线性代数教学改革 学习课件
从问题出发
以解决问题为线索 展开教学内容
例:怎样建立向量的坐标
有方向和大小的量 坐标化 n 数组 向量与坐标运算的对应:
依赖于加法与数乘的运算律(8条公理) 不直接依赖于平行四边形法则 基：坐标的唯一性 — 线性无关,
存在性 — 极大无关组 向量--- 坐标: 同构 坐标变换 --- 数组空间中的坐标变换
旋转:
2020/3/3
2020/3/3
向量方向的变化 特征向量
2020/3/3
选取特征向量为基 --- 矩阵的对角化
2020/3/3
射影变换
x’ = x / (x-1), y’= y / (x-1).
直线、相交、平行 ？ 相交于 x=1 的直线 ？ 圆(与 x=1 相离、切、交) ?
(x,y) (x’,y’)
x’=f1(x,y), y’=f2(x,y) 曲线C: x=x(t),y=y(t) 曲线C’: x=f1(x(t),y(t)),
y=f2(x(t),y(t))
线性变换
x’=a1x+b1y, y’=a2x+b2y.
由矩阵
决定
画图观察: 直线,平行,垂直,长度, 角度,圆 ?
相交直线变成平行直线
2.5 2
1.5 1
0.5
3 2 1
-6
-4
-2
-1Βιβλιοθήκη -2-3-4
2
4
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
圆变成圆锥曲线
4 2
-7.5
-5
1 0.5
-1
-0.5
-0.5
0.5
1
-1
-2.5 -2
-4
2.5
5
7.5 10
谢谢 ！
例:解线性方程组
方程(向量)----- 系数组(坐标) 互为线性组合(初等变换)
同解变形(高斯消去法) 只用到四则运算--数域的概念 关于方程个数的讨论:
方程个数有真假 — 线性无关与线性相关
4个?
几个方程?
只剩2个?
为何
有假!--某方程是其余的线性组合--线性相关 打假到底 极大无关组 货真价实(秩)2个
秩(方程的真正个数)的唯一性 证明只依赖于运算律 将方程换成任意向量
行列式的性质
det(u,v+w)= det(u,w)+det(u,w)
det(u,v)=det(u,v+au)
1.2
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.2
0.4
0.2
0.4
0.6
0.8
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
几何变换
线性代数 教学改革
空间为体, 矩阵为用
研究对象----几何：线性空间(向量) 研究工具----代数：矩阵运算 向量 (问题) -- modeling 矩阵语言描述 与微积分的关系:
矩阵运算解决 向量(解答)
非线性 --微积分 线性 --线性代数
抽象 = ?
抽象 = 难得糊涂:
忽略差别,提取共同点
合集下载
线性代数教材讲解ppt课件
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
am1 am1 amn
矩阵A的
m, n元
简记为
A Amn
aij
mn
aij
.
这m n个数称为A的元素,简称为元.
元素是实数的矩阵称为实矩阵,
元素是复数的矩阵称为复矩阵.
例如
1 9
0 6
3 4
5 3
是一个 2 4 实矩阵,
0
0
单位阵.
0 0 1
线性变换
x1 y1
cosx siny, sinx cosy.
对应 cos sin sin cos
这是一个以原点为中心
旋转 角的旋转变换.
Y P1 x1, y1
Px, y
O
X
三、小结
(1)矩阵的概念 m行n列的一个数表
a11
A
a21
a12
且对应元素相等,即
aij bij i 1,2,,m; j 1,2,,n,
则称矩阵 A与B相等,记作 A B.
(8)线性变换与矩阵之间关系:
例1 n个变量x1, x2,, xn与m个变量y1, y2,, ym之
间的关系式
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
13 2
6 2
2i 2
是一个
33
复矩阵,
2 2 2
1 2 是一个 3 1 矩阵,
4
2 3 5 9
4
是一个 1 4 矩阵,
是一个 11 矩阵.
矩阵与行列式有本质的区别, 行列式是一个算式, 其行数和列数相同，一个数字行列式经过计算 可求得其值, 而矩阵仅仅是一个数表, 它的行数和 列数可以不同.
线性代数全套教学课件
a31 a32 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 b1 a13
得
D2 a21 b2 a23 ,
a31 b3 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 ， a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 . a12a21
（3）
由方程组的四个系数确定.
定义 由四个数排成二行二列（横为行、竖为列） 的数表
a11 a12
a21 a22
(4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（4）所确定的二阶
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 b1 a13
得
D2 a21 b2 a23 ,
a31 b3 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
若记 或
b1 b2 b1
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33 a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a31 a32 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 b1 a13
得
D2 a21 b2 a23 ,
a31 b3 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 ， a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 . a12a21
（3）
由方程组的四个系数确定.
定义 由四个数排成二行二列（横为行、竖为列） 的数表
a11 a12
a21 a22
(4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（4）所确定的二阶
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 b1 a13
得
D2 a21 b2 a23 ,
a31 b3 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
若记 或
b1 b2 b1
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33 a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a31 a32 a33
线性代数教案课件
线性代数教案课件第一章：线性代数简介1.1 线性代数的意义和应用1.2 数学符号和基本概念1.3 矩阵和向量的基本运算1.4 线性方程组和矩阵的解法第二章：矩阵和行列式2.1 矩阵的定义和性质2.2 矩阵的运算规则2.3 行列式的定义和性质2.4 行列式的计算方法和应用第三章：向量空间和线性变换3.1 向量空间的概念和性质3.2 线性变换的定义和性质3.3 矩阵与线性变换的关系3.4 线性变换的应用第四章：特征值和特征向量4.1 特征值和特征向量的定义4.2 特征值和特征向量的计算方法4.3 矩阵的对角化和对角化公式4.4 特征值和特征向量的应用第五章：线性方程组和矩阵的秩5.1 线性方程组的解法和性质5.2 矩阵的秩的定义和性质5.3 矩阵的秩的计算方法5.4 线性方程组和矩阵秩的应用第六章：二次型6.1 二次型的定义和标准形6.2 二次型的矩阵表示和性质6.3 配方法和消元法求解二次型6.4 二次型的几何意义和应用第七章：线性代数在几何中的应用7.1 向量空间和线性变换在几何中的应用7.2 向量的几何运算和性质7.3 矩阵的几何意义和应用7.4 线性方程组和矩阵秩在几何中的应用第八章：线性代数在概率论和统计中的应用8.1 随机向量和矩阵的概率分布8.2 协方差矩阵和相关系数矩阵8.3 线性回归和最小二乘法8.4 线性代数在数据分析中的应用第九章：线性代数在经济和管理中的应用9.1 线性规划和单纯形法9.2 投入产出分析和线性代数9.3 线性代数在供应链管理中的应用9.4 线性代数在金融分析中的应用第十章：线性代数的进一步研究10.1 特征值和特征向量的进一步研究10.2 矩阵的对角化和谱分解10.3 线性变换的进一步研究10.4 线性代数在其他领域的应用重点和难点解析1. 第一章中，线性代数的意义和应用是一个重点环节。
需要详细解释线性代数在各个领域的重要性，例如在物理学、工程学、计算机科学等领域的应用。
线性代数 幻灯片PPT
• 定义8 设有两个n
• 如果向量组A中每一个向量都能由向量组B 线性表示，那么称向量组A能由向量组B线 性表示.
53
线性代数
• 定理6 设有两个n维向量组
•证
出版社 科技分社
54
线性代数
出版社 科技分社
• 因为A组可由B组线性表示，所以存在矩阵
• 使 A=KB.
• 推论 等价的线性无关向量组所含向量个数 相等.
• 2.7 方 阵 的 • 定义12 对n阶方阵A，如果存在一个n阶方
阵B，使AB=BA=E，那么称A是可逆阵，称B 为A的逆阵，记为B=A-1. • 性质1 如果A可逆，那么逆阵惟一. • 证明 设A有两个逆阵B,C
43
线性代数
出版社 科技分社
44
线性代数
出版社 科技分社
45
线性代数
出版社 科技分社
• 定义11 由单位阵经过一次初等变换得到的 方阵称为初等方阵.
• 3种初等变换对应了3类初等方阵.
• 第1类初等方阵：对调E
39
线性代数
出版社 科技分社
40
线性代数
出版社 科技分社
41
线性代数
出版社 科技分社
42
线性代数
出版社 科技分社
• 定理3 设A=(aij)m×n，对A施行初等行变换， 相当于对A左乘相应的m阶初等方阵，对A施 行初等列变换，相当于对A右乘相应的n阶 初等方阵.
出版社 科技分社
线性代数 课件
本PPT课件仅供大家学习使用 请学习完及时删除处理 谢谢！
1
线性代数
出版社 科技分社
第1章 行列式
• 1.1 预 备 知 • 设有二元一次方程组
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• 如果向量组A中每一个向量都能由向量组B 线性表示，那么称向量组A能由向量组B线 性表示.
53
线性代数
• 定理6 设有两个n维向量组
•证
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54
线性代数
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• 因为A组可由B组线性表示，所以存在矩阵
• 使 A=KB.
• 推论 等价的线性无关向量组所含向量个数 相等.
• 2.7 方 阵 的 • 定义12 对n阶方阵A，如果存在一个n阶方
阵B，使AB=BA=E，那么称A是可逆阵，称B 为A的逆阵，记为B=A-1. • 性质1 如果A可逆，那么逆阵惟一. • 证明 设A有两个逆阵B,C
43
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44
线性代数
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45
线性代数
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• 定义11 由单位阵经过一次初等变换得到的 方阵称为初等方阵.
• 3种初等变换对应了3类初等方阵.
• 第1类初等方阵：对调E
39
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41
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42
线性代数
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• 定理3 设A=(aij)m×n，对A施行初等行变换， 相当于对A左乘相应的m阶初等方阵，对A施 行初等列变换，相当于对A右乘相应的n阶 初等方阵.
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线性代数
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第1章 行列式
• 1.1 预 备 知 • 设有二元一次方程组
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线性代数新教材课件
线性代数新教材课件
目
CONTENCT
录
• 引言 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 特征值与特征向量 • 线性变换与矩阵 • 线性代数在实际问题中的应用
01
引言
线性代数的定义与重要性
线性代数是数学的一个重要分 支，主要研究线性方程组、向 量空间、矩阵等数学对象。它 在科学、工程、技术等领域有 着广泛的应用，是解决实际问 题的重要工具之一。
02 封闭性 线性变换将向量空间中的点集映射到另一个点集。
03
结合律
线性变换满足结合律，即(f+g)(x)=f(x)+g(x)。
04
单位元存在
存在一个恒等映射，满足恒等映射(I)(x)=x。
05 零元存在 存在一个零映射，满足零映射(0)(x)=0。
矩阵表示的线性变换
矩阵与线性变换的关系
矩阵是线性变换的一种表示形式， 通过矩阵可以将线性变换转化为 数值计算。
线性方程组的解的结构
解的唯一性
当系数矩阵的行列式不等于0时，方程组有唯一 解。
解的范围
方程组的解与初始值有关，不同的初始值可能导 致不同的解。
无穷多解
当系数矩阵的行列式为0时，方程组可能有无穷 多解。
解的稳定性
对于某些微小的扰动，方程组的解应保持相对稳 定。
线性方程组的应用
几何问题
线性方程组可用于描述几何图形的位置和运动关系。
THANK YOU
感谢聆听
在计算机科学中的应用
在计算机图形学中，线性代 数中的向量和矩阵被用来描 述和操作二维和三维图形。
在机器学习中，线性代数中 的向量和矩阵被用来表示和 操作数据，训练模型。
ABCD
在计算机视觉中，线性代数 中的向量和矩阵被用来描述 和识别图像中的特征。
目
CONTENCT
录
• 引言 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 特征值与特征向量 • 线性变换与矩阵 • 线性代数在实际问题中的应用
01
引言
线性代数的定义与重要性
线性代数是数学的一个重要分 支，主要研究线性方程组、向 量空间、矩阵等数学对象。它 在科学、工程、技术等领域有 着广泛的应用，是解决实际问 题的重要工具之一。
02 封闭性 线性变换将向量空间中的点集映射到另一个点集。
03
结合律
线性变换满足结合律，即(f+g)(x)=f(x)+g(x)。
04
单位元存在
存在一个恒等映射，满足恒等映射(I)(x)=x。
05 零元存在 存在一个零映射，满足零映射(0)(x)=0。
矩阵表示的线性变换
矩阵与线性变换的关系
矩阵是线性变换的一种表示形式， 通过矩阵可以将线性变换转化为 数值计算。
线性方程组的解的结构
解的唯一性
当系数矩阵的行列式不等于0时，方程组有唯一 解。
解的范围
方程组的解与初始值有关，不同的初始值可能导 致不同的解。
无穷多解
当系数矩阵的行列式为0时，方程组可能有无穷 多解。
解的稳定性
对于某些微小的扰动，方程组的解应保持相对稳 定。
线性方程组的应用
几何问题
线性方程组可用于描述几何图形的位置和运动关系。
THANK YOU
感谢聆听
在计算机科学中的应用
在计算机图形学中，线性代 数中的向量和矩阵被用来描 述和操作二维和三维图形。
在机器学习中，线性代数中 的向量和矩阵被用来表示和 操作数据，训练模型。
ABCD
在计算机视觉中，线性代数 中的向量和矩阵被用来描述 和识别图像中的特征。
线性代数完整版ppt课件
a11x1 a12x2 b1 a21x1 a22x2 b2
求解公式为
x1
x
2
b1a 22 a11a 22 a11b2 a11a 22
a12b2 a12a 21 b1a 21 a12a 21
请观察，此公式有何特点？ Ø分母相同，由方程组的四个系数确定. Ø分子、分母都是四个数分成两对相乘再
主对角线 a 1 1 a 1 2 a 1 3
a 2 1 a 2 2 a 2 3
a11a22a33a12a23a31a13a21a32
副对角线 a 3 1 a 3 2 a 3 3
a13a22a31a12a21a33a11a23a32
称为三阶行列式.
二阶行列式的对角线法则
并不适用！
.
12
三阶行列式的计算 ——对角线法则
( a a a a ) x a b b a 12 12 12 21 2 12 11 21
当 a 1a 1 2 2a 1a 时2 2，1 该0 方程组有唯一解
x b1a22a12b2
1 a a a a
11 22
12 21
x2
a11b2 b1a21 a11a22a12a21
.
6
二元线性方程组
为列标，表明元素位于第j
列. 8
二阶行列式的计算 ——对角线法则
主对角线 a 1 1 副对角线 a 2 1
a 12 a 22
a11a22a12a21
即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
.
9
二元线性方程组
a11x1 a12x2 a21x1 a22x2
b1 b2
若令
D a11 a12 a21 a22
显然 P n n ( n 1 ) ( n 2 )3 2 1 n !
求解公式为
x1
x
2
b1a 22 a11a 22 a11b2 a11a 22
a12b2 a12a 21 b1a 21 a12a 21
请观察，此公式有何特点？ Ø分母相同，由方程组的四个系数确定. Ø分子、分母都是四个数分成两对相乘再
主对角线 a 1 1 a 1 2 a 1 3
a 2 1 a 2 2 a 2 3
a11a22a33a12a23a31a13a21a32
副对角线 a 3 1 a 3 2 a 3 3
a13a22a31a12a21a33a11a23a32
称为三阶行列式.
二阶行列式的对角线法则
并不适用！
.
12
三阶行列式的计算 ——对角线法则
( a a a a ) x a b b a 12 12 12 21 2 12 11 21
当 a 1a 1 2 2a 1a 时2 2，1 该0 方程组有唯一解
x b1a22a12b2
1 a a a a
11 22
12 21
x2
a11b2 b1a21 a11a22a12a21
.
6
二元线性方程组
为列标，表明元素位于第j
列. 8
二阶行列式的计算 ——对角线法则
主对角线 a 1 1 副对角线 a 2 1
a 12 a 22
a11a22a12a21
即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
.
9
二元线性方程组
a11x1 a12x2 a21x1 a22x2
b1 b2
若令
D a11 a12 a21 a22
显然 P n n ( n 1 ) ( n 2 )3 2 1 n !
线性代数教学改革
抽象 = ?
• 抽象 = 难得糊涂:
• 忽略差别,提取共同点
从问题出发 以解决问题为线索 展开教学内容
例:怎样建立向量的坐标
• 有方向和大小的量 坐标化 n 数组 • 向量与坐标运算的对应: 依赖于加法与数乘的运算律(8条公理) 不直接依赖于平行四边形法则 • 基：坐标的唯一性 — 线性无关, 存在性 — 极大无关组 • 向量--- 坐标: 同构 • 坐标变换 --- 数组空间中的坐标变换
线性代数 教学改革
李尚志 教授
中国科学技术大学
数学系
空间为体, 矩阵为用
• 研究对象----几何：线性空间(向量) • 研究工具----代数：矩阵运算 • 向量 (问题) -- modeling 矩阵语言描述 矩阵运算解决 向量(解答) • 与微积分的关系:
非线性 --微积分 线性 --线性代数
0.6
0.8
几何变换
• (x,y) (x’,y’) •x’=f1(x,y), y’=f2(x,y) • 曲线C: x=x(t),y=y(t) 曲线C’: x=f1(x(t),y(t)), y=f2(x(t),y(t))
线性变换
• x’=a1x+b1y, y’=a2x+b2y. • 由矩阵 决定
例:解线性方程组
• 方程(向量)----- 系数组(坐标) • 互为线性组合(初等变换) 同解变形(高斯消去法) • 只用到四则运算--数域的概念 • 关于方程个数的讨论:
方程个数有真假 — 线性无关与线性相关
•
•
•
几个方程? 4个 ? 为何 只剩2个?
•
•
• 有假!--某方程是其余的线性组合--线性相关 • 打假到底 极大无关组 货真价实(秩)2个
线性代数电子教案PPT课件
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节
向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵 实对称矩阵的对角化 二次型与线性变换 二次型的标准形 用配方法化二次型为标准形 正定二次型
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第六章 线性空间与线性变换
第一节 第二节 第三节 第四节
线性空间的定义及性质 维数 基与坐标 基变换与坐标变换 线性变换及其矩阵表示
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Chapter 4 Linear Systems of Equations
Section 1 Existence of Solutions of the Systems of Linear Equations
Section 2 Homogenous Systems of Linear Equations Section 3 Non-homogeneous Systems
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Contents
Chapter1 Determinant Chapter2 Linear Dependence of Sets of Vectors Chapter3 Matrix Chapter4 Linear Systems of Equations Chapter5 Similar matrices and quadratic form Chapter6 Linear Space and Linear Transform
返回
软件说明 总目录 创作集体 使用方法 返回
or a column Section 4 Cramer’s Rule
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Chapter 2 Linear Dependence of Sets of Vectors
and Vector space
《线性代数》说课ppt课件
1.教学内容 2.教学重、难 点 3.教学设计 4.学法设计
22
说课结束，欢迎大家批评指正，谢谢！
2011年5月
23
6
1.3课程目标
本着“基础理论以应用为目的，以必需够用
为度”的指导思想，一方面通过线性代数的教学,不
仅使学生掌握线性代数的相关的基础知识、基本理
课 论,有较熟练的运算技能一方面使学生获得该课程的
程
基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习有关 专业课程和扩大数学知识面提供必要的数学基础，
目 另一方面通过各个教学环节，逐步培养学生的抽象
段学习成绩差，学习态度学不端法
正，有的甚至自暴自弃。
学习态度不端正 水平参差不齐
符合学生实际情况
教学方法
16
3.2制订大纲
学情分析
学法
必须
够用
实用
教学大纲
17
3.3教学手段
目前来说，线性代 数的教学方式还是以黑 板加粉笔为主，在今后 的教学中要逐步加入多 媒体教学、网上共享教 学资源或线上教学，这 是教学发展的一个趋势， 但是也要注意网络化教 学手段与传统教学的衔 接过度，以达到最佳教 学效果为依据进行改革 创新。
线上教学
教学资源上网
多媒体教学 黑板加粉笔
18
3.4教学过程实施
12
3
4
5
6
问
历
概例
课
归
布
题
史
念题
堂
纳
置
提
介
介讲
练
总
作
出
绍
绍解
习
结
业
19
3.4.6布置作业
作业是课堂教学中不可缺少的环节
线性代数教案PPT资料(正式版)
从而方程组有惟一一组解，即只有零解.
任何一个方程都不能由其
余方程经过同解变换得到 任何一个向量都不能由其余 则称向量组
线性相关；
（1）线性方程组的系数行列式不等于零 方程组有惟一解 方程组没有多余的方程 任何一个方程都不能由其余方程经过同解变换
向量线性表示这个方程组对应的n个向量线性无关； 得到 任何一个向量都不能由其余向量线性表示 这个方程组对应的n个向量线性无关；
因此确定方程的个数非常重要。要知道某个方程能不能由其他 方程经过同解变换得到，只要知道这个方程相应的向量能不能 用其他方程对应的向量线性表示出来就行了。
向量的线性关系
定义：设 使得
，如果存在一组数
则称向量 可以由向量组
线性表示，或者称向
量 是向量组
的线性组合.
由定义知：零向量是任意向量组的线性组合.
向量的运算律
加法运算律：
数乘运算律：
由以前解线性方程组的经验知道，对于方程组
a11x1 a12x2 a1nx来自 b1 a2 1x1 a22x2 a2nxn b2 am1x1 am2x2 amnxn bm
方程的个数与未知数的个数的大小关系决定方程组解的个数： 当方程的个数大于未知数的个数：无解； 当方程的个数等于未知数的个数：有惟一解； 当方程的个数小于未知数的个数：有无穷多解.
示这个方程组对应的n个向量线性相关.
小结
练习
课本P63 习题二
（1）（2） （1）（3）
小结
本节要求掌握内容： 1. 线性相关性的定义与结论； 2. 讨论向量组线性相关性的常用方法； 3. 线性相关性的两个充要条件； 4. 向量的线性相关性与线性方程组的关系.
相当于对数组
进行相应的运算。
任何一个方程都不能由其
余方程经过同解变换得到 任何一个向量都不能由其余 则称向量组
线性相关；
（1）线性方程组的系数行列式不等于零 方程组有惟一解 方程组没有多余的方程 任何一个方程都不能由其余方程经过同解变换
向量线性表示这个方程组对应的n个向量线性无关； 得到 任何一个向量都不能由其余向量线性表示 这个方程组对应的n个向量线性无关；
因此确定方程的个数非常重要。要知道某个方程能不能由其他 方程经过同解变换得到，只要知道这个方程相应的向量能不能 用其他方程对应的向量线性表示出来就行了。
向量的线性关系
定义：设 使得
，如果存在一组数
则称向量 可以由向量组
线性表示，或者称向
量 是向量组
的线性组合.
由定义知：零向量是任意向量组的线性组合.
向量的运算律
加法运算律：
数乘运算律：
由以前解线性方程组的经验知道，对于方程组
a11x1 a12x2 a1nx来自 b1 a2 1x1 a22x2 a2nxn b2 am1x1 am2x2 amnxn bm
方程的个数与未知数的个数的大小关系决定方程组解的个数： 当方程的个数大于未知数的个数：无解； 当方程的个数等于未知数的个数：有惟一解； 当方程的个数小于未知数的个数：有无穷多解.
示这个方程组对应的n个向量线性相关.
小结
练习
课本P63 习题二
（1）（2） （1）（3）
小结
本节要求掌握内容： 1. 线性相关性的定义与结论； 2. 讨论向量组线性相关性的常用方法； 3. 线性相关性的两个充要条件； 4. 向量的线性相关性与线性方程组的关系.
相当于对数组
进行相应的运算。