上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷(文卷)

上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（文卷）2014.1一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 221lim 2n n n n→∞+=-___________. 2. 不等式01xx <-的解是___________. 3.已知数列{}n a 中，11a =，*13,(2,)n n a a n n N -=+≥∈，则n a =___________. 4.已知tan tan αβ、是方程2670x x ++=的两根，则tan()αβ+=_______.5.甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生.为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，则应在甲校抽取的学生数是___________.6.已知函数11()24x x f x -=的反函数为1()f x -，则1(12)f -=___________. 7.已知复数12122,3(),z i z a i a R z z =+=+∈⋅是实数，则12z z +=___________.8．二项式291()x x-的展开式中，含3x 的项的系数是___________.9.在锐角ABC V 中,4,3AC BC ==，三角形的面积等于33，则AB 的长为___________.10.已知实数,x y 满足242y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则22(1)(1)s x y =++-的最大值是 .11. 已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于___________.12.函数32)(2+-=x x x f ，若a x f -)(＜2恒成立的充分条件是21≤≤x ，则实数a 的取值范围是．13.用||S 表示集合S 中的元素的个数，设A B C 、、为集合，称(,,)A B C 为有序三元组．如果集合A B C 、、满足1A B B C C A ===I I I ，且A B C =∅I I ，则称有序三元组(,,)A B C 为最小相交．由集合{}1,2,3的子集构成的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数为．14. 已知函数**(),,y f x x y =∈∈N N ，对任意*n ∈N 都有[()]3f f n n =，且()f x 是增函数，则(3)f =二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15.设,,a b R a b ∈>，则下列不等式一定成立的是（） (A) 22a b > (B)11a b< (C) 2a ab > (D) 22a b > 16. 方程5log sin x x =的解的个数为（） (A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 517.已知函数,1)(22+=x x x f 则 ()()()111112(2013)20142320132014f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K L （）(A) 201021 (B) 201121 (C) 201221 (D) 20132118. 如图所示，点,,A B C 是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点,若OC mOA nOB u u u r u u r u u u r=+，则（）(A)01m n <+<； (B)1m n +>；(C)1m n +<-； (D)10m n -<+<；三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．19. （本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，2SD AD ==（1）求证：SA CD ⊥；（2）求异面直线SB 与CD 所成角的大小.20.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明，声音强度D （分贝）由公式lg D a I b =+(a b 、为非零常数)给出，其中)/(2cm W I 为声音能量.（1）当声音强度321,,D D D 满足32132D D D =+时，求对应的声音能量321,,I I I 满足的BCAO等量关系式；（2）当人们低声说话，声音能量为213/10cm W -时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为212/10cm W -时，声音强度为40分贝.当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100分贝~120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪. 21、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）如图，设31(,)22A 是单位圆上一点，一个动点从点A 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.2秒时，动点到达点B ，t 秒时动点到达点P .设(,)P x y ，其纵坐标满足()sin()()22y f t t ππωϕϕ==+-<<.（1）求点B 的坐标，并求()f t ；（2）若06t ≤≤，求AP AB ⋅的取值范围.22、（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）已知a 为实数，函数222211()11x x f x ax x -+=++-. （1）当1a =时，求()f x 的最小值;（2）当1a =时,判断()f x 的单调性,并说明理由；（3）是否存在小于0的实数a ，使得对于区间2525,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的任意三个实数r s t 、、，都存在以()()()f r f s f t 、、为边长的三角形，请说明理由.23、（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）设项数均为k （*2,k k N ≥∈）的数列}{n a 、}{n b 、}{n c 前n 项的和分别为n S 、n T 、n U . 已知*2(1,)n n a b n n k n N -=≤≤∈，且集合1212{,,,,,,,}k k a a a b b b ={2,4,6,,42,4}k k - .（1）已知n n n U 22+=，求数列}{n c 的通项公式；（2）若4k =，求4S 和4T 的值，并写出两对符合题意的数列}{n a 、}{n b ；（3）对于固定的k ，求证：符合条件的数列对（}{n a ，}{n b ）有偶数对.yAOx上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷答案（文卷）2014.1一、填空题. 1.122. 01x <<（或(0,1)）3. 32n -4. 15. 306. 2log 37. 42 8． -126 9. 13 10. 90 11. 15π 12. 1＜a ＜4 13. 6 14.6二、选择题15. D 16. B 17. D 18. B 三、解答题 19. 解：（1）∵SD ⊥平面ABCDCD ⊆平面ABCD∴CD ⊥SD ……………………3分又四边形ABCD 是正方形，∴CD ⊥AD ∴CD ⊥平面SDASA ⊆平面SDA∴SA ⊥CD. ……………………………………6分（2）∵AB ‖CD∴SBA ∠或其补角是异面直线SB 与CD 所成角.…………………………8分由（1），BA ⊥平面SDA ，∴△SAB 是直角三角形.22tan 22arctan 2SBA SBA ∴∠==∴∠= ………………………………………………11分故异面直线SB 与CD 所成角的大小为arctan 2. …………………………………12分 20.解：（1）32132D D D =+)lg (3)lg (2lg 321b I a b I a b I a +=+++∴ …………………………2分 321lg 3lg 2lg I I I =+∴ ………………………………………………4分 33221I I I =⋅∴ …………………………………………………6分（2）由题意得⎩⎨⎧=+-=+-40123013b a b a ………………………………………8分⎩⎨⎧==16010b a ………………………………………10分∴120160lg 10100<+<I 461010--<<I ………………………………………………………13分答：当声音能量)10,10(46--∈I 时，人会暂时性失聪. ………………………………14分 21、解: (1)当2t =时，22123AOB ππ∠=⨯=，所以2XOB π∠=所以，点B 的坐标是（0，1） ……………………………………………………2分又t 秒时，66XOP t ππ∠=+………………………………………………………4分sin ,(0)66y t t ππ⎛⎫∴=+≥ ⎪⎝⎭. …………………………………………………………6分（2）由31,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(0,1)B ，得31,22AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，又cos ,sin 6666P t t ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，31cos ,sin 662662AP t t ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，…………………………8分3311cos sin 42664266AP AB t t ππππ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1sin 2663t πππ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭1sin 266t ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭………………………………10分 06t ≤≤，5,6666t ππππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦，1sin ,1662t ππ⎛⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ …………12分所以，AP AB ⋅ 的取值范围是30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦………………………………14分22、解：易知()f x 的定义域为(1,1)-，且()f x 为偶函数.（1）1a =时, ()22224112111x x f x x x x-+=+=+-- ………………2分0x =时()22221111x x f x x x-+=++-最小值为2. …………………………4分（2）1a =时, ()22224112111x x f x x x x-+=+=+-- [)0,1x ∈时， ()f x 递增； (]1,0x ∈-时，()f x 递减；…………………………6分()f x 为偶函数.所以只对[)0,1x ∈时，说明()f x 递增.设1201x x ≤<<，所以4412110x x ->->，得44121111xx<--()()12441211011f x f x xx-=-<--所以[)0,1x ∈时， ()f x 递增；………………………………………………10分（3）2211x t x -=+，25251,,[,1]553x t ⎡⎤∈-∴∈⎢⎥⎣⎦，1(1)3a y t t t ∴=+≤≤ 从而原问题等价于求实数a 的范围，使得在区间1[,1]3上，恒有min max 2y y >.……12分当0a <时, a y t t =+，1,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦为递增函数.……………………………………14分由()123103a a ⎛⎫+>+>⎪⎝⎭，得115a >与0a <矛盾.所以不存在小于0的实数a ，使得对于区间2525,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的任意三个实数r s t 、、，都存在以()()()f r f s f t 、、为边长的三角形. ……………………………16分23、解：（1）1=n 时，411==U c2≥n 时，111222)1(222---+=---+=-=n n n n n n n n U U c ，41=c 不适合该式故，14,122,2n n n c n k -=⎧=⎨+≤≤⎩…………………………………………………………4分（2）4412341234()()S T a a a a b b b b -=+++-+++11223344()()()()a b a b a b a b =-+-+-+-246820=+++=又4412341234()()S T a a a a b b b b +=+++++++24681012141672=+++++++=得，4S =46，4T =26 …………………………………………………………8分数列}{n a 、}{n b 可以为：① 16,10,8,12；14,6,2,4 ② 14,6,10,16；12,2,4,8 ③ 6,16,14,10；4,12,8,2 ④ 4,14,12,16；2,10,6,8⑤ 4,12,16,14；2,8,10,6 ⑥ 16,8,12,10；14,4,6,2 ……………………10分（3）令42n n d k b =+-，42n n e k a =+-（*1,n k n N ≤≤∈） …………………12分(42)(42)2n n n n n n d e k b k a a b n -=+--+-=-=又1212{,,,,,,,}k k a a a b b b ={2,4,6,,4}k ，得1212{42,42,,42,42,42,,42}k k k a k a k a k b k b k b +-+-+-+-+-+-={2,4,6,,4}k所以，数列对（}{n a ，}{n b ）与（}{n d ，}{n e ）成对出现。

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上海版第03期-2014届高三名校数学(理)试题分省分项汇编专题04 三角函数与三角形(解析版)Word版含解析

一．基础题组1. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】已知θ为第二象限角，54sin =θ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πθ____________．2. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】已知tan tan αβ、是方程2670x x ++=的两根，则tan()αβ+=_______.3. 【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】在△ABC中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c.若bc b a 322=-，B C sin 32sin = ，则角A ＝._________ 【答案】6π【解析】试题分析：本题求三角形的角，由题设条件，可用余弦定理，因此首先把角的关系B C sin 32sin =转化为边的关系，这只要利用正弦定理，可得c =，因此2222cos 222b c a c c A bc bc b +-====22b =，故6A π=.考点：正弦定理与余弦定理.4. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】函数)12arcsin(-=x y 的定义域为．5. 【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】设ω＞0，若函数f (x )=2sin ωx 在［－4,3ππ］上单调递增，则ω的取值范围是_________.6. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】在△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2=a ，32=c ，3π=C ，则=b .【答案】4 【解析】试题分析：此题是解三角形问题，主要是应用正弦定理或余弦定理，对照这两个定理的条件，可用正弦定理求出A ，然后再得出B ，最后应用正弦定理（或余弦定理）求边b ，当然我们也可直接应用余弦定理来求b ，2222cos c a b ab C =+-，即212422c o s3b b π=+-⨯，2280b b --=，解得4b =．考点：解三角形问题．7. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】下列函数中，最小正周期为π的偶函数为（） (A) )4cos()4sin(ππ++=x x y (B)xxy 2sin 2cos 1+=(C) x y 2tan 2= (D)x x y cos sin =8. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】已知4cos 5α=，则cos()2sin()22tan()cot()2παπαππαα-+-+++=______________.9. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】函数()()x x y 2arccos 1arcsin +-=的值域是 .【答案】[]6ππ，10. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】函数x x y 2cos 2sin =的最小正周期是 .11. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】为了得到函数2sin ,36x y x R π⎛⎫=+∈⎪⎝⎭的图像，只需把函数2sin ,y x x R =∈的图像上所有的点------------------（）(A) 向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） (B) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）(C) 向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变）(D) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变）【答案】B【解析】试题分析：这题考查函数图象的两个变换，平移变换，周期变换，当把函数sin()y A x ϕ=+图象上各点横坐标变为原来的1ω，纵坐标不变，则得函数sin()y A x ωϕ=+的图象，故本题选B.考点：三角函数的图象变换.12. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】已知sin 5x =，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则x = .（结果用反三角函数表示）13. 【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）】已知函数()1cos sin )(2-+=x x x f ωω的最小正周期为π，则=ω _________．14. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】将函数x y 2sin =（R ∈x ）的图像分别向左平移m （0>m ）个单位，向右平移n（0>n ）个单位，所得到的两个图像都与函数⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin πx y 的图像重合，则n m + 的最小值为……………………………………………………………………………（） A ．32π B ．65π C ．π D ．34π【答案】C 【解析】试题分析：利用图象变换的结论，函数x y 2sin =（R ∈x ）的图像分别向左平移m （0>m ）个单位，15. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】将函数)(x f y =的图像向右平移4π个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为x y 2sin 2=，则函数)(x f 的表达式可以是………………………………………（）)(A x sin 2. )(B x cos 2. )(C x 2sin . )(D x 2cos .16. 【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）】设锐角ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且 1=a ，A B 2=, 则b 的取值范围为 ………（）.)(A ()3,2 ． )(B ()3,1 ．)(C()2,2 ． )(D ()2,0 ．二．能力题组1. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】如果x x cos sin +>λ对一切R x ∈都成立，则实数λ的取值范围是．2. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】在锐角ABC V 中,4,3AC BC ==，三角形的面积等于AB 的长为___________.3. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】设ω>0，若函数)(x f = sin2xωcos2xω 在区间[－3π，4π]上单调递增，则ω的范围是_____________．4. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】函数)(x f y =的图像与直线b x a x ==,及x 轴所围成图形的面积称为函数)(x f 在[]b a ,上的面积，已知函数nx y sin =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡n π,0上的面积为)(2*∈N n n ，则函数1)3sin(+-=πx y 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,3ππ上的面积为．5. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】已知()sin 2cos 2f x a x b x=+（a ，b 为常数），若对于任意x R ∈都有()5()12f x f π≥，则方程()0f x =在区间[]0,π内的解为 . 【答案】263x x ππ==或【解析】试题分析：三角函数一般先化为sin()A x k ωϕ++的形式，再利用正弦函数的性质来解决问题，本题中)(x f 可化为)2sin()(22ϕ++=x b a x f 的形式，可见函数的周期是ππ==22T ，方程()0f x =在区间[]0,π内应该有两解，由于对任意x R ∈都有()5()12f x f π≥，说明()f x 在512x π=时取得最小值，故方程()0f x =在区间[]0,π内的解为5124ππ±.考点：三角函数的最值与周期.三．拔高题组1. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】已知函数()c x x x f ++=ωωcos sin 3（R x ∈>,0ω，c 是实数常数）的图像上的一个最高点⎪⎭⎫⎝⎛1,6π，与该最高点最近的一个最低点是⎪⎭⎫⎝⎛-3,32π， (1)求函数()x f 的解析式及其单调增区间；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为c b a ,,，且ac BC AB 21-=⋅，角A 的取值范围是区间M ，当M x ∈时，试求函数()x f 的取值范围.试题解析：(1)∵()cos f x x x c ωω=++， ∴()2sin()6f x x c πω=++.∵(,1)6π和2(,3)3π-分别是函数图像上相邻的最高点和最低点， ∴2,2362,2sin() 1.66T T c πππωππω⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⋅++=⎪⎩解得,1,2.T c πω=⎧⎪=-⎨⎪=⎩ ∴()2sin(2)16f x x π=+-.由222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，解得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈.∴函数()f x 的单调递增区间是[,],36k k k Z ππππ-+∈.2. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】已知函数3cos 32cos sin 2)(2-+=x x x x f ，R ∈x ．（1）求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间；（2）在锐角三角形ABC 中，若1)(=A f ，2=⋅，求△ABC 的面积．【答案】（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππk k （Z ∈k ）；（2．【解析】试题分析：（1）三角函数问题一般都是要把三角函数化为()sin()f x A x k ωϕ=++形式，然后利用正弦函数的知识解决问题，本题中选用二倍角公式和降幂公式化简为()2sin(2)3f x x π=+；（2）三角形的面积公式很多，具体地要选用哪个公式，要根据题意来确定，本题中已知2=⋅AC AB ，而cos AB AC AB AC A ⋅=，因此我们选面积公式1sin 2S AB AC A =，正好由已知条件可求出A ，也即求出sin ,cos A A ，从而得面积．3. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知)sin ,cos (ααA ．)sin ,cos (ββB ，其中α、β为锐角，且510=AB ．（1）求)cos(βα-的值；（2）若212tan=α，求αcos 及βcos 的值．【答案】（1）45；（2）3cos 5α=，24cos 25β=．【解析】4. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】如图，设1)2A 是单位圆上一点，一个动点从点A 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.2秒时，动点到达点B ，t 秒时动点到达点P .设(,)P x y ，其纵坐标满足()sin()()22y f t t ππωϕϕ==+-<<.（1）求点B 的坐标，并求()f t ；（2）若06t ≤≤，求AP AB ⋅的取值范围.311sin 4664266AP AB t t ππππ⎛⎫⎛⎫∴⋅=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1sin 2663t πππ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭1sin 266t ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭………………………………10分 06t ≤≤，5,6666t ππππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦，1sin ,1662t ππ⎛⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ …………12分所以，AP AB ⋅ 的取值范围是30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦………………………………14分考点：（1）单位圆的点的坐标；（2）现是的数量积与三角函数的取值范围．5. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】已知以角B 为钝角的的三角形ABC 内角C B A 、、的对边分别为a 、b 、c ，)sin ,3(),2,(A n b a m -== ，且m与n垂直．（1）求角B 的大小；（2）求C A cos cos +的取值范围试题解析：1）∵m 垂直n，∴0sin 23=⋅-A b a （2分）由正弦定理得0)sin 2(sin 2)sin 2(3=-B R A A R （4分）∵0sin ≠A ，∴23sin =B ，（6分）又∵∠B 是钝角，∴∠B 32π= （7分）（2）)3sin(3sin 23cos 21cos )3cos(cos cos cos ππ+=++=-+=+A A A A A A C A （3分）由（1）知A ∈（0，3π），)32,3(3πππ∈+A , （4分） ]1,23()3sin(∈+πA ，（6分） ∴C A cos cos +的取值范围是]3,23( （7分）考点：（1）向量的垂直，正弦定理；（2）三角函数的值域．6. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】行列式cos 2sin 01cos A A x A x x()0A >1121312M M -+，记函数()1121f x M M =+，且()f x 的最大值是4.（1）求A ；（2）将函数()y f x =的图像向左平移12π个单位，再将所得图像上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求()g x 在11,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上的值域．试题解析：（1）11sin 0sin cos 1cos A x M A x x x== ………1分221cos cos 221cos AA x A M A x x=-=-+ ………2分 ()sin 2cos 2sin(2)2224A A f x x x x π=-=- ………3分max 42f ==，所以A =………1分（2）向左移12π得4sin(2)12y x π=-，………2分横坐标变为原来2倍得()4sin()12g x x π=- ………1分因为11(,)1212x ππ∈-，所以5(,)1266x πππ-∈- ………1分所以()(]4sin()2,412g x x π=-∈- ………3分考点：(1)行列式与三角函数的性质；(2)函数图象的变换.7. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】已知函数x x x x f cos sin 322cos )(+=（1）求函数)(x f 的最大值，并指出取到最大值时对应的x 的值；（2）若60πθ<<，且34)(=θf ，计算θ2cos 的值.试题解析：（1）)62sin(22sin 32cos )(π+=+=x x x x f ………………2分由20π≤≤x 得，67626πππ≤+≤x ………4分所以当262ππ=+x 时，2)(m ax =x f ，此时6π=x ………6分（2）由（1）得，34)62sin(2)(=+=πθθf ，即32)62sin(=+πθ……………8分其中2626ππθπ<+<得0)62cos(>+πθ………………10分所以35)62cos(=+πθ……………11分 ]6)62cos[(2cos ππθθ-+=………………13分 621521322335+=⨯+⨯=………………14分考点：（1）三角函数的最值；（2）两角差的余弦公式．8. 【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】在ABC ∆中,已知3AB AC BA BC =.(1)求证:tan 3tan B A =;（2）若cos 5C =，求角A 的大小.(2)∵ cos 0C <C <π=,∴sin C =.∴tan 2C =.…………8分∴()tan 2A B π⎡-+⎤=⎣⎦,即()tan 2A B +=-.∴tan tan 21tan tan A BA B+=-- . …………10分由 (1) ,得24tan 213tan A A =--,解得1tan =1 tan =3A A -，. …………12分∵cos 0A>,∴tan =1A .∴=4A π. …………14分考点：（1）向量的数量积的定义与正弦定理；（2）已知三角函数值，求角.9. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，如图：点A 、B 、C 分别表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿，点C 在点A 的北偏东47°方向，点B 在点C 的南偏西36°方向，点B 在点A 的南偏东79°方向，且A 、B 两点的距离约为3海里.（1）求A 、C 两点间的距离；（精确到0.01）（2）某一时刻，我国一渔船在A 点处因故障抛锚发出求救信号.一艘R 国舰艇正从点C 正东10海里的点P 处以18海里/小时的速度接近渔船，其航线为P →C →A （直线行进），而我东海某渔政船正位于点A 南偏西60°方向20海里的点Q 处，收到信号后赶往救助，其航线为先向正北航行8海里至点M 处，再折向点A 直线航行，航速为22海里/小时.渔政船能否先于R 国舰艇赶到进行救助？说明理由．试题解析：（1）求得11,115CAB ABC ∠=︒∠=︒，……2分由14.25sin11sin115AB ACAC =⇒≈︒︒海里. ……4分10. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，a 、b 是方程220x -+=的两个根，且120A B +=，求△ABC 的面积及AB 的长.考点：(1)正弦定理；（2）余弦定理．。

上海第期高三名校数学理试题分省分项汇编专题函数原卷无答案

一．基础题组1. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】函数2log (1)()2x f x x -=+的定义域是． 2. 【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】设()x f 是R 上的奇函数，当0≤x 时，()x x x f -=22，则()=1f .3. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】函数)2(log 2-=x y 的定义域是_____________．4. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知)(x f y =是定义在R 上的偶函数，且在),0[∞+上单调递增，则满足)1()(f m f < 的实数m 的范围是．5. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】已知函数11()24x x f x -=的反函数为1()f x -，则1(12)f -=___________.6. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】已知幂函数()x f 存在反函数，且反函数()x f 1-过点（2，4），则()x f 的解析式是 . 7. 【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）】已知函数()lg f x x =，若()1f ab =，则22()()f a f b += _________. 8. 【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】已知函数5()2x f x x m-=+的图像关于直线y x =对称，则m = 9.【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】幂函数)(x f y =的图像经过点)21,4(，则1()4f 的值为 .10.【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】函数)1(log )(2-=x x f )21(≤<x 的反函数=-)(1x f . 11.【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】函数()24|2|x f x x -=+的定义域是___________．12. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】函数22log x y x =+的零点在区间（）内（A ）11(,)43 （B ）12(,)35 （C ）21(,)52 （D ）12(,)2313. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】如图，点P 在边长为1的正方形的边上运动，M 是CD 的中点，则当P 沿A B C M ---运动时，点P 经过的路程x 与APM ∆的面积y 的函数()y f x =的图像的形状大致是下图中的（）．2.521y x 2.521y x 2.52y x 1 2.52yx（A ）（B ）（C ）（D ）14. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】若函数()f x 的图像经过(0,1)点，则函数()3f x +的反函数的图像必经过点 .15. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】函数()f x x x a b =++是奇函数的充要条件是--------------------------------------------（）(A) 0ab = (B) 0a b += (C) 220a b += (D) a b = 16. 【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）】O O O O若函数()23-=x x f 的反函数为()x f 1-，则()=-11f ．17. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】已知函数)(x f y =存在反函数)(1x fy -=，若函数)1(-=x f y 的图像经过点)1,3(，则)1(1-f 的值是___________． 18. 【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）】某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x 吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x 万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买吨．二．能力题组1. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】方程22937=-⋅x x 的解是 .2. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥++=0,,0,12)(22x c bx x x x ax x f 是偶函数，直线t y =与函数)(x f 的图像自左至右依次交于四个不同点A 、B 、C 、D ，若||||BC AB =，则实数t 的值为________．3. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】函数x x f πsin 2)(=与函数31)(-=x x g 的图像所有交点的橫坐标之和为．4. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，xx x f 2141)(+-=，则此函数的值域为． 5. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】已知函数32tan sin )(x x x x f ++=，)1,1(-∈x ，则满足不等式0)12()1(<-+-a f a f 的实数a 的取值范围是．6. 【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】函数a y x x 421++=在]1,(-∞∈x 上0>y 恒成立，则a 的取值范围是.__________.7. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】已知函数⎩⎨⎧<+≥-=0),1(0,2)(x x f x a x f x ，若方程0)(=+x x f 有且仅有两个解，则实数a 的取值范围是 . 8. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】已知函数)(x f 有反函数)(1x f -，且[),,0,24)(1+∞∈-=+x x f x x 则=-)0(1f ．9. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】（理）函数)(x f 的定义域为A ，若A x x ∈21,且)()(21x f x f =时总有21x x =，则称)(x f 为单函数，例如，函数)(12)(R x x x f ∈+=是单函数．下列命题：①函数)()(2R x x x f ∈=是单函数；②指数函数)(2)(R x x f x ∈=是单函数；③若)(x f 为单函数，A x x ∈21,且21x x ≠，则)()(21x f x f ≠；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数；⑤若)(x f 为单函数，则函数)(x f 在定义域上具有单调性．其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)10. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】某同学为了研究函数)10()1(11)(22≤≤-+++=x x x x f 的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设x CP =，则PF AP x f +=)(．那么可推知方程222)(=x f 解的个数是………………………………（）（A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）4.11. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】函数()()g x x R ∈的图像如图所示，关于x 的方程2[()]()230g x m g x m +⋅++=有三个不同的实数解，则m 的取值范围是_______________．12. 【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）】已知函数()21(0)x f x a a =⋅+≠，定义函数(),0,()(),0.f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩ 给出下列命题： ①()()F x f x =； ②函数()F x 是奇函数；③当0a <时，若0mn <，0m n +>，总有()()0F m F n +<成立，其中所有正确命题的序号是 .13. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】给出以下四个命题：（1）对于任意的0>a ，0>b ，则有a b b a lg lg =成立；（2）直线b x y +⋅=αtan 的倾斜角等于α；（3）在空间．．如果两条直线与同一条直线垂直，那么这两条直线平行；（4）在平面．．将单位向量的起点移到同一个点，终点的轨迹是一个半径为1的圆．其中真命题的序号是．14. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】方程5log sin x x =的解的个数为（）(A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 515. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x f π1)(，下列结论不正确．．．的（） .A 此函数为偶函数． .B 此函数是周期函数．.C 此函数既有最大值也有最小值． .D 方程1)]([=x f f 的解为1=x ．16. 【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】函数2xy =的定义域为[,]a b ，值域为[1,16]，a 变动时，方程()b g a =表示的图形可以是（）17. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】我国西部某省4A 级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数()x f 与第x 天近似地满足()xx f 88+=（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费()x g 近似地满足()22143--=x x g （元）．（1）求该村的第x 天的旅游收入()x p （单位千元，1≤x ≤30，*∈N x ）的函数关系；（2）若以最低日收入的20％作为每一天的计量依据，并以纯收入的5％的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？18. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明，声音强度D （分贝）由公式lg D a I b =+(a b 、为非零常数)给出，其中)/(2cm W I 为声音能量.（1）当声音强度321,,D D D 满足32132D D D =+时，求对应的声音能量321,,I I I 满足的等量关系式；（2）当人们低声说话，声音能量为213/10cm W -时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为212/10cm W -时，声音强度为40分贝.当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100分贝~120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪.19．【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】某种海洋生物身体的长度()f t （单位：米）与生长年限t （单位：年）满足如下的函数关系：()41012t f t -+=+.（设该生物出生时t =0）（1）需经过多少时间，该生物的身长超过8米；（2）设出生后第0t 年，该生物长得最快，求()00*t t N ∈的值.三．拔高题组1. 【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】已知52x ⎛ ⎝的展开式中的常数项为T ，()f x 是以T 为周期的偶函数，且当[0,1]x ∈时，()f x x =，若在区间[1,3]-内，函数()()g x f x kx k =--有4个零点，则实数k 的取值范围是． 2. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】已知函数**(),,y f x x y =∈∈N N ，对任意*n ∈N 都有[()]3f f n n =，且()f x 是增函数，则(3)f = 3. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径310=r 毫米,滴管内液体忽略不计.（1）如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，问每分钟应滴下多少滴？（2）在条件(1)下,设输液开始后x （单位：分钟），瓶内液面与进气管的距离为h （单位：厘米），已知当0=x 时，13=h .试将h 表示为x 的函数.（注3310001mm cm =）4. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】某企业生产某种商品x 吨，此时所需生产费用为（100001002+-x x ）万元，当出售这种商品时，每吨价格为p 万元，这里b ax p +=（b a ,为常数，0>x ）（1）为了使这种商品的生产费用平均每吨最低，那么这种商品的产量应为多少吨？（2）如果生产出来的商品能全部卖完，当产量是120吨时企业利润最大，此时出售价格是每吨160万元，求b a ,的值． 5. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】已知函数()()2log f x x a =+.（1）若()()10122f x f x <--<，当1a =时，求x 的取值范围；（2）若定义在R 上奇函数)(xg 满足()()2g x g x +=-，且当01x ≤≤时，)()(x f x g =，求()g x 在[]3,1--上的反函数()h x ；（3）对于（2）中的()g x ，若关于x 的不等式232()1log 382xx t g +-≥-+在R 上恒成立，求实数t 的取值范围.6. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】已知函数()()21,65f x x g x x x =-=-+-.（1）若()()g x f x ≥，求实数x 的取值范围；（2）求()()g x f x -的最大值.7.【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】上海某化学试剂厂以x 千克/小时的速度生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），为了保证产品的质量，需要一边生产一边运输，这样按照目前的市场价格，每小时可获得利润是3100(51)x x+-元. (1)要使生产运输该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；(2)要使生产运输900千克该产品获得的利润最大，问：该工厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.（2）若函数()x f 满足条件（1），且对任意[]10,30∈x ，总有()[]10,30∈x f ，求c 的取值范围；（3）若b=0，函数()x f 是奇函数，()01=f ，()232-=-f ，且对任意[)+∞∈,1x 时，不等式()()0<+x mf mx f 恒成立，求负实数m 的取值范围． 9. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】已知函数2)(++=xm x x f （m 为实常数）．（1）若函数)(x f y =图像上动点P 到定点)2,0(Q 的距离的最小值为2，求实数m 的值；（2）若函数)(x f y =在区间),2[∞+上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m 的取值范围；（3）设0<m ，若不等式kx x f ≤)(在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21x 有解，求k 的取值范围． 10. 【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）】已知向量()1,2x =，()ax a 21,-=，其中0>a .函数()x g ⋅=在区间[]3,2∈x 上有最大值为4,设()()xx g x f =.(1)求实数a 的值；(2)若不等式()033≥-x x k f 在[]1,1-∈x 上恒成立，求实数k 的取值范围.11. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】已知函数R x b a x x x f ∈+-=,)(.（1）当0,1==b a 时，判断)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）当1,1==b a 时，若45)2(=x f ，求x 的值；（3）若0<b ，且对任何[]1,0∈x 不等式0)(<x f 恒成立，求实数a 的取值范围． 12. 【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】已知函数2()F x kx =-，(),)G x m k R =∈（1）若,m k 是常数，问当,m k 满足什么条件时，函数()F x 有最大值，并求出()F x 取最大值时x 的值；（2）是否存在实数对(,)m k 同时满足条件：（甲）()F x 取最大值时x 的值与()G x 取最小值的x 值相同，（乙）k Z ∈？（3把满足条件（甲）的实数对(,)m k 的集合记作A ，设{}222(,)(1),0B m k k m r r =+-≤>，求使A B ⊆的r 的取值范围． 13. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】设函数n nnn x x x x f 2222)(22++++-=Λ．（1）求函数)(2x f 在]2,1[上的值域；（2）证明对于每一个*∈N n ，在[1,2]上存在唯一的n x ，使得0)(=n n x f ；（3）求)()()(21a f a f a f n +++Λ的值．14. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】已知实数0a >，函数()f x =（1）当1a =时，求()f x 的最小值;（2）当1a =时,判断()f x 的单调性,并说明理由；（3）求实数a 的范围，使得对于区间⎡⎢⎣⎦上的任意三个实数r s t 、、，都存在以()()()f r f s f t 、、为边长的三角形.15. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】定义在()0,+∞上的函数()f x ，如果对任意()0,x ∈+∞，恒有()()f kx kf x =（2k ≥，*k N ∈）成立，则称()f x 为k 阶缩放函数.（1）已知函数()f x 为二阶缩放函数，且当(]1,2x ∈时，()121log f x x =+，求(f 的值；（2）已知函数()f x 为二阶缩放函数，且当(]1,2x ∈时，()f x =()y f x x =-在()1,+∞上无零点；（3）已知函数()f x 为k 阶缩放函数，且当(]1,x k ∈时，()f x 的取值范围是[)0,1，求()f x 在(10,n k +⎤⎦（n N ∈）上的取值范围.。

【数学】上海市浦东新区2013届高三下学期三模考试(文)

浦东新区2013年高三综合练习（三模）数学试卷（文科）一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．函数()2x x x f -=的定义域为 .2．如果sin α=，α为第三象限角，则3sin()2πα+= ． 3．设等差数列{}n a 的前n 项之和n S 满足10520S S -=，那么 8a = ． 4．设复数i z 511+=，i m z +=32，i n z z 821+=+),(R n m ∈，则=21z z __________. 5．正方体-ABCD 1111D C B A 中，Q P N M ,,,分别是棱BC A D D C C B ,,,111111的中点，则异面直线MN 与PQ 所成的角等于__________.6．在△ABC 中，C B A 、、的对边分别是c b a ,,，且B b cos 是A c C a cos ,cos 的等差中项，则角B = .7．若①9≤≤b a ,②9>+b a ,则同时满足①②的正整数b a ,有组.8．如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4米时，测得拱桥内水面宽为16米；当水面升高3米后，拱桥内水面的宽度为_________米．9．如图为某几何体的三视图，则其侧面积为 2cm ．10．已知数列}{n a 中,11=a ,)1 *,(271>∈=--n n a a n n nN ，则当n a 取得最小值时n 的值是．11．设正四面体ABCD 的棱长为a ，P 是棱AB 上的任意一点，且P到面BCD ACD ,的距离分别为21,d d ，则=+21d d .12．定义在R 上的函数)(x f 同时满足性质：①对任何R x ∈，均有33)]([)(x f x f =成立；②对任何R x x ∈21,，当且仅当21x x =时，有)()(21x f x f =.则)1()0()1(f f f ++-的值为 .13．对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式:2213=+ 23135=++ 241357=+++3235=+ 337911=++ 3413151719=+++根据上述分解规律,则2513579=++++, 若3*()m m N ∈的分解中最小的数是73,则m 的值为 .14．定义：对于各项均为整数的数列{}n a ，如果i a i +(i =1，2，3，…)为完全平方数，则称数列{}n a 具有“P 性质”；不论数列{}n a 是否具有“P 性质”，如果存在数列{}n b 与{}n a 不是同一数列，且{}n b 满足下面两个条件：（1）123,,,...,n b b b b 是123,,,...,n a a a a 的一个排列；（2）数列{}n b 具有“P 性质”，则称数列{}n a 具有“变换P 性质”．给出下面三个数列： ①数列{}n a 的前n 项和2(1)3n n S n =-； ②数列}{n b ：1，2，3，4，5； ③数列}{n c ：1，2，3，4，5，6.具有“P 性质”的为；具有“变换P 性质”的为 .二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15．非零向量,，m =||，n =||，若向量21λλ+=，则||的最大值为（）A ．n m 21λλ+B ．n m ||||21λλ+C ．||21n m λλ+D ．以上均不对 16．已知数列}{n a 的通项公式为*1()(1)n a n N n n =∈+,其前n 项和910n S =,则双曲线2211x y n n-=+的渐近线方程为（）A ．3y x =±B ．4y x =±C ．10y x =±D ．3y x =±17．已知ABC △中，AC =2BC =，则角A 的取值范围是（）A ．,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭. B ．0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭. C ．0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭18．在平面斜坐标系xoy 中045=∠xoy ,点P 的斜坐标定义为:“若2010e y e x OP +=(其中21,e e 分别为与斜坐标系的x 轴,y 轴同方向的单位向量),则点P 的坐标为),(00y x ”.若),0,1(),0,1(21F F -且动点),(y x M 满足MF MF =,则点M 在斜坐标系中的轨迹方程为（）A B C D三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．本小题满分12分（第1小题满分5分，第2小题满分7分）已知函数()sin f x m x x = ()0m >的最大值为2．（1）求函数()f x 在[]0π，上的值域；（2）已知ABC ∆外接圆半径3=R，ππ()()sin 44f A f B A B -+-=，角A ，B 所对的边分别是a ，b ，求ba 11+的值．20．本题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）设1>a ，函数)(x f 的图像与函数2|2|24--⋅--=x x a a y 的图像关于点)2,1(A 对称．（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若关于x 的方程m x f =)(有两个不同的正数解，求实数m 的取值范围．21．本小题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图1，OA ，OB 是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段CD 和曲线段EF 分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤.为观光旅游的需要，拟过栈桥CD 上某点M 分别修建与OA ，OB 平行的栈桥MG 、MK ，且以MG 、MK 为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK .建立如图2所示的直角坐标系，测得线段CD 的方程是220(020)x y x +=≤≤，曲线段EF 的方程是200(540)xy x =≤≤，设点M 的坐标为(,)s t ，记z s t =⋅.（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度）（1）求z 的取值范围；（2）试写出三角形观光平台MGK 面积MGK S ∆关于z 的函数解析式，并求出该面积的最小值22．本小题满分16分（第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点)2，椭圆C 左右焦点分别为21,F F ，上顶点为E ，21F EF ∆为等边三角形.定义椭圆C 上的点00(,)M x y 的“伴随点”为00(,)x y N a b. （1）求椭圆C 的方程；（2）求MON ∠tan 的最大值；（3）直线l 交椭圆C 于A 、B 两点,若点A 、B 的“伴随点”分别是P 、Q ,且以PQ 为直径的圆经过坐标原点O .椭圆C 的右顶点为D ，试探究ΔOAB 的面积与ΔODE 的面积的大小关系,并证明.23．本小题满分18分（第1小题满分4分，第2小题满分14分）已知数列{}n a ，{}n b 满足：()1*n n n b a a n N +=-∈．（1）若11,n a b n ==，求数列{}n a 的通项公式；（2）若()112n n n b b b n +-=≥，且121,2b b ==．① 记()611n n c a n -=≥，求证：数列{}n c 为等差数列；② 若数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项1a 应满足的条件．数学试卷（文科）参考答案及评分细则一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．]1,0[； 2．13； 3．4； 4．i 1812+-； 5．060； 6．3π； 7．25； 8．8； 9．4π； 10．6或7； 11．a 36； 12．0 ； 13．9； 14．①、②二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15．B ； 16．C ； 17．C ； 18．D ．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．19．本小题满分12分（第1小题满分5分，第2小题满分7分）解：（1）由题意，()f x．………………………2分而0m >，于是m =π()2sin()4f x x =+．…………………………………4分()f x 在]4,0[π上递增．在ππ4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递减，所以函数()f x 在[]0π，上的值域为]2,2[-；…………………………………5分（2）化简ππ()()sin 44f A f B A B -+-=得s i ns i n 6s i n s i n A B A B +=．……………………………………………………7分由正弦定理，得()2R a b +=，……………………………………………9分因为△ABC 的外接圆半径为3=R．a b +．…………………………11分所以211=+ba …………………………………………………………………12分 20．本题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）设点),(y x P 是函数)(x f 图像上任意一点，P 关于点A 对称的点为),(y x P '''，则12='+x x ，22='+y y ，于是x x -='2，y y -='4，………………2分因为),(y x P '''在函数)(x g 的图像上，所以2|2|24-'-'⋅--='x x a a y ，…4分即x x a ay --⋅--=-244||，x x a a y -⋅+=2||，所以xx a a x f -⋅+=2)(||．……………………………………………………6分（2）令t a x=，因为1>a ，0>x ，所以1>t ，所以方程m x f =)(可化为m tt =+2，…………………………………………8分即关于t 的方程022=+-mt t 有大于1的相异两实数解．作2)(2+-=mt t t h ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->>08120)1(2m m h ，………………………………………12分解得322<<m ；所以m 的取值范围是)3,22(．………………………14分21．本小题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由题意，得(,)M s t 在线段CD ：220(020)x y x +=≤≤上，即220s t +=，又因为过点M 要分别修建与OA 、OB 平行的栈桥MG 、MK ，所以510s ≤≤；.…………………………………………………………………2分.211(10)(10)50,51022z s t s s s s =⋅=-=--+≤≤；………………………4分所以z 的取值范围是75502z ≤≤..………………………………………………6分（2）由题意，得200200(,),(,)K s G t s t ，..…………………………………………8分所以11200200140000()()(400)222MGK S MG MK s t st t s st∆=⋅⋅=--=+- 则14000075(400),,5022MGK S z z z ∆⎡⎤=+-∈⎢⎥⎣⎦，..……………………………10分因为函数140000(400)2MGK S z z ∆=+-在75,502z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，..………12分所以当50z =时，三角形观光平台的面积取最小值为225平方米. ..………14分22．本小题满分16分（第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分）解：（1）由已知22222331412a b a b c c a ⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得224,3a b == ,方程为22143x y +=.·······················4分（2）当000=y x 时，显然0tan =∠MON ，由椭圆对称性，只研究0,000>>y x 即可，设k x y k OM ==（>k ），于是32k k ON =···························································5分 =-≤+-=+-=∠32232233232132tan k kk kk MON （当且仅当232=k 时取等号）··············································································8分（3）设1122(,),(,)A x y B x y ,则12,22x x P Q ⎛⎛⎝⎝; 1)当直线l 的斜率存在时,设方程为y kx m =+,由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得: 222(34)84(3)0k x kmx m +++-=；有22122212248(34)08344(3)34k m km x x k m x x k ⎧⎪∆=+->⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩①···································································10分由以PQ 为直径的圆经过坐标原点O 可得: 1212340x x y y +=；整理得: 221212(34)4()40k x x mk x x m ++++= ② 将①式代入②式得:22342k m +=, ································································· 12分048,0,043222>=∆>∴>+m m k又点O 到直线y kx m =+的距离d =2222222221223414334143433411m m kk m kk m k k x x k AB ⋅+=+⋅+=+-++=-+=所以12OAS A ∆==·············································································14分2) 当直线l 的斜率不存在时,设方程为(22)x m m =-<<联立椭圆方程得: 223(4)4m y -=；代入1212340x x y y +=得223(4)304m m --=； 552±=m ,5152±=y 3212121=-==∆y y m d AB S OAB综上: OAB ∆又ODE ∆的面积也为,所以二者相等. ·························································16分23．本小题满分18分（第1小题满分4分，第2小题满分14分）解：（1）当2n ≥时，有()()()21213211121122n n n n n na a a a a a a a ab b b --=+-+-++-=++++=-+．又11a =也满足上式，所以数列{}n a 的通项公式是2122n n na =-+．…………4分（2）①因为对任意的*n N ∈，有5164321n n n n n n n b b b b b b b ++++++====，所以，1656161661626364111221722n n n n n n n n n n c c a a b b b b b b ++--++++-=-=+++++=+++++=，所以，数列{}n c 为等差数列．……………………………………………………8分 ②设()6*n n i c a n N +=∈（其中i 为常数且{}1,2,3,4,5,6i ∈，所以，1666661626364657n n n i n i n i n i n i n i n i n i c c a a b b b b b b +++++++++++++++-=-=+++++=，即数列{}6n i a +均为以7为公差的等差数列．…………………………………… 10分设()677767766666666i i k i ik i k a i a i a a k f k i i k i k i k+++--+====+++++．（其中6,0,n k i k i =+≥为{}1,2,3,4,5,6中一个常数）当76i a i =时，对任意的6n k i =+，有76n a n =；……………………………… 12分当76i a i ≠时，()()()17776666166616i i k k i a i a i f f a i k i k i k i k i +---⎛⎫-=-=- ⎪++++++⎡⎤⎝⎭⎣⎦．（Ⅰ）若76i a i >，则对任意的k N ∈有1k k f f +<，所以数列66k i a k i +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为递减数列；（Ⅱ）若76i a i <，则对任意的k N ∈有1k k f f +>，所以数列66k i a k i +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为递增数列．综上所述，集合74111174111,,,,63236263236B ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫=--=--⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭．当1a B ∈时，数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中必有某数重复出现无数次；当1a B ∉时，数列()61,2,3,4,5,66k i a i k i +⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．………………………………………………………………………………… 18分。

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测试
高三数学试卷（理科） 2013.1
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1．若集合{}{}{}0,,0,2,0,1,2
A m
B A B ===U ，则实数=m . 【答案】1
【解析】因为{}0,1,2A B =U ，所以1A ∈，即1m =.
2．已知二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的增广矩阵是⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-311111，则此方程组的解是【答案】2
.1x y =⎧⎨=⎩
【解析】由题意可知方程组为1
3x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得2.
1x y =⎧⎨=⎩.
3．函数)2(log 2-=x y 的定义域为 .
【答案】),3[+∞
【解析】要使函数有意义，则有2log (2)0
x -≥，即21x -≥，所以3x ≥，即函数
)2(lo g 2-=x y 的定义域为),3[+∞. 4．已知,x y R ∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为 . 【答案】1
16
【解析】因为41x y +=≥116xy ≤，当且仅当142x y ==，即11,28
x y ==时取等号，所以
x y ⋅的最大值为116. 5
．函数1y =+0≥x ）的反函数是 .。

2025届上海浦东新区高三一模数学试卷及答案

浦东新区2024学年度第一学期期末教学质量检测高三数学试卷考生注意：1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟；2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分．一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1.若对数函数log a y x =（0,1a a >≠）的图像经过点(4,2)，则a 的值为．2.直线10x y -+=的倾斜角的大小是．3.已知复数13i z =+，24i z a =+，R a ∈，若12z z -为纯虚数，则2z =．．4.在621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，3x 项的系数是．（用数字作答）．5.在ABC △中，5BC =，45B ∠=，105C ∠=，则AC =．6.已知实数a b 、满足21a b +=，则39ab+的最小值为．7.若等差数列{}n a 满足789=0a a a ++，710=1a a +，则1a =．8.已知函数()y f x =的表达式为()213,02,0xx f x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，，则不等式()1f x ≤的解为．9.已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为12F F 、，双曲线上的点P 在第一象限，且2PF 与双曲线的一条渐近线平行，则12PF F △的面积为．10.某地要建造一个市民休闲公园长方形ABCD ，如图，边2km AB =，边1km AD =，其中区域ADE 开挖成一个人工湖，其他区域为绿化风景区．经测算，人工湖在公园内的边界是一段圆弧，且A 、D 位于圆心O 的正北方向，E 位于圆心O 的北偏东60方向．拟定在圆弧P处修建一座渔人码头，供游客湖中泛舟，并在公园的边DC 、CB 开设两个门M 、N ，修建步行道PM PN 、通往渔人码头，且PM CD ⊥、PN CB ⊥，则步行道PM 、PN 长度之和的最小值是km ．（精确到0.001）11.已知空间中三个单位向量1OA 、2OA 3OA ，1223310OA OA OA OA OA OA ⋅=⋅=⋅=，P 为空间中一点，且满足12.已知在复数集中，等式()()()()43232101234x a x a x a x a x z x z x z x z ++++=----对任意复数x 恒成立，复数1234,,,z z z z 在复平面上对应的4个点为某个单位圆内接正方形的4个顶点，{}{}0123,,,12024,a a a a n n n ⊂≤≤∈Z ，则满足条件的不同集合{}0123,,,a a a a 个数为．二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分．13.若实数a b 、满足22a b >，下列不等式中恒成立的是（）.A a b >.B 11a b<.C 222a b ab +>.D ||a b >14.设m 、n 为两条直线，αβ、为两个平面，且n αβ⋂=.下述四个命题中为假命题的是（）.A 若m α⊥，则m n ⊥.B 若//m α，则//m n .C 若//m α且//m β，则//m n.D 若//m n ，则//m α或//m β15.对一组数据3,3,3,1,1,5,5,2,4，若任意去掉其中一个数据，剩余数据的统计量一定会发生变化的为（）.A 中位数.B 众数.C 平均数.D 方差16.设函数()(),y F x y G x ==的定义域均为R ，值域分别为A B 、，且A B =∅ ．若集合S 满足以下两个条件：（1）A B S ⋃⊆；（2）()S C A B ⋃是有限集，则称()y F x =和()y G x =是S -互补函数．给出以下两个命题：①存在函数()y f x =，使得()2f xy =和()2log y f x =是[]0,16-互补函数；②存在函数()y g x =，使得()sin y g x =和()tan y g x =是[)0,+∞-互补函数．则（）.A ①②都是真命题.B ①是真命题，②是假命题.C ①是假命题，②是真命题.D ①②都是假命题三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数()y f x =的表达式为()sin ,0f x x ωω=>．（1）若函数()y f x =的最小正周期为2π，求ω的值及()y f x =的单调增区间；（2）若2ω=，设函数()y g x =的表达式为()()2g x f x x =+，求当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()y g x =的值域．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，已知AB 为圆柱1OO 底面圆O 的直径，2OA =，母线1AA 长为3，点P 为底面圆O 的圆周上一点．（1）若90BOP ∠=︒，求三棱锥1A PBA -的体积；（2）若60BOP ∠=︒，求异面直线1A B 与AP 所成的角的余弦值．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．申辉中学为期两周的高一、高二年级校园篮球赛告一段落．高一小A 、高二小B 分别荣获了高一年级和高二年级比赛的年级MVP （最有价值球员）．以下是他们在各自8场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率．二分球出手二分球命中率三分球出手三分球命中率小A 100次80%100次40%小B190次70%10次30%现以两人的总投篮命中率（二分球＋三分球）较高者评为校MVP （总投篮命中率＝总命中次数÷总出手次数）（1）小C 认为，目测小A 的二分球命中率和三分球命中率均高于小B ，此次必定能评为校MVP ，试通过计算判断小C 的想法是否准确？（2)小D 是游戏爱好者，设置了一款由游戏人物小a 、小b 轮流投篮对战游戏．游戏规则如下：①游戏中小a 的命中率始终为0.4，小b 的命中率始终为0.3．②游戏中投篮总次数最多为()320,Z k k k ≤≤∈次，且同一个游戏人物不允许连续投篮．③游戏中若投篮命中，则游戏结束，投中者获得胜利；若直至第k 次投篮都没有命中，则规定第二次投篮者获胜．若每次游戏对战前必须设置“第一次投篮人物”和“k ”的值，请解答以下两个问题．（ⅰ）若小a 第一次投篮，请证明小a 获胜概率大；（ⅱ）若小b 第一次投篮，试问谁的获胜概率大？并说明理由．20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知椭圆22184x y +=的左、右焦点分别为12F F 、，过坐标原点的直线交椭圆于A B 、两点，点A 在第一象限．（1）若||OA =，求点A 的坐标；（3）若AE x ⊥轴，垂足为E ，连结BE 并延长交椭圆于点C ，求ABC △面积的最大值．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．过曲线()y f x =上一点P 作其切线，若恰有两条，则称P 为()f x 的“A 类点”；过曲线()y f x =外一点Q 作其切线，若恰有三条，则称Q 为()f x 的“B 类点”；若点R 为()f x 的“A 类点”或“B 类点”，且过R 存在两条相互垂直的切线，则称R 为()f x 的“C 类点”．（1）设()21f x x=，判断点()1,1P 是否为()f x 的“A 类点”，并说明理由；（2）设()3f x x mx =-，若点()2,0Q 为()f x 的“B 类点”，且过点Q 的三条切线的切点横坐标可构成等差数列，求实数m 的值；（3）设()1x x f x e+=，证明：y 轴上不存在()f x 的“C 类点”．yxF 1OF 2AB高三数学参考答案1.22.453.54.205.6.7.-78.[]2,1-9．10.1.17211.812．10选择题CBDA17.（1）由22ππω=，得4ω=，………3分由42,222x k k ππππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，得单调增区间为(),2828k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；………6分（2）()sin 222sin 23g x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，………9分由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，于是sin 213x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，………12分从而()2g x ⎡⎤∈⎣⎦，即()y g x =的值域为2⎡⎤⎣⎦．………14分18．（1）解：三棱锥1A PBA -的体积等于三棱锥1A PBA -的体积，………2分三角形PBA 面积为14242PBA S ∆=⨯⨯=，………2分三棱锥1A PBA -的体积11343A PBA PBA V S -∆=⨯=………2分所以，三棱锥1A PBA -的体积为4；（2）作11//A P AP ，连1BP ，则11P A B ∠是异面直线1A B 与AP 所成的角，………3分11A P AP ==，15A B ==，1P B ==，则11cos P A B ∠==，………4分所以异面直线1A B 与AP 所成的角的余弦值为235．………1分19．（1）小A 总命中率为100×80%+100×40%100+100=60%………2分小B 总命中率为190×70%+10×30%190+10=68%………4分60%<68%………5分综上，小C 想法错误，小B 为校MVP………6分（2）(ⅰ)证明：若“第一次投篮人物”为小a ，()320,Z k k k ≤≤∈，小a 获胜的概率为a P ，小b 的获胜的概率为1aP -0.40.70.60.40.5680.51a aP P ≥+⋅⋅=>>-可得“小a 第一次投篮，小a 获胜概率大”………9分(ⅱ)若“第一次投篮人物”为小b ，()320,Z k k k ≤≤∈，小b 获胜的概率为b P ，小a 的获胜的概率为1bP -()()()110.30.30.70.60.30.70.60.310.4215=10.420.5829mb m m P ++=+⋅++⋅⎡⎤-⎣⎦=- ………12分其中，{}{}2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,213,5,7,9,11,13,15,17,19,2k k m k k -⎧∈⎪⎪=⎨-⎪∈⎪⎩，易证()()115=10.4229m b P f m +=-随着m 的增大而增大，()()20.53f f <<所以当3m ≥也就是720k ≤≤时0.51b bP P >>-综上：若小b 第一次投篮，{}3,4,5,6k ∈时小a 获胜概率大；{}720,Z k k k k ∈≤≤∈时小b 获胜概率大.………14分20．（1）联立22184x y +=与226x y +=，可得A ………4分（2）设00(,)A x y ，12(2,0),(2,0)F F -,2222000014842x y x y +=⇒=-100200),(2,)AF x y AF x y ==--（-2-,-，120000003)(63,3)(44,4)AF AF x y x y x y +=+--=-- （-2-,- (6)分123AF AF +===………8分因为00x <<，所以当02x =时，123AF AF +的最小值为,当00x =时，123AF AF +=所以123AF AF +的取值范围为………10分（3）设00(,)A x y 00B(,)x y --，0E(,0)x ,0,AB y k x =设直线AB 的斜率为k ，00002BE y kk x x +∴==+，直线AB 方程为(0)y kx k =>．由22418y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得22812x k =+．………11分设直线BC ：0()2ky x x =-由022(),2184k y x x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2222200(2)2160k x x k x x k +-+-=．①设C(,)C C x y ，则0x -和C x 是方程①的解，故202(32)2C x k x k +=+，由此得3022C x k y k=+．………13分AEC BOxyC AB d -== (14)分000||AB x =+=12C AB S AB d -==012⨯⨯2222220222121(22)(22)816(1)22(2)()2kx k k k k k k k k k k +++==+=++++………16分法一：21116()16()211()()2)2(1k k k k k S k k k k k ++==++++设1t k k =+，则由0k >得2t ≥，当且仅当1k =时取等号．因为21621tS t =+在[2,)+∞为严格减函数，所以当2t =，即1k =时，S 取得最大值，最大值为329．因此，ABC ∆面积的最大值为329．………18分法二：2234221(1)()(2)()2522k k k kf k k k k k =+=+++++242242(1)(232)'()(252)k k k f k k k -++==++()y f k =在(0,1]k ∈上是严格增函数，在[1,)+∞上是严格减函数1k =时，S 取得最大值，最大值为329．因此，ABC ∆面积的最大值为329．………18分21．（1）()11f =，点P 在()f x 上，()32f x x'=-，设切点为()(),t f t ，切线方程为()2312y x t t t -=--，即3223y x t t =-+，---------------------2分切线过()1,1P ，解得1t =或2t =-，故切线方程为23y x =-+，1344y x =+，点P 为()f x 的“A 类点”．-----------4分（2）()23f x x m '=-，设切点为()(),t f t ，切线方程为()()()323y t mt t mx t --=--，即()2332y tm x t =--，切线过()2,0Q ，则322620t t m -+=，------------------------6分由题意，以上方程有三个不同解，且成等差数列，设为123,,t t t ，公差为d ，()()()321232622t t m t t t t t t -+=---()()321231213231232222t t t t t t t t t t t t t t t =-+++++-比较等式两边系数可得，12312132312330t t t t t t t t t t t t m ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩22132t d m =⎧⎪⇒=⎨⎪=⎩，-------------------------9分经检验，当2m =时，()32f x x x =-，不过()2,0Q ，满足条件，------10分故m 的值为2．（3）（方法1）假设y 轴上存在()f x 的“C 类点”，记为R ，设坐标为()0,a ，()x xf x e'=-，设切点为()(),t f t ，切线方程为()1t t t ty x t e e +-=--，即21t tt t t y x e e ++=-+，过()0,R a ，得21tt t a e++=，方程至少有两个不同解，----------11分设()21t t t g t e ++=，则()2tt t g t e-'=，令()0g t '=，得0t =或1t =，当t 在(),0-∞，()1,+∞上，()0g t '<，()g t 为严格减函数，当t 在()0,1上，()0g t '>，()g t 为严格增函数，------------------13分极小值()01g =，极大值()31g e =，又()31g e e -=>，()2621g e=<，由函数图像可知，当1a =或3e时，方程有两个不同解，当31,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，方程有三个不同解，因为1a =时，()0,1R 在()f x 上，其余情况下R 在()f x 外，所以31,a e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，-----15分设两垂直切线的斜率为12,k k ，对应方程的两根为12,t t ，则12121212121tt t t t t t t k k e e e+⎛⎫⎛⎫=-⋅-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由21t t t a e ++=得()()1212221122211t t t t t t t t ee e a +++++=⋅=，代入上式，有()()22112221211t t t t at t ++++=-，因为12120t t t t e +=-<，所以12,t t 异号，不妨设120t t <<，由均值不等式知，211111t t t ++≥-，222213t t t ++≥，则23a ≥，而2291,a e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，等式无法成立，12,t t 不存在．--------------------------18分故假设不成立，命题得证！（方法2）假设y 轴上存在()f x 的“C 类点”，记为R ，设坐标为()0,a ，()x xf x e'=-，设切点为()(),t f t ，7切线方程为()1t t t t y x t e e +-=--，即21t t t t t y x e e ++=-+，过()0,R a ，得21t t t a e ++=，方程至少有两个不同解，设()21t t t g t e ++=，则()2t t t g t e -'=，令()0g t '=，得0t =或1t =，当t 在(),0-∞，()1,+∞上，()0g t '<，()g t 为严格减函数，当t 在()0,1上，()0g t '>，()g t 为严格增函数，极小值()01g =，极大值()31g e =，又()31g e e -=>，()2621g e =<，设两垂直切线的斜率为12,k k ，对应方程的两根为12,t t ，不妨设12t t <，由函数图像可知，1212t t -<<<，设(),12x xh x x e =--<<，则()1x x h x e -'=，令()0h x '=，得1x =，当x 在()1,1-上，()0h x '<，()g t 为严格减函数，当x 在()1,2上，()0h x '>，()g t 为严格增函数，()1h e -=，()()min 11h x h e ==-，()12h e =，因此()1,h x e e ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，则12121211t t t t k k e e e e ⎛⎫⎛⎫=-⋅->-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，矛盾！故假设不成立，命题得证！。

122013上海市高三数学一模浦东高三数学试卷(理科)

浦东新区2012学年度第一学期期末质量测试高三数学（理）2013.1一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．若集合},0{m A =，}2,0{=B ，}2,1,0{=B A ，则实数=m .2．已知二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-311111，则此方程组的解是 . 3．函数)2(log 2-=x y 的定义域为 .4．已知,x y R ∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为 . 5．函数1y =0≥x ）的反函数是 . 6．函数()2sin sin 44f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为 . 7．等差数列{}n a 中，67812a a a ++=，则该数列的前13项和13S = .8．已知数列{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和是n S ，若232a a +=，341a a +=，则l i m n n S →∞的值为 .9．若一个圆锥的轴截面是边长为4cm 的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为 2cm . 10．二项式nx ⎛+ ⎝的展开式前三项系数成等差数列，则n = . 11．已知甲射手射中目标的频率为0.9，乙射手射中目标的频率为0.8，如果甲乙两射手的射击相互独立，那么甲乙两射手同时瞄准一个目标射击，目标被射中的频率为 .12．已知向量a 与向量b ，2a =，3b =，a 、b 的夹角为60︒，当12,02m n ≤≤≤≤时，ma nb +的最大值为 .13．动点P 在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上从B 向1D 移动，点P 作垂直于面11BB D D 的直线与正方体表面交于,M N ，,BP x MN y ==，则函数()y f x =的A B 1解析式为 . 14．1,2,,n 共有!n 种排列12,,,n a a a （2,n n N *≥∈），其中满足“对所有1,2,,k n=都有2k a k ≥-”的不同排列有种.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15．已知△ABC 两内角A 、B 的对边边长分别为a 、b ，则“B A =”是“cos cos a A b B = ” 的（）()A 充分非必要条件 ()B 必要非充分条件 ()C 充要条件 ()D 非充分非必要条件16．已知函数241)(+=xx f ，若函数1()4y f x m =+-为奇函数，则实数m 为 ()A 12- ()B 0 ()C 12()D 117．若1x ，2x ，3,x ，2013x 的方差为3，则13(2)x -，23(2)x -，33(2),x -，20133(2)x -的方差为（）()A 3 ()B 9 ()C 18 ()D 2718．定义域为[],a b 的函数()y f x =图象的两个端点为,A B ，向量(1)ON OA OB λλ=+-，(,)M x y 是()f x 图象上任意一点，其中[](1),0,1x a b λλλ=+-∈. 若不等式MN k≤恒成立，则称函数()f x 在[],a b 上满足“k 范围线性近似”，其中最小的正实数k 称为该函数的线性近似阀值．下列定义在[]1,2上函数中，线性近似阀值最小的是（）()A 2y x = ()B 2y x =()C sin 3y x π= ()D 1y x x=- 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．（本小题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AC AA ===,45ABC ︒∠=.（1）求点A 到平面1A BC 的距离；（2）求二面角1A AC B --的大小.20．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC 的空地上修建一个占地面积为S 的矩形AMPN 健身场地，如图点M 在AC 上，点N 在AB 上，且P 点在斜边BC 上，已知 60=∠ACB 且30||=AC 米，=AM x ，]20,10[∈x .（1）试用x 表示S ，并求S 的取值范围；（2）设矩形AMPN 健身场地每平方米的造价为Sk37，再把矩形AMPN 以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为Sk12（k 为正常数），求总造价T 关于S 的函数)(S f T =；试问如何选取||AM 的长使总造价T 最低（不要求求出最低造价）.21．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知复数122sin ,1(2cos )z z i θθ==+，[,]32ππθ∈.（1）若12z z ⋅为实数，求角θ的值；（2）若复数12,z z 对应的向量分别是,a b ，存在θ使等式()()0a b a b λλ→→→→+⋅+=成立，求实数λ的取值范围.22．（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）定义数列}{n x ，如果存在常数p ，使对任意正整数n ，总有1()()0n n x p x p +--<成立，那么我们称数列}{n x 为“-p 摆动数列”．（1）设12-=n a n ，n n q b =（01<<-q ），*∈N n ，判断数列}{n a 、}{n b 是否为“-p 摆动数列”，并说明理由；（2）已知“-p 摆动数列”}{n c 满足111+=+n n c c ，11=c ，求常数p 的值；（3）设(1)(21)nn d n =-⋅-，且数列}{n d 的前n 项和为n S ，求证：数列}{n S 是“-p 摆动数列”，并求出常数p 的取值范围.23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分）N设函数12,02()12(1),12x x T x x x ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩（1）求定义在[]0,1上的两个函数⎪⎭⎫ ⎝⎛=)2sin(x T y π和⎪⎭⎫⎝⎛=)(2sin x T y π的解析式；（2）是否存在非负实数a ，使得()()aT x T a x =恒成立，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；（3）定义1()(())n n T x T T x +=，且1()()T x T x = ()n N *∈① 当10,2n x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()n y T x =的解析式；已知下面正确的命题：当11,22n n i i x -+⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(121)ni N i *∈≤≤-，时，都有-1()()2n n n i T x T x =-恒成立. ② 对于给定的正整数m ，若方程()m T x k x =恰有2m个不同的实数根，确定k 的取值范围；若将这些根从小到大排列组成数列{}n x ()12m n ≤≤，求数列{}n x 所有2m项的和.浦东新区2012学年度第一学期期末质量测试高三数学试卷（理科） 2013.1注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将学校、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．1； 2．21x y =⎧⎨=⎩； 3．),3[+∞； 4．116； 5．2(1)y x =-（1≥x ）；6．π； 7．52； 8．316； 9．8π； 10．8； 11．0.98； 12．； 13．,32,x x y x x ⎧⎡∈⎪⎢⎪⎣⎦=⎨⎪∈⎪⎝⎩； 14．223n -⋅.A B c 1BC二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15．A ； 16．C ； 17．D ； 18．D ．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．（本小题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）解：（1）2,45,90AB AC ABC BAC ︒︒==∠=∴∠=，143A ABC V -∴=. 111A BC AB BC AC S ∆===∴=…3分设点A 到平面距离为h ，由111,3A BC A ABC h S V h ∆-⋅=∴=. ∴点A ……………………………………………………6分（2）设1AC 的中点为M ，连结,BM AM . 1111,,,BA BC AA AC BM AC AM AC ==∴⊥⊥. AMB ∴∠是二面角1A AC B --的平面角.……………………………………8分tan AMB AMB ∠=∴二面角1A AC B --的大小为………………………………12分20．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）在PMC Rt ∆中，显然x MC -=30||，60=∠PCM ，∴)30(3tan ||||x PCM MC PM -=∠⋅=，…………2分矩形AMPN 的面积)30(3||||x x MC PM S -=⋅=，[10,20]x ∈ ………4分N于是32253200≤≤S 为所求.………………………6分（2）矩形AMPN 健身场地造价=1T S k 37 ………………………………………7分又ABC ∆的面积为3450，即草坪造价=2T )3450(12S Sk-，……………8分由总造价21T T T +=，∴)3216(25SS k T +=，32253200≤≤S .…10分 36123216≥+SS ，……………………………………………………11分当且仅当SS 3216=即3216=S 时等号成立，……………………………12分此时3216)30(3=-x x ，解得12=x 或18=x ，所以选取||AM 的长为12米或18米时总造价T 最低.………………………14分21．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）[]i i z z )cos 2(1)3sin 2(21θθ+-=⋅(2sin )(2sin 2i R θθθ=++∈，…………………………2分 232sin =∴θ，……………………………………………………………………4分又πθπ≤≤232，πθ322=∴，即3πθ=.……………………………………6分（2）228a b +=，………………………………………………………………………8分2sin a b θθ⋅=-，………………………………………………………10分)()(→→→→+⋅+b a b a λλ0)1()(222=⋅+++=→→→→b a b a λλ.得0)cos 32sin 2)(1(82=-++θθλλ，整理得)3sin(122πθλλ--=+.……12分因为]6,0[3ππθ∈-，所以]21,0[)3sin(∈-πθ. 只要012212≤+≤-λλ即可，…………………………………………………………13分解得32--≤λ或032≤≤+-λ.……………………………………………14分22．（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）解：（1）假设数列}{n a 是“-p 摆动数列”，即存在常数p ，总有1212+<<-n p n 对任意n 成立，不妨取1=n 时则31<<p ，取2=n 时则53<<p ，显然常数p 不存在，所以数列}{n a 不是“-p 摆动数列”； ……………………………………………2分由n n q b =，于是0121<=++n n n q b b 对任意n 成立，其中0=p .所以数列}{n b 是“-p 摆动数列”. ………………………………………………4分（2）由数列}{n c 为“-p 摆动数列”， 11=c 212=⇒c ，即存在常数121<<p ，使对任意正整数n ，总有0))((1<--+p c p c n n 成立；即有0))((12<--++p c p c n n 成立.则0))((2>--+p c p c n n ，…………………………………………………………6分所以p c p c p c n >⇒⇒>>⇒>-1231 .……………………………………7分同理p c p c p c n <⇒⇒<⇒<242 .…………………………………………8分所以122-<<n n c p c ⇒121211--<+n n c c ，解得21512->-n c 即215-≤p .…9分同理n n c c 2211>+，解得2152-<n c ；即215-≥p .…………………………10分综上215-=p .……………………………………………………………………11分（3）证明：由)12()1(-⋅-=n d n n n S n n ⋅-=⇒)1(，…………………………………13分显然存在0=p ，使对任意正整数n ，总有0)1()1(121<+⋅-=++n n S S n n n 成立，所以数列}{n S 是“-p 摆动数列”； …………………………………………………14分当n 为奇数时n S n -=递减，所以11-=≤S S n ，只要1->p 即可当n 为偶数时n S n =递增，22=≥S S n ，只要2<p 即可综上21<<-p ，p 的取值范围是)2,1(-.………………………………………16分23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分）（1）解：函数12sin 023(sin )1222sin 123x x y T x x x πππ⎧≤<⎪⎪==⎨⎪-≤≤⎪⎩函数x x T y ππsin )(2sin =⎪⎭⎫⎝⎛=（10≤≤x ）……………………………………4分（2）12,02()12(1),12ax x y aT x a x x ⎧≤<⎪⎪==⎨⎪-≤≤⎪⎩，12,02()12(1),12ax ax y T ax ax ax ⎧≤<⎪⎪==⎨⎪-≤≤⎪⎩……6分当0a =时，则有(())()0a T x T ax ==恒成立.当0a >时，当且仅当1=a 时有(())()()a T x T ax T x ==恒成立.综上可知当0a =或1a =时，(())()a T x T ax =恒成立；………………………8分（3）① 当10,2n x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，对于任意的正整数11j N i n *∈≤≤-，，都有1022j x ≤≤ 故有2112()(2)(2)(2)(2)2j n nn n n n j y T x T x T x T x T x x ----========…13分② 由①可知当10,2n x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有()2nn T x x =，根据命题的结论可得，当1202,,2222nn n n x ⎡⎤⎡⎤∈⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时，有110102,,22222n n n n n x -⎡⎤⎡⎤-∈⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故有1111()()=2()2222nn n n n n T x T x x x --=--=-+. 因此同理归纳得到，当1,22n n i i x +⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(021)n i N i ∈≤≤-，时，211()(1)(2)=2221ni nn n x i i T x x i x i i ⎧-⎪=---+⎨-++⎪⎩，是偶数，是奇数……………………15分对于给定的正整数m ，1,22m m i i x +⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(021)m i N i ∈≤≤-，时，解方程()m T x kx =得，()121(1)2(1)2i m i i x k++--=--，要使方程()m T x kx =在[]0,1x ∈上恰有2m个不同的实数根，对于任意021mi N i ∈≤≤-，，必须()121(1)122(1)22i m m i mi ii k ++--+<<--恒成立，解得2(0,)21mmk ∈-, 若将这些根从小到大排列组成数列{}n x ，由此可得()121(1)2(1)2n n m nn x k +-+-=+- ()12m n N i *∈≤≤，.……………………17分故数列{}n x 所有2m项的和12212m m S x x x x -=+++024(22)246222m m m m k k ++++-++++=+-+122(42)4m m m k k--=-.……18分。

【2025届上海高三一模数学】2025届上海市浦东新区高三数学一模试卷及答案

浦东新区2024学年度第一学期期末教学质量检测高三数学试卷考生注意：1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟；2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分．一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1.若对数函数log a y x =(0,1)a a >≠的图像经过点()4,2，则a 的值为．2.直线10x y -+=的倾斜角的大小是．3.已知复数13i z =+，24i z a =+，a ∈R ，若12z z -为纯虚数则，则|z 2|=．4.在261(x x+的展开式中，3x 项的系数是．(用数字作答)．5.在△ABC 中，BC =5，∠B =45 ，∠C =105 ，则AC =． 6.已知实数a 、b 满足21a b +=，则39a b +的最小值为． 7.若等差数列{n a }满足7890a a a ++=，7101a a +=，则1a =．8.已知函数()y f x =的表达式为21(),0()2,0xx f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩则不等式()1f x ≤的解为．9.已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为F 1、F 2，双曲线上的点P 在第一象限，且PF 2与双曲线的一条渐近线平行，则△PF 1F 2的面积为．10.某地要建造一个市民休闲公园长方形ABCD ，如图，边AB =2km ，边AD =1km ，其中区域ADE 开挖成一个人工湖，其他区域为绿化风景区．经测算，人工湖在公园内的边界是一段圆弧，且A 、D 位于圆心O 的正北方向，E 位于圆心O 的北偏东60 方向．拟定在圆弧P 处修建一座渔人码头，供游客湖中泛舟，并在公园的边DC 、CB 开设两个门M 、N ，修建步行道PM 、PN 通往渔人码头，且PM ⊥CD 、PN ⊥CB ，则步行道PM 、PN 长度之和的最小值是 km ．(精确到0.001)11.已知空间中三个单位向量1OA 、2OA 、3OA ，1223310OA OA OA OA OA OA ⨯=⨯=⨯=，P 为空间中一点，且满足11OP OA ⨯= ,22OP OA ⨯= ,33OP OA ⨯=，则点P 个数的最大值为．12.已知在复数集中，等式4323211234()(0)()()x a x a x a x a x z x z x z x z ++++=----对任意复数x 恒成立，复数1z ,2z ,3z ,4z 在复平面上对应的4个点为某个单位圆内接正方形的4个顶点，0123{}{,,,12024,}a a a a n n n ⊂≤≤∈Z ，则满足条件的不同集合{0123,,,a a a a }个数为．二、选择题(本大题满分18分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分．13.若实数a 、b 满足22a b >，下列不等式中恒成立的是( )A .a b >B .11a b>C .222a b ab +>D .||a b >14.设m 、n 为两条直线，α、β为两个平面，且a b n = .下述四个命题中为假命题的是()A .若m ⊥α，则m ⊥nB.若m //α，则m //nC.若m //α且m //β，则m //nD.若m //n ，则m //α或m //β15.对一组数据3,3,3,1,1,5,5,2,4，若任意去掉其中一个数据，剩余数据的统计量一定会发生变化的为( )A .中位数B .众数C .平均数D .方差16.设函数()y F x =,()y G x =的定义域均为R ，值域分别为A 、B ，且A B =∅．若集合S 满足以下两个条件：(1)A B S = ；(2)()C S A B 是有限集，则称()y F x =和()y G x =是S -互补函数．给出以下两个命题：①存在函数()y f x =，使得()2f x y =和2(log )y f x =是[0,16]-互补函数； ②存在函数()y g x =，使得sin ()y g x =和tan ()y g x =是[0,+∞)-互补函数．则( )A .①②都是真命题B .①是真命题，②是假命题C .①是假命题，②是真命题D .①②都是假命题三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数()y f x =的表达式为()sin f x x ω=，0ω>． (1)若函数()y f x =的最小正周期为2π，求ω的值及()y f x =的单调增区间；(2)若2ω=，设函数()y g x =的表达式为()()3cos2g x f x x =+，求当[0,2x π∈时，()y g x =的值域．18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，已知AB 为圆柱OO 1底面圆O 的直径，OA =2，母线AA 1长为3，点P 为底面圆O 的圆周上一点．(1)若∠BOP =90︒，求三棱锥A -PBA 1的体积；(2)若∠BOP =60︒，求异面直线A 1B 与AP 所成的角的余弦值．19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．申辉中学为期两周的高一、高二年级校园篮球赛告一段落．高一小A 、高二小B 分别荣获了高一年级和高二年级比赛的年级MVP (最有价值球员)．以下是他们在各自8场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率．二分球出手二分球命中率三分球出手三分球命中率小A100次80% 100次 40%小B190次 70% 10次 30% 现以两人的总投篮命中率(二分球＋三分球)较高者评为校MVP (总投篮命中率＝总命中次数÷总出手次数)(1)小C 认为，目测小A 的二分球命中率和三分球命中率均高于小B ，此次必定能评为校MVP ，试通过计算判断小C 的想法是否准确？(2)小D 是游戏爱好者，设置了一款由游戏人物小a 、小b 轮流投篮对战游戏．游戏规则如下：①游戏中小a 的命中率始终为0.4，小b 的命中率始终为0.3．②游戏中投篮总次数最多为k (320,Z k k ≤≤∈ )次，且同一个游戏人物不允许连续投篮．③游戏中若投篮命中，则游戏结束，投中者获得胜利；若直至第k 次投篮都没有命中，则规定第二次投篮者获胜．若每次游戏对战前必须设置“第一次投篮人物”和“k ”的值，请解答以下两个问题．(ⅰ)若小a 第一次投篮，请证明小a 获胜概率大；(ⅱ)若小b 第一次投篮，试问谁的获胜概率大？并说明理由．20．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知椭圆22184x y +=的左、右焦点分别为F 1、F 2，过坐标原点的直线交椭圆于A 、B 两点，点A在第一象限．(1)若||OA =A 的坐标； (2)求123AF AF +的取值范围；(3)若AE ⊥x 轴，垂足为E ，连结BE 并延长交椭圆于点C ，求△ABC 面积的最大值．yAF 1 OF 2 xB21．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．过曲线()y f x =上一点P 作其切线，若恰有两条，则称P 为()f x 的“A 类点”；过曲线()y f x =外一点Q 作其切线，若恰有三条，则称Q 为()f x 的“B 类点”；若点R 为()f x 的“A 类点”或“B 类点”，且过R 存在两条相互垂直的切线，则称R 为()f x 的“C 类点”．(1)设21()f x x=，判断点(1,1)P 是否为()f x 的“A 类点”，并说明理由； (2)设3()f x x mx =-，若点(2,0)P 为()f x 的“B 类点”，且过点Q 的三条切线的切点横坐标可构成等差数列，求实数m 的值；(3)设1()x x f x e+=，证明：y 轴上不存在()f x 的“C 类点”．高三数学参考答案1.22.453.54.205.6.7.-78.[]2,1-9．10.1.17211.812．10选择题CBDA17.（1）由22ππω=，得4ω=，………3分由42,222x k k ππππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，得单调增区间为(),2828k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；………6分（2）()sin 222sin 23g x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，………9分由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，于是sin 213x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，………12分从而()2g x ⎡⎤∈⎣⎦，即()y g x =的值域为2⎡⎤⎣⎦．………14分18．（1）解：三棱锥1A PBA -的体积等于三棱锥1A PBA -的体积，………2分三角形PBA 面积为14242PBA S ∆=⨯⨯=，………2分三棱锥1A PBA -的体积11343A PBA PBA V S -∆=⨯=………2分所以，三棱锥1A PBA -的体积为4；（2）作11//A P AP ，连1BP ，则11P A B ∠是异面直线1A B 与AP 所成的角，………3分11A P AP ==，15A B ==，1P B ==，则11cos P A B ∠==，………4分所以异面直线1A B 与AP 所成的角的余弦值为235．………1分19．（1）小A 总命中率为100×80%+100×40%100+100=60%………2分小B 总命中率为190×70%+10×30%190+10=68%………4分60%<68%………5分综上，小C 想法错误，小B 为校MVP………6分（2）(ⅰ)证明：若“第一次投篮人物”为小a ，()320,Z k k k ≤≤∈，小a 获胜的概率为a P ，小b 的获胜的概率为1aP -0.40.70.60.40.5680.51a aP P ≥+⋅⋅=>>-可得“小a 第一次投篮，小a 获胜概率大”………9分(ⅱ)若“第一次投篮人物”为小b ，()320,Z k k k ≤≤∈，小b 获胜的概率为b P ，小a 的获胜的概率为1bP -()()()110.30.30.70.60.30.70.60.310.4215=10.420.5829mb m m P ++=+⋅++⋅⎡⎤-⎣⎦=- ………12分其中，{}{}2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,213,5,7,9,11,13,15,17,19,2k k m k k -⎧∈⎪⎪=⎨-⎪∈⎪⎩，易证()()115=10.4229m b P f m +=-随着m 的增大而增大，()()20.53f f <<所以当3m ≥也就是720k ≤≤时0.51b bP P >>-综上：若小b 第一次投篮，{}3,4,5,6k ∈时小a 获胜概率大；{}720,Z k k k k ∈≤≤∈时小b 获胜概率大.………14分20．（1）联立22184x y +=与226x y +=，可得A ………4分（2）设00(,)A x y ，12(2,0),(2,0)F F -,2222000014842x y x y +=⇒=-100200),(2,)AF x y AF x y ==--（-2-,-，120000003)(63,3)(44,4)AF AF x y x y x y +=+--=-- （-2-,- (6)分123AF AF +===………8分因为00x <<，所以当02x =时，123AF AF +的最小值为,当00x =时，123AF AF +=所以123AF AF +的取值范围为………10分（3）设00(,)A x y 00B(,)x y --，0E(,0)x ,0,AB y k x =设直线AB 的斜率为k ，00002BE y kk x x +∴==+，直线AB 方程为(0)y kx k =>．由22418y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得22812x k =+．………11分设直线BC ：0()2ky x x =-由022(),2184k y x x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2222200(2)2160k x x k x x k +-+-=．①设C(,)C C x y ，则0x -和C x 是方程①的解，故202(32)2C x k x k +=+，由此得3022C x k y k=+．………13分AEC BOxyC AB d -== (14)分000||AB x =+=12C AB S AB d -==012⨯⨯2222220222121(22)(22)816(1)22(2)()2kx k k k k k k k k k k +++==+=++++………16分法一：21116()16()211()()2)2(1k k k k k S k k k k k ++==++++设1t k k =+，则由0k >得2t ≥，当且仅当1k =时取等号．因为21621tS t =+在[2,)+∞为严格减函数，所以当2t =，即1k =时，S 取得最大值，最大值为329．因此，ABC ∆面积的最大值为329．………18分法二：2234221(1)()(2)()2522k k k kf k k k k k =+=+++++242242(1)(232)'()(252)k k k f k k k -++==++()y f k =在(0,1]k ∈上是严格增函数，在[1,)+∞上是严格减函数1k =时，S 取得最大值，最大值为329．因此，ABC ∆面积的最大值为329．………18分21．（1）()11f =，点P 在()f x 上，()32f x x'=-，设切点为()(),t f t ，切线方程为()2312y x t t t -=--，即3223y x t t =-+，---------------------2分切线过()1,1P ，解得1t =或2t =-，故切线方程为23y x =-+，1344y x =+，点P 为()f x 的“A 类点”．-----------4分（2）()23f x x m '=-，设切点为()(),t f t ，切线方程为()()()323y t mt t mx t --=--，即()2332y tm x t =--，切线过()2,0Q ，则322620t t m -+=，------------------------6分由题意，以上方程有三个不同解，且成等差数列，设为123,,t t t ，公差为d ，()()()321232622t t m t t t t t t -+=---()()321231213231232222t t t t t t t t t t t t t t t =-+++++-比较等式两边系数可得，12312132312330t t t t t t t t t t t t m ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩22132t d m =⎧⎪⇒=⎨⎪=⎩，-------------------------9分经检验，当2m =时，()32f x x x =-，不过()2,0Q ，满足条件，------10分故m 的值为2．（3）（方法1）假设y 轴上存在()f x 的“C 类点”，记为R ，设坐标为()0,a ，()x xf x e'=-，设切点为()(),t f t ，切线方程为()1t t t ty x t e e +-=--，即21t tt t t y x e e ++=-+，过()0,R a ，得21tt t a e++=，方程至少有两个不同解，----------11分设()21t t t g t e ++=，则()2t t t g t e-'=，令()0g t '=，得0t =或1t =，当t 在(),0-∞，()1,+∞上，()0g t '<，()g t 为严格减函数，当t 在()0,1上，()0g t '>，()g t 为严格增函数，------------------13分极小值()01g =，极大值()31g e =，又()31g e e -=>，()2621g e=<，由函数图像可知，当1a =或3e 时，方程有两个不同解，当31,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，方程有三个不同解，因为1a =时，()0,1R 在()f x 上，其余情况下R 在()f x 外，所以31,a e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，-----15分设两垂直切线的斜率为12,k k ，对应方程的两根为12,t t ，则12121212121t t t t t t t t k k e e e+⎛⎫⎛⎫=-⋅-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由21t t t a e ++=得()()1212221122211t t t t t t t t e e e a +++++=⋅=，代入上式，有()()22112221211t t t t a t t ++++=-，因为12120t t t t e +=-<，所以12,t t 异号，不妨设120t t <<，由均值不等式知，211111t t t ++≥-，222213t t t ++≥，则23a ≥，而2291,a e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，等式无法成立，12,t t 不存在．--------------------------18分故假设不成立，命题得证！（方法2）假设y 轴上存在()f x 的“C 类点”，记为R ，设坐标为()0,a ，()x x f x e'=-，设切点为()(),t f t ，切线方程为()1t t t t y x t e e +-=--，即21t t t t t y x e e ++=-+，过()0,R a ，得21t t t a e ++=，方程至少有两个不同解，设()21t t t g t e ++=，则()2t t t g t e -'=，令()0g t '=，得0t =或1t =，当t 在(),0-∞，()1,+∞上，()0g t '<，()g t 为严格减函数，当t 在()0,1上，()0g t '>，()g t 为严格增函数，极小值()01g =，极大值()31g e =，又()31g e e -=>，()2621g e =<，设两垂直切线的斜率为12,k k ，对应方程的两根为12,t t ，不妨设12t t <，由函数图像可知，1212t t -<<<，设(),12x xh x x e =--<<，则()1x x h x e -'=，令()0h x '=，得1x =，当x 在()1,1-上，()0h x '<，()g t 为严格减函数，当x 在()1,2上，()0h x '>，()g t 为严格增函数，()1h e -=，()()min 11h x h e ==-，()12h e =，因此()1,h x e e ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，则12121211t t t t k k e e e e ⎛⎫⎛⎫=-⋅->-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，矛盾！故假设不成立，命题得证！。

2013～2014学年度高三第一次模拟考试(全国Ⅰ卷)文科数学试卷

最小正周期 T= ．三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本题满分 12 分）已知数列 {an } 前 n 项和为 Sn ,首项为 a1 ,且对于任意正整数 n 都有-1，Sn ，3an 成等差数列. （Ⅰ）求数列 {an } 的通项公式；（Ⅱ）若 an 2 3 n , 设c n an bn ，求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn ． 18．（本题满分 12 分）某综合大学对甲，乙两个专业的就业情况进行调查，得到如下的列列联表：甲专业已就业人数未就业人数合计 36 14 50 乙专业 44 6 50 合计 80 20 100
2 x
7. 设 O 是空间一点， a, b, c 是空间三条不同的直线，，是两个不同平面，则下列命题中逆命题不成立的是．．． A. 当 b时，若 b⊥, 则⊥ B. 当 b，c时，若 c∥, 则 b∥c
C. 当 a b O 且 a , b 时，若 c a, c b, 则c D. 当 a b O 且 a , b 时，若 a ∥，b∥则∥
→ → → → → → → →
D.③④
．
15．三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱 AA1 与底面 ABC 垂直，若 AA1=AB=AC=2，且∠BAC=120°，则该三棱柱的外接球的表面积 S 球= ． 16.已知 f ( x) sin( x

)( 0), f ( ) f ( ) ，若 f ( x) 在区间 ( , ) 有最大值，无最小值，则 f ( x) 的 3 6 3 6 3
2
④若定义域为 R 的函数 f ( x) 是奇函数，当 x≥0 时， f ( x) x a 2 a 2 且 f ( x) 为 R 上的 8 阶低调函数，那么实数 a 的取值范围是- 2≤ a ≤ 2 . A. ②③ B. ①③ C. ①④ 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．若 tan=3，则 cos(-2)= ． 14．若平面向量 a , b 满足条件 a + b =(1,0), a - b =(-1,2),则 a · b =

上海市静安区2014届高三上学期期末考试数学文试题(WORD版,含答案)

2013--2014静安区第一学期期末教学质量检测高三年级数学（文科）试卷 2014、1一、填空题1、已知集合A={（x,y)|x+y-1=0},B={(x,y)|y=x 2 _ 1},则A B=2、函数y=6x -12+-x 的定义域是3、当x>0时，函数y=(a-8)x 的值域恒大于1，则实数a 的取值范围是4、关于未知数x 的实系数方程x 2-bx+c=0的一个根是1+3i （期中i 是虚数单位），写出一个一元二次方程为5、方程)9(log 1)1(log )1(log 333++=++-x x x 的解为6、不等式2x 2+x-1>0的解集为7、若2a 216b +=+）（（其中a 、b 为有理数），则a+b=8、排一张4 独唱和4个合唱的节目表，则合唱不在排头且任何两个合唱不相邻的概率是（结果用最简分数表示）设抛物线y 2=mx 的准线与直线x=1之间的距离为3 ，则该抛物线的方程为10、椭圆C 的焦点在x 轴上，焦距为2，直线n:x-y-1=0与椭圆C 交于A 、B 两点，F 1是左焦点，且F 1A ┴F 1B ，则椭圆C 的标准方程是11、已知数列{a n }(n *N ∈)的公差为3，从{a n }中取出部分项（不改变顺序）a 1,a 4,a 10,…组成等比数列，则该等比数列的公比是 12、若x>0,y>0,且y=28-x x,则x+y 的最小值为 13、设与圆（x-1)2+(y-1)2=1相切的直线n:经过两点A （a,0),B(0,b),其中a>2,b>2,O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为二、选择题15、设a,b ∈R,i 是虚数单位，则“ab=0”是“复数a+ib为纯虚数”的（） A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件16、已知命题a:如果x<3,那么x<5;命题b:如果x ≥3,那么x ≥5;命题c:如果x ≥5,那么x ≥3。

上海市浦东新区2013-2014学年高一下学期期末考试数学试题(Word版含答案)

浦东新区2013-2014学年第二学期高一期末考试数学试卷（满分：100分完成时间：90分钟）一、填空题（本大题满分36分）本大题共12题，只要求填写结果，每题填对得3分，否则一律得零分.1、函数arcsin(21)y x =-的定义域是_______________2、函数32x y =+的反函数是________________________3、当函数()3sin f x x =取最小值是，x ＝_____________________4、函数()4log 01a f x x a a =+≠（＜，）的图象恒经过定点P ，则点P 的坐标为＿________5、已知点P sin ,cos a a （）在第二象限，则α∠的终边在第象限6、已知7cos ,cos 2252πααπα⎛⎫∈=-= ⎪⎝⎭，，且则_______________ 7、已知函数3log ,01()9,03x x x f x f f x ⎧⎡⎤⎛⎫==⎨ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩＞，则＜_______________ 8、函数22()log (1)f x x =+的值域是___________________9、sin cos 3αα+=已知()0απ∈且，，则sin cos αα-=__________________ 10、如右图，长为3，宽为1的矩形木块，在桌面上做无滑动翻滚，翻滚到第三面后被一块小木块挡住，使木块与桌面成 30角，则点A 走过的路程是_____________11、若关于x 的不等式2log 0c x x -≤在1(0,]2x ∈上恒成立，则实数c 的取值范围是_____________.12、设函数()sin 0y x x π=<<的图像为曲线C ，动点()A ,x y 在曲线C 上，过A 且平行于x 轴的直线交曲线于点B （A B 、可以重合），设线段AB 的长为()f x ，则函数()f x 的单调递增区间为_____________.二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出4个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，每题选对的3分，否则一律得零分.13、函数sin 2y x =是一个…………………………………………………（）（A ）周期为π的奇函数（B ）周期为π的偶函数（C ）周期为2π的奇函数（D ）周期为2π的偶函数 14、把函数cos 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移()0m m >个单位，所得的图像关于y 轴对称，则m 的最小值为 ………………………………………………………………（）（A ）12π （B ）6π （C ）3π （D ）2π 15、某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为11113115，，，此人将（）（A ）不能作出满足要求的三角形（B ）作出一个锐角三角形（C ）作出一个直角三角形（D ）作出一个钝角三角形16、对于函数210()log 10x f x x x-=-++，有下列结论：()()0;()f f f x ππ-+=①②在定义域内不是单调函数；③若[]6,6x ∈-；则函数最大值为8；值域为R ，上述结论正确的数目为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸上与题号对应的区域写出必要的步骤.17、已知3cos 5α=-，α是第二象限角，求()sin 2tan παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭-的值.18、解方程222log (4)log (1)1log (1)x x x ++-=++.19、在平面直角坐标系，以x 轴正半轴为始边的两个锐角αβ、，它们的终边分别交单位圆于A B 、两点.（1）若A B 、()sin αβ+；（2）若3cos cos sin sin 1,2αβαβ+=+=，求cos()αβ-的值.20、已知函数2()2cos 2xf x a x b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，（1）当1a =时，求()f x 的最小正周期和单调增区间；（2）当[]0,x π∈时，()f x 的值域是[]34，，求,a b 的值.21、已知在锐角ABC △中，a b c 、、分别为角A B C 、、所对边，且2cos cos c b A a B -=（）.（1）求角A 的值；（2）若a 则求b c +的取值范围.参考答案。

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