欧拉方程组
在此处键入公式。欧拉方程组——守恒形式：
∂U∂t+∂F(U)∂x=0，U= 𝜌𝜌𝑢E ，F U = 𝜌𝑢ρ𝑢2+𝑃(𝐸+𝑃)𝑢 。
令m=ρu，则
P= γ−1 ρe= γ−1 E−12ρ𝑢2 =(γ−1)(E−12𝑚2𝜌)，
且U= 𝜌𝑚E ，F U = 𝑚 γ−1 E+3−𝛾2𝑚2𝜌𝛾𝑚𝐸𝜌−𝛾−12𝑚2𝜌 。
进一步有：
( γ−1 E+3−𝛾2𝑚2𝜌)𝑥= 𝛾−1 𝐸𝑥+(3−𝛾)𝑚𝜌𝑚𝑥− 3−𝛾 𝑚22𝜌2𝜌𝑥=0,
(𝛾𝑚𝐸𝜌−(𝛾−1)𝑚32𝜌2)𝑥=𝛾𝑚𝜌𝐸𝑥+ 𝛾𝐸𝜌−3 𝛾−1 𝑚22𝜌2 𝑚𝑥− 3−𝛾 𝑚22𝜌2𝜌𝑥=0.
所以有，
∂∂t 𝜌𝑚E +𝐴∂∂x 𝜌𝑚E =0，
其中
A= 010(𝛾−3)𝑚22𝜌2(3−𝛾)𝑚𝜌𝛾−1(𝛾−1)𝑚3𝜌3−𝛾𝑚𝐸𝜌2𝛾𝐸𝜌−3(𝛾−1)𝑚22𝜌2𝛾𝑚𝜌 .
又𝑚𝜌=𝑢,𝐸𝜌=𝜌𝑒+12𝜌𝑢2𝜌𝑃= 𝛾−1 𝜌𝑒,𝑐= 𝛾𝑃𝜌 𝑐2𝛾(𝛾−1)+12𝑢2
则 A= 010(𝛾−3)𝑢22(3−𝛾)𝑢𝛾−1𝛾−22𝑢3−𝑐2𝑢𝛾−1𝑐2𝛾−1+3−2𝛾2𝑢2𝛾𝑢
计算特征值： 𝜇𝐸−A = 𝜇−103−𝛾2𝑢2𝜇+ 𝛾−3 𝑢1−𝛾𝑐2𝛾−1𝑢−𝛾−22𝑢32𝛾−32𝑢2−𝑐2𝛾−1𝜇−𝛾𝑢
= 𝜇−𝛾𝑢 𝜇2+ 𝛾−3 𝑢𝜇+3−𝛾2𝑢2
+ 𝛾−1 2𝛾−32𝑢2−𝑐2𝛾−1 𝜇+𝑐2𝛾−1𝑢−𝛾−22𝑢3
=𝜇3−3𝑢𝜇2+ 3𝑢2−𝑐2 𝜇+ 𝑐2𝑢−𝑢3
=(μ−u)(μ−(u+c))(μ−(u−c))
其特征值为：𝜇1=𝑢−𝑐，𝜇2=𝑢，𝜇3=𝑢+𝑐。
计算右特征向量：𝑟= 𝑟1,𝑟2,𝑟3 = 𝑟11𝑟12𝑟13𝑟21𝑟22𝑟23𝑟31𝑟32𝑟33
当𝜇1=𝑢−𝑐时，有：
𝑢−𝑐−103−𝛾2𝑢2 𝛾−2 𝑢−𝑐1−𝛾𝑐2𝛾−1𝑢−𝛾−22𝑢32𝛾−32𝑢2−𝑐2𝛾−1 1−𝛾 𝑢−𝑐 𝑟11𝑟21𝑟31 = 000
进一步得 u−c 𝑟11−𝑟12=03−𝛾2𝑢2𝑟11+ 𝛾−2 𝑢−𝑐 𝑟12+ 1−𝛾 𝑟13=0
所以可得𝑟1= 1u−c12𝑢2−𝑢𝑐+𝑐2𝛾−1 = 1u−cH−𝑢𝑐 ,
同理可得𝑟2= 1u12𝑢2 ，𝑟3= 1u+cH+𝑢𝑐 ，其中H=𝐸+𝑃𝜌=𝑐2𝛾−1+12𝑢2.
计算左特征向量：l=(𝑙1,𝑙2,𝑙3)𝑇= 𝑙11𝑙12𝑙13𝑙21𝑙22𝑙23𝑙31𝑙32𝑙33 当𝜇1=u−c时，有：
(𝑙11,𝑙12,𝑙13) 𝑢−𝑐−103−𝛾2𝑢2 𝛾−2 𝑢−𝑐1−𝛾𝑐2𝛾−1𝑢−𝛾−22𝑢32𝛾−32𝑢2−𝑐2𝛾−1 1−𝛾 𝑢−𝑐
= 000
进一步可得 −𝑙11+ 𝛾−2 𝑢−𝑐 𝑙12+ 2𝛾−32𝑢2−𝑐2𝛾−1 𝑙13=0 1−𝛾 𝑙12+ 1−𝛾 𝑢−𝑐 𝑙13=0，
令𝑙13=1,则有𝑙11=12𝑢2+𝑐𝑢1−𝛾，𝑙12=𝑐1−𝛾−𝑢。
所以𝑙1= 12𝑢2−𝑐𝑢1−𝛾𝑐1−𝛾−𝑢1 。
同理可得𝑙2= 12𝑢2+𝑐21−𝛾−𝑢1 𝑙3= 12𝑢2+𝑐𝑢1−𝛾−𝑐1−𝛾−𝑢1
欧拉方程组——非守恒形式
∂U∂t+∂F(U)∂x=0，U= 𝜌𝜌𝑢E ，F U = 𝜌𝑢ρ𝑢2+𝑃(𝐸+𝑃)𝑢 ，
E=ρe+12𝜌𝑢2=𝑃𝛾−1+12𝜌𝑢2. U=(𝜌,𝑢,𝑃)𝑇.
则通过计算得到：
∂∂t 𝜌𝑢P + 𝑢𝜌00𝑢1𝜌0𝜌𝑐2𝑢 𝜕𝜕𝑥 𝜌𝑢P =0
其特征值为：𝜇1=u−c，𝜇2=u，𝜇3=u+c.
计算右特征向量：r= 𝑟1,𝑟2,𝑟3 = 𝑟11𝑟12𝑟13𝑟21𝑟22𝑟23𝑟31𝑟32𝑟33
当𝜇1=u−c时，有： −𝑐−𝜌00−𝑐−1𝜌0−ρ𝑐2−𝑐 𝑟11𝑟21𝑟31 = 000
所以𝑟1= −𝜌𝑐1−𝜌𝑐
同理可得𝑟2= 100 ，𝑟3= 1𝑐𝜌𝑐2
其对应的左特征向量为𝑙1= 0−ρc1 ，𝑙2= 𝛾0−1 ，𝑙3= 0𝜌𝑐1 .
三维Euler方程组隐式LU分解的高性能并行计算
第２５卷第４期 ２００７年ｌ２月 空气动力学学报 ＡＣＴＡ ＡＥＲＯＤＹＮＡＭＩＣＡ ＳＩＮＩＣＡ Ｖｏ１．２５，Ｎｏ．４ Ｄｅｃ．，２００７
文章编号：０２５８—１８２５（２００７）０４．０４３７．０６
三维Ｅｕｌｅｒ方程组隐式ＬＵ分解的高性能并行计算
吴建平 ，李晓梅２
（Ｉ．国防科技大学计算机学院并行与分布处理实验室，湖南长沙４１００７３；２．装备指挥技术学院，北京 １０１４１６）
摘要：许多非定常无粘流体力学问题的数值模拟都需要利用Ｅｕｌｅｒ方程组来进行计算，而由于在隐格式下，所选 取的时间步长可以比在显格式下时大得多，所以隐格式越来越受到重视，其中隐式ＬＵ分解是最常用的方法之一。 对三维Ｅｕｌｅｒ方程组，采用隐式ＬＵ分解进行计算时，网格点所在的各个对角阵面之间存在数据依赖关系，本文分析 了采用区域分解且边界上用显格式代替隐格式进行计算的高效性，在长方体建筑物内的爆炸模拟表明，在有ｌｌ２ 个ＣＰＵ的某ＭＰＰ巨型机上，并行计算效率超过６ｏ％。本文还分析了计算结果与串行计算时的差异，以及利用区域 重叠减小这种差异的方法，同时考虑了对处理器进行合理的逻辑组织，将计算网格映射到处理器网格，以最大限度 减少通信开销的方法。文中最后以一个爆炸毁伤的例子实际说明了所述方法的可行性与高效性。 关键词：Ｅｕｌｅｒ方程组；隐式ＬＵ分解；并行计算；区域分解 中图分类号：Ｖ２ｌ１．３ 文献标识码：Ａ
０ 引 言
典型的连续介质流体力学控制方程组是Ｎａｖｉｅｒ－ Ｓｔｏｋｅｓ方程组，由质量守恒、能量守恒、动量守恒方程 组成。对无粘流动，Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ方程组简化为欧拉
方程组，三维欧拉方程组可写为：
＋ ＋ ＋ ：０ （１） ａｔ十ａ 十ａＹ十ａ 一 ，
其中：
Ｑ＝
，＝ 』Ｄ
ｐｕ
ｅ ，Ｅ＝
ｐｕｖ ２＋Ｐ
ｐｖｗ （ｅ＋Ｐ） ｐｕ 』ＤⅡ２＋Ｐ
ｐｕｖ ｐｕｗ （ｅ＋Ｐ）Ⅱ
，Ｇ ｐｗ
ｐｕｗ
欧拉静平衡方程-附件
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1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 欧拉静平衡方程
为了进一步研究流体静平衡规律和流体内部静压强分布规律，我们先运用牛顿第二定律建立流体静平衡方程.
图 2-3
从静止流体中取一微小六面体，其表面与坐标平面平行，边长分别为dxdydz、、（参见图2—3）.
从上一节的讨论中知道，作用在流体上的力有质量力和表面力. 对于所取的微元体，作用在其上的质量力为sdFRdxdydzuuv，其中dxdydZ是微元体的质量.
在静止流体中，不存在切向力，表面力中仅有压力. 由于流体中各处的压强不同，即压强是空间坐标的函数，(,,)ppxyz. 因而作用在微元体各个面上的压力不同，其合力可由六个面上的压力按向量相加而得.
设微元体中心C点(,,)xyz的压强为p，则微元体六个面上的压强可用泰勒级数将压强在C点展开而得，例如，微元体左面的压强为
展开时略去了二阶以上微量，因为取极限时，这些项将趋于零. 同样，微元体右面的压强为
图2—3 上表示了y方向两个面上的压力作用. 每个力是三项的乘积，第一项是压强的大小，第二项是表面积，第三项是单位坐标向量，图上也表明了每个力都指向作用面. 用同样方法可以写出其它面上的作用力. 这些表面力的合力为
化简后为
()SpppdFijkdxdydzxyzuuuvvvv （a）
括号中的项称为压强梯度，并写作gradp或p. 在直角坐标系中
()()pppgradppijkijkpxyzxyzvvvvvv （2—4）
欧拉方程的高阶间断Galerkin方法研究
笫３７卷第５期 西南民族大学学报・自然科学版
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆＳｏｕｔｈｗｅｓｔ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｆｏｒ Ｎａｔｉｏ￣ａｌｉｔｉｅｓ・Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ
文章编号：１００３－２８４３（２０ｌ １）ｏ５－０６９１－０５
欧拉方程的高阶间断Ｇａｌｅｒｋｉｎ方法研究
马欣荣
（１．成阳师范学院数学与信息科学学院，陕西咸阳，７１２０００；２．西安电子科技大学理学院应用数学系，西安７１００７１）
摘要：在二维结构网格上建立了一种求解欧拉方程的快速稳健高阶间断Ｇａｌｅｒｋｉｎ方法．采用Ｒｏｅ迎风型数值通量，时
间步采用ＴＶＤ Ｒｕｎｇｅ．Ｋｕｔｔａ方法推进；构造了适合间断Ｇａｌｅｒｋｉｎ方法的二维二阶Ｍｏｍｅｎｔ限制器，并采用当地时间步长
加速收敛．数值模拟了绕ＮＡＣＡ００１２翼型流场，数值结果表明了Ｍｏｍｅｎｔ限制器有效地抑制了数值振荡。该方法具有优
良的加速收敛效果和较好地激波捕捉能力．
关键词：间断Ｇａｌｅｒｋｉｎ方法；Ｒｏｅ迎风型数值通量；ＴＶＤ Ｒｕｎｇｅ．Ｋｕｔｔａ方法：Ｍｏｍｅｎｔ限制器
中图分类号：Ｄ２４１．８２；Ｖ２ｌ１．３：０２４１．８２ 文献标识码：Ａ
ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００３・２４８３．２０ｌ１．０９．０２
在二十世纪七十年代，Ｒｅａｄ和Ｈｉｌｌ Ｌｌｌ首次提出了间断Ｇａｌｅｒｋｉｎ有限元方法（Ｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ Ｇａｌｅｒｋｉｎ ＦＥＭ），并应
用于求解中子输运方程．在２Ｏ世纪９０年代，ＤＧ方法得到了快速发展，特别是Ｃｏｃｋｂｕｍ和Ｓｈｕ等［２－６］提出了高阶显
式ＴＶＤ Ｒｕｎｇｅ—Ｋｕｔｔａ时间离散方法在许多方面得到了很好的应用．ＤＧ方法无论是求解椭圆方程，还是双曲守恒
方程，Ｈａｍｉｌｔｏｎ—Ｊａｃｏｂｉａ方程，对流扩散方程，ＭＨＤ方程和黏弹性流体方程都是卓有成效的．由于ＤＧ方法有很多
自身的优点：（１）精度的提高是通过提高单元内插值多项式次数来实现，克服了有限体积法中需要通过扩展模板
欧拉多相流与湍流模型
欧拉多相流与湍流模型
欧拉多相流与湍流模型是流体力学中重要的研究领域。通过对多相流动中的颗粒运动和湍流现象的研究，我们可以更好地理解和掌握复杂的流体行为。
在欧拉多相流模型中，我们考虑了流体中存在的多种不同相，如气体和液体，以及颗粒物质。这些相之间的相互作用会导致流体中的颗粒运动和相变现象。通过建立欧拉方程组，我们可以描述这些相之间的动力学行为，并用数学模型进行求解。这样，我们就可以预测和分析多相流动的行为，从而为相关工程问题提供解决方案。
与此同时，湍流模型也是流体力学中的一个重要研究方向。湍流是指流体中存在的不规则运动和涡旋结构。湍流流动具有高度复杂性和不可预测性，因此对湍流行为的研究一直是科学家们努力攻克的难题。
为了描述湍流现象，研究者们提出了各种不同的湍流模型。其中最经典的模型是雷诺平均湍流模型（RANS），它基于平均流场的统计性质来描述湍流的运动。此外，还有基于大涡模拟（LES）和直接数值模拟（DNS）的湍流模型，它们对湍流的细节和结构进行更加精细的描述。
通过欧拉多相流与湍流模型的研究，我们可以更好地理解和掌握多相流动和湍流现象的本质。这对于解决工程问题、优化工艺流程以及设计更高效的设备都具有重要意义。
欧拉多相流与湍流模型的研究为我们揭示了流体力学中的复杂现象，帮助我们更好地理解和应用流体动力学的原理。通过不断深入研究和创新，我们可以进一步提高对多相流动和湍流现象的认识，推动科学技术的发展和应用。
三维可压缩Euler方程组经典解的爆破
第２７卷第４期 ２０１０年８月 华东交通大学学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｅａｓｔ Ｃｈｉｎａ Ｊｉａｏｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｖ０１．２７ Ｎ０．４ Ａｕｇ．，２０１０ 文章编号：１００５—０５２３（２０１０）０４－００７１—０４ 三维可压缩Ｅｕｌｅｒ方程组经典解的爆破 朱旭生，李芳娥，俞银晶 （华东交通大学基础科学学院，江西南昌３３００１３） 摘要：研究了三维可压缩等熵Ｅｕｌｅｒ方程组经典解的爆破。在Ｓｉｄｅｆｉｓ Ｔ Ｃ等研究的基础上，利用局部解具有有限传播速度的 性质，通过构造适＂－３的泛函，证明了某些初始数据较大时Ｃａｕｃｈｙ问题的经典解必定在有限时间内爆破的结论。 ’关键词：可压缩Ｅｕｌｅｒ方程组；经典解；爆破 中图分类号：Ｏ１７５．４ 文献标识码：Ａ 关于三维可压缩Ｅｕｌｅｒ方程组ｌ１之Ｊ研究成果已有很多，主要集中在各种形式的弱解以及经典解的爆 破＿３｛Ｊ，其结论是在某些指标数据较大时经典解必定在有限时间内爆破；在有阻尼的情形下获得小初值时 的经典解的整体存在性，例如Ｓｉｄｅｒｉｓ ＴＣ研究了三维可压缩欧拉方程组解的奇异性的形成，即在某些初始 数据较大的情形下经典解的爆破，以及王维克等在初始数据较小时得到了带阻尼项的多维可压缩欧拉方 程组经典解的整体存在性，并研究了解的点态估计等。本文继续研究三维空问中等熵Ｅｕｌｅｒ方程组的初值 问题，在Ｓｉｄｅｒｉｓ ＴＣ研究了三维空间中可压缩欧拉方程组经典解爆破的基础上，对条件进行适当的调整，结 合文献［６－７１，通过构造泛函，证明其经典解在有限时间内必定爆破的结论。 结论及证明 考虑三维等熵可压缩Ｅｕｌｅｒ方程组： ‘Ｐ ＋ｄｉｖ（ｐｕ）＝０ （１） Ｐ（Ｕ ＋“・ ）＋Ｖｐ＝０ （２） Ｐ＝）ｔ２ｐ ，１＜ｙ≤３ （３） 初始条件为：Ｐ（ ，０）＝ｐｏ（ ）＞０，ｕ（ ，０）＝ 。（ ） （４） 其中：Ｐ，ｕ，Ｐ分别表示气体的密度、速度和压强； ∈Ｒ 是空间变量，ｔ是时间变量，），是绝热指数，ｔ ＞０，Ａ＞０。 在有界集｛ｌ ｌ≥Ｒ｝外有 Ｐ。（ ）＝Ｐ，“。（ ）：ＩＩ，＝０ （５） 记 ＝ｐ （ ） ／２＝［ 一 ］ ／２＝ ［ 一 ］ ／２，Ａ（ ）＝｛ ：ｌ ｌ≥Ｒ＋ａｔ｝， Ｂ（ｔ）＝｛ ：Ｉ Ｉ≤Ｒ＋ａｔ｝，Ｐ＝ｐ（ＩＤ）， （Ｔ） ｛（ ，ｔ）ｌ ∈Ａ（ｔ），０≤ｔ＜Ｔ｝。 引理［６］ 对于Ｔ＞０，（１Ｄ，Ｍ）是（１）一（５）式在ｎ（ｔ）上的经典解，则对任意的（ ，ｔ）Ｅ ｎ（ ）有（１０， １２）（ ，ｔ）＝（Ｐ，０）。 建立数量关系式 Ｆ（￡）＝ｊ 。ｐｕ（ ，ｆ）ｄ ，ｍ（ ）＝ｊ（ＩＤ（ ，ｔ）一 ）ｄ ，７（ ）＝Ｊ ｐ 一 ｄ 。 定理 如果（』Ｄ，ｕ）Ｅ Ｃ 是（１）一（５）式的经典解，ｖ（Ｏ）≥０，且 收稿日期：２０１０－０１—１９ 基金项目：江西省自然科学基金项目（２００７ＧＺＳ０８１１） 作者简介：朱旭生（１９６８一），男，博士，副教授，研究方向为偏微分。
非齐次欧拉方程特解的一种求法
第１６卷第３期 ２Ｏ１３年５月 高等数学研究 ｓＴＵＤＩＥＳ ＩＮ Ｃ０ＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｖ０１．１６，ＮＯ．３ Ｍａｖ，２０１３
非齐次欧拉方程特解的一种求法
王景艳
（保山学院数学学院，云南保山６７８０００）
摘要 借助实例介绍求非齐次欧拉方程特解的“比较系数法”． 关键词 欧拉方程；非齐次欧拉方程；特解 中图分类号 Ｏ１７５．１ 文献标识码 Ａ 文章编号 １００８—１３９９（２０１３）０３—０００３—０２
对于齐次欧拉方程，文［１］给出了两种方法，但 对于非齐次欧拉方程，文［１］并未给出明确的解法，
只给出了习题．采用特征根法先求出齐次欧拉方程 的通解，再用常数变易法求非齐次欧拉方程的通解，
这是文［２］给出的方法．从求解过程来看，常数变易
法要解代数方程组，过程要复杂些．本文拟借助实例 将文Ｅｌｉ所介绍的“比较系数法”直接用以求非齐次
欧拉方程的特解，以提高解题效率．
例如对于二阶齐次欧拉方程
ｚ ＋ａｌ ｄｙ＋ａｚｙ：０， （１）
通过变换ｚ—ｅ ，可以化为
＋ 一１） ＋口ｚ 一０． （２）
方程（１）的特征方程为
。＋（日ｌ一１） ＋口２—０．
另外，设解 —ｚ 代人方程（１），也可得到方程（１）
的特征方程
Ｋ ＋（口ｌ一１）Ｋ＋口２—０． 用数学归纳法可以证明＿．１］，一般的欧拉方程通
过变量变换得到的常系数齐次线性方程的特征方程
和把解Ｙ—Ｘ 代人得到的特征方程其实是一样的．
根据以上讨论，在解非齐次欧拉方程时，可以不
作变量变换，直接令Ｙ— ，先解齐次欧拉方程的 特征方程，然后再把对应非齐次欧拉方程的右端项
，（ ）化为ｆ（ｅ ），再来设出非齐次欧拉方程的特解 形式，然后再用文［１］的非齐次线性方程的“比较系
数法”来解非齐次欧拉方程的特解． 例１ｌ＿】 求解非齐次欧拉方程
亡 一４ｘｙ－｝－６ｙ—Ｘ．
解 设Ｙ—ｚ ，得到Ｋ满足的方程，即特征方
收稿日期：２Ｏ１２—０９－０５；修改日期：２０１３—０４—０５ 作者简介：王景艳（１９８１－－），女，云南大理人，硕士，讲师，从事微分方 程研究．Ｅｍａｉ［：ｗａｎｇｊｙ２０１３０４＠ｓｉｎａ．ｃｎ 程为
可压缩欧拉方程在不变子空间中的精确解
可压缩欧拉方程在不变子空间中的精确解∗
朱春蓉;朱丹霞
【期刊名称】《工程数学学报》
【年(卷),期】2016(033)003
【摘 要】欧拉方程是流体力学中非常重要的模型，被广泛应用于许多领域。构造它的精确解是数学物理中非常有意义的工作。精确解可以为理解它的非线性现象和物理意义提供具体的例子。本文旨在通过不变子空间方法构造可压缩欧拉方程的精确解。在变量变换意义下，由不变条件给出与可压缩方程相关的不变子空间；在这些不变子空间中，它被约化为一阶常微分方程组；通过求解这些常微分方程组，最终得到可压缩欧拉方程的一些精确解。
【总页数】8页(P279-286)
【作 者】朱春蓉;朱丹霞
【作者单位】安徽师范大学数学计算机科学学院，芜湖 241000;安徽师范大学数学计算机科学学院，芜湖 241000
【正文语种】中 文
【中图分类】O175.2
【相关文献】
1.（3+1）维短波方程的不变子空间和精确解 [J], 殷京津;王丽真
2.一类四阶非线性方程的不变子空间与精确解 [J], 张亚敏
3.一类时间分数阶耦合Boussinesq-Burger方程在不变子空间中的精确解 [J], 李林芳; 舒级; 文慧霞
4.广义强色散DGH方程的不变子空间和精确解 [J], 李雪霞;刘汉泽;常丽娜
5.(3＋1)维波方程新的精确解和不变子空间(英文) [J], 夏亚荣
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Euler方程组到UTSD方程的近似
Euler方程组到UTSD方程的近似
[摘 要] 利用流体速度在x方向和y方向的分量阶数的不同，给出了Euler方程组近似为UTSD方程的详细推导。
[关键词] Euler方程组 UTSD方程
在研究激波反射的问题中，人们曾采用了各种不同的模型方程组来描述流体运动，其中有完全欧拉方程组，位势流方程，非线性波动方程,非定常跨音速小扰动方程(Unsteady Transonic Small Disturbance Equation，简称UTSDE)等[1][2][3][4]。虽然Euler方程组最完整地描述了无粘流体的运动，但形式也是最复杂的。由于UTSD方程组的非线性程度较低，又抓住流场变化中不同方向流动参数变化速率不同的特点，故我们可以将Euler方程组加以简化。当von
Neumann paradox被提出以后，也有人试图在UTSD方程组的框架下来解释这一现象。下面我们将给出Euler方程组近似为UTSD方程组的详细推导。
我们考虑如下的欧拉方程组：
（1）
其中是密度，和分别是和方向的速度分量，是压强，是内能，且满足理想气体的状态方程 ，其中是气体的绝热指数。
假设一束激波冲向一倾斜角为的斜坡，发生如图一所示的马赫反射结构。
图一 马赫反射结构图
它由入射激波，反射激波，马赫激波和稀疏波构成，反射点为。在本节中我们仅在三叉点的邻域内考虑如何将Euler方程组近似为USTD方程组。因为在图一中，流体是平行于坡面的，故我们旋转坐标系使新坐标系的横坐标平行于坡面，即
（2）
假设流体速度在方向和方向的分量分别是阶和阶的，且设反射点的坐标为，其中是入射激波前的音速，。下面我们求具有如下形式的Euler方程组（1）的近似解
（3）
其中和分别是入射激波前的密度和压强，且由下式定义
（4）
数学人物传记——欧拉
数学人物传记
—欧拉
人物生平 莱昂哈德·欧拉
欧拉1707年4月15日生于瑞士巴塞尔，1783年9月18日卒于俄国圣彼得堡。他生于牧
师家庭。15岁在巴塞尔大学获学士学位，翌年得硕士学位。1727年，欧拉应圣彼得堡科学院
的邀请到俄国。1731年接替丹尼尔·伯努利成为物理教授。他以旺盛的精力投入研究，在俄国
的14年中，他在分析学、数论和力学方面作了大量出色的工作。1741年受普鲁士腓特烈大帝
的邀请到柏林科学院工作，达25年之久。在柏林期间他的研究内容更加广泛，涉及行星运动、
刚体运动、热力学、弹道学、人口学，这些工作和他的数学研究相互推动。欧拉这个时期在微
分方程、曲面微分几何以及其他数学领域的研究都是开创性的。1766年他又回到了圣彼得堡。
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但在数学上作出伟大贡献，而且把数学用到
了几乎整个物理领域。他又是一个多产作者。他写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的
课本，《无穷小分析引论》、 《微分学原理》 、《积分学原理》都成为数学中的经典著作。
除了教科书外，他的全集有74卷。
18世纪中叶，欧拉和其他数学家在解决物理问题过程中，创立了微分方程这门学科。值
得提出的是，偏微分方程的纯数学研究的第一篇论文是欧拉写的《方程的积分法研究》 。欧
拉还研究了函数用三角级数表示的方法和解微分方程的级数法等等。 复平面上的Gamma 函数[4]
欧拉引入了空间曲线的参数方程，给出了空间曲线曲率半径的解析表达式。1766年他出
版了《关于曲面上曲线的研究》，建立了曲面理论。这篇著作是欧拉对微分几何最重要的贡献，
是微分几何发展史上的一个里程碑。欧拉在分析学上的贡献不胜枚举。如他引入了Γ函数和B
函数，证明了椭圆积分的加法定理，最早引入了二重积分等等。数论作为数学中一个独立分支
欧拉
学院：化工学院
班级：应化09-1
姓名：郭鹏
学号：200920517069
简述欧拉的数学成就
十八世纪瑞士数学家和物理学家伦哈特·欧拉（公元1707～公元1783）始终是世界最杰出的科学家之一。他的全部创造在整个物理学和许多工程领域里都有着广泛的应用。欧拉没有作出划时代的数学创造，但是，人们却能在几乎所有的数学领域内，看到他闪光的名字，见到他辛勤耕耘的足迹。欧拉公式、欧拉方程、欧拉常数、欧拉方法、欧拉猜想、欧拉图解、欧拉定理、欧拉准则、欧拉多项式„，历史上，从未有人象欧拉那样巧妙地把握数学，取得过那么多令人赞叹的数学成果。
不满 10 岁的时候，欧拉就开始自学《代数学》。这本书是德国著名数学家鲁道夫写的经典著作，连欧拉的老师中，也没有几个人读过这本书。小欧拉却读得津津有味。遇到弄不懂的地方，就用笔做上记号，事后再向大人请教。13 岁那年，欧拉考入巴塞尔大学。这个全校年龄最小的学生，很快就成为约翰。伯努利教授的得意门生。欧拉是一位品德高尚的数学家。他曾与欧洲的 300 多名学者通信，在信中，常常毫无保留地把自己的发现和推导告诉别人，为别人的成功创造条件。 1750 年， 19 岁的法国青年拉格朗日（后来成为数学家）冒昧地给欧拉写信，讨论“等周问题”的解法。欧拉曾经长期苦心思索这个问题，当他发现这个法国青年的思路很有特色时，立即回信予以热情鼓励，并压下自己这方面的作品暂不发表。
尤其令人感动的是，欧拉有 400 多篇论文和许多数学著作，是在他完全失明的 17 年中完成的。早在 1735 年，由于过度紧张地工作，欧拉害了一场病，导致了右眼失明。 1766 年以后，他的左眼也失明了。欧拉默默地忍受着失明的痛苦，用惊人的毅力顽强拼搏，决心用自己闪光的数学思想，照耀他人深入探索的道路，每年，他都以 800 页的速度，向世界呈献出一篇篇高水平的科学论文和著作，还解决了一些数学难题。