2016年高中数学高考真题分类汇编理科数学十四个专题汇编
数学
A单元集合与常用逻辑用语
A1 集合及其运算
1．A1，E2[2016·北京卷] 已知集合A＝{x||x|<2}，B＝{－1，0，1，2，3}，则A∩B＝() A．{0，1} B．{0，1，2}
C．{－1，0，1} D．{－1，0，1，2}
1．C[解析] 集合A＝{x||x|<2}＝{x|－2 20．D5，A1[2016·北京卷] 设数列A：a1，a2，…，a N(N≥2)．如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有a k (1)对数列A：－2，2，－1，1，3，写出G(A)的所有元素； (2)证明：若数列A中存在a n使得a n>a1，则G(A)≠?； (3)证明：若数列A满足a n－a n－1≤1(n＝2，3，…，N)，则G(A)的元素个数不小于a N －a1. 20．解：(1)G(A)的元素为2和5. (2)证明：因为存在a n使得a n>a1，所以{i∈N*|2≤i≤N，a i>a1}≠?. 记m＝min{i∈N*|2≤i≤N，a i>a1}， 则m≥2，且对任意正整数k 因此m∈G(A)，从而G(A)≠?. (3)证明：当a N≤a1时，结论成立． 以下设a N>a1. 由(2)知G(A)≠?. 设G(A)＝{n1，n2，…，n p}，n1 记n0＝1，则an0 对i＝0，1，…，p，记G i＝{k∈N*|n i 如果G i≠?，取m i＝min G i，则对任何1≤k 从而m i∈G(A)且m i＝n i＋1. 又因为n p是G(A)中的最大元素，所以G p＝?. 从而对任意n p≤k≤N，a k≤an p，特别地，a N≤an p. 对i＝0，1，…，p－1，an i＋1－1≤an i. 因此an i＋1＝an i＋1－1＋(an i＋1－an i＋1－1)≤an i＋1. 所以a N－a1≤an p－a1＝ p(an i－an i－1)≤p. i＝1 因此G(A)的元素个数p不小于a N－a1. 1．A1[2016·江苏卷] 已知集合A＝{－1，2，3，6}，B＝{x|－2 20．A1、D3、D5[2016·江苏卷] 记U＝{1，2，…，100}．对数列{a n}(n∈N*)和U的子集T，若T＝?，定义S T＝0；若T＝{t1，t2，…，t k}，定义S T＝at1＋at2＋…＋at k.例如：T＝{1，3，66}时，S T＝a1＋a3＋a66.现设{a n}(n∈N*)是公比为3的等比数列，且当T＝{2，4}时，S T＝30. (1)求数列{a n}的通项公式； (2)对任意正整数k(1≤k≤100)，若T?{1，2，…，k}，求证：S T (3)设C ?U ，D ?U ，S C ≥S D ，求证：S C ＋S C ∩D ≥2S D . 20．解：(1)由已知得a n ＝a 1·3n － 1，n ∈N *. 于是当T ＝{2，4}时，S T ＝a 2＋a 4＝3a 1＋27a 1＝30a 1. 又S T ＝30，所以30a 1＝30，即a 1＝1， 故数列{a n }的通项公式为a n ＝3n － 1，n ∈N *. (2)证明：因为T ?{1，2，…，k }，a n ＝3n － 1>0，n ∈N *， 所以S T ≤a 1＋a 2＋…＋a k ＝1＋3＋…＋3k － 1＝12 (3k －1)<3k . 因此，S T (3)证明：下面分三种情况证明． ①若D 是C 的子集，则S C ＋S C ∩D ＝S C ＋S D ≥S D ＋S D ＝2S D . ②若C 是D 的子集，则S C ＋S C ∩D ＝S C ＋S C ＝2S C ≥2S D . ③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集． 令E ＝C ∩(?U D )，F ＝D ∩(?U C )，则E ≠?，F ≠?，E ∩F ＝?. 于是S C ＝S E ＋S C ∩D ，S D ＝S F ＋S C ∩D ，进而由S C ≥S D ，得S E ≥S F . 设k 是E 中最大的数，l 为F 中最大的数，则k ≥1，l ≥1，k ≠l . 由(2)知，S E 1＝a l ≤S F ≤S E 从而S F ≤a 1＋a 2＋…＋a l ＝1＋3＋…＋3l －1＝3l －12≤3k －1 －12＝a k －12≤S E －12 ， 故S E ≥2S F ＋1，所以S C －S C ∩D ≥2(S D －S C ∩D )＋1， 即S C ＋S C ∩D ≥2S D ＋1. 综合①②③得，S C ＋S C ∩D ≥2S D . 1．A1，E3[2016·全国卷Ⅰ] 设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( ) A ．(－3，－3 2 ) B ．(－3，3 2) C ．1，3 2 D.32 ，3 1．D [解析] 集合A ＝(1，3)，B ＝(32，＋∞)，所以A ∩B ＝(3 2 ，3). 1．A1[2016·全国卷Ⅲ] 设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则S ∩T ＝( ) A ．[2，3] B ．(－∞，2]∪[3，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(0，2]∪[3，＋∞) 1．D [解析] ∵S ＝{x |x ≥3或x ≤2}，∴S ∩T ＝{x |0 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 1．C [解析] 由题可知，A ∩Z ＝{－2，－1，0，1，2}，则A ∩Z 中元素的个数为5. 2．A1[2016·全国卷Ⅱ] 已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z }，则A ∪B ＝( ) A ．{1} B ．{1，2} C ．{0，1，2，3} D ．{－1，0，1，2，3} 2．C [解析] ∵B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z }＝{x |－1 2．A1[2016·山东卷] 设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1<0}，则A ∪B ＝( ) A ．(－1，1) B ．(0，1) C ．(－1，＋∞) D ．(0，＋∞) 2．C [解析] ∵A ＝{y |y >0}，B ＝{x |－1 A ．{1} B ．{4} C ．{1，3} D ．{1，4} 1．D [解析] A ＝{1，2，3，4}，B ＝{1，4，7，10}，∴A ∩B ＝{1，4}． 1．A1[2016·浙江卷] 已知集合P ＝{x ∈R |1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R |x 2≥4}，则P ∪(?R Q )＝( ) A ．[2，3] B ．(－2，3] C ．[1，2) D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞) 1．B [解析] 易知?R Q ＝{x |－2 D ．既不充分也不必要条件 4．D [解析] 若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为边组成的平行四边形为菱形，a ＋b ，a －b 表示的是该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为边组成的平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，从而不是必要条件．故选D. 7．A2，E5[2016·四川卷] 设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足???? ?y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1， 则p 是q 的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．A [解析] 如图，(x －1)2＋(y －1)2≤2①表示圆心为(1，1)，半径为2的圆及其内部； ???? ?y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1 ②表示△ABC 及其内部． 实数x ，y 满足②，则必然满足①，反之不成立. 故p 是q 的必要不充分条件． 6．G3，A2[2016·山东卷] 已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．A [解析] 当两个平面内的直线相交时，这两个平面有公共点，即两个平面相交；但当两个平面相交时，两个平面内的直线不一定有交点． 5．D3、A2[2016·天津卷] 设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 5．C [解析] 设数列的首项为a 1，则a 2n －1＋a 2n ＝a 1q 2n － 2(1＋q )<0，即q <－1，故选C. 15．A2[2016·上海卷] 设a ∈R ，则“a >1”是“a 2>1”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 15．A [解析] 由a >1，得a 2>1；由a 2>1，得a >1或a <－1.所以“a >1”是“a 2>1”的充分非必要条件． A3 基本逻辑联结词及量词 4．A3[2016·浙江卷] 命题“?x ∈R ，?n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．?x ∈R ，?n ∈N *，使得n ∈R ，?n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是“?x ∈R ，?n ∈N *，使得n ”． A4 单元综合 3．[2016·衡阳一模] 设集合A ＝{}x |－1≤x <2，B ＝{}x |x A ．a <2 B ．a >－2 C ．a >－1 D ．－1 3．C [解析] 结合数轴可知，只要a >－1，就可使A ∩B ≠?. 10．[2016·贵州普通高中模拟] 已知双曲线x 2a 2－y 2 4 ＝1(a >0)的离心率为e ，则“e >2”是 “0 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 10．B [解析] 由e ＝a 2＋4 a >2，得02，反之不 成立．故“e >2”是“0 8．[2016·东莞模拟] 设p ，q 是两个命题，若綈(p ∨q )是真命题，则( ) A ．p 是真命题且q 是假命题 B ．p 是真命题且q 是真命题 C ．p 是假命题且q 是真命题 D ．p 是假命题且q 是假命题 8．D [解析] 綈(p ∨q )是真命题?p ∨q 是假命题?p ，q 均为假命题． 数 学 B 单元 函数与导数 B1 函数及其表示 5．B1[2016·江苏卷] 函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________． 5．[－3，1] [解析] 令3－2x －x 2≥0可得x 2＋2x －3≤0，解得－3≤x ≤1，故所求函数的定义域为[－3，1]． 11．B1、B4[2016·江苏卷] 设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＝?????x ＋a ，－1≤x <0，25 －x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f (－52)＝f (92)，则f (5a )的值是________． 11．－25 [解析] 因为f (x )的周期为2，所以f (－52)＝f (－12)＝－12＋a ，f (92)＝f(12)＝110， 即－12＋a ＝110，所以a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－25. B2 反函数 5．B2[2016·上海卷] 已知点(3，9)在函数f (x )＝1＋a x 的图像上，则f (x )的反函数f － 1(x )＝________． 5．log 2(x －1)，x ∈(1，＋∞) [解析] 将点(3，9)的坐标代入函数f (x )的解析式得a ＝2， 所以f (x )＝1＋2x ，所以f － 1(x )＝log 2(x －1)，x ∈(1，＋∞)． B3 函数的单调性与最值 14．B3，B12[2016·北京卷] 设函数f (x )＝? ????x 3－3x ，x ≤a ， －2x ，x >a . ①若a ＝0，则f (x )的最大值为________； ②若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________． 14．①2 ②(－∞，－1) [解析] 由(x 3－3x )′＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，作出函数y ＝x 3 －3x 和y ＝－2x 的图像，如图所示．①当a ＝0时，由图像可得f (x )的最大值为f (－1)＝2.②由图像可知当a ≥－1时，函数f (x )有最大值；当a <－1时，y ＝－2x 在x >a 时无最大值，且－2a >a 3－3a ，所以a <－1. 13．B3、B4[2016·天津卷] 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a － 1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________． 13.（12，3 2） [解析] 由f (x )是偶函数，且f (x )在区间(－∞，0)上单调递增，得f (x )在区 间(0，＋∞)上单调递减． 又f (2|a －1|)>f (－2)，f (－2)＝f (2)，∴2|a － 1|<2，即|a －1|<12，∴12 . 18．B3，B4[2016·上海卷] 设f (x )，g (x )，h (x )是定义域为R 的三个函数，对于命题：① 若f (x )＋g (x )，f (x )＋h (x )，g (x )＋h (x )均是增函数，则f (x )，g (x )，h (x )中至少有一个增函数；②若f (x )＋g (x )，f (x )＋h (x )，g (x )＋h (x )均是以T 为周期的函数，则f (x )，g (x )，h (x )均是以T 为周期的函数．下列判断正确的是( ) A ．①和②均为真命题 B ．①和②均为假命题 C ．①为真命题，②为假命题 D ．①为假命题，②为真命题 18．D [解析] f (x )＝[f （x ）＋g （x ）]＋[f （x ）＋h （x ）]－[g （x ）＋h （x ）] 2.对于①， 因为增函数减增函数不一定为增函数，所以f (x )不一定为增函数，同理g (x )，h (x )不一定为增函数，因此①为假命题．对于②，易得f (x )是以T 为周期的函数，同理可得g (x )，h (x )也是以T 为周期的函数，所以②为真命题． B4 函数的奇偶性与周期性 11．B1、B4[2016·江苏卷] 设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＝?????x ＋a ，－1≤x <0，25－x ，0≤x <1， 其中a ∈R .若f (－52)＝f (92 )，则f (5a )的值是________． 11．－25 [解析] 因为f (x )的周期为2，所以f (－52)＝f (－12)＝－12＋a ，f (92)＝f(12)＝110， 即－12＋a ＝110，所以a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－25. 15．B4、B12[2016·全国卷Ⅲ] 已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________． 15．y ＝－2x －1 [解析] 设x >0，则－x <0.∵x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，∴f (－x )＝ln x －3x ，又∵f (－x )＝f (x )，∴当x >0时，f (x )＝ln x －3x ，∴f ′(x )＝1 x －3，即f ′(1)＝－2，∴曲线 y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，整理得y ＝－2x －1. 14．B4[2016·四川卷] 已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x ，则f －5 2 ＋f (1)＝________． 14．－2 [解析] 因为f (x )是周期为2的函数，所以f (x )＝f (x ＋2)． 因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )， 所以f (1)＝f (－1)，f (1)＝－f (－1)，即f (1)＝0. 又f ????－52＝f ????－12＝－f ????12，f 12＝41 2＝2， 所以f ????－52＝－2，从而f ??? ?－5 2＋f (1)＝－2. 9．B4[2016·山东卷] 已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，fx ＋12＝fx －1 2 .则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．2 9．D [解析] ∵当x >12时，f (x ＋12)＝f (x －1 2)，∴f (x )的周期为1，则f (6)＝f (1)． 又∵当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )，∴f (1)＝－f (－1)． 又∵当x <0时，f (x )＝x 3－1，∴f (－1)＝(－1)3－1＝－2，∴f (6)＝－f (－1)＝2. 13．B3、B4[2016·天津卷] 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a － 1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________． 13.（12，3 2） [解析] 由f (x )是偶函数，且f (x )在区间(－∞，0)上单调递增，得f (x )在区 间(0，＋∞)上单调递减． 又f (2|a －1|)>f (－2)，f (－2)＝f (2)，∴2|a － 1|<2，即|a －1|<12，∴12 . 18．B3，B4[2016·上海卷] 设f (x )，g (x )，h (x )是定义域为R 的三个函数，对于命题：① 若f (x )＋g (x )，f (x )＋h (x )，g (x )＋h (x )均是增函数，则f (x )，g (x )，h (x )中至少有一个增函数；②若f (x )＋g (x )，f (x )＋h (x )，g (x )＋h (x )均是以T 为周期的函数，则f (x )，g (x )，h (x )均是以T 为周期的函数．下列判断正确的是( ) A ．①和②均为真命题 B ．①和②均为假命题 C ．①为真命题，②为假命题 D ．①为假命题，②为真命题 18．D [解析] f (x )＝[f （x ）＋g （x ）]＋[f （x ）＋h （x ）]－[g （x ）＋h （x ）] 2.对于①， 因为增函数减增函数不一定为增函数，所以f (x )不一定为增函数，同理g (x )，h (x )不一定为增函数，因此①为假命题．对于②，易得f (x )是以T 为周期的函数，同理可得g (x )，h (x )也是以T 为周期的函数，所以②为真命题． B5 二次函数 B6 指数与指数函数 5．E1，C3，B6，B7[2016·北京卷] 已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1 y >0 B ．sin x －sin y >0 C.12x －1 2 y <0 D ．ln x ＋ln y >0 5．C [解析] 选项A 中，因为x >y >0，所以1x <1y ，即1x －1 y <0，故结论不成立；选项B 中，当x ＝5π6，y ＝π3时，sin x －sin y <0，故结论不成立；选项C 中，函数y ＝1 2x 是定义在 R 上的减函数，因为x >y >0，所以12x <12y ，所以12x －12y <0；选项D 中，当x ＝e －1，y ＝e － 2时， 结论不成立． 19．B6、B9、B12[2016·江苏卷] 已知函数f (x )＝a x ＋b x (a >0，b >0，a ≠1，b ≠1)． (1)设a ＝2，b ＝1 2 . ①求方程f (x )＝2的根； ②若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值； (2)若01，函数g (x )＝f (x )－2有且只有1个零点，求ab 的值． 19．解：(1)因为a ＝2，b ＝12，所以f (x )＝2x ＋2－ x . ①方程f (x )＝2，即2x ＋2－ x ＝2，亦即(2x )2－2×2x ＋1＝0， 所以(2x －1)2＝0，于是2x ＝1，解得x ＝0. ②由条件知f (2x )＝22x ＋2－2x ＝(2x ＋2－ x )2－2＝[f (x )]2－2. 因为f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0， 所以m ≤[f （x ）]2＋4 f （x ） 对于x ∈R 恒成立． 而[f （x ）]2＋4f （x ）＝f (x )＋4f （x ）≥2f （x ）·4f （x ）＝4，且[f （0）]2＋4f （0）＝4， 所以m ≤4，故实数m 的最大值为4. (2)因为函数g (x )＝f (x )－2只有1个零点，而g (0)＝f (0)－2＝a 0＋b 0－2＝0， 所以0是函数g (x )的唯一零点． 因为g ′(x )＝a x ln a ＋b x ln b ，又由01知ln a <0，ln b >0， 所以g ′(x )＝0有唯一解x 0＝log b a －ln a ln b . 令h (x )＝g ′(x )，则h ′(x )＝(a x ln a ＋b x ln b )′＝a x (ln a )2＋b x (ln b )2， 从而对任意x ∈R ，h ′(x )>0，所以g ′(x )＝h (x )是(－∞，＋∞)上的单调增函数． 于是当x ∈(－∞，x 0)时，g ′(x ) 若x 0<0，则x 0 2 又g (log a 2)＝a log a 2＋b log a 2－2>a log a 2－2＝0，且函数g (x )在以x 0 2 和log a 2为端点的闭区 间上的图像不间断，所以在区间x 0 2 ，log a 2上存在g (x )的零点，记为x 1.因为0 又x 0 2 <0，所以x 1<0，与“0是函数g (x )的唯一零点”矛盾． 若x 0>0，同理可得，在x 0 2 和log b 2之间存在g (x )的非0的零点，矛盾． 因此，x 0＝0. 于是－ln a ln b ＝1，故ln a ＋ln b ＝0，所以ab ＝1. 6．B6[2016·全国卷Ⅲ] 已知a ＝243，b ＝425，c ＝251 3 ，则( ) A ．b B ．a C ．b D ．c 6．A [解析] b ＝425＝245<243＝a ，c ＝523>423＝24 3 ＝a ，故b 12．B6、B7[2016·浙江卷] 已知a >b >1.若log a b ＋log b a ＝5 2 ，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________． 12．4 2 [解析] 设t ＝log a b ，则log b a ＝1t .∵a >b >1，∴0 2 ，化简得t 2－ 52t ＋1＝0，解得t ＝12，故b ＝a ，所以a b ＝a a ，b a ＝(a )a ＝a 12a ，则a ＝1 2a ，即a 2－4a ＝0，得a ＝4，b ＝2. B7 对数与对数函数 5．E1，C3，B6，B7[2016·北京卷] 已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1 y >0 B ．sin x －sin y >0 C.12x －1 2y <0 D ．ln x ＋ln y >0 5．C [解析] 选项A 中，因为x >y >0，所以1x <1y ，即1x －1 y <0，故结论不成立；选项B 中，当x ＝5π6，y ＝π3时，sin x －sin y <0，故结论不成立；选项C 中，函数y ＝1 2x 是定义在 R 上的减函数，因为x >y >0，所以12x <12y ，所以12x －12y <0；选项D 中，当x ＝e －1，y ＝e － 2时， 结论不成立． 8．B7，B8，E1[2016·全国卷Ⅰ] 若a >b >1，0 C ．a log b c D ．log a c 8．C [解析] 根据幂函数性质，选项A 中的不等式不成立；选项B 中的不等式可化为b c －1 1，此时－1 以化为lg c lg a 式不成立． 21．B12、B14、B7[2016·全国卷Ⅲ] 设函数f (x )＝αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)，其中α＞0，记|f (x )|的最大值为A . (1)求f ′(x )； (2)求A ； (3)证明：|f ′(x )|≤2A . 21．解：(1)f ′(x )＝－2αsin 2x －(α－1)sin x . (2)当α≥1时，|f (x )|＝|αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)|≤α＋2(α－1)＝3α－2＝f (0)， 因此A ＝3α－2. 当0<α<1时，将f (x )变形为f (x )＝2αcos 2x ＋(α－1)cos x －1. 令g (t )＝2αt 2＋(α－1)t －1，则A 是|g (t )|在[－1，1]上的最大值，g (－1)＝α，g (1)＝3α－2， 且当t ＝1－α4α时，g (t )取得极小值，极小值为g （1－α4α）＝－（α－1）28α－1＝－α2＋6α＋1 8α. 令－1<1－α4α<1，解得α<－13(舍去)或α>1 5. (i)当0<α≤1 5 时，g (t )在(－1，1)内无极值点，|g (－1)|＝α，|g (1)|＝2－3α，|g (－1)|<|g (1)|， 所以A ＝2－3α. (ii)当1 5<α<1时，由g (－1)－g (1)＝2(1－α)>0，知g (－1)>g (1)> g （1－α4α）. 又|g (1－α4α)|－|g (－1)|＝（1－α）（1＋7α）8α>0，所以A ＝|g (1－α4α)|＝α2＋6α＋18α . 综上，A ＝??? 2－3α，0<α≤1 5 ， α2 ＋6α＋18α，15<α<1，3α－2，α≥1. (3)证明：由(1)得|f ′(x )|＝|－2αsin 2x －(α－1)sin x |≤2α＋|α－1|. 当0<α≤1 5 时，|f ′(x )|≤1＋α≤2－4α<2(2－3α)＝2A . 当15<α<1时，A ＝α8＋18α＋3 4 ≥1，所以|f ′(x )|≤1＋α<2A . 当α≥1时，|f ′(x )|≤3α－1≤6α－4＝2A ，所以|f ′(x )|≤2A . 9．B7，E6[2016·四川卷] 设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝???? ?－ln x ，0 图像上点P 1， P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积 的取值范围是( ) A ．(0，1) B ．(0，2) C ．(0，＋∞) D ．(1，＋∞) 9．A [解析] 不妨设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中0 由l 1 ，l 2 分别是点P 1 ，P 2 处的切线，且f ′(x )＝???－1 x ，0 1 x ，x >1， 得l 1的斜率k 1＝－1x 1，l 2的斜率k 2＝1 x 2 . 又l 1与l 2垂直，且0 x 2＝－1?x 1·x 2＝1， l 1：y ＝－1 x 1(x －x 1)－ln x 1①， l 2：y ＝1 x 2 (x －x 2)＋ln x 2②， 则点A 的坐标为(0，1－ln x 1)，点B 的坐标为(0，－1＋ln x 2)， 由此可得|AB |＝2－ln x 1－ln x 2＝2－ln(x 1·x 2)＝2. 联立①②两式可解得交点P 的横坐标x P ＝2－ln （x 1x 2）x 1＋x 2＝2 x 1＋x 2 ， 所以S △P AB ＝12|AB |·|x P |＝12×2×2x 1＋x 2 ＝2x 1＋ 1x 1 ≤1，当且仅当x 1＝1 x 1，即x 1＝1时，等号 成立． 而0 12．B6、B7[2016·浙江卷] 已知a >b >1.若log a b ＋log b a ＝5 2 ，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________． 12．4 2 [解析] 设t ＝log a b ，则log b a ＝1t .∵a >b >1，∴0 2 ，化简得t 2－ 52t ＋1＝0，解得t ＝12，故b ＝a ，所以a b ＝a a ，b a ＝(a )a ＝a 12a ，则a ＝1 2a ，即a 2－4a ＝0，得a ＝4，b ＝2. B8 幂函数与函数的图像 7．B8，B12[2016·全国卷Ⅰ] 函数y ＝2x 2－e |x |在[－2，2]的图像大致为( ) 图1-2 7．D [解析] 易知该函数为偶函数，只要考虑当x ≥0时的情况即可，此时y ＝2x 2－e x .令f (x )＝2x 2－e x ，则f ′(x )＝4x －e x ，则f ′(0)<0，f ′(1)>0，则f ′(x )在(0，1)上存在零点，即f (x )在(0，1)上存在极值，据此可知，只能为选项B ，D 中的图像．当x ＝2时，y ＝8－e 2<1，故选D. 8．B7，B8，E1[2016·全国卷Ⅰ] 若a >b >1，0 C ．a log b c D ．log a c 8．C [解析] 根据幂函数性质，选项A 中的不等式不成立；选项B 中的不等式可化为b c －1 1，此时－1 以化为lg c lg a 式不成立． 12．B8[2016·全国卷Ⅱ] 已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图像的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则 （x i ＋y i )＝( ) A ．0 B ．m C ．2m D ．4m 12．B [解析] 由f(－x)＝2－f(x)得f(x)的图像关于点(0，1)对称，∵y ＝ x ＋1x ＝1＋1 x 的图像也关于点(0，1)对称， ∴两函数图像的交点必关于点(0，1)对称，且对于每一组对称点(x i ，y i )和(x′i ，y′i )均满足x i ＋x′i ＝0，y i ＋y′i ＝2， ∴ ＝0＋2·m 2 ＝m. B9 函数与方程 19．B6、B9、B12[2016·江苏卷] 已知函数f (x )＝a x ＋b x (a >0，b >0，a ≠1，b ≠1)． (1)设a ＝2，b ＝1 2 . ①求方程f (x )＝2的根； ②若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值； (2)若01，函数g (x )＝f (x )－2有且只有1个零点，求ab 的值． 19．解：(1)因为a ＝2，b ＝12，所以f (x )＝2x ＋2－ x . ①方程f (x )＝2，即2x ＋2－ x ＝2，亦即(2x )2－2×2x ＋1＝0， 所以(2x －1)2＝0，于是2x ＝1，解得x ＝0. ②由条件知f (2x )＝22x ＋2－2x ＝(2x ＋2－ x )2－2＝[f (x )]2－2. 因为f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0， 所以m ≤[f （x ）]2＋4 f （x ） 对于x ∈R 恒成立． 而[f （x ）]2＋4f （x ）＝f (x )＋4f （x ）≥2f （x ）·4f （x ）＝4，且[f （0）]2＋4f （0）＝4， 所以m ≤4，故实数m 的最大值为4. (2)因为函数g (x )＝f (x )－2只有1个零点，而g (0)＝f (0)－2＝a 0＋b 0－2＝0， 所以0是函数g (x )的唯一零点． 因为g ′(x )＝a x ln a ＋b x ln b ，又由01知ln a <0，ln b >0， 所以g ′(x )＝0有唯一解x 0＝log b a －ln a ln b . 令h (x )＝g ′(x )，则h ′(x )＝(a x ln a ＋b x ln b )′＝a x (ln a )2＋b x (ln b )2， 从而对任意x ∈R ，h ′(x )>0，所以g ′(x )＝h (x )是(－∞，＋∞)上的单调增函数． 于是当x ∈(－∞，x 0)时，g ′(x ) 若x 0<0，则x 0 2 又g (log a 2)＝a log a 2＋b log a 2－2>a log a 2－2＝0，且函数g (x )在以x 0 2 和log a 2为端点的闭区 间上的图像不间断，所以在区间x 0 2 ，log a 2上存在g (x )的零点，记为x 1.因为0 又x 0 2 <0，所以x 1<0，与“0是函数g (x )的唯一零点”矛盾． 若x 0>0，同理可得，在x 0 2 和log b 2之间存在g (x )的非0的零点，矛盾． 因此，x 0＝0. 于是－ln a ln b ＝1，故ln a ＋ln b ＝0，所以ab ＝1. 15．B9[2016·山东卷] 已知函数f (x )＝? ??? ?|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ， 使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________． 15．(3，＋∞) [解析] 画出函数f (x )的图像如图所示，根据已知得m >4m －m 2，又m >0，解得m >3，故实数 m 的取值范围是(3，＋∞)． B10 函数模型及其应用 B11 导数及其运算 21．B11，B12，E8[2016·四川卷] 设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，其中a ∈R . (1)讨论f (x )的单调性； (2)确定a 的所有可能取值，使得f (x )＞1x －e 1－ x 在区间(1，＋∞)内恒成立(e ＝2.718…为 自然对数的底数)． 21．解：(1)f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2 －1 x (x >0)． 当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减． 当a >0时，由f ′(x )＝0，有x ＝1 2a ， 此时，当x ∈（0，12a ）时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈（1 2a ，＋∞）时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． (2)令g (x )＝1x －1e x －1，s (x )＝e x － 1－x ， 则s ′(x )＝e x － 1－1. 而当x >1时，s ′(x )>0， 所以s (x )在区间(1，＋∞)内单调递增． 又s (1)＝0，所以当x >1时，s (x )>0， 从而当x >1时，g (x )>0. 当a ≤0，x >1时，f (x )＝a (x 2－1)－ln x <0， 故当f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a >0. 当0 2a >1. 由(1)有f （ 12a ） ）>0， 所以此时f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内不恒成立． 当a ≥12时，令h (x )＝f (x )－g (x )(x ≥1)．当x >1时，h ′(x )＝2ax －1x ＋1x 2－e 1－ x >x －1x ＋1x 2－ 1x ＝x 3－2x ＋1x 2>x 2－2x ＋1 x 2 >0. 因此，h (x )在区间(1，＋∞)内单调递增． 又因为h (1)＝0，所以当x >1时，h (x )＝f (x )－g (x )>0，即f (x )>g (x )恒成立． 综上，a ∈[1 2，＋∞). B12 导数的应用 14．B3，B12[2016·北京卷] 设函数f (x )＝???? ?x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a . ①若a ＝0，则f (x )的最大值为________； ②若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________． 14．①2 ②(－∞，－1) [解析] 由(x 3－3x )′＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，作出函数y ＝x 3 －3x 和y ＝－2x 的图像，如图所示．①当a ＝0时，由图像可得f (x )的最大值为f (－1)＝2.②由图像可知当a ≥－1时，函数f (x )有最大值；当a <－1时，y ＝－2x 在x >a 时无最大值，且－2a >a 3－3a ，所以a <－1. 17．G1、G7、B12[2016·江苏卷] 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P - A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1(如图1-5所示)，并 要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍． (1)若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 为多少时，仓库的容积最大？ 17．解：(1)由PO 1＝2知O 1O ＝4PO 1＝8. 因为A 1B 1＝AB ＝6， 所以正四棱锥P - A 1B 1C 1D 1的体积V 锥＝13·A 1B 21·PO 1＝13 ×62×2＝24(m 3 )， 正四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1的体积V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288(m 3)． 所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m 3)． (2)设A 1B 1＝a (m)，PO 1＝h (m)，则0 因为在Rt △PO 1B 1中，O 1B 21＋PO 21＝PB 2 1， 所以2a 2 2 ＋h 2＝36，即a 2＝2(36－h 2)． 于是仓库的容积V ＝V 柱＋V 锥＝a 2·4h ＋13a 2·h ＝133a 2h ＝26 3 (36h －h 3)，0 从而V ′＝26 3 (36－3h 2)＝26(12－h 2)． 令V ′＝0，得h ＝23或h ＝－23(舍)． 当0 19．B6、B9、B12[2016·江苏卷] x (a >0，b >0，a ≠1，b ≠1)． (1)设a ＝2，b ＝1 2 . ①求方程f (x )＝2的根； ②若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值； (2)若01，函数g (x )＝f (x )－2有且只有1个零点，求ab 的值． 19．解：(1)因为a ＝2，b ＝12，所以f (x )＝2x ＋2－ x . ①方程f (x )＝2，即2x ＋2－x ＝2，亦即(2x )2－2×2x ＋1＝0， 所以(2x －1)2＝0，于是2x ＝1，解得x ＝0. ②由条件知f (2x )＝22x ＋2－2x ＝(2x ＋2－ x )2－2＝[f (x )]2－2. 因为f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0， 所以m ≤[f （x ）]2＋4 f （x ） 对于x ∈R 恒成立． 而[f （x ）]2＋4f （x ）＝f (x )＋4f （x ）≥2f （x ）·4f （x ）＝4，且[f （0）]2＋4f （0）＝4， 所以m ≤4，故实数m 的最大值为4. (2)因为函数g (x )＝f (x )－2只有1个零点，而g (0)＝f (0)－2＝a 0＋b 0－2＝0， 所以0是函数g (x )的唯一零点． 因为g ′(x )＝a x ln a ＋b x ln b ，又由01知ln a <0，ln b >0， 所以g ′(x )＝0有唯一解x 0＝log b a －ln a ln b . 令h (x )＝g ′(x )，则h ′(x )＝(a x ln a ＋b x ln b )′＝a x (ln a )2＋b x (ln b )2， 从而对任意x ∈R ，h ′(x )>0，所以g ′(x )＝h (x )是(－∞，＋∞)上的单调增函数． 于是当x ∈(－∞，x 0)时，g ′(x ) 若x 0<0，则x 0 2 又g (log a 2)＝a log a 2＋b log a 2－2>a log a 2－2＝0，且函数g (x )在以x 0 2 和log a 2为端点的闭区 间上的图像不间断，所以在区间x 0 2 ，log a 2上存在g (x )的零点，记为x 1.因为0 又x 0 2 <0，所以x 1<0，与“0是函数g (x )的唯一零点”矛盾． 若x 0>0，同理可得，在x 0 2 和log b 2之间存在g (x )的非0的零点，矛盾． 因此，x 0＝0. 于是－ln a ln b ＝1，故ln a ＋ln b ＝0，所以ab ＝1. 7．B8，B12[2016·全国卷Ⅰ] 函数y ＝2x 2－e |x |在[－2，2]的图像大致为( ) 图1-2 7．D [解析] 易知该函数为偶函数，只要考虑当x ≥0时的情况即可，此时y ＝2x 2－e x .令f (x )＝2x 2－e x ，则f ′(x )＝4x －e x ，则f ′(0)<0，f ′(1)>0，则f ′(x )在(0，1)上存在零点，即f (x )在(0，1)上存在极值，据此可知，只能为选项B ，D 中的图像．当x ＝2时，y ＝8－e 2<1，故选D. 21．B12[2016·全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )＝(x －2)e x ＋a (x －1)2有两个零点． (1)求a 的取值范围； (2)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1＋x 2<2. 21．解：(1)f ′(x )＝(x －1)e x ＋2a (x －1)＝(x －1)(e x ＋2a )． (i)设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x ，f (x )只有一个零点． (ii)设a >0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增． 又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b <0且b 2b ）>0， 故f (x )存在两个零点． (iii)设a <0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )． 若a ≥－e 2，则ln(－2a )≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，因此f (x )在(1，＋∞)单调递 增．又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点． 若a <－e 2，则ln(－2a )>1.故当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )<0；当x ∈(ln(－2a )，＋∞) 时， f ′(x )>0.因此f (x )在(1，ln(－2a ))单调递减，在(ln(－2a )，＋∞)单调递增．又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点． 综上，a 的取值范围为(0，＋∞)． (2)证明：不妨设x 1 在(－∞，1)单调递减，所以x 1＋x 2<2等价于f (x 1)>f (2－x 2)，即f (2－x 2)<0. 由于f (2－x 2)＝－x 2e2－x 2＋a (x 2－1)2，而f (x 2)＝(x 2－2)e x 2＋a (x 2－1)2＝0， 所以f (2－x 2)＝－x 2e2－x 2－(x 2－2)e x 2. 设g (x )＝－x e 2－ x －(x －2)e x ， 则g ′(x )＝(x －1)(e 2－ x －e x )． 所以当x >1时，g ′(x )<0，而g (1)＝0，故当x >1时，g (x )<0， 从而g (x 2)＝f (2－x 2)<0，故x 1＋x 2<2. 15．B4、B12[2016·全国卷Ⅲ] 已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________． 15．y ＝－2x －1 [解析] 设x >0，则－x <0.∵x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，∴f (－x )＝ln x －3x ，又∵f (－x )＝f (x )，∴当x >0时，f (x )＝ln x －3x ，∴f ′(x )＝1 x －3，即f ′(1)＝－2，∴曲线 y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，整理得y ＝－2x －1. 21．B12、B14、B7[2016·全国卷Ⅲ] 设函数f (x )＝αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)，其中α＞0，记|f (x )|的最大值为A . (1)求f ′(x )； (2)求A ； (3)证明：|f ′(x )|≤2A . 21．解：(1)f ′(x )＝－2αsin 2x －(α－1)sin x . (2)当α≥1时，|f (x )|＝|αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)|≤α＋2(α－1)＝3α－2＝f (0)， 因此A ＝3α－2. 当0<α<1时，将f (x )变形为f (x )＝2αcos 2x ＋(α－1)cos x －1. 令g (t )＝2αt 2＋(α－1)t －1，则A 是|g (t )|在[－1，1]上的最大值，g (－1)＝α，g (1)＝3α－2， 且当t ＝1－α4α时，g (t )取得极小值，极小值为g （1－α4α）＝－（α－1）28α－1＝－α2＋6α＋1 8α. 令－1<1－α4α<1，解得α<－13(舍去)或α>1 5. (i)当0<α≤1 5 时，g (t )在(－1，1)内无极值点，|g (－1)|＝α，|g (1)|＝2－3α，|g (－1)|<|g (1)|， 所以A ＝2－3α. (ii)当1 5<α<1时，由g (－1)－g (1)＝2(1－α)>0，知g (－1)>g (1)> g （1－α4α）. 又|g (1－α4α)|－|g (－1)|＝（1－α）（1＋7α）8α>0，所以A ＝|g (1－α4α)|＝α2＋6α＋18α . 综上，A ＝??? 2－3α，0<α≤1 5 ， α2 ＋6α＋18α，15<α<1，3α－2，α≥1. (3)证明：由(1)得|f ′(x )|＝|－2αsin 2x －(α－1)sin x |≤2α＋|α－1|. 当0<α≤1 5 时，|f ′(x )|≤1＋α≤2－4α<2(2－3α)＝2A . 当15<α<1时，A ＝α8＋18α＋3 4 ≥1，所以|f ′(x )|≤1＋α<2A . 当α≥1时，|f ′(x )|≤3α－1≤6α－4＝2A ，所以|f ′(x )|≤2A . 21．B11，B12，E8[2016·四川卷] 设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，其中a ∈R . (1)讨论f (x )的单调性； (2)确定a 的所有可能取值，使得f (x )＞1x －e 1－ x 在区间(1，＋∞)内恒成立(e ＝2.718…为 自然对数的底数)． 21．解：(1)f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2 －1 x (x >0)． 当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减． 当a >0时，由f ′(x )＝0，有x ＝1 2a ， 此时，当x ∈（0，12a ）时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈（1 2a ，＋∞）时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． (2)令g (x )＝1x －1e x －1，s (x )＝e x － 1－x ， 则s ′(x )＝e x － 1－1. 而当x >1时，s ′(x )>0， 所以s (x )在区间(1，＋∞)内单调递增． 又s (1)＝0，所以当x >1时，s (x )>0， 从而当x >1时，g (x )>0. 当a ≤0，x >1时，f (x )＝a (x 2－1)－ln x <0， 故当f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a >0.