数列的极限及运算法则
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数列的极限及其运算法则
学习要求：
1．理解数列极限的概念。正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中
认识质变的一种辩证唯物主义的思想
2．理解和掌握三个常用极限及其使用条件．能运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力．
3．掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列的极限
4. 掌握无穷等比数列各项的和公式.
学习材料：
一、基本知识
1.数列极限的定义：
一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列}{na的项na无限趋近于．．．．．某个常数a（即naa无限趋近
于0），那么就说数列}{na以a为极限，或者说a是数列}{na的极限．记作limnnaa，读作“当n趋向
于无穷大时，na的极限等于a”
“n”表示“n趋向于无穷大”，即n无限增大的意思limnnaa有时也记作：当n时，naa．
理解：数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.
“随着项数n的无限增大，数列的项na无限地趋近于某个常数a”的意义有两个方面：一方面，数列的项
na趋近于a是在无限过程中进行的，即随着n的增大na越来越接近于a；另一方面，n
a
不是一般地趋近
于a，而是“无限”地趋近于a，即naa随n的增大而无限地趋近于0.
2.几个重要极限：
（1）01limnn （2）CCnlim（C是常数）
（3）lim0nna (a为常数1a)，当1a时，lim1nna；当1a或1a时，limnna不存在。
3. 数列极限的运算法则:
与函数极限的运算法则类似, 如果,lim,limBbAannnn那么
BAbannn)(lim BAbannn)(lim
BAbannn.).(lim
)0(limB
BAb
a
n
n
n
特别：若C为常数，则lim()limnnnnCacaCA
推广：上面法则可以推广到有限．．多个数列的情况如，若na，nb，nc有极限，则
nnnnnnnnn
ncbacba
limlimlim)(lim
'.
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二、基本题目
1．判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由
（1）1，21，31，…，n1，… ；
（2）3452,,,,234…，1(1)nnn，…；
（3）1010100(10)1(10)nnann
2.（1）若1lim()02nnaa，则a的取值范围是 。
（2）数列}{na的前n项和为nS，且213nnSa，求limnna的值。
3． 已知,5limnna3limnnb，求).43(limnnnba
解：因为,5limnna3limnnb，
所以 lim(34)lim3lim43lim4lim15123nnnnnnnnnnnababab
4． 求下列极限：（1）)45(limnn；（2）2)11(limnn
解：（1）44lim(5)lim5lim505nnnnn；（2）22211lim(1)(limlim1)(01)1nnnnn
5． 求下列极限：
(1))21(lim2nnn. (2)nnn23lim. (3)232lim22nnnn. (4)24323limnnnnn.
解：(1)0001lim202lim1lim)21(lim22nnnnnnnnn.
(2) (方法一)3031lim232lim3lim)23(lim23limnnnnnnnnnn.
(方法二)∵n，∴0n.分子、分母同除n的最高次幂.
3131lim)23(lim123lim23lim
nnnnnnnn
.
第二个题目不能体现“分子、分母同除n的最高次幂”这个方法的优势.这道题目就可以.使用上述方
法就简单多了.因为分母上是232n，有常数项，所以 (2)的方法一就不能用了.
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(3)3203022lim3lim1lim2lim)23(lim)12(lim2312lim232lim22222nnnnnnnnnnnnnnnnn.
规律一：一般地，当分子与分母是关于n的次数相同的多项式时，这个公式在n时的极限是分
子与分母中最高次项的系数之比.
(4)分子、分母同除n的最高次幂即4n，得.
002001lim2lim1lim3lim1213lim23lim2323243
nnnnnnnn
nn
nn
nn
nn
.
规律二：一般地，当分子、分母都是关于n的多项式时，且分母的次数高于分子的次数时，当
n
时，这个分式极限为0.
6．求下列极限.
(1))13(lim2nnnn. (2)21323limnnn. (3)1513limnnn.
解：(1)11131lim13lim13lim)13(lim222nnnnnnnnnnnnnnn.
(2)30103211323lim21323limnnnnnnnn.
(3)001001lim1lim5lim13lim11513lim1513lim22nnnnnnnnnnnnnnnn.
说明：当n无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不
能直接运用两个（或几个）函数（或数列）的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不
一定不存在
7． 求下列极限：
（1） )112171513(lim2222nnnnnn；（2）)39312421(lim11nnn
解：先求和再求极限
（1）
)112171513(lim2222
nnnnn
n
'.
;.
2
222
2
2
[3(21)]1357(21)22limlimlimlim111111nnnnnnnnnnnnnn
（2）11212[()]1242212(21)33lim()limlimlim011139331(31)123nnnnnnnnnnnnn
8． 公比绝对值小于1的无穷等比数列前n项和的极限
公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项的和，当n无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列
各项的和.
设无穷等比数列,,,,,112111nqaqaqaa的公比q的绝对值小于1，则其各项的和S为
qaS1
1
)1(q
（1） 求无穷等比数列0.3， 0.03， 0.003，… 各项的和.
解：0.3， 0.03， 0.003，…的首项10.3a，公比0.1q所以 s=0.3+ 0.03+ 0.003+…=0.3110.13
（2）将无限循环小数。。92.0化为分数.
解：0.290.290.00290.000029＝224621111291029()29110101099110
练习：如图，在边长为l的等边ABC中，圆1O为ABC的内切圆，圆2O与圆1O外切，且与,ABBC相
切，…，圆1nO与圆nO外切，且与,ABBC相切，如此无限继续下去，
记圆nO的面积为*()nanN.
(Ⅰ)证明{}na是等比数列；
（Ⅱ）求12lim()nnaaa的值.
数列的极限
n 2 2n 2. lim 2 n 2n - n 3
n
n n - n 1 3. lim n n
4 3 4
6. lim 2
n
n 2 1
4. lim( n2 n 1 - n)
n
19
当 n , 此数列的极限为 0 . 由于 -1
n 1
1 1 -0 n n
1 要使 多么小, 只需 n 增大到一定程度即可. n 1 1 n 1 1 10 如要使 - 1 只需 n - 0 0.1 0 .1 n n 1 1 n 1 1 要使 - 1 - 0 0.01 只需 n 0.01 100 n n
1.3 数列的极限
一、数列的概念
数列、 数列的几何意义
二、数列的极限
极限的定义、 数列极限的几何意义
三、收敛数列的性质
极限的唯一性、有界性、有序性和保号性 收敛数列与其子数列间的关系
四、计算数列的极限
1
一、数列的概念
一个实际问题 用渐近的方法求圆的面积：
用圆内接正多边形的面积近似（逼近）圆的面积：
n n n
16
讨论：
1 ．对某一正 e 0 ， 如果存在正整数N ， 使当 n>N 时，有 |xn- a|< e0． 是否有 lim xn a
n
?
2．如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界．发散的数 列是否一定无界? 有界的数列是否收敛?
3．数列的子数列如果发散， 原数列是否发散 数列的两
个子数列收敛，但其极限不同， 原数列的收敛性如何 发散的 数列的子数列都发散吗？ 4．如何判断数列 1，-1，1，-1， … ，(-1)n+1， … 是发散的？
极限的概念和运算法则
2. 自变量趋于有限值时函数的极限
x2 1 例 4 讨论函数 y f ( x ) 当 x 无限趋近于 1 时的变化趋势. x 1 解 该函数的图像是直线 y x 1上除去点 （1， 以外的部分， 2）
如图可以看到， 此函数在 x ＝1 处虽然没有定义， 但是当 x 从 x ＝ x2 1 1 处的左右两边分别越来越接近 1 时，函数 f ( x) 的值越 x 1 来越趋近于 2。
推论2
lim f ( x) lim f ( x) . 如果 lim f ( x)存在, n为正整数, 则 x x x x0 0 x x0
n
x x0
x x0
n
例7
x 1
求 lim(3x 2 2 x 1).
x 1
解 lim(3x 2 2 x 1) lim3x 2 lim 2 x lim1
x x0 x x0 0 x x0 0
1, x 0. 例6 求函数 f ( x) sgn x 0, x 0, 1, x 0
当x 0时的左右极限, 并讨论极限 lim f ( x)是否存在.
x 0
解
y
x 0, f (0 ) lim f ( x) lim ( 1) 1,
y
2 1
x2 1 y x 1
Ｏ
1
x
定义
设函数f ( x)在点x0的某一邻域内( x0可以除外)有定义.
如果当x无限接近于定值x0 ,即x x0 ( x不等于x0 )时,函数f ( x)
的值无限接近于一个确定的常数A, 则A叫作函数f ( x)当x x0
时的极限, 记做
x x0
数列的极限
limlim3
n n
2
-nlinlmimn2n212
3 2 0 0 3
变式练习：
（1）已知lim an2 n n 3n2 b
=2 , 求a的值
(6
)
（2）求lim x
2x2 3x2
x 2
2
的极限（
3
）
(3)
若
lim (2x
x
ax2
2x 2) 1 bx
n2
(2) lim[ 1 1 1
1
]
n 2 5 58 811
(3n 1) (3n 2)
小结与反思：
1、本节知识结构
函数的极限
函数极限的四则运 算法则
数列的极限
数列极限的四则运 应用
算法则
求分式的极限 求无限项和的极限
2、思想方法反思
(1) 一般地，当分子分母是关于n的的多项式时，①若分子分母的
优质课评选
课题：数列极限的四则运算
授课人：刘殿仓
复习 回顾
函数极限的四则运算法则：
如果 lim f (x) a, lim g(x) b,那么
xx0
xx0
lim [ f (x) g(x)] a b lim [ f (x) g(x)] a b
xx0
xx0
lim f (x) a (b 0) xx0 g(x) b
,则a=__-_4__b=_2______
注：
求 x 的函数极限问题转化为求 n 的数
列极限问题
例2
求
lim
n
1
2
3 n2
第一节 数列的极限
yn
a. b
例4.
求 lim n2 a2 . 其中a为常数.
n
n
例5. 求 lim 2n3 n 1. n 3n3 1
例6. 求 lim ( n 2 n ) n
例7. 求 lim 2n n
小结
• 极限概念 • 部分的极限运算
几何意义: 由于| xna |< a <xn< a xn(a , a +)=U(a, ).因此, 所谓xn
以a为极限, 就是对任何以a为心, 以
任意小的正数 为半径的 邻域,总
能找到一个N, 从第N+1项开始, 以
后各项都落在邻域 U(a, ) 内,而只 有有限项落在U(a, )外部.看图.
无限增大时的极限, 或称{xn}收敛于a,
记作
lim
n
xn
a
, 或,
xn a(n )
这时, 也称{xn}的极限存在, 否则, 称{xn}的 极限不存在, 或称{xn}是发散的.
若 >0, 正整数N, 使得当n>N 时, 都有|xna|<,
则记lim n
xn
a
比如, 对于刚才的数列1. 有 lim (1 1 ) 1
证. 若 q = 0 , 结论显然成立. 设 0 < |q |<1. 现在, xn = qn, a = 0.
> 0. (要证N, 当n>N时, 有 |qn 0| < )
因 | xn a | = |qn 0| = |qn | = |q | n ,
要使| xn a | < , 只须 |q | n < 即可.
|xn1| 会越来越接近于0.
事实上,
|
2018年最新 极限的四则运算(数列极限、函数极限) 精品
25 a 0 b 2 5 a
解得： a=25,b=20。
例5、求下列数列的极限：
1 2 3 n 1 lim 2 n n 1 3 7 2n 1 2 lim ( n ) n 2n 4n 8n 2 n
1 1 1 1 3 lim [ ] n 2 5 3n 13n 2 5 8 8 11
n
(5n an2 bn c )(5n an2 bn c ) 5n an2 bn c
5n an2 bn c c （25 a)n b n 2 lim n b c 5 a 2 n n
n
lim
25n 2 (an2 bn c)
x x
lim （f(x) · g(x)）=a· b；
f(x) a lim = x g(x) b (b≠0) 注：1）可推广到有限个数列的极限运算; 2)由此可得：
x
n=an。 lim lim [C · f (x)] =Ca (C 为常数）； ( f(x) )
x
（2）、当xxo时，函数f(x)极限的运算法则：
≠
x
lim
x2 3
3
x3 1
∴
lim
x2 3 x3 1
x 3
不存在。
例2、求极限：
x x 1 1) lim 4 x 2 x x 2
3
2) lim( x 1 x 1)
2 2 x
x x 3) lim( 2 ) x 2 x 1 2x 1
lim f(x) =a, 如果 x x
o
x
lim g(x) =b, x
o
1.2数列的极限及运算-同济大学高数(第七版)上册
0 ; 当a
0时，xn
a 2
0.
推论
若数列{xn}从某项起有xn
（ 0 或xn
0），且 lim n
xn
a
,
那么a （ 0 或a 0）. (用反证法证明)
第18页，共24页。
子数列的概念
定义 在数列{xn}: x1 , x2 , , xn , 中，任意抽取无限多项,并保持它们在 原数列中的先后次序,这样得到的一个数列成为原数列的子数列 .
n
xn
yn
0
.
第17页，共24页。
定理3 （保号性）
若 lim n
xn
a
, 且a
0(或a
0)，那么存在正
整数N，当n N 时，都有xn （0 或xn 0）.
证
lim n
xn
a
0, N
N ,当n
N时，有 xn
-a
.
取
a 2
，有
xn
a
a ，从而a 2
a 2
xn
a
a 2
,
当a
0时，xn
a 2
数列是整标函数: xn f (n) , n 1,2,,可表示为 {xn}：x1 , x2 , , xn , ；其中，为数列的通项 .
例如： 2,4,8,,2n ,;通项为2n ;
1 2
,
1 4
,
1 8
,,
1 2n
,; 通项为
1 2n
在几何上： 数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次 取x1，x2，x3，… xn，…
x3 o x1 x2 x4 xn x
第4页，共24页。
问题：当n无限增大时，对应的f(n)能否无限接近于某个确定的数值？
数列的极限、性质及运算
【11】
PAIK (HONGKONG) GROUP HOLDING LIMITED
若 >0, 正整数N, 使得当n>N 时,
都有|xna|<, 则记 ln i 为 m xna.
例1.
若xn=c
(常数),
则
lim c
n
c
证: >0. 由于|xn–1|=|c – c|= 0
取N=1, 当n>N时, 有|xn–c |=0<
若 >0, 正整数N, 使得当n>N 时,
都有|xna|<, 则记 ln i 为 m xna.
比如, 对于刚才的数列1. 有 lim(1 1) 1 n n
nl im(n1)n 0, 而 nl i m (1)2n1和 nl i m n2不存 . 在
LISP 主导国际科技专家
Leading International Scientific Professional
说明: N 与 有关, 但不唯一. 取 N11
不一定取最小的故N也. 可取
N[
1
]
LISP 主导国际科技专家
Leading International Scientific Professional
【14】
机动 目录 上页 下页 返回 结束
PAIK (HONGKONG) GROUP HOLDING LIMITED
1
0,欲使
即
只要
n
1
因此 , 取 N [ 1 ] , 则当 nN时, 就有
n(1)n 1
n
故
nl i m xnnl i m n(n1)n1
LISP 主导国际科技专家
Leading International Scientific Professional
有理数的数列运算与极限计算方法
有理数的数列运算与极限计算方法数学是一门严谨而又精确的学科，对于有理数的数列运算和极限计算方法，它涉及了一系列的概念和技巧。
本文将介绍有理数的数列运算和极限计算方法，并探讨其应用。
一、有理数的数列运算1. 有理数数列的定义有理数数列是按照一定顺序排列的有理数的集合。
它可以用以下形式表示：{a₁, a₂, a₃, ...}，其中a₁, a₂, a₃, ... 是有理数。
2. 有理数数列的性质有理数数列具有以下性质：- 有理数数列有界性：一个有理数数列是有界的，当且仅当它存在上界或下界。
- 有理数数列的单调性：一个有理数数列是单调递增的，当且仅当对任意的n，有aₙ ≤ aₙ₊₁；一个有理数数列是单调递减的，当且仅当对任意的n，有aₙ ≥ aₙ₊₁。
- 有理数数列的有限性：有理数数列可能是有限的，也可能是无限的。
3. 有理数数列的运算有理数数列的运算包括加法、减法、乘法和除法。
以加法为例，设有理数数列{a₁, a₂, a₃, ...} 和{b₁, b₂, b₃, ...}，定义它们的和为{a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃, ...}。
二、有理数的极限计算方法1. 有理数数列的极限设有理数数列{a₁, a₂, a₃, ...}，如果存在有理数L，对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n > N时，有|aₙ - L| < ε成立，则称L为数列{a₁, a₂, a₃, ...}的极限，记作limₙ→∞ aₙ = L。
2. 极限计算方法（1）Squeeze定理：设有理数数列{aₙ}，{bₙ}，{cₙ}满足对于所有的n，aₙ ≤ bₙ ≤ cₙ，并且limₙ→∞ aₙ = limₙ→∞ cₙ = L，那么limₙ→∞ bₙ = L。
（2）夹逼定理：设有理数数列{aₙ}，{bₙ}，{cₙ}满足对于所有的n，aₙ ≤ bₙ ≤ cₙ，并且limₙ→∞ aₙ = limₙ→∞ cₙ = L，若存在正整数N使得当n > N时，有bₙ是有界的，则limₙ→∞ bₙ = L。
数列与级数的极限性质及计算方法
数列与级数的极限性质及计算方法数列与级数是数学中重要的概念，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将讨论数列与级数的极限性质以及计算方法，帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、数列的极限性质数列是由一系列有序的数所组成的，它们按照一定的规律排列。
数列的极限是指当数列的项数趋于无穷大时，数列的值趋于一个确定的常数。
数列的极限性质包括以下几个方面：1. 有界性：如果一个数列存在一个上界和一个下界，那么它是有界的。
具体来说，如果存在一个正数M，使得对于数列中的每一项a_n，都有|a_n|≤M，那么这个数列是有界的。
2. 单调性：数列的单调性指的是数列中的项按照一定的规律递增或递减。
如果数列的项递增，那么这个数列是递增的；如果数列的项递减，那么这个数列是递减的。
3. 收敛性：数列的收敛性是指当数列的项数趋于无穷大时，数列的值趋于一个确定的常数。
如果一个数列存在极限，那么这个数列是收敛的；如果一个数列不存在极限，那么这个数列是发散的。
二、数列的计算方法计算数列的方法主要包括以下几种：1. 递推法：递推法是指根据数列的前一项来计算后一项。
例如，Fibonacci数列就是通过递推法计算的，每一项都是前两项的和。
2. 通项公式：通项公式是指通过一个数学公式来计算数列的任意一项。
例如，等差数列的通项公式为a_n = a_1 + (n-1)d，其中a_1是首项，d是公差。
3. 递归公式：递归公式是指通过数列的前几项来计算后一项。
例如，斐波那契数列的递归公式为F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(1) = 1，F(2) = 1。
三、级数的极限性质级数是由一个数列的项相加而得到的。
级数的极限是指当级数的项数趋于无穷大时，级数的和趋于一个确定的常数。
级数的极限性质包括以下几个方面：1. 绝对收敛性：如果一个级数的各项都是正数，并且这个级数的部分和数列是有界的，那么这个级数是绝对收敛的。
2. 条件收敛性：如果一个级数是收敛的但不是绝对收敛的，那么这个级数是条件收敛的。
极限运算法则总结
极限运算法则总结
1. 极限的唯一性：如果一个数列存在极限，则极限唯一。
2. 有界性原理：如果一个数列有极限，则它是有界数列。
3. 递推数列的极限性质：如果一个数列存在极限，那么这个数列的递推数列也存在极限，且极限相等。
4. 夹逼准则：如果一个数列在两个极限之间夹逼，那么这个数列也存在极限，且极限等于夹逼的两个极限。
5. 极限与函数连续性的关系：如果一个函数在某点处连续，那么在这个点处的极限就等于函数值。
6. 极限与函数单调性的关系：如果一个函数单调递增且有上界（或单调递减且有下界），那么这个函数存在极限，且极限等于上（或下）界。
7. 极限的四则运算法则：对于两个数列，若它们存在极限，则它们的和、差、积、商（分母不为0）也存在极限，且按照运算法则计算。
8. 乘积的极限性质：如果一个数列存在极限，那么它与另一个数列的乘积也存在极限，且极限等于原数列和另一个数列的极限的乘积。
9. 商的极限性质：如果两个数列都存在极限且分母数列的极限不为0，那么它们的商也存在极限，且极限等于分子和分母各自的极限的商。
10. 多项式函数与指数函数的极限：在正无穷大和负无穷大两个方向上，多项式函数的极限为正无穷或负无穷，而指数函数的极限为0（负指数）或正无穷（正指数）。