第九章梁的强度计算
材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
qx4
ql 12
x3
C x D 1
1
C 材料力学方程和挠曲线方程
EIq 1 qx3 ql x2 ql3
6
4 24
EIw 1 qx4 ql x3 ql3 x 24 12 24
6 梁的最大挠度：根据对称性
E Iw m a x E Iw |2 l 2 1 4 q 2 l 4 1 q 2 l 2 l 3 q 2 l4 3 2 l 3 5 8 q 4 lE 2 I
第9章 平面弯杆弯 曲 变 形与刚度计算 9.1 挠曲线 挠度和转角 9.2 挠曲线近似微分方程 9.3 积分法求梁的变形 9.4 叠加法求梁的变形 9.5 梁的刚度条件与合理刚度设计 9.6 用变形比较法解简单超静定梁
材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
9.1 挠曲线 挠度和转角
1、梁的变形特点
平面假设
1 M z (x)
EI z * 思考：
1、若M常量
2、 若MM（x）
材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
9.3 积分法求梁的变形
1、挠曲线方程（弹性曲线）
EIw (x)M (x)
EIw (x)M (x)dxC 1
E Iw (x ) (M (x )d x )d x C 1 x C 2
材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
q
小变形（小挠度）
C
挠曲线
P x
w(x)
w(x)
C1
挠曲线：梁弯曲后，梁轴线所成的曲线
挠曲线方程
挠度：梁截面形心在垂直于梁的初始轴线方向的位移 w w(x)
转角：梁截面相对于变形前的位置转过的角度 qtanqdwx
材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
dx
梁的应力和强度计算
梁的应力和强度计算1.梁的基本假设梁的基本假设包括：梁材料是均匀各向同性的，梁截面是平面截面，梁的纵向伸缩变形可以忽略，梁的横向收缩变形可以忽略，梁截面平面保持平直。
2.梁的受力分析在进行梁的应力和强度计算之前，需要对梁的受力进行分析。
常见的梁的受力包括弯曲、剪切和轴向拉压等。
2.1弯曲弯曲是梁的一种主要受力状态，发生在梁受到弯矩作用时。
对于弯曲受力的梁，可以运用梁弯曲理论进行应力和强度计算。
常见的梁弯曲理论包括欧拉-伯努利梁理论和延性梁理论。
2.2剪切剪切是梁的另一种重要受力状态，发生在梁上部分截面受到剪力作用时。
剪切力引起梁截面上的剪应力，可以通过剪切变形理论进行计算。
2.3轴向拉压轴向拉压发生在梁上部分截面受到轴向拉力或压力作用时。
轴向拉力或压力引起梁截面上的轴向应力，可以通过轴向变形理论进行计算。
3.梁的应力分析根据梁的基本假设和受力分析，可以进行梁的应力分析。
梁的应力分析包括黄金区和非黄金区的判断、应力分布的计算和强度设计的确定。
3.1黄金区和非黄金区判断黄金区是指梁截面上应力最大的区域，通常位于材料的纤维处。
在黄金区内，应力达到梁材料的屈服强度。
非黄金区则是指其他区域，应力小于屈服强度。
3.2应力分布计算根据梁的受力和应力分析，可以计算出梁截面上的应力分布。
应力分布的计算可以通过梁的几何形状、外力和边界条件以及材料的性质来确定。
常见的应力分布包括弯曲应力、剪切应力和轴向应力等。
4.梁的强度设计梁的强度设计是根据计算得到的应力分布进行的。
根据材料的强度，可以确定梁的尺寸和形状，以满足梁的极限状态和使用状态的要求。
总结起来，梁的应力和强度计算是梁力学中的基本问题，包括梁的受力分析、应力分布计算和强度设计等内容。
通过合理的计算和设计，可以确保梁的安全和可靠性，提高结构的性能。
梁的应力和强度计算
剪切应力的计算步骤和实例
实例 1. 一根简支梁，跨度为$L$，在跨中受到集中力$F$的作用。求该梁的剪切应力。
2. 一根连续梁，跨度为$L$，在中间支座受到集中力$F$的作用。求该梁的剪切应力。
05
梁的强度计算
强度计算的原理和方法
极限应力法
根据梁的极限应力进行计算，确保梁在承受最大 载荷时不会发生断裂或屈服。
实例
假设有一根简支梁，跨度为L，承受均布载荷q，截面面积为A。根据正应力的计算公式，可以得出正应力的大小 为σ=q*L/2A。如果已知梁的材料和截面尺寸，可以通过查找或试验得到材料的屈服强度或极限强度，并与计算 出的正应力进行比较，以判断梁的强度是否满足要求。
04
梁的剪切应力计算
剪切应力的定义和计算公式
建立梁的力学模型
根据梁的几何形状、材料属性和载荷条件， 建立相应的力学模型。
强度校核
将计算得到的最大应力与材料的许用应力进 行比较，判断是否满足强度要求。
强度计算的注意事项和限制条件
材料属性
了解所用材料的机械性能，如弹性模 量、泊松比、屈服强度等。
支承条件
考虑梁的实际支承条件，如固定、简 支或滑动支承，对计算结果的影响。
剪切应力
在梁的剪切区域，由于相邻截面发生相对错动而产生的应力。
计算公式
剪切应力的大小与作用在剪切面上的外力成正比，与剪切面的面积成反比。公式为：$tau = frac{F}{A}$， 其中$tau$为剪切应力，$F$为作用在剪切面上的外力，$A$为剪切面的面积。
剪切应力的分布和影响
分布
剪切应力在梁的剪切面上是均匀分布的，但在剪切区域之外，由于弯曲应力的存在，剪 切应力会发生变化。
梁的应力和强度计算
第9章-梁的弯曲变形与刚度计算
y
M
M
M＜0 w’’<0
O O
x
曲线向下凸 时： w’’>0, M＞0
因此, M与w’’的正负号相同。 y
M
M
w
M (x)
(1 w2 )32 EI
M＞0 w’’>0
x
w
(1
w2
)
3 2
M (x) EI
由于挠曲线是一条非常平坦的曲线, w'2远比1小, 可以略去不计, 于是上式可写成
w M (x) EI
转角(): 横截面 y
绕中性轴(即Z轴)转 A 过的角度（或角位 移）, 称为该截面 的 转 角 (Slope rotation angle) 。
F CBx
w(挠度)
C1
(转角)
9.1 工程实际中的弯曲变形问题
挠度和转角符号的规定：
挠度：在图示坐标系中, 向上为正, 向下为负。
转角： 逆时针转向为正,顺时针转向为负。
在这种情况下, 梁在几项载荷 (如集中力、集中力 偶或分布力)同时作用下某一横截面的挠度和转角, 就 分别等于每项载荷单独作用下该截面的挠度和转角的 叠加。此即为叠加原理。
例1：一抗弯刚度为EI的简支梁受荷载如图所示。
试按叠加原理求梁跨中点的挠度wC 和支座处横
截面的转角A ,B 。
q Me
解：将梁上荷载分为两项 A
C
B
简单的荷载。
l
wC wCq wCM
5ql4 M el2 384EI 16EI
A Aq AM
ql3 M el 24EI 3EI
B
Bq BM
ql3 M el 24EI 6EI
例2:试利用叠加法, 求图示抗弯刚度为EI的简支
第九章-用叠加法计算梁的变形梁的刚度计算-精品文档
§9-5 用变形比较法解静不定梁
一、静不定梁的基本概念
CL9TU50
用多余反力代替 多余约束，就得 到一个形式上的 静定梁，该梁称 为原静不定梁的 相当系统。
二、用变形比较法解静不定梁 例：求图示静不定梁的支反力。
解：将支座B看成 多余约束，变形协调 条件为：
vB 0
即 RBl3 ql4 0 3EI 8EI
RB
3 ql
8
另解：将支座A对截面 转动的约束看成多余约 束，变形协调条件为：
A 0
即 MAl ql3 0 3EI 24EI
MA
1 ql 2 8
例：为了提高悬臂梁AB的强度和刚度， 用短梁CD加固。设二梁EI相同，试求
(1) 二梁接触处的压力； (2) 加固前后AB梁最大弯矩的比值； (3) 加固前后B点挠度的比值。
CL9TU51
解：(1)变形协调条件为：vABDvCDD
即 5Pa3RD a3RD a3 6EI 3EI 3EI
RD
5 4
P
(2)
CL9TU31
例： 图示梁Ｂ处为弹性支座，弹簧刚度
k
EI 2a 3
。求C端挠度vC。
CL9TU32
解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为
vC123qka3qEaI4
(2)弹簧不变形，仅梁变形引起的C点挠度为
vC2q2(4 2a E)I3aq 3a E4 I
§9-3 用叠加法计算梁的变形 梁的刚度计算
一、用叠加法计算梁的变形 在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下,
载荷与它所引起的变形成线性关系。 当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引
起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个 载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分 别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。
梁的应力和强度计算
例7-2.2 T 字形截面的铸铁梁受力 如图，铸铁的[sL]=30MPa，
1m
[sy]=60 MPa，其截面形心位于G
点，y1=52mm， y2=88mm， Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。 并说明T字梁怎样放置更合理？ 解：画弯矩图并求危面内力
2.5kNm A1 G y1
A3
qL2 3600 32 4050Nm 8 8
28
M
qL2/8
x
+
q=3.6kN/m
求最大应力并校核强度
M max 6M max 6 4050 s max 2 Wz bh 0.12 0.182
qL 2
Q
6.25MPa 7MPa [s ]
+
–
qL 2
x
FS max 1.5 5400 t max 1.5 A 0.12 0.18 0.375MPa 0.9MPa [t ]
例7.2.1 受均布载荷作用的简支
梁如图所示，试求： （1）1—1截面上1、2两点的 正应力； （2）此截面上的最大正应力；
（3）全梁的最大正应力；
（4）已知E=200GPa，求1—1 截面的曲率半径。
qL2 8
+ M
120 y
z
M1 Mmax
x
解：画M图求截面弯矩
qLx qx2 M1 ( ) 2 2
t max
S
z max
bI z
22
圆形截面梁
最大剪应力仍发生在中性轴上:
t max
FS S z max bI z
t max
4 FS 3 A
Iz—圆形截面对中性轴的惯性矩； b — 截面中性轴处的宽度； Sz*—中性轴一侧半个圆形截面对中性轴的静矩
建筑力学基本计算3梁的强度计算
建筑力学基本计算3梁的强度计算1、基本概念和计算要求在计算梁的强度问题时，要注意下列基本概念：1） 惯性矩的有关概念和计算，组合截面的惯性矩计算，抗弯截面系数的计算。
2） 理解中性轴和中性层的有关概念，对理解正应力的分布规律和计算十分重要。
要注意中性轴的确定方法（中性轴必然通过截面形心）。
3） 熟悉纯弯曲时梁横截面上的正应力分布规律，知道最危险点在截面的上、下边缘。
2、基本计算方法梁的强度计算主要是如下几点：1） 利用正应力公式计算截面上任意一点的正应力。
y I M Z⋅=σ2） 由强度条件校核梁的正应力强度。
][maxmaxσσ≤=ZW M3） 由强度条件设计梁的截面。
][maxσMW Z ≥4） 由强度条件计算梁上的最大容许荷载。
Z W M ⋅≤][maxσ3、计算步骤和常用方法考试要求对梁的强度问题主要是针对塑性材料（拉、压性能一样）的单跨静定梁，横截面为简单图形（圆形、矩形或空心圆截面）：1） 在计算正应力时，首先要明确该截面在梁上的位置，以便根据弯矩图确定该截面的弯矩值及正负号；其次要计算该截面对中性轴的惯性矩I Z ，以及所求点到中性轴z 的距离y ，若中性轴位置未定，则应先计算截面形心位置以确定中性轴位置；为了简便起见，通常采取按绝对值计算出正应力的大小，再按弯矩的正负号直观判断；计算最大正应力时，则要求画出弯矩图，以确定最大弯矩值。
2） 在应用强度条件时，首先要考虑最大正应力的计算；其次要能判断梁的危险截面和危险点；再则就是在设计截面时，对矩形截面情况下，必须理清h 与b 的比例关系。
3） 在计算梁上的最大容许荷载时，要理清M max 和荷载之间的关系式，从而可由M max 确定最大容许荷载的值。
4、举例外伸梁受力及其截面尺寸如图（a ）所示。
已知材料的许用拉应力[σ+]=40MPa ，许用压应力[σ-]=70MPa 。
试校核梁的正应力强度。
[解]（1）求最大弯矩作出梁的弯矩图如图（b ）所示。
梁的应力及强度计算
梁的应力及强度计算一、梁的基本概念梁是指在两个支点上支承荷载并能够产生弯曲的长条形结构。
根据材料的不同，梁可以分为钢梁、混凝土梁等。
计算梁的应力和强度需要了解以下几个基本概念：1.荷载：梁承受的力或力矩称为荷载。
荷载可以是集中力、均布力、集中力矩等多种形式。
2.弯矩：梁在受力作用下产生的弯曲效应称为弯矩。
弯矩大小与荷载和梁的几何特性有关。
3.应力：梁内部产生的力与横截面积之比称为应力。
应力可以分为弯曲应力、切应力、正应力等多种形式。
4.强度：梁材料的最大承受能力称为强度。
强度可以用来评估梁的安全性。
二、计算梁的应力梁的弯曲应力是梁内部最重要的应力之一、梁的弯曲应力随着距离中心越远而越大，有最大值和最小值。
计算梁的弯曲应力需要以下步骤：1.确定荷载和荷载点：首先要确定梁所受的各种荷载，包括集中力、均布力等，以及荷载点的位置。
2.画剪力和弯矩图：根据已知的荷载和支座条件，可以绘制梁的剪力和弯矩图。
剪力图表示横截面上剪力的大小和方向，弯矩图表示横截面上弯矩的大小和方向。
3.计算弯曲应力：根据梁的几何尺寸和荷载信息，可以计算出梁上任意截面处的弯曲应力。
根据梁的几何形状和弯矩分布，可以使用弹性力学理论进行计算。
4.判断应力的安全性：计算得到的弯曲应力应与材料的抗弯强度进行比较，以判断梁的安全性。
如果弯曲应力小于抗弯强度，则梁在弯曲方面是可靠的。
三、计算梁的强度梁的强度是指梁材料的最大承载能力。
计算梁的强度需要以下步骤：1.确定梁材料的特性：了解梁材料的力学性质，包括抗弯强度、抗压强度、抗拉强度等。
这些特性可以从材料的标准和试验中获取。
2.根据荷载计算弯矩：根据梁所受的荷载和支座条件，计算出梁上各点的弯曲弯矩。
弯矩大小和分布决定了梁的强度。
3.计算截面的几何特性：根据梁的几何形状，计算出梁截面的相关几何特性，包括截面面积、惯性矩、截面模量等。
这些参数在计算强度时起关键作用。
4.判断强度的安全性：根据弯矩和截面几何特性，计算出梁的强度。
第九章-用叠加法计算梁的变形梁的刚度计算(材料力学课件)
m 1
x
m2
l
CL9TU21
解：由梁的挠曲线近似微分方程 EIv ′′ = M ( x ) 知，在梁挠曲线的拐点处有： = 0 在梁挠曲线的拐点处有： M 从弯矩图可以看出： 从弯矩图可以看出：
m 1
x
m2
m1 1 = m2 2
l
M m 1
m2
例：两根材料相同、抗弯刚度相同的悬臂 两根材料相同、 梁Ⅰ、Ⅱ如图示，Ⅱ梁的最大挠度是Ⅰ梁的多 如图示， 梁的最大挠度是Ⅰ 少倍？ 少倍？
CL9TU31
图示梁Ｂ处为弹性支座， 例： 图示梁Ｂ处为弹性支座，弹簧刚度
EI 端挠度v 端挠度 k = 3 。求C端挠度 C。 2a
CL9TU32
梁不变形， 解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的 点挠度为 梁不变形 仅弹簧变形引起的C点挠度为 3 qa 3qa 4 vC 1 = = ↓ 2 k EI
CL9TU40
解：由刚度条件
v max
得
所以
Pl l = ≤ [v ] = 48 EI 500
3
48 EI P≤ = 7.11 kN 2 500l
[ P ] = 7.11 kN
σ max
M max Pl = = = 60MPa ≤ [σ ] Wz 4Wz
所以满足强度条件。
§9-4 提高弯曲刚度的措施
P
l
Pl − 3EI
2P
3
2l
CL9TU22
作用， 例：简支梁在整个梁上受均布载荷q作用，若 简支梁在整个梁上受均布载荷 作用 其跨度增加一倍，则其最大挠度增加多少倍？ 其跨度增加一倍，则其最大挠度增加多少倍？
q
l
vmax
5ql =− 384EI
材料力学第9章 梁的挠度和刚度计算
x
x
0,
l 2
x
l 2
,
3l 2
EIw1
1 24
qx4
C1x
D1
EIw2
1 48
ql
3l 2
3
x
C2 x
D2
x
0,
l 2
x
l 2
,
3l 2
EIw1
1 6
qx3
C1
EIw2
1 16
ql
3l 2
2
x
C2
x
0,
l 2
x
l 2
,
3l 2
4 边界条件、连续条件 5 梁的转角方程和挠曲线方程
2
2 EIw(l) 0
EIw
1 6
qx3
ql 4
x2
C1
1 24
ql 4
ql 12
l3
C1l
D1
0
EIw
1 24
qx 4
ql 12
x3
C1x
D1
C1
ql 2 24
5 梁的转角方程和挠曲线方程
EIq 1 qx3 ql x2 ql3
6
4 24
EIw 1 qx4 ql x3 ql3 x 24 12 24
[f] L ~ L 500 600
普通机车主轴
[q ] 0.30
3，影响变形的因素
L 10时, Q的影响只有M的3% h
由小变形条件， x不计
4，计算变形的方法
积分法、 叠加法、 能量法、
………
9.2 挠曲线近似微分方程
1、挠曲线近似微分方程
1 M z (x)
EI z