小学数学校本教材四年级下空瓶换汽水问题
数学建模论文示例精选版
数学建模论文示例
Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】
“空瓶换汽水”问题探讨
摘要：“空瓶换汽水”问题是一个比较经典的趣味数学问题，曾以“空瓶换啤酒”“废电池换新电池”“费电珠换新电珠”等形式出现在前苏联、德国和中国各种数学竞赛题目中。这个问题的探讨与解决，对于我们在日常生活中如何使开支与效益达到最优化等问题，具有一定的指导意义。
关键词：瓶数空瓶不含瓶单价推论
日常生活中，我们经常遇到过空瓶换汽水问题。喝完了凉爽的汽水还能用空瓶换汽水继续喝，那简直是炎炎夏日里的一种享受。如果没有经历过，那么以下这几道数学题你应该似曾相识。
【问题一】
某品牌汽水可以用3个空瓶再换回1瓶汽水，某人买回10瓶汽水，则他最多可以喝到多少瓶汽水
【解析一】
“用3个空瓶再换回1瓶汽水”，假设汽水一瓶3元，则空瓶相应的1元，而真正的汽水就只值2元，“某人买回10瓶汽水”意味着花去人民币3*10=30元，
故而“最多可以喝到?30/2=15瓶。
【问题二】
5个空瓶可以换1瓶汽水，某班同学喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买汽水多少瓶？
【解析二】
同理“5个空瓶可以换1瓶汽水”由题意，假设1瓶汽水5元，空瓶则1元，真正的汽水只值4元，“某班同学喝了161瓶汽水”则一共真正汽水的钱是：161*4元；
而买整个汽水（真正的汽水加空瓶）需要5元，所以“他们至少要买汽水多少瓶”则等于(
161*4)/5=(161/5)*4=(32*4)...余1，此时就可算出32*4+1=129瓶。
笔者对类似的题目的思考与研究，得到以下推论：
1，汽水的瓶数=总共的钱/汽水（不含瓶）的钱；
2，至少要买汽水多少瓶=总花去的钱/汽水的单价+余数。
这些推论是否正确呢是否可以解决此类问题呢我们不妨拿类似的问题验证一下。
行测数学运算技巧：你会用“空瓶”换水吗
行测数学运算技巧：你会用“空瓶”换水吗?
在公务员考试中，除了常见的计算问题、工程问题、行程问题、排列组合等题型外还有一些比较特殊的题型。这些题型的显著特点就是不会用方法的话会非常容易出错，但如果学习会解题的方法就非常的简单了。而今天就和大家来学习一下特殊题型中的一种---空瓶换水。
说到空瓶换水，相信很多同学都见过这种题型，但是在解题的时候会发现过程很繁琐，而且经常会做错，那这种题型应该如何的解呢?
例1：如果4个矿泉水空瓶可以换一瓶矿泉水，现有15个矿泉水空瓶，不交钱最多可以喝几瓶矿泉水?
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C。解析：在拿到这道题目的时候相信很多同学会下意识的在草稿纸上进行演算，一步一步的去进行换水。如果先用12个空瓶换3瓶矿泉水，然后再用6个空瓶去换，这样以此类推。但是实际上我们先把已知条件进行化简之后就会发现，这种题型是非常简单的。已知条件告诉我们，4个矿泉水空瓶可以换一瓶矿泉水，那么列式就是4空瓶=1瓶水=1空瓶+1份水，化简后得3空瓶=1份水，也就是说，我们相当于用3个空瓶子就可以换1份水，而现在有15个空瓶，所以我们能够换
瓶水，这道题我们直接选择C选项就可以了。
通过刚才这道例题，我们可以看到在计算空瓶换水问题的时候核心就是n个空瓶换1瓶水，那么也就是说n-1个空瓶可以换1份水，然后我们直接进行计算就可以了，接下来我们再通过一道题目来练习一下。
例2：某商店销售一种饮料，规定每4个空瓶可以换一瓶饮料，小王家有30个空饮料瓶，那么小王用现有的空瓶可以免费换多少瓶饮料呢?
A.8 B.9 C.10 D.11
【答案】C。解析：根据题目信息我们可以知道每4个空瓶可以换一瓶饮料，也就是说3个空瓶可以换一瓶饮料，接下来列式30÷3=10(瓶)，直接选择C选项就可以了。
通过上面几道例题的讲解，相信大家已经对如何用空瓶来换水有了一定的了解，是不是非常简单呀。各位同学，在后期的做题过程中如果遇到空瓶换水的题型，大家就可以根据题目信息，直接套用公式来解题就可以了，相信各位同学经过不断的练习和总结一定能够解决这部分题型。 行测削弱题目中的力度比较
行测数量关系备考：空瓶换水问题
第 1 页 共 6 页 行测数量关系备考：空瓶换水问题
举例说明一下。假如题目中给出的兑换规那么为4个空瓶可以换一瓶水，那么我们就可以进展如下的改写，即4空瓶=1瓶水=1空瓶+1水，即3空瓶=1份水。利用这种方法即可解决空瓶换水问题。
(一)规那么及空瓶数，求最多能喝到的水数
例1.假设12个矿泉水空瓶可以免费换1瓶矿泉水，现有个矿泉水空瓶，
问题:最多可以免费喝瓶矿泉水。
A.8 B.9 C.10 D.11
【解析】 根据兑换规那么12空瓶=1瓶水=1空瓶+1份水，即11空瓶=1份水，÷11=9……2，最多可以免费喝9瓶水。选择B选项。
例2.假设12个矿泉水空瓶可以免费换5瓶矿泉水，现有个矿泉水空瓶，
问题：，最多可以免费喝瓶矿泉水?
A.70 B. 71 C.72 D.73
【解析】根据兑换规那么12空瓶=5瓶水=5空瓶+5份水，即7空瓶=5份水，÷7=14……3，对于余下的三个空瓶，第 2 页 共 6 页 可以这样理解兑换规那么，即1.2个空瓶换一份水，那么3个空瓶还可以换2份水，综上所述最多可以免费喝72瓶水。选择C选项。
(二)规那么及喝到的水数，求至少应买多少瓶水
例3.六个空瓶可以换一瓶汽水，某班同学喝了213瓶汽水，其中一些是用喝后的空瓶换来的，
问题：那么，他们至少要买瓶汽水?
A.176 B.177 C.178 D.179
【解析】根据兑换规那么6空瓶=1瓶水=1空瓶+1份水，即5空瓶=1份水，设他们至少买汽水X瓶，那么有X+X/5=213，解得X=177.5，至少买178瓶，选择C选项。
行测数量关系备考：奇偶数你真的会用吗? 提到奇数和偶数相信大家都不会生疏，而且也会不自主的认为奇偶数很容易。那么你知道奇偶数是我们公务员考试中考察的考点吗?准确的说是将奇偶数的知识点与其他考点结合起来一起考察，不断的进步题目的难度，让大家在备考的过程中屡受打击。那么，今天就带着大家一起来感受一下奇偶数在考试中如何变换把戏来考我们，同时我们在备考中需要完善哪些知识点，进而不断提升我们实战做题才能。
第9周 设数法解题(1)(习题导学案教案)
《数学思维训练教程》教案
教材版本： 精英版 . 学 校： .
教 师 某某某 年 级 三年级 授课时间 年 月 日
课 时 2课时 课 题 第1讲—换饮料问题
教材分析 本讲内容是典型的空瓶换饮料问题，是对小学数学知识的拓展补充。本讲以生活中的购物为情景，重点考察学生对已学知识的应用，要求同学们能从日常生活中发现数学，又能用数学的眼光去分析事物的实质。
教学目标 知识技能 让学生在“空瓶换饮料”的问题情景中，探索和发现“空瓶换饮料”的解题策略和规律，提高学生解决问题的能力。
数学思考 在观察、操作等活动中，能提出一些简单的猜想；会独立思考问题，表达自己的想法。
问题解决 让学生在解决问题的过程中，感受数学与生活的密切联系，从而激发学生学习数学、参与实践的兴趣。
情感态度 让学生在数学活动与讨论交流中，培养合作意识，体验自主探究的乐趣，增强学好数学的自信心，提高数学素质。
教学重点、难点 教学重、难点
掌握“空瓶换饮料”的解题策略和规律
教学准备 动画多媒体语言课件
第一课时
复备内容及讨论记录 教学过程
一、教学导入
师：愉快的暑假结束了，有的同学还在津津回味暑假的快乐时光，还在感慨暑假没有过够哦，那我们就一起细数一下大家暑假都去过哪些地方？（师生互动）：
（学生自由回答）
师：大家都去了那么多的地方，暑期生活还真是丰富啊，听大家的描述，老师能感受到大家玩的非常开心。
师：今天是我们课堂的第一次课，我们今天要学习的内容也非常的有意思，这节课老师就和大家一起从“玩”中把知识轻松的学到手。下面我们就来看看吧！
“叮铃铃，叮铃铃……”伴随着悦耳的铃声，新学期的第一节数学课就要开始了。在同学们期待的眼神中，杨老师走入了课堂。“同学们，新学期的第一节课我们来上一节数学实验课。”一边说着，杨老师一边拿出8瓶饮料。“谁能用这8瓶饮料提出一个有意义的数学问题？”
二年级趣味数学-换空瓶的学问
二年级趣味数学:换空瓶的学问 星期天，小军、小帆和几个同学结伴去爬香山。他们爬到半山腰又渴又累，正巧旁边有个小卖部，小卖部的小黑板上写着：凡购买本店汽水，每3个空瓶可换1瓶汽水。 他们买了4瓶汽水，喝完后，用其中的3个空瓶换回1瓶汽水，把这1瓶喝完又有了1个空瓶，这时。共有2个空瓶。2个空瓶换回瓶汽水还差1个空瓶，怎么办呢?小军灵机一动，跟旁边的叔叔借了1个空瓶，他们用这3个空瓶又换回一瓶汽水，喝完后，将空瓶还给了叔叔。就这样，他们买了4瓶汽水，却喝了4＋l＋1＝6瓶汽水。 小朋友，如果他们买6瓶汽水，一共能喝到几瓶汽水？如果买8瓶、4O瓶呢？算一算，很快你就会发现，买的瓶数少，用这种换来换去的方法算起来比较容易，买的瓶数多，算起来就比较麻烦。那么有没有更简便的方法呢？当然有，不过，请不要急着看答案，先自己想一想，如果实在想不出来，再看答案。其实，这个方法也不难想到。
我们先假设小军他们只买了2瓶汽水，喝完后，跟别人借1个空瓶，就有3个空瓶，3个空瓶换回瓶汽水，喝完后，将这个空瓶还给人家。这样，实际上买2瓶汽水却可以喝到3瓶汽水。按这样的思路，只要算出买来的汽水是几个2瓶，就可以直接算出一共可以喝到几瓶汽水了。比如，买6瓶汽水，6瓶里有6÷2＝3个2瓶，每2瓶可以喝到3瓶汽水，3个2瓶就可以喝到3×3＝9瓶汽水。用这种方法，不管买的汽水有多少瓶，都可以很快算出一共可以喝到多少瓶汽水。小朋友，请你用这种方法算一算，买4O瓶汽水，可以喝到几瓶汽水。
数量关系：空瓶换酒的问题总结
空瓶换酒的问题
这类题经常会问到“最多(可以/可能)”喝掉多少瓶酒(这里特别需要注意：“最多可以”或“最多可能”这两个词。意思就是在最有可能的情况下能得到最大的值，因为方法可以是假设的，所以这个值应该是假设的最大值。即假设在最有可能的情况下，充分利用每一个空瓶(现有的每个空瓶都要利用上，一直换到没有剩余的空瓶)凑合换最多的酒。
给出以下两种换法：
举个例子：3个空瓶换1瓶酒，8个空瓶(在不额外增加空瓶，不赊，不借空瓶的情况下)最多可以换到多少瓶酒?
第一种方法就是拿3个空瓶直接换1瓶酒，喝完就留下1个瓶。
根据第一种换法，画个示意图：
思路：假设在最有可能的情况下充分利用每一个空瓶去凑合换最多的酒。如果按上面的算法就还剩下1个空瓶没有利用。这样显然也就达不到假设的最大值。所以这个答案就不是最多可能的数。
再看第二种方法：先拿2个空瓶换1瓶酒，喝完酒就直接把瓶子留在那里。(即：喝完后不带走酒瓶)
根据第二种换法，再画个示意图：
思路：因为每次换酒喝完后，瓶子都直接留在那里了，没有带回。所以没有剩下空瓶。刚好符合“最有可能的情况下充分利用每一个空瓶去凑合换最多的酒”这个假设的条件。只有在这种情况下换回的酒才是假设的最大值。所以这个答案才是最多可能的数。即：8÷(3-1)=4。
通过以上的规律，总结出空瓶换酒的公式。A代表多少个空瓶可以换一瓶酒，B代表有多少个空瓶，C代表最多能换多少瓶酒。公式为：B÷(A-1)=C。
给大家提供以下几个例题来利用公式解决问题。
例题1：超市规定每3个空汽水瓶可以换一瓶汽水，小李有12个空汽水瓶，最多可以换几瓶汽水?( )
A. 4瓶 B. 5瓶 C. 6瓶 D. 7瓶
【解析】C 本题空瓶换酒问题。根据空瓶换酒公式：B÷(A-1)=C，得12÷(3-1)=6，所以最多可以换来6瓶汽水。故选C。
行测数量关系备考：空瓶换水问题 2
⾏测数量关系备考：空瓶换⽔问题
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⾏测数量关系备考：空瓶换⽔问题
空瓶换⽔问题是统筹问题中的⼀个知识点，这种题型经常出现在⾏测考试当中。那到底什么是空瓶换⽔问题?⼀般来说，空瓶换⽔问题会给出相应的兑换规则，⽐如说四个空瓶可以换⼀瓶⽔等等，然后计算。⺫前常规的考试出题⽅式有两种：⼀种是已知规则及空瓶数，求最多能喝到的⽔数;另⼀种是已知规则及喝到的⽔数，求⾄少应买多少瓶⽔。对于这种问题我们最常规的可能会想着按照兑换规则⼀点⼀点去换，但是如果空瓶数⽐较少还可以，如果给定的空瓶数较多就不好⼀步⼀步去兑换了。下⾯⼩编在这⾥就教给⼤家⼀个简单的⽅法，可以很快的计算出结果。就是把题中给的兑换规则进⾏调整。
举例说明⼀下。如果题⺫中给出的兑换规则为4个空瓶可以换⼀瓶⽔，那么我们就可以进⾏如下的改写，即4空瓶=1瓶⽔=1空瓶+1⽔，即3空瓶=1份⽔。利⽤这种⽅法即可解决空瓶换⽔问题。
(⼀)已知规则及空瓶数，求最多能喝到的⽔数
例1.若12个矿泉⽔空瓶可以免费换1瓶矿泉⽔，现有101个矿泉⽔空瓶，
问题:最多可以免费喝()瓶矿泉⽔。
A.8 B.9 C.10 D.11
【解析】 根据兑换规则12空瓶=1瓶⽔=1空瓶+1份⽔，即11空瓶=1份⽔，101÷11=9……2，最多可以免费喝9瓶⽔。选择B选项。
例2.若12个矿泉⽔空瓶可以免费换5瓶矿泉⽔，现有101个矿泉⽔空瓶，
问题：，最多可以免费喝()瓶矿泉⽔?
A.70 B. 71 C.72 D.73
【解析】根据兑换规则12空瓶=5瓶⽔=5空瓶+5份⽔，即7空瓶=5份⽔，101÷7=14……3，对于余下的三个空瓶，可以这样理解兑换规则，即1.2个空瓶换⼀份⽔，则3个空瓶还可以换2份⽔，综上所述最多可以免费喝72瓶⽔。选择C选项。
[新版]空瓶换水题目
空瓶换水问题
空水瓶换水问题在公务员考试行测中属于数学运算中的统筹问题。统筹问题必然是行政职业测试的重要内容，测试考生系统全面地筹划安排能力。空水瓶换水问题的解法又是复杂而又多样的。
例1、如果4个矿泉水空瓶可以换一瓶矿泉水，现有15个矿泉水空瓶，不交钱最多可以喝矿泉水( )。(2006年国家公务员考试行测真题)
A.3瓶 B.4瓶 C.5瓶 D.6瓶
解法(一)：4个矿泉水空瓶可以换一瓶矿泉水，有15个矿泉水空瓶不交钱最多可以喝矿泉水呢?可以按一下三步进行考察：
第一步：15个矿泉水空瓶=12个矿泉水空瓶+3个矿泉水空瓶。12个矿泉水空瓶可换3瓶水，喝完水后有多出三个空瓶，加上原来剩下的3个矿泉水空瓶，目前还有6个矿泉水空瓶。
第二步：6个矿泉水空瓶=4个矿泉水空瓶+2个矿泉水空瓶，4个矿泉水空瓶可换1瓶矿泉水，喝完又剩下1个空瓶。总共还有3个矿泉水空瓶。
第三步：3个矿泉水空瓶貌似不可以再换了，但在市场经济如此发达的今天，借贷关系则在生产、生活中相当普遍。因此此时可以借一个空瓶，加上原来剩下的3个矿泉水空瓶，可以换一瓶矿泉水，喝完水后再把空瓶换掉。因此15个矿泉水空瓶，不交钱最多可以喝矿泉水5瓶。答案选C。
解法(二)：空水瓶换水问题成为行测考试中的经典题型，但以上解法并不能满足行测考题的速度原则。因为如果原题中的矿泉水空瓶的数量很大的话，则此解法暴露其弊端。
该题中条件“4个矿泉水空瓶可以换一瓶矿泉水”可写成恒等式的形式：
4个矿泉水空瓶=1瓶矿泉水=1个矿泉水空瓶+1个水(1个水指只是一瓶水而不包括瓶子)
两边消去1个矿泉水空瓶而得：
3个矿泉水空瓶=1瓶水
再用15除以3得5。则15个矿泉水空瓶，不交钱最多可以喝矿泉水5瓶。答案选C。
第二种解法才是在行测考题中比较实用的方法。
例2、“红星”啤酒开展“7个空瓶换1瓶啤酒”的优惠促销活动。现在已知张先生在活动促销期间共喝掉347瓶“红星”啤酒，问张先生最少用钱买了多少瓶啤酒?(2009年浙江公务员考试行测真题)
空瓶换酒问题
空瓶换水问题
如果 4 个矿泉水空瓶可以换一瓶矿泉水，现有 15 个矿泉水空瓶，不交钱最多可以喝矿泉水：
A.3 瓶 B.4 瓶
C.5 瓶 D.6 瓶
冷饮店规定一定数量的汽水空瓶可换原装汽水 1 瓶，旅游团110 个旅客集中到冷饮店每人购买了 1 瓶汽水，他们每喝完一定数量的汽水就用空瓶去换 1 瓶原装汽水，这样他们一共喝了 125 瓶汽水，则冷饮店规定几个空瓶换 1 瓶原装汽水？
A.8 B.9
C.10 D.11
6 个空瓶可以换一瓶汽水，某班同学喝了 157 瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买多少瓶汽水？
A．131 B．130
C．128 D．127
“红星”啤酒开展“7 个空瓶换 1 瓶啤酒”的优惠促销活动。现在已知张先生在活动促销期间共喝掉 347 瓶“红星”啤酒，问张先生最少用钱买了多少瓶啤酒？
A.296 瓶 B.298 瓶
C. 300 瓶 D .302 瓶
某品牌啤酒可以用 3 个空瓶再换回 1 瓶啤酒，某人买回 10 瓶啤酒，则他最多可以喝到（）瓶啤酒？
A 13 B 14
C 15 D16
某旅游景点商场销售可乐，每买 3 瓶可凭空瓶获赠 1 瓶可口可乐，某旅游团购买 19 瓶，结果每人都喝到了一瓶可乐，该旅游团有多少人？ （08 安徽）
A、19 B、24
C、27 D、28
如果 2 斤油可换 5 斤肉，7 斤肉可换 12 斤鱼，10 斤鱼可换 21斤豆，那么 27
斤豆可换（ ）油。
A．3 斤 B．4 斤
C．5 斤 D．6 斤
空瓶换水问题借与不借笔记总结
空瓶换水问题借与不借笔记总结
一、空瓶换水问题借与不借的知识点回顾。
1. 不借瓶的情况。
关键是求出纯换水的比例。例如，若规定a个空瓶可以换1瓶水（这里的一瓶水包括一个空瓶和瓶内的水），那么实际上a 1个空瓶就可以换到1份纯的水（不包含空瓶）。
假设一开始有n个空瓶，那么不借瓶能换到的水的瓶数就是⌊(n)/(a 1)⌋（⌊ ⌋表示向下取整）。
2. 借瓶的情况。
思路是先假设可以借瓶，最后再把借的瓶还回去。如果a个空瓶换1瓶水，只要空瓶数大于等于a 1，就可以通过借瓶的方式换到最多的水。
假设一开始有n个空瓶，那么借瓶能换到的水的瓶数就是⌊(n)/(a 1)⌋（当n≥slant a 1时），因为最后可以用换来的水喝完后的空瓶去还之前借的空瓶。
二、题目。
1. （1）超市规定3个空汽水瓶可以换1瓶汽水，小明买了10瓶汽水，他最多可以喝到多少瓶汽水（不考虑借瓶的情况）？
解析：
因为3个空瓶换1瓶汽水（含瓶），所以实际上2个空瓶就能换到1份纯汽水。
小明一开始买了10瓶汽水，喝完后有10个空瓶。
那么他不借瓶能换到的纯汽水的瓶数为⌊(10)/(2)⌋ = 5瓶。
所以他最多可以喝到10 + 5=15瓶汽水。 2. （2）超市规定4个空汽水瓶可以换1瓶汽水，小李有15个空瓶，他最多可以喝到多少瓶汽水（考虑借瓶的情况）？
解析：
因为4个空瓶换1瓶汽水（含瓶），所以3个空瓶就能换到1份纯汽水。
小李有15个空瓶，按照借瓶的思路，15÷3 = 5。
他最多可以喝到5瓶汽水（先借若干个空瓶，最后用换来的汽水喝完后的空瓶去还之前借的空瓶）。