十年高考真题分类汇编(2010—2019)数学

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专题空间向量

1.(2014·全国2·理T11)直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为()

A.1

10 B.2

5

C.√30

10

D.√2

2

2.(2013·北京·文T8)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为对角线BD1的三等分点,P到各顶点的距离的不同取值有()

A.3个

B.4个

C.5个

D.6个

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3.(2012·陕西·理T5)如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC

1

与直线AB1夹角的余弦值为()

A.√5

5B.√5

3

C.2√5

5

D.3

5

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4.(2010·大纲全国·文T6)直三棱柱ABC-A

1B

1

C

1

中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA

1

,则异面直线BA

1

与AC

1

所成的角等于( )

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

5.(2019·天津·理T17)如图,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB,AB=AD=1,AE=BC=2.

(1)求证:BF∥平面ADE;

(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值;

(3)若二面角E-BD-F的余弦值为1

3

,求线段CF的长.

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6.(2019·浙江·T 19)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1,平面A1ACC1⊥平面ABC,∠ABC=90°,∠

BAC=30°,A

1A=A

1

C=AC,E,F分别是AC,A

1

B

1

的中点.

(1)证明:EF⊥BC;

(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.

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7.(2019·全国1·理T18)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB

1

,A1D的中点.

(1)证明:MN∥平面C1DE;

(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.

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8.(2019·全国2·理T17)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE ⊥EC1.

(1)证明:BE⊥平面EB1C1;

(2)若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值.

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9.(2019·全国3·理T19)图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2.

(1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE;

(2)求图2中的二面角B-CG-A的大小.

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10.(2018·浙江·T 8)已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形,侧棱长均相等,E是线段AB上的点(不含端点).设SE与BC所成的角为θ1,SE与平面ABCD所成的角为θ2,二面角S-AB-C的平面角为θ3,则()

A.θ1≤θ2≤θ3

B.θ3≤θ2≤θ1

C.θ1≤θ3≤θ2

D.θ2≤θ3≤θ1

?所在平面垂11.(2018·全国3·理T19)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD

?上异于C,D的点.

直,M是CD

(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;

(2)当三棱锥M-ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.

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12.(2018·北京·理T16)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,D,E,F,G分别为

AA

,AC,A1C1,BB1的中点,AB=BC= √5,AC=AA1=2.

1

(1)求证:AC⊥平面BEF;

(2)求二面角B-CD-C

的余弦值;

1

(3)证明:直线FG与平面BCD相交.

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13.(2018·天津·理T17)如图,AD∥BC且AD=2BC,AD⊥CD,EG∥AD且EG=AD,CD∥FG且CD=2FG,DG ⊥平面ABCD,DA=DC=DG=2.

(1)若M为CF的中点,N为EG的中点,求证:MN∥平面CDE;

(2)求二面角E-BC-F的正弦值;

(3)若点P在线段DG上,且直线BP与平面ADGE所成的角为60°,求线段DP的长.

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14.(2018·全国1·理T18)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF.

(1)证明:平面PEF⊥平面ABFD;

(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.

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15.(2018·全国2·理T20)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2√2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.

(1)证明:PO⊥平面ABC;

(2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.

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16.(2018·浙江·T9)如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠

ABC=120°,A

1A=4,C

1

C=1,AB=BC=B

1

B=2.

(1)证明:AB1⊥平面A1B1C1;

(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.

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17.(2018·上海·T17)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2.

(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积;

(2)设PO=4,OA,OB是底面半径,且∠AOB=90°,M为线段AB的中点,如图,求异面直线PM与OB 所成的角的大小.

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18.(2017·北京·理T16)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=√6,AB=4.

(1)求证:M为PB的中点;

(2)求二面角B-PD-A的大小;

(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.

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19.(2017·全国1·理T18)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.

(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;

(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.

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20.(2017·全国2·理T19)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD, AB=BC=1

AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点.

2

(1)证明:直线CE∥平面PAB;

(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M-AB-D的余弦值.

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21.(2017·全国3·理T19)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.

(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;

(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D-AE-C的余弦值.

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22.(2017·山东·理T17)如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所

?的中点.

在直线为旋转轴旋转120°得到的,G是DF

?上的一点,且AP⊥BE,求∠CBP的大小;

(1)设P是CE

(2)当AB=3,AD=2时,求二面角E-AG-C的大小.

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23.(2017·天津·理T17)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°,点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.

(1)求证:MN∥平面BDE;

(2)求二面角C-EM-N的正弦值;

(3)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为√7

21

求线段AH的长.

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24.(2016·全国1·理T18)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.

(1)证明:平面ABEF⊥平面EFDC;

(2)求二面角E-BC-A的余弦值.

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25.(2016·全国2·理T19)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF=5

,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF的位置,OD'=√10.

4

(1)证明:D'H⊥平面ABCD;

(2)求二面角B-D'A-C的正弦值.

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26.(2016·山东·理T17)在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O'的直径,FB是圆台的一条母线.

(1)已知G,H分别为EC,FB的中点.求证:GH∥平面ABC;

AC=2√3,AB=BC,求二面角F-BC-A的余弦值.

(2)已知EF=FB=1

2

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27.(2016·浙江·理T17)如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.

(1)求证:BF⊥平面ACFD;

(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.

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28.(2016·全国3·理T19)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.

(1)证明:MN∥平面PAB;

(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.

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29.(2015·全国2·理T19)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在

A 1B

1

,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.

(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);

(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.

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30.(2015·上海·理T19)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=1,AB=AD=2,E,F分别是棱AB,BC 的中点.证明A1,C1,F,E四点共面,并求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小.

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31.(2015·北京·理T17)如图,在四棱锥A-EFCB中,△AEF为等边三角形,平面AEF⊥平面EFCB,EF∥BC,BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°,O为EF的中点.

(1)求证:AO⊥BE;

(2)求二面角F-AE-B的余弦值;

(3)若BE⊥平面AOC,求a的值.

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32.(2015·浙江·理T17)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面

ABC的射影为BC的中点,D是B

1C

1

的中点.

(1)证明:A1D⊥平面A1BC;

(2)求二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值.

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33.(2015·福建·理T17)如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB⊥平面BEC,BE⊥EC,AB=BE=EC=2,G,F分别是线段BE,DC的中点.

(1)求证:GF∥平面ADE;

(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.

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34.(2015·山东·理T17)如图,在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.

(1)求证:BD∥平面FGH;

(2)若CF⊥平面ABC,AB⊥BC,CF=DE,∠BAC=45°,求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小.

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35.(2015·全国1·理T 18)如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.

(1)证明:平面AEC⊥平面AFC;

(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

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36.(2015·陕西·理T18)如图①,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=π

2

,AB=BC=1,AD=2,E是AD 的中点,O是AC与BE的交点,将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置,如图②.

(1)证明:CD⊥平面A1OC;

(2)若平面A1BE⊥平面BCDE,求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值.

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37.(2015·湖北·理T19)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.

如图,在阳马P-ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,过棱PC的中点E,作EF⊥PB,交PB于点F,连接DE,DF,BD,BE.

(1)证明:PB⊥平面DEF,试判断四面体DBEF是否为鳖臑.若是,写出

其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;

(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为π

3,求DC

BC

的值.

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38.(2014·全国1·理T19)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C.

(1)证明:AC=AB1;

(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角A-A1B1-C1的余弦值.

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39.(2014·全国2·理T18)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD 的中点.

(1)证明:PB∥平面AEC;

(2)设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=√3,求三棱锥E-ACD的体积.

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40.(2014·江西·理T19)如图,四棱锥P-ABCD中,ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD.

(1)求证:AB⊥PD;

(2)若∠BPC=90°,PB= √2,PC=2,问AB为何值时,四棱锥P-ABCD的体积最大?并求此时平面PBC 与平面DPC夹角的余弦值.

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41.(2014·湖南·理T19)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.

(1)证明:O1O⊥底面ABCD;

(2)若∠CBA=60°,求二面角C1-OB1-D的余弦值.

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42.(2014·辽宁·理T19)如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F分别为AC,DC的中点.

(1)求证:EF⊥BC;

(2)求二面角E-BF-C的正弦值.

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43.(2014·天津·理T17)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.

(1)证明:BE⊥DC;

(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;

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44.(2014·安徽·理T20)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A⊥底面ABCD.四边形ABCD为梯形,AD ∥BC,且AD=2BC.过A1,C,D三点的平面记为α,BB1与α的交点为Q.

(1)证明:Q为BB1的中点;

(2)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比;

(3)若AA1=4,CD=2,梯形ABCD的面积为6,求平面α与底面ABCD所成二面角的大小.

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45.(2014·四川·理T18)三棱锥A-BCD及其侧视图、俯视图如图所示.设M,N分别为线段AD,AB 的中点,P为线段BC上的点,且MN⊥NP.

(1)证明:P是线段BC的中点;

(2)求二面角A-NP-M的余弦值.

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46.(2014·山东·理T17)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,∠DAB=60°,AB=2CD=2,M是线段AB的中点.

(1)求证:C1M∥平面A1ADD1;

(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1=√3,求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值.

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47.(2014·湖北·理T19)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱

AB,AD,A

1B

1

,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2).

(1)当λ=1时,证明:直线BC1∥平面EFPQ;

(2)是否存在λ,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.

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48.(2014·北京·理T17)如图,正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM,MD的中点.在五棱锥P-ABCDE中,F为棱PE的中点,平面ABF与棱PD,PC分别交于点G,H.

(1)求证:AB∥FG;

(2)若PA⊥底面ABCDE,且PA=AE,求直线BC与平面ABF所成角的大小,并求线段PH的长.

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49.(2014·福建·理T17)在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD.将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如图.

(1)求证:AB⊥CD;

(2)若M为AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.

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50.(2014·陕西·理T17)四面体ABCD及其三视图如图所示,过棱AB的中点E作平行于AD,BC 的平面分别交四面体的棱BD,DC,CA于点F,G,H.

(1)证明:四边形EFGH是矩形;

(2)求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值.

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51.(2013·全国1·理T18)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.

(1)证明:AB⊥A1C;

(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.

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52.(2013·湖南·理T19)如图,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°,AC⊥

=3.

BD,BC=1,AD=AA

1

(1)证明:AC⊥B1D;

(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.

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53.(2013·全国2·理T18)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中

AB.

点,AA1=AC=CB=√2

2

(1)证明:BC1∥平面A1CD;

(2)求二面角D-A1C-E的正弦值.

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54.(2013·广东·理T18)如图(1),在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=6,D,E分别是AC,AB 上的点,CD=BE=√2,O为BC的中点.将△ADE沿DE折起,得到如图(2)所示的四棱锥A'-BCDE,其中A'O=√3.

(1)证明:A'O⊥平面BCDE;

(2)求二面角A'-CD-B的平面角的余弦值.

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55.(2013·浙江·理T20)如图,在四面体A-BCD 中,AD ⊥平面BCD,BC ⊥CD,AD=2,BD=2√2.M 是AD 的中点,P 是BM 的中点,点Q 在线段AC 上,且AQ=3QC. (1)证明:PQ ∥平面BCD;

(2)若二面角C-BM-D 的大小为60°,求∠BDC 的大小.

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56.(2012·全国·理T19)如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AC=BC=1

2AA 1,D 是棱AA 1的中点,DC 1⊥BD. (1)证明:DC 1⊥BC ;

(2)求二面角A 1-BD-C 1的大小.

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57.(2011·全国·理T18)如图,四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD ⊥底面ABCD. (1)证明:PA ⊥BD;

(2)设PD=AD,求二面角A-PB-C 的余弦值.

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58.(2011·四川·理T19)如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA 1=1.D 是棱CC 1上的一点,P 是AD 的延长线与A 1C 1的延长线的交点,且PB 1∥平面BDA 1. (1)求证:CD=C 1D ;

(2)求二面角A-A 1D-B 的平面角的余弦值; (3)求点C 到平面B 1DP 的距离.

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59.(2010·全国·理T18)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足为H,PH是四棱锥的高,E为AD中点.

(1)证明:PE⊥BC;

(2)若∠APB=∠ADB=60°,求直线PA与平面PEH所成角的正弦值.

十年高考真题分类汇编(2010—2019)数学

AB,N为AB上一60.(2010·辽宁·理T19)已知三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AC=1

2

点,AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.

(1)证明:CM⊥SN;

(2)求SN与平面CMN所成角的大小.

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