Voronoi图的构建和应用
Voronoi图的构建和应用
侯玉昭
(南京航空航天大学机电学院，南京市，210016)
摘要：Voronoi图是计算几何中常用而又重要的几何结构，它有很强的实用价值。本文介绍了平面点集上的Voronoi图的一些生成方法，主要是矢量法和栅格法的原理与生成过程。其次就是V图在各个领域中的应用和分析了V图的一些优势特点。以此希望我国科研人员关注V图的研发工作。
关键词：Voronoi图；矢量法；栅格法；V图应用
Construction and application of Voronoi diagram
Hou Yuzhao
(College of Aerospace Engineering, Nanjing University of Aeronautics＆Astronautics, Nanjing, 210016, China;)
Abstract：Voronoi graph is a common and important computational geometry in diagram geometry,it has a strong
practical value.This paper introduces some generation method for planar point set on the Voronoi graph,it is mainly
the principle and formation process of the vector method and the grid method.The second is the application of V
graphs in various fields and analyzes some advantages of V graphs. We hope our researchers focus on R&D of V
graph.
Key words：Voronoi graph;Vector method;Grid method;Application of Voronoi graph
引言
Voronoi图的历史是相当古老的。许多不同的自然结构都与Voronoi图十分接近，并且这些结构曾经被很多早期的科学家甚至普通人注意过。早在1908年，俄国数学家G.Voronoi
在对二次型的研究中首先使用了这种图，后被计算机研究者称之为Voronoi图。1944年，笛卡尔使用了一种图来显示太阳系内部和外部物质的性质。尽管没有特殊的注解来解释那些图的结构，但实际上这些图已经十分接近今天我们所说的加权Voronoi图。Voronoi图在许多领域都在尝试它的应用，并取得了成功。如天文学家用来研究宇宙结构；考古学家用来识别新石器时代不同部落影响下的地区；气象学家在仪器分布不足时估算降雨（雪）量；城市规划者在城市中用来进行设施定位；生物学家用来研究毛细血管供应肌肉组织情况。这些研究表面上涉及完全不同的现象，但实际上都可以用Voronoi图的概念来解释。
近年来，Voronoi图已被纳入计算几何的范畴，成为计算几何的一个重要分支。随着计算机科学与技术的飞速发展，尤其是计算机在图像处理方面的广泛应用，使得计算几何的研究，越来越受重视并日益蓬勃发展起来。计算几何在计算机辅助设计、计算机图形学、数字图像处理、地理信息处理、机器人等许多领域都有重要应用。它已成功解决了找最近点，求最大空圆，求n个点的凸包，求最小树等问题。另外，Voronoi图在模式识别、生态研究、城市规划、最优化配置、物理学等许多领域也有广泛的应用[1]。
Voronoi图构建
V图有着按距离划分邻近区域的普遍特性，应用范围广。生成V图的方法很多，一般分为两种：矢量方法；栅格方法。
1.1矢量方法（基于GIS软件）
矢量方法生成V图大多是对点实体。方法分为：对偶生成法；增添法；部件合成法等。 1.1.1对偶生成法
对偶生成法：主要是指生成V图时先生成其对偶元Delaunay三角网，再通过做三角网每一三角形三条边的中垂线，形成以每一三角形顶点为生成元的多边形网。如图1所示。
图1 对偶生成法生成V图
对偶生成法的关键是Delaunay三角网的生成。Delaunay三角网的特性：任一三角形外接圆内部包含其他点；三角形均衡或三边均衡，其最小角最大；使三角网总边长最小；在确定的n个点上，构造的Delaunay三角网网形唯一。
1.1.2增添法
增添法生成V图的基本思想是：假设平面上原有n个点（生成元），已生成了Vn图，现在增加一个生成元Pn+1，这时生成新的Vn+1图。由于V图的特性，加入一个新生成元只与该新生成元所在Voronoi多边形及与之相邻其它Voronoi多边形“迎向半边”有关，与这些多边形的“另半边”无关，也与除它们之外的其它生成元的Voronoi多边形无关。
增添法的基本步骤：
①搜索最邻近单元和相邻单元。最邻近单元为Pn+1所在原V图中某点的Voronoi多边形Vk以及原来与它相邻的若干个多边形及相应生成元，如图2（a）。
②局部更新。对于各邻近单元，首先与最邻近单元Vk中Pk作中垂线，并找其余Vk的交点，由于Vk是凸多边形，因而只产生两个交点1、2，1与2连线把与Vk相关的单元分为“两半”：与Pn+1“相关的一半”及“不相关的一半”，使Pn+1与相关一半的各生成元Pk+1， Pk+2…作中垂线围成各封闭多边形，即是加入Pn+1生成元后的新的Vn+1图。类此，可不断加入新的生成元，直至所需。如图2（b）。
（a） （b）
图2 增添法 1.1.3部件合成法
部件合成法：是指把生成元点集分为若干个子集，并且这些子集的并集必须为生成元点集，为避免不必要的麻烦，这些子集相互的交集尽可能小或为空集φ。先对这些子集生成子V图，然后把这些子V图合并，修正其相互影响部分的Voronoi多边形，从而得到全生成元点集的V图。如下图3所示。
图3 部件合成法
矢量方法生成V图的分析：
➢ 以上三种方法是矢量方法中常用的，随着并行处理技术的发展，V图生成页、也出现了并行算法，它使各生成元同时进行各点的V图计算；
➢ 矢量方法生成V图的算法和数据结构都较为复杂，其生成元是基于离散点集的，对于实际的地理信息，这远远不够，应该拓展成点、线、面、体及其组合的复杂形体；
➢ 目前矢量方法用离散点集代替线面，使空间实体的完整性遭到破坏，同时生成的V图，要经过复杂的识别和修补工作，这是一个尚待克服的困难；
➢ 对于光滑、不光滑组合曲线及相应组合成的封闭面域，尽管可用折线逼近，但折线毕竟不是曲线，在曲线光滑处，每一点都是转折点，而化为折线，折线交接处的点就成为唯一转折点，性质突变处。
1.2栅格方法（基于GIS软件和编程）
目前利用矢量法生成的Voronoi图的算法和数据结构复杂,其生成元基于离散点集,对于线、面和其他更复杂的空间目标需分解为点集进行处理。这种分解使空间实体的完整性遭到破坏,同时生成的Voronoi图需经过复杂的识别和修补。由于基于矢量方法生成的矢量Voronoi图存在的问题和不足,进而提出基于栅格方法生成栅格Voronoi图。距离变换是基于栅格方法的核心,下面给出了利用基于栅格方法生成Voronoi图的原理和步骤。
任意形状发生元Voronoi图构建的栅格方法：
wi1>0、wi2是加权Voronoi图的权重。
当wi2=0时产生倍增的加权Voronoi图（multiplicatively weighted
Voronoi diagram），是在发生点集的扩散速度与权重成比例情况下形成的；
当wi1=1时产生相加的加权Voronoi图（additively weighted Voronoi
diagram）；
当wi1≠1, wi2 ≠ 0时产生复合的加权Voronoi图（compoundly weighted
Voronoi diagram）。
下面介绍加权Voronoi图的栅格构建方法： ,),(1),(21iiiiwwppdwppd 用gridpoint命令将包含有空间点位坐标的矢量图层数据转换为栅格数据，并把栅格数据放置在一个文本文件中。
利用方程计算每一个栅格单元与各发生点的加权距离，以距离最短的发生点栅格的代码作为该栅格单元的隶属代码，如此下去，直至所有栅格单元的归属都被确定为止。
把新的栅格单元代码数据写入到一个新的文本文件中，再用gridpoly命令将该代码数据转变为一个点的加权Voronoi图图层（在该方法的实现中，注意数据转换中所需要的文件头的内容），完毕。
下面是对栅格方法的一些改进性研究。如李成名等提出一个基于邻域扩张的Voronoi图生成算法,分析了利用传统的距离变换生成栅格Voronoi图的误差情况,对各种栅格算法的精度进行了分析,并引入动态距离变换的栅格邻域扩张模式。王新生等提出了一种新的基于栅格的Voronoi生成方法,通过确定每个栅格的归属来定义Voronoi区域,为了减少计算时间,设计了一种搜索某个栅格所属最近发生元栅格的方法。栅格法的核心问题是栅格空间中两点的距离定义,关于栅格的距离典型定义有:街区距离、棋盘距离、八角形距离、斜面3-4距离、斜面2-3距离,无论是普通Voronoi图还是加权Voronoi图,这些距离计算的前提是每个栅格是等距的基元。故马林兵提出一个非均质栅格Voronoi图的生成方法[2][4]。
V图的意义和应用
2.1 V图的特点
Voronoi多边形图由点集生成扩展为由点、线、面集生成后，V图就具有了以下特性：
（1）每个V多边形内有一个生成元；
（2）每个V多边形内点到该生成元距离短于到其它生成元距离；
（3）多边形边界上的点到生成此边界的生成元距离相等；
（4）邻接图形的Voronoi多边形界线以原邻接界线作为子集。
V图是空间邻近关系客观、全面、准确的体现，V图给出了邻近的准确量度。邻近决定于空间尺度, 是一种几何关系,而“邻”是一种拓扑关系, 两者不一样。复杂的连续函数内插要在邻近点间进行，V图给出了主影响元、邻近影响元，提供了优良内插方法的优秀环境。
V图、障碍V图、广义V图的多边形边界提供了点、线、面全形态，障碍、非障碍完备空间，广义加权距离的等距线、等比线、等势线等，是具有严密数学意义且极广泛使用价值的轨迹线。
2.2 V图的应用
Voronoi图的在计算几何学科中的重要地位，是由于Voronoi图在求解点集或其它几何对象与距离有关的问题时起的重要作用而决定的。这种根据Voronoi图的性质对区域的合理划分，广泛应用在地理学、气象学、结晶学、航天、核物理学、机器人等领域。例如，它可以应用于运动规划问题，即在充满障碍物的环境中为机器人寻找一条无碰撞的路径．解决的方法，可以利用障碍物的Voronoi图，因为它描述出了距离障碍物最远，也就是最安全的路径。随着Voronoi图的定义和算法被广泛传播，Voronoi图的应用领域也在不断扩展。这些应用实例尽管从专业角度千差万别，但从Voronoi图所发挥的作用角度，可以归结为如下3个方面：
基于Voronoi图的离散点云重构技术研究
基于Voronoi图的离散点云重构技术研究
Voronoi图是数学中的一种重要概念，它对于离散点云重构技术有着不可替代的作用。在本文中，笔者将介绍基于Voronoi图的离散点云重构技术的研究进展，并探讨其在实际应用中的意义。
一、Voronoi图的基本概念和性质
Voronoi图又称为泰森多边形，是一种将空间平面分割成若干个区域的图形。在平面上给定一组点，每个点都将平面划分成一个由该点控制的区域，这个区域被称为该点的Voronoi区域。Voronoi图的边缘是由两个点之间的中垂线组成的，这些中垂线将平面分割成若干个小区域。
Voronoi图具有以下性质：
1. 对于平面上的任意一个点，它位于与其最近的离散点的Voronoi区域之中。
2. 对于Voronoi图的任意一条边，它的两侧Voronoi区域的点到该边的距离相等。
3. Voronoi图的每个顶点是由三个离散点组成的。
4. Voronoi图是由一组点唯一确定的。
二、基于Voronoi图的离散点云重构技术
基于Voronoi图的离散点云重构技术是一种通过计算Voronoi图重构离散点云的方法。这种方法的主要思路是通过计算Voronoi图的边缘来确定离散点云的形状。
这种方法的实现过程包括以下几个步骤：
1. 根据离散点云的坐标计算出Voronoi图的边缘和顶点。 2. 对Voronoi图进行三角剖分，将Voronoi图中的每个小区域分割成若干个三角形。
3. 利用离散点云和Voronoi图的信息，生成三维模型。
基于Voronoi图的离散点云重构技术在计算机图形学和计算机视觉领域中具有重要的应用价值。它可以帮助我们更好地理解三维物体的形状和结构，从而为形状分析、目标检测等应用提供了重要的技术支持。
三、基于Voronoi图的离散点云重构技术在实际应用中的意义
基于Voronoi图的离散点云重构技术在实际应用中有着广泛的应用，以下是一些典型的应用：
voronoi 原理
- 1 - voronoi 原理
Voronoi原理是一种广泛应用于计算机科学、地理信息系统、材料科学和生物学等领域的算法。它基于一组点，将空间分割成不同的区域，每个区域包含与其最近点之间的空间。这些区域称为 Voronoi
图或 Voronoi 细胞。
Voronoi 原理的核心思想是将每个点视为一个种子或核心，该种子将其周围的空间分割成一些区域。具体来说，每个点周围的区域是所有距离该点最近的点所在的区域。这些区域的边缘相遇形成
Voronoi 图。Voronoi 图中的每个点都与一个种子对应，这些种子是原始点的一个子集。
Voronoi 原理在计算机图形学中有广泛的应用。例如，在三维建模中，它可以用于计算每个点的所在位置和周围的顶点，以便在模型中生成更平滑的曲线。在计算机视觉中，它可以用于图像分割，将图像分成具有相似特征的区域。在地理信息系统中，Voronoi 图可以用于计算地理空间数据，例如地图上的最近邻点、行政边界和人口密度。
总之，Voronoi 原理是一种非常有用的算法，它可以帮助我们更好地理解和处理复杂的空间数据。
乘权Voronoi图的构成及其在物流网点选取上的应用
乘权Voronoi图的构成及其在物流网点选取上的应用
刘欣
【摘 要】Multiplication weighted Voronoi diagram is difficult to construct,
because of the number of multiplications right to introduce complex
calculations. In the conventional method, when the generator or a product
change, the program is running will be complicated. This paper presents
the weighted Voronoi diagram multiplication dynamically constructed, the
algorithm can overcome the shortcomings of the above, and more
economical and efficient than the traditional algorithm has higher
heoretical value. We also look right Voronoi method to select the
application of logistics network in Beijing city.%乘权Voronoi图由于权值的设定公式非常复杂，在传统的算法中，当生成元或乘积发生改变时，程序运行会异常复杂。本文给出了乘权Voronoi图的动态构造算法，改进了传统算法的缺点，因而更省时高效，具有较高的理论价值。本文还给出乘权Voronoi图在北京市区选取物流网点时的应用。
【期刊名称】《价值工程》
【年(卷),期】2015(000)017
【总页数】2页(P61-62)
Voronoi图理论与应用新成果
Ｖｏｒｏｎｏｉ图理论与应用新成果
汪嘉业杨承磊
（山东大学计算机科学与技术学院，济南２５００６１）
２００６年７月２－５日，第３届国际科学与工程中
的Ｖｏｒｏｎｏｉ图研讨会（ＩＳＶＤ’２００６）在加拿大阿尔伯
特省卡尔加里市班夫中心举行。来自加拿大、美国、
英国、法国、俄罗斯、日本、韩国、中国等１０多个国
家的５０多位Ｖｏｒｏｎｏｉ图研究专家、学者参加了会
议，３０多人在大会上作了报告，展示了他们在
Ｖｏｒｏｎｏｉ图理论及其应用方面的最新研究成果。
山东大学汪嘉业教授、杨承磊副教授参加了此
次盛会。在大会上，杨承磊副教授作了《基于
Ｖｏｒｏｎｏｉ图的凸多边形求交新算法》（Ｎｅｗ
Ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｏｆ Ｃｏｎｖｅｘ Ｐｏｌｙｇｏｎｓ Ｂａｓｅｄ
ｏｎ Ｖｏｒｏｎｏｉ Ｄｉａｇｒａｍｓ）和《基于Ｖｏｒｏｎｏｉ图的虚拟
博物馆漫游系统的设计方法》（Ｄｅｓｉｇｎ ｏｆ ａ
Ｗａｌｋｔｈｒｏｕｇｈ Ｓｙｓｔｅｍ ｆｏｒ Ｖｉｒｔｕａｌ Ｍｕｓｅｕｍ Ｂａｓｅｄ ｏｎ
Ｖｏｒｏｎｏｉ Ｄｉａｇｒａｍ）两个报告，受到与会者好评。
图１点集的Ｖｏｒｏｎｏｉ图与Ｄｅｌａｕｎａｙ三角网格 图２多边形的内部Ｖｏｒｏｎｏｉ图
图３多边形的外部Ｖｏｒｏｎｏｉ图
汪嘉业：教授，博导 Ｖｏｒｏｎｏｉ图的起源最早可以追溯到１７世纪，是
计算几何的重要几何结构之一，也是计算几何的重
要研究内容之一，Ｄｅｌａｕｎａｙ三角网格是其对偶图
（见图１—３）。目前，在数以千计的相关文章中，约有
１５％是关于Ｖｏｒｏｎｏｉ图和研究的。它按照对象集合中
元素的最近属性将空间划分成许多单元区域。由于
Ｖｏｒｏｎｏｉ图具有最近性、邻接性等众多性质和较完善
的理论体系，如今已经在图形学、机械工程、虚拟现
实、地理信息系统、机器人、图像处理、ＣＡＤ等领域
得到广泛应用，受到人们的广泛关注。
为了给Ｖｏｒｏｎｏｉ图研究专家提供一个很好的交
基于Voronoi图的3D打印轻量化结构设计及其应用研究
基于Voronoi图的3D打印轻量化结构设计及其应用研究
轻量化是制造业领域的一个重要研究方向,同时也是设计者不断追求的目标,目前实现轻量化的主要途径有两种:一是使用轻质材料,二是使用轻量化结构,本文主要针对后者进行了研究。而轻量化结构设计又分为两类:一是通过零件的约束及受力情况得出较好的尺寸、拓扑结构,优化之前无法得知其结果是怎么样,例如拓扑优化;二是将零件中需要优化的部分替换成轻量化的结构,优化的结果可以预见,例如各种夹层结构。夹层结构尤其是三维点阵结构一般结构较为复杂,具有两大难点:一是生成方法较为复杂,二是传统制造方法难以制造。
3D打印作为一种新型制造技术可以完美解决第二个难点——制造困难的问题,而本文将对第一个难点寻求解决方法。本文提出了一种基于Voronoi图的轻量化夹层结构生成方法,并对其性能进行了研究,研究对象包括利用二维Voronoi图生成的不规则蜂窝结构以及利用三维Voronoi图生成的不规则泡沫结构。主要研究内容及成果如下:(1)提出了不规则Voronoi图以及对应实体模型的生成算法,并定义了其不规则度、相对密度、网格疏密度等参数。
(2)利用有限元仿真方法研究了上述不同参数对于结构弹性性能的影响,结果显示不规则度越大,弹性模量先增大后减小;相对密度越大,网格越多,弹性模量越大。(3)用正交实验法研究了不同打印参数对于3D打印件力学性能的影响,并据此选择较为合适的参数制造了上述两种轻量化结构实体,分别进行拉压实验。结果表明:实验结果与仿真结果基本吻合。
(4)将两种结构应用于某款小型无人机机翼前后梁的设计上,并分别对其进行力学仿真,比较优化前与优化后的性能,以验证结构的可用性。结果显示优化后机翼最大应力有所增加但是在许用范围内,最大位移略微增加,且低阶固有频率有所增加,而且在模型简化的前提下,质量分别减轻了 19.67%和16.24%,证明结构具有一定应用价值。
泰森多边形实际应用
泰森多边形实际应用
泰森多边形，也称为Voronoi多边形，在地理信息系统、计算几何、模式识别等领域有着广泛的应用。本文将从实际应用的角度介绍泰森多边形的几个重要应用领域。
一、地理信息系统中的应用：
泰森多边形在地理信息系统中被广泛应用于地理数据分析和空间插值。在地理数据分析中，泰森多边形可以将空间上的点集划分为不同的区域，从而实现对地理数据的分区管理和分析。泰森多边形可以用于确定区域内的地理特征，比如水源、交通网络、人口密度等。在空间插值中，泰森多边形可以根据已知点的属性值，推算出未知点的属性值，从而实现地理现象的空间插值。
二、计算几何中的应用：
泰森多边形在计算几何中有着重要的应用，特别是在最近邻搜索和凸壳构建中。在最近邻搜索中，泰森多边形可以用于确定给定点集中离目标点最近的点。泰森多边形将空间划分为不同的区域，通过比较目标点与每个区域的边界距离，可以快速确定最近邻点。在凸壳构建中，泰森多边形可以用于确定给定点集的凸壳边界。泰森多边形的边界由连接相邻点的线段组成，这些线段构成了凸壳的边界。
三、模式识别中的应用：
泰森多边形在模式识别中也有着重要的应用。在图像处理中，泰森多边形可以用于图像分割和特征提取。泰森多边形将图像划分为不同的区域，每个区域可以表示不同的图像特征。通过对每个区域进行特征提取，可以实现对图像的分析和识别。在模式匹配中，泰森多边形可以用于确定目标对象的形状和位置。通过比较目标对象与模板对象的泰森多边形，可以实现目标对象的匹配和识别。
总结：
泰森多边形作为一种重要的空间数据结构，在地理信息系统、计算几何和模式识别等领域有着广泛的应用。它可以用于地理数据分析和空间插值，最近邻搜索和凸壳构建，以及图像分割和模式匹配等方面。泰森多边形的应用可以帮助我们更好地理解和分析空间数据，提取有用的信息，实现更精确的空间分析和模式识别。
voronoi多面体细分法
voronoi多面体细分法
全文共四篇示例，供读者参考
第一篇示例：
Voronoi多面体细分法是一种基于几何学原理的分割算法，可以将给定的空间划分成多个不规则的、由边界线相连的多边形区域。这种算法被广泛应用于计算机图形学、地理信息系统、物理模拟等领域，可以帮助我们更加有效地表示和处理空间数据。
Voronoi多面体细分法的基本原理是通过点之间的最近距离作为分割线，将空间划分成多个区域，每个点所在的区域称为Voronoi多边形。这种分割方法的优势在于能够有效地表示点之间的关系，使得我们可以更好地理解空间数据的结构和特征。
在实际应用中，Voronoi多面体细分法可以被用来解决一系列的问题，比如寻找最近邻居、区域划分、网格生成等。在计算机图形学中，我们可以利用Voronoi多面体细分法生成自然形状的纹理、优化网格、进行碰撞检测等。在地理信息系统中，我们可以利用Voronoi多面体细分法对地理空间数据进行分析和处理，比如确定最佳路线、区域分布的聚类等。在物理模拟中，我们可以利用Voronoi多面体细分法模拟液体的表面张力、物体的碰撞等。
Voronoi多面体细分法的实现方式有多种，其中最常见的是基于点的Voronoi图和基于边的Delaunay三角剖分。基于点的Voronoi图通常先将空间中的点附近形成一个外框，然后以每个点为中心，由最近邻居点之间的直线构成边界，最终形成边界交汇而成的多边形区域。基于边的Delaunay三角剖分则是在给定的点集上构建一个无重叠的三角形网格，在最大化每个三角形的外接圆半径的尽量减少边的数量。
不同的实现方式适用于不同的场景和需求，我们可以根据具体的问题来选择最合适的Voronoi多面体细分方法。无论是基于点的Voronoi图还是基于边的Delaunay三角剖分，都可以通过现有的开源库和算法来实现。
Voronoi多面体细分法是一种十分有用的空间数据处理算法，可以帮助我们更好地理解和利用空间数据的结构和特征。在未来的研究和应用中，我们可以进一步优化和拓展该算法，以满足不同领域的需求和挑战。希望Voronoi多面体细分法能够为科学研究和工程实践带来更多的启发和帮助。
Voronoi图
Voronoi图定义
任意两点p 和q 之间的欧氏距离，记作 dist(p, q)
。就平面情况而言，我们有
dist(p, q) = (px-qx)2+ (py-qy)2
设P := {p1, „, pn}为平面上任意 n 个互异的点；这些点也就是基点。按照我们的定义，所谓P对应的Voronoi图，就是平面的一个子区域划分——整个平面因此被划分为n 个单元（cell ），它们具有这样的性质：
任一点q位于点pi 所对应的单元中，当且仅当对于任何的pj∈Pj, j≠i,都有dist(q, pi)
“Vor(P) ”或者“Voronoi图”所指示的仅仅只是组成该子区域划分的边和顶点。在Vor(P)中，与基点pi 相对应的单元记作V (pi)——称作与pi 相对应的Voronoi单元（Voronoi cell）。上图是Voronoi图，下图的蓝色点围成的区域（凸包）是它对应的Delaunay三角剖分。
任给平面上两点p 和q ，所谓 p 和q 的平分线（bisector），就是线段 pq的垂直平分线。该平分线将平面划分为两张半平面（half-plane）。点 p 所在的那张开半平面记作 h(p, q) ，点 q 所在的那张开半平面记作 h(q, p) 。请注意，r ∈ h(p, q) 当且仅当 dist(r, p) < dist(r, q) 。据此，可以得出如下观察结论：
V (pi) = ∩ h(pi, pj) , 1≤j≤n, j≠ i
也就是说，V (pi)是(n-1)张半平面的公共交集；它也是一个（不见得有界的）开的凸多边形（convex polygon）子区域.
很显然，Voronoi顶点到相邻的三个site距离相等；Voronoi边上任意一点到相邻的两个site距离相等；
对于任何点q，我们将以q为中心、内部不含P中任何基点的最大圆，称作q关于P的最大空圆（largest empty circle ），记作Cp(q)。以下定理指出了Voronoi图的顶点及边所具有的特征：
VORONOI(泰森多边形)功能制作BSC、TAC等边界图层方法
VORONOI（泰森多边形）功能制作BSC、TAC等边界图层方法
1、 利用基站工参制作打点拓扑图，注意不要使用SEESTIE等插件生成的扇区图。
2、 备份该图层，因为用excel直接做的拓扑图层，很多时候无法进行修改编辑，只是可读模式，无法进行后面的操作。
3、 打开复制的基站图层，使用MAPINFO/TABLEA/VORONOI功能（部分低版本和不完全版本的MAPINFO无此功能）
无需特别选择，逐步执行下图
得到这种图层
4、利用mapinfo/table/combine objects using column选项，将多边形图层根据我们需要的内容进行合并，如TAC、TAL、BSC、MSC等，可以得到这些信息的分布图层。
逐步执行，注意到这一步，需要将method项都改为VALUE,否则默认SUM的话，生成的TAL的图层的标识将会是TAL下所有小区的TAL值之和。
vor径向线定义
Vor径向线定义
1. 什么是Vor径向线
Vor径向线是一种用于描述和刻画离散点集的几何性质的概念。它是一种由Voronoi图（也称为Vor图）所生成的曲线，用于将平面上的点集划分为若干个区域，并且每个区域内的点都离其所对应的Vor径向线最近。
2. Vor径向线的生成方法
Vor径向线的生成方法基于Voronoi图的概念。Voronoi图是由一组点集所生成的一种图形，它将平面划分为若干个区域，每个区域内的点都离其所对应的点集中的点最近。
2.1 构建Voronoi图
构建Voronoi图的方法有多种，其中一种常用的方法是通过计算每个点到其他点的距离来确定每个点所对应的区域。
具体步骤如下： 1. 给定一组点集。 2. 对于每个点，计算它与其他点之间的距离。
3. 将每个点与离它最近的点连接起来，得到一组边。 4. 将边连接起来，形成Voronoi图。
2.2 生成Vor径向线
生成Vor径向线的方法是通过Voronoi图来实现的。在Voronoi图中，每个点所对应的区域被称为Vor区域，Vor径向线就是沿着Vor区域的边界生成的曲线。
具体步骤如下： 1. 根据给定的点集构建Voronoi图。 2. 对于每个Vor区域，沿着其边界生成Vor径向线。
3. Vor径向线的应用领域
Vor径向线在许多领域中都有广泛的应用，包括地理信息系统、计算机图形学、模式识别等。 3.1 地理信息系统
在地理信息系统中，Vor径向线被用于描述和分析地理空间数据。通过构建Vor径向线，可以将地理空间数据划分为不同的区域，从而更好地理解和分析地理现象。
3.2 计算机图形学
在计算机图形学中，Vor径向线被用于生成地形、水流、植被等自然景观的模拟。通过构建Vor径向线，可以生成具有真实感的地形和景观，用于游戏开发、虚拟现实等领域。
3.3 模式识别
在模式识别中，Vor径向线被用于描述和识别图像中的对象。通过构建Vor径向线，可以将图像中的对象划分为不同的区域，并提取出对象的特征，从而实现图像的自动识别和分析。