上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷(文卷)

上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测

高三数学试卷（文卷）

2014.1

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，

否则一律得零分.

1. 22

1

lim 2n n n n

→∞+=-___________. 2. 不等式

01

x

x <-的解是___________. 3.已知数列{}n a 中，11a =，*13,(2,)n n a a n n N -=+≥∈，则n a =___________. 4.已知tan tan αβ、是方程2670x x ++=的两根，则tan()αβ+=_______.

5.甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生.为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，则应在甲校抽取的学生数是___________.

6.已知函数1

1()24

x x f x -=

的反函数为1()f x -，则1

(12)f -=___________. 7.已知复数12122,3(),z i z a i a R z z =+=+∈⋅是 实数，则12z z +=___________.

8．二项式291()x x

-的展开式中，含3

x 的项的系数是___________.

9.在锐角ABC V 中,4,3AC BC ==，三角形的面积等于33，则AB 的长为___________.

10.已知实数,x y 满足242y x

x y y ≤⎧⎪

+≤⎨⎪≥-⎩

，则22(1)(1)s x y =++-的最大值是 .

11. 已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于___________.

12.函数32)(2+-=x x x f ，若a x f -)(＜2恒成立的充分条件是21≤≤x ，则实数a 的取值范围是 ．

13.用||S 表示集合S 中的元素的个数，设A B C 、、为集合，称(,,)A B C 为有序三元组．如果集合A B C 、、满足1A B B C C A ===I I I ，且A B C =∅I I ，则称有序三元组

(,,)A B C 为最小相交．由集合{}1,2,3的子集构成的所有有序三元组中，最小相交的有序三

元组的个数为 ．

14. 已知函数**(),,y f x x y =∈∈N N ，对任意*n ∈N 都有[()]3f f n n =，且()f x 是增函数，则(3)f =

二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.

15.设,,a b R a b ∈>，则下列不等式一定成立的是（ ） (A) 22a b > (B)

11

a b

< (C) 2a ab > (D) 22a b > 16. 方程5log sin x x =的解的个数为（ ） (A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 5

17.已知函数,1

)(2

2

+=x x x f 则 ()()()111112(2013)20142320132014f f f f f f f f ⎛⎫

⎛⎫⎛⎫⎛⎫

++++++

+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

K L （ ）

(A) 201021 (B) 201121 (C) 201221 (D) 20132

1

18. 如图所示，点,,A B C 是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB 交于

圆内一点,若OC mOA nOB u u u r u u r u u u r

=+，则（ ）

(A)01m n <+<； (B)1m n +>；

(C)1m n +<-； (D)10m n -<+<；

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出

必要的步骤．

19. （本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分） 如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，

2SD AD ==

（1）求证：SA CD ⊥；

（2）求异面直线SB 与CD 所成角的大小.

20.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明， 声音强度D （分贝）由公式lg D a I b =+(a b 、为非零常数)给出，其中)/(2

cm W I 为声音能量.

（1）当声音强度321,,D D D 满足32132D D D =+时，求对应的声音能量321,,I I I 满足的

B

C

A

O

等量关系式；

（2）当人们低声说话，声音能量为213

/10cm W -时，声音强度为30分贝；当人们正常说

话，声音能量为212

/10

cm W -时，声音强度为40分贝.当声音能量大于60分贝时属于噪音，

一般人在100分贝~120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪. 21、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

如图，设31(,)22

A 是单位圆上一点，

一个动点从点A 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.2秒时，动点到达点B ，t 秒时动点到达点P .设

(,)

P x y ，其纵坐标满足

()sin()()2

2

y f t t π

π

ωϕϕ==+-

<<

.

（1）求点B 的坐标，并求()f t ；

（2）若06t ≤≤，求AP AB ⋅

的取值范围.

22、（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）

已知a 为实数，函数22

22

11()11x x f x a

x x -+=++-. （1）当1a =时，求()f x 的最小值;

（2）当1a =时,判断()f x 的单调性,并说明理由；

（3）是否存在小于0的实数a ，使得对于区间2525,55⎡⎤

-

⎢⎥⎣⎦

上的任意三个实数r s t 、、，都存在以()()()f r f s f t 、、为边长的三角形，请说明理由.

23、（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）

设项数均为k （*

2,k k N ≥∈）的数列}{n a 、}{n b 、}{n c 前n 项的和分别为n S 、n T 、n U . 已知*

2(1,)n n a b n n k n N -=≤≤∈，且集合1212{,,,,,,,}k k a a a b b b ={2,4,6,,42,4}k k - .

（1）已知n n n U 22+=，求数列}{n c 的通项公式；

（2）若4k =，求4S 和4T 的值，并写出两对符合题意的数列}{n a 、}{n b ； （3）对于固定的k ，求证：符合条件的数列对（}{n a ，}{n b ）有偶数对.

y

A

O

x