成2tan x 的函数,然后作变换2tan xu =:222122tan 12tan 22sec 2tan 22cos 2sin 2sin u u x xx x x x x +=+===, 222222112sec 2tan 12sin 2cos cos u u x x x x x +-=-=-=.变换后原积分变成了有理函数的积分. 例4 求⎰++dx x x x )cos 1(sin sin 1. 解 令2tanx u =,则212sin u u x +=,2211cos u u x +-=,x =2arctan u ,du u dx 212+=. 于是⎰++dx x x x )cos 1(sin sin 1⎰+-++++=)111(12)121(2222u u u u u u du u 212+⎰++=du u u )12(21 C u u u +++=|)|ln 22(212C x x x +++=|2tan |ln 212tan 2tan 412. 说明: 并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分. 例如,⎰⎰++=++=+Cx x d xdx x x )sin 1ln()sin 1(sin 11sin 1cos .习题4-3求下列不定积分．1.x dx x +⎰33；2.x dx x x ++-⎰223310； 3.x dx x x +-+⎰2125； 4.()dx x x +⎰21 ；5.()()x dx x x ++-⎰22111；6.()()x dx x ++⎰22211；7.sin dx x +⎰23； 8.cos dxx +⎰3；9.sin dx x +⎰2 ； 10.sin cos dx x x++⎰1；11.sin cos dxx x -+⎰25； 12.⎰.第4节 MATLAB 软件的应用在高等数学中，经常利用函数图形研究函数的性质，在此，我们应用MA TLAB 命令来实现这一操作.MATLAB 符号运算工具箱提供了int 函数来求函数的不定积分，该函数的调用格式为：Int(fx,x) %求函数f(x)关于x 的不定积分参数说明：fx 是函数的符号表达式，x 是符号自变量，当fx 只含一个变量时，x 可省略. 例计算下面的不定积分.sin .cos x xI dx x+=+⎰1syms xI=int((x+sin(x)/(1+cosx))) I=X*tan(x/2)说明：由上述运行结果可知，int 函数求取的不定积分是不带常数项的，要得到一般形式的不定积分，可以编写以下语句：syms x c fx=f(x); int(fx,x)+c以sin cos x xI dx x +=+⎰1为例，编写如下语句可以得到其不定积分：syms x cfx=(x+sin(x))/(1+cos(x)); I=int(fx,x)+c I=C+x*tan(x/2)在上述语句的基础上再编写如下语句即可观察函数的积分曲线族： ezplot(fx,[-2,2]) hf=ezplot(fx,[-2,2]); xx=linspace(-2,2);plot(xx,subs(fx,xx),’k ’,’LineWidth ’,2) hold on for c=0:6Y=inline(subs(I,C,c));Plot(xx,y(xx),’LineStyle ’,’- -’); Endlegend(‘函数曲线’，’积分曲线族’，4).总习题4 (A)一、填空题1．若()f x 的一个原函数为cos x ，则()d f x x ⎰=． 2．设()d sin f x x x C =+⎰，则2(1)d xf x x -⎰＝． 3．2e d x x x =⎰． 4．1d 1cos 2x x=+⎰．5．22(arctan )d 1x x x +⎰＝．二、选择题1．曲线()y f x =在点(,())x f x 处的切线斜率为1x，且过点2(e ,3)，则该曲线方程为． (A) ln y x =(B) ln 1y x =+(C) 211y x =-+ (D) ln 3y x =+2．设()f x 的一个原函数是2e x -，则()d xf x x '=⎰．(A) 222e x x C --+ (B) 222e x x -- (C) 22e (21)x x C ---+(D) ()()d xf x f x x +⎰3．设()F x 是()f x 的一个原函数，则．(A) ()()d ()f x x F x '=⎰(B) ()()d ()f x x f x '=⎰(C)d ()()F x F x =⎰(D) ()()d ()F x x f x '=⎰4．设()f x 的原函数为1x，则()f x '等于． (A) ln x(B)1x(C) 21x -(D)32x 5．2d x x x =⎰．(A) 22xxx C -+(B) 222ln 2(ln 2)x xx C -+(C) 22ln (ln 2)2x x x x C -+(D) 222x x C + 三、计算下列各题1．x ；2．1d e e x xx --⎰； 3．2ln(1+)d x x ⎰； 4．2d 23++⎰xx x ；5．sin ecosxd xx ⎰；6．742d (1)x xx +⎰；7．12e d x x -⎰； 8．；9．1d e 1xx -⎰； 10．3d (1)xx x -⎰；11．x x ；12．x ； 13．4d 1xx -⎰； 14．； 15．32ln d x x x ⎰； 16．17．x ⎰； 18．19．20．4sin d 2xx ⎰；21．24(tan tan )d x x x +⎰；22．2sec d 1tan ⎛⎫ ⎪+⎝⎭⎰x x x ；23．sin(lnx)d x ⎰； 24．5；25．x ；26．54tan sec d t t t ⎰；27．3sin x π⎰； 28．64tan cos d sin x x x x⎰；29．44d sin cos xx x⎰；30．1sin d 1sin +-⎰xx x；31．x x ；32．x ⎰；33．e (1)d +⎰x x x x ； 34．x ；35．2ln(1)d x x x +⎰；36．x ． (B)1.（1999、数学一）设()f x 是连续函数()F x 是()f x 的原函数,则( ). (A) 当()f x 是奇函数时,必是偶函数.(B) 当()f x 是偶函数时,()F x 必是奇函数.(C) 当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数.(D) 当()f x 是单调增函数时,()F x 必是单调增函数.2.（2006、数学二） 求arctan xxe dx e ⎰. 3.（2003、数学二） 计算不定积分.)1(232arctan dx x xe x ⎰+.4.(2009、数学三)计算不定积分ln(1dx +⎰(0)x >.。
同济大学(高等数学)_第四章_不定积分
第四章 不定积分前面讨论了一元函数微分学，从本章开始我们将讨论高等数学中的第二个核心内容：一元函数积分学．本章主要介绍不定积分的概念与性质以及基本的积分方法．第1节 不定积分的概念与性质1.1 不定积分的概念在微分学中,我们讨论了求一个已知函数的导数（或微分)的问题，例如,变速直线运动中已知位移函数为()s s t =,则质点在时刻t 的瞬时速度表示为()v s t '=．实际上，在运动学中常常遇到相反的问题，即已知变速直线运动的质点在时刻t 的瞬时速度()v v t =，求出质点的位移函数()s s t =．即已知函数的导数，求原来的函数．这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在．为了便于研究，我们引入以下概念．1。
1。
1原函数定义1 如果在区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I ∈，都有()()F x f x '= 或 d ()()d F x f x x =， 那么函数()F x 就称为()f x 在区间I 上的原函数．例如,在变速直线运动中，()()s t v t '=,所以位移函数()s t 是速度函数()v t 的原函数； 再如，(sin )'cos x x =，所以sin x 是cos x 在(,)-∞+∞上的一个原函数．1(ln )'(0),x x x=>所以ln x 是1x在(0,)+∞的一个原函数． 一个函数具备什么样的条件，就一定存在原函数呢？这里我们给出一个充分条件．定理1 如果函数()f x 在区间I 上连续,那么在区间I 上一定存在可导函数()F x ，使对任一∈x I 都有()()'=F x f x ．简言之,连续函数一定有原函数．由于初等函数在其定义区间上都是连续函数,所以初等函数在其定义区间上都有原函数．定理1的证明，将在后面章节给出。
关于原函数，不难得到下面的结论：若()()'=F x f x ，则对于任意常数C ,()+F x C 都是()f x 的原函数．也就是说，一个函数如果存在原函数，则有无穷多个．假设()F x 和()φx 都是()f x 的原函数，则[()()]0'-≡F x x φ，必有()()φ-F x x =C ，即一个函数的任意两个原函数之间相差一个常数．因此我们有如下的定理:定理2 若()F x 和()φx 都是()f x 的原函数，则()()-=F x x C φ(C 为任意常数）． 若()()'=F x f x ，则()+F x C （C 为任意常数）表示()f x 的所有原函数．我们称集合{}()|F x C C +-∞<<+∞为()f x 的原函数族．由此，我们引入下面的定义．1。
高等数学课件--D4_1不定积分
x (1 x )
2
2
dx
arctan x ln x C
2012-10-12
例8. 求
1 x 2 dx .
( x 1) 1
2 4
x
4
解: 原式 =
1 x 2 2 ( x 1)( x 1) 1
1 x
2
2
dx
dx
( x 1) dx
1 x2 ) x2 ( x (1 x )
2
2 2
2
1 x
2
1 1 x
2
(2)
sin x cos x
sin x cos x
2 2
sec x csc x
2012-10-12 同济高等数学课件
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2
2
6. 求不定积分 解：
(e
2x
e 1)
csc xdx cot x C
2
同济高等数学课件
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2012-10-12
(10) (11)
sec x tan xdx sec x C csc x cot xdx csc x C
e dx e C
x
(12)
(13)
x
a
x
2
2012-10-12
1 3
x C
3
C 称为积分常数, 不可丢 !
sin xdx
cos x C
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不定积分的几何意义:
的原函数的图形称为 的积分曲线 . 的所有积分曲线组成 的平行曲线族.
《不定积分》课件
幂函数的积分
幂函数的不定积分可 以通过幂函数的求导 公式来推导得到。
指数函数的积分
指数函数的积分也是 通过指数函数的求导 公式来得到的。
三角函数的积分
三角函数的不定积分 是一种特殊的求导法 则，通过观察和记忆 可以得到不同三角函 数的积分。
逐步深入
1
分部积分法
分部积分法是用于求解复杂函数积分的
代换积分法
《不定积分》PPT课件
# 不定积分 PPT课件 数学是一门神奇的学科，而不定积分是数学中的重要概念。本课程将带你深 入了解不定积分的基本概念和应用，希望能够为你打开一扇新世界的门。
前言
什么是积分？
积分是求函数面积的一种方法。它们可以帮助我们理解曲线下是求函数原函数的过程。它们允许我们找到导数的反函数。
2
一种方法。它能够将一个复杂的积分问 题变成两个简单的积分问题。
代换积分法是通过变量代换的方式将一
个复杂的积分转化为一个简单的积分。
3
分式积分
分式积分是对有理分式进行积分的方法。 它可以帮助我们求解一些特殊的积分问 题。
总结
不定积分的应用场景
不定积分在物理，经济学和工程学等领域中具有广泛的应用。它们帮助我们解决实际问题。
3 参考文献
学习不定积分的过程中，阅读参考文献可以加深理解和拓宽知识面。
总结不定积分与定积分的区别
虽然不同积分有相似的计算过程，但它们应用的场景和意义有所不同。
意义与应用
不定积分是数学中的重要工具，它们不仅可以帮助我们理解函数，还可以解决各种数学问题。
结语
1 疑问解答
如果你对不定积分还有疑惑或问题，现在是时候提问了！
2 课程反馈
帮助我们改进课程的反馈对我们来说非常重要。请在课程结束后填写反馈表。
高等数学上：D4_1不定积分1
o
x(t)
(g t
v0 )d t
1 2
g
t
2
v0t
C2
由x(0) x0 , 得C2 x0 , 于是所求运动规律为
x(t)
1 2
gt
2
v0t
x0
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微分与积分之间的关系:
从不定积分定义可知:
(1)
d dx
f (x)d x
f (x)
或 d
(12) ex dx ex C (13) a xdx a x C
ln a
(14) sh xdx ch x C
sh x ex ex 2
ch x ex ex 2
(15) ch xdx sh x C
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例4. 求
解: 原式 =
x
4 3
dx
x341
m
m
m
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问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ?
定理1. 存在原函数 .
(暂时不证明)
初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
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定理 2. 原函数都在函数族
证: 1)
( C 为任意常数 ) 内 .
(7) sin xdx cos x C
(8)
dx cos 2
x
sec2
xdx
tan x C
(9)
d sin
x
2
x
csc2
xdx
cot
xC
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大一上学期同济版高数第四章不定积分ppt课件
7
I 定义 2. f (x) 在区间 I 上的全体原函数称为 f (x)在
上的不定积分, 记作 f (x )d x, 其中
由 x ( 0 ) x ,得 C x ,于是所求运动规律为 0 2 0
2 1 x ( t ) g t v t x 0 0 2
12
从不定积分定义可知: d f (x)dx (1) f ( x )或 d f (x)d x f ( x ) d x dx 或 ( 2 ) x C d C F(x) F(x) F(x) F(x) d 可见，微分法和积分法是互逆运算，当积分运算记号
质点抛出时刻为 t 0, 此时质点位置为 x0 , 初速为 v 0 .
x ( t ) ,则 设时刻 t 质点所在位置为 x
dx v (t ) dt
(运动速度) 再由此求 x(t )
x
x x ( t)
x x ( 0 ) 0
o
11
d2 x d v g (加速度) 2 dt dt 先由此求 v (t )
与微分运算记号 d 连在一起时，或相互抵消，或
抵消后只差一个常数。即
利用逆向思维
“先积后微，形式不变；先微后积，差个常数。” 二、 基本积分表 (P188)
( 1 )
d xkxC k
( k 为常数)
13
( 2 )
x— 积分变量; 若F 则 ( x ) f ( x ) ,
例如,
— 积分号;
同济大学高等数学ppt第一章
contents
目录
• 第一章绪论 • 第一章极限论 • 第一章连续论 • 第一章导数论 • 第一章微分论 • 第一章不定积分论
01
CATALOGUE
第一章绪论
高等数学的研究对象
变量与函数
级数与广义积分 空间解析几何与向量代数
极限理论 微积分学
高等数学的发展历程
线性性质
不定积分具有线性性质，即对于 任意常数C1，C2，有 (C1+C2)*f(x)=C1*f1(x)+C2*f2( x)。
积分常数
不定积分的结果是一个函数，其 常数项为0。
区间可加性
如果在区间(a,b)上有f(x)=f(x)， 则在(a,b)上，f(x)的积分等于f(x) 在(a,b)上定积分的值。
不定积分的计算方法
直接积分法
利用不定积分的定义和性质，将 已知函数进行恒等变形，从而得 到其原函数。
换元积分法
通过引入新的变量，将已知函数 进行换元，从而将复杂函数分解 为简单函数的组合，以便于计算 。
分部积分法
通过将两个函数乘积的导数与其 中一个函数求导再与另一个函数 乘积进行交换，从而得到两个函 数的积的不定积分的一种方法。
利用微分的近似性，我们可以对一些复杂的 函数进行近似计算，从而简化计算过程。例 如，当我们需要计算一个复杂函数的值时， 我们可以先找到这个函数在某一点的微分， 然后用这个微分来近似计算函数的值。
微分在近似计算中的应用
在实际的科学研究和工程设计中，经常会遇 到一些复杂的数学问题，如求解方程、优化 问题等。在这些情况下，利用微分进行近似 计算可以提供一种有效的解决问题的方法。
02
微分的近似性