【整理】运用点差法巧解圆锥曲线的中点弦问题
圆锥曲线(点差法)
圆锥曲线（点差法）在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用下解法，设弦的两个端点坐标分别为(x1，y1)(x2，y2)，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，（特点是巧代斜率）1．求弦中点的轨迹方程例1、已知椭圆2212xy+=，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.例2、直线l: ax−y−(a+5)=0(a是参数)与抛物线f: y=(x+1)2的相交弦是AB,求弦AB的中点轨迹方程.2. 以定点为中点的弦所在直线的方程例3、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
例4、已知双曲线1222=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。
若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
3.求曲线方程例5 已知三角形ABC 的三个顶点都在抛物线 y 2=32x 上，其中A(2,8),且三角形ABC 的重心G 是抛物线的焦点，求直线BC 的方程。
例6 已知椭圆22221x y a b+= ()0a b >> 的一条准线方程是x=1，有一条倾斜角为 4π 的直线交椭圆于A,B 两点，若AB 的中点为11,24C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求椭圆的方程。
练习1、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线21=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。
练习2、已知椭圆1257522=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。
圆锥曲线中点弦问题
关于圆锥曲线的中点弦问题直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。
这类问题一般有以下三种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题； （2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求弦中点的坐标问题。
其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。
一、求中点弦所在直线方程问题例1 过椭圆141622=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。
解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：016)12(4)2(8)14(2222=--+--+k x k k x k又设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），则21,x x 是方程的两个根，于是14)2(82221+-=+k k k x x ，又M 为AB 的中点，所以214)2(422221=+-=+k k k x x ， 解得21-=k ，故所求直线方程为042=-+y x 。
解法二：设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），M （2，1）为AB 的中点， 所以421=+x x ，221=+y y ，又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642222=+y x ， 两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x ，所以21)(421212121-=++-=--y y x x x x y y ，即21-=AB k ，故所求直线方程为042=-+y x 。
解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(y x ,)，由于中点为M （2，1），则另一个交点为B(4-y x -2,)，因为A 、B 两点在椭圆上，所以有⎩⎨⎧=-+-=+16)2(4)4(1642222y x y x ， 两式相减得042=-+y x ，由于过A 、B 的直线只有一条，故所求直线方程为042=-+y x 。
期末点差法求中点弦
利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题例1:求弦中点的轨迹方程2 2已知点M (4,2)是直线I 被椭圆冬 仝1所截得的线段的中点，求直线I 的方程。
369解：设直线I 与椭圆交点为A(x i , y i ), B(x 2, y 2)，则有x ： 4y ： 36 , x ； 4y ； 36， 两式相减，得：x 1 x 2 x 1 x 2 4 y 1 y 2 y 1 y 20， 因为M(4,2)为AB 中点，所以有： 为X 28,如 y 4，所以k AB W 空上型丄，X 1 X 24(y 1 y 2)2一 1故所求直线I 的方程为y 2-!(x 4)，即x 2y 8 0 。
21内一点M (2,1)引一条弦，使弦被M 点平分，求这2已知双曲线X 2寺1，经过点塚1)能否作一条直线1，使I 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。
若存在这样的直线I ， 求出它的方程，若不存在，说明理由。
策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。
本题属于中点弦冋题，应考虑点差法或韦达定理。
解：设存在被点M 平分的弦AB ，且A(x-|, y 1)、B(x 2, y 2)则 x 1 x 2 2y 1 y 22两式相减，得1(X1 X 2)(X 1 X 2)2(y1 y 2)(y 1 y 2) 0故直线 AB : y 1 2(x 1)2 2变式训练1、过椭圆—乂164条弦所在直线的方程。
(x 2y 4 0。
) 例2、存在性问题 2 X12 X22y 2 2k AB% y 2 X-I x 21变式训练3-1已知椭圆2 2y x 75 25,求它的斜率为 3的弦中点的轨迹方程。
x y 0(5-3 x25-3、y 1 2（x 1） 由 2 y 2 消去y ，得2x 2 4x 3 0x —— 122（4） 4 2 38 0这说明直线AB 与双曲线不相交，故被点 M 平分的弦不存在，即不存在这样 的直线1。
圆锥曲线中点弦问题
关于圆锥曲线的中点弦问题直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。
这类问题一般有以下三种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求弦中点的坐标问题。
其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。
一、求中点弦所在直线方程问题例1 过椭圆141622=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。
解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：016)12(4)2(8)14(2222=--+--+k x k k x k又设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），则21,x x 是方程的两个根，于是14)2(82221+-=+k k k x x ， 又M 为AB 的中点，所以214)2(422221=+-=+k k k x x ， 解得21-=k ， 故所求直线方程为042=-+y x 。
解法二：设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），M （2，1）为AB 的中点， 所以421=+x x ，221=+y y ，又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642222=+y x ，两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x ， 所以21)(421212121-=++-=--y y x x x x y y ，即21-=AB k ， 故所求直线方程为042=-+y x 。
解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(y x ,)，由于中点为M （2，1）， 则另一个交点为B(4-y x -2,)，因为A 、B 两点在椭圆上，所以有⎩⎨⎧=-+-=+16)2(4)4(1642222y x y x ， 两式相减得042=-+y x ，由于过A 、B 的直线只有一条，故所求直线方程为042=-+y x 。
巧解“中点弦”问题
巧解“中点弦”问题山西阳城一中 茹阳龙解析几何中直线与圆锥曲线的相交弦问题，是近年高考中的常见题型，这类问题中，以弦的中点问题更是五花八门。
学生苦于找不到“通法”，烦于冗杂计算，现在综合解决这类问题的一种途径—端点法+点差法。
如果直线与圆锥曲线0y)f(x ,=的相交弦PQ 的中点为M y)(x,,利用“端点法”不妨设b)y a,P(x ++，Q b)y a,(x --,当弦PQ 的斜率K 存在时，K=a b ，进而知ka)y a,P(x ++，Q ka)y a,(x --。
这样就将弦中点坐标转移到了弦的两个端点上，然后将P 、Q 的坐标代入F ),(y x =0中，利用“点差法”作差化简，利用P 、Q 坐标的对称性，简化计算。
典型例题1已知椭圆)0(12222 b a by a x =+，A ，B 是椭圆上的点，线段AB 的垂直平分线ι与X 轴交于点P(X 0,0),证明：ab a x a b a 22022--- 。
回归目标：利用椭圆范围│x │＜a,│y │＜b证明：设AB 中点为P 1（11,y x ），由题设知，直线AB 的斜率存在，设为K ，则可设),(),,(1111kt y t x B kt y t x A --++。
因为ι,AB ⊥且过点P 1,P,所以 ,011011---=-=y x x k k 即 011x ky x =+ ①又点A 、B 在椭圆上，所以,)()(22212212b a kt y a t x b =+++ ②,)()(22212212b a kt y a t x b =-+- ③② - ③，得⋅-=1221x ab ky 代入①，得122212210x ab a x a b x x -=-=即 ⋅-=22021ba x a x 又点P 1在椭圆内部，所以a x a 1-，从而得ab a x a b a 22022--- 。
典型例题2给定双曲线1222=-y x .（1）过点A （2，1）的直线ι与反给双曲线交于两点P 1和P 2，求线段P 1P 2中点P 的轨迹方程；（2）过点B （1，1）能否作直线m ，使m 与所给曲线交于Q 1和Q 2两点，且点B 是线段Q 1、Q 2的中点？这样的直线m 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。
点差法巧解圆锥曲线
点差法巧解圆锥曲线高中部 周钢点差法是指在求解圆锥曲线时，题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标，利用直线和圆锥曲线的两个交点，把交点代入圆锥曲线的方程并作差，求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程的一种特殊方法。
点差法在解决特定问题时，可以减少很多的运算，因此对于这种方法，我们应该予以重视。
例1：过点()1,4P 作抛物线x y 82=的弦AB ，恰被点P 平分，求AB 所在直线的方程.解：法一、设AB 所在直线的方程为()()014≠+-=k x k y ，由()⎩⎨⎧=+-=xy x k y 8142，消去x 并整理，得083282=+--k y ky .设()11,y x A ，()22,y x B ，由根与系数的关系，得ky y 821=+， 又P 是AB 的中点，所以1221=+y y . 所以428=⇒=k k， 所以直线AB 的方程为()441-=-x y ，即0154=--y x .法二、设()11,y x A ，()22,y x B ，则有1218x y =，2228x y =，两式相减，得()()()2121218x x y y y y -=+-， 又221=+y y ，则48211212=+=--=y y x x y y k ，所以直线AB 的方程为()441-=-x y ，即0154=--y x .通过例1可以看出：法一为传统解法，在联立求解过程中，可能出现计算失误导致最终结果的偏差；法二为点差法，利用中点直接解出直线斜率，计算简便。
例1比较简单，传统方法亦可解决，但已经能够看出点差法在计算方面的优势。
例2：已知椭圆C 的两个焦点分别为()0,11-F ，()0,12F ，M 是此椭圆上的一点，且21MF MF ⊥8=.（1）求椭圆C 的方程；（2）点B 是椭圆C 短轴的一个端点，且其纵坐标大于零，M 、N 是椭圆C 上不同于点B的两点.若MBN ∆的重心是椭圆C 的右焦点，求直线MN 的方程.解：（1）解答过程略，椭圆C 的方程为14522=+y x （2）设()11,y x M ，()22,y x N ，由（1）知()2,0B ，因为()0,12F 是MBN ∆的重心，故各点坐标满足⎩⎨⎧-=+=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++230321321212121y y x x y y x x ，故M 、N 中点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,23， M 、N 在椭圆上应满足1452121=+y x ，1452222=+y x ，两式相减得 ()()()()04521212121=-++-+y y y y x x x x ⇒()()565421212121=++-=--=y y x x x x y y k ，所以直线MN 的方程为()⎪⎭⎫⎝⎛-=--23561x y ，即01456=--y x . 例2第二问的重点在于对重心的理解以及重心坐标公式的应用，利用重心求出弦MN 的中点坐标，再利用点差法即可求出直线方程，简化了大量的计算。
圆锥曲线中中点弦求斜率问题(共12张PPT)
2 5 ，即可求出面积 5
中点弦问题
（1）点差法求斜率及常用公式
x2 y 2 1 的焦点为 F1 , F2 ，过 F1 的直线交椭圆于点 M,N，交 y 轴于 例 2：如图，椭圆 2 a 4 点 H，若 F1 ，H 是线段的三等分点，则 F2 MN 的周长为_______.
解析：F2 MN 的周长等于 4 a ，直线 MN 斜率必定存在，设其为 k，则 MN : y k(x c) 可得 H(0, ck) ， F 1 H 中点坐标为 P ( ,
中点弦问题求斜率
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1
用点差法求斜率及常用公式
利用导数法求中点弦问题 典型例题解析
目 录
D I R E C TO RY
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中点弦问题
（1）点差法求斜率及常用公式
在圆锥曲线中涉及弦中点问题，如果涉及斜率，则常用点差法求斜率，关于点差法求斜率的方法，证 明过程如下： x2 y 2 例：直线 y km b 与椭圆 C : 2 2 1 交于A,B两点，M (x 0 , y0 ) 是弦AB的中点，求直线AB的斜率。
c ck ) 2 2
ck 所以 K op 2 k c 2
b2 根据中点弦结论可知 K MN .K op 2 a
则k
b bc 2bc , H (0, ) ，因为 H 是 F1N 的中点，可得 N(c, ) a a a
将 N 点代入椭圆方程中整理可得 a 2 5c 2 ，结合 b=2 解得 a 2 5 故 F2 MN 的周长为 4 5
a b
解析：设 A(x1 , y1 ), B(x 2 , y2 ) ，点 A,B 在椭圆上，所以
x12 y12 1 …………………………………….① a 2 b2 x 2 2 y2 2 1 …………………………………….② a 2 b2
巧用点差法解中点弦问题
巧用点差法解中点弦问题
张景南;文芳
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2015(000)007
【摘要】与圆锥曲线的弦的中点有关的问题,我们称之为圆锥曲线的中点弦问题,是解析几何中的重要内容之一,也是高考的一个热点问题.其解法有点差法、设而不求法、参数法、待定系数法等.本文主要介绍点差法：若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为A（x1,y1）、B（x2,y2）,将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.【总页数】1页(P81-81)
【作者】张景南;文芳
【作者单位】安徽省宿州市第二中学,234000
【正文语种】中文
【中图分类】G633.63
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1.巧用点差法公式解决中点弦问题
2.解中点弦问题的利器--“点差法”
3.巧用点差法公式解决中点弦问题
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5.点差法解圆锥曲线中点弦问题新发现
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期末点差法求中点弦
利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题例1：求弦中点的轨迹方程已知点)2,4(M 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，求直线l 的方程。
解：设直线l 与椭圆交点为),(),,(2211y x B y x A ，则有3642121=+y x ，3642222=+y x ，两式相减，得：()()()()0421212121=-++-+y y y y x x x x ， 因为)2,4(M 为AB 中点，所以有： 4,82121=+=+y y x x ，所以21)(4)(21212121-=++-=--=y y x x x x y y k AB ，故所求直线l 的方程为)4(212--=-x y ，即082=-+y x 。
变式训练1、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
（042=-+y x .）例2、存在性问题 已知双曲线1222=-y x ,经过点)1,1(M 能否作一条直线l ,使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点.若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
策略：这是一道探索性习题,一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。
本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理. 解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B则221=+x x ，221=+y y122121=-y x ，122222=-y x两式相减，得0))((21))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22121=--=x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB由⎪⎩⎪⎨⎧=--=-12)1(2122y x x y 消去y ，得03422=+-x x∴ 08324)4(2<-=⨯⨯--=∆这说明直线AB 与双曲线不相交,故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线l .变式训练2： 已知双曲线22112x y -=，过()1,1B 能否作直线l ，使l 与双曲线交于P ，Q 两点，且B 是线段PQ 的中点,这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。
巧用点差法公式解决中点弦问题
二、 椭 圆
所求的直线 Ａ Ｂ方程为 Ｙ 一 ２ ＝ １・ （ Ｘ 一 １ ） ， 即ｘ — Ｙ ＋ １ ＝ ０ 。 （ ２ ） 设直线 Ｃ Ｄ的方程为 ｘ Ｙ ＋ ｍ＝ ０ ， 点Ｎ （ １ ， ２ ） 在直线 Ｃ Ｄ上 ， １ ＋ ２＋ ｍ＝ Ｏ ， ｍ＝一 ３ 。． 。 ． 直线 Ｃ Ｄ的方程为 ｘ ＋ Ｙ ＝ ０ 。
中点。
ｙ ０
（ ２ ） 当Ｘ １ ：１ ， Ｘ ２＝一３时 ， Ａ（ １ ， ２ ）， Ｂ（一３， １ ８ ） ， ｘ ｏ：苎 Ｌ ２ １ ： 一１
，
＝
： ｏ ．
（ １ ） 求直线 Ａ Ｂ的方程 ； （ ２ ） ￣ Ｉ Ｉ 果线段 Ａ Ｂ的垂 直平分线 与双 曲线相交于 Ｃ 、 Ｄ两点 ， 那么Ａ 、 Ｂ 、 ｃ 、 Ｄ四点是否共 圆， 为什么 ？
② 代 人 ① ， 得 （ 一 １ ） 一 — １ （ ２ ＋ ） ＝ 等 ．
整 理 ， 得 ： ９ ２ — ４ ５ 一 １ ７ ： ０ ； 解 之 得 ： ｘ ： 早， 或 ： 一 寻。
由 ② 可 知， ： 旱不 合 题 意 。 ．
・
． ．
若直线ｚ 的 斜率存在， 则其方程为Ｙ ＝ ｋ （ ｘ — ｘ ０ ） Ｙ ０ ， ｋ Ａ Ｂ ＝一 ÷。
・ ．
．
．
…
…
…
…
…
…
…
…
・
・
解 析 ： （ １ ） 。 ・ ‘ Ｘ ２
， ・ ・ ｐ ÷， Ｆ （ ０ ， 寺） 。
②
设线段 Ａ Ｂ的中点为 Ｐ （ ０ ， Ｙ ｏ ）， 直线 ｆ 的斜率为 ， 则 ｌ ＋ ２＝２ ｘ ０ 若直线 ｆ 的斜率不存在 ， 当且仅 当 ｘ ｌ ＋ｘ ２＝０时 ， ＡＢ的垂直平分线 ｚ 为 Ｙ轴 ， 经过抛物线的焦点 Ｆ 。