上海市浦东新区2018届高三数学一模试卷(有答案)
上海市浦东新区2018届高三一模数学试卷 一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 集合{1,2,3,4}A，{1,3,5,7}B，则AB 2. 不等式11x的解集为 3. 已知函数()21fxx的反函数是1()fx，则1(5)f 4. 已知向量(1,2)a，(3,4)b，则向量a在向量b的方向上的投影为 5. 已知i是虚数单位，复数z满足(13)1zi，则||z 6. 在5(21)x的二项展开式中，3x的系数是 7. 某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好 有1个二等品的概率为 8. 已知函数()yfx是定义在R上的偶函数，且在[0,)上是增函数，若(1)(4)faf，则实数a的取值范围是
9. 已知等比数列11,,1,93前n项和为nS，则使得2018nS的n的最小值为 10. 圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为23的扇形，则此圆锥的表面积为
11. 已知函数()sinfxx（0），将()fx的图像向左平移2个单位得到函数()gx的 图像，令()()()hxfxgx，如果存在实数m，使得对任意的实数x，都有 ()()(1)hmhxhm成立，则的最小值为
12. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M、N是双曲线22124xy上的两个动点，动 点P满足2OPOMON，直线OM与直线ON斜率之积为2，已知平面内存在两定点1F、 2F，使得12||||||PFPF为定值，则该定值为
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 若实数,xyR，则命题甲“44xyxy”是命题乙“22xy”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 14. 已知ABC中，2A，1ABAC，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的 动点，则BQCP的最小值为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 15. 某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系kxbye （2.718e为自然对数的底数，k、b为常数），若该食品在0℃的保鲜时间是192小 时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（ ）小时 A. 22 B. 23 C. 24 D. 33 16. 关于x的方程2arcsin(cos)0xxa恰有3个实数根1x、2x、3x，则222123xxx （ ） A. 1 B. 2 C. 22 D. 22
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 如图，在长方体1111ABCDABCD中，2AB，1AD，11AA. （1）求异面直线1BC与1CD所成的角； （2）求三棱锥1BDAC的体积.
18. 在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知(2,1)m， (cos,coscos)ncCaBbA，且mn.
（1）求C； （2）若227cb，且23ABCS，求b的值.
19. 已知等差数列{}na的公差为2，其前n项和22nSpnn（*nN，pR）. （1）求p的值及{}na的通项公式； （2）在等比数列{}nb中，21ba，324ba，令(21)(2)nnnankcbnk（*kN）， 求数列{}nc的前n项和nT. 20. 已知椭圆2222:1xyab（0ab）的左、右焦点分别为1F、2F，设点(0,)Ab， 在12AFF中，1223FAF，周长为423. （1）求椭圆的方程； （2）设不经过点A的直线l与椭圆相交于B、C两点，若直线AB与AC的斜率之和为 1，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；
（3）记第（2）问所求的定点为E，点P为椭圆上的一个动点，试根据AEP面积S的 不同取值范围，讨论AEP存在的个数，并说明理由.
21. 已知函数()fx的定义域为D，值域为()fD，即(){|(),}fDyyfxxD， 若()fDD，则称()fx在D上封闭. （1）分别判断函数2017()2017logxfxx，2()1xgxx在(0,1)上是否封闭，说明理由； （2）函数()1fxxk的定义域为[,]Dab，且存在反函数1()yfx，若函数()fx 在D上封闭，且函数1()fx在()fD上也封闭，求实数k的取值范围； （3）已知函数()fx的定义域为D，对任意,xyD，若xy，有()()fxfy恒成立， 则称()fx在D上是单射，已知函数()fx在D上封闭且单射，并且满足()xfDD，其中
1()(())nnfxffx（*nN），1()()fxfx，证明：存在D的真子集， nD1nD
3D2D1DD，使得()fx在所有iD（1,2,3,,in）上封闭. 参考答案 一. 填空题 1. 1,3 2. (,0)(1,) 3. 3 4. 1 5. 12 6. 80
7. 1633 8. 5,3 9. 10 10. 36 11. 12. 210
二. 选择题 13. B 14.B 15. C 16. B
三. 解答题 17.（1）11//ADBC 1ADC是异面直线1BC与1CD所成的角或其补角.2分
在等腰1ACD中，115,5,2ACCDAD
易得1
1010CDA……………………4分
即：异面直线1BC与1CD
所成的角
10arccos
10……………………1分
（2）11BDACDABCVV……………………4分 111(12)1323……………………3分
18. （1）由mn，∴2coscoscos0cCaBbA，……………………2分 由正弦定理得：2sincossincossincos0CCABBA，……2分 ∴2sincossin0CCAB； 2sincossin0CCC；
由sin0C，∴1cos2C，……………………2分 ∴23C；……………………1分 （2）由2222coscababC，∴22272cosbababC， ∴2260aabb，∴2ab；……………………4分
由23ABCS知，1sin232abC，∴1322322bb，……………2分 ∴2b.……………………1分 19. （1）22nSpnn *2,22,2npanNpnpn
*22,napnpnN
……………………3分
122nnaap 1p， 122)1(3nna
n……………………3分
（2）∵21323,49baba， ∴3q，2212333nnnnbbq，……………………2分 当*2,nkkN时，1234212nkkTababab 1321242(+)()kkaaabbb 21(37+4-1)(3273)kk
(341)3(19)3(91)(21)2198kkkkkk
(1)3(31)28nnn……………………3分
当*21,nkkN时，1n是偶数， 111(1)(2)3(31)TT328nnnnnnnb
(1)(2)3328nnn
**(1)3(31);2,28(1)(2)33;21,28nnnnnnkkNTnnnkkN
……………………3分
20. （1）由1223FAF得：13FAO ，所以2323abc………① 又12AFF周长为423，所以22423ac………② 解①②方程组，得21ab 所以椭圆方程为2214xy………………………4分 （2）设直线l方程：ykxm，交点1122(,),(,)BxyCxy 22222(14)84(1)044ykxmkxkmxmxy
………………………1分
2121222
84(1),1414kmmxxxxkk
…………………………1分
1212
11,ABACyykkxx ………………………………………1分
依题：1ABACkk即：1212111yyxx…………………………1分 1122,,ykxmykxm 12121212
1112(1)1kxmkxmxxkmxxxx
21mk ……………………………………………………………1分
21ykxmkxk过定点(2,1)…………………………………………1分
（3）:10AElxy，(0,1),(2,1),22AEAE………………………1分
设直线:lyxt与椭圆2214xy相切，
222
2
521041405yxtxtxtxyt
……………………1分
得两切线到:10AElxy的距离分别为125151,22dd 1
151225122AEPdS
2
151225122AEPdS
………………………1分
当51AEPS时，AEP个数为0个 当51AEPS时，AEP个数为1个 当5151AEPS时，AEP个数为2个 当51AEPS时，AEP个数为3个 当051AEPS时，AEP个数为4个……………………3分
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，A（﹣1.1）=﹣1．若 A（2x•A（x））=5，则正实数 x 的取
第 1页（共 18页）
值范围是
．
12．（3 分）已知点 M（m，0），m＞0 和抛物线 C：y2=4x．过 C 的焦点 F 的直线
与 C 交于 A，B 两点，若 =2 ，且| |=| |，则 m=
．
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 12 分．） 13．（3 分）若 x∈R，则“x＞1”是“ ”的（ ）
（用符
号“＜“连接起来）．
10．（3 分）已知点 O，A，B，F 分别为椭圆
的中心、左
顶点、上顶点、右焦点，过点 F 作 OB 的平行线，它与椭圆 C 在第一象限部分交
于点 P，若
，则实数λ的值为
．
11 ．（ 3 分 ） 已 知 x∈R ， 定 义 ： A （ x ） 表 示 不 小 于 x 的 最 小 整 数 ． 如
18．（12 分）如图，已知点 A 是单位圆上一点，且位于第一象限，以 x 轴的正半 轴为始边，OA 为终边的角设为α，将 OA 绕坐标原点逆时针旋转 至 OB． （1）用α表示 A，B 两点的坐标； （2）M 为 x 轴上异于 O 的点，若 MA⊥MB，求点 M 横坐标的取值范围．
19．（14 分）已知函数 g（x）=
∴| ﹣ |=
≥| |﹣1=
﹣1= ﹣1，
∴| ﹣ |的最小值为 ﹣1
8．（3 分）已知函数 y=f（x）是奇函数，且当 x≥0 时，f（x）=log2（x+1）．若函 数 y=g（x）是 y=f（x）的反函数，则 g（﹣3）= ﹣7 ． 【解答】解：∵反函数与原函数具有相同的奇偶性． ∴g（﹣3）=﹣g（3）， ∵反函数的定义域是原函数的值域， ∴log2（x+1）=3， 解得：x=7， 即 g（3）=7， 故得 g（﹣3）=﹣7． 故答案为：﹣7．
2018年浦东新区高考数学二模含答案
2018年浦东新区高考数学二模含答案 2018．4注意：1． 答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚．2． 本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1.21lim 1n n n →+∞+=-________ .2 2.不等式01xx <-的解集为________.(0,1)3.已知{}n a 是等比数列，它的前n 项和为n S ，且34,a =48a =-，则5S = ________.114.已知1()f x -是函数2()log (1)f x x =+的反函数，则1(2)f -=________.35.91)x二项展开式中的常数项为________.846.椭圆2cos ,x y θθ=⎧⎪⎨⎪⎩（θ为参数）的右焦点为________.(1,0)7.满足约束条件2423x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数32f x y =+的最大值为________.1638.函数2()cos 2,R f x x x x =+∈的单调递增区间为____________.,,36Z k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 9.已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米。
当水面下降1米后，水面的宽为_____米。
10.—个四面体的顶点在空间直角坐标系xyz O -中的坐标分别是(0,0,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，(1,1，0)，则该四面体的体积为________.1311.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上是增函数，如果对于任意[1,2]x ∈，(1)(3)f ax f x +≤-恒成立，则实数a 的取值范围是________.[1,0]-12.已知函数2()57f x x x =-+.若对于任意的正整数n ，在区间51,n n⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上存在1m +个实数012,,,,m a a a a L 使得012()()()()m f a f a f a f a >+++L 成立，则m 的最大值为________.6二、选择题(本大题共有4小题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分．13.已知方程210x px -+=的两虚根为12,x x ，若121x x -=，则实数p 的值为（ ）AA ．B ． C.D ． 14.在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）1212z z z z +≤+，（2）1212z z z z ⋅=⋅，（3）123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅；相应的在向量运算中，下列式子：（1）a b a b +≤+r r r r ，（2）a b a b ⋅=⋅r r r r，（3）()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r；正确的个数是（ ）BA ． 0B ．1 C. 2 D ．315.唐代诗人杜牧的七绝唐诗中两句诗为“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。
2018上海市浦东新区高考数学二模试题有答案
20. 已知函数 定义域为R，对于任意 R恒有 . （1）若 ，求 的值； （2）若 时， ，求函数 ， 的解析式及值域； （3）若 时， ，求 在区间 ， 上的最大值与最小值.
上海市浦东新区2018届高三二模数学试卷 2018.04
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 2. 不等式 的解集为 3. 已知 是等比数列，它的前 项和为 ，且 ， ，则 4. 已知 是函数 的反函数，则 5. 二项展开式中的常数项为 6. 椭圆 （ 为参数）的右焦点坐标为 7. 满足约束条件 的目标函数 的最大值为 8. 函数 ， R的单调递增区间为 9. 已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米，当水面下降1米后，水 面的宽为 米 10. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系 中的坐标分别是 、 、 、 ，则该四面体的体积为 11. 已知 是定义在R上的偶函数，且 在 上是增函数，如果对于任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围是 12. 已知函数 ，若对于任意的正整数 ，在区间 上存在 个 实数 、 、 、 、 ，使得 成立，则 的最大 值为
上海市浦东新区2018届高三二模数学试卷 2018.04
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 【解析】2 2. 不等式 的解集为 【解析】 3. 已知 是等比数列，它的前 项和为 ，且 ， ，则 【解析】 4. 已知 是函数 的反函数，则 【解析】 5. 二项展开式中的常数项为 【解析】 6. 椭圆 （ 为参数）的右焦点坐标为 【解析】 ，右焦点为 7. 满足约束条件 的目标函数 的最大值为 【解析】交点 代入最大， 8. 函数 ， R的单调递增区间为 【解析】 ，∴单调递增区间为 ， 9. 已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米，当水面下降1米后，水 面的宽为 米 【解析】设 ，代入 ，∴ ，∴ ，所以宽为 10. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系 中的坐标分别是 、 、 、 ，则该四面体的体积为 【解析】是一个边长为 的正四面体，体积为 11. 已知 是定义在R上的偶函数，且 在上是增函数，如果对于任意， 恒成立，则实数 的取值范围是 【解析】 在 恒成立， 且 ，解得 12. 已知函数 ，若对于任意的正整数 ，在区间 上存在 个 实数 、 、 、 、 ，使得 成立，则 的最大 值为 【解析】 ，∴在区间 上最大值为 ，最小值为 ， ，即m的最大值为6
2018年上海市浦东新区中考一模数学
解析：(1)根据相似三角形的判定和性质解答即可； (2)根据平行四边形的性质和相似三角形的相似比解答即可. S C FH 1 答案(1)∵ ， S四 边 形 C D G H 8 ∴
S S
CFH DFG
＝
1 . 9
∵□ABCD 中，AD∥BC， ∴△CFH∽△DFG. 2 S CH 1 ∴ C FH ＝ ＝ . S D FG DG 9
5 1 MN， 2 而 MN=4cm，
∴MP=
∴MP=4×
5 1 =(2 5 ﹣2)cm. 2
答案：(2 5 ﹣2) 9.已知△ABC∽△A1B1C1，△ABC 的周长与△A1B1C1 的周长的比值是 应边上的中线，且 BE=6，则 B1E1=_____. 解析：∵△ABC∽△A1B1C1，△ABC 的周长与△A1B1C1 的周长的比值是 ∴ 即
解析： (1)由 DE∥BC 推出 AD： AB=AG： AF=DE： BC=2： 3， 推出 DE=
2 C a பைடு நூலகம்BC， 由B 3
， 推出 D E
2 a； 3
(2)作△ABC 的中线 AF，结论： A F 就是所要求作的向量；
答案：(1)如图设 G 是重心，作中线 AF. ∵DE∥BC， ∴AD：AB=AG：AF=DE：BC=2：3， 2 ∴DE= BC， 3 ∵ BC a ， 2 ∴ DE a . 3 2 答案： a 3 (2)作△ABC 的中线 AF，
BE 3 ， B1 E 1 2 6 3 ， B1 E 1 2
3 ， 2 3 ，BE、B1E1 分别是它们对 2
解得 B1E1=4. 答案：4 10.计算： 3 a 2 a 解析： 3 a 2 a 答案： 5 a b
2018年上海市浦东新区中考数学一模试卷
2018年上海市浦东新区中考数学一模试卷．年上海市浦东新区中考数学一模试卷2018一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的）余切值（列函数中，二次函数是（）22y=．x y=（x+4）D﹣（y=﹣4x+5 B．y=x2x﹣3） C．A．3．（4分）已知在Rt △ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，那么下列式子中正确的）是（cotA=．tanA=． CcosA=．A． DsinA= B与向量分）已知非零向量平行的，，下列条件中，不能判定向量4．（4，）是（=．A D=．，，． B．=2||=3|| C2+bx+c的图象全部在y=ax分）如果二次函数x轴的下方，那么下列判断5．（4）中正确的是（A．a＜0，b＜0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，c＞0 D．a＜0，c＜06．（4分）如图，已知点D、F在△ABC的边AB上，点E在边AC上，且DE∥BC，） EF∥CD，还需添加一个条件，这个条件可以是（要使得． C． D BA．． 292第页（共页）分）分，满分48二、填空题：（本大题共12题，每题4，则分）知= = 7．．（4的黄金分割点，则较长线段是线段MN的长是4cm．，点（P4分）已知线段8MN．cm的长是 MPBC的周长的比值是，BE、C，△ABC的周长与△AA9．（4分）已知△ABC∽△B111111 BE分别是它们对应边上的中线，且BE=6，则BE= ．1111．（）= （4分）计算：3+210．11．（4分）计算：3tan30°+sin45°= ．212．（4分）抛物线y=3x﹣4的最低点坐标是．2向下平移3个单位，所得的抛物线的表达式是．y=2x13．（4分）将抛物线14．（4分）如图，已知直线l、l、l分别交直线l于点A、B、C，交直线l51423．，则DE= AB=4，AC=6，DF=9，，且于点D、E、Fl∥l∥l31215．（4分）如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过10米），围成（不一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为S平方米，则S．写定义域） x的函数解析式是关于16．（4分）如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B的正东湖边有一棵大树A，在湖边的C处测得B在北偏西45°方向上，测得A在北偏东30°方向上，又测得A、C之间的距离为100米，则A、B之间的距离是米（结果保留根号形．式）页）29页（共3第2的图象上，、（2，n ﹣2ax﹣1）在二次函数y=ax，17．（4分）已知点（﹣1m）．a 0 （用“＞”或“＜”连接）如果m＞n，那么在边，点DcosB=ABC中，∠ACB=90°，，BC=818．（4分）如图，已知在Rt△处，联边上的点E的一条直线翻折，使点B落在ABBC上，将△ABC沿着过点D． BE 的长是、DE，当∠BDE=∠AEC时，则结CE分）78（本大题共7题，满分三、解答题：2个单位，求平移后抛物线的表达44x+5y=x（10分）将抛物线向左平移﹣19．式、顶点坐标和对称轴．，且∥BC 和AC上，DEABC10分）如图，已知△中，点D、E分别在边AB．20（的重心，设=．ABCDE经过△；表示）（1）（用向量=，在图中求作．（2）设=）（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量．分别GH、ADBC上的点，直线对边?HG10．21（分）如图，已知、分别是ABCD 294第页（共页）．FE、交BA和DC的延长线于点的值；）当时，求=1（（2）联结BD交EF于点M，求证：MG?ME=MF?MH．22．（10分）如图，为测量学校旗杆AB的高度，小明从旗杆正前方3米处的点2米到达点D，在点D出发，沿坡度为Ci=1处放置测角：的斜坡CD前进仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得测角仪DE的高为1.5米．A、B、C、D、在同一平面内，且旗杆和测角仪都与地面垂直．E；D的铅垂高度（结果保留根号）（1）求点．）2）求旗杆AB的高度（精确到0.1（，，tan37°≈0.75（参考数据：sin37°≈0.60≈1.73．），cos37°≈0.8023．（12分）如图，已知，在锐角△ABC中，CE⊥AB于点E，点D在边AC上，EF?FC=FB?DF．F，且BD交CE于点联结；⊥ACBD（1）求证：（2）联结AF，求证：AF?BE=BC?EF．第5页（共29页）2+bx+5与x轴交于点A（1，0）和点（12分）已知抛物线y=axB（5，0），24．顶点为M．点C在x轴的负半轴上，且AC=AB，点D的坐标为（0，3），直线l．DC、经过点（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线l在第三象限上的点，联结AP，且线段CP是线段CA、CB的比例中项，求tan∠CPA的值；（3）在（2）的条件下，联结AM、BM，在直线PM上是否存在点E，使得∠AEM=∠AMB？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．25．（14分）如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，点D在射线BC 上，以点D为圆心，BD为半径画弧交边AB于点E，过点E作EF⊥AB交边AC于．G 交射线AC于点，射线点FED；∽△AEG1（）求证：△EFG（2）设FG=x，△EFG的面积为y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；（3）联结DF，当△EFD是等腰三角形时，请直接写出FG的长度．第6页（共29页）第7页（共29页）年上海市浦东新区中考数学一模试卷2018参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】（4分）如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的）1．余切值（．缩小为原来的B．扩大为原来的两倍 A C．不变 D．不能确定【分析】根据△ABC三边的长度都扩大为原来的两倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角A的大小没改变，从而得出答案．【解答】解：因为△ABC三边的长度都扩大为原来的两倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的余切值也不变．．故选C【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握在直角三角形中，一个锐角的余切等于它的邻边与对边的比值是解题的关键．2．（4分）下列函数中，二次函数是（）22y=D﹣x．）3﹣） C．y=（x+4 y=x ﹣A．y=4x+5 B．（2x【分析】根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论．【解答】解：A、y=﹣4x+5为一次函数；2为二次函数；）（B、y=x2x ﹣3=2x﹣3x22为一次函数；）=8x+16﹣xx+4y=C、（不是二次函数．D、y=．B 故选页）29页（共8第本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键．【点评】3．（4分）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，那么下列式子中正确的是（）cotA=．tanA=cosA= C．A．．sinA= B D【分析】首先利用勾股定理求得AC 的长，然后利用三角函数的定义求解．，解：【解答】=AC==12．故本选项正确；A、=sinA=，故本选项错误；B、=cosA=，故本选项错误；=C、tanA=，故本选项错误；D、=cotA=．A故选：【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．与向量，（4分）已知非零向量平行的，，下列条件中，不能判定向量4．是（），． D| B ．||=3|C．=，=2A．=根据向量的性质进行逐一判定即可．【分析】则由的方向相同，推知非零向量 A，【解答】解：、故本选项错误；页）29页（共9第的方向，故不能判定其位置关系，故、由|不能确定非零向量B本选项正确．，故本选项错 C的方向相同，则、由推知非零向量误；、由推知非零向量，故本选项错误；的方向相同，则D．故选B【点评】本题考查的是向量中平行向量的定义，即方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量．25．（4分）如果二次函数y=ax+bx+c的图象全部在x轴的下方，那么下列判断中正确的是（）A．a＜0，b＜0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，c＞0 D．a＜0，c ＜0【分析】由抛物线在x轴的下方，即可得出抛物线与x轴无交点且a＜0，进而，此题得解．0、c＜即可得出a＜02【解答】解：∵二次函数y=ax+bx+c 的图象全部在x轴的下方，，＜0a＜0，∴，0c∴a＜0，＜．故选D【点评】本题考查了二次函数的性质，牢记二次函数的性质是解题的关键．6．（4分）如图，已知点D、F在△ABC的边AB上，点E在边AC上，且DE∥BC，要使得EF∥CD，还需添加一个条件，这个条件可以是（）第10页（共29页）． C．AD． B．由平行线分线段成比例可以得到，则根据等量代换可以推知【分析】．CD，进而得出EF∥，∥BC【解答】解：∵DE，∴，时，∴当选项符合题意；，故CCD∴EF∥，CD，BD选项不能得出EF∥而A，．故选：C本题考查了平行线分线段成比例．平行于三角形一边的直线截其他两【点评】以防错解．所得的对应线段成比例．边（或两边的延长线），注意找准对应关系，分）48题，每题（本大题共124分，满分二、填空题：，则．7．（分）知==4【分析】根据已知条件=，可设x=3a，则y=2a，然后把它们代入所求式子，的值．即可求出【解答】解：设x=3a时，y=2a，=则．．故答案为【点评】本题根据x、y之间的关系，进而求出分式的值．8．（4分）已知线段MN的长是4cm，点P是线段MN的黄金分割点，则较长线段2 cm．（MP的长是）﹣2MP=根据黄金分割的概念得到代入计算即可．【分析】，把MNMN=4cm的黄金分割点，P解：∵是线段MN【解答】页）29页（共11第，MP=MN∴，而MN=4cm2）﹣2cm．=×（∴MP=42）．故答案为（2﹣本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，【点评】并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段倍．黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的、BE的周长的比值是，C∽△AB，△ABC的周长与△ABC49．（分）已知△ABC1111114 = E．BE分别是它们对应边上的中线，且BE=6，则B1111【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比列比例式求解即可．【解答】解：∵△ABC∽△ABC，△ABC的周长与△ABC的周长的比值是，111111，=∴，=即解得BE=4．11．4故答案为：【点评】本题考查对相似三角形性质的理解：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．（3+2分）计算：．10．（45）= ﹣根据平面向量的加法法则计算即可；【分析】）=3+2﹣（解：3+2=5﹣；【解答】；故答案为﹣5第12页（共29页）本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加【点评】减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则．sin45°=分）计算：3tan30°11．（4+ +．直接将已知三角函数值代入求出答案．【分析】+×解：原式=3【解答】．+=故答案为：．+此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．【点评】2．），﹣4 ﹣4的最低点坐标是（012．（4分）抛物线y=3x利用配方法把抛物线的一般式转化为顶点式，再写出顶点坐标即可．【分析】24﹣【解答】解：y=3x，4）4），即最低点坐标是（0，﹣0∴顶点（，﹣．4）故答案为：（0，﹣此题考查利用顶点式求函数的顶点坐标，注意根据函数解析式的特点【点评】灵活运用适当的方法解决问题．22y=2x 3个单位，将抛物线（4分）y=2x所得的抛物线的表达式是向下平移．13﹣3 ．【分析】根据向下平移，纵坐标要减去3，即可得到答案．2向下平移3个单位，【解答】解：∵抛物线y=2x2．y=2x3﹣∴抛物线的解析式为2．3故答案为：y=2x﹣【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．第13页（共29页）l，交直线B、C于点4分）如图，已知直线l、l、l分别交直线lA、14．（523146 DE= ，则．l∥l，AB=4，AC=6，DF=9，且于点D、E、Fl∥312根据平行线分线段成比例定理解答即可．【分析】，，DF=12l∥l，AB=5，AC=8∥【解答】解：∵l321，∴，即可得；DE=6，．6故答案为：【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度适中，注意：对应成比例．15．（4分）如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过10米），围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为S平方米，则S2．+10x ﹣2x（不写定义域）的函数解析式是关于x S=的二次函数解析式即可．x根据题意列出S与【分析】【解答】解：设平行于墙的一边为（10﹣2x）米，则垂直于墙的一边为x米，2，2x﹣+10x=2x10S=x根据题意得：（﹣）2+10x2x﹣故答案为：S=【点评】此题考查了根据实际问题列二次函数关系式，弄清题意是解本题的关页（共第1429页）键．，在的正东湖边有一棵大树A4分）如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B16．（30°方向上，又测得A在北偏东C处测得B在北偏西45°方向上，测得湖边的之间的距离是（50+50）之间的距离为100米，则A、B 米（结果保CA、．留根号形式）【分析】过点C⊥AB于点D，在Rt△ACD中，求出AD、CD的值，然后在Rt△BCD 的长度．AB中求出BD的长度，继而可求得，AB于点D【解答】解：如图，过点C⊥，AC=100mACD中，∵∠ACD=30°，在Rt△，）（ACD=100×0.5=50m∴AD=100?sin ∠，=50m）（CD=100?cos∠ACD=100×在Rt△BCD中，∵∠BCD=45°，，mBD=CD=50∴，m）AB=AD+BD=50则+50（50之间的距离约为（A、B+50）米．即．）故答案为：（50+50【点评】本题考查了直角三角形的应用，解答本题的关键是根据方向角构造直页（共第1529页）角三角形，利用三角函数解直角三角形．2的图象上，、（2，n ）在二次函数y=ax2ax﹣﹣1（17．4分）已知点（﹣1，m）0如果m＞n，那么（用“＞”或“＜”连接）a ＞．二次函数的性质即可判定．【分析】2﹣2ax﹣解：∵二次函数的解析式为【解答】y=ax1，，∴该抛物线对称轴为x=1∵|﹣1﹣1|＞|2﹣1|，且m＞n，．0＞∴a故答案为：＞．【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键．18．（4分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cosB=，BC=8，点D在边BC 上，将△ABC沿着过点D的一条直线翻折，使点B落在AB边上的点E处，联． BE的长是时，则CE、DE，当∠BDE=∠AEC结【分析】如图作CH⊥AB于H．由题意EF=BF，设EF=BF=a，则BD=a，只要证明2=CD?CB，延长构建方程即可解决问题；BCE，可得ECECD△∽△．于CH⊥ABH 解：如图作【解答】第16页（共29页），BC=8，cosB=中，∵在Rt△ACBBH=AC=8，，CH=，=∴AB=10，，，则aBD=由题意EF=BF，设EF=BF=a，BDE=∠AEC∵∠∴∠CED+∠ECB=∠ECB+∠B，∴∠CED=∠B，∵∠ECD=∠BCE，，BCEECD∽△∴△2=CD?CB，EC∴22﹣（a）×8，）2a∴（）+=（8﹣或0（舍弃），解得a=，BE=2a=∴．故答案为【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、翻折变换等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）2﹣4x+5向左平移410分）将抛物线y=x个单位，求平移后抛物线的表达19．（式、顶点坐标和对称轴．2﹣4x+5化为顶点坐标式，再按照“左加右减，上加下【分析】先将抛物线y=x减”的规律平移则可．22+1，2）﹣4x+44+5=（xy=x【解答】解：∵﹣﹣2+1）．∴平移后的函数解析式是y=（x+2顶点坐标是（﹣2，1）．对称轴是直线x=﹣2．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移第17页（共29页）后的顶点坐标，即可求出解析式．，且BC上，DE∥10分）如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC．20（的重心，设DE经过△=．ABC=1（用向量）表示）；（，在图中求作）设=．（2（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量．）：AF=DE：BC=2：3，推出DE=BC，由【分析】（1）DE由∥BC推出AD：AB=AG=，；推出=，结论：AFABC的中线就是所要求作的向量；（2）作△．是重心，作中线GAF解：（1）如图设【解答】，BC∵DE∥∴AD：AB=AG：AF=DE：BC=2：3，∴DE=BC，，∵=．∴=故答案为（2）作△ABC的中线AF，结论：就是所要求作的向量． 18第29页（共页）本题考查三角形的重心、平行线的性质、平面向量等知识，解题的关【点评】键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．分别GH、ADBC上的点，直线、H分别是?ABCD对边G21．（10分）如图，已知．F 的延长线于点E、交BA和DC的值；=（1）当时，求，求证：MG?ME=MF?MH．MEF于点（2）联结BD交）根据相似三角形的判定和性质解答即可；1【分析】（）根据平行四边形的性质和相似三角形的相似比解答即可．（2，）解：∵=【解答】（1∴．∵□ABCD中，AD∥BC，∴△CFH∽△DFG．∴．．∴（2）∵□ABCD中，AD∥BC， 19第29页（共页）∴．，CD中，AB∥∵□ABCD．∴∴．∴MG?ME=MF?MH．本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，主【点评】要考查学生的推理能力，题目比较典型，难度适中．米处的点的高度，小明从旗杆正前方AB3．（10分）如图，为测量学校旗杆22：i=1，在点D处放置测角C的斜坡CD前进出发，沿坡度为2米到达点D、、DB、CA的仰角为37°，量得测角仪DE的高为1.5米．、仪，测得旗杆顶部A在同一平面内，且旗杆和测角仪都与地面垂直．E；）求点D的铅垂高度（结果保留根号）（1．）（2）求旗杆AB的高度（精确到0.1，，tan37°≈0.75（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80≈1.73．）CH=CDcosCDH中求得，则∠CHD=90°，Rt△交【分析】（1）延长EDBC延长线于点H；∠DH=DCH=2=3×、CD=EH=BF=1.5+，可得）作EF⊥AB2∠、EF=BH=BC+CH=6，根据AF=EFtanAEF≈（可得答案．4.5、AB=AF+BF．H交射线EDBC于点）延长（【解答】解：12920第页（共页）．BC由题意得DH⊥：DCH=i=1CDH中，∠DHC=90°，tan∠．在Rt△∴∠DCH=30°．．CD=2DH ∴，CD=2∵．DH=，∴CH=3的铅垂高度是米．答：点D．AB于FE（2）过点作EF⊥时的仰角，A即为点E观察点由题意得，∠AEF∴∠AEF=37°．，BCED⊥AB⊥BC，AB∵EF⊥，∠BHE=90°．∠B=∴∠BFE=为矩形．FBHE∴四边形．∴EF=BH=BC+CH=6．FB=EH=ED+DH=1.5+．≈0.754.5∠AEF≈6×中，∠AFE=90°，在Rt△AEFAF=EFtan．7.76+1.73≈∴AB=AF+FB=6+≈米．的高度约为AB7.7答：旗杆本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题和坡度坡比问题，【点评】掌握仰角俯角和坡度坡比的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键．页）29页（共21第23．（12分）如图，已知，在锐角△ABC中，CE⊥AB于点E，点D在边AC上，EF?FC=FB?DF．，且于点F联结BD交CE；AC⊥（1）求证：BD（2）联结AF，求证：AF?BE=BC?EF．【分析】（1）根据相似三角形的判定得出△EFB∽△DFC，再根据相似三角形的性质解答即可；（2）由△EFB∽△DFC得出∠ABD=∠ACE，进而判断△AEC∽△FEB，再利用相似三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵EF?FC=FB?DF，．∴∵∠EFB=∠DFC，．EFB∽△DFC∴△．∠FDC∴∠FEB=，ABCE∵⊥∴∠FEB=90°．∴∠FDC=90°．．∴BD⊥AC，DFC）∵△EFB∽△（2．∠ACE∴∠ABD=，∵CE⊥AB∴∠FEB=∠AEC=90°．∴△AEC∽△FEB．．∴．∴第22页（共29页）∠FEB=90°，AEC=∵∠．AEF∽△CEB∴△，∴∴AF?BE=BC?EF．【点评】考查了相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的对应边比值相等的性质解答，224．（12分）已知抛物线y=ax+bx+5与x轴交于点A（1，0）和点B（5，0），顶点为M．点C在x轴的负半轴上，且AC=AB，点D的坐标为（0，3），直线l．、D经过点C（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线l在第三象限上的点，联结AP，且线段CP是线段CA、CB的比例中项，求tan∠CPA的值；（3）在（2）的条件下，联结AM、BM，在直线PM上是否存在点E，使得∠AEM=∠AMB？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点（1，0），B（5，0）代入抛物线的解析式可得到a、b的值，从而可得到抛物线的解析式；（2）先求得AC和BC的长，然后依据比例中项的定义可求得CP的长，接下来，再证明△CPA∽△CBP，依据相似三角形的性质可得到∠CPA=∠CBP，然后过P作PH⊥x轴于H，接下来，由△PCH为等腰直角三角形可得到CH和PH的长，从而求解即可；CPA=tan∠∠CBP=tanP可得到点的坐标，然后由页（共第2329页）（3）过点A作AN⊥PM于点N，则N（1，﹣4）．当点E在M左侧，则∠BAM=∠AME．然后证明△AEM∽△BMA，依据相似三角形的性质可求得ME的长，从而可得到点E 的坐标；当点E在M右侧时，记为点E′，然后由点E′与E关于直线对称求解即可．AN2+bx+5与x轴交于点A（1，0），B（5，y=ax【解答】解：（1）∵抛物线0），，解得∴．2﹣6x+5．∴抛物线的解析式为y=x（2）∵A（1，0），B（5，0），．AB=4OA=1，∴∵AC=AB且点C在点A的左侧，．AC=4∴∴CB=CA+AB=8．∵线段CP是线段CA、CB的比例中项，．∴=．∴CP=4又∵∠PCB是公共角，∴△CPA∽△CBP．．CBPCPA=∴∠∠．轴于xH作过PPH⊥，∠DOC=90°，OC=OD=3∵页）29页（共24第∴∠DCO=45°．∴∠PCH=45°CP=4∴，PH=CH=∴H（﹣7，0），BH=12．．4）（﹣∴P7，﹣CPA=∠．=∴tan∠，CBP=tan（3）∵抛物线的顶点是M（3，﹣4），，）7，﹣4（﹣又∵P轴．PM∥x∴当点E在M左侧，则∠BAM=∠AME．过点A作AN ⊥PM于点N，则N（1，﹣4）．，AMB∵∠AEM=∠．∽△BMA∴△AEM．∴=．=∴，ME=5∴∴E （﹣2，﹣4）．当点E在M右侧时，记为点E′，∵∠AE′N=∠AEN， 25第页（共29页）∴点E′与E 关于直线AN对称，则E′（4，﹣4）．．4）综上所述，E的坐标为（﹣2，﹣4）或（4，﹣【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质、是解题的关键．∽△BMA锐角三角函数的定义，证得△AEM25．（14分）如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，点D在射线BC 上，以点D为圆心，BD为半径画弧交边AB于点E，过点E作EF⊥AB交边AC于．G 交射线AC于点点F，射线ED；EFG∽△AEG（1）求证：△（2）设FG=x，△EFG的面积为y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；（3）联结DF，当△EFD是等腰三角形时，请直接写出FG的长度．，然后利用相似三角形的判定方法即可得到结论；2）先证明∠A=∠【分析】（1∽△，利用△AB=2H，如图1，利用勾股定理计算出EFG（2）作EH⊥AF于点，所以=ACBRt△=得到=得到=，再证明Rt△AEF∽AEGEF=xAF=3x，，接着?利用相，则EG=2xx，，AE=AG=4x===，AH=x，然后根据三角形面积公式表示出y，与x的关系，似比表示出xEH=的范围；可确定x最后利用CF=4﹣3x ED=EF=讨论：当，xGH=，4）（如图x时，1，则BD=DE=x，3先表示CG=4x﹣EF=M于x，，则EM=EFDM2DE=DFx所以DC=2﹣；当时，如图，作⊥第26页（共29页）﹣x；x，利用相似比表示，所以DE=x，则CD=2BD=DE=证明△DEM∽△BAC当FE=FD 时，如图3，作FN⊥EG于N，则EN=DN，证明△NEF∽△CAB，利用相似﹣x，CD=2DE=2EN=x，所以，然后利用△比表示出BD=DE=EN=x，则xGCD∽△GHE，根据相似比得到关于x的方程，再分别解方程求出定义的x的值即可．【解答】（1）证明：∵ED=BD，∴∠B=∠2，∵∠ACB=90°，∴∠B+∠A=90°．，ABEF⊥∵∴∠BEF=90°，∴∠1+∠2=90°，，∠2∴∠A=∵∠EGF=∠AGE，；AEG∴△EFG∽△，AB==2ABC，如图1，在Rt△中，AF（2）解：作EH⊥于点H，AEG∵△EFG∽△，==∴，CABEAF=∠∵∠，△ACB∽Rt△AEFRt∴，=，即∴===，===∴，，EG=2xAG=4x∴，﹣FG=3x∴AF=AG，AE=x∴EF=x，，BC∵EH∥第27页（共29页），，即∴====AH=EH=x，x，∴2，≤0＜?x?xx=x∴）y=（FG?EH=﹣x=x，GH=AG﹣AH=4x）解：CG=AG﹣AC=4x﹣4，（3，BD=DE=x当时，如图ED=EF=x1，则，∴DC=2x﹣，EH∵CD∥，GHEGCD∽△∴△﹣x=；，即（∴：x，解得2=x）：x=（4x﹣4）EF=于x，M，则EM=时，如图当DE=DF2，作DM⊥EF，A∵∠DEM=∠，∽△BAC∴△DEM，即x，=∴=，解得DE=，∴xBD=DE=，﹣x∴CD=2，EH∵CD∥，GHE∴△GCD∽△；x=：x，解得x）（：x=4x﹣4∴2=，即（）﹣，EN=DN于N，则，作FE=FD 时，如图3FN⊥EG当，∠A∵∠NEF=，CAB∽△∴△NEF=∴=，即x，解得EN=，DE=2EN=∴，x页）29页（共28第，xBD=DE=∴，﹣∴CD=2x，EH∵CD∥∴△GCD∽△GHE，﹣；4x：x=（﹣4）：x，解得x=，即（∴2=x）或的长为或．综上所述，FG【点评】本题考查了相似形综合题：熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质；灵活利用相似比用x表示其它线段是解决问题的关键；会利用分类讨论的思想解决数学问题．第29页（共29页）。
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上海市浦东新区2018-2018学年度第一学期高三期末质量抽测数学（文科）（完卷时间120分钟 满分150分）一、填空题：（每小题4分，共48分） 1．不等式012<-xx 的解集为 . 2．=++∞→1lim 22n C nn . 3．方程x x 323log 1)10(log +=-的解为 .4．若}2,31,3,1{--∈α，则使函数y x α=的定义域为R 且在（－∞，0）上单调递增的α值 为 ．5．某工程的工序流程如图所示. 若该工程总时数 为9天，则工序d 的天数x 最大为__________.6．ABC ∆中， 60=∠A ， 75=∠B ，32=BC ，则=AB .7．已知n S 是}{n a 的前n 项和，且有12-=n n a S ，则数列}{n a 的通项=n a .8．已知x 、y R ∈，|1|20y x y x x ≥-⎧⎪≤-+⎨⎪≥⎩, 则目标函数y x S -=2的最大值是 .9．已知集合A ={12, 14, 16, 18, 20}，B ={11, 13, 15, 17, 19}，在A 中任取一个元素a i （i =1, 2, 3, 4, 5），在B 中任取一个元素b j ( j =1, 2, 3, 4, 5)，则所取两数a i 、b j 满足a i ＞b j 的概率为 .10．若2)21()21(=-++x f x f 对任意的正实数x 成立,则)20093()20092()20091(f f f ++ +=+)20092008(f . 11．一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品，如图所示．若按照这种规律依次增 加一定数量的宝石,则第n 件工艺品所用的宝石数为 颗 (结果用n 表示).第1件第2件 第3件 x二、选择题：（每小题4分，共16分）12．“2-=a ”是“),()1()4(2R b a i a a z ∈++-=复数为纯虚数”的…………………（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件13．已知非零实数a 、b 满足a b >，则下列不等式中成立的是…………………………（ ） （A ）22a b >； （B ）11a b <； （C ）22a b ab > （D ）22a b b a>）15．将一根铁丝切割成三段做一个面积为22m 、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理（够用且浪费最少）的是……………………………（ ） （A ） 6.5m（B ） 6.8m（C ） 7m（D ）7.2m三、解答题：（满分90分）16．（本题满分12分，第（1）题4分、第（2）题8分）已知复数z 满足4)1)(31(--+-=i i z ． （1）求复数z 的共轭复数z ；（2）若ai z w +=，且z w ≤，求实数a 的取值范围． [解]：（D ）（B ）（A ）（C ）17．（本题满分14分，第（1）题6分、第（2）题8分）已知函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛++=3cos 3cos sin 3)(πωπωωx x x x f ，R x ∈，（其中0>ω）． （1）求函数)(x f 的值域； （2）若函数)(x f 的最小正周期为2π，则当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，求)(x f 的单调递减区间．[解]：18．（本题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）.（1（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获 得最大收益，其最大收益为多少万元？[解]19．（本题满分14分，第（1）题6分、第（2）题8分）（1）A 、B 、C 为斜三角形ABC 的三个内角， tgAtgB tgB tgA =++1．求角C ；（2）命题：已知(),,0,A B C π∈，若,t g A t g B t g C t g A t g B t g C ++=则.A B C π++= 判断该命题的真假并说明理由。
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2018年高三数学一模试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21012A =--，，，，，()(){}130B x x x =-+<，则A B = （ ） A ．{}21,0--， B ．{}0,1 C ．{}1,01-， D ．{}0,1,2 2.已知复数21iz i=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（ ） A ．1i -+ B ．1i -- C ．1i + D ．1i - 3.下列说法正确的是（ ）A ．若命题0:p x R ∃∈，20010x x -+<，则:p x R ⌝∀∉，210x x -+≥B ．已知相关变量(),x y 满足回归方程 24y x =-，若变量x 增加一个单位，则y 平均增加4个单位C ．命题“若圆()()22:11C x m y m -++-=与两坐标轴都有公共点，则实数[]0,1m ∈”为真命题D ．已知随机变量()22X N σ ，，若()0.32P X a <=，则()40.68P X a >-=4.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，过C ，M ，D 三点的抛物线与CD 围成阴影部分，则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是（ ）A ．16 B ．13 C.12 D ．235.已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．33cmB ．35cm C. 34cm D ．36cm6.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若48102a a a =，则3S 的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C.4 D.67.20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n ，按照以下的规律进行变换：如果n 是个奇数，则下一步变成31n +；如果n 是个偶数，则下一步变成2n，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确地说是落入底部的4-2-1循环，而永远也跳不出这个圈子，下列程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i 值为6，则输入的n 值为（ ）A ．5B ．16C.5或32 D ．4或5或32 8.在)12nx -的二项展开式中，若第四项的系数为7-，则n =（ ）A ．9B ．8 C.7 D 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（2）现采用分层抽样的方法从参与调查的600位网上购物者中随机抽取10人，再从这10人中任选2人，设这2人中年龄在[)30,40内的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.19. 如图，菱形ABCD 与四边形BDEF 相交于BD ，120ABC ∠=，BF ⊥平面ABCD ，//DE BF ，2BF DE =，AF FC ⊥，M 为CF 的中点，AC BD G = .（1）求证：//GM 平面CDE ；（2）求直线AM 与平面ACE 成角的正弦值.20. 已知椭圆E 的两个焦点为()110F -，，()210F ，，离心率2e =（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线():0l y x m m =+≠与椭圆E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点T ，当m 变化时，求TAB △面积的最大值. 21. 已知函数()21axf x x e-=-（a 是常数）.（1）求函数()y f x =的单调区间；（2）当()0,16x ∈时，函数()f x 有零点，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为,sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线l sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（2）设P 是曲线C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x =-.（1）求不等式()1f x ≤的解集A ；（2）当,m n A ∈时，证明：1m n mn +≤+.试卷答案一、选择题1-5:ADCDB 6-10:DCBBD 11、12：CA 二、填空题13.1- 14.8 15.2214y x -= 16.73π三、解答题17.解：（1）因为cos cos cos 0a B b A C +=，由正弦定理，得sin cos sin cos cos 0A B B A C C +=，即()sin cos 0A B C C +=，即sin cos 0C C C =. 因为在ABC △中，0C π<<，所以sin 0C ≠，所以cos 2C =，解得4C π=.（2）由余弦定理，得222222cos c a b ab C a b =+-=+，即(224=2a b ab +≥，故(22ab ≤=，当且仅当a b ==.所以(11sin 221222ABC S ab C =≤⨯⨯=+△即ABC S △的最大值为118.解：（1）由频率分布直方图，可得()0.0300.0260.0140.012101m ++++⨯=，得0.018m =.则这600位网上购物者中年龄在[)40,60内的频率为()0.0180.01410=0.32+⨯， 故这600位网上购物者中年龄在[)40,60内的人数为6000.32=192⨯.（2）由频率分布直方图可知，年龄在[)30,40内的人数与其他年龄段的总人数比为0.03010310.030107⨯=-⨯，由分层抽样的知识知，抽出的10人中年龄在[)30,40内的人数为3，其他年龄段的总人数为7.所以X 的可能取值为0，1，2.()023********C C P X C ===，()11372107115C C P X C ===，()20372101215C C P X C ===所以X 的分布列为故X 的数学期望()0121515155E X =⨯+⨯+⨯=. 19.（1）证明：取BC 的中点N ，连接GN ，MN . 因为G 为菱形对角线的交点，所以G 为AC 中点.又N 为BC 中点，所以//GN CD ，又GN ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//GN 平面CDE .又因为M ，N 分别为FC ，BC 的中点.所以//MN FB ，又因为//DE BF ，所以//DE MN ，MN ⊄平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，所以//MN 平面CDE ，又MN ，GN ⊂平面MNG ，MN GN N = ，所以平面//GMN 平面CDE .又GM ⊂平面GMN ，所以//GM平面CDE . （2）解：连接GF .设菱形的边长2AB =，则由120ABC ∠=，得1GB GD ==，GA GC ==又因为AF FC ⊥，所以FG GA ==则在直角GBF △中，BFDE =.由BF ⊥平面ABCD ，//DE BF ，得DE ⊥平面ABCD .以G 为坐标原点，分别以GA ，GD 所在直线为x 轴，y 轴，过点G 与平面ABCD 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系G xyz -，则()0,0,0G，)0A，，01E ⎛ ⎝⎭，(0F -，，1,222M ⎛-- ⎝⎭，则)0GA =，，01GE ⎛= ⎝⎭ . 设(),,m x y z =为平面ACE 的一个法向量，则0,0,m GA m GE ⎧=⎪⎨=⎪⎩即00y z =⎨+=⎪⎩.令z =1y =-，所以(0,m =-.又1,22AM ⎛=- ⎝⎭，所以11cos ,10AM mAM m AM m+=== . 设直线AM 与平面ACE 所成角为θ，则sin θ=. 所以直线AM 与平面ACE20.解：（1）由离心率2e =1c =，解得a =所以1b =.所以椭圆E 的方程是2212x y +=. （2）解：设()11,A x y ，()22,B x y ，据221,2x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2234220x mx m ++-= ∵直线l 与椭圆E 有两个不同的交点，∴()()22412220m m ∆=-->，又0m ≠，所以m <0m ≠.由根与系数的关系得1243mx x -+=，212223m x x -=设线段AB 中点为C ，点C 横坐标12223C x x m x +==-，3C C my x m =+=，∴2,33m m C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴线段AB 垂直平分线方程为233m m y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，∴点T 坐标为,03m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点T 到直线AB的距离d =，又AB ==，所以123TABS =△=232m =时，三角形TAB 面积最大，且()max TAB S =△.21.解：（1）当0a =时，()21f x x =-，函数在()0+∞，上单调递增，在()0-∞，上单调递减.当0a ≠时，()()()'2222ax ax axf x xe x a e eax x ---=+-=-+，因为0ax e ->， 令()220g x ax x =-+=，解得0x =或2x a=. ①当0a >时，函数()22g x ax x =-+在20,a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有()0g x ≥，即()'0f x ≥，函数()y f x =单调递增；函数()22g x ax x =-+在(),0-∞，2,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上有()0g x <，即()'0f x <，函数()y f x =单调递减；②当0a <时，函数()22g x ax x =-+在2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，，()0,+∞上有()0g x >，即()'0f x >，函数()y f x =单调递增；函数()22g x ax x =-+在2,0a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有()0g x ≤，即()'0f x ≤，函数()y f x =单调递减.综上所述，当0a =时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,+∞，递减区间为(),0-∞；当0a >时，函数()y f x =的单调递增区间为20,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递减区间为(),0-∞，2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； 当0a <时，函数()y f x =的单调递增区间为2,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()0,+∞，递减区间为2,0a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）①当0a =时，由()210f x x =-=，可得1x =±，()10,16∈，故0a =满足题意. ②当0a >时，函数()y f x =在20,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，（i ）若()20,16a ∈，解得18a >. 可知20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 是增函数，2,16x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 是减函数，由()010f =-<，∴在()0,16上()2max 22410f x f e a a-⎛⎫==-≥⎪⎝⎭， 解得22a e e -≤≤，所以128a e <≤； （ii ）若[)216,a ∈+∞，解得108a <≤.函数()y f x =在()0,16上递增， 由()010f =-<，则()161625610af e-=->，解得1ln 22a <.由11ln 228>，所以10,8a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.③当0a <时，函数()y f x =在()0,16上递增，()01f =-，()161625610af e -=->，解得1ln 22a <， ∴0a <，综上所述，实数a 的取值范围是2,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.22.解：（1）因为2222cos sin 1y θθ+=+=， 所以曲线C 的普通方程为2213x y +=.sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，展开得sin cos 3ρθρθ-=，即3y x -=， 因此直线l 的直角坐标方程为30x y -+=. （2）设),sin Pθθ，则点P 到直线l的距离为d ==≤ 等号成立当且仅当sin 13πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即()1126k k Z πθπ=+∈时等号成立，即31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因此点P 到直线l的距离的最大值为223.（1）解：由211x -≤，得1211x -≤-≤，即1x ≤， 解得11x -≤≤，所以[]11A =-，.（2）证明：（证法一）()()()222222221111m n mn m n m n m n +-+=+--=---因为,m n A ∈，所以11m -≤≤，11n -≤≤，210m -≤，210n -≤， 所以()()22110m n ---≤，()221m n mn +≤+，又10mn +≥，故1m n mn +≤+.（证法二）因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤， 而()()()1110m n mn m n +-+=--≤()()()1110m n mn m n +--+=++≥⎡⎤⎣⎦，即()11mn m n mn -+≤+≤+，故1m n mn +≤+.。
2025届上海浦东新区高三一模数学试卷及答案
浦东新区2024学年度第一学期期末教学质量检测高三数学试卷考生注意：1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟；2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分．一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1.若对数函数log a y x =（0,1a a >≠）的图像经过点(4,2)，则a 的值为．2.直线10x y -+=的倾斜角的大小是．3.已知复数13i z =+，24i z a =+，R a ∈，若12z z -为纯虚数，则2z =．．4.在621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，3x 项的系数是．（用数字作答）．5.在ABC △中，5BC =，45B ∠=，105C ∠=，则AC =．6.已知实数a b 、满足21a b +=，则39ab+的最小值为．7.若等差数列{}n a 满足789=0a a a ++，710=1a a +，则1a =．8.已知函数()y f x =的表达式为()213,02,0xx f x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，，则不等式()1f x ≤的解为．9.已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为12F F 、，双曲线上的点P 在第一象限，且2PF 与双曲线的一条渐近线平行，则12PF F △的面积为．10.某地要建造一个市民休闲公园长方形ABCD ，如图，边2km AB =，边1km AD =，其中区域ADE 开挖成一个人工湖，其他区域为绿化风景区．经测算，人工湖在公园内的边界是一段圆弧，且A 、D 位于圆心O 的正北方向，E 位于圆心O 的北偏东60方向．拟定在圆弧P处修建一座渔人码头，供游客湖中泛舟，并在公园的边DC 、CB 开设两个门M 、N ，修建步行道PM PN 、通往渔人码头，且PM CD ⊥、PN CB ⊥，则步行道PM 、PN 长度之和的最小值是km ．（精确到0.001）11.已知空间中三个单位向量1OA 、2OA 3OA ，1223310OA OA OA OA OA OA ⋅=⋅=⋅=，P 为空间中一点，且满足12.已知在复数集中，等式()()()()43232101234x a x a x a x a x z x z x z x z ++++=----对任意复数x 恒成立，复数1234,,,z z z z 在复平面上对应的4个点为某个单位圆内接正方形的4个顶点，{}{}0123,,,12024,a a a a n n n ⊂≤≤∈Z ，则满足条件的不同集合{}0123,,,a a a a 个数为．二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分．13.若实数a b 、满足22a b >，下列不等式中恒成立的是（）.A a b >.B 11a b<.C 222a b ab +>.D ||a b >14.设m 、n 为两条直线，αβ、为两个平面，且n αβ⋂=.下述四个命题中为假命题的是（）.A 若m α⊥，则m n ⊥.B 若//m α，则//m n .C 若//m α且//m β，则//m n.D 若//m n ，则//m α或//m β15.对一组数据3,3,3,1,1,5,5,2,4，若任意去掉其中一个数据，剩余数据的统计量一定会发生变化的为（）.A 中位数.B 众数.C 平均数.D 方差16.设函数()(),y F x y G x ==的定义域均为R ，值域分别为A B 、，且A B =∅ ．若集合S 满足以下两个条件：（1）A B S ⋃⊆；（2）()S C A B ⋃是有限集，则称()y F x =和()y G x =是S -互补函数．给出以下两个命题：①存在函数()y f x =，使得()2f xy =和()2log y f x =是[]0,16-互补函数；②存在函数()y g x =，使得()sin y g x =和()tan y g x =是[)0,+∞-互补函数．则（）.A ①②都是真命题.B ①是真命题，②是假命题.C ①是假命题，②是真命题.D ①②都是假命题三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数()y f x =的表达式为()sin ,0f x x ωω=>．（1）若函数()y f x =的最小正周期为2π，求ω的值及()y f x =的单调增区间；（2）若2ω=，设函数()y g x =的表达式为()()2g x f x x =+，求当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()y g x =的值域．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，已知AB 为圆柱1OO 底面圆O 的直径，2OA =，母线1AA 长为3，点P 为底面圆O 的圆周上一点．（1）若90BOP ∠=︒，求三棱锥1A PBA -的体积；（2）若60BOP ∠=︒，求异面直线1A B 与AP 所成的角的余弦值．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．申辉中学为期两周的高一、高二年级校园篮球赛告一段落．高一小A 、高二小B 分别荣获了高一年级和高二年级比赛的年级MVP （最有价值球员）．以下是他们在各自8场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率．二分球出手二分球命中率三分球出手三分球命中率小A 100次80%100次40%小B190次70%10次30%现以两人的总投篮命中率（二分球＋三分球）较高者评为校MVP （总投篮命中率＝总命中次数÷总出手次数）（1）小C 认为，目测小A 的二分球命中率和三分球命中率均高于小B ，此次必定能评为校MVP ，试通过计算判断小C 的想法是否准确？（2)小D 是游戏爱好者，设置了一款由游戏人物小a 、小b 轮流投篮对战游戏．游戏规则如下：①游戏中小a 的命中率始终为0.4，小b 的命中率始终为0.3．②游戏中投篮总次数最多为()320,Z k k k ≤≤∈次，且同一个游戏人物不允许连续投篮．③游戏中若投篮命中，则游戏结束，投中者获得胜利；若直至第k 次投篮都没有命中，则规定第二次投篮者获胜．若每次游戏对战前必须设置“第一次投篮人物”和“k ”的值，请解答以下两个问题．（ⅰ）若小a 第一次投篮，请证明小a 获胜概率大；（ⅱ）若小b 第一次投篮，试问谁的获胜概率大？并说明理由．20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知椭圆22184x y +=的左、右焦点分别为12F F 、，过坐标原点的直线交椭圆于A B 、两点，点A 在第一象限．（1）若||OA =，求点A 的坐标；（3）若AE x ⊥轴，垂足为E ，连结BE 并延长交椭圆于点C ，求ABC △面积的最大值．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．过曲线()y f x =上一点P 作其切线，若恰有两条，则称P 为()f x 的“A 类点”；过曲线()y f x =外一点Q 作其切线，若恰有三条，则称Q 为()f x 的“B 类点”；若点R 为()f x 的“A 类点”或“B 类点”，且过R 存在两条相互垂直的切线，则称R 为()f x 的“C 类点”．（1）设()21f x x=，判断点()1,1P 是否为()f x 的“A 类点”，并说明理由；（2）设()3f x x mx =-，若点()2,0Q 为()f x 的“B 类点”，且过点Q 的三条切线的切点横坐标可构成等差数列，求实数m 的值；（3）设()1x x f x e+=，证明：y 轴上不存在()f x 的“C 类点”．yxF 1OF 2AB高三数学参考答案1.22.453.54.205.6.7.-78.[]2,1-9．10.1.17211.812．10选择题CBDA17.（1）由22ππω=，得4ω=，………3分由42,222x k k ππππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，得单调增区间为(),2828k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；………6分（2）()sin 222sin 23g x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，………9分由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，于是sin 213x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，………12分从而()2g x ⎡⎤∈⎣⎦，即()y g x =的值域为2⎡⎤⎣⎦．………14分18．（1）解：三棱锥1A PBA -的体积等于三棱锥1A PBA -的体积，………2分三角形PBA 面积为14242PBA S ∆=⨯⨯=，………2分三棱锥1A PBA -的体积11343A PBA PBA V S -∆=⨯=………2分所以，三棱锥1A PBA -的体积为4；（2）作11//A P AP ，连1BP ，则11P A B ∠是异面直线1A B 与AP 所成的角，………3分11A P AP ==，15A B ==，1P B ==，则11cos P A B ∠==，………4分所以异面直线1A B 与AP 所成的角的余弦值为235．………1分19．（1）小A 总命中率为100×80%+100×40%100+100=60%………2分小B 总命中率为190×70%+10×30%190+10=68%………4分60%<68%………5分综上，小C 想法错误，小B 为校MVP………6分（2）(ⅰ)证明：若“第一次投篮人物”为小a ，()320,Z k k k ≤≤∈，小a 获胜的概率为a P ，小b 的获胜的概率为1aP -0.40.70.60.40.5680.51a aP P ≥+⋅⋅=>>-可得“小a 第一次投篮，小a 获胜概率大”………9分(ⅱ)若“第一次投篮人物”为小b ，()320,Z k k k ≤≤∈，小b 获胜的概率为b P ，小a 的获胜的概率为1bP -()()()110.30.30.70.60.30.70.60.310.4215=10.420.5829mb m m P ++=+⋅++⋅⎡⎤-⎣⎦=- ………12分其中，{}{}2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,213,5,7,9,11,13,15,17,19,2k k m k k -⎧∈⎪⎪=⎨-⎪∈⎪⎩，易证()()115=10.4229m b P f m +=-随着m 的增大而增大，()()20.53f f <<所以当3m ≥也就是720k ≤≤时0.51b bP P >>-综上：若小b 第一次投篮，{}3,4,5,6k ∈时小a 获胜概率大；{}720,Z k k k k ∈≤≤∈时小b 获胜概率大.………14分20．（1）联立22184x y +=与226x y +=，可得A ………4分（2）设00(,)A x y ，12(2,0),(2,0)F F -,2222000014842x y x y +=⇒=-100200),(2,)AF x y AF x y ==--（-2-,-，120000003)(63,3)(44,4)AF AF x y x y x y +=+--=-- （-2-,- (6)分123AF AF +===………8分因为00x <<，所以当02x =时，123AF AF +的最小值为,当00x =时，123AF AF +=所以123AF AF +的取值范围为………10分（3）设00(,)A x y 00B(,)x y --，0E(,0)x ,0,AB y k x =设直线AB 的斜率为k ，00002BE y kk x x +∴==+，直线AB 方程为(0)y kx k =>．由22418y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得22812x k =+．………11分设直线BC ：0()2ky x x =-由022(),2184k y x x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2222200(2)2160k x x k x x k +-+-=．①设C(,)C C x y ，则0x -和C x 是方程①的解，故202(32)2C x k x k +=+，由此得3022C x k y k=+．………13分AEC BOxyC AB d -== (14)分000||AB x =+=12C AB S AB d -==012⨯⨯2222220222121(22)(22)816(1)22(2)()2kx k k k k k k k k k k +++==+=++++………16分法一：21116()16()211()()2)2(1k k k k k S k k k k k ++==++++设1t k k =+，则由0k >得2t ≥，当且仅当1k =时取等号．因为21621tS t =+在[2,)+∞为严格减函数，所以当2t =，即1k =时，S 取得最大值，最大值为329．因此，ABC ∆面积的最大值为329．………18分法二：2234221(1)()(2)()2522k k k kf k k k k k =+=+++++242242(1)(232)'()(252)k k k f k k k -++==++()y f k =在(0,1]k ∈上是严格增函数，在[1,)+∞上是严格减函数1k =时，S 取得最大值，最大值为329．因此，ABC ∆面积的最大值为329．………18分21．（1）()11f =，点P 在()f x 上，()32f x x'=-，设切点为()(),t f t ，切线方程为()2312y x t t t -=--，即3223y x t t =-+，---------------------2分切线过()1,1P ，解得1t =或2t =-，故切线方程为23y x =-+，1344y x =+，点P 为()f x 的“A 类点”．-----------4分（2）()23f x x m '=-，设切点为()(),t f t ，切线方程为()()()323y t mt t mx t --=--，即()2332y tm x t =--，切线过()2,0Q ，则322620t t m -+=，------------------------6分由题意，以上方程有三个不同解，且成等差数列，设为123,,t t t ，公差为d ，()()()321232622t t m t t t t t t -+=---()()321231213231232222t t t t t t t t t t t t t t t =-+++++-比较等式两边系数可得，12312132312330t t t t t t t t t t t t m ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩22132t d m =⎧⎪⇒=⎨⎪=⎩，-------------------------9分经检验，当2m =时，()32f x x x =-，不过()2,0Q ，满足条件，------10分故m 的值为2．（3）（方法1）假设y 轴上存在()f x 的“C 类点”，记为R ，设坐标为()0,a ，()x xf x e'=-，设切点为()(),t f t ，切线方程为()1t t t ty x t e e +-=--，即21t tt t t y x e e ++=-+，过()0,R a ，得21tt t a e++=，方程至少有两个不同解，----------11分设()21t t t g t e ++=，则()2tt t g t e-'=，令()0g t '=，得0t =或1t =，当t 在(),0-∞，()1,+∞上，()0g t '<，()g t 为严格减函数，当t 在()0,1上，()0g t '>，()g t 为严格增函数，------------------13分极小值()01g =，极大值()31g e =，又()31g e e -=>，()2621g e=<，由函数图像可知，当1a =或3e时，方程有两个不同解，当31,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，方程有三个不同解，因为1a =时，()0,1R 在()f x 上，其余情况下R 在()f x 外，所以31,a e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，-----15分设两垂直切线的斜率为12,k k ，对应方程的两根为12,t t ，则12121212121tt t t t t t t k k e e e+⎛⎫⎛⎫=-⋅-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由21t t t a e ++=得()()1212221122211t t t t t t t t ee e a +++++=⋅=，代入上式，有()()22112221211t t t t at t ++++=-，因为12120t t t t e +=-<，所以12,t t 异号，不妨设120t t <<，由均值不等式知，211111t t t ++≥-，222213t t t ++≥，则23a ≥，而2291,a e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，等式无法成立，12,t t 不存在．--------------------------18分故假设不成立，命题得证！（方法2）假设y 轴上存在()f x 的“C 类点”，记为R ，设坐标为()0,a ，()x xf x e'=-，设切点为()(),t f t ，7切线方程为()1t t t t y x t e e +-=--，即21t t t t t y x e e ++=-+，过()0,R a ，得21t t t a e ++=，方程至少有两个不同解，设()21t t t g t e ++=，则()2t t t g t e -'=，令()0g t '=，得0t =或1t =，当t 在(),0-∞，()1,+∞上，()0g t '<，()g t 为严格减函数，当t 在()0,1上，()0g t '>，()g t 为严格增函数，极小值()01g =，极大值()31g e =，又()31g e e -=>，()2621g e =<，设两垂直切线的斜率为12,k k ，对应方程的两根为12,t t ，不妨设12t t <，由函数图像可知，1212t t -<<<，设(),12x xh x x e =--<<，则()1x x h x e -'=，令()0h x '=，得1x =，当x 在()1,1-上，()0h x '<，()g t 为严格减函数，当x 在()1,2上，()0h x '>，()g t 为严格增函数，()1h e -=，()()min 11h x h e ==-，()12h e =，因此()1,h x e e ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，则12121211t t t t k k e e e e ⎛⎫⎛⎫=-⋅->-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，矛盾！故假设不成立，命题得证！。
2018年浦东新区高考数学二模含答案
2018年浦东新区⾼考数学⼆模含答案2018年浦东新区⾼考数学⼆模含答案 2018．4注意：1．答卷前，考⽣务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚．2．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．⼀、填空题（本⼤题共有12⼩题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则⼀律得零分．21lim 1n n n →+∞+=- .2 2.不等式01xx <-的解集为________.(0,1)3.已知{}n a 是等⽐数列，它的前n 项和为n S ，且34,a =48a =-，则5S = ________.114.已知1()f x -是函数2()log (1)f x x =+的反函数，则1(2)f -=________.35.91)x⼆项展开式中的常数项为________.846.椭圆2cos ,x y θθ=（θ为参数）的右焦点为________.(1,0)7.满⾜约束条件2423x y x y x y +≤??+≤?≥≥的⽬标函数32f x y =+的最⼤值为________.1638.函数2()cos 2,R f x x x x =+∈的单调递增区间为____________.,,36Z k k k ππππ?-+∈9.已知抛物线型拱桥的顶点距⽔⾯2⽶时，量得⽔⾯宽为8⽶。
当⽔⾯下降1⽶后，⽔⾯的宽为_____⽶。
10.—个四⾯体的顶点在空间直⾓坐标系xyz O -中的坐标分别是(0,0,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，(1,1，0)，则该四⾯体的体积为________.111.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上是增函数，如果对于任意[1,2]x ∈，(1)(3)f ax f x +≤-恒成⽴，则实数a 的取值范围是________.[1,0]-12.已知函数2()57f x x x =-+.若对于任意的正整数n ，在区间51,n n ??+上存在1m +个实数012,,,,m a a a a 使得012()()()()m f a f a f a f a >+++成⽴，则m 的最⼤值为________.6⼆、选择题(本⼤题共有4⼩题，满分20分) 每⼩题都给出四个选项，其中有且只有⼀个选项是正确的，选对得 5分，否则⼀律得零分．13.已知⽅程210x px -+=的两虚根为12,x x ，若121x x -=，则实数p 的值为（）A A ． 3± B ．5± C. 3,5 D ． 3,5±± 14.在复数运算中下列三个式⼦是正确的：（1）1212z z z z +≤+，（2）1212z z z z ?=?，（3）123123()()z z z z z z ??=??；相应的在向量运算中，下列式⼦：（1）a b a b +≤+，（2）a b a b ?=?，（3）()()a b c a b c ??=??；正确的个数是（）BA ． 0B ．1 C. 2 D ．315.唐代诗⼈杜牧的七绝唐诗中两句诗为“今来海上升⾼望，不到蓬莱不成仙。
2018年12月上海市杨浦区高三数学一模卷答案
杨浦区2018学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷评分标准 2018.12.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号,并核对后的条形码贴在指定位置上.2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一、 填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果. 1． ；2． ；3．2π； 4. 3 ；5. 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；6. π12 ； 7. )1,21()21,0( ；8. [1,0]- ；9. 1- ； 10.π ；11. 2 ；12. 3或4二、 选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.；14. ；15. ；16.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1） …… 6分（2）只需证明因为，故，又， 故，所以；……10分 中，，点是的中点，故……12分 所以，，故无论点在边的何处，都有.……14分（用向量证明类似评分）18. （本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分） 解：（1）在中，由得，． ．故为锐角． ……3分 ．∴．……7分（2）由余弦定理得，， 当且仅当时等号成立．．{}1,26π()C ()B ()D ()A 1133P ADE ADE V PA S -∆=⋅⋅=AF PBC ⊥面PA ABCD ⊥面PA BC ⊥BC AB ⊥BC AB ⊥面P BC AF ⊥PAB ∆PA AB =F PB AF PB ⊥AF PBC ⊥面E BC AFPE ⊥ABC ∆5cos 13B =12sin 13B =12sin sin ,13B A =>B A ∴>A 3cos 5A ∴=33cos cos()cos cos sin sin 65C A B A B A B =-+=-+=2222cos b a c ac B =+-22101016162131313a c ac ac ac ac =+-≥-=a c =13ac ∴≤∴． ……14分 19. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）根据题意，30)315(2≥-+xx ，得03145≥--xx ……2分 解得3≥x 或51-≤x ……4分 又101≤≤x ，可得103≤≤x ……6分（2）设利润为y 元，则)315(900xx x y -+=， ……8分 ]1261)611(3[9002+--=x ， ……12分故6=x 时，4575max =y ……14分 20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）解：（1）焦点到准线的距离2； ……4分 （2）设),(),,(2211y x B y x A ，则⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,24)2(,4121121P Px x y y x y ……6分 整理得，0822121=-+-P P P y x y y y ，同理，0822222=-+-P P P y x y y y ， ……8分 所以，21,y y 是关于y 的方程08222=-+-P P P y x y y y 的两根，故M 的纵坐标为P y y y =+221，即M P y y =； ……9分（3）若直线x AB ⊥轴，则M 的纵坐标为0， 因此，)0,1(-P ，则B A ,两点的纵坐标满足082=-y ，22±=y 故)22,2(),22,2(-B A ，2624321=⨯⨯=∆PAB S ； ……10分5cos()cos 513AB BC ac B ac B ac ⋅=π-=-=-≥-若直线AB 的斜率存在，方程为)(121211x x x x y y y y ---=-，即121222121)41()(41y y x y y y y y +---=，整理得，2121214y y y y x y y y +++=，将⎩⎨⎧-==+,8,222121P P P y x y y y y y 代入得，直线PPP P y y x x y y AB 282:2-+=， ……12分 故)4)(4(2)4(841||41||2222212P P P P P P P x y y x y y y y y AB -+=-⨯+=-+=， 而点P 到直线AB 的距离为4|4|2341|282|2222+-=+--+=P P P PP PP P P P y y x y y y y x x y h ， ……14分 故232)4(423||21P P PAB x y h AB S -=⨯=∆，而)0(1422<=+P PPx y x ，故232232])12(5[423)444(423+-=+--=∆P P P PAB x x x S ， ……15分由(1,0)P x ∈-得，2444(4,5]P P x x --+∈，PAB S ∆∈ 综上，PAB ∆的面积的最小值为26. ……16分 21. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分） 解：(1)因为8,3,2321===a a a ……2分 所以52823=+=b ……4分 (2) （必要性）当数列是等差数列时，设其公差为 当 时， ，所以，所以，， 当 时， ，所以，所以，， 当 时， ，所以，所以，{}n a d d >010n n a a d --=>1n n a a ->nn M a =1n m a =d <010n n a a d --=<1n n a a -<1nM a =n n m a =d =010n n a a d --==1n n a a -=1nM a =n n m a =综上，总有 所以 ，所以数列是等差数列 ……6分 （充分性） 当数列是等差数列时，设其公差为 因为， 根据的定义，有以下结论：，且两个不等式中至少有一个取等号当时，则必有，所以，所以是一个单调递增数列，所以，，所以 所以，即为等差数列当时，则必有，所以所以是一个单调递减数列，所以，，所以 所以，即为等差数列当时，0222211111=-+-=+-+=------n n n n n n n n n n m m M M m M m M b b 因为中必有一个为0， 根据上式，一个为0，则另一个亦为0， 所以 所以为常数数列，所以为等差数列综上，结论得证. ……9分(3)存在 ……10分假设不存在， 因为，即 或者，所以对任意，一定存在，使得符号相反 ……12分 所以在数列中存在，其中12n n a a b +=1111222nn n n a a a a db b --++-=-={}n b {}n b d **11111+2222n n n n n n n n n n M m M m M M m m b b d -----+----=-==n n M m ，11n n n n M M m m --≥≤，d >*01n n M M ->11n n n n a M M a --=>≥{}n a n n M a =1n m a =*11111222n n n n n n a a a a a a b b d ---++--=-==*12n n a a d --={}n a d <*01n n m m -<11n n n n a m m a --=<≤{}n a 1n M a =n n m a =*11111222n n n n n n a a a a a a b b d ---++--=-==*12n n a a d --={}n a d =*011n n n n M M m m ----，11,,nn n n M M m m --=={}n a {}n a ||1nb =1n b =1n b =-*K ∈N i K ≥1,i i b b +{}n b 1231,,,...,,....i i k k k k k b b b b b +123......i k k k k <<<<且 ，……14分因为，即注意到，且有且仅有一个等号成立， 所以必有……16分所以，所以 因为，所以 ，所以 所以 所以 所以 所以…… 所以 所以所以，这与矛盾，所以假设错误， ……18分 所以存在，使得任意，，有.12311.......i i k k k k k b b b b b +-======1231111111......i i k k k k k b b b b b ++++++======11,1i i k k b b +=-=111,122i ii i k k k k M m M m ++++=-=11,i i i i k k k k M M m m ++≥≤11,i i i ik k k k M M m m ++>=14i i k k M M +=+114i i i k k k a M M ++==+1i i k k ->11i i k k -≥+-1+1i i k k M M ≥-11+144i i i k k k a M M +=+≥+-11+14i i k k a a +≥+-11+14i i k k a a +-≥21114k k a a ++-≥32114k k a a ++-≥43114k k a a ++-≥1114m m k k a a -++-≥11+14(1)m k k a a m +-≥-11+14(1)m k k a a m +≥+-101011+14(10101)201840362018k k a a +≥+->-+=||2018n a <*K ∈N n n K ≥1n n b b +=。