离散时间信号
实验一 离散时间信号的频域分析
实验一离散时间信号的频域分析一实验目的：信号的变换域分析是信号处理中一种有效的工具。
在离散信号的时域分析中，我们通常将信号表示成单位采样序列δ[n]的线性组合，而在频域中，我们将信号表示成复变量e-jwn或e-j(2*pi/N)n的线性组合，通过这样的表示，可以将时域的离散序列映射到频域以便于进一步的处理。
在本实验中，将学习利用MATLAB计算离散时间信号的DTFT和DFT，并加深对其相互关系的理解。
二实验原理：（1） DTFT和DFT的定义及其相互关系：序列x[n]的DTFT定义：X（e jw）=∑x[n]e-jnw（n从负无穷到正无穷）它是关于自变量w的复函数，且是以2*pi为周期的连续函数。
X（e jw）可以表示为：X（e jw）=X re（e jw）+ jX im（e jw）其中，X re（e jw）和X im（e jw）分别是X （e jw）的实部和虚部；还可以表示为：X（e jw）= |X（e jw）|e jØ(w)其中。
|X（e jw）|和Ø(w)=arg{ X（e jw）}分别是X（e jw）的幅度函数和相位函数；它们都是w的实函数，也是以2*pi为周期的周期函数。
序列x[n]的N点DFT定义：X[k]=X(e j(2*pi/N)k)=∑x[n]e-j(2*pi/N)kn (0<=n<=N-1)X[k]是周期为N的序列。
X（e jw）与X[k]的关系：X[k]是对X（e jw）在一个周期中的谱的等间隔N点采样，即：X[k]= X（e jw）|w=(2*pi/N)k而X（e jw）可以通过对X[k]内插获得。
（2）使用MATLAB命令：A.基于DTFT离散时间信号分析函数:freqz,real,imag,abs,angle,unware.函数freqz可以用来计算一个以e jw的有理分式形式给出的序列的DTFT值。
Freqz的形式多样，常见的有H=freqz(num,den,w),其中num表示序列有理分式DTFT的分子多项式系数，den表示分母多项式系数（均按z的降幂排列），矢量w表示在0到2*pi中给定的一系列频率集合点。
数字信号处理复习 (3)
式。
4、正弦型序列
x(n) sin(n )
要求：会判断正弦型序列的周期性
四、正弦序列的周期性
x(n) sin(n ) 的周期有三种情况：
2 1 、 N 是整数，则x(n)是周期序列，周期为N；
2 P 2、 是有理数，（其中P、Q为互质整数)， Q
则x(n)是周期序列，周期为P；
m
x ( m) h ( n m)
上式中，若序列x(n)和h(n)的长度分别是M和L,
则y(n)的长度为L+M-1。
三、几种常用序列 1、单位抽样序列δ(n) （1）定义式
1 (n 0) ( n) 0 (n 0)
1 (n m) ( n m) 0 (n m)
n
1.2 线性、移不变（LSI）系统 一、线性系统： 若y1(n)=T[x1(n)]、y2(n)=T[x2(n)]， 则a1 y1(n)+ a2y2(n)=T[a1x1(n)+ a2x2(n)]
例：判断下列系统是否线性系统。
y(n)=x(n)+1 y(n)=x(n+5) y(n)=x(3n)
二、移不变系统：
当n<0时，h(n)=0，则系统是因果系统。
例：下列单位抽样响应所表示的系统是否因果系统? A.h(n)=δ(n) C.h(n)= R10(n) B.h(n)=u(n) D.h(n)=e-20nu(n)
五、稳定系统 1、稳定系统的定义： 稳定（BIBO）系统是指当输入有界时，输出也有界的系统。 例：判断下列系统是否稳定系统。 y(n)=x(n-2)
二、掌握用留数法求Z反变换的方法
例：已知
X( z) 1 (1 2 z 1 )(1 1.2 z 1 )
离散信号 知识点总结
离散信号知识点总结一、离散信号的定义离散信号是指在离散时间点上的取样值的集合。
在数学上，它可以用一个序列来表示，即{..., x[-2], x[-1], x[0], x[1], x[2], ...}。
其中，x[n]表示在时刻n处的取样值，n为整数。
离散信号与连续信号相对，连续信号是在连续的时间上取值的，而离散信号是在离散的时间上取值的。
二、离散信号的性质1. 有界性：离散信号通常是有界的，即存在一个有限的范围，超出这个范围时信号值为零。
2. 周期性：某些离散信号是周期的，即满足x[n+N]=x[n]的性质，其中N为周期。
3. 非周期性：另一些离散信号是非周期的，即没有周期性结构。
4. 平稳性：离散信号的平稳性是指信号的统计特性在时间平移后保持不变，即x[n]=x[n-k]。
若满足这个条件，则称该信号是平稳的。
5. 因果性：对于实际系统的输入信号来说，它通常是因果的，即在某一时刻的取值只取决于之前时刻的取值。
三、离散信号的表示离散信号可以通过多种方式来表示，包括序列表示法、块状表示法、方块表示法等。
其中，序列表示法是最常见的一种表示方法。
在序列表示法中，离散信号可以通过一列有序的数值来描述，例如{x[0], x[1], x[2], ...}。
这种表示方法简单直观，便于分析和处理。
四、离散信号的处理方法离散信号的处理方法包括离散信号的运算、变换和滤波等。
其中，离散信号的运算主要是指对离散信号进行加法、乘法、卷积等运算。
这些运算可以通过离散信号的表示法来实现。
另外，离散信号的变换主要是指离散信号的傅里叶变换、离散余弦变换等。
这些变换可以用于信号的频域分析和压缩。
最后，离散信号的滤波是指通过滤波器来对信号进行频率选择和抑制。
常见的滤波器包括低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器等。
总之，离散信号是一种在离散时间点上取样的信号，在信号处理中具有重要的作用。
通过对离散信号的定义、性质、表示和处理方法的总结，可以更好地理解离散信号的特点和应用。
2离散时间信号和系统的时域分析
设两对激励与响应x1 (n) → y1 (n), x2 (n) → y2 (n) 则c1x 1(n) + c2 x 2 (n) → c1 y1 (n) + c2 y2 (n)
x1 (n)
离散时间系统
y1 (n)
c1 x1 (n) + c2 x2 (n)
x(2n) 6 5 4 3 2 1 -1 0 1 2 3 4 n
抽取
插值
1.4 序列的简单运算
6）差分 前向差分
∆x(n) = x(n + 1) − x(n)
序列样值与其前面相邻的样值相减 序列样值与其前面相邻的样值相减 前面 后向差分
∇ x ( n ) = x ( n ) − x ( n − 1) ∇ 2 x ( n ) = ∇ [∇ x ( n ) ] = x ( n ) − 2 x ( n − 1) + x ( n − 2)
3.3 解
k =0 k r =0 r
N
M
阶数等于未知序列变量序号的最高与最低值之差。 阶数等于未知序列变量序号的最高与最低值之差。 一般因果系统用后向形式的差分方程
3.2 离散和连续系统的数学模型 联系
即差分方程与微分方程的关系 即差分方程与微分方程的关系
3.3 解
求解方法
法
递推法 时域法 时域经典法 零输入与零状态求法 变换域法：利用Z 变换
原 序 列 ========= 新 序 列
1 n (1 2 ) , n ≥ − 1 x(n) = 2 0, n < −1
x(n) 1
x(n+1) 1
1/2 1/4 1/8 -2 2 -1 1 0 1 n
离散时间系统概念附常见离散信号
连续时间信号：一般也称模拟信号。
连续时间系统：系统的输入、输出都是连续的时间信号。
离散时间信号：离散信号可以由模拟信号抽样而得，也可以由实际系统生成。
离散时间系统：系统的输入、输出都是离散的时间信号。
如数字计算机。
量化：采样过程：就是对模拟信号的时间取离散的量化值过程。
——得到的就是离散信号。
幅值量化：幅值只能分级变化。
数字信号：离散信号在各离散点的幅值被量化的信号。
系统分析：连续时间系统——微分方程描述时域分析：经典法（齐次解 + 特解）【零输入响应 + 零状态响应】变换域分析（频域分析）：拉氏变换法。
离散时间系统——差分方程描述时域分析：经典法（ 齐次解 + 特解 ） 【零输入响应 + 零状态响应】 变换域分析（频域分析）：Z 变换法。
离散时间系统的数学模型——差分方程 单位序列： 时移性：比例性：抽样性： δ(k)与δ(t) 差别:0,0()1,0k k k δ≠⎧=⎨=⎩k O ()k δ110,()1,k j k j k j δ≠⎧-=⎨=⎩k (1)k δ-11O (),()c k c k j δδ-()()(0)()f k k f k δδ=⎩⎨⎧≠=∞=000)(t t t δ1)(=⎰∞∞-dt t δ• δ(t)用面积表示强度， (幅度为∞,但强度为面积)；• δ(k)的值就是k=0时的瞬时值（不是面积）；• δ(t) ：奇异信号，数学抽象函数； • δ(k)：非奇异信号，可实现信号。
利用单位序列表示任意序列单位阶跃序列： ⎩⎨⎧=≠=0,10,0)(k k k δ0()()()i x k x i k i δ∞==-∑10()00k k k ε≥⎧=⎨<⎩k 0()k ε111-23Λ0()()(1)(2)(3)()i k k k k k k i εδδδδδ∞==+-+-+-+=-∑L是和差的关系。
矩形序列：单边指数序列：()()(1)k k kδεε=--()()k kδε与101()00,Nk NG kk k N≤≤-⎧=⎨<≥⎩()()()NG k k k Nεε=--()()kx k a kε=正弦序列：复指数序列：()cos()x k A k φ=Ω+()cos sin j k x k e k j kΩ==Ω+Ω。
2_5_离散时间基本信号
n
[ n]
k
r[k 1]
n
u[n]
k
u(t)与u[k]的区别
1 k 0 u[k ] 0 k 0
u[k ]
1
2 1 0 1 2
k
u (t )
1 t 0 u( t ) 0 t 0
1
0
t
(t)与[k]的区别
0 k 0 [k ] 1 k 0
00.8p
00.9p
0p
[例]判断下列离散序列是否为周期信号
(1) x1[k]=cos(kp/6)
0 p/6 0 /2p = 1/12, 其为有理数， 0 所以离散序列x1[k]的周期N12。
x1[k]
k
(2) x2[k]=cos(k/6)
0 1/6 0 /2p 1/12p, 0 1/12p是非有理数，
t kT ,
0 0T
cos(0k)当角频率0从0增加到p时的波形
1 1
1
0
0
0
-1 0 10
-1
-1
00
20
30
40
0
10
00.1p
20
30
40
0
10
20
30
40
00.2p
1
1
1
0
0
0
-1 0 10 20 30 40
-1 0 10 20 30 40
-1 0 10 20 30 40
[k ]
1
2 1 0 1 2
k
(t)=0 , t0
(t )
(1)
0
ò
+¥ -¥
离散功率谱密度计算公式
1. 离散时间信号的功率谱密度定义。
- 设离散时间信号x[n]为能量有限信号，其能量E=∑_n =-∞^∞| x[n]|^2。对于功率信号（x[n]满足平均功率有限），其平均功率P=lim_N→∞(1)/(2N + 1)∑_n=-N^N| x[n]|^2。
- 离散时间信号x[n]的自相关函数r_xx[m]定义为r_xx[m]=∑_n =-∞^∞x[n]x[n + m]（对于功率信号r_xx[m]=lim_N→∞(1)/(2N+1)∑_n=-N^Nx[n]x[n + m]）。
- 对上述式子进行化简可得P_xx(e^jω)=(1)/((1 - ae^-jω))(1 - ae^{jω)}。
- 根据维纳 - 辛钦定理，离散时间信号x[n]的功率谱密度P_xx(e^jω)是其自相关函数r_xx[m]的离散时间傅里叶变换（DTFT），即P_xx(e^jω)=∑_m =-∞^∞r_xx[m]e^-jω m，其中ω∈(-π,π]。
2. 计算示例。
- 例如，已知离散时间信号x[n]=a^nu[n]（| a|<1，u[n]为单位阶跃序列）。
- 首先求自ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ关函数r_xx[m]：
- 当m≥slant0时，r_xx[m]=∑_n = 0^∞a^na^n + m=frac{a^m}{1 - a^2}。
- 当m<0时，r_xx[m]=r_xx[-m]=frac{a^-m}{1 - a^2}。
- 然后求功率谱密度P_xx(e^jω)：
-P_xx(e^jω)=∑_m =-∞^∞r_xx[m]e^-jω m=∑_m = 0^∞frac{a^m}{1 - a^2}e^-jω m+∑_m =-∞^- 1frac{a^-m}{1 - a^2}e^-jω m
单位脉冲序列
(1-10)
N 1
RN (n) (n m) (n) (n 1) [n (N 1)] m0
(1-11)
第1章 离散时间信号与系统
4．实指数序列
x(n) anu(n)
式中，a为实数。当|a|<1 时，序列是收敛的; 而当|a|>1时， 序列是发散的。a为负数时，序列是摆动的。
y(n) x(m)h(n m) x(n) h(n) (1-1) m
性质：卷积与两序列的先后次序无关，即
y(n) x(n) h(n) h(n) x(n)
第1章 离散时间信号与系统
离散卷积运算可以分为4步： （1） 翻褶：先在变量坐标m上作出x(m)和h(m)， 将h(m)以
0 0T 0
1 fs
2
f0 fs
第1章 离散时间信号与系统
式中, fs是采样频率。可以看出，ω0是一个相对频率，它是 连续正弦信号的频率f0对采样频率fs的相对频率乘以2π，或 说是连续正弦信号的角频率Ω0对采样频率fs的相对频率。用 ω0代替Ω0T， 可得
x(n) Asin(n0 )
y(n) T[x(n)]
(1-16)
离散时间系统中最重要、 最常用的是“线性时不变系统”。
第1章 离散时间信号与系统
1.2.1 线性系统
满足叠加原理的系统称为线性系统，即若某一输入是 由N个信号的加权和组成，则输出就是系统对这几个信号 中每一个的响应的同样加权和组成。
如果系统在x１(n)和x2(n)单独输入时的输出分别为y1(n) 和y2(n) 即:
现在讨论上述正弦序列的周期性。
由于 则
x(n) Asin(n0 )
1.3常用离散时间信号及其时域特性 《信号与系统》课件
f k
yk f k
• •• • •
•
•
•
• -4
-3
-2
-1
01
2
3
4
k
•••••
•
•
•
-4 -3 -2
-1
0
1
2
3
• 4
k
序列的反褶
3、序列的展缩(尺度变换)
序列展缩是指将离散时间信号在时间序号上进 行压缩或扩展，即
y k f ak a为非零的正实常数
注意，只有当ak取整数时y k 才有意义
k uk uk 1
单位阶跃序列是单位脉冲序列的累加和，即
k
uk n k m
n
m0
3、单位举行序列(门序列)
GN
k
1 0
0 k N 1 k =others
GN k
矩形序列共有N个幅度
为1的函数值，如图所示。 它类似于连续时间函数中的 矩形脉冲。单位矩形序列可 以用单位阶跃序列表示为:
f k Asin 0k 或 f k Acos0k
式 为中 初相。0 其是中正弦序0 、列的和数字的角量频纲率为，弧A为度正。弦0 序的列取的值振范幅围，为0或~2
设正弦序列的周期为N，根据周期函数的定义，可有
sin 0k sin 0 k N
将ω0＝2π/a代入，可得
sin
2
…
-1 0 1 2 3
N-1 N k
GN k u k u k N
图 矩形序列
4、斜变序列
斜变序列的表达式
Rk
R k ku k
如图所示。显然，R(k)与
连续函数中的斜坡函数类
似。
实验二 绘制常用离散时间信号
实验二绘制常用离散时间信号一、实验目的1）了解常用离散时间信号及其特点2）掌握matlab产生常用离散时间信号的方法二、实验原理信号是对时间变化的物理量，离散信号是指在某些不连续的时间点上有信号值，其它时间点上信号没有定义的一类信号。离散信号一般可以利用模数转换由连续信号而得到，计算机所能处理的只是离散信号。常用的离散信号有；单位抽样信号δ(n),单位阶跃信号u(n),单边指数序列anun,正弦序列
Asin(ωn+φ),矩形序列RN(n)等等。
绘制离散时间信号用stem函数调用格式：stem(x,y):在x坐标上绘制高度为y的杆图。三、实验内容（1）单位脉冲序列δ(n)n=[-2:4];y=[0010000];subplot(2,2,1);stem(n,y,'.');xlabel('n');ylabel('\delta(n)');
（2）单位阶跃序列>>x=ones(1,30);
>>n=0:29;>>stem(n,x)>>xlabel('n');>>ylabel('u(n)');>>axis([0max(n)02]);
（3）有限长序列>>x=[12423];>>n=-2:2;>>stem(n,x);>>xlabel('n');>>ylabel('x(n)');
（4）单边指数序列>>n=0:10;>>x1=power(0.8,n);>>stem(n,x1,'linewidth',2);>>xlabel('n');>>ylabel('a^n');>>axis([n(1)n(end)-1.51.5]);>>text(7,1,'a=0.8');（5）正弦序列>>n=0:31;>>w0=pi/8;>>x=sin(w0*n);>>stem(n,x,'linewidth',2);>>xlabel('n');>>ylabel('x(n)');>>axis([0max(n)-1.11.1]);
（6）矩形序列N=11;n=(0:N-1);w=window(@rectwin,N);stem(n,w,'linewidth',2);xlabel('n');ylabel('R_N(n)');ylim([01.5]);四、实验报告1、实验心得2、列写实验程序，附程序解释和图形结果