多元函数的极限与连续习题
多元函数的极限与连续习题14?y)3x?2lim(。
1.用极限定义证明:2x?1y?）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存0,0讨论下列函数在（2. 在性。
y?x?y)f(x,；1）（y?x11nnsis?(x?y)if(x,y) (2) ；
yx33yx??y)(x,f；(3) 2y?x1ni?ysf(x,y)。
(4) x22yx22)x?ylim(；（1）3. 求极限0?x0?y22yx?lim；）（2 220?x11?x?y?0?y1sin)x?ylim(；3（）22y?x0x?0y?22)y?sin(xlim。
）（4
22y?x0?x0?y ln(1?xy)??x?0?y)xf(,在其定义域上是连续的。
试证明函数4. ?x?0?yx?
214)??2ylim(3x。
1.用极限定义证明:2?x1?y x?2,y?1|x?2|?0,|y?1|?0，，不妨设因为5?|?4?|x?2|x?2|?|x?2?4|有，22|?12?2y22y?14|?|3x?x|3?
?3|x?2||x?2|?2|y?1|?15|x?2|?2|y?1|
?15[|x?2|?|y?1|]
???0，要使不等式
2??1|]|y?x?15[|?2|?|3x?2y?14|成立
??,1?min{}，于是取30?????)x,y?(0???|y?|?1,||x?20???min{1,}：，，
30
2?)12,,y)?((x?|?14x?2y|3，即证。
且，有
2.讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。
x?y?,y)(fx；（1）yx?x?yx?y?1limllimlimim??1，，
yxy?x?0??x0y?00xy?二重极限不存在。
x?yx?y1?0lilimm??。
，或3?xx?yy0x?x0?xy?x?y2
11siny)sin)?(x?f(x,y；(2) yx110?|(x?y)sinsin|?|x|?|y|
yxlim(|x|?|y|)?0limf(x,y)?0。
可以证明所以x?x?00y?0y?0 111?xf(x,y)?(x?y)sinsin0y?极限不存在，，当时，?kxy
11nnsii(x?y)slimlim不存在，因此yx0x?0y?11nnsi?y)silimlim(x同理不存在。
yx0??0xy
33yx?f(x,y)?；(3) 2yx?3x2limf(x,y)?lim?0，
2x?x0x?x?0x?y23xx??y? 0,0）时有当P(x, y)沿着趋于（3323)x?xx?(f(xlim,y)?lim?1，322x?x?x0?x0x?32x?y?x?limf(x,y)不存在；所以0?x0?y 0?,y)limlimf(xlimlimf(x,y)?0。
，0x??0y?0x?0y
1sin?y(x,y)f(4) x1|y?ysin||0?|x0?y)f(x,lim，∴
0?x0?y11nmysin?0limlilimlimysi不存在。
，xx0?y0y?0x?x?0
)?ylim(x）；（13.求极限0x?0y?222)y(x?222222|y|ln(x)?|?xyln(x?y)|?0，22y2x2
42222t?y)(x22lim?0?limlntln(x?y)，又
44??0x?0t0?y2222)ln(xylimxy?22y22x)00?(,(x,y)1?(limxy)e??。
∴0x?0y?
22yx?lim）；（2 220?x11??yx?0?y
222222)??(xy?y1)(1?xyx?lim?2?lim。
221??y1?x220?x?0x1??y1?x0?0yy?
1siny)lim(x?；）（3 22yx?0?x0?y1|(x?y)sin|?|x?y|，22y?x0??y)lim(x而0x?0y?1lim(x?y)sin?0。
故
22y?x0x?0?y
22)?sin(xylim。
）（4 22yx?0x?0?y??sinry?cosx?r，令，
(x,y)?(0,0)r?0，时，
222r)x?ysinsin(lim?lim?1。
222ryx?0?0x?r0?y
ln(1?xy)??x?0?y)f(x,在其定义域上是连续的。
试证明函数4.
?x?0y?x?
证明：显然f(x, y)的定义域是xy>-1.
x?0时，f(x, y)当是连续的，只需证明其作为二元函数在y轴的每一点上连续。
以下分两种情况讨论。
）处在原点（0,0（1）
0x?时当f(0, 0)=0,
0y?0?)xy1?ln(??,y)?f(x1, ?x xy?y?0yln(1?xy)?1
xy?1xy)llimn1(?由于0x?0y?11xyxy|?21(?xyln1)?1|?1n|l(?xy)|，，不妨设
??????0???||y,0?0?|x|?时，，从而，当取21ln(1?xy)xy?0|?|yln(1?xy|)| x1xy??|2|y1?xy)|??|y||ln(，
???y?|,|x?x0,x?0||时，都有于是，无论，当limf(x,y)?0?f(0,0)
0x?0?y(0,y)y?0)在）（2处。
（
1xy?)y|??|yln(1xy,f(xy)?f(0,y)||0?x时，当1
xy?|y(ln1?1)?(?xy)(y?y)|
1xy)?xyy||ln(||?|y?y1?|?1
|f(x,y)?f(0,y)|?|y?y|, 当x=0时,
1xy0?ylimln1(?xy)?1，时注意到，当0x?yy?y?000,x?x?时于是，无论当，0|?0(,y))(lim|fx,y?f，0x?yy?(0,y)xf即(, 处连续，y)在在。
数学分析华东师大第四版16章_多元函数的极限与连续
lim
f ( x, y )极限存在，
是指当动点 ( x, y )以任意的方式趋向于点 ( x0 , y0 )时, 对应的极限都存在并且 相等.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例题
证明二重极限 x y lim 不存在. 2 2 ( x , y ) ( 0 , 0 ) x y
证明
取y kx, 则 即当动点( x, y )沿着直线y kx趋向于点(0,0)时, x y kx k lim lim , 2 2 2 2 2 ( x , y )( 0 , 0 ) x y x 0 (1 k ) x 1 k
求二元函数的定义域与值域
1.函数z f ( x, y ) a x b y (a, b是不为0的实数); 2.函数z f ( x, y ) 1 ( x 2 y 2 ) ; 2 xy 3.函数z f ( x, y ) 2 ; 2 x y 4.函数z f ( x, y ) 1 x 1 y .
则一定存在有限个开区 域1 , 2 , , n , 使得 D k .
k 1 n
n元函数的定义
所有有序实数组 ( x1 , x2 , , xn )的全体称为 n维向量空间 , 记作R n . 每个有序实数组 ( x1 , x2 , , xn )称为R n中的一个点 , n个实数x1 , x2 , , xn 称为这个点的坐标 .
二元函数的定义域
• 一元函数的定义域是实数轴上的点集；
• 二元函数的定义域是坐标平面上的点集.
坐标平面与平面点集
• 在平面上确定了一个直角坐标系之后，所 有有序实数对(x,y)与平面上所有的点之间就 建立了一一对应。确定了直角坐标系的平 面，称为坐标平面； • 在坐标平面上满足某种条件P的点的集合称 为平面点集，记作
6-3多元函数的连续性
在D 的边界点 P0 连续
• P0
0, 0, 使得当 PU P0 I D
时, 有 f P f P0 .
D
定理４（有界性定理）
设函数 f P在 有界闭区域 上D连续，则 在 f 上P有 界．D
即存在常数 M 0 使
f P M P D.
都存在 >0, 使得 f U P0 U P0 .
如果在区域Ｄ中每一点都连续，则称 f 在Ｄ
中连续．
４．有界闭区域上连续函数的性质
在一维空间中, 闭区间一定是有界的. 在空间 Rn (n 2) 中, 闭区域不一定有界.
一元连续函数在闭区间上的性质, 推 广到多元函数中应是连续函数在有界闭区 域上的性质.
(x, y)(0, 0) xy
(x,y)(0, 0) xy( xy11)
xy11 lim ( xy11)( xy11)
) xy
(x,y)(0, 0) xy( xy11)
lim
1 1
(x,y)(0, 0) xy11 2
例
求函数 z xy 的间断点. x y
r 0
x0 y0
x2 y2
故函数在点(0, 0)处连续.
例 讨论函数
f
(
x,
y)
x
2
xy
y2
,
x2 y2 0
0,
x2 y2 0
在(0,0)的连续性．
解 取 y kx
lim
x0
x
2
xy
y
2
y0
lim
x0
x2
kx 2 k2
x2
多元函数微分学1
多元函数微分学多元函数的极限1. 求函数y x z -=的定义域.解 二元函数的定义域. 由二次根式, 得0≥y 且0≥-y x .2. 设=)1,1(x y f yx x y x 2)(--, 求),(y x f .解1 复合函数.改写, 得=)1,1(x y f yx x y x 2)(--22111xxy y x --=. 于是)2(),(y x y x y y x f --=. 解2 令xv y u 1,1==. 代入化简, 得)2(),(v u v uv v u f --=.即)2(),(y x y xy y x f --=.习题(a) 已知=),(y x f 22y x xy+, 求)1,(x y f . (b) 设22),(y x xyy x f -=+, 求),(y x f .3. 计算极限22sin 00)1(lim y x xy x xy +→→+.解 用一元函数极限的法则与定理.因为x y →→00,, 所以xy →0. 这是1∞型未定式. 因为)(21||22y x xy +≤, 所以22|sin |||y x x xy +|sin |21x ≤. 根据极限存在准则1, lim x y →→000|sin |||22=+y x x xy . 再由函数连续性有lim()sin x y xxy xy →→++01= 1.4. 求证: 极限lim x y →→00x y x y2222-+不存在. 证 选择不同路径(相当于数列或一元函数的子列), 证明极限不存在.一种常用的(不是万能的!)路径是沿直线y y k x x -=-00()趋向于点(,)x y 00. 在这里是沿直线y kx =趋向于坐标原点.lim x y →→00x y x y 2222-+=lim x k k →-+02211=1122-+k k 因为极限值与k 有关, 即沿不同直线趋向于坐标原点时, 有不同极限值, 所以原极限不存在.5. 求证: 极限lim x y →→00x y x y22++不存在.证 选择不同路径, 证明极限不存在.例5中的直线路径在这里无效. 需要寻找曲线路径. 当动点沿抛物线y x kx =-+2趋向于坐标原点时, 有limx y →→00y x y x ++22=k k x k kx x 222lim 220=+-→ 极限值与k 有关, 原极限不存在.6. 研究函数z x yy y =≠=⎧⎨⎪⎩⎪sin ,,1000的连续性. 解 用定义判定连续.根据初等函数的连续性, 当y ≠0时, 函数连续. 因为lim x y →→0x ysin10=, 所以函数在坐标原点也连续.当沿着与y 轴平行的直线趋向于x 轴上其它的点时, 极限不存在. 于是这些点是函数的间断点.7. 设函数f x y (,)关于自变量x 连续, 又存在常数L >0, 使得对于任意两点(,),(,)x y x y 12, 有|(,)(,)|||f x y f x y L y y 1212-≤-, 则函数f x y (,)连续.证 用定义判定连续.任意取点(,)x y 00. 对于任意给定的0>ε, 由于对于取定的y 的值, 函数关于自变量x 连续, 存在01>δ, 使得当10||δ<-x x 时, 有2|),(),(|000ε<-y x f y x f .取}2,min{1Lεδδ=, 则当δ<-||0x x , δ<-||0y y 时, 有|)],(),([)],(),([||),(),(|000000y x f y x f y x f y x f y x f y x f ---=-|),(),(|0y x f y x f -≤|),(),(|000y x f y x f -+ εεδε≤+≤+-≤22||0L y y L偏导数与全微分1. 设函数f x y xy x y x y x y (,),,=++≠==⎧⎨⎪⎩⎪2222000 , 计算y fx f ∂∂∂∂,. 解 用定义求偏导数.当x y 220+≠时, 用导数公式得2/3223)(y x y x f +=∂∂, 2/3223)(y x x y f +=∂∂. 当x y ==0时, 用偏导数定义, 得f x (,)00=lim(,)(,)x f x f x→-=00000. 同理有f y (,)000=.2. 设函数22),(y x y x f +=, 则它在坐标原点连续, 但没有偏导数.解 用定义证连续，求偏导数因为)0,0(0lim 2200f y x y x ==+→→，函数在所以坐标原点连续。
多元函数的极限和连续性
多元函数的极限和连续性在高等数学中，多元函数的极限和连续性是比较基础的概念，对于学习后续的微积分、偏微分方程等内容都有重要的意义，因此本文将从多元函数极限和连续性的定义、求解及其应用等方面进行探讨和阐述。
一、多元函数的极限和连续性的定义在一元函数中，极限的概念是比较容易理解和推广的，而在多元函数中，由于独立变量的个数增加，问题变得更加复杂。
因此，我们需要重新定义多元函数的极限。
1. 多元函数的极限定义设$f(\boldsymbol{x})$是定义在某点$\boldsymbol{x_0}=(x_0,y_0, z_0, ...)$的某一邻域内的多元函数，$\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)$是任一常数向量，那么当对于任意$\epsilon>0$，都存在$\delta>0$，使得当$0<\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x_0}\Vert<\delta$时，都有$\vert f(\boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{x_0}+\boldsymbol{\alpha})\vert<\epsilon$成立，则称$\boldsymbol{x_0}$是$f(\boldsymbol{x})$的一个极限点，记作$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x_0}+\boldsym bol{\alpha})$。
可以看出，多元函数的极限与一元函数的极限相似，但是需要考虑的变量更多。
在多元函数中，只有当$\boldsymbol{x}$从任意方向趋近于$\boldsymbol{x_0}$时，$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})$才存在。
多元函数的基本概念极限和连续性.
2 2 {( x , y ) | x y 1} 例如
边界上的点都是聚点也都属于集合．
2 2 {( x , y ) | 0 x y 1} 例如
(0,0)既是边界点也是聚点但不属于集 合
(3) 开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ; 若点集 E E , 则称 E 为闭集； 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相 连, 则称 D 是连通的 ; D 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ;
x
y O
y
O
1 2x
x
O
1 2x
整个平面 是最大的开域 , 也是最大的闭域 ; 点集 ( x, y ) x 1 是开集， 但非区域 .
y
1O 1
x
对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点
A 的距离 AP K , 则称 D 为有界域 , 否则称为无 界域 .
（如下页图）
二元函数的图形通常是一张曲面.
例 描绘下列函数的图形 (1) z =x y
2 2 2 2 2
(2) z x y
例如, z sin xy
图形如右图.
例如, x 2 y 2 z 2 a 2 左图球面.
z
D {( x , y ) x 2 y 2 a 2 }.
2 2
解
2 2 3 x y 1 2 x y 0
2 x y 4 2 x y
2 2
所求定义域为 D {( x, y ) | 2 x 2 y 2 4, x y 2 }.
（6） 二元函数 z f ( x , y )的图形
第六章多元函数典型例题
z z 13 设z z ( x, y )是由方程F ( x z, y z ) 0确定，试求 , . x y 解：解法一 方程两边分别对 x和y求偏导，并注意 z是x, y的函数.
若设u x z, v y z , 则有F (u, v) 0, 函数的结构为
u F v z y y
(2) z (1 xy) y
z 解： y (1 xy) y 1 y y 2 (1 xy) y 1 , x z y ln(1 xy) (e ) y y x y ln(1 xy ) e [ln( 1 xy) y ] 1 xy xy y (1 xy) [ln( 1 xy) ] 1 xy
x
x
z z z z Fu (1 ) Fv 0, Fu ( ) Fv(1 ) 0, x x y y Fu Fv z z 解得 , . x Fu Fv y Fu Fv
解法二 利用隐函数的微分法 . 若设u x z , v y z , 则有F (u , v ) 0.
2 2 2z z z 2 2 12 x 2 , 2 , 12 y 2. 2 2 xy x y
(3) 判断 在驻点(1,1)处， B 2 AC 4 100 96 0, 且A 0, 所以z在点(1,1)和(1,1)处取得极小值 z 2. 在驻点(0,0) 处， B 2 AC 4 4 0. 这时不能判断点 (0,0)是否为极值点，为此考 察函数在点 (0,0) 附近的变化情况：在点 (0,0)的足够小邻域内，沿直 线y x有 z ( x, x) 2 x 4 z (0,0) 0;而沿直线y x有z ( x, x) 2 x 4 4 x 2 2 x 2 ( x 2 2) z (0,0) 0,由此可见，点 (0,0)不是函数的极值点， 即z (0,0) 0不是函数的极值 .
第2讲多元函数的极限、连续(2)
寻找间断点的方法 与一元函数的情况类似
例如： 函数无定义的点;
极限不存在的点; 极限存在但不等于函数
在该点的函数值的点等等.
例
例
xy 求函数 z 的间断点. x y
由分母不能为零,
解
y
x y 0
直线 x y 0 上
的一切点均为函
数的间断点.
数间断点 情形比较复杂
x x0 y y0
若函数 f ( X ) 在区域 上的每一点 都连续, 则称函数 f ( X ) 在区域 上连续, 记为 f ( X ) C () .
闭区域上连续函数的性质
（1）最大值和最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D 上至少取得它的最大值和最小值各一次．
（2）介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，如 果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上 取得介于这两值之间的任何值至少一次． 多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数 经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可 用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数 一切二元初等函数在其定义区域内是连续的． 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．
n
两个函数值
与 , 且 0 , 则至少
存在一点 X 0 使得 f ( X 0 ) 0 .
该定理实际上是介值定理的推论.
三.多元函数的间断点
通常说： 如果函数 f ( X ) 在点 X 0 处 不连续, 则称函数在点 X 0 处间断 点 X 0 称为函数的间断点.
ˆ ( x0 , ) 时, 若 0, 0, 当点 x U
f ( x) U( a, ), 即 | f ( x) a | , 则称
x x0
第十六章 多元函数的极限与连续
第十六章多元函数的极限与连续一、平面点集的基本概念1、由一维空间推广到二维空间；2、平面点集；3、点A的δ圆邻域和方邻域（注意空心否）；4、点集的分类；5、点与点集的关系。
二、R2上的完备性定理（i）柯西准则一元点列.,,0,0limεε<->>∃>∀⇔=∞→aaNnNaannn二元点列.PP,,0,0PPlimεε<->>∃>∀⇔=∞→nnnNnN其中22nn)()(),P(P yyxxPPnn-+-==-ρ（ii）闭域套定理设{D n}是R2中的闭域列，满足.,2,1,DP,0lim),(2;,2,1,D1n1=∈===⊃∞→+ndDddnDnnnnnn则存在唯一的点（iii）聚点定理设E2R⊂为有界无限点集，则E在R2中至少有一个聚点。
（ix）有限覆盖定理设D2R⊂为一个有界闭域，{}α∆为一个开域族，这覆盖了D（即αα∆⋃⊂D），则在{}α∆中必存在有限个开域n21∆∆∆，，，它同样覆盖了D三、二元函数的极限一元极限()()()εδδε<-∈>∃>∀⇔=→AxfxUxAxf oxx,;,0,0lim二元极限()()()εδδε<-⋂∈>∃>∀⇔=∈→AfUAxf o P,D;PP,0,0limDPPP0判断重极限存在性的方法①某个特殊路径的极限不存在；②某两个特殊路径的极限不相等；③用极坐标法，说明极限与角度有关。
根据重极限定义若重极限存在则它沿任何路径的极限都应该存在且相等。
①存在二重极限和累次极限K或L，则二者相等；②若二重极限和累次极限L\K都存在，则三者相等；③若累次极限L\K存在不等，则二重极限必不存在；④累次极限L\K存在相等，但二重极限不一定存在。
累次极限()()y x fKyxfyyxxxxyy,limlim,,limlimL→→→→==四、二元函数的连续性的相关概念二元函数的连续()连续在关于集合则称，就有；只要对PD,)()(DPUP,0,0fPfPfεδδε<-⋂∈>∃>∀介值性定理()()()()().DPPP,PPDPPRD2121212μμμ=∈<<<⊂Pffffff，使必存在点，的则对任何满足中任意两点，且为，上连续，若在区域设二元函数的全增量()()()()()()的全增量。
高等数学：第1节：多元函数的概念
例如, E {( x, y) | 0 x2 y2 1}
y
(0,0) 是聚点但不属于E．
•
x
又如, E {( x, y) | x2 y2 1} • E中任何一点都是 E 的边界点， • E 中的任何一点都是 E 的聚点。
y
E
•P
o 1x
思考题：边界点是否一定是聚点？反之，聚点是否 一定是边界点？
如果点集Ｅ的点都是内点，
•P
则称Ｅ为开集．
例如，E1 {( x, y)1 x2 y2 4}
E
即为开集．
•
边界点： 如果点 P 的任一个邻域内既有属于 E 的点，
也有不属于 E 的点（点 P 本身可以属于E ， 也可以不属于E），则称 P 为 E 的边界点．
E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记为E．
0
4) (2
0 4) 4
四、多元函数的连续性
一元函数连续性回顾： 设 y f ( x), x0 D
若 lim x x0
f ( x) f ( x0 ),
则称
f ( x)在 x0处连续.
二元函数的连续性
设 z f ( x, y), P0 ( x0 , y0 ) D,且为聚点.
若 lim x x0
例5：求极限 lim x0 y0
x2 y2 sin x2 y2
3
(x2 y2) 2
解：令: x2 y2 , 当( x, y) (0,0)时, 0,
lim x0 y0
x2 y2 sin x2 y2
3
(x2 y2) 2
lim
0
sin 3
lim
0
1
cos
3 2
lim sin 1 0 6 6
第八章多元函数的极限与连续、偏导数
微积分
6、函数z x y 的定义域是______________.
7、函数z arcsin y 的定义域是_______________.
x
8、函数z y2 2x 的间断点是_______________.
y2 2x
二. 求下列各极限:
2 xy 4
1. lim
;
x0
f (1, y ) ________________. x
3、 若 f ( y ) x 2 y 2 ( y 0),则 f ( x) ________.
x
y
4、 若 f ( x y, y ) x 2 y 2 , 则 f ( x, y) _________. x
函数 z 4x y 2 的定义域是__________. ln(1 x 2 y 2 )
一、 1、 t 2 f (x, y)；
2、 13 , f ( x, y)； 12
3、 1 x2 ；
4、 x2 1 y ；
x
1 y
5、 ( x, y) 0 x2 y2 1, y2 4x ；
6、 ( x, y) x 0, y 0, x 2 y ；
7、( x, y) x 0, x y x
0 ( x x0 )2 ( y y0 )2 时 | f ( x, y) A | 恒成立.
则称当( x, y) ( x0 , y0 )时, f ( x, y)以A为极限.
记: lim f ( x, y) A.或 lim f ( x, y) A.
( x, y)( x0 , y0 )
x3 y
lim
x0
x6