李雅普诺夫稳定性的基本定理
试确定系统在原点处的稳定性。 试确定系统在原点处的稳定性。 解 1： 由状态方程知 原点为该系统的平衡态。 原点为该系统的平衡态。 ： 由状态方程知,原点为该系统的平衡态 将系统在原点处线性化,则系统矩阵为 将系统在原点处线性化 则系统矩阵为 0 ∂f (x) A= = τ ∂x x =xe − K 2 1 − K1
因此,系统的特征方程为 因此 系统的特征方程为 |λI-A|=λ2+K1λ+K2=0
李雅普诺夫第一法(8/7)
2. 由李雅普诺夫第一法知 原非线性系统的原点为渐近稳定的充 由李雅普诺夫第一法知,原非线性系统的原点为渐近稳定的充 分条件为: 分条件为 K1>0 和 K2>0.
参看课本P168 参看课本
李雅普诺夫第二法(2/3)
李雅普诺夫第二法又称为直接法。 李雅普诺夫第二法又称为直接法。 它是在用能量观点分析稳定性的基础上建立起来的。 它是在用能量观点分析稳定性的基础上建立起来的。 若系统平衡态渐近稳定,则系统经激励后 其储存的能 若系统平衡态渐近稳定 则系统经激励后,其储存的能 则系统经激励后 量将随着时间推移而衰减。当趋于平衡态时,其能量 量将随着时间推移而衰减。当趋于平衡态时 其能量 达到最小值。 达到最小值。 反之,若平衡态不稳定 则系统将不断地从外界吸收能 反之 若平衡态不稳定,则系统将不断地从外界吸收能 若平衡态不稳定 其储存的能量将越来越大。 量,其储存的能量将越来越大。 其储存的能量将越来越大 基于这样的观点,只要能找出一个能合理描述动态系统的 基于这样的观点 只要能找出一个能合理描述动态系统的 n维状态的某种形式的能量正性函数 通过考察该函数随 维状态的某种形式的能量正性函数,通过考察该函数随 维状态的某种形式的能量正性函数 时间推移是否衰减,就可判断系统平衡态的稳定性。 时间推移是否衰减 就可判断系统平衡态的稳定性。 就可判断系统平衡态的稳定性
2 + a22 x2 + ... + a2 n x2 xn
+ ...
2 + ann xn
= ∑∑ aij x i x j
i =1 j ≥ i
n
n
其中a 为实常数。 其中 ij(i=1,2,…,n,j=i,…,n)为实常数。 为实常数
二次型函数和对称矩阵的正定性(2/4)
由线性代数知识知,实二次型函数 由线性代数知识知 实二次型函数V(x)又可表示为 实二次型函数 又可表示为 V(x)=xτPx 其中P称为二次型函数 称为二次型函数V(x)的权矩阵 它为如下 ×n维实对称矩阵 的权矩阵,它为如下 维实对称矩阵: 其中 称为二次型函数 的权矩阵 它为如下n× 维实对称矩阵
1. 数学预备知识
下面介绍在李雅普诺夫稳定性分析中需应用到的如下数学预 备知识: 备知识 函数的正定性 二次型函数和对称矩阵的正定性 矩阵正定性的判别方法
实函数的正定性(1/4)—函数定号性定义 函数定号性定义
(1) 实函数的正定性 实函数正定性问题亦称为函数定号性问题。 实函数正定性问题亦称为函数定号性问题。 它主要讨论该函数的值在什么条件下恒为正,什么条件下 它主要讨论该函数的值在什么条件下恒为正 什么条件下 恒为负的。 恒为负的。 下面先给出n维向量 的标量实函数 的正定性定义。 下面先给出 维向量x的标量实函数 维向量 的标量实函数V(x)的正定性定义。 的正定性定义 定义3-5 设x∈Rn,Ω是Rn中包含原点的一个区域 若实函数 中包含原点的一个区域,若实函数 若实函数V(x) 定义 ∈ Ω 对任意n维非零向量 ∈Ω都有 维非零向量x∈Ω都有V(x)>0;当且仅当 当且仅当x=0时,才有 对任意 维非零向量 ∈Ω都有 当且仅当 时 才有 V(x)=0, 则称函数V(x)为区域Ω上的正定函数。 为区域Ω上的正定函数。 则称函数 为区域 ∆∆∆
李雅普诺夫第一法(6/7)
由上述李雅普诺夫第一法的结论可知,该方法与经典控制理论 由上述李雅普诺夫第一法的结论可知 该方法与经典控制理论 中稳定性判据的思路一致,需求解线性化状态方程或线性状态 中稳定性判据的思路一致 需求解线性化状态方程或线性状态 方程的特征值,根据特征值在复平面的分布来分析稳定性 根据特征值在复平面的分布来分析稳定性。 方程的特征值 根据特征值在复平面的分布来分析稳定性。 值得指出的区别是: 值得指出的区别是 经典控制理论讨论的是输出稳定性问题,而李雅普诺 经典控制理论讨论的是输出稳定性问题 而李雅普诺 夫方法讨论状态稳定性问题。 夫方法讨论状态稳定性问题。 由于李雅普诺夫第一法需要求解线性化后系统的特征值, 由于李雅普诺夫第一法需要求解线性化后系统的特征值 因此该方法也仅能适用于非线性定常系统或线性定常系 因此该方法也仅能适用于非线性定常系统或线性定常系 而不能推广至时变系统。 统,而不能推广至时变系统。 而不能推广至时变系统
参看课本P169 参看课本
实函数的正定性(3/4)—函数定号性定义 函数定号性定义
定义3-6 设x∈Rn,Ω是Rn中包含原点的一个区域 若实函数 中包含原点的一个区域,若实函数 若实函数V(x) ∈ Ω 定义 对任意n维非零向量 ∈Ω,都有 维非零向量x∈Ω 都有V(x)<0;当且仅当 当且仅当x=0时,才有 对任意 维非零向量 ∈Ω 都有 当且仅当 时 才有 V(x)=0,则称函数 则称函数V(x)为区域Ω上的负定函数。 为区域Ω 则称函数 为区域 上的负定函数。 若对任意n维非零向量 ∈Ω 都有V(x)≥0,且V(0)=0,则称函 若对任意 维非零向量x∈Ω 都有 维非零向量 ∈Ω,都有 且 则称函 为区域Ω 数V(x)为区域Ω上的非负定函数。 为区域 上的非负定函数。 若对任意n维非零向量x∈Ω 都有V(x)≤0,且V(0)=0,则称函 ∈Ω, ∈Ω,都有 若对任意n维非零向量x∈Ω 都有V(x)≤0,且V(0)=0,则称函 维非零向量 ∈Ω 为区域Ω 数V(x)为区域Ω上的非正定函数。 为区域 上的非正定函数。 若无论取多么小的原点的某个邻域,V(x)可为正值也可为 可为正值也可为 若无论取多么小的原点的某个邻域 负值,则称函数 则称函数V(x)为不定函数。 为不定函数。 ∆∆∆ 负值 则称函数 为不定函数
实函数的正定性(4/4)
下面是几个在由变量x 组成的2维线性空间中的正定函数 维线性空间中的正定函数、 下面是几个在由变量 1和x2组成的 维线性空间中的正定函数、 负定函数等的例子。 负定函数等的例子。
2 1) 正定函数 x12 + 2 x2 2 ( x1 − 2 x2 ) 2 + x2
2 2) 负定函数 − x12 − 2 x2
实函数的正定性(2/4)—函数定号性定义 函数定号性定义
从定义可知,所谓正定函数 即指除零点外恒为正值的标量函 从定义可知 所谓正定函数,即指除零点外恒为正值的标量函 所谓正定函数 由正定函数的定义,我们相应地可定义 数。由正定函数的定义 我们相应地可定义 负定函数、 负定函数、 非负定(又称半正定或正半定 函数 非负定 又称半正定或正半定)函数、 又称半正定或正半定 函数、 非正定函数(又称半负定或负半定 和 非正定函数 又称半负定或负半定)和 又称半负定或负半定 不定函数。 不定函数。
李雅普诺夫第一法(7/7)—例5-1 例
例3-1 某装置的动力学特性用下列常微分方程组来描述 某装置的动力学特性用下列常微分方程组来描述:
′ x2 x1 x′ = K ( x 2 − 1) x − K x 2 2 1 2 1 1 K1 , K 2 > 0
李雅普诺夫第一法(1/7)
3.2.1 李雅普诺夫第一法
李雅普诺夫第一法又称间接法,它是研究动态系统的一次近似 李雅普诺夫第一法又称间接法 它是研究动态系统的一次近似 数学模型(线性化模型 稳定性的方法。它的基本思路是: 线性化模型)稳定性的方法 数学模型 线性化模型 稳定性的方法。它的基本思路是 首先,对于非线性系统 可先将非线性状态方程在平衡态 首先 对于非线性系统,可先将非线性状态方程在平衡态 对于非线性系统 附近进行线性化, 附近进行线性化 即在平衡态求其一次Taylor展开式 展开式, 即在平衡态求其一次 展开式 然后利用这一次展开式表示的线性化方程去分析系 统稳定性。 统稳定性。 其次,解出线性化状态方程组或线性状态方程组的特征值 其次 解出线性化状态方程组或线性状态方程组的特征值, 解出线性化状态方程组或线性状态方程组的特征值 然后根据全部特征值在复平面上的分布情况来判定系统 在零输入情况下的稳定性。 在零输入情况下的稳定性。
李雅普诺夫第二法(1/3)
3.2.2 李雅普诺夫第二法
由李雅普诺夫第一法的结论可知,该方法能解决部分弱非线性 由李雅普诺夫第一法的结论可知 该方法能解决部分弱非线性 系统的稳定性判定问题,但对强非线性系统的稳定性判定则无 系统的稳定性判定问题 但对强非线性系统的稳定性判定则无 能为力,而且该方法不易推广到时变系统 而且该方法不易推广到时变系统。 能为力 而且该方法不易推广到时变系统。 下面我们讨论对所有动态系统的状态方程的稳定性分析 都适用的李雅普诺夫第二法。 都适用的李雅普诺夫第二法。
(2) 二次型函数和对称矩阵的正定性 二次型函数是一类特殊形式函数。 二次型函数是一类特殊形式函数。 为关于n维变量向量 的实二次型函数,则其可以表 设V(x)为关于 维变量向量 的实二次型函数 则其可以表 为关于 维变量向量x的实二次型函数 示为 V ( x ) = a11 x12 + a12 x1 x2 + ... + a1n x1 xn
李雅普诺夫第一法(2/7)
下面将讨论李雅普诺夫第一法的结论以及在判定系统的状态稳 定性中的应用。 定性中的应用。
设所讨论的非线性动态系统的状态方程为 x’=f(x) 其中f(x)为与状态向量 同维的关于 的非线性向量函数 其各元 为与状态向量x同维的关于 的非线性向量函数,其各元 其中 为与状态向量 同维的关于x的非线性向量函数 素对x有连续的偏导数 有连续的偏导数。 素对 有连续的偏导数。
李雅普诺夫稳定性分析方法
（2）李雅普诺夫第二方法
• 也称直接法,属于直接根据系统结构判断内 部稳定性的方法.
• 该方法直接面对非线性系统,基于引入具有 广义能量属性的Lyapunov函数和分析李氏 函数的定量性, 建立判断稳定性的相应结 论.
• 因此直接法也是一般性方法----Lyapunov 第二法更具有一般性.
(2).平衡状态的形式.平衡状态 可由方程定 出,对二维自治系统, 的形式包括状态空 间中的点和线段.
(3).不唯一性.平衡状态 一般不唯一.
对定常线性系统而言,平衡状态 的解.
• 若矩阵A非奇,则有唯一解 • 若矩阵A奇异,则解 不唯一.
为方程
(4).孤立平衡状态,该状态是指状态空间彼此 分隔的孤立点形式的平衡状态,孤立平衡状 态的重要特征是:通过坐标移动可将其转换 为状态空间的原点.
• Lyapunov函数与
有关,用V(x)来
表示.
• 一般情况下V(x)>0 , 间的变化率.
表示能量随时
•当 少.
表明能量在运动中随时间推移而减
•当 加.
表明能量在运动中随时间推移而增
1.预备知识 1).标量函数V(x)性质意义:
令V(x)是向量x的标量函数,Ω是x空间包含 原点的封闭有限区域. (1).如果对所有区域Ω中的非零向量x,有 V(x)>0,且在x=0处有V(x)=0则在域Ω内称 V(x)为正定.
（3）用李氏方法分析的必要性 • 以一个例子说明:用特征值来判断线性时变
系统一般稳定性是会失效的.
• 其中特征值为 -1,-1.
• 但由于其解为
• 当 时,若 则必有 • 故平衡状态是不稳定的,即系统的实际表现
线性系统理论(郑大钟第二版)第4章
§1 稳定性基本概念
一、外部稳定性与内部稳定性 1．外部稳定性 考虑一个线性因果系统,在零初始条件下,如果对应于任意有界输 入的输出均为有界，则称该系统是外部稳定的。
u(t ) k1
y(t ) k2
系统的外部稳定性也称有界输入－有界输出（BIBO）稳定性。 对于线性定常连续系统，外部稳定的充要条件是系统传递函数 的全部极点具有负实部。
n
it
i 1
i i
2．非线性系统情况 对于非本质性的非线性系统，可以在一定条件下用它的近似 线性化模型来研究它在平衡点的稳定性。
非线性自治系统： x f ( x)
f ( x )为n维非线性向量函数，并对各状态变量连续可微。
xe 0
是系统的一个平衡点。
将f ( x )在平衡点xe 邻域展成泰勒级数: f ( x ) f ( xe )
(t t0 )
则称平衡状态 xe 是稳定的。 可以将下式看成为状态空间中以 xe 为球心，以 为半径的一个超 球体，球域记为 S ( ) ；把上式视为以 xe为球心，以 为半径的一个 超球体，球域记为 S ( ) 。球域 S ( )依赖于给定的实数 和初始时间t 0 。
平衡状态 xe 是稳定的几何解释： 从球域 S ( )内任一点出发的运动 x(t; x0 , t0 )对所有的 t t0 都不超越球域 S ( ) 。 x2 一个二维状态空间中零平衡 S ( ) xe 0 是稳定的几何解释 状态 如右图 。 S ( ) 如果 与 t 0 无关，称为是 一致稳定，定常系统是一致 稳定的。 上述稳定保证了系统受扰运动的有 界性，通常将它称为李雅普诺夫意义 下的稳定，以区别于工程意义的稳定 (还应该具有对于平衡状态的渐进性)。
第4章李雅普诺夫稳定性分析
第4章李雅普诺夫稳定性分析李雅普诺夫稳定性分析是数学分析中的一个重要概念，它用于判断非线性系统在其中一点附近的稳定性。
李雅普诺夫稳定性分析方法最初由俄国数学家李雅普诺夫提出，广泛应用于控制论、微分方程和动力系统等领域。
在进行李雅普诺夫稳定性分析时，首先需要确定非线性系统的平衡点。
平衡点是指系统在其中一时刻的状态不再发生变化，即各个状态变量的导数为零。
在平衡点附近，可以通过线性化的方法来近似非线性系统，即将非线性系统转化为线性系统进行分析。
接下来，利用李雅普诺夫稳定性定理可以判断线性化系统的稳定性。
根据定理的不同形式，可以分为不动点稳定性定理和周期解稳定性定理。
不动点稳定性定理是指当线性化系统的特征根都具有负的实部时，非线性系统在平衡点附近是稳定的；而当至少存在一个特征根具有正的实部时，非线性系统在平衡点附近是不稳定的。
这个定理对于线性化系统为一阶系统或者线性化系统的特征根为复数的情况适用。
周期解稳定性定理是指当线性化系统的所有特征根满足一定条件时，非线性系统在周期解附近是稳定的。
这个定理对于封闭曲线解以及周期解的情况适用。
当线性化系统无法满足上述定理时，可以使用李雅普诺夫直接法来判断非线性系统的稳定性。
李雅普诺夫直接法是基于李雅普诺夫函数的概念，通过构造合适的李雅普诺夫函数来判断非线性系统的稳定性。
李雅普诺夫函数是满足以下条件的函数：1）李雅普诺夫函数的导数在其中一区域内是负定的，即导数的每个分量都小于或等于零；2）在平衡点附近，李雅普诺夫函数取得最小值。
通过构造合适的李雅普诺夫函数，并验证满足上述条件，就可以判断非线性系统的稳定性。
如果李雅普诺夫函数的导数在整个状态空间都是负定的，则非线性系统是全局稳定的；如果李雅普诺夫函数的导数在一些有限的状态空间内是负定的，则非线性系统是局部稳定的。
总之，李雅普诺夫稳定性分析是一种有力的工具，可以用于判断非线性系统的稳定性。
不过需要注意的是，李雅普诺夫稳定性分析方法仅适用于平衡点附近的稳定性分析，对于非线性系统的全局稳定性分析还需要其他的方法。
第四章稳定性与李雅普诺夫方法
第四章稳定性与李雅普诺夫方法稳定性与李雅普诺夫方法是控制理论中的两个重要概念。
稳定性是控制系统分析中的基本问题之一，它描述了系统在受到干扰后能否回到平衡状态的能力。
李雅普诺夫方法是一种常用的稳定性分析方法，通过构造李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性。
稳定性是控制系统设计中最基本的要求之一、一个稳定的系统能够在受到干扰后迅速恢复到平衡状态，而不会发生不可控制的震荡或不稳定的行为。
稳定性可以分为两种类型：渐近稳定性和有界稳定性。
渐近稳定性要求系统的状态能够收敛到一个稳定的平衡点，而有界稳定性要求系统的状态能够保持在一个有限范围内。
李雅普诺夫方法是一种通过构造李雅普诺夫函数来判断系统稳定性的方法。
李雅普诺夫函数是一个标量函数，它满足以下条件：1)对于任意非零的向量，李雅普诺夫函数的导数都是负的或零；2)当且仅当系统达到稳定时，李雅普诺夫函数的导数为零。
通过构造李雅普诺夫函数并分析其导数的符号，可以判断系统的稳定性。
在实际应用中，人们通常使用李雅普诺夫直接法、李雅普诺夫间接法和李雅普诺夫-克拉洛夫稳定性定理等方法来进行稳定性分析。
其中，李雅普诺夫直接法是最常用的方法之一，它通过选择一个合适的李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性。
如果可以找到一个李雅普诺夫函数，使得该函数的导数对于所有非零的初始条件都是负的，则系统是渐近稳定的。
李雅普诺夫间接法是通过构造一个李雅普诺夫方程来判断系统的稳定性。
李雅普诺夫方程是一个微分方程，其中包含系统的状态向量和一个非负标量函数，满足一定的条件。
如果可以找到一个满足李雅普诺夫方程的解，并且该解是有界的，则系统是有界稳定的。
李雅普诺夫-克拉洛夫稳定性定理是李雅普诺夫方法的重要理论基础。
该定理表明，如果系统的李雅普诺夫函数存在并且连续可导，并且李雅普诺夫函数的导数满足一定的条件，则系统是渐近稳定的。
这个定理为李雅普诺夫方法的应用提供了重要的理论依据。
总之，稳定性与李雅普诺夫方法是控制理论中基础且重要的概念。
现代控制理论论文
李雅普诺夫稳定性理论李雅普诺夫稳定性理论是近代控制理论中一个重要的组成部分，它在近代控制理论中的最优控制，最优估计，滤波和自适应控制，神经网络等方面发挥了极其重要的作用。
在20世纪30到40年代，奈奎斯特、伯德、维纳等人的著作为自动控制理论的初步形成奠定了基础，经典控制理论以拉氏变换为数学工具，以单输入——单输出的线性定常系统为主要的研究对象。
将描述系统的微分方程或差分方程变换到复数域中，得到系统的传递函数，并以此作为基础在频率域中对系统进行分析和设计，确定控制器的结构和参数。
通常是采用反馈控制，构成所谓闭环控制系统。
经典控制理论具有明显的局限性，突出的是难以有效地应用于时变系统、多变量系统，也难以揭示系统更为深刻的特性。
当把这种理论推广到更为复杂的系统时，经典控制理论就显得无能为力了，即便对这些极简单的对象、对象描述及控制任务，理论上也尚不完整，从而促使现代控制理论的发展——对经典理的精确化、数学化及理论化。
俄国数学家和力学家李雅普诺夫在1892年所创立的用于分析系统稳定性的理论。
对于控制系统，稳定性是需要研究的一个基本问题。
在研究线性定常系统时，已有许多判据如代数稳定判据、奈奎斯特稳定判据等可用来判定系统的稳定性。
李雅普诺夫稳定性理论能同时适用于分析线性系统和非线性系统、定常系统和时变系统的稳定性，是更为一般的稳定性分析方法。
李雅普诺夫稳定性理论主要指李雅普诺夫第二方法，又称李雅普诺夫直接法。
李雅普诺夫第二方法可用于任意阶的系统，运用这一方法可以不必求解系统状态方程而直接判定稳定性。
对非线性系统和时变系统，状态方程的求解常常是很困难的，因此李雅普诺夫第二方法就显示出很大的优越性。
与第二方法相对应的是李雅普诺夫第一方法，又称李雅普诺夫间接法，它是通过研究非线性系统的线性化状态方程的特征值的分布来判定系统稳定性的。
第一方法的影响远不及第二方法。
在现代控制理论中，李雅普诺夫第二方法是研究稳定性的主要方法，既是研究控制系统理论问题的一种基本工具，又是分析具体控制系统稳定性的一种常用方法。
李雅普诺夫稳定性分析
第六章 李雅普诺夫稳定性分析在反馈控制系统的分析设计中，系统的稳定性是首先需要考虑的问题之一。
因为它关系到系统是否能正常工作。
经典控制理论中已经建立了劳斯判据、Huiwitz 稳定判据、Nquist 判据、对数判据、根轨迹判据等来判断线性定常系统的稳定性，但不适用于非线性和时变系统。
分析非线性系统稳定性及自振的描述函数法，则要求系统的线性部分具有良好的滤除谐波的性能；而相平面法则只适合于一阶、二阶非线性系统。
1892年俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov ）提出的稳定性理论是确定系统稳定性的更一般的理论，它采用状态向量来描述，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用于多变量、非线性、时变系统。
§6-1 外部稳定性和内部稳定性系统的数学模型有输入输出描述（即外部描述）和状态空间描述（即内部描述），相应的稳定性便分为外部稳定性和内部稳定性。
一、外部稳定性1、定义（外部稳定性）：若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的，则称该系统是外部稳定的。
(外部稳定性也称为BIBO （Bounded Input Bounded Output ）稳定性) 说明：（1）所谓有界是指如果一个函数)(t h ，在时间区间],0[∞中，它的幅值不会增至无穷，即存在一个实常数k ，使得对于所有的[]∞∈0t ，恒有∞<≤k t h )(成立。
（2）所谓零状态响应，是指零初始状态时非零输入引起的响应。
2、系统外部稳定性判据线性定常连续系统∑),,(C B A 的传递函数矩阵为Cxy Bu Ax x=+=BUA sI X BU X A sI CX Y BU AX sX 1)()(--==-=+=B A sIC s G 1)()(--=当且仅当)(s G 极点都在s 的左半平面内时，系统才是外部稳定（或BIBO 稳定）的。
【例6.1.1】已知受控系统状态空间表达式为u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=121160 ， []x y 10= 试分析系统的外部稳定性。
李雅普诺夫关于稳定性的定义
✓
线性定常系统的有界输入有
界输出(BIBO)稳定性
未研究系统的内部状态变化的稳定性，也不能推广 到时变
系统和非线性系统等复杂系统。
➢ 再则，对于非线性系统或时变系统，虽然通过一些 系统转化方法，上述稳定判据尚能在某些特定系统和范 围内应用，但是难以适用于一般系统。
现代控制系统的结构比较复杂，大都存在非线性或时变因 素，即使是系统结构本身，往往也需要根据性能指标的要 求而加以改变，才能适应新的情况，保证系统的正常或最 佳运行状态。
Lyapunov的博士论文被译成法文并于1907年发表，1949年 普林斯顿大学出版社重印了法文版。1992年在Lyapunov的 博士论文发表100周年之际，International Journal of Control （国际控制杂志）以专辑形式发表了Lyapunov论文的英译 版，以纪念他在控制理论领域所作的卓越贡献。
➢ 该方法不仅可用于线性系 统而且可用于非线性时变 系统的分析与设计，已成 为当今控制理论课程的主 要内容之一。
➢ 百余年来Lyapunov理论 得到极大发展, 在数学、 力学、自动控制、机械工 程等领域得到广泛应用。
A.M. Lyapunov是一位天才的数学家。曾从师于大数学家 P.L. Chebyshev（切比雪夫），和A.A. Markov（马尔可夫 ）是同校同学（李比马低两级），并同他们始终保持着良好 的关系。他们共同在概率论方面做出了杰出的贡献。在概率 论中可以看到关于矩的马尔可夫不等式、切比雪夫不等式和 李亚普诺夫不等式等。Lyapunov还在相当一般的条件下证 明了中心极限定理。
✓
经典控制理论讨论的有界输入
有界输出（BIBO）稳定即为外部稳定性 。
Outer stability
04第四章 李雅普诺夫稳定性理论
动态系统的稳定性分析
1 稳定性基本概念 2 李雅普诺夫意义下的稳定性 3 李雅普诺夫第一法 4 李雅普诺夫第二法 5 线性定常系统渐近稳定性判别法
教学要求：
1.正确理解稳定性基本概念和李雅普诺夫意义稳定 性概念
2.熟练掌握李氏第一法,李氏第二法 3.掌握线性系统渐近稳定性分析方法
重点内容：
xe1 , xe2 , xe3在状态空间中是孤立的,称其为孤立平衡点
4. 孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分小的 邻域内不存在别的平衡状态。
说明： (1) 系统不一定都存在平衡点； (2) 但系统也可能有多个平衡点； (3) 平衡点多数在状态空间的原点，可通过适当
的坐标变换移到原点（针对孤立平衡点）； (4) 稳定性问题都是相对于某个状态而言的，对
Xe
说明：
(1) 若系统渐近稳定，则对于x’=Ax而言，A特征值 应均有负实部。
x(t) e At x0
t e A B( )u( )d
0
(2) 若系统大范围渐近稳定，则其必要条件是在整个 状态空间中只有一个平衡点。
(3) 除非S( )对应于整个状态平面 ,否则这些定义只能应用
稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系统状 态方程解的收敛性，而与输入作用u无关。
经典控制理论稳定性判别方法：代数判据，奈 魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据
非线性系统：相平面法(适用于一、二阶非线 性系统)
1982年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性 定理采用了状态向量来描述，适用于单变量， 线性，非线性，定常，时变，多变量等系统。
x1 x2
2 0
即
0 xe1 0
- 2
xe2
现代控制理论_稳定性与李雅普诺夫方法基础知识解析
为此，首先给出关于平衡状态的定义，然后再介绍 李雅普诺夫关于稳定性的定义。
对于一个不受外部作用的系统，如果系统的能量 随时间而最终消失，那么这个系统是渐近稳定的。反 之则不稳定。
若能量在运动过程中不增不减，则称为李雅普诺夫 意义下的稳定。
但由于系统的形式是多种多样的，不可能找到一 种能量函数的统一表达形式。因此，为克服这一困难， 李雅普诺夫引入了一个虚构的能量函数，称为李雅普 诺夫函数，记为v(x，t)或v(x)。由于v(x)是表示能量的 函数，所以v(x) > 0。这样就可以根据 的v(定x) 号性来 判断系统的稳定性。显然，若v(x) > 0，并且 v(x) < 0，则系统就是渐近稳定的。
若系统方程的平衡状态 xe 不仅具有李雅普诺夫意义下
的稳定性，且有
lim
t
(t;
x0,t0 )
xe
0
则称系统的平衡状态 xe是渐近稳定的。
若 与初始时刻 t0无关，则称系统的平衡状态xe是
一致渐近稳定的。
几何意义：
当t 时，从S( )出发的轨迹不仅不超出 S( )，
而且最终收敛于 xe，则称系统的平衡状态是渐近稳定的。
一个控制系统要能够正常工作首要条件是保证系 统稳定。因此，控制系统的稳定性分析是系统分析的 首要任务。
1892年，俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov） 在《运动稳定性的一般问题》一文中，提出了著名的 李雅普诺夫稳定性理论。该理论作为稳定性判别的通 用方法，适用于各类控制系统。李雅普诺夫稳定性理 论的核心是提出了判断系统稳定性的两种方法，分别 被称为李雅普诺夫第一法和第二法。
李雅普诺夫稳定性的定义.ppt
目录(1/1)
目 录
概述 5.1 李雅普诺夫稳定性的定义 5.2 李雅普诺夫稳定性的基本定理
平衡态
平衡态(3/4)
李雅普诺夫稳定性研究的平衡 态附近(邻域)的运动变化问题。 若平衡态附近某充分小邻 域内所有状态的运动最后 都趋于该平衡态,则称该 平衡态是渐近稳定的; 若能维持在平衡态附近某 个邻域内运动变化则称为 稳定的,如上图所示。
xe
x2
xe
x1
不稳定 若发散掉则称为不稳定的, 平衡态
定义5-1 动态系统 x’=f(x,t) 的平衡态是使 f(x,t)0 的状态,并用xe来表示。 从定义5-1可知,平衡态即指状态空间 中状态变量的导数向量为零向量的 点(状态)。
平衡态
平衡态
由于导数表示的状态的运动变 化方向,因此平衡态即指能够保 持平衡、维持现状不运动的状 态,如上图所示。
1范数范数为中心在所定义的范数度量意义下的长度为半径内的各点所组成空间体称为球域记为sx1范数下球域李雅普诺夫意义下的稳定性稳定性定义14李雅普诺夫稳定性定义基于上述数学定义和符号我们有如下李雅普诺夫意义下稳定性的定义
Ch.5 李雅普诺夫稳定性 分析
本章简介(1/2)
本章简介
本章讨论李雅普诺夫稳定性分析。
概述(2/5)
也可以说,系统的稳定性就是系统在受到外界干扰后,系统状 态变量或输出变量的偏差量(被调量偏离平衡位置的数值)过 渡过程的收敛性,用数学方法表示就是