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函数与方程思想 1．已知x，y∈R＋，且x＋2y＝1，则x·y的最大值为( )

A.12 B.18 C．1 D.14

1.【答案】B 【分析】 由x＋2y＝1得y＝12(1－x)，则f(x)＝xy＝x·12(1－x)＝ －12(x2－x)＝－12(x－12)2＋18，当x＝12时，f(x)max＝18. 2.对任意实数a∈[－1，1]，若函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒为正，则x的取值范围是________． 2.【答案】 (－∞，1)∪(3，＋∞) 【分析】 因为函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒为正，可看成关于a的一次函数，不妨令g(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，所以

g（－1）＝x2－5x＋6＞0g（1）＝x2－3x＋2＞0，即x＞3或x＜2x＞2或x＜1.

3.若直线ax＋y＋2＝0与圆x2＋y2－x＝0相交，则实数a的取值范围是________． 3.【解】 由直线方程得y＝－ax－2，代入圆的方程并整理得：(a2＋1)x2＋(4a－1)x＋4

＝0，则直线与圆相交，应有Δ＝(4a－1)2－16(a2＋1)＝－8a－15>0，解得a<－158，即实数

a的取值范围是－∞，－158.

4.sinxcosx＋sinx＋cosx的取值范围是__________． 4.【答案】 [－1，12＋2] 【分析】 设sinx＋cosx＝t，t∈[－2，2 ]，则sinxcosx

＝t2－12，构造二次函数y＝t22＋t－12，t∈[－2，2 ]，由二次函数的图象与性质可知：－1≤y≤12

＋2，即－1≤sinxcosx＋sinx＋cosx≤12＋2. 5.已知关于x的方程sin2x＋cosx＋k＝0有实数解，则实数k的取值范围是( ) A．k≥－54 B．－54≤k<1

C．－54≤k≤1 D．－545.【答案】C 【分析】 原方程可化为cos2x－cosx＝k＋1，即(cosx－12)2＝k＋54，所以0≤k＋54≤94，则－54≤k≤1. 6.在等差数列{an}中，已知a3＝－7，a5＝a6－2，则数列{an}的前n项和Sn的最小值为________． 6.【答案】 －36 【分析】 由a5＝a6－2，得d＝a6－a5＝2，a1＝a3－2d＝－7－4＝－

11，Sn＝na1＋n（n－1）2d＝－11n＋n2－n＝n2－12n＝(n－6)2－36，故当n取6时，Sn取得最小值－36. 7.如果方程cos2x－sinx＋a＝0在0，π2上有解，求a的取值范围． 7.【解】 原方程可化为a＝－cos2x＋sinx，令f(x)＝－cos2x＋sinx，x∈0，π2，易知当a属于f(x)的值域时原方程有解．∴f(x)＝－(1－sin2x)＋sinx＝sinx＋122－54. 由x∈0，π2知sinx∈(0，1]．可得f(x)的值域为(－1，1]．故a的取值范围是(－1，1]． 8.已知f(t)＝log2t，t∈[2，8]，对于f(t)值域内所有实数m，不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立，求x的取值范围． 【提示】 应用函数与方程思想解决函数、方程、不等式问题，是多元问题中的常见题型．常见解题思路有以下两种：(1)分离变量，构造函数将不等式恒成立，方程求解等转化为求函数的最值(或值域)，然后求解；(2)换元将问题转化为一元一次不等式、二次不等式或二次方程，进而构造函数加以解决．本题可通过构造关于m的函数f(m)来解决．

8.【解】 t∈[2，8]，∴12≤log2t≤3，∴12≤m≤3. 方法一：不等式可化为：(2－x)m即：(2－x)m<(x－2)2＝(2－x)2 ①当x＝2时，上式不成立； ②当x≠2时，若x<2，则m<2－x. ∴2－x>3，即x<－1； 若x>2，则m>2－x，

∴2－x<12，即x>32，又x>2， ∴x>2. 综上，x的取值范围为x<－1或x>2. 方法二：原不等式可化为(x－2)m＋(x－2)2>0. 令f(m)＝(x－2)m＋(x－2)2

m∈[12，3]时，有f(m)的最小值大于0， ∵x＝2时，不成立．

∴x≠2，f（12）>0，f（3）>0，即x≠2，12（x－2）＋（x－2）2>0，3（x－2）＋（x－2）2>0. 解得x<－1或x>2. 【点评】 构造关于m的函数是解决本题的关键，解答本题常会因不会参变分离，不知道将已知存在范围的量看作变量，把待求范围的量看成参数而导致错误． 9.关于x的一元二次方程mx2＋(m－1)x＋m＝0没有实数根，则m的取值范围是( )

A. (－∞，－1)∪(13，＋∞) B．(－∞，－13)∪(1，＋∞)

C．[－13，1] D．(－13，1) 9.A 【分析】 由题意可知Δ<0m≠0， 即（m－1）2－4m2<0m≠0， 得m<－1或m>13. 10.不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为{x|－210.(－∞，－1)∪(2，＋∞) 【分析】依题意可得方程ax2－x－c＝0的两个根为x1＝－2，x2＝1，得1a＝－2＋1－ca＝－2×1，解得a＝－1c＝－2，f(－x)＝－x2＋x＋2<0，解之得x<－1或x>2. 11.已知x1，x2是函数y＝x2－(k－2)x＋(k2＋3k＋5)(k为实数)的两个零点，则x21＋x22的最大值为__________． 11.18【分析】因为方程x2－(k－2)x＋(k2＋3k＋5)＝0有两个实根，所以Δ≥0，即

－4≤k≤－43. x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝－k2－10k－6＝－(k＋5)2＋19.当k＝－4时，取最大值18. 12.已知关于x的方程sin2x－2sinx－a＝0有实数解，求实数a的取值范围． 12.【解】 由题得a＝sin2x－2sinx＝(sinx－1)2－1，∵－1≤sinx≤1，∴0≤(sinx－1)2

≤4，∴a的取值范围是[－1，3]．

数形结合思想 1.设M∪N＝{1，2，3，4，5}，M∩∁UN＝{2，4}，则N＝( ) A．{1，3，5} B．{1，2，4} C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5} 1.【解】 画出韦恩图，可知N＝{1，3，5}．

【点评】 本题考查集合的基本运算，利用韦恩图可使问题非常直观、明了． 2.已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点．

(1)求y－2x－1的最大、最小值； (2)求x－2y的最大、最小值． 2.【解】(1)如图，设Q(1，2)，y－2x－1＝k ①，分别过Q点作圆C的两条切线，

第2题图 将①整理得kx－y＋2－k＝0，d＝|－2k＋2－k|1＋k2＝1，∴k＝3±34，∴y－2x－1的最大为3＋34，

最小值为3－34.(2)令x－2y＝u，则表示为一组平行线．当直线与圆C有公共点时，u的范围可求，最值必在直线与圆C相切的情况，d＝|－2－u|5＝1 ∴u＝－2±5 ∴x－2y的最大值为－2＋5，最小值为－2－5. 3.已知a是实数，函数f(x)＝2a|x|＋2x－a，若函数y＝f(x)有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是________． 3.(－∞，－1)∪(1，＋∞) 【分析】当a＝0时， f(x)＝2x，不符合题意，故a≠0.

f(x)＝2a|x|＋2x－a＝2（a＋1）x－a，x≥02（1－a）x－a，x<0 函数f(x)恒过定点(0，－a)，可知满足题意的f(x)

的图象如图(1)，图(2)所示．则a＋1<0－a>01－a>0或a＋1>0－a<01－a<0，得a<－1或a>1.

图(1) 图(2) 第3题图

分类讨论思想 1．如果直线l过点(1, 2)且在两坐标轴上的截距相等，则l的方程为( ) A．x＋y－3＝0 B．y＝2x C．x＋y－3＝0或y＝2x D．y＝x＋1或y＝2x 1.C 【分析】 ①当截距为零时，即过原点(0，0)，∴ 直线方程为y＝2x；②当截距

不为零时，设直线方程为xa＋ya＝1，将点(1, 2)代入可得a＝3，∴ 直线方程为x＋y－3＝0.故选C. 2.若函数f(x)＝x－4mx2＋4mx＋3的定义域为R，则实数m的取值范围是( )

A．(－∞，＋∞) B．(0，34) C.(34，＋∞) D．[0，34) 2.D 【分析】 ①m＝0时，分母为3，定义域为R，②m≠0，Δ＜0，得0＜m＜34，综上得0≤m＜34. 等价转化思想 1.求关于x的方程22120xmxm两根都大于2的充要条件．

1.【解析】设两根为1x，2x，则

12120(2)(2)0(2)(2)0xxxx121212

0402()40xxxxxx





244(12)0240122(2)40mmmmm



